Abstrakt om teoretisk mekanikk. Et kurs med forelesninger om teoretisk mekanikk. Dynamikk. Bindinger og bindingsreaksjoner

Forelesninger om teoretisk mekanikk

Punktdynamikk

Forelesning 1

Grunnleggende begreper om dynamikk

I kapittel Dynamikk bevegelsen av kropper under påvirkning av krefter påført dem studeres. Derfor, i tillegg til begrepene som ble introdusert i avsnittet Kinematikk, her er det nødvendig å bruke nye konsepter som gjenspeiler spesifikasjonene til effekten av krefter på ulike kropper og kroppens reaksjon på disse påvirkningene. La oss vurdere hoveddelen av disse konseptene.

a) styrke

Kraft er et kvantitativt resultat av påvirkningen på en gitt kropp fra andre kropper. Kraft er en vektorstørrelse (fig. 1).

Punkt A i begynnelsen av kraftvektoren F kalt kraftanvendelsespunkt... Den rette linjen MN som kraftvektoren er plassert på kalles kraftlinje. Lengden til en kraftvektor, målt på en bestemt skala, kalles numerisk verdi eller modul til kraftvektoren... Kraftmodulen er betegnet som eller. Kraftens virkning på kroppen manifesteres enten i dens deformasjon, hvis kroppen er ubevegelig, eller i å gi den akselerasjon når kroppen beveger seg. På disse kraftmanifestasjonene er enheten til forskjellige enheter (kraftmålere eller dynamometre) for måling av krefter basert.

b) styrkesystem

Settet med styrker under vurdering danner styrkesystem. Ethvert system som består av n krefter kan skrives i følgende form:

c) fri kropp

En kropp som kan bevege seg i rommet i alle retninger uten å oppleve direkte (mekanisk) interaksjon med andre kropper kalles gratis eller isolert... Virkningen av et eller annet kraftsystem på en kropp kan bare avklares hvis denne kroppen er fri.

d) resulterende kraft

Hvis en kraft utøver samme effekt på et fritt legeme som et visst kraftsystem, kalles denne kraften resultatet av dette styrkesystemet... Dette er skrevet som følger:

,

som betyr ekvivalens virkning på en og samme frie kropp av resultanten og et eller annet system av n krefter.

La oss nå fortsette å vurdere mer komplekse konsepter knyttet til kvantitativ bestemmelse av rotasjonseffektene av krefter.

e) kraftmoment om et punkt (sentrum)

Hvis kroppen under påvirkning av kraft kan rotere rundt et eller annet fast punkt O (fig. 2), så for å kvantifisere denne rotasjonseffekten, introduseres en fysisk størrelse, som kalles kraftmoment om et punkt (sentrum).

Planet som går gjennom et gitt fast punkt og kraftens virkningslinje kalles kraftplan... I fig. 2 er dette planet ОАВ.

Kraftmomentet i forhold til et punkt (sentrum) er en vektormengde lik vektorproduktet av radiusvektoren til punktet for påføring av kraften av kraftvektoren:

( 1)

I henhold til regelen for vektormultiplikasjon av to vektorer er vektorproduktet deres en vektor vinkelrett på plasseringsplanet til vektorene til faktorene (i dette tilfellet planet til trekanten OAB), rettet i retningen hvorfra den korteste rotasjon av den første vektoren av faktoren til den andre vektoren er faktoren synlig mot viseren (fig. 2). Med denne rekkefølgen av vektorene til faktorene til vektorproduktet (1), vil rotasjonen av kroppen under påvirkning av kraften være synlig mot klokkeviseren (fig. 2) Siden vektoren er vinkelrett på handlingsplanet av kraften, bestemmer dens plassering i rommet posisjonen til kraftens handlingsplan. i forhold til sentrum er lik det doble arealet ОАВ og kan bestemmes av formelen:

, (2)

hvor omfangeth, lik den korteste avstanden fra et gitt punkt O til kraftens virkelinje, kalles kraftens skulder.

Hvis posisjonen til kraftens handlingsplan i rommet ikke er avgjørende for karakteristikken til kraftens rotasjonsvirkning, så i dette tilfellet å karakterisere kraftens rotasjonsvirkning i stedet for vektoren til kraftmomentet benyttes algebraisk kraftmoment:

(3)

Det algebraiske kraftmomentet i forhold til et gitt senter er lik produktet av kraftmodulen ved sin skulder, tatt med et pluss- eller minustegn. I dette tilfellet tilsvarer det positive momentet rotasjonen av kroppen under påvirkning av den gitte kraften mot klokkeviseren, og det negative momentet tilsvarer rotasjonen av kroppen langs klokkeviseren. Fra formlene (1), (2) og (3) følger det at kraftmomentet i forhold til punktet er null bare hvis skulderen til denne kraftenhlik null... En slik kraft kan ikke rotere kroppen rundt et gitt punkt.

f) Kraftmoment om aksen

Hvis kroppen under påvirkning av kraft kan rotere rundt en fast akse (for eksempel rotasjonen av en dør eller vindusramme i hengsler når de åpnes eller lukkes), så for å kvantifisere denne rotasjonseffekten, introduseres en fysisk størrelse, som er kalt kraftmoment om en gitt akse.

z

 b F xy

Figur 3 viser et diagram i henhold til hvilket kraftmomentet i forhold til z-aksen bestemmes:

Vinkelen  dannes av to vinkelrette retninger z og til planene til trekantene O ab og OAV, henholdsvis. Siden  O ab er projeksjonen av ОАВ på xy-planet, så har vi ved stereometri-teoremet på projeksjonen av en plan figur på dette planet:

hvor plusstegnet tilsvarer den positive verdien av cos, dvs. spisse vinkler , og minustegnet tilsvarer den negative verdien av cos, dvs. stumpe vinkler , som skyldes retningen til vektoren. I sin tur, SO ab=1/2abh, hvor h  ab ... Segmentstørrelse ab er lik projeksjonen av kraften på xy-planet, dvs. . ab = F xy .

Basert på ovenstående, samt likheter (4) og (5), definerer vi kraftmomentet i forhold til z-aksen som følger:

Likhet (6) lar oss formulere følgende definisjon av kraftmomentet i forhold til en hvilken som helst akse: Kraftmomentet i forhold til en gitt akse er lik projeksjonen på denne aksen av vektoren til denne kraftmomentet i forhold til evt. punktet på denne aksen og er definert som produktet av projeksjonen av kraften på planet vinkelrett på denne aksen, tatt med et pluss- eller minustegn på denne projeksjonens skulder i forhold til skjæringspunktet mellom aksen og projeksjonsplanet . I dette tilfellet anses øyeblikkets tegn som positivt hvis, sett fra den positive retningen av aksen, rotasjonen av kroppen rundt denne aksen er synlig mot klokkeviseren. Ellers blir kraftmomentet om aksen tatt negativt. Siden denne definisjonen av kraftmomentet rundt aksen er ganske vanskelig å huske, anbefales det å huske formelen (6) og fig. 3, som forklarer denne formelen.

Av formel (6) følger det at kraftmomentet om aksen er null if den er parallell med aksen (i dette tilfellet er projeksjonen på et plan vinkelrett på aksen null), eller kraftlinjen skjærer aksen (da projeksjonens skulder h=0). Dette samsvarer fullt ut med den fysiske betydningen av kraftmomentet om aksen som en kvantitativ karakteristikk av kraftens rotasjonseffekt på et legeme som har en rotasjonsakse.

g) kroppsvekt

Det har lenge vært lagt merke til at under påvirkning av kraft, øker en kropp gradvis hastighet og fortsetter å bevege seg hvis kraften fjernes. Denne egenskapen til kropper, for å motstå en endring i deres bevegelse, ble kalt treghet eller treghet i kropper. Det kvantitative målet for en kropps treghet er dens masse. I tillegg, Kroppsmasse er et kvantitativt mål på effekten av gravitasjonskrefter på en gitt kropp jo større massen til kroppen er, desto større er gravitasjonskraften som virker på kroppen. Som vist under, NS Disse to definisjonene av kroppsvekt henger sammen.

Resten av begrepene og definisjonene av dynamikk vil bli diskutert senere i avsnittene der de først dukker opp.

2. Bindinger og bindingsreaksjoner

Tidligere i avsnitt 1 punkt (c) ble begrepet en fri kropp gitt, som en kropp som kan bevege seg i rommet i alle retninger uten å være i direkte kontakt med andre kropper. De fleste av de virkelige kroppene som omgir oss er i direkte kontakt med andre kropper og kan ikke bevege seg i en eller annen retning. Så for eksempel kan kropper på bordflaten bevege seg i alle retninger, bortsett fra retningen vinkelrett på bordflaten nedover. Dører festet på hengsler kan rotere, men kan ikke bevege seg translasjonsmessig osv. Kropp som ikke kan bevege seg i rommet i en eller annen retning kalles ikke gratis.

Alt som begrenser bevegelsen til en gitt kropp i rommet kalles begrensninger. Det kan være andre kropper som hindrer bevegelsen av denne kroppen i noen retninger ( fysiske forbindelser); i en bredere forstand kan det være noen forhold som pålegges kroppens bevegelser, som begrenser denne bevegelsen. Så du kan sette en betingelse om at bevegelsen til et materialpunkt skjer langs en gitt kurve. I dette tilfellet spesifiseres forbindelsen matematisk i form av en ligning ( begrensningslikning). Spørsmålet om typene lenker vil bli diskutert mer detaljert nedenfor.

