Melding om emnet fraksjoner i Roma. Presentasjon - brøker i Babylon, Roma, Egypt - oppdagelse av desimalbrøker. Punktum, punktum, komma

Lysbilde 1

Brøker i Babylon, Egypt, Roma. Oppdage desimaler PRESENTASJON FOR BRUK SOM VISUELL HJELP I EKSTRA AKTIVITETER
Markelova G.V., matematikklærer ved Gremyachinsky-grenen til MBOU Secondary School. Nøkler

Lysbilde 2

Lysbilde 3

Om opprinnelsen til brøker
Behovet for brøktall oppsto som et resultat av praktisk menneskelig aktivitet. Behovet for å finne andelene til en enhet dukket opp blant våre forfedre når de delte byttet etter en jakt. Den andre viktige årsaken til utseendet av brøktall bør betraktes som måling av mengder ved å bruke den valgte måleenheten. Slik ble brøker til.

Lysbilde 4

Behovet for mer nøyaktige målinger førte til at de innledende måleenhetene begynte å bli delt i 2, 3 eller flere deler. Den mindre måleenheten, som ble oppnådd som følge av fragmentering, fikk et individuelt navn, og mengder ble målt med denne mindre enheten. I forbindelse med dette nødvendige arbeidet begynte man å bruke uttrykkene: halvt, tredje, to og et halvt trinn. Fra hvor man kunne konkludere med at brøktall oppsto som følge av måling av mengder. Folk gikk gjennom mange varianter av å skrive brøker til de kom til den moderne notasjonen.

Lysbilde 5

I historien om utviklingen av brøktall møter vi brøker av tre typer:
1) brøker eller enhetsbrøker der telleren er én, men nevneren kan være et hvilket som helst heltall; 2) systematiske brøker, der tellerne kan være alle tall, men nevnerne kan bare være tall av en bestemt type, for eksempel potenser på ti eller seksti;
3) generelle brøker der tellerne og nevnerne kan være alle tall. Oppfinnelsen av disse tre forskjellige brøktypene ga ulik vanskelighetsgrad for menneskeheten, så forskjellige typer brøker dukket opp i forskjellige tidsepoker.

Lysbilde 6

Brøker i Babylon
Babylonerne brukte bare to tall. En vertikal linje betydde én enhet, og en vinkel på to liggende linjer betydde ti. De laget disse strekene i form av kiler, fordi babylonerne skrev med en skarp pinne på fuktige leirtavler, som deretter ble tørket og brent.

Lysbilde 7

Brøker i det gamle Egypt
I det gamle Egypt nådde arkitekturen et høyt utviklingsnivå. For å bygge grandiose pyramider og templer, for å beregne lengder, arealer og volumer av figurer, var det nødvendig å kunne aritmetikk. Fra dechiffrert informasjon om papyrus, lærte forskerne at egypterne for 4000 år siden hadde et desimalsystem (men ikke posisjonelt) og var i stand til å løse mange problemer knyttet til behovene til konstruksjon, handel og militære anliggender.

Lysbilde 8

Sexagesimale fraksjoner
I det gamle Babylon ble en konstant nevner på 60 foretrukket. Sexagesimal fraksjoner, arvet fra Babylon, ble brukt av greske og arabiske matematikere og astronomer. Forskere forklarer på forskjellige måter utseendet til det sexagesimale tallsystemet blant babylonerne. Mest sannsynlig ble basen 60 tatt i betraktning her, som er et multiplum av 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 og 60, noe som i stor grad forenkler alle beregninger. I denne forbindelse kan sexagesimale brøker sammenlignes med våre desimalbrøker. I stedet for ordene "sekstideler", "tre tusen seks hundredeler" sa de kort: "første små brøker", "andre små brøker". Det er her ordene våre "minutt" (latin for "mindre") og "andre" (latin for "andre") kommer fra. Så den babylonske måten å notere brøker på har beholdt sin betydning til i dag.

Lysbilde 9

"Egyptiske brøker"
I det gamle Egypt hadde noen fraksjoner sine egne spesielle navn - nemlig 1/2, 1/3, 2/3, 1/4, 3/4, 1/6 og 1/8, som ofte dukker opp i praksis. I tillegg visste egypterne hvordan de skulle operere med såkalte aliquot-brøker (fra latin aliquot - flere) av typen 1/n - de kalles derfor noen ganger også "egyptiske"; disse brøkene hadde sin egen stavemåte: en langstrakt horisontal oval og under den betegnelsen på nevneren. De resterende brøkene skrev de som en sum av aksjer. Brøken 7/8 ble skrevet som brøker: ½+1/4+1/8.

Lysbilde 10

Brøker i det gamle Roma
Et interessant system av brøker var i det gamle Roma. Den var basert på å dele en vektenhet i 12 deler, som ble kalt ass. Den tolvte delen av et ess ble kalt en unse. Og banen, tiden og andre mengder ble sammenlignet med en visuell ting - vekt. For eksempel kan en romer si at han gikk syv unser av en sti eller leste fem unser av en bok. I dette tilfellet handlet det selvsagt ikke om å veie stien eller boken. Dette betydde at 7/12 av reisen var gjennomført eller 5/12 av boka var lest. Og for brøker oppnådd ved å redusere brøker med en nevner på 12 eller dele tolvdeler i mindre, var det spesielle navn.
1 troy unse gull - et mål på vekten av edle metaller

Lysbilde 11

Oppdage desimaler
I flere årtusener har menneskeheten brukt brøktall, men de kom opp med ideen om å skrive dem med praktiske desimaler mye senere. I dag bruker vi desimaler naturlig og fritt. I Vest-Europa 1500-tallet. Sammen med det utbredte desimalsystemet for å representere heltall, ble sexagesimale brøker brukt overalt i beregninger, som dateres tilbake til den gamle tradisjonen til babylonerne.

Lysbilde 12

Det tok den nederlandske matematikeren Simon Stevins klare sinn for å bringe registreringen av både heltall og brøktall inn i et enkelt system.

Lysbilde 13

Bruke desimaler
Fra begynnelsen av 1600-tallet begynte en intensiv penetrasjon av desimalbrøker i vitenskap og praksis. I England ble en prikk introdusert som et tegn som skiller en heltallsdel fra en brøkdel. Kommaet, i likhet med perioden, ble foreslått som et skilletegn i 1617 av matematikeren Napier. mye oftere enn vanlige brøker.
Utviklingen av industri og handel, vitenskap og teknologi krevde stadig mer tungvinte beregninger, som var lettere å utføre ved hjelp av desimalbrøker. Desimalbrøker ble mye brukt på 1800-tallet etter introduksjonen av det nært beslektede metriske systemet med vekter og mål. For eksempel, i vårt land, i jordbruk og industri, brukes desimalbrøker og deres spesielle form - prosenter - mye oftere enn vanlige brøker.

Lysbilde 14

Bruke desimaler
Fra begynnelsen av 1600-tallet begynte en intensiv penetrasjon av desimalbrøker i vitenskap og praksis. I England ble en prikk introdusert som et tegn som skiller en heltallsdel fra en brøkdel. Kommaet, i likhet med perioden, ble foreslått som et skilletegn i 1617 av matematikeren Napier. Utviklingen av industri og handel, vitenskap og teknologi krevde stadig mer tungvinte beregninger, som var lettere å utføre ved hjelp av desimalbrøker. Desimalbrøker ble mye brukt på 1800-tallet etter introduksjonen av det nært beslektede metriske systemet med vekter og mål. For eksempel, i vårt land, i jordbruk og industri, brukes desimalbrøker og deres spesielle form - prosenter - mye oftere enn vanlige brøker.

Lysbilde 15

Liste over kilder
M.Ya.Vygodsky "Aritmetikk og algebra i den antikke verden." G.I. Glazer "Historien om matematikk på skolen." I.Ya. Depman "History of Arithmetic". Vilenkin N.Ya. "Fra brøkenes historie" Friedman L.M. "Vi studerer matematikk." Brøker i Babylon, Egypt, Roma. Oppdagelse av desimalbrøker... prezentacii.com›Historie›Oppdagelse av desimalbrøker...matematikk "Brøker i Babylon, Egypt, Roma. Oppdagelse av desimaler... ppt4web.ru›…drobi…rime…desjatichnykh-drobejj.html Brøker i Babylon, Egypt, Roma. Oppdagelse av desimalbrøker"...powerpt.ru›...drobi-v...rime...desyatichnyh-drobey.html Egypt, antikkens Roma, Babylon. Oppdagelse av desimalbrøker."... uchportal.ru›Metodologisk utvikling›Oppdagelse av desimalbrøker. Matematikkens historie: ...Roma, Babylon. Oppdagelse av desimalbrøker... rusedu.ru›detail_23107.html 9Presentasjon: .. .Ancient Roma, Babylon. Oppdagelse av desimalbrøker... prezentacii-powerpoint.ru›…drobi…vavilone…drobej/ Brøker i Babylon, Egypt, Roma. Oppdagelse av desimaler... prezentacia.ucoz.ru›…drobi_v…desjatichnykh_drobej …

3.1.1. Om opprinnelsen til brøker.

Behovet for brøktall oppsto som et resultat av praktisk menneskelig aktivitet. Behovet for å finne andelene til en enhet dukket opp blant våre forfedre når de delte byttet etter en jakt. Den andre viktige årsaken til utseendet av brøktall bør betraktes som måling av mengder ved å bruke den valgte måleenheten.

Slik ble brøker til.

I historien om utviklingen av brøktall møter vi brøker av tre typer:

1) brøker eller enhetsbrøker der telleren er én, men nevneren kan være et hvilket som helst heltall;

2) systematiske brøker, der tellerne kan være alle tall, men nevnerne kan bare være tall av en bestemt type, for eksempel potenser på ti eller seksti;

3) generelle brøker der tellerne og nevnerne kan være alle tall.

Oppfinnelsen av disse tre forskjellige brøktypene ga ulik vanskelighetsgrad for menneskeheten, så forskjellige typer brøker dukket opp i forskjellige tidsepoker.

En persons bekjentskap med brøktall begynte med enhetsbrøker med små nevnere.

