+ – 0;2 P; 4 P. - 2 P; -4 P. P -11 P 6 P -7 P 4 P -5 P 3 2 P -4 P 3 3 P -4 P P -7 P P -5 P P -3 P P -2 P P - P P - P P - P P 2 5 P 2 P 2 9 P 2 5 P 2 P 2 11 P 2 7 P 2 3 P 2 11 P 2 7 P 2 3 P 2 5 P;3 P; S. -5 P;-3 P;- P. 360° 30° 60° 45° 90° 120° 135° 150° 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° X y 0
0 y X 5 P,14 -P-P ± P 2P 2 ± P P k, k Z (-1) k P 4P 4 + P g, g Z P 3P 3 ± + 2 P n, n Z P 6P 6 + P 3P 3 m , m Z Finn punktene som tilsvarer følgende tall
0 y X - P +2 P k, k Z P 3P P n, n Z P m, m Z P (+ m), m Z 2P 32P P n, n Z P 2P 2 P P n, n Z 1 3 P (+2 l ), l Z Finn punktene som tilsvarer følgende tall
1. Hvilken fjerdedel av tallsirkelen tilhører først punkt A? B. For det andre. V. Tredje. G. Fjerde. 2. Hvilken fjerdedel av tallsirkelen tilhører først punkt A? B. For det andre. V. Tredje. G. Fjerde. 3. Bestem fortegnene til tallene a og b hvis: A. a>0, b>0. B. a 0. B. a>0, b0, b 0"> 0, b>0. B. a 0. B. a>0, b0, b"> 0" title="1. Hvilken fjerdedel av tallsirkelen peker på A. Først. B. For det andre C. For det fjerde >0."> title="1. Hvilken fjerdedel av tallsirkelen tilhører først punkt A? B. For det andre. V. Tredje. G. Fjerde. 2.Hvilken fjerdedel av tallsirkelen tilhører først punkt A? B. For det andre. V. Tredje. G. Fjerde. 3. Bestem fortegnene til tallene a og b hvis: A. a>0"> !}
Tilsynelatende var menneskehetens første appell til det som senere skulle bli kalt sfærisk geometri, planetteorien til den greske matematikeren Eudoxus (ca. 408–355), en av deltakerne i Platons akademi. Det var et forsøk på å forklare bevegelsen til planetene rundt jorden ved hjelp av fire roterende konsentriske kuler, som hver hadde en spesiell rotasjonsakse med endene festet på den omsluttende kulen, som stjernene i sin tur var til. "klarte." På denne måten ble de intrikate banene til planetene forklart (oversatt fra gresk "planet" betyr vandre). Det var takket være denne modellen at gamle greske forskere var i stand til ganske nøyaktig å beskrive og forutsi bevegelsene til planetene. Dette var nødvendig, for eksempel i navigasjon, så vel som i mange andre "jordiske" oppgaver, der det var nødvendig å ta hensyn til at jorden ikke er en flat pannekake som hviler på tre søyler. Betydelige bidrag til sfærisk geometri ble gitt av Menelaos av Alexandria (ca. 100 e.Kr.). Hans jobb Kuler ble toppen av greske prestasjoner på dette området. I Sferike sfæriske trekanter vurderes - et emne som ikke finnes i Euklid. Menelaos overførte den euklidiske teorien om plane trekanter til sfæren og oppnådde blant annet en betingelse der tre punkter på sidene av en sfærisk trekant eller deres forlengelser ligger på samme rette linje. Det tilsvarende teoremet for flyet var allerede viden kjent på den tiden, men det kom inn i geometrihistorien akkurat som Menelaos teorem, og i motsetning til Ptolemaios (ca. 150), som hadde mange beregninger i sine arbeider, er Menelaos' avhandling. geometriske strengt tatt i ånden til den euklidiske tradisjonen.
Grunnleggende prinsipper for sfærisk geometri.
