Ligning av en sirkel med gitt radius. Likning av en sirkel

Omkrets er settet med punkter i planet like langt fra et gitt punkt kalt sentrum.

Hvis punktet C er sentrum av sirkelen, R er radiusen, og M er et vilkårlig punkt på sirkelen, så etter definisjonen av en sirkel

Likestilling (1) er ligningen til en sirkel radius R med sentrum i punktet C.

La et rektangulært kartesisk koordinatsystem (fig. 104) og et punkt C( EN; b) er sentrum av en sirkel med radius R. La M( X; på) er et vilkårlig punkt i denne sirkelen.

Siden |SM| = \(\sqrt((x - a)^2 + (y - b)^2) \), så kan ligning (1) skrives som følger:

\(\sqrt((x - a)^2 + (y - b)^2) \) = R

(x-a) 2 + (y - b) 2 = R 2 (2)

Ligning (2) kalles generell likning av en sirkel eller ligningen til en sirkel med radius R med sentrum i punktet ( EN; b). For eksempel ligningen

(x - l) 2 + ( y + 3) 2 = 25

er ligningen til en sirkel med radius R = 5 med sentrum i punktet (1; -3).

Hvis sentrum av sirkelen sammenfaller med opprinnelsen til koordinatene, tar ligning (2) formen

x 2 + på 2 = R2. (3)

Ligning (3) kalles kanonisk ligning av en sirkel .

Oppgave 1. Skriv ligningen til en sirkel med radius R = 7 med sentrum i origo.

Ved direkte å erstatte radiusverdien i ligning (3) får vi

x 2 + på 2 = 49.

Oppgave 2. Skriv ligningen til en sirkel med radius R = 9 med sentrum i punktet C(3; -6).

Ved å erstatte verdien av koordinatene til punkt C og verdien av radien i formel (2), får vi

(X - 3) 2 + (på- (-6)) 2 = 81 eller ( X - 3) 2 + (på + 6) 2 = 81.

Oppgave 3. Finn sentrum og radius av en sirkel

(X + 3) 2 + (på-5) 2 =100.

Sammenligner gitt ligning med den generelle ligningen for sirkelen (2), ser vi det EN = -3, b= 5, R = 10. Derfor, C(-3; 5), R = 10.

Oppgave 4. Bevis at ligningen

x 2 + på 2 + 4X - 2y - 4 = 0

er ligningen til en sirkel. Finn sentrum og radius.

La oss transformere venstre side av denne ligningen:

x 2 + 4X + 4- 4 + på 2 - 2på +1-1-4 = 0

(X + 2) 2 + (på - 1) 2 = 9.

Denne ligningen er ligningen til en sirkel sentrert ved (-2; 1); Sirkelens radius er 3.

Oppgave 5. Skriv ligningen til en sirkel med sentrum i punktet C(-1; -1) tangent til linjen AB, hvis A (2; -1), B(- 1; 3).

La oss skrive ligningen til linjen AB:

eller 4 X + 3y-5 = 0.

Siden en sirkel berører en gitt linje, er radiusen trukket til kontaktpunktet vinkelrett på denne linjen. For å finne radiusen må du finne avstanden fra punkt C(-1; -1) - sentrum av sirkelen til rett linje 4 X + 3y-5 = 0:

La oss skrive ligningen til ønsket sirkel

(x +1) 2 + (y +1) 2 = 144 / 25

La en sirkel gis i et rektangulært koordinatsystem x 2 + på 2 = R2. Tenk på dets vilkårlige punkt M( X; på) (Fig. 105).

La radiusvektoren OM> punktet M danner en størrelsesvinkel t med positiv retning av O-aksen X, så endres abscissen og ordinaten til punktet M avhengig av t

(0 t x og y gjennom t, Vi finner

x= Rcos t ; y= R synd t , 0 t

Ligninger (4) kalles parametriske ligninger av en sirkel med sentrum i origo.

Oppgave 6. Sirkelen er gitt av ligningene

x= \(\sqrt(3)\)cos t, y= \(\sqrt(3)\)sin t, 0 t

Skriv ned den kanoniske ligningen til denne sirkelen.

Det følger av betingelsen x 2 = 3 cos 2 t, på 2 = 3 synd 2 t. Legger vi disse likestillingene termin for termin, får vi

x 2 + på 2 = 3(cos 2 t+ synd 2 t)

eller x 2 + på 2 = 3

Ligning av en linje på et plan

La oss først introdusere konseptet med ligningen til en linje i et todimensjonalt koordinatsystem. La en vilkårlig linje $L$ konstrueres i det kartesiske koordinatsystemet (fig. 1).

Figur 1. Vilkårlig linje i koordinatsystemet

Definisjon 1

En ligning med to variabler $x$ og $y$ kalles en ligning av linjen $L$ hvis denne ligningen er tilfredsstilt av koordinatene til et hvilket som helst punkt som tilhører linjen $L$ og ikke tilfredsstilt av et punkt som ikke tilhører linjen $L .$

Likning av en sirkel

La oss utlede ligningen til en sirkel i det kartesiske koordinatsystemet $xOy$. La sentrum av sirkelen $C$ ha koordinater $(x_0,y_0)$, og radiusen til sirkelen være lik $r$. La punktet $M$ med koordinatene $(x,y)$ være et vilkårlig punkt i denne sirkelen (fig. 2).

Figur 2. Sirkel i kartesisk koordinatsystem

Avstanden fra sentrum av sirkelen til punktet $M$ beregnes som følger

Men siden $M$ ligger på sirkelen, får vi $CM=r$. Da får vi følgende

Ligning (1) er ligningen til en sirkel med sentrum i punktet $(x_0,y_0)$ og radius $r$.

Spesielt hvis sentrum av sirkelen sammenfaller med opprinnelsen. Den ligningen av en sirkel har formen

Ligning av en rett linje.

La oss utlede ligningen for den rette linjen $l$ i det kartesiske koordinatsystemet $xOy$. La punktene $A$ og $B$ ha koordinatene $\left\(x_1,\ y_1\right\)$ og $\(x_2,\ y_2\)$ henholdsvis, og punktene $A$ og $B$ er valgt slik at linjen $l$ er den vinkelrette halveringslinjen til segmentet $AB$. La oss velge et vilkårlig punkt $M=\(x,y\)$ som tilhører den rette linjen $l$ (fig. 3).

Siden linjen $l$ er den vinkelrette halveringslinjen til segmentet $AB$, så er punktet $M$ like langt fra endene av dette segmentet, det vil si $AM=BM$.

La oss finne lengdene på disse sidene ved å bruke formelen for avstanden mellom punktene:

Derfor

La oss betegne med $a=2\venstre(x_1-x_2\høyre),\ b=2\venstre(y_1-y_2\høyre),\ c=(x_2)^2+(y_2)^2-(x_1) ^2 -(y_1)^2$, Vi finner at ligningen til en rett linje i et kartesisk koordinatsystem har neste visning:

Et eksempel på et problem med å finne linjelikningene i et kartesisk koordinatsystem

Eksempel 1

Finn ligningen til en sirkel med sentrum i punktet $(2,\ 4)$. Passerer gjennom opprinnelsen til koordinatene og en rett linje parallelt med $Ox,$-aksen som går gjennom midten.

Løsning.

La oss først finne ligningen til denne sirkelen. For å gjøre dette vil vi bruke den generelle ligningen til en sirkel (avledet ovenfor). Siden sentrum av sirkelen ligger i punktet $(2,\ 4)$, får vi

\[((x-2))^2+((y-4))^2=r^2\]

La oss finne radiusen til sirkelen som avstanden fra punktet $(2,\ 4)$ til punktet $(0,0)$

Vi finner at ligningen til en sirkel har formen:

\[((x-2))^2+((y-4))^2=20\]

La oss nå finne ligningen til en sirkel ved hjelp av spesielt tilfelle 1. La oss få

Hensikten med leksjonen: introduser likningen til en sirkel, lær elevene å komponere en likning av en sirkel ved hjelp av en ferdig tegning, og konstruer en sirkel ved hjelp av en gitt likning.

Utstyr: interaktiv tavle.

Timeplan:

1. Organisatorisk øyeblikk – 3 min.
2. Gjentakelse. Organisering av mental aktivitet – 7 min.
3. Forklaring av nytt materiale. Utledning av sirkellikningen – 10 min.
4. Konsolidering av studert materiale – 20 min.
5. Leksjonssammendrag – 5 min.

I løpet av timene

2. Gjentakelse:

− (Vedlegg 1 Lysbilde 2) skriv ned formelen for å finne koordinatene til midten av et segment;

− (lysbilde 3) Z Skriv formelen for avstanden mellom punktene (lengden på segmentet).

3. Forklaring av nytt materiale.

(lysbilde 4 – 6) Definer ligningen til en sirkel. Utled likninger av en sirkel med sentrum i punktet ( EN;b) og sentrert ved origo.

(X – EN ) 2 + (på – b ) 2 = R 2 – ligning av en sirkel med sentrum MED (EN;b) , radius R , X Og på – koordinater til et vilkårlig punkt på sirkelen .

X 2 + y 2 = R 2 – ligning av en sirkel med sentrum i origo.

(lysbilde 7)

For å lage ligningen til en sirkel, må du:

• kjenne koordinatene til sentrum;
• kjenne lengden på radiusen;
• Bytt inn koordinatene til sentrum og lengden på radiusen i sirkelens ligning.

4. Problemløsning.

I oppgave nr. 1 – nr. 6, komponer likninger av en sirkel ved hjelp av ferdige tegninger.

(lysbilde 14)

№ 7. Fyll ut tabellen.

(lysbilde 15)

№ 8. Konstruer sirkler i notatboken gitt av ligningene:

A) ( X – 5) 2 + (på + 3) 2 = 36;
b) (X + 1) 2 + (på– 7) 2 = 7 2 .

(lysbilde 16)

№ 9. Finn koordinatene til sentrum og lengden på radiusen if AB– diameter på sirkelen.

Gitt:		Løsning:
		R	Sentrumskoordinater
1	EN(0 ; -6) I(0 ; 2)	AB 2 = (0 – 0) 2 + (2 + 6) 2 ; AB 2 = 64; AB = 8 .	EN(0; -6) I(0 ; 2) MED(0 ; – 2) – senter
2	EN(-2 ; 0) I(4 ; 0)	AB 2 = (4 + 2) 2 + (0 + 0) 2 ; AB 2 = 36; AB = 6.	EN (-2;0) I (4 ;0) MED(1 ; 0) – senter

(lysbilde 17)

№ 10. Skriv en ligning for en sirkel med sentrum ved origo og som går gjennom punktet TIL(-12;5).

Løsning.

R 2 = OK 2 = (0 + 12) 2 + (0 – 5) 2 = 144 + 25 = 169;
R= 13;

Likning av en sirkel: x 2 + y 2 = 169 .

(lysbilde 18)

№ 11. Skriv en ligning for en sirkel som går gjennom origo og sentrert ved MED(3; - 1).

Løsning.

R2= OS 2 = (3 – 0) 2 + (–1–0) 2 = 9 + 1 = 10;

Likning av en sirkel: ( X - 3) 2 + (y + 1) 2 = 10.

(lysbilde 19)

№ 12. Skriv en ligning for en sirkel med sentrum EN(3;2), passerer gjennom I(7;5).

Løsning.

1. Sentrum av sirkelen – EN(3;2);
2.R = AB;
AB 2 = (7 – 3) 2 + (5 – 2) 2 = 25; AB = 5;
3. Likning av en sirkel ( X – 3) 2 + (på − 2) 2 = 25.

(lysbilde 20)

№ 13. Sjekk om poengene ligger EN(1; -1), I(0;8), MED(-3; -1) på sirkelen definert av ligningen ( X + 3) 2 + (på − 4) 2 = 25.

Løsning.

Jeg. La oss erstatte koordinatene til punktet EN(1; -1) inn i ligningen til en sirkel:

(1 + 3) 2 + (−1 − 4) 2 = 25;
4 2 + (−5) 2 = 25;
16 + 25 = 25;
41 = 25 – likheten er falsk, som betyr EN(1; -1) lyver ikke på sirkelen gitt av ligningen ( X + 3) 2 + (på − 4) 2 = 25.

II. La oss erstatte koordinatene til punktet I(0;8) inn i ligningen til en sirkel:

(0 + 3) 2 + (8 − 4) 2 = 25;
3 2 + 4 2 = 25;
9 + 16 = 25;
I(0;8)ligger X + 3) 2 + (på − 4) 2 = 25.

III. La oss erstatte koordinatene til punktet MED(-3; -1) inn i ligningen til en sirkel:

(−3 + 3) 2 + (−1− 4) 2 = 25;
0 2 + (−5) 2 = 25;
25 = 25 – likheten er sann, som betyr MED(-3; -1) ligger på sirkelen gitt av ligningen ( X + 3) 2 + (på − 4) 2 = 25.

Leksjonssammendrag.

1. Gjenta: likning av en sirkel, likning av en sirkel med sentrum i origo.
2. (lysbilde 21) Hjemmelekser.