Begrepene "halv", "tredje", "kvart", "okta" brukes ofte av folk som aldri har studert brøkregning. Hver nasjon oppfant uavhengig disse enkle brøkene i løpet av sin utvikling.

Den første brøken folk ble introdusert for var halvparten. Selv om navnene på alle de følgende brøkene er relatert til navnene på nevnerne deres (tre er "tredje", fire er "kvart" osv.), er dette ikke sant for halvparten - navnet på alle språk har ingenting å si gjøre med ordet "to". Den neste brøken var en tredjedel.

Dermed er de første brøkene som historien introduserer oss for, brøker av formen - de såkalte enhetsbrøkene eller alikvotene (fra den latinske aliquoten - "flere").

Enhetsbrøker finnes i de eldste bevarte matematiske tekstene, komponert for mer enn 5000 år siden - gamle egyptiske papyrus og babylonske kileskrifttavler.

I gamle tider nådde vanlige fraksjoner sin største utvikling i India. I manuskripter som dateres tilbake til det 4. århundre f.Kr. finnes ikke bare enhetsbrøker, men også brøker med vilkårlige tellere. På begynnelsen av 700-tallet kjente og formulerte indianerne reglene for å operere med vanlige brøker. I Vest-Europa ga den flamske ingeniøren Simon Stevin en endelig etablert og klar teori om vanlige brøker i 1585.

3.1.2. Brøker i det gamle Egypt.

I det gamle Egypt nådde arkitekturen et høyt utviklingsnivå. For å bygge grandiose pyramider og templer, for å beregne lengder, arealer og volumer av figurer, var det nødvendig å kunne aritmetikk. Fra dechiffrert informasjon om papyrus, lærte forskerne at egypterne for 4000 år siden hadde et desimalsystem (men ikke posisjonelt) og var i stand til å løse mange problemer knyttet til behovene til konstruksjon, handel og militære anliggender. I mange århundrer kalte egypterne brøker "ødelagte tall", og den første brøken de ble introdusert for var 1/2. Den ble fulgt av 1/4, 1/8, 1/16, ..., deretter 1/3, 1/6, ..., dvs. De enkleste brøkene kalles enhetsbrøker. Telleren deres er alltid én.

Egypterne prøvde å skrive ned alle brøker som summer av enhetsbrøker (andeler). For eksempel skrev de i stedet . Brøken ble skrevet som brøk: . Det er veldig upraktisk å utføre aritmetiske operasjoner på tall, hver gang dekomponere dem til summen av brøker av én. Har den egyptiske forkjærligheten for aliquotbrøker noen forklaring?

La oss illustrere dette med et eksempel. Tenk på følgende problem: «Del 7 brød mellom 8 personer.»

Her er hvordan dette problemet ble løst på Rhind-papyrusen, en gammel egyptisk matematisk tekst omskrevet rundt 1650 f.Kr. skribent Ahmes.

Fordi det . Derfor bør hver person gis en halv, en fjerdedel og en åttendedel brød. Nå er det klart at du trenger å kutte 4 brød i to, 2 brød i 4 stykker, og bare ett brød i 8 stykker.

For å dekomponere ikke-enhetsbrøker til summen av enhet ener, var det ferdige tabeller, som egyptiske skriftlærde brukte for de nødvendige beregningene.

Det kan vises at hvert positivt rasjonelt tall kan representeres som en egyptisk brøk. Denne typen sum ble brukt av matematikere som en definisjon for brøker fra det gamle Egypt til middelalderen. I moderne matematikk brukes brøker og desimaler i stedet for egyptiske brøker, men egyptiske brøker fortsetter å bli studert i tallteori og historien til gammel matematikk.

3.1.3. Brøker i det gamle Roma.

Et interessant system av brøker var i det gamle Roma. Romerne brukte hovedsakelig kun betongbrøker, som erstattet abstrakte deler med underinndelinger av målene som ble brukt. Dette brøksystemet var basert på å dele en vektenhet i 12 deler, som ble kalt ass. Slik oppsto romerske duodesimale brøker, dvs. brøker hvis nevner alltid var tolv. Den tolvte delen av et ess ble kalt en unse. Og banen, tiden og andre mengder ble sammenlignet med en visuell ting - vekt. For eksempel kan en romer si at han gikk syv unser av en sti eller leste fem unser av en bok. I dette tilfellet handlet det selvsagt ikke om å veie stien eller boken. Dette betydde at 7/12 av reisen var gjennomført eller 5/12 av boka var lest. Og for brøker oppnådd ved å redusere brøker med en nevner på 12 eller dele tolvdeler i mindre, var det spesielle navn.

Selv nå sier de noen ganger: «Han studerte denne saken nøye.» Dette betyr at problemstillingen er studert til slutten, at ikke engang den minste uklarhet gjenstår. Og det merkelige ordet "scrupulous" kommer fra det romerske navnet for 1/288 assa - "scrupulus". Følgende navn var også i bruk: "semis" - en halv esel, "sextans" - en sjettedel av den, "semiounce" - en halv unse, dvs. 1/24 rumper osv. Totalt ble det brukt 18 forskjellige navn på brøker. For å jobbe med brøker måtte du huske addisjonstabellen og multiplikasjonstabellen for disse brøkene. Derfor visste de romerske kjøpmennene at når man legger til triens (1/3 assa) og sekstaner, er resultatet semis, og når man multipliserer imp (2/3 assa) med sescunce (2/3 unse, dvs. 1/8 assa), resultatet er en unse. For å lette arbeidet ble det satt sammen spesielle tabeller, hvorav noen har kommet ned til oss.

Tilbake i det første århundre f.Kr. sa den fremragende romerske taleren og forfatteren Cicero: «Uten kunnskap om brøker, kan ingen bli gjenkjent som å kunne aritmetikk!»

Følgende utdrag fra arbeidet til den berømte romerske poeten fra det 1. århundre f.Kr. Horace om en samtale mellom en lærer og en elev i en av de romerske skolene i den tiden er typisk:

Lærer: La sønnen til Albin fortelle meg hvor mye som er igjen hvis en unse blir tatt fra fem unser!

Student: En tredjedel.

Lærer: Det stemmer, du kjenner brøker godt og vil kunne redde eiendommen din.

Nå er "ræva" et apotek pund.

3.1.4. Babylonske sexagesimale fraksjoner.

Opprinnelsen til det sexagesimale systemet er uklart. Kanskje det er relatert til det duodesimale tallsystemet (60 = 5 × 12, hvor 5 er antall fingre på hånden). Det er også en hypotese av O. Neugebauer at etter den akkadiske erobringen av den sumeriske staten, eksisterte to monetære enheter samtidig der i lang tid: shekel (sekel) og mina, og deres forhold ble etablert som 1 mina = 60 shekel . Senere ble denne inndelingen vanlig og ga opphav til et tilsvarende system for registrering av eventuelle tall.

Utgravninger utført i det tjuende århundre blant ruinene av gamle byer i den sørlige delen av Mesopotamia avslørte et stort antall matematiske kileskrifttavler. Forskere som studerte dem fant at 2000 f.Kr. e. Matematikk nådde et høyt utviklingsnivå blant babylonerne.

Den skrevne seksagesimale nummereringen til babylonerne ble kombinert fra to ikoner: en vertikal kile ▼, som indikerer en, og et konvensjonelt tegn ◄, som indikerer ti.

Posisjonstallsystemet finnes for første gang i babylonske kileskrifttekster. Den vertikale kilen betegnet ikke bare 1, men også 60, 602, 603, etc. Til å begynne med hadde ikke babylonerne et tegn for null i det posisjonelle sexagesimale systemet. Senere ble tegnet èè introdusert, og erstattet den moderne null, for å skille sifrene fra hverandre.

Opprinnelsen til det sexagesimale tallsystemet blant babylonerne er, som vitenskapsmenn tror, forbundet med det faktum at de babylonske penge- og vektenheter ble delt inn, på grunn av historiske forhold, i 60 like deler: 1 talent = 60 min; 1 min = 60 sekel. Sekstideler var vanlig i babylonernes liv. Det er derfor de brukte sexagesimale brøker, som alltid har nevneren 60 eller potensene: 602 = 3600, 603 = 216000, etc. I denne forbindelse kan sexagesimale brøker sammenlignes med våre desimalbrøker. Babylonsk matematikk påvirket gresk matematikk. Spor av det babylonske sexagesimale tallsystemet har dvelet i moderne vitenskap i måling av tid og vinkler. Inndelingen av timer i 60 minutter, minutter i 60 sekunder, sirkler i 360 grader, grader i 60 minutter, minutter i 60 sekunder er bevart til i dag. Babylonerne ga verdifulle bidrag til utviklingen av astronomi. Forskere fra alle nasjoner brukte sexagesimale brøker i astronomi frem til 1600-tallet, og kalte dem astronomiske brøker. Derimot ble de generelle brøkene som vi bruker kalt vanlige.

3.1.5. Nummerering og brøker i antikkens Hellas.

Fram til det 6. århundre f.Kr. e. Gresk matematikk var ikke kjent for noe enestående. Som vanlig ble telling og måling mestret. Gresk numerering (registreringsnummer), som senere romersk numerering, var additiv, det vil si at de numeriske verdiene til sifre ble lagt til. Den første versjonen (Attic eller Herodian) inneholdt bokstavsymboler for 1, 5, 10, 50, 100 og 1000. Tellebrettet (kuleramme) med småstein ble konstruert deretter. For øvrig kommer begrepet beregning (beregning) fra kalkulus - småstein. En spesiell hullet rullestein indikerte null.

Senere, i stedet for attisk nummerering, ble alfabetisk nummerering tatt i bruk - de første 9 bokstavene i det greske alfabetet betegnet tall fra 1 til 9, de neste 9 bokstavene - tiere, resten - hundrevis. For ikke å forveksle tall og bokstaver ble det trukket en strek over tallene. Tall større enn 1000 ble skrevet posisjonsmessig, og markerte flere sifre med en spesiell strek (nederst til venstre). Spesielle merker gjorde det mulig å avbilde tall større enn 10 000.