Ethvert plan som skjærer en kule produserer en sirkel i tverrsnitt. Hvis flyet går gjennom midten av kulen, resulterer tverrsnittet i en såkalt storsirkel. Gjennom to punkter på en kule, bortsett fra de som er diametralt motsatte, kan en enkelt stor sirkel tegnes. (På kloden er et eksempel på en storsirkel ekvator og alle meridianene.) Et uendelig antall storsirkler går gjennom diametralt motsatte punkter. Mindre bue AmB(Fig. 1) av storsirkelen er den korteste av alle linjene på kulen som forbinder gitte punkter. Denne linjen kalles geodetisk. Geodesiske linjer spiller samme rolle på en kule som rette linjer gjør i planimetri. Mange bestemmelser om geometri på planet er også gyldige på kulen, men i motsetning til planet, krysser to sfæriske linjer i to diametralt motsatte punkter. Dermed eksisterer begrepet parallellisme rett og slett ikke i sfærisk geometri. En annen forskjell er at den sfæriske linjen er lukket, dvs. beveger vi oss langs den i samme retning, vil vi gå tilbake til startpunktet, punktet deler ikke linjen i to deler. Og et annet overraskende faktum fra planimetriens synspunkt er at en trekant på en kule kan ha alle tre rette vinkler.
Linjer, segmenter, avstander og vinkler på en kule.
Store sirkler på en kule anses å være rette linjer. Hvis to punkter tilhører en storsirkel, er lengden på den minste av buene som forbinder disse punktene definert som sfærisk avstand mellom disse punktene, og selve buen er som et sfærisk segment. Diametralt motsatte punkter er forbundet med et uendelig antall sfæriske segmenter - store halvsirkler. Lengden på et sfærisk segment bestemmes gjennom radianmålet til den sentrale vinkelen a og radiusen til sfæren R(Fig. 2), i henhold til buelengdeformelen er den lik R en. Hvilket som helst poeng MED sfærisk segment AB deler den i to, og summen av deres sfæriske lengder, som i planimetri, er lik lengden på hele segmentet, dvs. R AOC+ R UGLE= P AOB. For ethvert punkt D utenfor segmentet AB det er en "sfærisk trekantulikhet": summen av de sfæriske avstandene fra D før EN og fra D før I mer AB, dvs. R AOD+ R DOB> R AOB, – fullstendig samsvar mellom sfæriske og flate geometrier. Trekantulikheten er en av de grunnleggende i sfærisk geometri, det følger av den at, som i planimetri, er et sfærisk segment kortere enn en hvilken som helst sfærisk stiplet linje, og derfor enhver kurve på sfæren som forbinder dens ender.
På samme måte kan mange andre planimetribegreper overføres til sfæren, spesielt de som kan uttrykkes gjennom avstander. For eksempel, sfærisk sirkel– et sett med punkter på sfæren like langt fra et gitt punkt R. Det er lett å vise at sirkelen ligger i et plan vinkelrett på sfærens diameter RR` (fig. 3), dvs. dette er en vanlig flat sirkel med et senter på diameteren RR`. Men den har to sfæriske sentre: R Og R`. Disse sentrene kalles vanligvis poler. Hvis vi vender oss til kloden, kan vi se at vi snakker om sirkler som paralleller, og de sfæriske sentrene til alle paralleller er Nord- og Sydpolen. Hvis diameteren r til en sfærisk sirkel er lik p/2, blir den sfæriske sirkelen til en sfærisk rett linje. (På kloden er det ekvator). I dette tilfellet kalles en slik sirkel polar hvert av punktene R Og P`.
Et av de viktigste konseptene innen geometri er likheten mellom figurer. Figurer anses som like hvis den ene kan vises oppå den andre på en slik måte (ved rotasjon og translasjon) at avstandene bevares. Dette gjelder også for sfærisk geometri.
Vinkler på en kule er definert som følger. Når to sfæriske linjer krysser hverandre en Og b Fire sfæriske bigoner dannes på kulen, akkurat som to kryssende linjer på et plan deler den inn i fire planvinkler (fig. 4). Hver av diagonene tilsvarer en dihedral vinkel dannet av de diametriske planene som inneholder en Og b. Og vinkelen mellom sfæriske rette linjer er lik den minste av vinklene til diagonene de danner.
Vi legger også merke til at vinkel P ABC, dannet på en kule av to buer av en stor sirkel, måles ved vinkel P EN`B.C.` mellom tangenter til de tilsvarende buene i et punkt I(fig. 5) eller en dihedral vinkel dannet av diametralplan som inneholder sfæriske segmenter AB Og Sol.
På samme måte som i stereometri, er hvert punkt på sfæren assosiert med en stråle trukket fra midten av sfæren til dette punktet, og enhver figur på sfæren er assosiert med foreningen av alle stråler som skjærer den. Dermed tilsvarer en sfærisk rett linje til det diametriske planet som inneholder den, et sfærisk segment tilsvarer en plan vinkel, en digon tilsvarer en dihedral vinkel, og en sfærisk sirkel tilsvarer en konisk overflate hvis akse går gjennom polene til sirkelen.
En polyedrisk vinkel med et toppunkt i midten av sfæren skjærer sfæren langs en sfærisk polygon (Fig. 6). Dette er et område på en sfære avgrenset av en brutt linje med sfæriske segmenter. Linkene til den stiplede linjen er sidene til en sfærisk polygon. Lengdene deres er lik verdiene til de tilsvarende planvinklene til den polyedriske vinkelen, og verdien av vinkelen ved et hvilket som helst toppunkt EN lik den dihedrale vinkelen ved kanten OA.
Sfærisk trekant.
Blant alle sfæriske polygoner er den sfæriske trekanten av størst interesse. Tre store sirkler, som krysser seg i par på to punkter, danner åtte sfæriske trekanter på kulen. Når vi kjenner elementene (sidene og vinklene) til en av dem, er det mulig å bestemme elementene til alle de andre, så vi vurderer forholdet mellom elementene til en av dem, den hvis alle sider er mindre enn halvparten av den store sirkel. Sidene i en trekant måles ved planvinklene til den trihedriske vinkelen OABC, vinklene til trekanten er dihedriske vinkler av samme trihedriske vinkel (fig. 7).
Mange egenskaper til en sfærisk trekant (og de er også egenskaper til triedriske vinkler) gjentar nesten fullstendig egenskapene til en vanlig trekant. Blant dem er trekantulikheten, som på språket til trihedriske vinkler sier at enhver plan vinkel i en trihedrisk vinkel er mindre enn summen av de to andre. Eller, for eksempel, tre tegn på likhet av trekanter. Alle planimetriske konsekvenser av de nevnte teoremene, sammen med deres bevis, forblir gyldige på sfæren. Dermed vil settet med punkter like langt fra endene av segmentet også være på sfæren vinkelrett på den, en rett linje som går gjennom midten, hvorfra det følger at halveringslinjen er vinkelrett på sidene av en sfærisk trekant ABC har et felles punkt, eller rettere sagt, to diametralt motsatte fellespunkter R Og R`, som er polene til dens eneste omskrevne sirkel (fig. 8). I stereometri betyr dette at en kjegle kan beskrives rundt en hvilken som helst triedral vinkel. Det er lett å overføre til sfæren teoremet om at halveringslinjene til en trekant skjærer i midten av dens sirkel.
Teoremer om skjæringspunktet mellom høyder og medianer forblir også sanne, men deres vanlige bevis i planimetri bruker direkte eller indirekte parallellisme, som ikke eksisterer på en sfære, og derfor er det lettere å bevise dem igjen, på stereometrispråket. Ris. Figur 9 illustrerer beviset for det sfæriske medianteoremet: plan som inneholder medianene til en sfærisk trekant ABC, skjærer en plan trekant med de samme toppunktene langs de vanlige medianene, derfor inneholder de alle radiusen til kulen som går gjennom skjæringspunktet til planmedianene. Enden av radiusen vil være fellespunktet for de tre "sfæriske" medianene.
Egenskapene til sfæriske trekanter skiller seg på mange måter fra egenskapene til trekanter på et plan. Til de kjente tre tilfellene av likestilling av rettlinjede trekanter, legges en fjerde til: to trekanter ABC Og А`В`С` er like hvis tre vinkler P er like EN= P EN`, R I= P I`, R MED= P MED`. Dermed er det ingen lignende trekanter på sfæren dessuten, i sfærisk geometri er det ikke noe veldig likhetsbegrep, fordi Det er ingen transformasjoner som endrer alle avstander med samme (ikke lik 1) antall ganger. Disse trekkene er assosiert med et brudd på det euklidiske aksiomet for parallelle linjer og er også iboende i Lobachevskys geometri. Trekanter som har like elementer og ulik orientering kalles symmetriske, for eksempel trekanter AC`MED Og VSS` (Fig. 10).
Summen av vinklene til en sfærisk trekant er alltid større enn 180°. Forskjellen P EN+P I+P MED - s = d (målt i radianer) er en positiv størrelse og kalles sfærisk overskudd av en gitt sfærisk trekant. Arealet av en sfærisk trekant: S = R 2 d hvor R er sfærens radius, og d er det sfæriske overskuddet. Denne formelen ble først utgitt av nederlenderen A. Girard i 1629 og oppkalt etter ham.
Hvis vi tar for oss en diagon med vinkel a, så ved 226 = 2p/ n (n – heltall) sfæren kan kuttes nøyaktig inn i P kopier av en slik diagon, og arealet av sfæren er 4 nR2 = 4 p kl R= 1, så arealet av diagonen er 4p/ n= 2a. Denne formelen gjelder også for a = 2p t/n og derfor sant for alle a. Hvis vi fortsetter sidene i en sfærisk trekant ABC og uttrykk arealet av sfæren gjennom områdene til de resulterende bigonene med vinkler EN,I,MED og sitt eget område, så kan vi komme frem til Girard-formelen ovenfor.
Koordinater på sfæren.
Hvert punkt på sfæren er fullstendig bestemt ved å spesifisere to tall; disse tallene ( koordinater) bestemmes som følger (fig. 11). Noen stor sirkel er fast QQ` (ekvator), ett av de to skjæringspunktene for diameteren til kulen PP`, vinkelrett på ekvatorialplanet, med overflaten av en kule, for eksempel R (stang), og en av de store halvsirklene PAP` kommer ut av polet ( første meridian). Store halvsirkler kommer ut av P, kalt meridianer, små sirkler parallelt med ekvator, som f.eks LL`, – paralleller. Som en av punktkoordinatene M på kulen er vinkelen q tatt = POM (punkthøyde), som den andre – vinkel j = AON mellom den første meridianen og meridianen som går gjennom punktet M (lengdegrad poeng, telles mot klokken).
I geografi (på kloden) er det vanlig å bruke Greenwich-meridianen som den første meridianen, og passerer gjennom hovedhallen til Greenwich Observatory (Greenwich er en bydel i London), den deler jorden i henholdsvis den østlige og den vestlige halvkule , og lengdegrad er østlig eller vestlig og målt fra 0 til 180° i begge retninger fra Greenwich. Og i stedet for høyden på et punkt i geografi, er det vanlig å bruke breddegrad på, dvs. hjørne NOM = 90° – q, målt fra ekvator. Fordi Siden ekvator deler jorden inn i den nordlige og sørlige halvkule, er breddegraden enten nordlig eller sørlig og varierer fra 0 til 90°.
Marina Fedosova
Jeg var en gang vitne til en samtale mellom to søkere:
– Når skal du legge til 2πn, og når skal du legge til πn? Jeg kan bare ikke huske!
– Og jeg har det samme problemet.
Jeg ville bare fortelle dem: "Du trenger ikke å lære utenat, men forstå!"
Denne artikkelen er først og fremst rettet til elever på videregående skole, og jeg håper vil hjelpe dem med å løse de enkleste trigonometriske ligningene med "forståelse":
Tallsirkel
Sammen med begrepet en talllinje, er det også begrepet en tallsirkel. Som vi vet, i et rektangulært koordinatsystem kalles en sirkel med sentrum i punktet (0;0) og radius 1 en enhetssirkel. La oss forestille oss talllinjen som en tynn tråd og vikle den rundt denne sirkelen: vi vil feste origo (punkt 0) til det "riktige" punktet til enhetssirkelen, vi vil vikle den positive halvaksen mot klokken, og den negative halvaksen -aksen i retningen (fig. 1). En slik enhetssirkel kalles en numerisk sirkel.
Egenskaper til tallsirkelen
- Hvert reelt tall ligger på ett punkt på tallsirkelen.
- Det er uendelig mange reelle tall på hvert punkt på tallsirkelen. Siden lengden på enhetssirkelen er 2π, er forskjellen mellom to tall på ett punkt på sirkelen lik ett av tallene ±2π; ±4π; ±6π; ...
La oss konkludere: Når vi kjenner et av tallene til punkt A, kan vi finne alle tallene til punkt A.
La oss tegne diameteren til AC (fig. 2). Siden x_0 er et av tallene i punkt A, så er tallene x_0±π ; x_0±3π; x_0±5π; ... og bare de vil være tallene til punkt C. La oss velge ett av disse tallene, for eksempel x_0+π, og bruke det til å skrive ned alle tallene til punkt C: x_C=x_0+π+2πk ,k∈ Z. Merk at tallene i punktene A og C kan kombineres til én formel: x_(A ; C)=x_0+πk ,k∈Z (for k = 0; ±2; ±4; ... får vi tallene på punkt A, og for k = ±1; … – tall for punkt C).
La oss konkludere: Når vi kjenner et av tallene i et av punktene A eller C i diameteren AC, kan vi finne alle tallene på disse punktene.
- To motsatte tall er plassert på punkter i sirkelen som er symmetriske i forhold til abscisseaksen.
La oss tegne en vertikal akkord AB (fig. 2). Siden punktene A og B er symmetriske om Ox-aksen, er tallet -x_0 plassert i punkt B, og derfor er alle tallene for punkt B gitt av formelen: x_B=-x_0+2πk ,k∈Z. Vi skriver tallene i punktene A og B ved å bruke én formel: x_(A ; B)=±x_0+2πk ,k∈Z. La oss konkludere: Når vi kjenner et av tallene i et av punktene A eller B i den vertikale akkorden AB, kan vi finne alle tallene på disse punktene. La oss vurdere den horisontale akkorden AD og finne tallene for punkt D (fig. 2). Siden BD er en diameter og tallet -x_0 tilhører punkt B, så er -x_0 + π et av tallene til punkt D, og derfor er alle tallene i dette punktet gitt av formelen x_D=-x_0+π+ 2πk ,k∈Z. Tallene i punktene A og D kan skrives med én formel: x_(A ; D)=(-1)^k∙x_0+πk ,k∈Z . (for k= 0; ±2; ±4; … får vi tallene for punkt A, og for k = ±1; ±3; ±5; … – tallene for punkt D).
La oss konkludere: Når vi kjenner et av tallene i et av punktene A eller D i den horisontale akkorden AD, kan vi finne alle tallene på disse punktene.
Seksten hovedpunkter i tallsirkelen
I praksis innebærer å løse de fleste av de enkleste trigonometriske ligningene seksten punkter på en sirkel (fig. 3). Hva er disse prikkene? Røde, blå og grønne prikker deler sirkelen i 12 like deler. Siden lengden på halvsirkelen er π, er lengden på buen A1A2 π/2, lengden på buen A1B1 er π/6, og lengden på buen A1C1 er π/3.
Nå kan vi angi ett tall om gangen: 
π/3 på C1 og
Toppunktene til den oransje firkanten er midtpunktene til buene i hver fjerdedel, derfor er lengden på buen A1D1 lik π/4 og derfor er π/4 et av tallene til punktet D1. Ved å bruke egenskapene til tallsirkelen kan vi bruke formler til å skrive ned alle tallene på alle markerte punkter i sirkelen vår. Koordinatene til disse punktene er også markert i figuren (vi vil utelate beskrivelsen av anskaffelsen av dem).
Etter å ha lært det ovenfor, har vi nå tilstrekkelig forberedelse til å løse spesielle tilfeller (for ni verdier av tallet en) enkleste ligninger.
Løs ligninger
1)sinx=1⁄(2).
– Hva kreves av oss?
– Finn alle de tallene x hvis sinus er 1/2.
La oss huske definisjonen av sinus: sinx – ordinaten til punktet på tallsirkelen der tallet x er plassert. Vi har to punkter på sirkelen hvis ordinat er lik 1/2. Dette er endene av den horisontale akkorden B1B2. Dette betyr at kravet "løs ligningen sinx=1⁄2" tilsvarer kravet "finn alle tallene i punkt B1 og alle tallene i punkt B2."
2)sinx=-√3⁄2 .
Vi må finne alle tallene på punktene C4 og C3.
3) sinx=1. På sirkelen har vi bare ett punkt med ordinaten 1 - punkt A2, og derfor trenger vi bare å finne alle tallene til dette punktet.
Svar: x=π/2+2πk, k∈Z.
4)sinx=-1 .
Bare punkt A_4 har en ordinat på -1. Alle tallene i dette punktet vil være hestene i ligningen.
Svar: x=-π/2+2πk, k∈Z.
5) sinx=0 .
På sirkelen har vi to punkter med ordinaten 0 - punktene A1 og A3. Du kan angi tallene ved hvert av punktene separat, men gitt at disse punktene er diametralt motsatte, er det bedre å kombinere dem til én formel: x=πk,k∈Z.
Svar: x=πk ,k∈Z .
6)cosx=√2⁄2 .
La oss huske definisjonen av cosinus: cosx er abscissen til punktet på tallsirkelen som tallet x er plassert på. På sirkelen har vi to punkter med abscissen √2⁄2 - endene av den horisontale akkorden D1D4. Vi må finne alle tallene på disse punktene. La oss skrive dem ned, og kombinere dem til én formel.
Svar: x=±π/4+2πk , k∈Z .
7) cosx=-1⁄2 .
Vi må finne tallene på punktene C_2 og C_3.
Svar: x=±2π/3+2πk , k∈Z .
10) cosx=0 .
Bare punktene A2 og A4 har abscissen 0, noe som betyr at alle tallene på hvert av disse punktene vil være løsninger på ligningen. 
.
Løsningene til systemets ligning er tallene i punktene B_3 og B_4 Til ulikheten cosx<0 удовлетворяют только числа b_3
Svar: x=-5π/6+2πk, k∈Z.
Merk at for enhver tillatt verdi av x er den andre faktoren positiv, og derfor er ligningen ekvivalent med systemet
Løsningene til systemligningen er antall punkter D_2 og D_3. Tallene for punkt D_2 tilfredsstiller ikke ulikheten sinx≤0,5, men tallene for punkt D_3 gjør det.
nettside, ved kopiering av materiale helt eller delvis, kreves en lenke til kilden.
Spørsmål: På en sirkel velges diametralt motsatte punkter A og B og et annet punkt C Tangensen som er tegnet til sirkelen i punktet A og linjen BC skjærer i punktet D. Bevis at tangenten som er tegnet til sirkelen i punktet C, halverer. segmentet A.D. Insirkelen til trekanten ABC berører sidene AB og BC ved henholdsvis punktene M og N. En linje går gjennom midtpunktet av AC parallelt med linjen. MN skjærer linjene BA og BC i henholdsvis punktene D og E. Bevis at AD=CE.
På sirkelen velges diametralt motsatte punkter A og B og et annet punkt C Tangenten trukket til sirkelen i punktet A og den rette linjen BC skjærer i punktet D. Bevis at tangenten trukket til sirkelen i punktet C halverer. segment AD. Insirkelen til trekanten ABC berører sidene AB og BC ved henholdsvis punktene M og N. En linje går gjennom midtpunktet av AC parallelt med linjen. MN skjærer linjene BA og BC i henholdsvis punktene D og E. Bevis at AD=CE.
Svar:
Lignende spørsmål
- gjør setningene komplette. jeg flyr (vanligvis) til landon
- Morfologisk analyse av ordene hevet og løgn
- Skriv ned egenskapene til imperialismen
- Felles deler av 14 og 24
- Konverter uttrykket til et polynom!! -2(v+1)(v+4) - (v-5)(v+5)
- Finn produktet av de reelle røttene til ligningen: y^(4) - 2y^(2) - 8 = 0
- Finn vinklene BEN og CEN, gitt at de er tilstøtende og en av dem er halvannen ganger mindre enn den andre.
- Det er 6, 21 og 9 plommer i tre vaser For å utjevne antallet plommer i hver vase, overførte Madina like mange plommer som det var i den i tre vaser Hvordan gjorde hun dette?
- Fra en lærebok i kjemi (studert avsnitt), skriv ned 10 vanlige ord (ulike deler av tale) og 10 spesielle ord (begreper og terminologiske kombinasjoner.) Komponer og skriv ned fraser med termer valgt fra teksten
Laster inn...
