Hvordan faktorisere et kvadratisk trinomium? Faktorering av et kvadratisk trinomium ved å bruke Vietas teorem

La oss finne summen og produktet av røttene til den andregradsligningen. Ved å bruke formler (59.8) for røttene til ligningen ovenfor, får vi

(den første likheten er åpenbar, den andre oppnås etter en enkel beregning, som leseren vil utføre uavhengig; det er praktisk å bruke formelen for å multiplisere summen av to tall med forskjellen deres).

Følgende er bevist

Vietas teorem. Summen av røttene til den ovennevnte kvadratiske ligningen er lik den andre koeffisienten med motsatt fortegn, og produktet deres er lik frileddet.

I tilfellet med en ikke-redusert kvadratisk ligning, bør man erstatte uttrykkene for formel (60.1) med formler (60.1) og ta formen

Eksempel 1. Lag en andregradsligning med røttene:

Løsning, a) Vi finner at ligningen har formen

Eksempel 2. Finn summen av kvadratene til røttene til ligningen uten å løse selve ligningen.

Løsning. Summen og produktet av røttene er kjent. La oss representere summen av kvadratrøtter i formen

og vi får

Fra Vietas formler er det enkelt å få frem formelen

uttrykker regelen for faktorisering av et kvadratisk trinomium.

Faktisk, la oss skrive formler (60.2) i skjemaet

Nå har vi

som er det vi trengte å få.

Ovennevnte avledning av Vietas formler er kjent for leseren fra et algebrakurs på videregående skole. En annen konklusjon kan gis ved å bruke Bezouts teorem og faktorisering av polynomet (avsnitt 51, 52).

La røttene til ligningen så, i henhold til den generelle regelen (52.2), blir trinomialet på venstre side av ligningen faktorisert:

Åpne brakettene på høyre side av denne identiske likheten, får vi

og å sammenligne koeffisientene ved de samme potensene vil gi oss Vieta-formelen (60.1).

Fordelen med denne utledningen er at den kan brukes på ligninger av høyere grader for å få uttrykk for koeffisientene til ligningen i form av røttene (uten å finne røttene selv!). For eksempel hvis røttene til den gitte kubikkligningen

essensen er at i henhold til likhet (52.2) finner vi

(i vårt tilfelle, ved å åpne parentesene på høyre side av likheten og samle koeffisientene i forskjellige grader, får vi

Å faktorisere kvadratiske trinomialer er en av skoleoppgavene som alle møter før eller siden. Hvordan gjøre det? Hva er formelen for å faktorisere et kvadratisk trinomium? La oss finne ut av det trinn for trinn ved å bruke eksempler.

Generell formel

Kvadratiske trinomialer faktoriseres ved å løse en andregradsligning. Dette er et enkelt problem som kan løses ved flere metoder – ved å finne diskriminanten, ved å bruke Vietas teorem, finnes det også en grafisk løsning. De to første metodene studeres på videregående.

Den generelle formelen ser slik ut:lx 2 +kx+n=l(x-x 1)(x-x 2) (1)

Algoritme for å fullføre oppgaven

For å faktorisere kvadratiske trinomialer må du kjenne til Vitas teorem, ha et løsningsprogram for hånden, kunne finne en løsning grafisk, eller lete etter røtter til en andregradsligning ved hjelp av diskriminantformelen. Hvis et kvadratisk trinomium er gitt og det må faktoriseres, er algoritmen som følger:

1) Lik det opprinnelige uttrykket til null for å få en ligning.

2) Gi lignende vilkår (hvis nødvendig).

3) Finn røttene ved å bruke en kjent metode. Den grafiske metoden brukes best hvis det er kjent på forhånd at røttene er heltall og små tall. Det må huskes at antall røtter er lik den maksimale graden av ligningen, det vil si at den andregradsligningen har to røtter.

4) Erstatt verdien X til uttrykk (1).

5) Skriv ned faktoriseringen av kvadratiske trinomialer.

Eksempler

Øvelse lar deg endelig forstå hvordan denne oppgaven utføres. Eksempler illustrerer faktoriseringen av et kvadratisk trinomium:

det er nødvendig å utvide uttrykket:

La oss ty til vår algoritme:

1) x 2 -17x+32=0

2) lignende vilkår reduseres

3) ved å bruke Vietas formel er det vanskelig å finne røtter til dette eksempelet, så det er bedre å bruke uttrykket for diskriminanten:

D=289-128=161=(12,69) 2

4) La oss erstatte røttene vi fant inn i den grunnleggende formelen for dekomponering:

(x-2,155) * (x-14,845)

5) Da vil svaret være slik:

x 2 -17x+32=(x-2,155)(x-14,845)

La oss sjekke om løsningene funnet av diskriminanten samsvarer med Vieta-formlene:

14,845 . 2,155=32

For disse røttene brukes Vietas teorem, de ble funnet riktig, noe som betyr at faktoriseringen vi oppnådde også er korrekt.

På samme måte utvider vi 12x 2 + 7x-6.

x 1 = -7+(337) 1/2

x 2 =-7-(337)1/2

I det forrige tilfellet var løsningene ikke-heltall, men reelle tall, som er enkle å finne hvis du har en kalkulator foran deg. La oss nå se på et mer komplekst eksempel, der røttene vil være komplekse: faktor x 2 + 4x + 9. Ved å bruke Vietas formel kan ikke røttene bli funnet, og diskriminanten er negativ. Røttene vil være på det komplekse planet.

D=-20

Basert på dette får vi røttene som interesserer oss -4+2i*5 1/2 og -4-2i * 5 1/2 siden (-20) 1/2 = 2i*5 1/2 .

Vi oppnår ønsket dekomponering ved å erstatte røttene i den generelle formelen.

Et annet eksempel: du må faktorisere uttrykket 23x 2 -14x+7.

Vi har ligningen 23x 2 -14x+7 =0

D=-448

Dette betyr at røttene er 14+21.166i og 14-21.166i. Svaret vil være:

23x 2 -14x+7 =23(x- 14-21,166i )*(X- 14+21,166i ).

La oss gi et eksempel som kan løses uten hjelp fra en diskriminant.

La oss si at vi må utvide andregradsligningen x 2 -32x+255. Det kan selvsagt også løses ved hjelp av en diskriminant, men i dette tilfellet er det raskere å finne røttene.

x 1 = 15

x 2 = 17

Midler x 2 -32x+255 =(x-15)(x-17).

Verden er nedsenket i et stort antall tall. Eventuelle beregninger skjer med deres hjelp.

Folk lærer tall for å unngå å bli lurt senere i livet. Det tar enormt mye tid å bli utdannet og finne ut ditt eget budsjett.

Matematikk er en eksakt vitenskap som spiller en stor rolle i livet. På skolen studerer barn tall, og deretter handlinger på dem.

Operasjoner på tall er helt forskjellige: multiplikasjon, utvidelse, addisjon og andre. I tillegg til enkle formler, brukes også mer komplekse handlinger i studiet av matematikk. Det er et stort antall formler som kan brukes til å finne ut eventuelle verdier.

På skolen, så snart algebra dukker opp, blir forenklingsformler lagt til elevens liv. Det er ligninger der det er to ukjente tall, men du kan ikke finne dem på en enkel måte. Et trinomial er en kombinasjon av tre monomer ved bruk av den enkle metoden for subtraksjon og addisjon. Trinomialet løses ved å bruke Vietas teorem og diskriminanten.

Formel for faktorisering av et kvadratisk trinomium

Det er to riktige og enkle løsninger på eksempelet:

• diskriminerende;
• Vietas teorem.

Et kvadrattrinomium har en ukjent kvadrat og også et tall uten kvadrat. Det første alternativet for å løse problemet bruker Vietas formel. Det er en enkel formel, hvis tallene som kommer foran det ukjente vil være minimumsverdien.

For andre ligninger der et tall går foran det ukjente, må ligningen løses gjennom diskriminanten. Dette er en mer kompleks løsning, men diskriminanten brukes mye oftere enn Vietas teorem.

Til å begynne med, for å finne alle variablene i ligningen, må du heve eksemplet til 0. Løsningen på eksempelet kan sjekkes og du kan finne ut om tallene er riktig justert.

Diskriminerende

1. Det er nødvendig å likestille ligningen til 0.

2. Hvert tall før x vil bli kalt tallene a, b, c. Siden det ikke er et tall før det første kvadratet x, er det lik 1.

3. Nå begynner løsningen på ligningen gjennom diskriminanten:

4. Nå har vi funnet diskriminanten og finner to x. Forskjellen er at i ett tilfelle vil b bli innledet av et pluss, og i det andre av et minus:

5. Ved å løse to tall ble resultatene -2 og -1. Bytt inn i den opprinnelige ligningen:

6. I dette eksemplet var det to riktige alternativer. Hvis begge løsningene passer, er hver av dem sanne.

Mer komplekse ligninger løses også ved hjelp av diskriminanten. Men hvis selve diskriminantverdien er mindre enn 0, er eksemplet feil. Ved søk er diskriminanten alltid ved roten, og en negativ verdi kan ikke være ved roten.

Vietas teorem

Den brukes til å løse enkle oppgaver der den første x ikke er innledet med et tall, det vil si a=1. Hvis alternativet samsvarer, utføres beregningen ved å bruke Vietas teorem.

For å løse ethvert trinomium det er nødvendig å heve ligningen til 0. De første trinnene i diskriminanten og Vietas teorem er ikke annerledes.

2. Nå begynner forskjellene mellom de to metodene. Vietas teorem bruker ikke bare "tørr" beregning, men også logikk og intuisjon. Hvert tall har sin egen bokstav a, b, c. Teoremet bruker summen og produktet av to tall.

Huske! Tallet b har alltid motsatt fortegn når det legges til, men tallet c forblir uendret!

Erstatter dataverdiene i eksemplet , vi får:

3. Ved å bruke logikkmetoden erstatter vi de best passende tallene. La oss vurdere alle løsningsalternativer:

1. Tallene er 1 og 2. Legges til får vi 3, men multipliserer vi får vi ikke 4. Passer ikke.
2. Verdi 2 og -2. Når multiplisert vil det være -4, men når det legges til viser det seg å være 0. Ikke egnet.
3. Nummer 4 og -1. Siden multiplikasjon innebærer en negativ verdi, betyr det at ett av tallene vil være negativt. Egnet for å addere og multiplisere. Riktig alternativ.

4. Det gjenstår bare å sjekke ved å legge ut tallene og se om det valgte alternativet er riktig.

5. Takket være nettsjekking lærte vi at -1 ikke passer til betingelsene i eksemplet, og derfor er en feil løsning.

Når du legger til en negativ verdi i eksemplet, må du sette tallet i parentes.

I matematikk vil det alltid være enkle problemer og vanskelige. Vitenskapen i seg selv inkluderer en rekke problemer, teoremer og formler. Hvis du forstår og bruker kunnskap riktig, vil eventuelle vanskeligheter med beregninger være trivielle.

Matematikk krever ikke konstant memorering. Du må lære å forstå løsningen og lære flere formler. Gradvis, i henhold til logiske konklusjoner, er det mulig å løse lignende problemer og ligninger. En slik vitenskap kan virke veldig vanskelig ved første øyekast, men hvis du stuper inn i en verden av tall og problemer, vil synet ditt endre seg dramatisk til det bedre.

Tekniske spesialiteter alltid forbli den mest ettertraktede i verden. Nå, i en verden av moderne teknologi, har matematikk blitt en uunnværlig egenskap for ethvert felt. Vi må alltid huske de nyttige egenskapene til matematikk.

Utvide et trinomium ved hjelp av en parentes

I tillegg til å løse de vanlige metodene, er det en annen - dekomponering i parentes. Brukes med Vieta-formelen.

1. Lik ligningen til 0.

øks 2 +bx+c= 0

2. Røttene til ligningen forblir de samme, men i stedet for null bruker de nå ekspansjonsformler i parentes.

øks 2 + bx+ c = a (x – x 1) (x – x 2)

2 x 2 – 4 x – 6 = 2 (x + 1) (x – 3)

4. Løsning x=-1, x=3

I denne leksjonen vil vi lære hvordan du kan faktorisere kvadratiske trinomialer til lineære faktorer. For å gjøre dette, må vi huske Vietas teorem og dets omvendte. Denne ferdigheten vil hjelpe oss raskt og enkelt å utvide kvadratiske trinomialer til lineære faktorer, og vil også forenkle reduksjonen av brøker som består av uttrykk.

Så la oss gå tilbake til den andregradsligningen, hvor .

Det vi har på venstre side kalles et kvadratisk trinomium.

Teoremet er sant: Hvis er røttene til et kvadratisk trinomium, så gjelder identiteten

Hvor er den ledende koeffisienten, er røttene til ligningen.

Så, vi har en kvadratisk ligning - et kvadratisk trinomial, der røttene til kvadratisk ligning også kalles røttene til kvadratisk trinomium. Derfor, hvis vi har røttene til et kvadratisk trinomium, kan dette trinomialet dekomponeres i lineære faktorer.

Bevis:

Beviset for dette faktum utføres ved å bruke Vietas teorem, som vi diskuterte i tidligere leksjoner.

La oss huske hva Vietas teorem forteller oss:

Hvis er røttene til et kvadratisk trinomium som , da .

Følgende utsagn følger av denne teoremet:

Vi ser at i henhold til Vietas teorem, dvs. ved å erstatte disse verdiene i formelen ovenfor, får vi følgende uttrykk

Q.E.D.

Husk at vi beviste teoremet om at hvis er røttene til et kvadratisk trinomium, så er utvidelsen gyldig.

La oss nå huske et eksempel på en kvadratisk ligning, som vi valgte røtter til ved å bruke Vietas teorem. Fra dette faktum kan vi oppnå følgende likhet takket være det beviste teoremet:

La oss nå sjekke riktigheten av dette faktum ved å åpne parentesene:

Vi ser at vi faktoriserte riktig, og ethvert trinomium, hvis det har røtter, kan faktoriseres i henhold til denne teoremet til lineære faktorer i henhold til formelen

La oss imidlertid sjekke om slik faktorisering er mulig for en ligning:

Ta for eksempel ligningen. Først, la oss sjekke diskriminanttegnet

Og vi husker at for å oppfylle teoremet vi lærte, må D være større enn 0, så i dette tilfellet er faktorisering i henhold til teoremet vi lærte umulig.

Derfor formulerer vi et nytt teorem: hvis et kvadratisk trinomium ikke har noen røtter, kan det ikke dekomponeres i lineære faktorer.

Så vi har sett på Vietas teorem, muligheten for å dekomponere et kvadratisk trinomium i lineære faktorer, og nå skal vi løse flere problemer.

Oppgave nr. 1

I denne gruppen vil vi faktisk løse problemet omvendt til det som stilles. Vi hadde en ligning, og vi fant røttene ved å faktorisere den. Her vil vi gjøre det motsatte. La oss si at vi har røttene til en andregradsligning

Det omvendte problemet er dette: skriv en andregradsligning ved å bruke røttene.

Det er 2 måter å løse dette problemet på.

Siden er røttene til ligningen, da er en andregradsligning hvis røtter er gitt tall. La oss nå åpne parentesene og sjekke:

Dette var den første måten vi laget en andregradsligning på med gitte røtter, som ikke har noen andre røtter, siden enhver annengradsligning har høyst to røtter.

Denne metoden innebærer bruk av det inverse Vieta-teoremet.

Hvis er røttene til ligningen, tilfredsstiller de betingelsen om at .

For den reduserte andregradsligningen , , dvs. i dette tilfellet, og .

Dermed har vi laget en andregradsligning som har de gitte røttene.

Oppgave nr. 2

Det er nødvendig å redusere fraksjonen.

Vi har et trinomium i telleren og et trinomium i nevneren, og trinomialene kan være faktorisert eller ikke. Hvis både telleren og nevneren er faktorisert, kan det blant dem være like faktorer som kan reduseres.

Først av alt må du faktorisere telleren.

Først må du sjekke om denne ligningen kan faktoriseres, la oss finne diskriminanten. Siden , tegnet avhenger av produktet (må være mindre enn 0), i dette eksemplet, dvs. at den gitte ligningen har røtter.

For å løse bruker vi Vietas teorem:

I dette tilfellet, siden vi har å gjøre med røtter, vil det være ganske vanskelig å bare velge røttene. Men vi ser at koeffisientene er balansert, det vil si at hvis vi antar at , og erstatter denne verdien i ligningen, får vi følgende system: , dvs. 5-5=0. Dermed har vi valgt en av røttene til denne kvadratiske ligningen.

Vi vil se etter den andre roten ved å erstatte det som allerede er kjent inn i likningssystemet, for eksempel , dvs. .

Dermed har vi funnet begge røttene til den kvadratiske ligningen og kan erstatte verdiene deres i den opprinnelige ligningen for å faktorisere den:

La oss huske det opprinnelige problemet, vi trengte å redusere brøken.

La oss prøve å løse problemet ved å erstatte .

Det er nødvendig å ikke glemme at i dette tilfellet kan ikke nevneren være lik 0, dvs.

Hvis disse betingelsene er oppfylt, har vi redusert den opprinnelige brøken til formen .

Oppgave nr. 3 (oppgave med en parameter)

Ved hvilke verdier av parameteren er summen av røttene til kvadratisk ligning

Hvis røttene til denne ligningen eksisterer, da , spørsmål: når.