De fleste forbindelsene som pålegges kropper er praktisk talt fysiske forbindelser. Derfor oppstår spørsmålet om samspillet til denne kroppen og forbindelsen som er pålagt denne kroppen. Dette spørsmålet besvares av aksiomet om legemers interaksjon: To legemer virker på hverandre med krefter like store, motsatte i retning og plassert på samme rette linje. Disse kreftene kalles interaksjonskrefter. Interaksjonskrefter påføres ulike samvirkende kropper. Så, for eksempel, når et gitt legeme og en forbindelse samhandler, påføres en av samhandlingskreftene fra siden av kroppen til forbindelsen, og den andre samhandlingskraften påføres fra siden av forbindelsen til denne kroppen. Denne siste kraften kalles ved styrken av bindingsreaksjonen eller rett og slett, kommunikasjonsreaksjon.

Når du løser praktiske problemer med dynamikk, er det nødvendig å kunne finne retningen for reaksjoner av ulike typer sammenhenger. Den generelle regelen for å bestemme retningen for bindingsreaksjonen kan noen ganger hjelpe i dette: Bindingsreaksjonen er alltid rettet motsatt retningen som denne bindingen forhindrer bevegelsen til den gitte kroppen. Hvis denne retningen kan angis definitivt, vil reaksjonen til forbindelsen bli bestemt av retningen. Ellers er retningen på bindingsreaksjonen usikker og kan bare finnes fra de tilsvarende bevegelses- eller likevektslikningene til kroppen. Mer detaljert bør spørsmålet om typene forbindelser og retningen på deres reaksjoner studeres i læreboken: S.M. Targ Et kort kurs i teoretisk mekanikk "High school", M., 1986. Kapittel 1, §3.

I avsnitt 1 punkt (c) ble det sagt at virkningen av ethvert kraftsystem kun kan bestemmes fullt ut dersom dette kraftsystemet påføres et fritt legeme. Siden de fleste kropper i virkeligheten ikke er frie, så for å studere bevegelsen til disse kroppene, oppstår spørsmålet om hvordan man kan gjøre disse kroppene frie. Dette spørsmålet er besvart aksiom for forelesningsforbindelser på filosofi hjemme. Forelesninger var ... sosialpsykologi og etnopsykologi. 3. Teoretisk Utfall I sosialdarwinismen var det ...

Teoretisk Mekanikk

Studieveiledning >> Fysikk

Abstrakt forelesninger på Emne TEORETISK MEKANIKK For studenter av spesialiteten: 260501.65 ... - abstrakt på heltid forelesninger satt sammen på grunnlag av: L.V. Butorin, E.B. Busygin. Teoretisk Mekanikk... Treningsmanual ...

I ethvert akademisk kurs begynner fysikkstudiet med mekanikk. Ikke med teoretisk, ikke med anvendt og ikke beregningsmessig, men med god gammel klassisk mekanikk. Denne mekanikken kalles også newtonsk mekanikk. Ifølge legenden gikk forskeren i hagen, så et eple falle, og det var dette fenomenet som presset ham til oppdagelsen av loven om universell gravitasjon. Selvfølgelig har loven alltid eksistert, og Newton ga den bare en form som folk forstår, men hans fortjeneste er uvurderlig. I denne artikkelen vil vi ikke beskrive lovene til newtonsk mekanikk så detaljert som mulig, men vi vil skissere grunnleggende, grunnleggende kunnskap, definisjoner og formler som alltid kan spille i hendene dine.

Mekanikk er en gren av fysikk, en vitenskap som studerer bevegelsen til materielle kropper og samspillet mellom dem.

Selve ordet er av gresk opprinnelse og er oversatt som «kunsten å bygge maskiner». Men før konstruksjonen av maskiner er vi fortsatt som månen, så vi vil følge i fotsporene til våre forfedre, og vi vil studere bevegelsen av steiner kastet i en vinkel mot horisonten, og epler som faller på hoder fra en høyde av h.

Hvorfor begynner studiet av fysikk med mekanikk? For det er helt naturlig, ikke å starte det fra termodynamisk likevekt?!

Mekanikk er en av de eldste vitenskapene, og historisk begynte studiet av fysikk nettopp fra mekanikkens grunnlag. Plassert innenfor rammen av tid og rom, kunne folk faktisk ikke ta utgangspunkt i noe annet, med alt sitt ønske. Bevegelige kropper er det første vi retter oppmerksomheten mot.

Hva er bevegelse?

Mekanisk bevegelse er en endring i kroppens posisjon i rommet i forhold til hverandre over tid.

Det er etter denne definisjonen vi ganske naturlig kommer til begrepet en referanseramme. Endre posisjonen til kropper i rommet i forhold til hverandre. Stikkord her: i forhold til hverandre ... Tross alt beveger en passasjer i en bil seg i forhold til en person som står på siden av veien med en viss hastighet, og hviler i forhold til naboen på setet ved siden av ham, og beveger seg i en annen hastighet i forhold til en passasjer i en bil som kjører forbi dem.

Det er derfor, for å normalt måle parametrene til bevegelige objekter og ikke bli forvirret, trenger vi Referanseramme - stivt sammenkoblet referanselegeme, koordinatsystem og klokke. For eksempel beveger jorden seg rundt solen i en heliosentrisk referanseramme. I hverdagen utfører vi nesten alle våre målinger i en geosentrisk referanseramme knyttet til jorden. Jorden er et referanselegeme, i forhold til hvilken biler, fly, mennesker, dyr beveger seg.

Mekanikk, som vitenskap, har sin egen oppgave. Mekanikkens oppgave er å vite posisjonen til en kropp i rommet til enhver tid. Mekanikk konstruerer med andre ord en matematisk beskrivelse av bevegelse og finner sammenhenger mellom de fysiske størrelsene som kjennetegner den.

For å komme videre trenger vi konseptet " materiell poeng ". De sier at fysikk er en eksakt vitenskap, men fysikere vet hvor mange tilnærminger og antakelser som må gjøres for å bli enige om akkurat denne nøyaktigheten. Ingen har noen gang sett et materiell punkt eller luktet ideell gass, men det er de! Det er bare mye lettere å leve med dem.

Materialpunkt er en kropp, hvis størrelse og form kan neglisjeres i sammenheng med dette problemet.

Seksjoner av klassisk mekanikk

Mekanikk består av flere seksjoner

• Kinematikk
• Dynamikk
• Statikk

Kinematikk fra et fysisk synspunkt studerer den nøyaktig hvordan kroppen beveger seg. Denne delen tar med andre ord for seg de kvantitative egenskapene til bevegelse. Finn hastighet, vei - typiske kinematiske problemer

Dynamikk løser spørsmålet om hvorfor det beveger seg på den måten. Det vil si at den tar hensyn til kreftene som virker på kroppen.

Statikk studerer balansen mellom kropper under påvirkning av krefter, det vil si svarer på spørsmålet: hvorfor faller det ikke i det hele tatt?

Grensene for anvendelighet av klassisk mekanikk

Klassisk mekanikk hevder ikke lenger å være en vitenskap som forklarer alt (på begynnelsen av forrige århundre var alt helt annerledes), og har en klar ramme for anvendelighet. Generelt gjelder lover for klassisk mekanikk for den verden vi er vant til når det gjelder størrelse (makrokosmos). De slutter å virke i tilfellet med partikkelverdenen, når kvantemekanikken erstatter den klassiske. Klassisk mekanikk er også ubrukelig i tilfeller der bevegelser av kropper skjer med en hastighet nær lysets hastighet. I slike tilfeller blir relativistiske effekter uttalt. Grovt sett, innenfor rammen av kvante- og relativistisk mekanikk – klassisk mekanikk, er dette et spesielt tilfelle når dimensjonene til kroppen er store, og hastigheten er liten.

Generelt sett går kvanteeffekter og relativistiske effekter aldri noe sted; de finner også sted under den vanlige bevegelsen til makroskopiske legemer med en hastighet som er mye mindre enn lysets hastighet. En annen ting er at effekten av disse effektene er så liten at den ikke går utover de mest nøyaktige målingene. Dermed vil klassisk mekanikk aldri miste sin grunnleggende betydning.

Vi vil fortsette å studere det fysiske grunnlaget for mekanikk i fremtidige artikler. For en bedre forståelse av mekanikken kan du alltid henvise til til våre forfattere som individuelt kaster lys over den mørke flekken til den vanskeligste oppgaven.

1 lysbilde

Forelesningskurs om teoretisk mekanikk Dynamikk (I del) Bondarenko A.N. Moskva - 2007 Det elektroniske opplæringskurset ble skrevet på grunnlag av forelesningene gitt av forfatteren for studenter som studerte i spesialitetene til SZD, PGS og SDM ved NIIZhT og MIIT (1974-2006). Utdanningsmateriellet tilsvarer kalenderplanene i volumet på tre semestre. For å implementere animasjonseffekter fullt ut under en presentasjon, må du bruke en Power Point-visning som ikke er lavere enn den som er innebygd i Microsoft Office i Windows-XP Professional-operativsystemet. Kommentarer og forslag kan sendes på e-post: [e-postbeskyttet]... Moscow State University of Railway Engineering (MIIT) Institutt for teoretisk mekanikk Vitenskapelig og teknisk senter for transportteknologi