På 600-tallet f.Kr. e. Det "greske miraklet" begynner: to vitenskapelige skoler dukker opp samtidig - jonerne (Thales of Miletus, Anaximenes, Anaximander) og pytagoreerne. Vi vet om prestasjonene til tidlige greske matematikere hovedsakelig fra kommentarer fra senere forfattere, hovedsakelig Euklid, Platon og Aristoteles.

Thales, en velstående kjøpmann, lærte tydeligvis babylonsk matematikk og astronomi godt under sine handelsreiser. Ionerne ga de første bevisene for geometriske teoremer.

Imidlertid tilhører hovedrollen i skapelsen av gammel matematikk pytagoreerne.

I antikkens Hellas ble aritmetikk - studiet av talls generelle egenskaper - skilt fra logistikk - kunsten å regne. Grekerne mente at fraksjoner bare kunne brukes i logistikk. Her møter vi først det generelle begrepet en brøkdel av formen m/n. Dermed kan vi vurdere at domenet til naturlige tall for første gang utvidet seg til domenet for komplementære rasjonelle tall i antikkens Hellas senest på 500-tallet f.Kr. e. Grekerne opererte fritt alle aritmetiske operasjoner med brøker, men gjenkjente dem ikke som tall.

Grekerne brukte, sammen med enhet, "egyptiske" brøker, vanlige vanlige brøker. Blant de forskjellige notasjonene ble følgende brukt: nevneren er øverst, og telleren til brøken er under den.

Historie om opprinnelsen til brøker

Introduksjon

Behovet for brøktall oppsto hos mennesker på et veldig tidlig stadium av utviklingen. Allerede delingen av byttet, bestående av flere drepte dyr, mellom deltakerne i jakten, da antallet dyr viste seg å ikke være et multiplum av antallet jegere, kunne føre primitivmennesket til begrepet et brøktall.

Sammen med behovet for å telle gjenstander har mennesker siden antikken hatt et behov for å måle lengde, areal, volum, tid og andre mengder. Resultatet av målinger kan ikke alltid uttrykkes i et naturlig tall, det må også tas hensyn til deler av målet som brukes. Historisk sett stammet fraksjoner fra måleprosessen.

Brøker i det gamle Roma

Romerne brukte den grunnleggende enheten for massemåling, og også den monetære enheten var "ass". Rumpa ble delt inn i 12 like deler - unser. Alle brøker med nevneren 12 ble lagt til fra dem, det vil si 1/12, 2/12, 3/12... Over tid begynte unser å bli brukt til å måle enhver mengde.

Slik oppsto romerne duodesimale brøker, det vil si brøker hvis nevner alltid har vært et tall 12 . I stedet for 1/12 sa romerne "en unse", 5/12 - "fem unser", etc. Tre unser ble kalt en fjerdedel, fire unser en tredjedel, seks unser en halv.

Det var bare 18 forskjellige fraksjoner i bruk:

SIMIS - halvt ess;

SEXSTANCE er den sjette delen av den;

SEKUNSJON – åttende;

TRIENS - tredjedel av rumpa;

BES – to tredjedeler;

OUNCE – tolvte del av et ess;

SYV UNSE – en halv unse.

Brøker i det gamle Egypt

I mange århundrer kalte egypterne brøker "ødelagte tall", og den første brøken de ble introdusert for var 1/2. Den ble fulgt av 1/4, 1/8, 1/16, ..., deretter 1/3, 1/6, ..., dvs. de enkleste brøkene kalt enhet eller basisfraksjoner. Telleren deres er alltid én. Først mye senere begynte grekerne, deretter indianerne og andre folkeslag, å bruke brøker av en generell form, kalt vanlig, der telleren og nevneren kan være alle naturlige tall.

Fra dechiffrert informasjon om papyrus, lærte forskerne at egypterne for 4000 år siden hadde et desimalsystem (men ikke posisjonelt) og var i stand til å løse mange problemer knyttet til behovene til konstruksjon, handel og militære anliggender.

En av de første kjente referansene til egyptiske brøker er den matematiske Rhind-papyrusen. Tre eldre tekster som nevner egyptiske brøker er den egyptiske matematiske lærrullen, Moskvas matematiske papyrus og Akhmim tretavlen. Rhind-papyrusen inkluderer en tabell med egyptiske brøker for rasjonelle tall på formen 2/ n, samt 84 matematiske problemer, deres løsninger og svar, skrevet i form av egyptiske brøker.

Egypterne satte hieroglyfen ( eh, "[en] av" eller re, munn) over tallet for å indikere en enhetsbrøk i vanlig notasjon, men i hellige tekster ble en linje brukt. For eksempel:

De hadde også spesielle symboler for brøkene 1/2, 2/3 og 3/4, som også kunne brukes til å skrive andre brøker (større enn 1/2).

De resterende brøkene skrev de som en sum av aksjer. De skrev brøken i skjemaet
, men "+"-tegnet ble ikke indikert. Og beløpet
skrevet i skjemaet . Følgelig har denne notasjonen for blandede tall (uten "+"-tegnet) blitt bevart siden den gang.

Babylonske sexagesimale fraksjoner

Innbyggerne i det gamle Babylon rundt tre tusen år f.Kr. skapte et målsystem som ligner på vårt metriske, bare det var ikke basert på tallet 10, men på tallet 60, der den mindre måleenheten var del av den høyere enheten. Dette systemet ble fullstendig fulgt av babylonerne for å måle tid og vinkler, og vi arvet fra dem inndelingen av timer og grader i 60 minutter og minutter i 60 sekunder.

Forskere forklarer på forskjellige måter utseendet til det sexagesimale tallsystemet blant babylonerne. Mest sannsynlig ble basen 60 tatt i betraktning her, som er et multiplum av 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 og 60, noe som i stor grad forenkler alle beregninger.

Sekstideler var vanlig i babylonernes liv. Det er derfor de brukte sexagesimal brøker hvis nevner alltid er tallet 60 eller potensene: 60 2, 60 3, etc. I denne forbindelse kan sexagesimale brøker sammenlignes med våre desimalbrøker.

Babylonsk matematikk påvirket gresk matematikk. Spor av det babylonske sexagesimale tallsystemet har dvelet i moderne vitenskap i måling av tid og vinkler. Inndelingen av timer i 60 minutter, minutter i 60 sekunder, sirkler i 360 grader, grader i 60 minutter, minutter i 60 sekunder er bevart til i dag.

Babylonerne ga verdifulle bidrag til utviklingen av astronomi. Forskere fra alle nasjoner brukte sexagesimale brøker i astronomi frem til 1600-tallet, og kalte dem astronomisk i brøkdeler. Derimot ble de generelle brøkene som vi bruker kalt vanlig.

Nummerering og brøker i antikkens Hellas

Siden grekerne jobbet med brøker kun sporadisk, brukte de forskjellige notasjoner. Heron og Diophantus, de mest kjente aritmetikere blant antikke greske matematikere, skrev brøker i alfabetisk form, med telleren plassert under nevneren. Men i prinsippet ble det foretrukket enten brøker med enhetsteller eller seksagesimale brøker.

Manglene ved gresk brøknotasjon, inkludert bruken av sexagesimale brøker i desimaltallsystemet, skyldtes ikke feil i de grunnleggende prinsippene. Manglene ved det greske tallsystemet kan snarere tilskrives deres insistering på strenghet, noe som markant økte vanskelighetene knyttet til å analysere forholdet mellom inkommensurable størrelser. Grekerne forsto ordet "tall" som et sett med enheter, så det vi nå anser som et enkelt rasjonelt tall - en brøkdel - forsto grekerne som forholdet mellom to hele tall. Dette forklarer hvorfor brøker sjelden ble funnet i gresk aritmetikk.

Brøker i russ

I russisk håndskrevet aritmetikk på 1600-tallet ble brøker kalt brøker, senere "ødelagte tall". I gamle manualer finner vi følgende navn på brøker i Rus:

1/2 - halvparten, halvparten

1/3 – tredje

1/4 – jevnt

1/6 – en halv tredjedel

1/8 - halvparten

1/12 – en halv tredjedel

1/16 - en halv

1/24 – en halv og en halv tredjedel (liten tredjedel)

1 / 32 – halv halv halv (liten halv)

1/5 – pyatina

1/7 - uke

1/10 - tiende

Slavisk nummerering ble brukt i Russland frem til 1500-tallet, deretter begynte det desimalposisjonelle tallsystemet gradvis å trenge inn i landet. Det erstattet til slutt den slaviske nummereringen under Peter I.

Brøker i andre antikkens stater

I den kinesiske "Matematikk i ni seksjoner" skjer allerede reduksjoner av brøker og alle operasjoner med brøker.

Hos den indiske matematikeren Brahmagupta finner vi et ganske utviklet system av brøker. Han kommer over forskjellige brøker: både grunnleggende og deriverte med en hvilken som helst teller. Teller og nevner skrives på samme måte som vi gjør nå, men uten horisontal linje, men plasseres rett og slett over hverandre.

Araberne var de første som skilte telleren fra nevneren med en linje.

Leonardo av Pisa skriver allerede brøker, og plasserer i tilfelle et blandet tall, hele tallet til høyre, men leser det på samme måte som det er vanlig blant oss. Jordan Nemorarius (XIII århundre) deler brøker ved å dele telleren med telleren og nevneren med nevneren, og sammenligne divisjon med multiplikasjon. For å gjøre dette må du supplere vilkårene for den første brøken med faktorer:

På 1400- – 1500-tallet antar studiet av brøker en form som allerede er kjent for oss og er formalisert til omtrent de samme avsnittene som finnes i lærebøkene våre.

Det skal bemerkes at delen av aritmetikk om brøker lenge har vært en av de vanskeligste. Det er ikke for ingenting at tyskerne fortsatt har et ordtak: «Å komme inn i brøker», som betydde å komme i en håpløs situasjon. Det ble antatt at alle som ikke kan brøker ikke kan aritmetikk.

Desimaler

Desimalbrøker dukket opp i verkene til arabiske matematikere i middelalderen og uavhengig av dem i det gamle Kina. Men enda tidligere, i det gamle Babylon, ble fraksjoner av samme type brukt, bare sexagesimal.

Senere publiserte vitenskapsmannen Hartmann Beyer (1563-1625) verket «Decimal Logistics», hvor han skrev: «... Jeg la merke til at teknikere og håndverkere, når de måler hvilken som helst lengde, svært sjelden og bare i unntakstilfeller uttrykker det i heltall med samme navn; Vanligvis må de enten ta små tiltak eller ty til brøker. På samme måte måler astronomer mengder ikke bare i grader, men også i brøkdeler av en grad, dvs. minutter, sekunder osv. Å dele dem i 60 deler er ikke like praktisk som å dele dem i 10, 100 deler osv., fordi i sistnevnte tilfelle er det mye lettere å legge til, subtrahere og generelt utføre aritmetiske operasjoner; Det ser ut for meg at desimalbrøker, hvis de ble introdusert i stedet for seksagesimale, ville være nyttige ikke bare for astronomi, men også for alle slags beregninger.»

I dag bruker vi desimaler naturlig og fritt. Det som synes naturlig for oss fungerte imidlertid som en virkelig snublestein for middelalderens vitenskapsmenn. I Vest-Europa 1500-tallet. Sammen med det utbredte desimalsystemet for å representere heltall, ble sexagesimale brøker brukt overalt i beregninger, som dateres tilbake til den gamle tradisjonen til babylonerne. Det tok den nederlandske matematikeren Simon Stevins klare sinn for å bringe registreringen av både heltall og brøktall inn i et enkelt system. Tilsynelatende var drivkraften for opprettelsen av desimalbrøker tabellene med renters rente han kompilerte. I 1585 ga han ut boken Tithes, der han forklarte desimalbrøker.

Fra begynnelsen av 1600-tallet begynte en intensiv penetrasjon av desimalbrøker i vitenskap og praksis. I England ble en prikk introdusert som et tegn som skiller en heltallsdel fra en brøkdel. Kommaet, i likhet med perioden, ble foreslått som et skilletegn i 1617 av matematikeren Napier.

Utviklingen av industri og handel, vitenskap og teknologi krevde stadig mer tungvinte beregninger, som var lettere å utføre ved hjelp av desimalbrøker. Desimalbrøker ble mye brukt på 1800-tallet etter introduksjonen av det nært beslektede metriske systemet med vekter og mål. For eksempel, i vårt land, i jordbruk og industri, brukes desimalbrøker og deres spesielle form - prosenter - mye oftere enn vanlige brøker.

Litteratur:

M.Ya.Vygodsky "Aritmetikk og algebra i den antikke verden" (M. Nauka, 1967)

G.I. Glazer "Historie om matematikk i skolen" (M. Prosveshcheniye, 1964)

I.Ya.Depman "History of Arithmetic" (M. Enlightenment, 1959)

ABSTRAKT

disiplin: "Matematikk"

om dette emnet: "Uvanlige brøker"

Utført:

5. klasse elev

Frolova Natalya

Veileder:

Drushchenko E.A.

matematikklærer

Strezhevoy, Tomsk-regionen

		Sidenr.
	Introduksjon
JEG.	Fra historien til vanlige brøker.
1.1	Fremveksten av brøker.
1.2	Brøker i det gamle Egypt.
1.3	Brøker i det gamle Babylon.
1.4	Brøker i det gamle Roma.
1.5	Brøker i antikkens Hellas.
1.6	Brøker i Rus'.
1.7	Brøker i det gamle Kina.
1.8	Brøker i andre stater i antikken og middelalderen.
II.	Påføring av vanlige brøker.
2.1	Alikvoter fraksjoner.
2.2	I stedet for små fliker, store.
2.3	Divisjoner i vanskelige omstendigheter.
III.	Interessante brøker.
3.1	Domino brøker.
3.2	Fra dypet av århundrer.
	Konklusjon
	Bibliografi
	Vedlegg 1. Naturlig målestokk.
	Vedlegg 2. Oldtidsoppgaver ved bruk av vanlige brøker.
	Vedlegg 3. Morsomme oppgaver med vanlige brøker.
	Vedlegg 4. Domino brøker

Introduksjon

I år begynte vi å lære om brøker. Svært uvanlige tall, som starter med deres uvanlige notasjon og slutter med komplekse regler for å håndtere dem. Selv om det fra det første bekjentskapet med dem var klart at vi ikke kunne klare oss uten dem selv i det vanlige livet, siden vi hver dag må møte problemet med å dele en helhet i deler, og selv i et visst øyeblikk virket det for meg at vi var ikke lenger omgitt av heler, men av brøktall. Med dem viste verden seg å være mer kompleks, men samtidig mer interessant. Jeg har noen spørsmål. Er brøker nødvendig? Er de viktige? Jeg ville vite hvor brøker kom til oss fra, som kom opp med reglene for å jobbe med dem. Selv om ordet oppfunnet nok er lite egnet, for i matematikk må alt verifiseres, siden alle vitenskaper og næringer i våre liv er basert på klare matematiske lover som gjelder over hele verden. Det kan ikke være slik at i vårt land utføres å legge til brøker i henhold til en regel, men et sted i England er det annerledes.

Mens jeg jobbet med essayet, måtte jeg møte noen vanskeligheter: med nye termer og konsepter, måtte jeg gruble, løse problemer og analysere løsningen foreslått av gamle forskere. Også, når jeg skrev, ble jeg for første gang møtt med behovet for å skrive brøker og brøkuttrykk.

Hensikten med essayet mitt: å spore historien til utviklingen av begrepet en vanlig brøk, å vise behovet og viktigheten av å bruke vanlige brøker for å løse praktiske problemer. Oppgavene jeg satte for meg selv: samle materiale om emnet for essayet og dets systematisering, studere gamle problemer, oppsummere det bearbeidede materialet, forberede det generaliserte materialet, forberede en presentasjon, presentere abstraktet.

Arbeidet mitt består av tre kapitler. Jeg studerte og bearbeidet materialer fra 7 kilder, inkludert pedagogisk, vitenskapelig og leksikon, og et nettsted. Jeg har designet en applikasjon som inneholder et utvalg oppgaver fra eldgamle kilder, noen interessante oppgaver med vanlige brøker, og også utarbeidet en presentasjon laget i Power Point-editoren.

I. Fra vanlige brøkers historie

Fremveksten av brøker

Tallrike historiske og matematiske studier viser at brøktall dukket opp blant forskjellige folkeslag i antikken, like etter naturlige tall. Utseendet til brøker er forbundet med praktiske behov: oppgaver der det var nødvendig å dele opp i deler var svært vanlige. I tillegg måtte en person i livet ikke bare telle gjenstander, men også måle mengder. Folk møtte målinger av lengder, landområder, volumer og kroppsmasser. I dette tilfellet hendte det at måleenheten ikke passet et helt antall ganger i den målte verdien. For eksempel, når man målte lengden på en seksjon i trinn, møtte en person følgende fenomen: ti trinn passer inn i lengden, og resten var mindre enn ett trinn. Derfor bør den andre vesentlige årsaken til utseendet av brøktall betraktes som måling av mengder ved å bruke den valgte måleenheten.

Således, i alle sivilisasjoner, oppsto begrepet en brøk fra prosessen med å dele en helhet i like deler. Det russiske begrepet "brøk", som dets analoger på andre språk, kommer fra lat. fractura, som igjen er en oversettelse av et arabisk begrep med samme betydning: å bryte, å fragmentere. Derfor var sannsynligvis de første brøkene overalt brøker av formen 1/n. Videre utvikling går naturlig nok mot å betrakte disse brøkene som enheter som brøkene m/n - rasjonelle tall - kan settes sammen av. Denne veien ble imidlertid ikke fulgt av alle sivilisasjoner: for eksempel ble den aldri realisert i gammel egyptisk matematikk.

Systemet for å registrere brøker og reglene for å håndtere dem var markant forskjellig mellom forskjellige nasjoner, og til forskjellige tider blant de samme menneskene. Tallrike lån av ideer spilte også en viktig rolle under kulturelle kontakter mellom ulike sivilisasjoner.

Brøker i det gamle Egypt

I det gamle Egypt brukte de bare de enkleste brøkene, der telleren er lik en (de som vi kaller "brøker"). Matematikere kaller slike brøker aliquot (fra latin aliquot - flere). Navnet grunnbrøker eller enhetsbrøker brukes også.

mesteparten av øyet 1/2 (eller 32/64) øyenbryn 1/8 (eller 8/64) tårefall (?) 1/32 (eller ²/64) Wadget 63 / 64

I tillegg brukte egypterne skriveformer basert på hieroglyfer Eye of Horus (Wadjet). De gamle var preget av sammenvevingen av bildet av solen og øyet. I egyptisk mytologi nevnes ofte guden Horus, som personifiserer den bevingede solen og er et av de vanligste hellige symbolene. I kampen med Solens fiender, legemliggjort i bildet av Set, blir Horus først beseiret. Seth river øyet fra ham - et fantastisk øye - og river det i filler. Thoth - guden for læring, fornuft og rettferdighet - satte igjen delene av øyet i en helhet, og skapte det "sunne øyet til Horus". Bilder av deler av det kuttede øyet ble brukt skriftlig i det gamle Egypt for å representere brøker fra 1/2 til 1/64.

Summen av de seks tegnene som er inkludert i Wadgeten og redusert til en fellesnevner: 32/64 + 16/64 + 8/64 + 4/64 + 2/64 + 1/64 = 63/64

Slike fraksjoner ble brukt sammen med andre former for egyptiske fraksjoner for å dele hekat, hovedmålet for volum i det gamle Egypt. Denne kombinerte registreringen ble også brukt til å måle volumet av korn, brød og øl. Hvis det, etter å ha registrert mengden som en brøkdel av Eye of Horus, var noe rest, ble det skrevet i vanlig form som et multiplum av rho, en måleenhet lik 1/320 av hekat.

For eksempel slik:

I dette tilfellet ble "munnen" plassert foran alle hieroglyfer.

Hekat bygg: 1/2 + 1/4 + 1/32 (det vil si 25/32 kar bygg).

Hekat var omtrent 4.785 liter.

Egypterne representerte enhver annen brøk som en sum av aliquotbrøker, for eksempel 9/16 = 1/2+1/16; 7/8=1/2+1/4+1/8 og så videre.

Det ble skrevet slik: /2 /16; /2 /4 /8.

I noen tilfeller virker dette enkelt nok. For eksempel, 2/7 = 1/7 + 1/7. Men en annen regel for egypterne var fraværet av å gjenta tall i en serie med brøker. Det vil si at 2/7 etter deres mening var 1/4 + 1/28.

Nå kalles summen av flere alikvoter en egyptisk brøk. Med andre ord har hver brøkdel av en sum en teller lik én og en nevner lik et naturlig tall.

Å utføre ulike beregninger, å uttrykke alle brøker i form av enheter, var selvfølgelig svært vanskelig og tidkrevende. Derfor sørget egyptiske vitenskapsmenn for å gjøre skriverens arbeid lettere. De kompilerte spesielle tabeller over dekomponeringer av brøker til enkle. De matematiske dokumentene fra det gamle Egypt er ikke vitenskapelige avhandlinger om matematikk, men praktiske lærebøker med eksempler hentet fra livet. Blant oppgavene som en student ved skribentskolen måtte løse, var beregninger av kapasiteten til fjøs, volumet av en kurv, arealet av et felt, fordeling av eiendom mellom arvinger og andre. Skriveren måtte huske disse prøvene og raskt kunne bruke dem til beregninger.

En av de første kjente referansene til egyptiske brøker er Rhind Mathematical Papyrus. Tre eldre tekster som nevner egyptiske brøker er den egyptiske matematiske lærrullen, Moskvas matematiske papyrus og Akhmim tretavlen.

Det eldste monumentet av egyptisk matematikk, den såkalte "Moskva-papyrusen", er et dokument fra 1800-tallet f.Kr. Det ble anskaffet i 1893 av samleren av gamle skatter Golenishchev, og ble i 1912 eiendommen til Moskva kunstmuseum. Den inneholdt 25 forskjellige problemer.

For eksempel vurderer den problemet med å dele 37 med et tall gitt som (1 + 1/3 + 1/2 + 1/7). Ved å suksessivt doble denne brøken og uttrykke forskjellen mellom 37 og resultatet, og bruke en prosedyre som i hovedsak ligner på å finne fellesnevneren, får man svaret: kvotienten er 16 + 1/56 + 1/679 + 1/776.

Det største matematiske dokumentet - en papyrus på regnehåndboken til skriveren Ahmes - ble funnet i 1858 av den engelske samleren Rhind. Papyrusen ble satt sammen på 1600-tallet f.Kr. Dens lengde er 20 meter, bredde 30 centimeter. Den inneholder 84 matematiske problemer, deres løsninger og svar, skrevet som egyptiske brøker.

Ahmes-papyrusen begynner med en tabell der alle brøker av formen 2\n fra 2/5 til 2/99 er skrevet som summer av aliquotbrøker. Egypterne visste også hvordan de skulle multiplisere og dele brøker. Men for å multiplisere, måtte du multiplisere brøker med brøker, og deretter kanskje bruke tabellen igjen. Situasjonen med splittelse var enda mer komplisert. Her er for eksempel hvordan 5 ble delt på 21:

Et ofte oppstått problem fra Ahmes-papyrusen: «La det bli sagt til dere: del 10 mål bygg på 10 personer; forskjellen mellom hver person og hans nabo er - 1/8 av målet. Gjennomsnittlig andel er ett mål. Trekk en fra 10; resten 9. Gjør opp halvparten av forskjellen; dette er 1/16. Ta det 9 ganger. Påfør dette på midtslaget; trekk fra 1/8 av målet for hvert ansikt til du når slutten."

Et annet problem fra Ahmes-papyrusen som demonstrerer bruken av aliquotfraksjoner: "Del 7 brød mellom 8 personer."
Hvis du skjærer hvert brød i 8 stykker, må du lage 49 stykker.
Og på egyptisk ble dette problemet løst slik. Brøken 7/8 ble skrevet som brøker: 1/2 + 1/4 + 1/8. Dette betyr at hver person skal få et halvt brød, en kvart brød og en åttendedel brød; Derfor skjærer vi fire brød i to, to brød i 4 deler og ett brød i 8 deler, hvoretter vi gir hver en del.

Egyptiske brøktabeller og forskjellige babylonske tabeller er de eldste kjente midlene for å lette beregninger.

Egyptiske brøker fortsatte å bli brukt i antikkens Hellas og deretter av matematikere over hele verden frem til middelalderen, til tross for kommentarer fra gamle matematikere om dem. For eksempel snakket Claudius Ptolemaios om ulempen ved å bruke egyptiske brøker sammenlignet med det babylonske systemet (posisjoneltallsystem). Viktig arbeid med studiet av egyptiske brøker ble utført av matematikeren Fibonacci fra 1200-tallet i hans arbeid "Liber Abaci" - dette er beregninger ved bruk av desimal og vanlige brøker, som til slutt erstattet egyptiske brøker. Fibonacci brukte en kompleks notasjon av brøker, inkludert notasjon med blandet basis og sum-av-brøk-notasjon, og egyptiske brøker ble ofte brukt. Boken ga også algoritmer for å konvertere fra vanlige brøker til egyptiske.

Brøker i det gamle Babylon.

Det er kjent at de i det gamle Babylon brukte det sexagesimale tallsystemet. Forskere tilskriver dette faktum at de babylonske penge- og vektmåleenhetene ble delt, på grunn av historiske forhold, i 60 like deler: 1 talent = 60 min; 1 min = 60 sekel. Sekstideler var vanlig i babylonernes liv. Det er derfor de brukte sexagesimale brøker, som alltid har nevneren 60 eller potensene: 60 2 = 3600, 60 3 = 216000, etc. Dette er verdens første systematiske brøker, d.v.s. brøker der nevneren er potenser av samme tall. Ved å bruke slike brøker måtte babylonerne representere mange brøker omtrent. Dette er ulempen og samtidig fordelen med disse fraksjonene. Disse brøkene ble et konstant verktøy for vitenskapelige beregninger for greske og deretter arabisktalende og middelalderske europeiske forskere frem til 1400-tallet, da de ga plass for desimalbrøker. Men forskere fra alle nasjoner brukte sexagesimale brøker i astronomi frem til 1600-tallet, og kalte dem astronomiske brøker.

Det sexagesimale tallsystemet forutbestemte en stor rolle i matematikken til Babylon for forskjellige tabeller. En komplett babylonsk multiplikasjonstabell ville ha inneholdt produkter fra 1x1 til 59x59, det vil si 1770 tall, og ikke 45 som vår multiplikasjonstabell. Det er nesten umulig å huske en slik tabell. Selv i skriftlig form ville det være svært tungvint. Derfor, for multiplikasjon, som for divisjon, var det et omfattende sett med forskjellige tabeller. Virkningen av divisjon i babylonsk matematikk kan kalles «problem nummer én». Babylonerne reduserte delingen av tallet m med tallet n til å multiplisere tallet m med brøken 1\n, og de hadde ikke engang begrepet "divisjon". For eksempel, når vi beregner hva vi ville skrive som x = m: n, resonnerte de alltid slik: ta inversen av n, du vil se 1\ n, gang m med 1\ n, og du vil se x. Selvfølgelig, i stedet for våre bokstaver, kalte innbyggerne i Babylon bestemte tall. Dermed ble den viktigste rollen i babylonsk matematikk spilt av en rekke gjensidige tabeller.

I tillegg, for beregninger med brøker, kompilerte babylonerne omfattende tabeller som uttrykte hovedbrøkene i seksagesimale brøker. For eksempel:

1\16 = 3\60 + 45\60 2 , 1\54 = 1\60 + 6\60 2 + 40\60 3 .

Addisjon og subtraksjon av brøker av babylonerne ble utført på samme måte som de tilsvarende operasjonene med hele tall og desimalbrøker i vårt posisjonelle tallsystem. Men hvordan ble en brøk multiplisert med en brøk? Den ganske høye utviklingen av målegeometri (landmåling, arealmåling) antyder at babylonerne overvant disse vanskelighetene ved hjelp av geometri: en endring i den lineære skalaen med 60 ganger gir en endring i områdeskalaen med 60 60 ganger. Det skal bemerkes at i Babylon skjedde ikke utvidelsen av feltet med naturlige tall til regionen med positive rasjonelle tall til slutt, siden babylonerne bare vurderte endelige seksagesimale brøker, hvor deling ikke alltid er mulig. I tillegg brukte babylonerne brøkene 1\2,1\3,2\3,1\4,1\5,1\6,5\6, som det var individuelle tegn for.

Spor av det babylonske sexagesimale tallsystemet har dvelet i moderne vitenskap i måling av tid og vinkler. Inndelingen av en time i 60 minutter, et minutt i 60 sekunder, en sirkel i 360 grader, en grad i 60 minutter, et minutt i 60 sekunder er bevart til i dag. Minute betyr "liten del" på latin, andre betyr "sekund"

(liten del).

Brøker i det gamle Roma.

Romerne brukte hovedsakelig kun betongbrøker, som erstattet abstrakte deler med underinndelinger av målene som ble brukt. Dette brøksystemet var basert på å dele en vektenhet i 12 deler, som ble kalt ass. Slik oppsto romerske duodesimale brøker, dvs. brøker hvis nevner alltid var tolv. Den tolvte delen av et ess ble kalt en unse. I stedet for 1/12 sa romerne "en unse", 5/12 - "fem unser", etc. Tre unser ble kalt en fjerdedel, fire unser en tredjedel, seks unser en halv.

Og banen, tiden og andre mengder ble sammenlignet med en visuell ting - vekt. For eksempel kan en romer si at han gikk syv unser av en sti eller leste fem unser av en bok. I dette tilfellet handlet det selvsagt ikke om å veie stien eller boken. Dette betydde at 7/12 av reisen var gjennomført eller 5/12 av boka var lest. Og for brøker oppnådd ved å redusere brøker med en nevner på 12 eller dele tolvdeler i mindre, var det spesielle navn. Totalt ble det brukt 18 forskjellige navn på brøker. For eksempel var følgende navn i bruk:

"scrupulus" - 1/288 assa,

"semis" - halv assa,

"sekstanse" er den sjette delen av den,

"semiounce" - en halv unse, dvs. 1/24 rumper osv.

