Kalkulatoren beregner de deriverte av alle elementære funksjoner, og gir en detaljert løsning. Differensieringsvariabelen bestemmes automatisk.

Derivert av en funksjon- et av de viktigste begrepene i matematisk analyse. Fremveksten av den deriverte ble ført til slike problemer som for eksempel å beregne den øyeblikkelige hastigheten til et punkt på et tidspunkt, hvis banen avhengig av tid er kjent, problemet med å finne tangenten til en funksjon i et punkt.

Oftest er den deriverte av en funksjon definert som grensen for forholdet mellom økningen av funksjonen og økningen av argumentet, hvis det eksisterer.

Definisjon. La funksjonen være definert i et eller annet område av punktet. Da kalles den deriverte av funksjonen i et punkt grensen, hvis den eksisterer

Hvordan beregne den deriverte av en funksjon?

For å lære å differensiere funksjoner, må du lære og forstå differensieringsregler og lære å bruke tabell over derivater.

Regler for differensiering

La og være vilkårlige differensierbare funksjoner av en reell variabel og være en reell konstant. Deretter

— regel for å differensiere produktet av funksjoner

— regel for differensiering av kvotientfunksjoner

0" height="33" width="370" style="vertical-align: -12px;"> — differensiering av en funksjon med en variabel eksponent

— regel for å differensiere en kompleks funksjon

— regel for å differensiere en potensfunksjon

Avledet av en funksjon på nett

Vår kalkulator vil raskt og nøyaktig beregne den deriverte av enhver funksjon på nettet. Programmet vil ikke gjøre feil når du beregner den deriverte og vil hjelpe deg å unngå lange og kjedelige beregninger. En nettbasert kalkulator vil også være nyttig i tilfeller der det er behov for å sjekke om løsningen din er riktig, og hvis den er feil raskt finne en feil.

Å bestemme den deriverte av en funksjon er den inverse operasjonen av å integrere en funksjon. For elementære funksjoner er det ikke vanskelig å beregne den deriverte; bare bruk tabellen med deriverte. Hvis vi trenger finne den deriverte fra en kompleks funksjon, vil differensiering være mye vanskeligere og vil kreve mer omsorg og tid. Samtidig er det veldig lett å gjøre en skrivefeil eller en mindre feil som vil føre til et endelig feil svar. Derfor er det alltid viktig å kunne sjekke avgjørelsen din. Du kan gjøre dette ved å bruke denne online kalkulatoren, som lar deg finne derivater av alle funksjoner online med en detaljert løsning gratis, uten å registrere deg på nettstedet. Å finne den deriverte av en funksjon (differensiering) er forholdet mellom økningen av funksjonen og økningen av argumentet (numerisk er den deriverte lik tangenten til tangenten til grafen til funksjonen). Hvis du trenger å beregne den deriverte av en funksjon på et bestemt punkt, trenger du det mottatte svaret i stedet for et argument x erstatte dens numeriske verdi og beregne uttrykket. På online derivatløsning du må angi funksjonen i det aktuelle feltet: argumentet må være en variabel x, siden differensiering skjer nøyaktig langs den. For å beregne den andre deriverte, må du skille det resulterende svaret.

Dato: 20.11.2014

Hva er et derivat?

Tabell over derivater.

Derivativ er et av hovedbegrepene i høyere matematikk. I denne leksjonen vil vi introdusere dette konseptet. La oss bli kjent med hverandre, uten strenge matematiske formuleringer og bevis.

Dette bekjentskapet vil tillate deg å:

Forstå essensen av enkle oppgaver med derivater;

Løs disse enkleste oppgavene på en vellykket måte;

Forbered deg på mer seriøse leksjoner om derivater.

Først - en hyggelig overraskelse.)

Den strenge definisjonen av derivatet er basert på teorien om grenser, og saken er ganske komplisert. Dette er opprørende. Men den praktiske anvendelsen av derivater krever som regel ikke så omfattende og dyp kunnskap!

For å lykkes med de fleste oppgaver på skole og universitet, er det nok å vite bare noen få termer- å forstå oppgaven, og bare noen få regler- for å løse det. Det er alt. Dette gjør meg glad.

La oss begynne å bli kjent?)

Vilkår og betegnelser.