2 lysbilde

Innhold Forelesning 1. Introduksjon til dynamikk. Lover og aksiomer for dynamikken til et materiell punkt. Grunnleggende ligning av dynamikk. Differensial- og naturlige bevegelsesligninger. To hovedoppgaver for dynamikk. Eksempler på løsning av dynamikkens direkte problem Forelesning 2. Løsning av dynamikkens inverse problem. Generelle instruksjoner for å løse det omvendte problemet med dynamikk. Eksempler på å løse det omvendte problemet med dynamikk. Bevegelsen til en kropp kastet i vinkel mot horisonten, uten hensyn til luftmotstand. Forelesning 3. Rettlinjede vibrasjoner av et materialpunkt. Betingelse for forekomst av vibrasjoner. Klassifisering av vibrasjoner. Frie vibrasjoner uten å ta hensyn til motstandskreftene. Dempede oscillasjoner. Reduksjon av svingninger. Forelesning 4. Tvangssvingninger av et materialpunkt. Resonans. Påvirkningen av motstand mot bevegelse under tvungne vibrasjoner. Forelesning 5. Relativ bevegelse av et materiell punkt. Treghetskrefter. Spesielle tilfeller av bevegelse for ulike typer bærbare bevegelser. Påvirkningen av jordens rotasjon på kroppens balanse og bevegelse. Forelesning 6. Dynamikk i et mekanisk system. Mekanisk system. Ytre og indre krefter. Systemets massesenter. Teoremet om bevegelsen til massesenteret. Bevaringslover. Et eksempel på å løse et problem ved å bruke teoremet om massesenterets bevegelse. Forelesning 7. Kraftimpuls. Mengden bevegelse. Teoremet om endringen i mengden bevegelse. Bevaringslover. Eulers teorem. Et eksempel på å løse problemet med å bruke teoremet om endring av momentum. Moment av momentum. Teorem om endringen i vinkelmomentet .. Forelesning 8. Bevaringslover. Elementer i teorien om treghetsmomenter. Kinetisk øyeblikk av en stiv kropp. Differensialligning for rotasjon av et stivt legeme. Et eksempel på løsning av oppgaven om bruk av teoremet om endringen i vinkelmomentet til systemet. Elementær teori om gyroskopet. Anbefalt litteratur 1. Yablonskiy A.A. Kurs i teoretisk mekanikk. Del 2. M .: Videregående skole. 1977 368 s. 2. Meshchersky I.V. Samling av problemer i teoretisk mekanikk. M .: Vitenskap. 1986 416 s. 3. Innsamling av oppgaver til semesteroppgaver / Red. A.A. Yablonsky. M.: Videregående skole. 1985 366 s. 4. Bondarenko A. N. «Teoretisk mekanikk i eksempler og problemer. Dynamics ”(elektronisk manual www.miit.ru/institut/ipss/faculties/trm/main.htm), 2004

3 lysbilde

Forelesning 1 Dynamikk er en gren av teoretisk mekanikk som studerer mekanisk bevegelse fra det mest generelle synspunkt. Bevegelsen vurderes i sammenheng med kreftene som virker på objektet. Seksjonen består av tre seksjoner: Dynamikk til et materialpunkt Dynamikk Dynamikk til et mekanisk system Analytisk mekanikk ■ Dynamikk til et punkt - studerer bevegelsen til et materialpunkt under hensyntagen til kreftene som forårsaker denne bevegelsen. Hovedobjektet er et materiell punkt - en materiell kropp med en masse, hvis dimensjoner kan neglisjeres. Grunnleggende antakelser: - det er et absolutt rom (det har rent geometriske egenskaper som ikke er avhengig av materien og dens bevegelse. - det er en absolutt tid (avhenger ikke av materien og dens bevegelse). Derfor følger: - det er en absolutt ubevegelig referanseramme - tid avhenger ikke av referanserammens bevegelse - massene av bevegelige punkter avhenger ikke av referanserammens bevegelse. Disse antakelsene brukes i klassisk mekanikk, skapt av Galileo og Newton Det har fortsatt et ganske bredt bruksområde, siden de mekaniske systemene som vurderes i anvendt vitenskap ikke har så store masser og bevegelseshastigheter, for at det er nødvendig å ta hensyn til deres innflytelse på geometrien til rom, tid, bevegelse , slik det gjøres i relativistisk mekanikk (relativitetsteori), deres dynamiske interaksjon Handlinger under påvirkning av ulike krefter. ■ Treghetsloven (Galileo-Newtons lov) - Et isolert materiell punkt i kroppen beholder sin hviletilstand eller ensartede rettlinjede bevegelse til de påførte kreftene tvinger den til å endre denne tilstanden. Dette innebærer ekvivalensen av tilstanden hvile og bevegelse ved treghet (Galileos relativitetslov). Referanserammen som treghetsloven er oppfylt i forhold til kalles treghet. Egenskapen til et materiell punkt å strebe etter å holde hastigheten på bevegelsen (dens kinematiske tilstand) uendret kalles treghet. ■ Loven om proporsjonalitet for kraft og akselerasjon (Grunnleggende dynamikkligning - Newtons II-lov) - Akselerasjonen som tildeles et materiellpunkt med kraft er direkte proporsjonal med kraften og omvendt proporsjonal med massen til dette punktet: eller Her er m punktets masse (treghetsmål), målt i kg, numerisk lik vekt delt på akselerasjonen på grunn av tyngdekraften: F er den virkende kraften, målt i N (1 N gir en akselerasjon på 1 m/s2 til et punkt med en masse på 1 kg, 1 N = 1/9. 81 kg-s). ■ Dynamikk til et mekanisk system - studerer bevegelsen til et sett med materielle punkter og faste stoffer, forent av generelle samhandlingslover, tar hensyn til kreftene som forårsaker denne bevegelsen. ■ Analytisk mekanikk - studerer bevegelsen til ikke-frie mekaniske systemer ved bruk av generelle analytiske metoder. 1

4 lysbilde

Forelesning 1 (forts. - 1.2) Differensialligninger for bevegelse av et materialpunkt: - differensialligning for bevegelse av et punkt i vektorform. - differensialligninger for bevegelse av et punkt i koordinatform. Dette resultatet kan oppnås ved formell projeksjon av vektordifferensialligningen (1). Etter gruppering brytes vektorrelasjonen ned i tre skalare ligninger: I koordinatform: Vi bruker forholdet mellom radiusvektoren med koordinater og kraftvektoren med projeksjoner: eller: Erstatt akselerasjonen til et punkt i vektorens bevegelsesinnstilling i grunnleggende dynamikkligning: Naturlige bevegelsesligninger for et materialpunkt oppnås ved å projisere en vektordifferensialligning for bevegelse på naturlige (bevegelige) koordinatakser: eller: - naturlige bevegelsesligninger for et punkt. ■ Den grunnleggende dynamikkens ligning: - tilsvarer vektormetoden for å spesifisere bevegelsen til et punkt. ■ Loven om uavhengighet av virkningen av krefter - Akselerasjonen til et materiell punkt under virkningen av flere krefter er lik den geometriske summen av akselerasjonene til et punkt fra virkningen av hver av kreftene separat: eller loven er gyldig for enhver kinematisk tilstand av kropper. Samhandlingskreftene, som brukes på forskjellige punkter (kropper), er ikke balansert. ■ Loven om likhet mellom handling og reaksjon (III Newtons lov) - Hver handling tilsvarer en like stor og motsatt rettet reaksjon: 2

5 lysbilde

To hovedproblemer med dynamikk: 1. Direkte problem: Bevegelse er gitt (bevegelsesligninger, bane). Det er nødvendig å bestemme kreftene under påvirkningen som en gitt bevegelse oppstår. 2. Omvendt problem: kreftene som bevegelsen skjer under påvirkning av. Det kreves å finne parametrene for bevegelse (bevegelsesligninger, bevegelsesbane). Begge problemene løses ved å bruke den grunnleggende dynamikkligningen og dens projeksjon på koordinataksene. Hvis bevegelsen til et ikke-fritt punkt vurderes, brukes, som i statikk, prinsippet om frihet fra bindinger. Som et resultat av reaksjonen inngår bindingene i sammensetningen av kreftene som virker på materialpunktet. Løsningen på det første problemet er forbundet med differensieringsoperasjoner. Løsningen av det inverse problemet krever integrasjon av de tilsvarende differensialligningene, og dette er mye vanskeligere enn differensiering. Det omvendte problemet er mer komplisert enn det direkte problemet. La oss vurdere løsningen av det direkte problemet med dynamikk ved eksempler: Eksempel 1. En heisvogn med vekt G løftes av en kabel med akselerasjon a. Bestem kabelspenningen. 1. Vi velger et objekt (heisvognen beveger seg progressivt og den kan betraktes som et materiell punkt). 2. Vi forkaster forbindelsen (kabelen) og erstatter med reaksjon R. 3. Lag den grunnleggende dynamikkligningen: Bestem reaksjonen til kabelen: Bestem kabelens spenning: Med jevn bevegelse av førerhuset = 0 og kabelens spenning er lik vekten: T = G. Når kabelen ryker, er T = 0 og akselerasjonen til hytta er lik tyngdeakselerasjonen: ay = -g. 3 4. La oss projisere den grunnleggende dynamikkens ligning på y-aksen: y Eksempel 2. Et punkt med masse m beveger seg langs en horisontal flate (Oxy-plan) i henhold til ligningene: x = a coskt, y = b coskt. Bestem kraften som virker på punktet. 1. Velg et objekt (materialpunkt). 2. Vi forkaster forbindelsen (planet) og erstatter den med reaksjon N. 3. Legg til den ukjente kraften F. til kraftsystemet 4. Vi komponerer den grunnleggende dynamikkens ligning: 5. Vi projiserer den grunnleggende dynamikkens ligning på x, y akser: Vi bestemmer projeksjonene av kraften: Kraftmodul: Retning cosinus : Kraftens størrelse er altså proporsjonal med avstanden til punktet fra koordinatsenteret og er rettet mot sentrum langs linjen som forbinder punktet til sentrum. Banen til et punkt er en ellipse sentrert ved origo: O r Forelesning 1 (forts. - 1.3)

