Hva er sidene i en likesidet trekant? Vanlig trekant. Arealet av en vanlig trekant

Definisjon 7. Enhver trekant hvis to sider er like, kalles likebenet.
To like sider kalles laterale, den tredje kalles basen.
Definisjon 8. Hvis alle tre sidene i en trekant er like, kalles trekanten likesidet.
Han er en privat art likebent trekant.
Teorem 18. Høyden til en likebenet trekant, senket til grunnflaten, er samtidig halveringslinjen for vinkelen mellom like sider, medianen og symmetriaksen til basen.
Bevis. La oss senke høyden til bunnen av den likebenede trekanten. Hun vil dele den i to like deler (langs benet og hypotenusen) høyre trekant. Vinklene A og C er like, og høyden deler også basen i to og vil være symmetriaksen til hele figuren som vurderes.
Denne teoremet kan også formuleres som følger:
Teorem 18.1. Medianen av en likebenet trekant, senket til basen, er også halveringslinjen for vinkelen mellom like sider, høyden og symmetriaksen til basen.
Teorem 18.2. Halveringslinjen til en likebenet trekant, senket til basen, er samtidig høyden, medianen og symmetriaksen til basen.
Teorem 18.3. Symmetriaksen til en likebenet trekant er samtidig halveringslinjen for vinkelen mellom like sider, medianen og høyden.
Beviset for disse konsekvensene følger også av likheten mellom trekantene som en likebenet trekant er delt inn i.

Teorem 19. Vinklene ved bunnen av en likebenet trekant er like.
Bevis. La oss senke høyden til bunnen av den likebenede trekanten. Den vil dele den inn i to like (ben og hypotenus) rette trekanter, som betyr at de tilsvarende vinklene er like, dvs. ∠ A=∠ C
Kriteriene for en likebenet trekant kommer fra teorem 1 og dets følger og teorem 2.
Teorem 20. Hvis to av de indikerte fire linjene (høyde, median, halveringslinje, symmetriakse) faller sammen, vil trekanten være likebenet (som betyr at alle fire linjene vil falle sammen).
Teorem 21. Hvis to vinkler i en trekant er like, så er den likebenet.

Bevis: Ligner på beviset for den direkte teoremet, men bruker det andre kriteriet for trekanters likhet. Tyngdepunktet, sentrene til den omskrevne og insirkelen, og skjæringspunktet for høydene til en likebenet trekant ligger alle på dens symmetriakse, dvs. på høy.
En likesidet trekant er likebenet for hvert par av sidene. På grunn av likheten på alle sidene, er alle tre vinklene i en slik trekant like. Tatt i betraktning at summen av vinklene til en trekant er lik to rette vinkler, ser vi at hver av vinklene til en likesidet trekant er lik 60°. Motsatt, for å sikre at alle sidene i en trekant er like, er det nok å kontrollere at to av dens tre vinkler er lik 60°.
Teorem 22 . I en likesidet trekant faller alle de bemerkelsesverdige punktene sammen: tyngdepunktet, sentrene til de innskrevne og omskrevne sirklene, skjæringspunktet mellom høydene (kalt trekantens ortosenter).
Teorem 23 . Hvis to av de angitte fire punktene faller sammen, vil trekanten være likesidet, og som en konsekvens vil alle fire navngitte punkt sammenfalle.
Faktisk vil en slik trekant vise seg, i henhold til den forrige, likebenet med hensyn til ethvert sidepar, dvs. likesidet. En likesidet trekant kalles også en vanlig trekant. Arealet av en likebenet trekant er lik halvparten av produktet av kvadratet på sidesiden og sinusen til vinkelen mellom sidene
Tenk på denne formelen for en likesidet trekant, da vil alfavinkelen være lik 60 grader. Deretter vil formelen endres til dette:

Teorem d1 . I en likebenet trekant er medianene trukket til sidene like.