Det er mange forskjellige matematiske operasjoner i elementær matematikk. Addisjon, subtraksjon, multiplikasjon, eksponentiering, logaritme, etc. Hvis du legger til én operasjon til disse operasjonene, blir elementær matematikk høyere. Denne nye operasjonen kalles differensiering. Definisjonen og betydningen av denne operasjonen vil bli diskutert i separate leksjoner.

Det er viktig å forstå her at differensiering ganske enkelt er en matematisk operasjon på en funksjon. Vi tar hvilken som helst funksjon og transformerer den i henhold til visse regler. Resultatet blir en ny funksjon. Denne nye funksjonen heter: derivat.

Differensiering- handling på en funksjon.

Derivat- resultatet av denne handlingen.

Akkurat som for eksempel sum- resultatet av tillegg. Eller privat- resultatet av divisjon.

Når du kjenner begrepene, kan du i det minste forstå oppgavene.) Formuleringene er som følger: finne den deriverte av en funksjon; ta den deriverte; differensiere funksjonen; beregne derivat og så videre. Dette er alt samme. Selvfølgelig er det også mer komplekse oppgaver, hvor det å finne den deriverte (differensiering) bare vil være ett av trinnene for å løse problemet.

Den deriverte er indikert med en strek øverst til høyre i funksjonen. Som dette: y" eller f"(x) eller S"(t) og så videre.

Lesning igrek slag, ef slag fra x, es slag fra te, vel, du skjønner...)

Et primtall kan også indikere den deriverte av en bestemt funksjon, for eksempel: (2x+3)", (x 3 )" , (sinx)" etc. Ofte er derivater betegnet ved hjelp av differensialer, men vi vil ikke vurdere slik notasjon i denne leksjonen.

La oss anta at vi har lært å forstå oppgavene. Alt som gjenstår er å lære hvordan du løser dem.) La meg minne deg på igjen: Å finne den deriverte er transformasjon av en funksjon i henhold til visse regler. Overraskende nok er det svært få av disse reglene.

For å finne den deriverte av en funksjon trenger du bare å vite tre ting. Tre søyler som all differensiering står på. Her er disse tre pilarene:

1. Tabell over derivater (differensieringsformler).

3. Derivert av en kompleks funksjon.

La oss starte i rekkefølge. I denne leksjonen skal vi se på tabellen over derivater.

Tabell over derivater.

Det er et uendelig antall funksjoner i verden. Blant dette settet er det funksjoner som er viktigst for praktisk bruk. Disse funksjonene finnes i alle naturlover. Fra disse funksjonene, som fra murstein, kan du konstruere alle de andre. Denne klassen av funksjoner kalles elementære funksjoner. Det er disse funksjonene som studeres på skolen - lineær, kvadratisk, hyperbel, etc.

Differensiering av funksjoner "fra bunnen av", dvs. Basert på definisjonen av derivat og teorien om grenser, er dette en ganske arbeidskrevende ting. Og matematikere er mennesker også, ja, ja!) Så de forenklet livet deres (og oss). De beregnet de deriverte av elementære funksjoner før oss. Resultatet er en tabell med derivater, hvor alt er klart.)

Her er den, denne platen for de mest populære funksjonene. Til venstre er en elementær funksjon, til høyre er dens deriverte.

	Funksjon y	Avledet av funksjon y y"
1	C (konstant verdi)	C" = 0
2	x	x" = 1
3	x n (n - et hvilket som helst tall)	(x n)" = nx n-1
	x 2 (n = 2)	(x 2)" = 2x
4	synd x	(sin x)" = cosx
	fordi x	(cos x)" = - sin x
	tg x
	ctg x
5	arcsin x
	arccos x
	arctan x
	arcctg x
4	en x
	e x
5	Logg en x
	ln x ( a = e)

Jeg anbefaler å ta hensyn til den tredje gruppen av funksjoner i denne tabellen over derivater. Den deriverte av en potensfunksjon er en av de vanligste formlene, om ikke den vanligste! Får du hintet?) Ja, det er lurt å kunne tabellen over derivater utenat. Forresten, dette er ikke så vanskelig som det kan virke. Prøv å løse flere eksempler, selve tabellen vil bli husket!)

Å finne tabellverdien til derivatet, som du forstår, er ikke den vanskeligste oppgaven. Derfor er det veldig ofte i slike oppgaver ekstra sjetonger. Enten i ordlyden av oppgaven, eller i den opprinnelige funksjonen, som ikke ser ut til å være i tabellen...

La oss se på noen eksempler:

1. Finn den deriverte av funksjonen y = x 3

Det er ingen slik funksjon i tabellen. Men det er en derivert av en potensfunksjon i generell form (tredje gruppe). I vårt tilfelle er n=3. Så vi erstatter tre i stedet for n og skriver nøye ned resultatet:

(x 3) " = 3 x 3-1 = 3x 2

Det er det.

Svar: y" = 3x 2

2. Finn verdien av den deriverte av funksjonen y = sinx i punktet x = 0.

Denne oppgaven betyr at du først må finne den deriverte av sinusen, og deretter erstatte verdien x = 0 inn i denne avledet. Akkurat i den rekkefølgen! Ellers hender det at de umiddelbart erstatter null i den opprinnelige funksjonen... Vi blir bedt om å finne ikke verdien til den opprinnelige funksjonen, men verdien dens derivat. Den deriverte, la meg minne deg på, er en ny funksjon.

Ved hjelp av nettbrettet finner vi sinus og den tilsvarende deriverte:

y" = (sin x)" = cosx

Vi erstatter null i den deriverte:

y"(0) = cos 0 = 1

Dette vil være svaret.

3. Differensieer funksjonen:

Hva, inspirerer det?) Det er ingen slik funksjon i tabellen over derivater.

La meg minne deg på at å differensiere en funksjon er ganske enkelt å finne den deriverte av denne funksjonen. Hvis du glemmer elementær trigonometri, er det ganske plagsomt å lete etter den deriverte av funksjonen vår. Bordet hjelper ikke...

Men hvis vi ser at vår funksjon er dobbel vinkel cosinus, da blir alt bedre med en gang!

Ja Ja! Husk å transformere den opprinnelige funksjonen før differensiering ganske akseptabelt! Og det skjer for å gjøre livet mye enklere. Bruk av dobbel vinkel cosinusformelen:

De. vår vanskelige funksjon er ikke annet enn y = cosx. Og dette er en tabellfunksjon. Vi får umiddelbart:

Svar: y" = - sin x.

Eksempel for videregående kandidater og studenter:

4. Finn den deriverte av funksjonen:

Det er ingen slik funksjon i derivattabellen, selvfølgelig. Men hvis du husker elementær matematikk, operasjoner med potenser... Da er det fullt mulig å forenkle denne funksjonen. Som dette:

Og x i potens av en tiendedel er allerede en tabellfunksjon! Tredje gruppe, n=1/10. Vi skriver direkte i henhold til formelen:

Det er alt. Dette vil være svaret.

Jeg håper at alt er klart med den første søylen for differensiering - tabellen over derivater. Det gjenstår å håndtere de to gjenværende hvalene. I neste leksjon skal vi lære reglene for differensiering.

Operasjonen med å finne den deriverte kalles differensiering.

Som et resultat av å løse problemer med å finne deriverte av de enkleste (og ikke veldig enkle) funksjonene ved å definere den deriverte som grensen for forholdet mellom økningen og økningen av argumentet, dukket det opp en tabell med deriverte og nøyaktig definerte regler for differensiering . De første som arbeidet med å finne derivater var Isaac Newton (1643-1727) og Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).

Derfor, i vår tid, for å finne den deriverte av en funksjon, trenger du ikke å beregne den ovennevnte grensen for forholdet mellom økningen av funksjonen og økningen av argumentet, men du trenger bare å bruke tabellen med derivater og differensieringsreglene. Følgende algoritme er egnet for å finne den deriverte.

For å finne den deriverte, trenger du et uttrykk under primtegnet bryte ned enkle funksjoner i komponenter og bestemme hvilke handlinger (produkt, sum, kvotient) disse funksjonene er relatert. Deretter finner vi derivatene av elementære funksjoner i tabellen over derivater, og formlene for derivatene til produktet, sum og kvotient - i differensieringsreglene. Den deriverte tabellen og differensieringsreglene er gitt etter de to første eksemplene.

Eksempel 1. Finn den deriverte av en funksjon

Løsning. Fra differensieringsreglene finner vi ut at den deriverte av en sum av funksjoner er summen av deriverte av funksjoner, dvs.

Fra tabellen over deriverte finner vi ut at den deriverte av "x" er lik en, og den deriverte av sinus er lik cosinus. Vi erstatter disse verdiene i summen av deriverte og finner den deriverte som kreves av tilstanden til problemet:

Eksempel 2. Finn den deriverte av en funksjon

Løsning. Vi differensierer som en derivert av en sum der det andre leddet har en konstant faktor; det kan tas ut av tegnet til den deriverte:

Hvis det likevel dukker opp spørsmål om hvor noe kommer fra, blir de vanligvis ryddet opp etter å ha satt seg inn i tabellen over derivater og de enkleste differensieringsreglene. Vi går videre til dem akkurat nå.

Tabell over deriverte av enkle funksjoner

1. Derivert av en konstant (tall). Et hvilket som helst tall (1, 2, 5, 200...) som er i funksjonsuttrykket. Alltid lik null. Dette er veldig viktig å huske, da det kreves veldig ofte
2. Derivert av den uavhengige variabelen. Oftest "X". Alltid lik en. Dette er også viktig å huske lenge
3. Avledet av grad. Når du løser problemer, må du konvertere ikke-kvadratrøtter til potenser.
4. Derivert av en variabel i potensen -1
5. Avledet av kvadratrot
6. Derivert av sinus
7. Derivat av cosinus
8. Derivert av tangent
9. Derivat av cotangens
10. Derivat av arcsine
11. Derivat av arccosine
12. Derivat av arctangens
13. Derivat av lysbue cotangens
14. Derivert av den naturlige logaritmen
15. Derivert av en logaritmisk funksjon
16. Derivert av eksponenten
17. Derivert av en eksponentiell funksjon

Regler for differensiering

1. Derivert av en sum eller differanse
2. Derivat av produktet
2a. Derivert av et uttrykk multiplisert med en konstant faktor
3. Derivat av kvotienten
4. Derivat av en kompleks funksjon

Regel 1.Hvis funksjonene

er differensierbare på et tidspunkt, så er funksjonene differensierbare på samme punkt

og

de. den deriverte av en algebraisk sum av funksjoner er lik den algebraiske summen av de deriverte av disse funksjonene.

Konsekvens. Hvis to differensierbare funksjoner er forskjellige med et konstant ledd, er deres deriverte like, dvs.

Regel 2.Hvis funksjonene

er differensierbare på et tidspunkt, så er produktet deres differensierbart på samme punkt

og

de. Den deriverte av produktet av to funksjoner er lik summen av produktene til hver av disse funksjonene og den deriverte av den andre.

Konsekvens 1. Konstantfaktoren kan tas ut av tegnet til den deriverte:

Konsekvens 2. Den deriverte av produktet av flere differensierbare funksjoner er lik summen av produktene av den deriverte av hver faktor og alle de andre.

For eksempel for tre multiplikatorer:

Regel 3.Hvis funksjonene

differensierbar på et tidspunkt Og , så på dette punktet er kvotienten deres også differensierbaru/v , og

de. den deriverte av kvotienten av to funksjoner er lik en brøk, hvis teller er forskjellen mellom produktene av nevneren og den deriverte av telleren og telleren og den deriverte av nevneren, og nevneren er kvadratet av den tidligere telleren.

Hvor du kan se etter ting på andre sider

Når man finner derivatet til et produkt og en kvotient i reelle problemer, er det alltid nødvendig å bruke flere differensieringsregler samtidig, så det er flere eksempler på disse derivatene i artikkelen"Derivat av produktet og kvotient av funksjoner".

Kommentar. Du bør ikke forveksle en konstant (det vil si et tall) som et ledd i en sum og som en konstant faktor! Når det gjelder et ledd, er dets deriverte lik null, og når det gjelder en konstant faktor, er det tatt ut av tegnet til de deriverte. Dette er en typisk feil som oppstår i den innledende fasen av å studere derivater, men ettersom gjennomsnittsstudenten løser flere en- og todelte eksempler, gjør han ikke lenger denne feilen.

Og hvis du, når du differensierer et produkt eller kvotient, har et begrep u"v, hvori u- et tall, for eksempel 2 eller 5, det vil si en konstant, så vil den deriverte av dette tallet være lik null, og derfor vil hele leddet være lik null (dette tilfellet er diskutert i eksempel 10).

En annen vanlig feil er å mekanisk løse den deriverte av en kompleks funksjon som den deriverte av en enkel funksjon. Derfor avledet av en kompleks funksjon en egen artikkel er viet. Men først skal vi lære å finne deriverte av enkle funksjoner.

Underveis kan du ikke gjøre uten å transformere uttrykk. For å gjøre dette må du kanskje åpne manualen i nye vinduer. Handlinger med krefter og røtter Og Operasjoner med brøker .

Hvis du leter etter løsninger på deriverte av brøker med potenser og røtter, det vil si når funksjonen ser ut som , følg deretter leksjonen "Derivert av summer av brøker med potenser og røtter."

Hvis du har en oppgave som , så vil du ta leksjonen "Derivater av enkle trigonometriske funksjoner".

Steg-for-trinn eksempler - hvordan finne den deriverte

Eksempel 3. Finn den deriverte av en funksjon

Løsning. Vi definerer delene av funksjonsuttrykket: hele uttrykket representerer et produkt, og dets faktorer er summer, i det andre inneholder ett av leddene en konstant faktor. Vi bruker produktdifferensieringsregelen: den deriverte av produktet av to funksjoner er lik summen av produktene til hver av disse funksjonene med den deriverte av den andre:

Deretter bruker vi regelen for differensiering av summen: den deriverte av den algebraiske summen av funksjoner er lik den algebraiske summen av de deriverte av disse funksjonene. I vårt tilfelle har det andre leddet et minustegn i hver sum. I hver sum ser vi både en uavhengig variabel, hvis deriverte er lik én, og en konstant (tall), hvis deriverte er lik null. Så, "X" blir til en, og minus 5 blir til null. I det andre uttrykket multipliseres "x" med 2, så vi multipliserer to med samme enhet som den deriverte av "x". Vi får følgende avledede verdier:

Vi erstatter de funnet deriverte i summen av produkter og får den deriverte av hele funksjonen som kreves av tilstanden til problemet:

Og du kan sjekke løsningen på derivatproblemet på.

Eksempel 4. Finn den deriverte av en funksjon

Løsning. Vi er pålagt å finne den deriverte av kvotienten. Vi bruker formelen for å differensiere kvotienten: den deriverte av kvotienten til to funksjoner er lik en brøk, hvis teller er forskjellen mellom produktene til nevneren og den deriverte av telleren og telleren og den deriverte av nevneren, og nevneren er kvadratet til den tidligere telleren. Vi får:

Vi har allerede funnet den deriverte av faktorene i telleren i eksempel 2. La oss heller ikke glemme at produktet, som er den andre faktoren i telleren i gjeldende eksempel, er tatt med et minustegn:

Hvis du leter etter løsninger på problemer der du trenger å finne den deriverte av en funksjon, hvor det er en kontinuerlig haug med røtter og potenser, som f.eks. , så velkommen til timen "Derivat av summer av brøker med potenser og røtter" .

Hvis du trenger å lære mer om deriverte av sinus, cosinus, tangenter og andre trigonometriske funksjoner, det vil si når funksjonen ser ut som , så en leksjon for deg "Derivater av enkle trigonometriske funksjoner" .

Eksempel 5. Finn den deriverte av en funksjon

Løsning. I denne funksjonen ser vi et produkt, hvor en av faktorene er kvadratroten av den uavhengige variabelen, den deriverte vi gjorde oss kjent med i tabellen over deriverte. Ved å bruke regelen for å skille produktet og tabellverdien til den deriverte av kvadratroten, får vi:

Du kan sjekke løsningen på derivatproblemet på online derivatkalkulator .

Eksempel 6. Finn den deriverte av en funksjon

Løsning. I denne funksjonen ser vi en kvotient hvis utbytte er kvadratroten av den uavhengige variabelen. Ved å bruke regelen for differensiering av kvotienter, som vi gjentok og brukte i eksempel 4, og den tabulerte verdien av den deriverte av kvadratroten, får vi:

For å bli kvitt en brøk i telleren, multipliser telleren og nevneren med .

Veldig lett å huske.

Vel, la oss ikke gå langt, la oss umiddelbart vurdere den inverse funksjonen. Hvilken funksjon er inversen til eksponentialfunksjonen? Logaritme:

I vårt tilfelle er basen tallet:

En slik logaritme (det vil si en logaritme med en base) kalles "naturlig", og vi bruker en spesiell notasjon for den: vi skriver i stedet.

Hva er det lik? Selvfølgelig, .

Den deriverte av den naturlige logaritmen er også veldig enkel:

Eksempler:

1. Finn den deriverte av funksjonen.
2. Hva er den deriverte av funksjonen?

Svar: Den eksponentielle og naturlige logaritmen er unikt enkle funksjoner fra et derivert perspektiv. Eksponentielle og logaritmiske funksjoner med en hvilken som helst annen base vil ha en annen derivert, som vi vil analysere senere, etter at vi har gått gjennom reglene for differensiering.

Regler for differensiering

Regler for hva? Igjen en ny periode, igjen?!...

Differensiering er prosessen med å finne den deriverte.

Det er alt. Hva annet kan du kalle denne prosessen med ett ord? Ikke derivert... Matematikere kaller differensialet det samme inkrementet til en funksjon ved. Dette begrepet kommer fra det latinske differentia - forskjell. Her.

Når vi utleder alle disse reglene, vil vi bruke to funksjoner, for eksempel og. Vi trenger også formler for trinnene deres:

Det er 5 regler totalt.

Konstanten tas ut av det deriverte tegnet.

Hvis - et konstant tall (konstant), da.

Selvfølgelig fungerer denne regelen også for forskjellen: .

La oss bevise det. La det være, eller enklere.

Eksempler.

Finn de deriverte av funksjonene:

1. på et punkt;
2. på et punkt;
3. på et punkt;
4. på punktet.

Løsninger:

1. (den deriverte er den samme på alle punkter, siden det er en lineær funksjon, husker du?);

Derivat av produktet

Alt er likt her: la oss introdusere en ny funksjon og finne dens økning:

Derivat:

Eksempler:

1. Finn de deriverte av funksjonene og;
2. Finn den deriverte av funksjonen i et punkt.

Løsninger:

Derivert av en eksponentiell funksjon

Nå er kunnskapen din nok til å lære hvordan du finner den deriverte av en hvilken som helst eksponentiell funksjon, og ikke bare eksponenter (har du glemt hva det er ennå?).

Så, hvor er et tall.

Vi kjenner allerede den deriverte av funksjonen, så la oss prøve å redusere funksjonen vår til en ny base:

For å gjøre dette bruker vi en enkel regel: . Deretter:

Vel, det fungerte. Prøv nå å finne den deriverte, og ikke glem at denne funksjonen er kompleks.

Skjedd?

Her, sjekk deg selv:

Formelen viste seg å være veldig lik den deriverte av en eksponent: som den var, forblir den den samme, bare en faktor dukket opp, som bare er et tall, men ikke en variabel.

Eksempler:
Finn de deriverte av funksjonene:

Svar:

Dette er bare et tall som ikke kan beregnes uten kalkulator, det vil si at det ikke kan skrives ned på en enklere form. Derfor lar vi det stå i denne formen i svaret.

Merk at her er kvotienten av to funksjoner, så vi bruker den tilsvarende differensieringsregelen:

I dette eksemplet er produktet av to funksjoner:

Derivert av en logaritmisk funksjon

Det er likt her: du kjenner allerede den deriverte av den naturlige logaritmen:

Derfor, for å finne en vilkårlig logaritme med en annen base, for eksempel:

Vi må redusere denne logaritmen til basen. Hvordan endrer du basen til en logaritme? Jeg håper du husker denne formelen:

Først nå vil vi skrive i stedet:

Nevneren er ganske enkelt en konstant (et konstant tall, uten en variabel). Deriverten oppnås veldig enkelt:

Derivater av eksponentielle og logaritmiske funksjoner finnes nesten aldri i Unified State Examination, men det vil ikke være overflødig å kjenne dem.

Derivat av en kompleks funksjon.

Hva er en "kompleks funksjon"? Nei, dette er ikke en logaritme, og ikke en arctangent. Disse funksjonene kan være vanskelige å forstå (selv om du synes logaritmen er vanskelig, les emnet "Logarithms" så går det bra), men fra et matematisk synspunkt betyr ikke ordet "kompleks" "vanskelig".

Se for deg et lite transportbånd: to personer sitter og gjør noen handlinger med noen gjenstander. For eksempel pakker den første en sjokoladeplate inn i en innpakning, og den andre binder den med et bånd. Resultatet er en sammensatt gjenstand: en sjokoladeplate pakket inn og bundet med et bånd. For å spise en sjokoladeplate, må du gjøre de omvendte trinnene i motsatt rekkefølge.

La oss lage en lignende matematisk rørledning: først vil vi finne cosinus til et tall, og deretter kvadrere det resulterende tallet. Så vi får et tall (sjokolade), jeg finner dens cosinus (omslag), og deretter firer du det jeg har (bind det med et bånd). Hva skjedde? Funksjon. Dette er et eksempel på en kompleks funksjon: når vi, for å finne verdien, utfører den første handlingen direkte med variabelen, og deretter en andre handling med det som ble resultatet av den første.

Med andre ord, en kompleks funksjon er en funksjon hvis argument er en annen funksjon: .

For vårt eksempel, .

Vi kan enkelt gjøre de samme trinnene i omvendt rekkefølge: først kvadrerer du det, og så ser jeg etter cosinus til det resulterende tallet: . Det er lett å gjette at resultatet nesten alltid vil være annerledes. Et viktig trekk ved komplekse funksjoner: når rekkefølgen av handlinger endres, endres funksjonen.

Andre eksempel: (samme). .

Handlingen vi gjør sist vil bli kalt "ekstern" funksjon, og handlingen utført først - tilsvarende "intern" funksjon(dette er uformelle navn, jeg bruker dem kun for å forklare stoffet på et enkelt språk).

Prøv selv å finne ut hvilken funksjon som er ekstern og hvilken intern:

Svar:Å skille indre og ytre funksjoner er veldig likt å endre variabler: for eksempel i en funksjon

1. Hvilken handling vil vi utføre først? La oss først beregne sinusen, og først deretter kube den. Dette betyr at det er en intern funksjon, men en ekstern.
   Og den opprinnelige funksjonen er deres sammensetning: .
2. Internt: ; ekstern: .
   Eksamen:.
3. Internt: ; ekstern: .
   Eksamen:.
4. Internt: ; ekstern: .
   Eksamen:.
5. Internt: ; ekstern: .
   Eksamen:.

Vi endrer variabler og får en funksjon.

Vel, nå skal vi trekke ut sjokoladeplaten vår og se etter derivatet. Prosedyren er alltid omvendt: først ser vi etter den deriverte av den ytre funksjonen, deretter multipliserer vi resultatet med den deriverte av den indre funksjonen. I forhold til det originale eksemplet ser det slik ut:

Et annet eksempel:

Så la oss til slutt formulere den offisielle regelen:

Algoritme for å finne den deriverte av en kompleks funksjon:

Det virker enkelt, ikke sant?

La oss sjekke med eksempler:

Løsninger:

1) Internt: ;

Ekstern: ;

2) Internt: ;

(Bare ikke prøv å kutte det nå! Ingenting kommer ut under kosinus, husker du?)

3) Internt: ;

Ekstern: ;

Det er umiddelbart klart at dette er en kompleks funksjon på tre nivåer: tross alt er dette allerede en kompleks funksjon i seg selv, og vi trekker også ut roten fra den, det vil si at vi utfører den tredje handlingen (legg sjokoladen i en innpakning). og med et bånd i kofferten). Men det er ingen grunn til å være redd: vi vil fortsatt "pakke ut" denne funksjonen i samme rekkefølge som vanlig: fra slutten.

Det vil si at vi først differensierer roten, deretter cosinus, og først deretter uttrykket i parentes. Og så multipliserer vi det hele.

I slike tilfeller er det praktisk å nummerere handlingene. Det vil si, la oss forestille oss hva vi vet. I hvilken rekkefølge vil vi utføre handlinger for å beregne verdien av dette uttrykket? La oss se på et eksempel:

Jo senere handlingen utføres, jo mer "ekstern" vil den tilsvarende funksjonen være. Rekkefølgen av handlinger er den samme som før:

Her er hekkingen generelt 4-nivå. La oss bestemme handlingsforløpet.

1. Radikalt uttrykk. .

2. Rot. .

3. Sinus. .

4. Firkantet. .

5. Sette det hele sammen:

DERIVAT. KORT OM HOVEDTINGENE

Derivert av en funksjon- forholdet mellom økningen av funksjonen og økningen av argumentet for en uendelig inkrement av argumentet:

Grunnleggende derivater:

Regler for differensiering:

Konstanten tas ut av det deriverte tegnet:

Avledet av summen:

Avledet av produktet:

Derivat av kvotienten:

Derivert av en kompleks funksjon:

Algoritme for å finne den deriverte av en kompleks funksjon:

1. Vi definerer den "interne" funksjonen og finner dens deriverte.
2. Vi definerer den "eksterne" funksjonen og finner dens deriverte.
3. Vi multipliserer resultatene av det første og andre punktet.