6 lysbilde

Forelesning 1 (forts. 1.4) Eksempel 3: En last med vekt G henger på en kabel med lengde l og beveger seg langs en sirkelbane i et horisontalplan med en viss hastighet. Avviksvinkelen til kabelen fra vertikalen er lik. Bestem tauspenningen og belastningshastigheten. 1. Velg objektet (last). 2. Vi forkaster forbindelsen (kabelen) og erstatter med reaksjon R. 3. Lag den grunnleggende ligningen for dynamikk: Fra den tredje ligningen bestemmer vi reaksjonen til kabelen: Vi bestemmer spenningen til kabelen: Erstatt verdien av kabelreaksjon, normal akselerasjon inn i den andre ligningen og bestemme hastigheten på lasten: 4. Projisere den grunnleggende ligningsdynamikken på akselen, n, b: Eksempel 4: En bil med vekt G beveger seg langs en konveks bro (krumningsradius er R) med en hastighet V. Bestem trykket til bilen på broen. 1. Vi velger et objekt (en bil, vi forsømmer dimensjonene og anser det som et punkt). 2. Vi kaster bindingen (ru overflate) og erstatter med reaksjoner N og friksjonskraft Ffr. 3. Vi komponerer den grunnleggende dynamikkens ligning: 4. Vi projiserer den grunnleggende dynamikkens ligning på aksen n: Herfra bestemmer vi normalreaksjonen: Vi bestemmer trykket til bilen på broen: Herfra kan vi bestemme hastigheten tilsvarende null trykk på broen (Q = 0): 4

7 lysbilde

Forelesning 2 Etter å ha erstattet de funnet verdiene til konstantene, får vi: Under påvirkning av det samme kreftsystemet kan et materiell punkt utføre en hel klasse med bevegelser bestemt av startforholdene. Opprinnelseskoordinatene tar hensyn til punktets opprinnelse. Starthastigheten, gitt av projeksjonene, tar hensyn til effekten på dens bevegelse langs den betraktede delen av banen til kreftene som virker på punktet før de ankommer denne delen, dvs. innledende kinematisk tilstand. Løsning av det inverse problemet med dynamikk - I det generelle tilfellet er bevegelsen til et kraftpunkt som virker på et punkt variabler som avhenger av tid, koordinater og hastighet. Bevegelsen til et punkt er beskrevet av et system med tre andreordens differensialligninger: Etter å ha integrert hver av dem, vil det være seks konstanter C1, C2,..., C6: Verdiene til konstantene C1, C2,... ., C6 er funnet fra seks startbetingelser ved t = 0: Løsningseksempel 1 omvendt problem: Et fritt materialpunkt med masse m beveger seg under påvirkning av en kraft F, konstant i størrelse og størrelse. ... I det første øyeblikket var punktets hastighet v0 og falt sammen i retning med kraften. Bestem bevegelsesligningen til et punkt. 1. Lag den grunnleggende dynamikkligningen: 3. Senk rekkefølgen til den deriverte: 2. Velg en kartesisk referanseramme, retter x-aksen langs kraftens retning og projiser den grunnleggende dynamikkligningen på denne aksen: eller xyz 4. Skill variablene: 5. Regn ut integralene til begge sider av ligningen: 6. Vi representerer projeksjonen av hastigheten som den deriverte av koordinaten med hensyn til tid: 8. Regn ut integralene til begge sider av ligning: 7. Skill variablene: 9. For å bestemme verdiene til konstantene C1 og C2 bruker vi startbetingelsene t = 0, vx = v0, x = x0: Som et resultat får vi likningen uniform bevegelse (langs x-aksen): 5

8 lysbilde

Generelle instruksjoner for å løse det direkte og omvendte problemet. Løsningsprosedyre: 1. Sammenstilling av differensialligningen for bevegelse: 1.1. Velg et koordinatsystem - rektangulært (fast) med en ukjent bevegelsesbane, naturlig (bevegelig) med en kjent bane, for eksempel en sirkel eller en rett linje. I sistnevnte tilfelle kan én rettlinjet koordinat brukes. Juster origo med startposisjonen til punktet (ved t = 0) eller med likevektsposisjonen til punktet, hvis den eksisterer, for eksempel når punktet vibrerer. 6 1.2. Tegn et punkt i en posisjon som tilsvarer et vilkårlig tidspunkt i tid (for t> 0) slik at koordinatene er positive (s> 0, x> 0). I dette tilfellet antar vi også at projeksjonen av hastigheten i denne posisjonen også er positiv. Ved svingninger endrer projeksjonen av hastigheten for eksempel fortegn ved retur til likevektsposisjonen. Her bør det antas at i det betraktede tidspunktet beveger punktet seg bort fra likevektsposisjonen. Denne anbefalingen er viktig i fremtiden ved arbeid med hastighetsavhengige motstandskrefter. 1.3. Frigjør det materielle punktet fra forbindelser, erstatt deres handling med reaksjoner, legg til aktive krefter. 1.4. Skriv ned dynamikkens grunnleggende lov i vektorform, projiser på utvalgte akser, uttrykk de gitte eller reaktive kreftene i form av tidsvariabler, koordinater eller hastigheter, hvis de er avhengige av dem. 2. Løsning av differensialligninger: 2.1. Senk den deriverte hvis ligningen ikke er redusert til den kanoniske (standard) formen. for eksempel: eller 2.2. Delte variabler, for eksempel: eller 2.4. Beregn ubestemte integraler på venstre og høyre side av ligningen, for eksempel: 2.3. Hvis det er tre variabler i ligningen, gjør en endring av variablene, for eksempel: og del deretter variablene. Kommentar. I stedet for å beregne ubestemte integraler, kan du beregne bestemte integraler med en variabel øvre grense. De nedre grensene representerer startverdiene til variablene (startbetingelsene). Da er det ikke nødvendig med en separat bestemmelse av konstanten, som automatisk inkluderes i løsningen, for eksempel: Ved å bruke startbetingelsene, for eksempel, t = 0 , vx = vx0, bestem integrasjonskonstanten: 2.5. Uttrykk hastigheten i form av den deriverte av koordinatene i tid, for eksempel, og gjenta avsnitt 2.2 - 2.4. Hvis ligningen reduseres til den kanoniske formen, som har en standardløsning, brukes denne ferdige løsningen. Integrasjonskonstanter finnes fortsatt fra startforholdene. Se for eksempel nøling (Forelesning 4, s. åtte). Forelesning 2 (forts. 2.2)

9 lysbilde

Forelesning 2 (forts. 2.3) Eksempel 2 på løsning av det inverse problemet: Kraft avhenger av tid. En last med vekt P begynner å bevege seg på en jevn horisontal overflate under påvirkning av en kraft F, hvis verdi er proporsjonal med tiden (F = kt). Bestem avstanden tilbakelagt av lasten i tid t. 3. Lag den grunnleggende dynamikkens ligning: 5. Senk rekkefølgen til den deriverte: 4. Projiser den grunnleggende dynamikkens ligning på x-aksen: eller 7 6. Skill variablene: 7. Regn ut integralene til begge sider av ligningen: 9. La oss representere projeksjonen av hastigheten som den tidsderiverte av koordinaten: 10. Regn ut integralene til begge sider av ligningen: 9. Skill variablene: 8. Bestem verdien av konstanten C1 fra initialen betingelse t = 0, vx = v0 = 0: Som et resultat får vi bevegelsesligningen (langs x-aksen), som gir verdien av tilbakelagt avstand for tiden t: 1. Vi velger en referanseramme ( Kartesiske koordinater) slik at kroppen har en positiv koordinat: 2. Vi tar bevegelsesobjektet som et materiell punkt (kroppen beveger seg translasjonsmessig), frigjør den fra forbindelsen (referanseplanet) og erstatter den med en reaksjon (normal reaksjon av en glatt overflate): 11. Bestem verdien av konstanten C2 fra startbetingelsen t = 0, x = x0 = 0: Eksempel 3 for å løse det inverse problemet: Kraften avhenger av koordinaten. Et materialpunkt med massen m kastes oppover fra jordoverflaten med en hastighet på v0. Jordens tyngdekraft er omvendt proporsjonal med kvadratet på avstanden fra et punkt til tyngdepunktet (jordens sentrum). Bestem hastighetens avhengighet av avstanden y til jordens sentrum. 1. Vi velger en referanseramme (kartesiske koordinater) slik at kroppen har en positiv koordinat: 2. Vi komponerer den grunnleggende dynamikkens ligning: 3. Vi projiserer den grunnleggende dynamikkens ligning på y-aksen: eller Koeffisienten til proporsjonalitet kan bli funnet ved å bruke vekten av et punkt på jordoverflaten: R Derav differensialen ligningen ser ut som: eller 4. Senk rekkefølgen på den deriverte: 5. Gjør endringen av variabelen: 6. Skill variablene: 7. Regn ut integralene til begge sider av ligningen: 8. Bytt ut grensene: Som et resultat får vi uttrykket for hastigheten som funksjon av y-koordinaten: Maksimal høyde flyhastighet kan finnes ved å likestille hastigheten til null: Maksimal flyhøyde når nevneren forsvinner: Når du angir jordens radius og gravitasjonsakselerasjon, oppnås derfor den kosmiske hastigheten II:

10 lysbilde

Forelesning 2 (fortsettelse 2.4) Eksempel 2 på løsning av det inverse problemet: Kraft avhenger av hastighet. Et skip med masse m hadde en hastighet på v0. Motstanden til vannet mot fartøyets bevegelse er proporsjonal med hastigheten. Bestem tiden når båtens hastighet vil falle til det halve etter at motoren er slått av, samt avstanden som båten har tilbakelagt til fullstendig stopp. 8 1. Vi velger en referanseramme (kartesiske koordinater) slik at kroppen får en positiv koordinat: 2. Vi tar bevegelsesobjektet som et materiell punkt (skipet beveger seg fremover), frigjør det fra bindinger (vann) og erstatte det med en reaksjon (oppdrift - kraften til Archimedes), og også med kraften til motstand mot bevegelse. 3. Legg til aktiv kraft (tyngdekraften). 4. Lag den grunnleggende dynamikkens ligning: 5. Projiser den grunnleggende dynamikkens ligning på x-aksen: eller 6. Senk rekkefølgen til den deriverte: 7. Skill variablene: 8. Regn ut integralene til begge sider av ligning: 9. Erstatt grensene: Det oppnås et uttrykk som relaterer hastigheten og tiden t, hvorfra du kan bestemme bevegelsestidspunktet: Bevegelsestiden, hvor hastigheten vil falle til det halve: Det er interessant å merke seg at når farten nærmer seg null, tenderer bevegelsestiden til uendelig, dvs slutthastigheten kan ikke være null. Er det ikke "evig bevegelse"? Imidlertid er avstanden tilbakelagt til holdeplassen den endelige verdien. For å bestemme den tilbakelagte avstanden går vi til uttrykket oppnådd etter å ha senket rekkefølgen til den deriverte, og gjør endringen av variabelen: Etter integrasjon og substitusjon av grensene får vi: Avstanden tilbakelagt til stoppet: ■ Bevegelsen av et punkt kastet i vinkel mot horisonten i et jevnt gravitasjonsfelt uten å ta hensyn til luftmotstand. Eliminerer tid fra bevegelsesligningene, får vi baneligningen: Flytiden bestemmes ved å likestille y-koordinaten til null: Flyrekkevidden bestemmes ved å erstatte flytiden:

11 lysbilde

Forelesning 3 Retlineære oscillasjoner av et materialpunkt - Oscillerende bevegelse av et materialpunkt skjer under betingelsen: det er en gjenopprettingskraft som har en tendens til å returnere punktet til likevektsposisjonen for ethvert avvik fra denne posisjonen. 9 Det er en gjenopprettende kraft, en likevektsposisjon er stabil Det er ingen gjenopprettende kraft, en likevektsposisjon er ustabil Det er ingen gjenopprettende kraft, en likevektsposisjon er likegyldig. Den er alltid rettet mot likevektsposisjonen, verdien er direkte proporsjonal med den lineære forlengelsen (forkortningen) av fjæren, lik kroppens avvik fra likevektsposisjonen: c er koeffisienten for fjærstivhet, numerisk lik kraften hvorunder fjæren endrer lengden med en, målt i N / m i systemet SI. x y O Typer av vibrasjoner av et materialpunkt: 1. Frie vibrasjoner (uten å ta hensyn til motstanden til mediet). 2. Frie vibrasjoner tatt i betraktning mediets motstand (dempede vibrasjoner). 3. Tvangsvibrasjoner. 4. Tvangsvibrasjoner som tar hensyn til mediets motstand. ■ Frie vibrasjoner - oppstår kun under påvirkning av gjenopprettingskraften. La oss skrive ned dynamikkens grunnleggende lov: Velg et koordinatsystem sentrert ved likevektsposisjonen (punkt O) og projiser likningen på x-aksen: La oss redusere den resulterende likningen til standard (kanonisk) form: Denne likningen er en homogen lineær differensialligning av andre orden, hvis løsningsform bestemmes av røttene til karakteristikken ligningen oppnådd ved bruk av den universelle substitusjonen: Røttene til den karakteristiske ligningen er imaginære og like: Den generelle løsningen av differensialligningen har formen: Punktets hastighet: Startbetingelser: Definer konstantene: Så ligningen for frie oscillasjoner har formen: Ligningen kan representeres av et enkeltledd uttrykk: - startfasen. De nye konstantene a og - er relatert til konstantene C1 og C2 ved relasjonene: La oss bestemme a og: Årsaken til forekomsten av frie oscillasjoner er startforskyvningen x0 og/eller starthastigheten v0.

12 lysbilde

10 Forelesning 3 (forts. 3.2) Dempede oscillasjoner av et materialpunkt - Oscillerende bevegelse av et materialpunkt skjer i nærvær av en gjenopprettingskraft og en kraft av motstand mot bevegelse. Avhengigheten av motstandskraften til bevegelse av forskyvning eller hastighet bestemmes av den fysiske naturen til mediet eller forbindelsen som forhindrer bevegelse. Den enkleste avhengigheten er en lineær avhengighet av hastighet (viskos motstand): - viskositetskoeffisient xy O Grunnleggende dynamikkligning: Projeksjon av dynamikkligningen på aksen: La oss bringe ligningen til en standardform: hvor Den karakteristiske ligningen har røtter : Den generelle løsningen av denne differensialligningen har en annen form avhengig av verdiene til røttene: 1.n< k – случай малого вязкого сопротивления: - корни комплексные, различные. или x = ae-nt x = -ae-nt Частота затухающих колебаний: Период: T* Декремент колебаний: ai ai+1 Логарифмический декремент колебаний: Затухание колебаний происходит очень быстро. Основное влияние силы вязкого сопротивления – уменьшение амплитуды колебаний с течением времени. 2. n >k - tilfelle av høy viskøs motstand: - ekte røtter, annerledes. eller - disse funksjonene er aperiodiske: 3. n = k: - reelle multiplerøtter. disse funksjonene er også aperiodiske:

13 lysbilde

Forelesning 3 (fortsettelse 3.3) Klassifisering av løsninger av frie oscillasjoner. Fjærkoblingsmetoder. Tilsvarende stivhet. y y 11 Forskj. ligning Karakter. likning Roots karakter. ligninger Løsning av en differensialligning Graf nk n = k

14 lysbilde

Forelesning 4 Tvangsvibrasjoner av et materialpunkt - Sammen med gjenopprettingskraften virker en periodisk skiftende kraft, kalt forstyrrende kraft. Den forstyrrende kraften kan være av en annen karakter. For eksempel, i et spesielt tilfelle, forårsaker treghetseffekten av den ubalanserte massen m1 til en roterende rotor harmonisk skiftende projeksjoner av kraften: Grunnleggende dynamikkligning: Projeksjon av dynamikkligningen på en akse: La oss bringe ligningen til standardform: 12 Løsningen av denne inhomogene differensialligningen består av to deler x = x1 + x2: x1 er den generelle løsningen av den tilsvarende homogene ligningen og x2 er den spesielle løsningen av den inhomogene ligningen: Vi velger den spesielle løsningen i formen på høyre side: Den oppnådde likheten må være oppfylt for enhver t. Deretter: eller Dermed, med den samtidige virkningen av de gjenopprettende og forstyrrende kreftene, utfører materialpunktet en kompleks oscillerende bevegelse, som er resultatet av addisjonen (superposisjonen) av frie (x1) og tvungne (x2) svingninger. Hvis s< k (вынужденные колебания малой частоты), то фаза колебаний совпадает с фазой возмущающей силы: В итоге полное решение: или Общее решение: Постоянные С1 и С2, или a и определяются из начальных условий с использованием полного решения (!): Таким образом, частное решение: Если p >k (tvangssvingninger med høy frekvens), da er fasen av svingninger motsatt av fasen til den forstyrrende kraften:

15 lysbilde

Forelesning 4 (forts. 4.2) 13 Den dynamiske koeffisienten er forholdet mellom amplituden til tvungne vibrasjoner og den statiske avbøyningen av et punkt under påvirkning av en konstant kraft H = const: Amplitude av tvungne vibrasjoner: Den statiske avbøyningen kan finnes fra likevektsligning: Her: Derfor: På s< k (малая частота вынужденных колебаний) коэффициент динамичности: При p >k (høy frekvens av tvungne vibrasjoner) dynamisk faktor: Resonans - oppstår når frekvensen av tvungne vibrasjoner faller sammen med frekvensen av naturlige vibrasjoner (p = k). Dette skjer oftest ved start og stopp av rotasjon av dårlig balanserte rotorer festet til elastiske oppheng. Differensialligningen for oscillasjoner med like frekvenser: Den spesielle løsningen i form av høyre side kan ikke tas, siden du får en lineært avhengig løsning (se generell løsning). Generell løsning: Erstatter i differensialligningen: Ta en bestemt løsning på formen og beregn de deriverte: Dermed oppnås løsningen: eller Tvangssvingninger ved resonans har en amplitude som øker uendelig proporsjonalt med tiden. Påvirkningen av motstand mot bevegelse under tvungne vibrasjoner. Differensialligningen i nærvær av viskøs motstand har formen: Den generelle løsningen velges fra tabellen (Forelesning 3, side 11), avhengig av forholdet mellom n og k (se). Vi tar den bestemte løsningen på formen og beregner de deriverte: Erstatter i differensialligningen: Ved å likestille koeffisientene for de samme trigonometriske funksjonene får vi et likningssystem: Heve begge likningene til potensen og addere dem til potensen til begge likningene , får vi amplituden til tvangssvingningene: Ved å dele den andre ligningen med den første får vi faseforskyvningen til tvangssvingningene: Dermed likningen av bevegelse for tvangsvibrasjoner, tatt i betraktning motstanden mot bevegelse, for eksempel, for n< k (малое сопротивление): Вынужденные колебания при сопротивлении движению не затухают. Частота и период вынужденных колебаний равны частоте и периоду изменения возмущающей силы. Коэффициент динамичности при резонансе имеет конечную величину и зависит от соотношения n и к.

16 lysbilde

Forelesning 5 Relativ bevegelse av et materiell punkt - Anta at det bevegelige (ikke-treghets) koordinatsystemet Oxyz beveger seg i henhold til en viss lov i forhold til det stasjonære (treghets)koordinatsystemet O1x1y1z1. Bevegelsen til materialpunktet M (x, y, z) i forhold til det bevegelige systemet Oxyz er relativ, i forhold til det stasjonære systemet O1x1y1z1 er absolutt. Bevegelsen til det mobile systemet Oxyz i forhold til det stasjonære systemet O1x1y1z1 er en bærbar bevegelse. 14 z x1 y1 z1 O1 xy M xyz O Grunnleggende dynamikkligning: Absolutt akselerasjon av et punkt: Bytt ut den absolutte akselerasjonen til et punkt med grunnleggende dynamikkligning: Overfør ledd med translasjons- og Coriolis-akselerasjon til høyre side: De overførte leddene har dimensjonen krefter og betraktes som de tilsvarende treghetskreftene, lik: Da kan den relative bevegelsen til et punkt betraktes som absolutt, hvis vi legger translasjons- og Coriolis-treghetskreftene til de virkende kreftene: I projeksjonene på aksen til det bevegelige koordinatsystemet har vi: rotasjonen er uniform, da er εe = 0: 2. Translasjonskurvilineær bevegelse: Hvis bevegelsen er rettlinjet, så =: Hvis bevegelsen er rettlinjet og jevn, så er det bevegelige systemet treghets- og relativ bevegelse kan betraktes som absolutt: bevegelse (relativitetsprinsippet til klassisk mekanikk). Påvirkning av jordens rotasjon på kroppens balanse - La oss anta at kroppen er i likevekt på jordoverflaten på en vilkårlig breddegrad φ (parallell). Jorden roterer på sin akse fra vest til øst med en vinkelhastighet: Jordens radius er omtrent 6370 km. S R - full reaksjon av en ikke-glatt overflate. G er tyngdekraften til jorden til sentrum. Ф - treghetssentrifugalkraft. Betingelse for relativ likevekt: Resultatet av tiltrekningskreftene og treghetskreftene er tyngdekraften (vekt): Størrelsen på tyngdekraften (vekten) på jordoverflaten er lik P = mg. Treghetssentrifugalkraften er en liten brøkdel av tyngdekraften: Tyngdekraftens avvik fra tyngdekraftens retning er også liten: Dermed er påvirkningen av jordens rotasjon på kroppsbalansen ekstremt liten. og tas ikke med i praktiske beregninger. Den maksimale verdien av treghetskraften (ved φ = 0 - ved ekvator) er bare 0,00343 av verdien av tyngdekraften

17 lysbilde

Forelesning 5 (forts. 5.2) 15 Påvirkning av jordens rotasjon på bevegelsen av legemer i jordens gravitasjonsfelt - La oss sette kroppen faller på jorden fra en viss høyde H over jordens overflate på breddegrad φ. La oss velge en bevegelig referanseramme som er stivt koblet til jorden, og retter x- og y-aksene tangentielt til parallellen og til meridianen: Dermed identifiseres tyngdekraften med tyngdekraften. I tillegg tror vi at tyngdekraften er rettet vinkelrett på jordoverflaten på grunn av den lille avbøyningen, som diskutert ovenfor. Coriolis-akselerasjonen er lik og rettet parallelt med y-aksen mot vest. Coriolis treghetskraft er lik motsatt retning. La oss projisere likningen for relativ bevegelse på aksen: Løsningen av den første likningen gir: Startbetingelser: Løsningen av den tredje likningen gir: Startbetingelser: Den tredje likningen har formen: Startbetingelser: Dens løsning gir: Den oppnådde løsningen viser at kroppen avviker mot øst ved fall. La oss beregne verdien av dette avviket, for eksempel når vi faller fra en høyde på 100 m. Tidspunktet for fallet er funnet fra løsningen av den andre ligningen: Dermed er påvirkningen av jordens rotasjon på kroppens bevegelser. ekstremt liten for praktiske høyder og hastigheter og tas ikke med i tekniske beregninger. Løsningen til den andre ligningen innebærer også eksistensen av en hastighet langs y-aksen, som også skal forårsake og forårsake den tilsvarende akselerasjonen og Coriolis-treghetskraften. Påvirkningen av denne hastigheten og treghetskraften knyttet til den på endringen i bevegelse vil være enda mindre enn den betraktede Coriolis-treghetskraften assosiert med den vertikale hastigheten.

18 lysbilde

Forelesning 6 Dynamikk i et mekanisk system. Et system av materielle punkter eller et mekanisk system - Et sett med materielle punkter eller materielle forent av generelle lover for samhandling (posisjonen eller bevegelsen til hvert av punktene eller en kropp avhenger av posisjonen og bevegelsen til alle de andre) Et system av frie punkter - hvis bevegelse ikke er begrenset av noen forbindelser (for eksempel et planetsystem , der planetene regnes som materielle punkter). Et system med ikke-frie punkter eller et ikke-fritt mekanisk system - bevegelsen av materielle punkter eller kropper er begrenset av begrensningene som er pålagt systemet (for eksempel en mekanisme, en maskin, etc.). 16 krefter som virker på systemet. I tillegg til den tidligere eksisterende klassifiseringen av krefter (aktive og reaktive krefter), innføres en ny klassifisering av krefter: 1. Ytre krefter (e) - som virker på punkter og kropper i systemet fra punkter eller kropper som ikke er en del av dette system. 2. Interne krefter (i) - vekselvirkningskrefter mellom materielle punkter eller kropper inkludert i dette systemet. En og samme kraft kan være både ytre og indre kraft. Alt avhenger av hvilket mekanisk system som vurderes. For eksempel: I sol-, jord- og månesystemet er alle gravitasjonskrefter mellom dem interne. Når man vurderer systemet Jorden og Månen, er gravitasjonskreftene som påføres fra Solen eksterne: C З Л Basert på handlings- og reaksjonsloven, tilsvarer hver indre kraft Fk en annen indre kraft Fk ', lik i størrelse og motsatt i retning. To bemerkelsesverdige egenskaper til indre krefter følger av dette: Hovedvektoren til alle indre krefter i systemet er lik null: Hovedmomentet til alle indre krefter i systemet i forhold til ethvert senter er lik null: Eller i projeksjoner på koordinaten akser: Merknad. Selv om disse ligningene ligner på likevektsligningene, er de ikke det, siden interne krefter påføres forskjellige punkter eller kropper i systemet og kan føre til at disse punktene (legemene) beveger seg i forhold til hverandre. Det følger av disse ligningene at indre krefter ikke påvirker bevegelsen til systemet sett som en helhet. Massesenteret til systemet av materialpunkter. For å beskrive bevegelsen til systemet som helhet, introduseres et geometrisk punkt, kalt massesenteret, hvis radiusvektor bestemmes av uttrykket, der M er massen til hele systemet: Eller i projeksjoner på koordinaten akser: Formlene for massesenteret ligner på formlene for tyngdepunktet. Imidlertid er begrepet massesenter mer generelt siden det ikke er relatert til gravitasjonskrefter eller gravitasjonskrefter.

19 lysbilde

Forelesning 6 (forts. 6.2) 17 Teorem om bevegelsen til systemets massesenter - Betrakt et system med n materielle punkter. Vi deler kreftene på hvert punkt i eksterne og interne og erstatter dem med de tilsvarende resultantene Fke og Fki. La oss skrive ned for hvert punkt den grunnleggende dynamikkens ligning: eller Oppsummere disse ligningene over alle punktene: På venstre side av ligningen introduserer vi massene under tegnet til den deriverte og erstatter summen av de deriverte med den deriverte av summen: Fra definisjonen av massesenteret: Bytt inn i den resulterende ligningen: Etter å ha fjernet massen til systemet utenfor tegnet til den deriverte får vi eller: Produktet av systemets masse og akselerasjonen av dets sentrum, massen er lik hovedvektoren til ytre krefter. I projeksjoner på koordinataksene: Systemets massesenter beveger seg som et materialpunkt med masse lik massen til hele systemet, som alle ytre krefter som virker på systemet påføres. Konsekvenser fra teoremet om bevegelsen til systemets massesenter (bevaringslover): 1. Hvis i tidsintervallet hovedvektoren til systemets ytre krefter er lik null, Re = 0, så er hastigheten på massesenteret er konstant, vC = const (massesenteret beveger seg jevnt rettlinjet - loven om bevaring av bevegelse massesenter). 2. Hvis i tidsintervallet projeksjonen av hovedvektoren til systemets ytre krefter på x-aksen er lik null, Rxe = 0, så er hastigheten til massesenteret langs x-aksen konstant, vCx = const (massesenteret beveger seg jevnt langs aksen). Lignende utsagn er sanne for y- og z-aksene. Eksempel: To personer med masse m1 og m2 er i en båt med masse m3. I det første øyeblikket lå båten med folk i ro. Bestem bevegelsen til båten hvis en person som veier m2 har beveget seg til baugen på båten i en avstand a. 3. Hvis hovedvektoren til systemets ytre krefter i tidsintervallet er lik null, Re = 0, og i det første øyeblikket er hastigheten til massesenteret null, vC = 0, så er radiusvektoren til massesenteret forblir konstant, rC = const (massesenteret er i ro - loven om bevaring av posisjonen til massesenteret). 4. Hvis projeksjonen av hovedvektoren til systemets ytre krefter på x-aksen i tidsintervallet er null, er Rxe = 0, og i startøyeblikket er hastigheten til massesenteret langs denne aksen null, vCx = 0, da forblir koordinaten til massesenteret langs x-aksen konstant, xC = const (massesenteret beveger seg ikke langs denne aksen). Lignende utsagn er sanne for y- og z-aksene. 1. Bevegelsesobjekt (båt med mennesker): 2. Vi forkaster forbindelser (vann): 3. Erstatt forbindelsen med reaksjon: 4. Legg til aktive krefter: 5. Skriv ned teoremet om massesenteret: Projisere på x-en. -akse: O Bestem hvor langt sete skal byttes til en person med masse m1 slik at båten forblir på plass: Båten vil bevege seg en avstand l i motsatt retning.

20 lysbilde

Forelesning 7 Kraftimpuls - et mål på mekanisk interaksjon, som karakteriserer overføringen av mekanisk bevegelse fra siden av krefter som virker på et punkt i en gitt tidsperiode: 18 til et kraftpunkt i samme tidsrom: Multipliser med dt : Vi vil integrere over et gitt tidsintervall: Mengden av bevegelse av et punkt er et mål på mekanisk bevegelse, bestemt av en vektor lik produktet av massen til et punkt av vektoren av dets hastighet: Teorem om endringen i momentumet til systemet - Betrakt systemet n materielle punkter. Vi deler kreftene på hvert punkt i eksterne og interne og erstatter dem med de tilsvarende resultantene Fke og Fki. La oss skrive ned for hvert punkt den grunnleggende dynamikkens ligning: eller Antall bevegelser til systemet av materialpunkter er den geometriske summen av bevegelsesmengdene til materialpunkter: Per definisjon av massesenteret: Vektoren til momentum av systemet er lik produktet av massen til hele systemet med hastighetsvektoren til systemets massesenter. Deretter: I projeksjoner på koordinataksene: Den deriverte av vektoren til systemets momentum med hensyn til tid er lik hovedvektoren til systemets ytre krefter. La oss summere disse ligningene over alle punkter: På venstre side av ligningen introduserer vi massene under tegnet til den deriverte og erstatter summen av de deriverte med den deriverte av summen: Fra definisjonen av systemets momentum. : I projeksjoner på koordinataksene:

21 lysbilde

Eulers teorem - Anvendelse av teoremet om endringen i systemets bevegelsesmengde på bevegelsen til et kontinuerlig medium (vann). 1. Vi velger volumet av vann i turbinens krumlinjede kanal som objekt for bevegelse: 2. Vi forkaster forbindelsene og erstatter deres virkning med reaksjoner (Rпов - resultanten av overflatekrefter) 3. Legg til aktive krefter (Rb - resultanten av volumetriske krefter): 4. Skriv ned teoremet om endring i mengden av bevegelse av systemet: Mengden av bevegelse av vann til tidene t0 og t1 er representert som summen: Endring i mengden av bevegelse av vann i tidsintervallet: Endring i mengden av bevegelse av vann for et uendelig lite tidsintervall dt:, hvor F1 F2 Ved å ta produktet av tetthet, tverrsnittsareal og hastighet for en andre masse får vi: Substituere differensialen til momentumet til systemet inn i endringsteoremet får vi: Konsekvenser fra teoremet på endringen i systemets bevegelsesmengde (bevaringslover): 1. Dersom i tidsintervallet hovedvektoren til systemets ytre krefter er lik null, Re = 0, da er mengdevektoren for bevegelse konstant, Q = const er loven om bevaring av systemets bevegelsesmengde). 2. Hvis projeksjonen av hovedvektoren til systemets ytre krefter på x-aksen i tidsintervallet er lik null, Rxe = 0, så er projeksjonen av systemets momentum på x-aksen konstant, Qx = konst. Lignende utsagn er sanne for y- og z-aksene. Forelesning 7 (forts. 7.2) Eksempel: En granat med masse M, som fløy med en hastighet på v, eksploderte i to deler. Hastigheten til et av fragmentene med masse m1 økte i bevegelsesretningen til verdien v1. Bestem hastigheten på det andre skjæret. 1. Bevegelsesobjektet (granat): 2. Objektet er et fritt system, forbindelser og deres reaksjoner er fraværende. 3. Legg til aktive krefter: 4. Skriv ned teoremet om endringen i momentumet: Projisere på aksen: β Skille variablene og integrer: Høyre integral er praktisk talt null, siden eksplosjonstid t

22 lysbilde

Forelesning 7 (forts. 7.3) 20 Momentum av et punkt eller vinkelmoment for bevegelse i forhold til et bestemt senter er et mål for mekanisk bevegelse, bestemt av en vektor lik vektorproduktet av radiusvektoren til et materialpunkt av vektoren av momentumet: Det kinetiske momentet til et system av materialpunkter i forhold til et bestemt senter er geometrisk summen av momentene av antall bevegelser av alle materielle punkter i forhold til samme senter: I projeksjoner på aksen: I projeksjoner på aksen akse: Teoremet om endringen i vinkelmomentet til systemet - Betrakt et system med n materielle punkter. Vi deler kreftene på hvert punkt i eksterne og interne og erstatter dem med de tilsvarende resultantene Fke og Fki. La oss skrive ned for hvert punkt den grunnleggende dynamikkens ligning: eller Sum disse ligningene over alle punktene: Erstatt summen av deriverte med den deriverte av summen: Uttrykket i parentes er momentet av momentet til systemets momentum. Herfra: Vi multipliserer hver av likhetsvektoren med radiusvektoren til venstre: La oss se om det er mulig å flytte tegnet til den deriverte utenfor vektorproduktet: Dermed fikk vi: Den deriverte av vinkelmomentet til systemet i forhold til et eller annet senter i tid er lik hovedmomentet til systemets ytre krefter i forhold til det samme senteret. I projeksjoner på koordinataksene: Den deriverte av vinkelmomentet til systemet i forhold til en viss akse i tid er lik hovedmomentet til systemets ytre krefter i forhold til samme akse.

23 lysbilde

Forelesning 8 21 ■ Konsekvenser fra teoremet om endringen i systemets vinkelmomentum (bevaringslover): 1. Hvis i tidsintervallet er vektoren til hovedmomentet til systemets ytre krefter i forhold til et eller annet senter lik. null, MOe = 0, så er vektoren til vinkelmomentet til systemet i forhold til den samme senterkonstanten, KO = const er loven for bevaring av vinkelmomentet til systemet). 2. Hvis i tidsintervallet hovedmomentet til de ytre kreftene til systemet i forhold til x-aksen er lik null, Mxe = 0, så er vinkelmomentet til systemet i forhold til x-aksen konstant, Kx = konst. Lignende utsagn er sanne for y- og z-aksene. 2. Treghetsmomentet til et stivt legeme om aksen: Treghetsmomentet til et materialpunkt om aksen er lik produktet av punktets masse med kvadratet av avstanden til punktet til aksen. Treghetsmomentet til et stivt legeme rundt en akse er lik summen av produktene av massen til hvert punkt med kvadratet på avstanden til dette punktet til aksen. ■ Elementer i teorien om treghetsmomenter - Når et stivt legeme roterer, er treghetsmålet (motstand mot endring i bevegelse) treghetsmomentet rundt rotasjonsaksen. La oss vurdere de grunnleggende konseptene for definisjon og metoder for å beregne treghetsmomentene. 1. Treghetsmoment for et materialpunkt om aksen: Når man går fra en diskret liten masse til en uendelig liten masse av et punkt, bestemmes grensen for en slik sum av integralet: det aksiale treghetsmomentet til et stivt legeme . I tillegg til det aksiale treghetsmomentet til et stivt legeme, er det andre typer treghetsmomenter: det sentrifugale treghetsmomentet til et stivt legeme. polart treghetsmoment for et stivt legeme. 3. Teoremet om treghetsmomentene til et stivt legeme om parallelle akser - formelen for overgangen til parallelle akser: Treghetsmoment om den opprinnelige aksen Statiske treghetsmomenter om de opprinnelige aksene Kroppens masse Avstand mellom aksene z1 og z2 Dermed: Hvis aksen z1 går gjennom massesenteret, er statiske momenter lik null:

24 lysbilde

Forelesning 8 (forts. 8.2) 22 Treghetsmoment for en homogen stav med konstant tverrsnitt om aksen: xz L La oss velge elementærvolumet dV = Adx i en avstand x: x dx Elementærmasse: For å beregne treghetsmomentet ca. sentralaksen (som går gjennom tyngdepunktet), er det nok å endre posisjonen til aksen og sette grensene for integrasjon (-L / 2, L / 2). Her skal vi demonstrere formelen for overgangen til parallelle akser: zС 5. Treghetsmomentet til en homogen solid sylinder om symmetriaksen: H dr r La oss velge det elementære volumet dV = 2πrdrH (tynn sylinder med radius r): Elementær masse: Her brukte vi formelen for volumet til en sylinder V = πR2H. For å beregne treghetsmomentet til en hul (tykk) sylinder er det tilstrekkelig å sette grensene for integrasjon fra R1 til R2 (R2> R1): 6. Treghetsmoment for en tynn sylinder om symmetriaksen (t)

25 lysbilde

Forelesning 8 (forts. 8.3) 23 ■ Differensialligningen for rotasjon av et stivt legeme om en akse: La oss skrive et teorem om endringen i vinkelmomentet til et stivt legeme som roterer om en fast akse: Det kinetiske momentet til et roterende stivt legeme. legeme er: Momentet for ytre krefter om rotasjonsaksen er lik dreiemomentet (reaksjoner og kraft ingen moment gravitasjon): Erstatt vinkelmomentet og dreiemomentet i teoremet Eksempel: To personer med samme vekt G1 = G2 henger på et tau kastet over en solid blokk med vekt G3 = G1 / 4. På et tidspunkt begynte en av dem å klatre i tauet med en relativ hastighet u. Bestem løftehastigheten til hver av personene. 1. Velg objektet for bevegelse (blokk med personer): 2. Kast forbindelsene (støtteanordningen til blokken): 3. Erstatt forbindelsen med reaksjoner (lager): 4. Legg til aktive krefter (tyngdekraft): 5. Skriv ned teoremet om endringen i systemets kinetiske moment i forhold til blokkens rotasjonsakser: R Siden momentet til ytre krefter er lik null, må vinkelmomentet forbli konstant: I det innledende tidspunktet t = 0, var det likevekt og Kz0 = 0. Etter begynnelsen av bevegelsen til en person i forhold til tauet begynte hele systemet å bevege seg, men vinkelmomentsystemet må forbli lik null: Kz = 0. Det kinetiske momentet til systemet er summen av de kinetiske momentene til både mennesker og blokken: Her er v2 hastigheten til den andre personen, lik hastigheten til kabelen, Eksempel: Bestem perioden for små frie oscillasjoner til en homogen stang med masse M og lengde l, opphengt i den ene enden til den faste rotasjonsaksen. Eller: Ved små oscillasjoner sinφ φ: Svingningsperiode: Treghetsmoment for stangen:

26 lysbilde

Forelesning 8 (forts. 8.4 - tilleggsmateriale) 24 ■ Elementær teori om et gyroskop: Et gyroskop er et stivt legeme som roterer rundt en materialsymmetriakse, hvor ett av punktene er ubevegelige. Et fritt gyroskop er festet slik at massesenteret forblir stasjonært, og rotasjonsaksen går gjennom massesenteret og kan ta hvilken som helst posisjon i rommet, dvs. rotasjonsaksen endrer sin posisjon som aksen for sin egen rotasjon av kroppen under sfærisk bevegelse. Hovedantakelsen til den omtrentlige (elementære) teorien til gyroskopet er at vektoren til vinkelmomentet (vinkelmomentet) til rotoren antas å være rettet langs sin egen rotasjonsakse. Til tross for det faktum at rotoren i det generelle tilfellet deltar i tre rotasjoner, tas det kun hensyn til vinkelhastigheten til sin egen rotasjon ω = dφ / dt. Grunnen til dette er at i moderne teknologi roterer gyroskoprotoren med en vinkelhastighet i størrelsesorden 5000-8000 rad / s (ca. 50.000-80.000 rpm), mens de to andre vinkelhastighetene assosiert med presesjonen og nutasjonen av dens egen rotasjonsakse titusenvis av ganger mindre enn denne hastigheten. Hovedegenskapen til et fritt gyroskop er at rotoraksen opprettholder en konstant retning i rommet med hensyn til den treghets (stjerne) referanserammen (demonstrert av Foucaults pendel, som holder svingeplanet uendret i forhold til stjernene, 1852). Dette følger av loven om bevaring av vinkelmomentet i forhold til rotorens massesenter, forutsatt at friksjon i lagrene til rotoropphengsakslene, ytre og indre rammer neglisjeres: Kraftpåvirkning på aksen til et fritt gyroskop. I tilfelle av en kraft påført rotoraksen, er øyeblikket av ytre krefter i forhold til massesenteret ikke lik null: kraft, og i retning av vektoren til momentet for denne kraften, dvs. vil svinge ikke om x-aksen (intern oppheng), men om y-aksen (ekstern oppheng). Når kraften er avsluttet, vil rotoraksen forbli i uendret posisjon tilsvarende kraftens siste øyeblikk, fordi fra dette tidspunktet blir øyeblikket av ytre krefter igjen lik null. Ved en kortvarig kraftpåvirkning (støt), endrer gyroskopaksen praktisk talt ikke sin posisjon. Den raske rotasjonen av rotoren gir således gyroskopet evnen til å motvirke tilfeldige påvirkninger som har en tendens til å endre posisjonen til rotorens rotasjonsakse, og under konstant påvirkning av kraften opprettholder posisjonen til planet vinkelrett på den virkende kraften. der rotorens akse ligger. Disse egenskapene brukes i driften av treghetsnavigasjonssystemer.

Utsikt: denne artikkelen er lest 32852 ganger

Pdf Velg språk ... Russisk ukrainsk engelsk

Kort anmeldelse

Hele materialet er lastet ned ovenfor, etter å ha valgt språk på forhånd

• Statikk
  • Grunnleggende begreper om statikk
  • Typer krefter
  • Aksiomer for statikk
  • Forbindelser og deres reaksjoner
  • System av konvergerende krefter
    • Metoder for å bestemme det resulterende systemet med konvergerende krefter
    • Likevektsbetingelser for et system med konvergerende krefter
  • Kraftmoment i forhold til sentrum som vektor
    • Algebraisk størrelse på kraftmomentet
    • Egenskaper til kraftmomentet rundt sentrum (punkt)
  • Teorien om kraftpar
    • Addisjon av to parallelle krefter rettet i én retning
    • Tillegg av to parallelle krefter rettet i motsatte retninger
    • Par av styrker
    • Kraftpar teoremer
    • Likevektsbetingelser for et system av kraftpar
  • Spakarm
  • Vilkårlig flatt kraftsystem
    • Tilfeller av å redusere et flysystem av krefter til en enklere form
    • Analytiske likevektsforhold
  • Senter for parallelle styrker. Tyngdepunktet
    • Senter for parallelle styrker
    • Tyngdepunktet til en stiv kropp og dens koordinater
    • Tyngdepunkt for volum, plan og linje
    • Metoder for å bestemme plasseringen av tyngdepunktet
• Grunnleggende om styrkeberegninger
  • Oppgaver og metoder for styrke av materialer
  • Klassifisering av laster
  • Klassifisering av strukturelle elementer
  • Bardeformasjoner
  • Grunnleggende hypoteser og prinsipper
  • Interne krefter. Seksjonsmetode
  • Spenning
  • Strekker og klemmer
  • Mekaniske egenskaper til materialet
  • Tillatte spenninger
  • Hardhet av materialer
  • Plott med langsgående krefter og spenninger
  • Skifte
  • Geometriske egenskaper ved seksjoner
  • Torsjon
  • Bøye
    • Differensielle bøyningsbegrensninger
    • Fleksibilitetsstyrke
    • Normale spenninger. Styrkeberegning
    • Skjærbøyespenninger
    • Bøyestivhet
  • Elementer i den generelle teorien om stresstilstanden
  • Styrketeorier
  • Torsjonsbøy
• Kinematikk
  • Punktkinematikk
    • Punktbane
    • Metoder for å spesifisere punktbevegelse
    • Punkthastighet
    • Punktakselerasjon
  • Stiv kroppskinematikk
    • Translasjonsbevegelsen til en stiv kropp
    • Rotasjonsbevegelse av en stiv kropp
    • Gear kinematikk
    • Planparallell bevegelse av en stiv kropp
  • Kompleks punktbevegelse
• Dynamikk
  • Grunnleggende lover for dynamikk
  • Punktdynamikk
    • Differensialligninger for et fritt materialepunkt
    • To problemer med punktdynamikk
  • Stiv kroppsdynamikk
    • Klassifisering av krefter som virker på et mekanisk system
    • Differensialligninger for bevegelse av et mekanisk system
  • Generelle teoremer om dynamikk
    • Teoremet om bevegelsen til massesenteret til et mekanisk system
    • Momentum Change Theorem
    • Teoremet om endringen i vinkelmomentet
    • Teoremet om endring i kinetisk energi
• Krefter som virker i maskiner
  • Krafter i inngrep med et sylindrisk tannhjul
  • Friksjon i mekanismer og maskiner
    • Glidende friksjon
    • Rullende friksjon
  • Effektivitet
• Maskindeler
  • Mekanisk girkasse
    • Typer mekaniske transmisjoner
    • Grunnleggende og avledede parametere for mekaniske transmisjoner
    • Giroverføring
    • Fleksible koblingsoverføringer
  • Skaft
    • Formål og klassifisering
    • Designberegning
    • Sjekk utregning av aksler
  • Lagre
    • Glattlager
    • Rullende lagre
  • Koble til maskindeler
    • Typer avtakbare og koblinger i ett stykke
    • Tastede tilkoblinger
• Standardisering av normer, utskiftbarhet
  • Toleranser og landinger
  • Unified System of Tolerances and Landings (ESDP)
  • Geometrisk toleranse og posisjon

Format: pdf

Størrelse: 4MB

russisk språk

Et eksempel på beregning av sylindrisk tannhjul
Et eksempel på beregning av sylindrisk tannhjul. Materialvalg, beregning av tillatte spenninger, beregning av kontakt og bøyestyrke ble utført.

Et eksempel på å løse problemet med å bøye en bjelke
I eksemplet er det konstruert diagrammer over skjærkrefter og bøyemomenter, et farlig snitt er funnet og en I-bjelke valgt. Oppgaven analyserer konstruksjonen av diagrammer ved bruk av differensielle avhengigheter, en komparativ analyse av ulike tverrsnitt av bjelken utføres.

Et eksempel på å løse problemet med akseltorsjon
Oppgaven er å kontrollere styrken til en stålaksel for en gitt diameter, materiale og tillatte spenninger. Under løsningen plottes diagrammer over dreiemomenter, skjærspenninger og torsjonsvinkler. Skaftets egenvekt er ikke tatt i betraktning.

Et eksempel på å løse problemet med spenningskomprimering av en stang
Oppgaven er å kontrollere styrken til en stålstang ved en gitt tillatt spenning. I løpet av løsningen plottes det diagrammer over langsgående krefter, normalspenninger og forskyvninger. Det tas ikke hensyn til stangens egenvekt.

Anvendelse av teoremet for bevaring av kinetisk energi
Et eksempel på å løse oppgaven om anvendelsen av teoremet om bevaring av kinetisk energi til et mekanisk system

Bestemmelse av hastigheten og akselerasjonen til et punkt i henhold til de gitte bevegelsesligningene
Et eksempel på å løse et problem for å bestemme hastigheten og akselerasjonen til et punkt i henhold til de gitte bevegelsesligningene

Bestemmelse av hastigheter og akselerasjoner av punkter i et stivt legeme under planparallell bevegelse
Et eksempel på å løse problemet med å bestemme hastighetene og akselerasjonene til punktene til et stivt legeme under planparallell bevegelse

Bestemmelse av krefter i stengene til et flatt fagverk
Et eksempel på å løse problemet med å bestemme kreftene i stengene til en flat fagverk ved hjelp av Ritter-metoden og ved metoden for å kutte noder