Bevis: La ABC være en likebenet trekant (AC = BC), AK og BL dens medianer. Da er trekantene AKB og ALB like i henhold til det andre kriteriet for trekanters likhet. De har felles side AB, sidene AL og BK er like som halvdelene av sidesidene i en likebenet trekant, og vinklene LAB og KBA er like som grunnvinklene til en likebenet trekant. Siden trekantene er kongruente, er sidene AK og LB like. Men AK og LB er medianene til en likebenet trekant trukket til sidesidene.
Teorem d2 . I en likebenet trekant er halveringslinjene trukket til sidesidene like.

Bevis: La ABC være en likebenet trekant (AC = BC), AK og BL dens halveringslinjer. Trekanter AKB og ALB er like i henhold til det andre kriteriet for likestilling av trekanter. De har en felles side AB, vinklene LAB og KBA er like som grunnvinklene til en likebenet trekant, og vinklene LBA og KAB er like som halvparten av grunnvinklene til en likebenet trekant. Siden trekantene er kongruente, er sidene deres AK og LB - halveringslinjen til trekanten ABC - kongruente. Teoremet er bevist.
Teorem d3 . I en likebenet trekant er høydene senket til sidene like.

Bevis: La ABC være en likebenet trekant (AC = BC), AK og BL dens høyder. Da er vinklene ABL og KAB like, siden vinklene ALB og AKB er rette vinkler, og vinklene LAB og ABK er like som grunnvinklene til en likebenet trekant. Følgelig er trekantene ALB og AKB like i henhold til det andre kriteriet for trekanters likhet: de har en felles side AB, vinklene KAB og LBA er like i henhold til ovenstående, og vinklene LAB og KBA er like som grunnvinklene til en likebent trekant. Hvis trekantene er kongruente, er sidene deres AK og BL også kongruente. Q.E.D.

Å opprettholde personvernet ditt er viktig for oss. Av denne grunn har vi utviklet en personvernerklæring som beskriver hvordan vi bruker og lagrer informasjonen din. Se gjennom vår personvernpraksis og gi oss beskjed hvis du har spørsmål.

Innsamling og bruk av personopplysninger

Personopplysninger refererer til data som kan brukes til å identifisere bestemt person eller forbindelse med ham.

Du kan bli bedt om å oppgi din personlige informasjon når som helst når du kontakter oss.

Nedenfor er noen eksempler på hvilke typer personopplysninger vi kan samle inn og hvordan vi kan bruke slik informasjon.

Hvilken personlig informasjon samler vi inn:

• Når du sender inn en søknad på nettstedet, kan vi samle inn ulike opplysninger, inkludert navn, telefonnummer, adresse E-post etc.

Hvordan vi bruker dine personopplysninger:

• Samlet av oss personlig informasjon lar oss kontakte deg og informere deg om unike tilbud, kampanjer og andre arrangementer og kommende arrangementer.
• Fra tid til annen kan vi bruke din personlige informasjon til å sende viktige meldinger og kommunikasjoner.
• Vi kan også bruke personopplysninger til interne formål som revisjon, dataanalyse og ulike studier for å forbedre tjenestene vi tilbyr og gi deg anbefalinger angående våre tjenester.
• Hvis du deltar i en premietrekning, konkurranse eller lignende kampanje, kan vi bruke informasjonen du gir til å administrere slike programmer.

Utlevering av informasjon til tredjeparter

Vi utleverer ikke informasjonen mottatt fra deg til tredjeparter.

Unntak:

• Om nødvendig - i samsvar med loven, rettslig prosedyre, rettslige prosesser og/eller basert på offentlige forespørsler eller forespørsler fra offentlige etater på den russiske føderasjonens territorium - oppgi din personlige informasjon. Vi kan også avsløre informasjon om deg hvis vi fastslår at slik avsløring er nødvendig eller hensiktsmessig for sikkerhet, rettshåndhevelse eller andre offentlige viktige formål.
• I tilfelle en omorganisering, fusjon eller salg, kan vi overføre personopplysningene vi samler inn til gjeldende etterfølger tredjepart.

Beskyttelse av personopplysninger

Vi tar forholdsregler - inkludert administrative, tekniske og fysiske - for å beskytte din personlige informasjon mot tap, tyveri og misbruk, samt uautorisert tilgang, avsløring, endring og ødeleggelse.

Respekter ditt privatliv på bedriftsnivå

For å sikre at din personlige informasjon er sikker, kommuniserer vi personvern- og sikkerhetsstandarder til våre ansatte og håndhever strengt personvernpraksis.

I skolekurs geometri stor mengde tid er viet til å studere trekanter. Elevene regner ut vinkler, konstruerer halveringslinjer og høyder, finner ut hvordan former skiller seg fra hverandre, og den enkleste måten å finne deres område og omkrets. Det ser ut til at dette ikke vil være nyttig i livet, men noen ganger er det likevel nyttig å lære for eksempel hvordan man kan finne ut om en trekant er likesidet eller stump. Hvordan gjøre dette?

Typer trekanter

Tre punkter som ikke ligger på samme linje, og segmentene som forbinder dem. Det ser ut til at denne figuren er den enkleste. Hva slags trekanter kan de være hvis de bare har tre sider? Det er faktisk ganske mange alternativer. et stort nummer av, og noen av dem vies spesiell oppmerksomhet i skolegeometrikurset. En vanlig trekant er likesidet, det vil si at alle vinklene og sidene er like. Den har en rekke bemerkelsesverdige egenskaper, som vil bli diskutert videre.

En likebenet har bare to like sider, og er også ganske interessant. I en rektangulær, som du kanskje gjetter, er en av vinklene henholdsvis rett eller stump. Dessuten kan de også være likebenede.

Det er også en spesiell som heter egyptisk. Sidene er 3, 4 og 5 enheter. Dessuten er den rektangulær. Det antas at det ble aktivt brukt av egyptiske landmålere og arkitekter for å konstruere rette vinkler. Det antas at de berømte pyramidene ble bygget med dens hjelp.

Og likevel kan alle toppunktene i en trekant ligge på samme rette linje. I dette tilfellet vil det bli kalt degenerert, mens alle de andre vil bli kalt ikke-degenerert. De er et av fagene for å studere geometri.

Likesidet trekant

De riktige tallene skaper selvfølgelig alltid størst interesse. De virker mer perfekte, mer grasiøse. Formlene for å beregne deres egenskaper er ofte enklere og kortere enn for vanlige tall. Dette gjelder også trekanter. Det er ikke overraskende at de får mye oppmerksomhet når de studerer geometri: skolebarn blir lært å skille de riktige figurene fra resten, og blir også fortalt om noen av deres interessante egenskaper.

Skilt og egenskaper

Som du kanskje gjetter ut fra navnet, er hver side av en likesidet trekant lik de to andre. I tillegg har den en rekke funksjoner som hjelper deg å finne ut om figuren er riktig eller ikke.

Hvis minst ett av tegnene ovenfor er observert, er trekanten likesidet. For den riktige figuren er alle påstandene ovenfor sanne.

Alle trekanter har en rekke bemerkelsesverdige egenskaper. For det første, midtlinje, det vil si at et segment som deler to sider i to og parallelt med den tredje, er lik halve basen. For det andre er summen av alle vinklene til denne figuren alltid lik 180 grader. I tillegg er det et annet interessant forhold i trekanter. Så overfor den større siden ligger den større vinkelen og omvendt. Men dette har selvfølgelig ingenting å gjøre med en likesidet trekant, fordi alle vinklene er like.

Innskrevne og omskrevne sirkler

Ofte i et geometrikurs lærer elevene også hvordan former kan samhandle med hverandre. Spesielt studeres sirkler innskrevet i polygoner eller beskrevet rundt dem. Hva handler det om?

En innskrevet sirkel er en sirkel der alle sider av polygonet er tangenter. Beskrevet - den som har kontaktpunkter med alle hjørner. For hver trekant kan du alltid konstruere både den første og andre sirkelen, men bare en av hver type. Bevis på disse to

teoremer gis i skolegeometrikurset.

I tillegg til å beregne parametrene til selve trekantene, involverer noen problemer også å beregne radiene til disse sirklene. Og formler for
likesidet trekant ser slik ut:

der r er radiusen til den innskrevne sirkelen, R er radiusen til den omskrevne sirkelen, a er lengden på siden av trekanten.

Beregning av høyde, omkrets og areal

De grunnleggende parametrene som skolebarn beregner mens de studerer geometri forblir uendret for nesten hvilken som helst figur. Disse er omkrets, areal og høyde. For å forenkle beregninger finnes det ulike formler.

Så omkretsen, det vil si lengden på alle sider, beregnes på følgende måter:

P = 3a = 3√ ̅3R = 6√ ̅3r, der a er siden av en likesidet trekant, R er radiusen til den omskrevne sirkelen, r er den innskrevne sirkelen.

h = (√ ̅3/2)*a, der a er lengden på siden.

Til slutt er formelen avledet fra standarden, det vil si produktet av halve basen og dens høyde.

S = (√ ̅3/4)*a 2, hvor a er lengden på siden.

Denne verdien kan også beregnes gjennom parametrene til en omskrevet eller innskrevet sirkel. Det er også spesielle formler for dette:

S = 3√ ̅3r 2 = (3√ ̅3/4)*R 2, hvor r og R er radiene til henholdsvis de innskrevne og omskrevne sirklene.

Konstruksjon

En annen interessant type problem, inkludert trekanter, innebærer behovet for å tegne en bestemt figur ved hjelp av minimumssett

verktøy: kompass og linjal uten inndelinger.

For å bygge en vanlig trekant med bare disse enhetene, må du følge flere trinn.

1. Du må tegne en sirkel med hvilken som helst radius og med et senter i et vilkårlig punkt A. Den må merkes.
2. Deretter må du tegne en rett linje gjennom dette punktet.
3. Krysningene mellom en sirkel og en rett linje skal betegnes som B og C. Alle konstruksjoner skal utføres med størst mulig nøyaktighet.
4. Deretter må du bygge en annen sirkel med samme radius og sentrum i punktet C eller en bue med de riktige parameterne. Krysspunktene vil bli betegnet D og F.
5. Punktene B, F, D må være forbundet med segmenter. En likesidet trekant er konstruert.

Å løse slike problemer er vanligvis et problem for skolebarn, men denne ferdigheten kan være nyttig i hverdagen.

Videokurset "Få en A" inneholder alle emnene du trenger vellykket gjennomføring Unified State Examination i matematikk for 60-65 poeng. Fullstendig alle oppgavene 1-13 i Profile Unified State-eksamen i matematikk. Også egnet for å bestå Basic Unified State Examination i matematikk. Hvis du vil bestå Unified State-eksamenen med 90-100 poeng, må du løse del 1 på 30 minutter og uten feil!

Forberedelseskurs til Unified State Exam for klasse 10-11, samt for lærere. Alt du trenger for å løse del 1 av Unified State Exam i matematikk (de første 12 oppgavene) og oppgave 13 (trigonometri). Og dette er mer enn 70 poeng på Unified State Exam, og verken en 100-poengs student eller en humaniorastudent kan klare seg uten dem.

All nødvendig teori. Raske måter løsninger, fallgruver og hemmeligheter ved Unified State Exam. Alle gjeldende oppgaver i del 1 fra FIPI Task Bank er analysert. Kurset oppfyller fullt ut kravene til Unified State Exam 2018.

Kurset inneholder 5 store temaer, 2,5 timer hver. Hvert emne er gitt fra bunnen av, enkelt og tydelig.

Hundrevis av Unified State Exam-oppgaver. Ordproblemer og sannsynlighetsteori. Enkle og lett å huske algoritmer for å løse problemer. Geometri. Teori, referansemateriale, analyse av alle typer Unified State Examination oppgaver. Stereometri. Vanskelige løsninger, nyttige jukseark, utvikling av romlig fantasi. Trigonometri fra scratch til problem 13. Forståelse i stedet for propp. Tydelige forklaringer av komplekse begreper. Algebra. Røtter, potenser og logaritmer, funksjon og derivert. Grunnlag for løsning komplekse oppgaver 2 deler av Unified State-eksamenen.