For å jobbe med slike brøker var det nødvendig å huske addisjonstabellen og multiplikasjonstabellen for disse brøkene. Derfor visste de romerske kjøpmennene at når man legger til triens (1/3 assa) og sekstaner, er resultatet semis, og når man multipliserer imp (2/3 assa) med sescunce (2/3 unse, dvs. 1/8 assa), resultatet er en unse. For å lette arbeidet ble det satt sammen spesielle tabeller, hvorav noen har kommet ned til oss.

En unse ble betegnet med en linje - en halv assa (6 unser) - med bokstaven S (det første i det latinske ordet Semis - halvt). Disse to tegnene tjente til å registrere enhver duodesimal brøk, som hver hadde sitt eget navn. For eksempel ble 7\12 skrevet slik: S-.

Tilbake i det første århundre f.Kr. sa den fremragende romerske taleren og forfatteren Cicero: «Uten kunnskap om brøker, kan ingen bli gjenkjent som å kunne aritmetikk!»

Følgende utdrag fra arbeidet til den berømte romerske poeten fra det 1. århundre f.Kr. Horace, om en samtale mellom en lærer og en elev i en av de romerske skolene i den tiden, er typisk:

Lærer: La sønnen til Albin fortelle meg hvor mye som er igjen hvis en unse blir tatt fra fem unser!

Student: En tredjedel.

Lærer: Det stemmer, du kjenner brøker godt og vil kunne redde eiendommen din.

Brøker i antikkens Hellas.

I antikkens Hellas ble aritmetikk - studiet av talls generelle egenskaper - skilt fra logistikk - kunsten å regne. Grekerne mente at fraksjoner bare kunne brukes i logistikk. Grekerne opererte fritt alle aritmetiske operasjoner med brøker, men gjenkjente dem ikke som tall. Brøker ble ikke funnet i greske arbeider om matematikk. Greske forskere mente at matematikk bare skulle omhandle heltall. De overlot å fikle med brøkdeler til kjøpmenn, håndverkere, så vel som astronomer, landmålere, mekanikere og andre «svarte». "Hvis du vil dele en enhet, vil matematikere latterliggjøre deg og vil ikke tillate deg å gjøre det," skrev grunnleggeren av Athen-akademiet, Platon.

Men ikke alle gamle greske matematikere var enige med Platon. I sin avhandling "Om måling av en sirkel" bruker Arkimedes derfor brøker. Heron of Alexandria håndterte også fraksjoner fritt. Som egypterne bryter han ned en brøk til summen av grunnbrøkene. I stedet for 12\13 skriver han 1\2 + 1\3 + 1\13 + 1\78, i stedet for 5\12 skriver han 1\3 + 1\12, osv. Til og med Pythagoras, som behandlet naturlige tall med hellig frykt, da han skapte teorien om den musikalske skalaen, koblet de viktigste musikalske intervallene med brøker. Riktignok brukte ikke Pythagoras og hans elever selve begrepet brøker. De tillot seg å snakke bare om forholdstallene til heltall.

Siden grekerne jobbet med brøker kun sporadisk, brukte de forskjellige notasjoner. Heron og Diophantus skrev brøker i alfabetisk form, med telleren plassert under nevneren. Separate betegnelser ble brukt for noen brøker, for eksempel for 1\2 - L′′, men generelt gjorde deres alfabetiske nummerering det vanskelig å angi brøker.

For enhetsbrøker ble det brukt en spesiell notasjon: nevneren til brøken ble ledsaget av et slag til høyre, telleren ble ikke skrevet. For eksempel, i det alfabetiske systemet betydde det 32, og " - brøken 1\32. Det er slike registreringer av vanlige brøker der telleren med et primtall og nevneren tatt to ganger med to primtall er skrevet side om side på en linje Slik skrev for eksempel Heron av Alexandria ned brøken 3 \4: .

Ulempen med den greske notasjonen for brøktall skyldes det faktum at grekerne forsto ordet "tall" som et sett med enheter, så det vi nå anser som et enkelt rasjonelt tall - en brøk - forsto grekerne som forholdet mellom to heltall. Dette forklarer hvorfor brøker sjelden ble funnet i gresk aritmetikk. Preferanse ble gitt til enten fraksjoner med en enhetsteller eller seksagesimale fraksjoner. Feltet der praktiske beregninger hadde størst behov for eksakte brøker, var astronomi, og her var den babylonske tradisjonen så sterk at den ble brukt av alle nasjoner, inkludert Hellas.

Brøker i russ

Den første russiske matematikeren, kjent for oss ved navn, munken i Novgorod-klosteret Kirik, behandlet spørsmål om kronologi og kalender. I sin håndskrevne bok «Taaching him to tell a person the numbers of all years» (1136), dvs. "Instruksjon om hvordan en person kan kjenne nummereringen av år" gjelder inndelingen av timen i femtedeler, tjuefemtedeler osv. brøker, som han kalte "brøktimer" eller "chasts". Han når den syvende brøktimen, hvorav det er 937 500 på en dag eller natt, og sier at det ikke kommer noe av den syvende brøktimen.

I de første lærebøkene i matematikk (700-tallet) ble brøker kalt brøker, senere «ødelagte tall». På det russiske språket dukket ordet brøk opp på 800-tallet; det kommer fra verbet "droblit" - å bryte, bryte i stykker. Når du skrev et tall, ble det brukt en horisontal linje.

I gamle manualer er det følgende navn på brøker i Rus:

1/2 - halvparten, halvparten

1/3 – tredje

1/4 – jevnt

1/6 – en halv tredjedel

1/8 - halvparten

1/12 – en halv tredjedel

1/16 - en halv

1/24 – en halv og en halv tredjedel (liten tredjedel)

1/32 – halv halv halv (liten halv)

1/5 – pyatina

1/7 - uke

1/10 er en tiende.

Landmålet på en fjerdedel eller mindre ble brukt i Russland -

en halv fjerdedel, som ble kalt octina. Dette var betongbrøker, enheter for å måle jordens areal, men oktinen kunne ikke måle tid eller hastighet osv. Mye senere begynte oktinen å bety den abstrakte brøken 1/8, som kan uttrykke enhver verdi.

Om bruken av brøker i Russland på 1600-tallet kan du lese følgende i V. Bellustins bok «Hvordan folk gradvis nådde ekte aritmetikk»: «I et manuskript fra 1600-tallet. "Den numeriske artikkelen om alle brøkdekret" begynner direkte med den skriftlige betegnelsen av brøker og med angivelse av teller og nevner. Når du uttaler brøker, er følgende funksjoner interessante: den fjerde delen ble kalt en fjerdedel, mens brøker med en nevner fra 5 til 11 ble uttrykt i ord som slutter på "ina", slik at 1/7 er en uke, 1/5 er en fem, 1/10 er en tiende; aksjer med nevnere større enn 10 ble uttalt med ordene "lodd", for eksempel 5/13 - fem trettendedeler av partier. Nummereringen av brøker ble direkte lånt fra vestlige kilder... Telleren ble kalt det øverste tallet, nevneren ble kalt det nederste.»

Siden 1500-tallet var plankekulerammen veldig populær i Russland - beregninger ved hjelp av en enhet som var prototypen til russisk kuleramme. Det gjorde det mulig å raskt og enkelt utføre komplekse aritmetiske operasjoner. Plankekontoen var veldig utbredt blant handelsmenn, ansatte i Moskva-ordrer, "målere" - landmålere, klosterøkonomer, etc.

I sin opprinnelige form var brettkulerammen spesielt tilpasset behovene til avansert regning. Dette er et skattesystem i Russland på 1400- og 1600-tallet, der det, sammen med addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og divisjon av heltall, var nødvendig å utføre de samme operasjonene med brøker, siden den konvensjonelle skatteenheten - plogen - ble delt inn i deler.

Plankeregnskapet bestod av to sammenleggbare kasser. Hver boks ble delt i to (senere bare nederst); den andre boksen var nødvendig på grunn av kontantkontoens art. Inne i boksen ble bein trukket på strukket snorer eller ledninger. I samsvar med desimaltallsystemet hadde radene for heltall 9 eller 10 terninger; operasjoner med brøker ble utført på ufullstendige rader: en rad med tre terninger var tre tredjedeler, en rad med fire terninger var fire fjerdedeler (fire). Nedenfor var det rader der det var én terning: hver terning representerte halvparten av brøkdelen den var plassert under (for eksempel var terningen under en rad med tre terninger halvparten av en tredjedel, terningen under den var halvparten av halvparten av terningene. en tredjedel osv.). Tillegg av to identiske "sammenhengende" brøker gir brøken av nærmeste høyere rangering, for eksempel 1/12+1/12=1/6, etc. I kuleramme tilsvarer å legge til to slike fraksjoner å flytte til nærmeste høyere domino.

Brøker ble summert uten reduksjon til en fellesnevner, for eksempel «en kvart og en halv tredjedel og en halv» (1/4 + 1/6 + 1/16). Noen ganger ble operasjoner med brøk utført som med heler ved å likestille hele (plog) til en viss sum penger. For eksempel, hvis sokha = 48 monetære enheter, vil brøken ovenfor være 12 + 8 + 3 = 23 monetære enheter.

I avansert regning måtte man forholde seg til mindre brøker. Noen manuskripter gir tegninger og beskrivelser av "tellebrett" som ligner på de nettopp omtalte, men med et stort antall rader med ett bein, slik at brøkdeler på opptil 1/128 og 1/96 kan legges på dem. Det er ingen tvil om at tilsvarende instrumenter også ble produsert. For enkelhets skyld ble det gitt mange regler for "Code of Small Bones", dvs. tillegg av fraksjoner som vanligvis brukes i vanlige beregninger, som: tre fire ploger og en halv plog og en halv plog, etc. opp til halv-halv-halv-halv-halv-halv plog er en plog uten halv-halv-halv-halv-halv, dvs. 3/4+1/8+1/16+1/32 +1/64 + 1/128 = 1 - 1/128, osv.

Men av brøkene ble bare 1/2 og 1/3 vurdert, samt de som ble oppnådd fra dem ved bruk av sekvensiell divisjon med 2. "Planketellingen" var ikke egnet for operasjoner med brøker av andre serier. Når du opererte med dem, var det nødvendig å referere til spesielle tabeller der resultatene av forskjellige kombinasjoner av fraksjoner ble gitt.

I 1703 Den første russiske trykte læreboken om matematikk "Aritmetikk" er utgitt. Forfatter Magnitsky Leonty Fillipovich. I den andre delen av denne boken, "Om tall brutt eller med brøker," er studiet av brøker presentert i detalj.

Magnitsky har en nesten moderne karakter. Magnitsky dveler mer detaljert ved beregningen av aksjer enn moderne lærebøker. Magnitsky betrakter brøker som navngitte tall (ikke bare 1/2, men 1/2 av en rubel, pud, etc.), og studerer operasjoner med brøker i ferd med å løse problemer. At det er et ødelagt tall, svarer Magnitsky: «Et ødelagt tall er ikke noe annet, bare en del av en ting erklært som et tall, det vil si at en halv rubel er en halv rubel, og den er skrevet som en rubel, eller en rubel, eller en rubel, eller to femtedeler, og alle slags ting som enten er en del erklært som et tall, det vil si et ødelagt tall." Magnitsky gir navn på alle egenbrøker med nevnere fra 2 til 10. For eksempel brøker med nevner 6: en seksten, to seksten, tre seksten, fire seksten, fem seksten.

Magnitsky bruker navnet teller, nevner, vurderer uekte brøker, blandede tall, i tillegg til alle handlinger, isolerer hele delen av en uekte brøk.

Studiet av brøker har alltid vært den vanskeligste delen av aritmetikk, men samtidig, i noen av de tidligere epokene, innså folk viktigheten av å studere brøker, og lærere prøvde å oppmuntre elevene sine i poesi og prosa. L. Magnitsky skrev:

Men det er ingen aritmetikk

Izho er hele tiltalte,

Og i disse aksjene er det ingenting,

Det er mulig å svare.

Å, vær så snill, vær så snill,

Kunne være i deler.

Brøker i det gamle Kina

I Kina ble nesten alle aritmetiske operasjoner med vanlige brøker etablert innen det 2. århundre. f.Kr e.; de er beskrevet i den grunnleggende matematiske kunnskapen i det gamle Kina - "Matematikk i ni bøker", hvis endelige utgave tilhører Zhang Cang. Ved å beregne basert på en regel som ligner på Euklids algoritme (den største felles divisor for telleren og nevneren), reduserte kinesiske matematikere brøker. Å multiplisere brøker ble tenkt som å finne arealet til en rektangulær tomt, hvis lengde og bredde er uttrykt som brøker. Divisjon ble vurdert å bruke ideen om å dele, mens kinesiske matematikere ikke var flaue av det faktum at antall deltakere i divisjonen kunne være brøkdeler, for eksempel 3⅓ personer.

Opprinnelig brukte kineserne enkle brøker, som ble navngitt ved hjelp av badhieroglyfen:

ban ("halvparten") –1\2;

shao ban ("liten halvdel") –1\3;

tai banh ("stor halvdel") –2\3.

Det neste trinnet var utviklingen av en generell forståelse av brøker og dannelsen av regler for å operere med dem. Hvis det i det gamle Egypt bare ble brukt alikvoter fraksjoner, ble de i Kina, betraktet som fraksjoner-fen, tenkt på som en av variantene av fraksjoner, og ikke de eneste mulige. Kinesisk matematikk har behandlet blandede tall siden antikken. Den tidligste av de matematiske tekstene, Zhou Bi Xuan Jing (Canon of Calculation of the Zhou Gnomon/Matematical Treatise on the Gnomon), inneholder beregninger som hever tall som 247 933 / 1460 til potenser.

I "Jiu Zhang Xuan Shu" ("Telleregler i ni seksjoner") betraktes en brøk som en del av en helhet, som uttrykkes i n-tallet av brøkene-fen - m (n)< m). Дробь – это «застывший» процесс деления одного числа на другое – делимого на делитель. Дробь всегда меньше единицы. Если в результате деления одного числа на другое получается остаток, то он принимается как числитель дроби, знаменателем которой является делитель. Например, при делении 22 на 5 получается 4 и остаток 2, который дает дробь 2\5.

I den første delen av "Jiu Zhang Xuan Shu", som generelt er viet til måling av felt, er reglene for å redusere, addere, subtrahere, dele og multiplisere brøker, samt deres sammenligning og "utjevning", gitt separat. en slik sammenligning av tre brøker der det er nødvendig å finne deres aritmetiske gjennomsnitt (en enklere regel for å beregne det aritmetiske gjennomsnittet av to tall er ikke gitt i boken).

For eksempel, for å få summen av brøker i det angitte essayet, tilbys følgende instruksjoner: "Alternativt multipliser (hu cheng) tellerne med nevnerne. Legg til - dette er utbyttet (shi). Multipliser nevnerne - dette er divisor (fa). Kombiner utbytte og divisor til en(e). Hvis det er en rest, koble den til divisoren." Denne instruksen betyr at hvis flere brøker legges til, så må telleren til hver brøk multipliseres med nevnerne til alle andre brøker. Når du "kombinerer" utbyttet (som summen av resultatene av en slik multiplikasjon) med en divisor (produktet av alle nevnerne), oppnås en brøk som skal reduseres om nødvendig og som hele delen skal skilles fra ved divisjon , så er "resten" telleren, og den reduserte divisoren er nevneren. Summen av et sett med brøker er resultatet av en slik divisjon, bestående av et helt tall pluss en brøk. Utsagnet "multipliser nevnerne" betyr i hovedsak å redusere brøkene til deres største fellesnevner.

1.4. Brøker i det gamle Roma.

"scrupulus" - 1/288 assa,

"semis" - halv assa,

"sekstanse" er den sjette delen av den,

"semiounce" - en halv unse, dvs. 1/24 rumper osv.

Tilbake i det første århundre f.Kr. sa den fremragende romerske taleren og forfatteren Cicero: «Uten kunnskap om brøker, kan ingen bli gjenkjent som å kunne aritmetikk!»

Følgende utdrag fra arbeidet til den berømte romerske poeten fra det 1. århundre f.Kr. Horace, om en samtale mellom en lærer og en elev i en av de romerske skolene i den tiden, er typisk:

Lærer: La sønnen til Albin fortelle meg hvor mye som er igjen hvis en unse blir tatt fra fem unser!

Student: En tredjedel.

Lærer: Det stemmer, du kjenner brøker godt og vil kunne redde eiendommen din.

1.5. Brøker i antikkens Hellas.

For enhetsbrøker ble det brukt en spesiell notasjon: nevneren til brøken ble ledsaget av et slag til høyre, telleren ble ikke skrevet. For eksempel, i det alfabetiske systemet betydde det 32, og " - brøken 1\32. Det er slike registreringer av vanlige brøker der telleren med et primtall og nevneren tatt to ganger med to primtall er skrevet side om side på en linje Dette er hvordan, for eksempel, Heron av Alexandria skrev ned brøken 3 \4:
.

1.6. Brøker i russ

I gamle manualer er det følgende navn på brøker i Rus:

1/2 - halvparten, halvparten

1/3 – tredje

1/4 – jevnt

1/6 – en halv tredjedel

1/8 - halvparten

1/12 – en halv tredjedel

1/16 - en halv

1/24 – en halv og en halv tredjedel (liten tredjedel)

1/32 – halv halv halv (liten halv)

1/5 – pyatina

1/7 - uke

1/10 er en tiende.

Landmålet på en fjerdedel eller mindre ble brukt i Russland -

Magnitsky bruker navnet teller, nevner, vurderer uekte brøker, blandede tall, i tillegg til alle handlinger, isolerer hele delen av en uekte brøk.

Men det er ingen aritmetikk

Izho er hele tiltalte,

Og i disse aksjene er det ingenting,

Det er mulig å svare.

Å, vær så snill, vær så snill,

Kunne være i deler.

1.7. Brøker i det gamle Kina

Opprinnelig brukte kineserne enkle brøker, som ble navngitt ved hjelp av badhieroglyfen:

ban ("halvparten") –1\2;

shao ban ("liten halvdel") –1\3;

tai banh ("stor halvdel") –2\3.

I "Jiu Zhang Xuan Shu" ("Telleregler i ni seksjoner") betraktes en brøk som en del av en helhet, som uttrykkes i n-tallet av brøkene-fen - m (n)

Regelen for reduksjon av brøker i Jiu Zhang Xuan Shu inneholder en algoritme for å finne den største felles divisor av telleren og nevneren, som sammenfaller med den såkalte euklidiske algoritmen, designet for å bestemme den største felles divisor av to tall. Men hvis sistnevnte, som kjent, er gitt i Principia i en geometrisk formulering, presenteres den kinesiske algoritmen rent aritmetisk. Den kinesiske algoritmen for å finne den største felles divisoren, kalt deng shu ("samme tall"), er konstruert som sekvensiell subtraksjon av et mindre tall fra et større. Fraksjonen må reduseres med dette antallet den shu. For eksempel foreslås det å redusere brøken 49\91. Vi utfører sekvensiell subtraksjon: 91 – 49 = 42; 49 – 42 = 7; 42 – 7 – 7 – 7 – 7 – 7 – 7 = 0. Dan shu = 7. Reduser brøken med dette tallet. Vi får: 7\13.

Inndelingen av brøker i Jiu Zhang Xuan Shu er annerledes enn den som er akseptert i dag. Regelen «jing fen» («inndelingsrekkefølge») sier at før man deler brøker, må de reduseres til en fellesnevner. Dermed har prosedyren for å dele brøker et unødvendig trinn: a/b: c/d = ad/bd: cb/bd = ad/cb. Først på 500-tallet. Zhang Qiu-jian i sitt verk "Zhang Qiu-jian suan jing" ("Tellekanonen til Zhang Qiu-jian") kvittet seg med det, og delte brøker i henhold til den vanlige regelen: a/b: c/d = ad/ cb.

Kanskje det lange engasjementet til kinesiske matematikere til en sofistikert algoritme for å dele brøker skyldtes ønsket om å opprettholde dens universalitet og bruken av et tellebrett. I hovedsak består det av å redusere delingen av brøker til delingen av heltall. Denne algoritmen er gyldig hvis et heltall er delelig med et blandet tall. Ved å dele for eksempel 2922 med 182 5 / 8, ble begge tallene først multiplisert med 8, noe som gjorde det mulig å dele heltall ytterligere: 23376:1461= 16

1.8. Brøker i andre stater i antikken og middelalderen.

Videreutvikling av konseptet med en felles brøk ble oppnådd i India. Matematikerne i dette landet var i stand til raskt å gå fra enhetsbrøker til generelle brøker. For første gang finnes slike fraksjoner i "Regler for tau" av Apastamba (VII-V århundrer f.Kr.), som inneholder geometriske konstruksjoner og resultatene av noen beregninger. I India ble det brukt et notasjonssystem - kanskje av kinesisk, og kanskje av sengresk opprinnelse - der telleren til brøken ble skrevet over nevneren - som vårt, men uten brøklinje, men hele brøken ble plassert i en rektangulær ramme. Noen ganger ble det også brukt et «tre-etasjers» uttrykk med tre tall i én ramme; avhengig av konteksten kan dette bety en uekte brøk (a + b/c) eller deling av hele tallet a med brøken b/c.

For eksempel brøk registrert som

Reglene for å arbeide med brøker, fastsatt av den indiske forskeren Bramagupta (8. århundre), var nesten ikke forskjellig fra moderne. Som i Kina, i India, for å bringe til en fellesnevner, ble nevnerne for alle begreper multiplisert i lang tid, men fra 900-tallet. allerede brukt det minste felles multiplum.

Middelalder-arabere brukte tre systemer for å skrive brøker. Først, på indisk måte, skrive nevneren under telleren; Brøklinjen dukket opp på slutten av det 12. - begynnelsen av det 13. århundre. For det andre brukte embetsmenn, landmålere og handelsmenn beregningen av aliquotbrøker, lik den egyptiske, ved å bruke brøker med nevnere som ikke overstiger 10 (bare for slike brøker har det arabiske språket spesielle termer); omtrentlige verdier ble ofte brukt; Arabiske forskere arbeidet for å forbedre denne beregningen. For det tredje arvet arabiske forskere det babylonsk-greske sexagesimal-systemet, der de, i likhet med grekerne, brukte alfabetisk notasjon, og utvidet det til hele deler.

Den indiske notasjonen for brøker og reglene for å operere med dem ble vedtatt på 900-tallet. i muslimske land takket være Muhammed av Khorezm (al-Khorezmi). I handelspraksis i islamske land ble enhetsfraksjoner mye brukt; i vitenskapen ble sexagesimale brøker og i mye mindre grad vanlige brøker brukt. Al-Karaji (X-XI århundrer), al-Khassar (XII århundre), al-Kalasadi (XV århundre) og andre forskere presenterte i sine arbeider reglene for å representere vanlige brøker i form av summer og produkter av enhetsbrøker. Informasjon om brøker ble overført til Vest-Europa av den italienske kjøpmannen og vitenskapsmannen Leonardo Fibonacci fra Pisa (1200-tallet). Han introduserte ordet brøk, begynte å bruke brøklinjen (1202), og ga formler for systematisk inndeling av brøker i grunnleggende. Navnene teller og nevner ble introdusert på 1200-tallet av Maximus Planud, en gresk munk, vitenskapsmann og matematiker. En metode for å redusere brøker til en fellesnevner ble foreslått i 1556 av N. Tartaglia. Det moderne opplegget for å legge til vanlige brøker dateres tilbake til 1629. hos A. Girard.

II. Påføring av vanlige brøker

2.1 Alikvote fraksjoner

Problemer med å bruke alikvote fraksjoner utgjør en stor klasse av ikke-standard problemer, inkludert de som har kommet fra antikken. Alikvotbrøker brukes når du trenger å dele noe i flere deler i minst mulig trinn. Dekomponeringen av fraksjoner av formen 2/n og 2/(2n +1) til to aliquotfraksjoner er systematisert i form av formler

Dekomponering i tre, fire, fem osv. alikvotfraksjoner kan produseres ved å dekomponere ett av leddene i to fraksjoner, det neste leddet i ytterligere to aliquotfraksjoner, etc.

For å representere et tall som en sum av alikvotbrøker, må du noen ganger vise ekstraordinær oppfinnsomhet. La oss si at tallet 2/43 er uttrykt slik: 2/43=1/42+1/86+1/129+1/301. Det er veldig upraktisk å utføre aritmetiske operasjoner på tall, og dekomponere dem til summen av brøker av én. Derfor, i prosessen med å løse problemer for å dekomponere aliquotfraksjoner i form av en sum av mindre aliquotfraksjoner, oppsto ideen om å systematisere dekomponeringen av brøker i form av en formel. Denne formelen er gyldig hvis du trenger å dekomponere en aliquotfraksjon i to aliquotfraksjoner.

Formelen ser slik ut:

1/n=1/(n+1) + 1/n ·(n+1)

Eksempler på brøkekspansjon:

1/3=1/(3+1)+1/3·(3+1)=1/4 +1/12;

1/5=1/(5+1)+1/5·(5+1)=1/6 +1/30;

1/8=1/(8+1)+1/8·(8+1)=1/9+ 1/72.

Denne formelen kan transformeres for å oppnå følgende nyttige likhet: 1/n·(n+1)=1/n -1/(n+1)

For eksempel, 1/6=1/(2 3)=1/2 -1/3

Det vil si at en aliquotfraksjon kan representeres av forskjellen mellom to aliquotfraksjoner, eller forskjellen av to aliquotfraksjoner, hvis nevnere er fortløpende tall lik deres produkt.

Eksempel. Representer tallet 1 som summene av ulike aliquotbrøker

a) tre ledd 1=1/2+1/2=1/2+(1/3+1/6)=1/2+1/3+1/6

b) fire terminer

1=1/2+1/2=1/2+(1/3+1/6)=1/2+1/3+1/6=1/2+1/3+(1/7+1/42)= 1/2+1/3+1/7+1/42

c) fem terminer

1=1/2+1/2=1/2+(1/3+1/6)=1/2+1/3+1/6=1/2+1/3+(1/7+1/42)=1/2+1/3+1/7+1/42=1/2+(1/4+ +1/12) +1/7+1/42=1/2+1/4+1/12 +1/7+1/42

2.2 I stedet for små brøker, store

På maskinbyggende fabrikker er det et veldig spennende yrke, det kalles en markør. Markøren markerer linjene på arbeidsstykket som dette arbeidsstykket skal bearbeides langs for å gi det den nødvendige formen.

Markøren må løse interessante og noen ganger vanskelige geometriske problemer, utføre aritmetiske beregninger osv.
"Det var nødvendig å på en eller annen måte fordele 7 identiske rektangulære plater i like deler mellom 12 deler. De brakte disse 7 platene til markøren og ba ham om mulig merke platene slik at ingen av dem måtte knuses til veldig små deler Så den enkleste løsningen er - Å kutte hver plate i 12 like deler var ikke egnet, siden dette ville resultere i mange små deler.
Er det mulig å dele disse platene i større deler? Markøren tenkte, gjorde noen aritmetiske beregninger med brøker og fant til slutt den mest økonomiske måten å dele disse platene på.
Deretter knuste han enkelt 5 plater for å fordele dem i like deler mellom seks deler, 13 plater for 12 deler, 13 plater for 36 deler, 26 for 21, osv.

Det viser seg at markøren presenterte brøken 7\12 som en sum av enhetsbrøkene 1\3 + 1\4. Dette betyr at hvis av 7 gitte plater 4 kuttes i tre like deler hver, så får vi 12 tredjedeler, det vil si en tredjedel for hver del. Vi kutter de resterende 3 platene i 4 like deler hver, vi får 12 kvartaler, det vil si en fjerdedel for hver del. På samme måte bruker representasjoner av brøker i form av en sum av enhetsbrøker 5\6=1\2+1\3; 13\121\3+3\4; 13\36=1\4+1\9.

2.3 Divisjoner under vanskelige omstendigheter

Det er en velkjent østlig lignelse om at en far overlot 17 kameler til sine sønner og beordret dem til å dele seg imellom: den eldste halvdelen, den mellomste en tredjedel, den yngste en niende. Men 17 er ikke delelig med 2, 3 eller 9. Sønnene henvendte seg til vismannen. Vismannen var kjent med brøker og var i stand til å hjelpe i denne vanskelige situasjonen.

Han tyr til en list. Vismannen la midlertidig kamelen sin til flokken, så var det 18. Etter å ha delt dette tallet, som det står i testamentet, tok vismannen kamelen tilbake. Hemmeligheten er at delene som sønnene skulle dele flokken i etter testamentet, ikke summerer seg til 1. Faktisk, 1\2 + 1\3 + 1\9 = 17\18.

Det er ganske mange slike oppgaver. For eksempel et problem fra en russisk lærebok om 4 venner som fant en lommebok med 8 kreditnotaer: en for en, tre, fem rubler og resten for ti rubler. Etter gjensidig avtale ønsket man en tredje del, den andre en fjerdedel, den tredje en femte, den fjerde en sjette. Imidlertid kunne de ikke gjøre dette på egen hånd: en forbipasserende hjalp til etter å ha lagt til rubelen sin. For å løse denne vanskeligheten la en forbipasserende enhetsbrøkene 1\3 + 1\4 + 1\5 + 1\6 = 57\60, og tilfredsstilte forespørslene fra vennene sine og tjente 2 rubler for seg selv.

III.Interessante brøker

3.1 Domino brøker

Domino er et brettspill populært over hele verden. Et dominospill består oftest av 28 rektangulære brikker. En domino er en rektangulær flis, hvor fronten er delt med en linje i to firkantede deler. Hver del inneholder fra null til seks punkter. Hvis du fjerner terninger som ikke inneholder poeng på minst en halvdel (blanks), så kan de resterende terningene betraktes som brøker. Terninger, som begge halvdelene inneholder samme antall poeng (dobler), er uekte brøker lik én. Fjerner du disse flere beinene, vil du sitte igjen med 15 bein. De kan ordnes på forskjellige måter og få interessante resultater.

1. