For å finne ut om en gitt figur er et parallellogram, er det en rekke tegn. La oss se på de tre hovedtrekkene til et parallellogram.
1 parallellogramtegn
Hvis to sider av en firkant er like og parallelle, vil denne firkanten være et parallellogram.
Bevis:
Tenk på firkanten ABCD. La sidene AB og CD være parallelle. Og la AB=CD. La oss tegne den diagonale BD i den. Den vil dele denne firkanten i to like trekanter: ABD og CBD.
Disse trekantene er like hverandre langs to sider og vinkelen mellom dem (BD er fellessiden, AB = CD etter betingelse, vinkel1 = vinkel2 som kryssvinkler med den tverrgående BD av parallelle linjer AB og CD.), og derfor vinkel3 = vinkel4.
Og disse vinklene vil ligge på kryss og tvers når linjene BC og AD skjærer sekanten BD. Det følger av dette at BC og AD er parallelle med hverandre. Vi har det i firkanten ABCD motsatte sider er parvis parallelle, og derfor er firkant ABCD et parallellogram.
Parallelogram tegn 2
Hvis de motsatte sidene i en firkant er like parvis, vil denne firkanten være et parallellogram.
Bevis:
Tenk på firkanten ABCD. La oss tegne den diagonale BD i den. Den vil dele denne firkanten i to like trekanter: ABD og CBD.
Disse to trekantene vil være like hverandre på tre sider (BD er fellessiden, AB = CD og BC = AD etter betingelse). Fra dette kan vi konkludere med at vinkel1 = vinkel2. Det følger at AB er parallell med CD. Og siden AB = CD og AB er parallelle med CD, vil firkanten ABCD ifølge det første kriteriet til et parallellogram være et parallellogram.
3 parallellogram tegn
Hvis diagonalene til en firkant skjærer og halveres av skjæringspunktet, vil denne firkanten være et parallellogram.
Tenk på firkanten ABCD. La oss tegne to diagonaler AC og BD i den, som vil skjære hverandre i punktet O og halveres med dette punktet.
Trekanter AOB og COD vil være lik hverandre, i henhold til det første tegnet på likhet av trekanter. (AO = OC, BO = OD etter betingelse, vinkel AOB = vinkel COD som vertikale vinkler.) Derfor er AB = CD og vinkel1 = vinkel 2. Fra likheten mellom vinkel 1 og 2 har vi at AB er parallell med CD. Så har vi at i firkanten ABCD er sidene AB lik CD og parallelle, og etter det første kriteriet til et parallellogram vil firkanten ABCD være et parallellogram.
1. Definisjon av et parallellogram.
Hvis vi skjærer et par parallelle linjer med et annet par parallelle linjer, får vi en firkant hvis motsatte sider er parallelle i par.
I firkantene ABDC og EFNM (fig. 224) ВD || AC og AB || CD;
EF || MN og EM || FN.
En firkant hvis motsatte sider er parallelle i par kalles et parallellogram.
2. Egenskaper til et parallellogram.
Teorem. Diagonalen til et parallellogram deler det i to like trekanter.
La det være et parallellogram ABDC (fig. 225), hvor AB || CD og AC || ВD.
Du må bevise at diagonalen deler den i to like trekanter.
La oss tegne diagonalen CB i parallellogrammet ABDC. La oss bevise at \(\Delta\)CAB = \(\Delta\)СДВ.
NØ-siden er felles for disse trekantene; ∠ABC = ∠BCD, som indre kryssvinkler med parallelle AB og CD og sekant CB; ∠ACB = ∠СВD, liker også indre kryssvinkler med parallell AC og BD og sekant CB.
Derfor \(\Delta\)CAB = \(\Delta\)СДВ.
På samme måte kan man bevise at diagonalen AD vil dele parallellogrammet i to like trekanter ACD og ABD.
Konsekvenser:
1 . Motsatte vinkler på et parallellogram er like med hverandre.
∠A = ∠D, dette følger av likheten mellom trekantene CAB og CDB.
På samme måte er ∠C = ∠B.
2. Motstående sider av et parallellogram er like med hverandre.
AB = CD og AC = BD, siden disse er sider av like trekanter og ligger motsatte like vinkler.
Teorem 2. Diagonalene til et parallellogram er delt i to ved skjæringspunktet.
La BC og AD være diagonalene til parallellogrammet ABC (fig. 226). La oss bevise at AO = OD og CO = OB.
For å gjøre dette, sammenligne et par motsatt plasserte trekanter, for eksempel \(\Delta\)AOB og \(\Delta\)COD.
I disse trekantene AB = CD, som motsatte sider av et parallellogram;
∠1 = ∠2, som indre vinkler som ligger på tvers med parallelle AB og CD og sekant AD;
∠3 = ∠4 av samme grunn, siden AB || CD og SV er deres sekanter.
Det følger at \(\Delta\)AOB = \(\Delta\)СOD. Og i like trekanter ligger motsatte like vinkler like sider. Derfor er AO = OD og CO = OB.
Teorem 3. Summen av vinklene ved siden av den ene siden av et parallellogram er lik 180°.
I parallellogrammet ABCD tegner vi diagonalen AC og får to trekanter ABC og ADC.
Trekantene er like, siden ∠1 = ∠4, ∠2 = ∠3 (kryssvinkler for parallelle linjer), og side AC er felles.
Fra likheten \(\Delta\)ABC = \(\Delta\)ADC følger det at AB = CD, BC = AD, ∠B = ∠D.
Summen av vinkler ved siden av den ene siden, for eksempel vinklene A og D, er lik 180° som ensidige vinkler for parallelle linjer.
Et parallellogram er en firkant hvis motsatte sider er parallelle i par. Følgende figur viser parallellogram ABCD. Den har side AB parallell med side CD og side BC parallell med side AD.
Som du kanskje har gjettet, er et parallellogram en konveks firkant. La oss vurdere de grunnleggende egenskapene til et parallellogram.
Egenskaper til et parallellogram
1. I et parallellogram er motsatte vinkler og motsatte sider like. La oss bevise denne egenskapen - vurder parallellogrammet presentert i følgende figur.
Diagonal BD deler den inn i to like trekanter: ABD og CBD. De er like langs siden BD og de to vinklene ved siden av den, siden vinklene som ligger på kryss og tvers ved sekanten BD til henholdsvis parallelle linjer BC og AD og AB og CD. Derfor AB = CD og
BC = AD. Og fra likheten til vinkel 1, 2, 3 og 4 følger det at vinkel A = vinkel1 + vinkel3 = vinkel2 + vinkel4 = vinkel C.
2. Diagonalene til et parallellogram er delt i to med skjæringspunktet. La punktet O være skjæringspunktet for diagonalene AC og BD til parallellogrammet ABCD.
Da er trekant AOB og trekant COD lik hverandre, langs siden og to tilstøtende vinkler. (AB = CD siden disse er motsatte sider av parallellogrammet. Og vinkel1 = vinkel2 og vinkel3 = vinkel4 er som kryssvinkler når linjene AB og CD skjærer hverandre med henholdsvis sekantene AC og BD.) Av dette følger det at AO = OC og OB = OD, som og måtte bevises.
Alle hovedegenskapene er illustrert i de følgende tre figurene.
Et parallellogram er en firkant hvis motsatte sider er parallelle i par. Arealet til et parallellogram er lik produktet av basen (a) og høyden (h). Du kan også finne området gjennom to sider og en vinkel og gjennom diagonaler.
Egenskaper til et parallellogram
1. Motstående sider er identiske.
Først av alt, la oss tegne diagonalen \(AC\) . Vi får to trekanter: \(ABC\) og \(ADC\).
Siden \(ABCD\) er et parallellogram, er følgende sant:
\(AD || BC \Høyrepil \vinkel 1 = \vinkel 2\) som å ligge på kryss og tvers.
\(AB || CD \Høyrepil \angle3 = \angle 4\) som å ligge på kryss og tvers.
Derfor (i henhold til det andre kriteriet: og \(AC\) er vanlig).
Og det betyr \(\triangle ABC = \triangle ADC\), deretter \(AB = CD\) og \(AD = BC\) .
2. Motstående vinkler er identiske.
I følge beviset eiendommer 1 Vi vet det \(\vinkel 1 = \vinkel 2, \vinkel 3 = \vinkel 4\). Dermed er summen av motsatte vinkler: \(\vinkel 1 + \vinkel 3 = \vinkel 2 + \vinkel 4\). Vurderer \(\triangle ABC = \triangle ADC\) vi får \(\vinkel A = \vinkel C \) , \(\vinkel B = \vinkel D \) .
3. Diagonalene er delt i to av skjæringspunktet.
Av eiendom 1 vi vet at motsatte sider er identiske: \(AB = CD\) . Nok en gang, legg merke til de på tvers liggende like vinklene.
Dermed er det klart at \(\triangle AOB = \triangle COD\) i henhold til det andre kriteriet om trekanters likhet (to vinkler og siden mellom dem). Det vil si \(BO = OD\) (motsatt vinklene \(\vinkel 2\) og \(\vinkel 1\) ) og \(AO = OC\) (motsatt vinklene \(\vinkel 3\) og \( \angle 4\) henholdsvis).
Tegn på et parallellogram
Hvis bare én funksjon er til stede i problemet ditt, er figuren et parallellogram, og du kan bruke alle egenskapene til denne figuren.
For bedre memorering, merk at parallellogramtegnet vil svare på neste spørsmål - "hvordan finne ut?". Det vil si hvordan finne ut at en gitt figur er et parallellogram.
1. Et parallellogram er en firkant hvis to sider er like og parallelle.
\(AB = CD\) ; \(AB || CD \Rightarrow ABCD\)- parallellogram.
La oss ta en nærmere titt. Hvorfor \(AD || BC \)?
\(\triangle ABC = \triangle ADC\) Av eiendom 1: \(AB = CD \) , \(\angle 1 = \angle 2 \) liggende på tvers når \(AB \) og \(CD \) og sekanten \(AC \) er parallelle.
Men hvis \(\triangle ABC = \triangle ADC\), deretter \(\vinkel 3 = \vinkel 4 \) (ligge overfor \(AD || BC \) (\(\vinkel 3 \) og \(\vinkel 4 \) - de som ligger på tvers er også like).
Det første tegnet er riktig.
2. Et parallellogram er en firkant hvis motsatte sider er like.
\(AB = CD \) , \(AD = BC \Rightarrow ABCD \) er et parallellogram.
La oss vurdere dette tegnet. La oss tegne diagonalen \(AC\) igjen.
Av eiendom 1\(\triangle ABC = \triangle ACD\).
Det følger at: \(\vinkel 1 = \vinkel 2 \Høyrepil AD || BC \) Og \(\vinkel 3 = \vinkel 4 \Høyrepil AB || CD \), det vil si \(ABCD\) er et parallellogram.
Det andre tegnet er riktig.
3. Et parallellogram er en firkant hvis motsatte vinkler er like.
\(\vinkel A = \vinkel C\) , \(\vinkel B = \vinkel D \Høyrepil ABCD\)- parallellogram.
\(2 \alfa + 2 \beta = 360^(\circ) \)(siden \(\vinkel A = \vinkel C\), \(\vinkel B = \vinkel D\) etter betingelse).
Det viser seg, \(\alpha + \beta = 180^(\circ) \). Men \(\alpha \) og \(\beta \) er interne ensidige ved sekanten \(AB \) .
Et parallellogram er en firkant hvis motsatte sider er parallelle i par. Denne definisjonen er allerede tilstrekkelig, siden de gjenværende egenskapene til parallellogrammet følger av den og er bevist i form av teoremer.
Hovedegenskapene til et parallellogram er:
- parallellogram er konveks firkant;
- Et parallellogram har motsatte sider som er like parvis;
- I et parallellogram er motsatte vinkler parvis like;
- Diagonalene til et parallellogram er delt i to av skjæringspunktet.
Parallelogram - konveks firkant
La oss først bevise teoremet som et parallellogram er en konveks firkant. En polygon er konveks hvis hvilken som helst side av den utvides til en rett linje, vil alle andre sider av polygonen være på samme side av denne rette linjen.
La det gis et parallellogram ABCD, der AB er motsatt side for CD, og BC er motsatt side for AD. Så fra definisjonen av et parallellogram følger det at AB || CD, BC || A.D.
U parallelle segmenter det er ingen felles punkter, de krysser ikke hverandre. Dette betyr at CD ligger på den ene siden av AB. Siden segment BC forbinder punkt B i segment AB med punkt C i segment CD, og segment AD forbinder andre punkter AB og CD, ligger segmentene BC og AD også på samme side av linje AB der CD ligger. Dermed ligger alle tre sidene - CD, BC, AD - på samme side av AB.
På samme måte er det bevist at i forhold til de andre sidene av parallellogrammet, ligger de tre andre sidene på samme side.
Motstående sider og vinkler er like
En av egenskapene til et parallellogram er det I et parallellogram er motsatte sider og motsatte vinkler like i par. For eksempel, hvis et parallellogram ABCD er gitt, så har det AB = CD, AD = BC, ∠A = ∠C, ∠B = ∠D. Dette teoremet er bevist som følger.
Et parallellogram er en firkant. Dette betyr at den har to diagonaler. Siden et parallellogram er en konveks firkant, deler noen av dem det i to trekanter. I parallellogrammet ABCD tar du for deg trekantene ABC og ADC oppnådd ved å tegne diagonalen AC.
Disse trekantene har én side til felles - AC. Vinkel BCA lik vinkel CAD som vertikal med parallelle BC og AD. Vinkler BAC og ACD er også lik vertikale vinkler når AB og CD er parallelle. Derfor er ∆ABC = ∆ADC ved to vinkler og siden mellom dem.
I disse trekantene tilsvarer siden AB siden CD, og siden BC tilsvarer AD. Derfor er AB = CD og BC = AD.
Vinkel B tilsvarer vinkel D, dvs. ∠B = ∠D. Vinkel A til et parallellogram er summen av to vinkler - ∠BAC og ∠CAD. Vinkel C er lik ∠BCA og ∠ACD. Siden vinkelpar er like med hverandre, så er ∠A = ∠C.
Dermed er det bevist at i et parallellogram er motsatte sider og vinkler like.
Diagonaler er delt i to
Siden et parallellogram er en konveks firkant, har den to diagonaler, og de krysser hverandre. La parallellogram ABCD være gitt, diagonalene AC og BD skjærer hverandre i punkt E. Tenk på trekantene ABE og CDE dannet av dem.
Disse trekantene har sidene AB og CD lik de motsatte sidene av et parallellogram. Vinkel ABE er lik vinkel CDE som liggende på tvers med parallelle linjer AB og CD. Av samme grunn er ∠BAE = ∠DCE. Dette betyr ∆ABE = ∆CDE ved to vinkler og siden mellom dem.
Du kan også legge merke til at vinklene AEB og CED er vertikale og derfor også like hverandre.
Siden trekanter ABE og CDE er like med hverandre, så er alle deres tilsvarende elementer like. Side AE i den første trekanten tilsvarer siden CE på den andre, som betyr AE = CE. Tilsvarende BE = DE. Hvert par like segmenter utgjør en diagonal av et parallellogram. Dermed er det bevist at Diagonalene til et parallellogram er todelt etter skjæringspunktet.
Laster inn...
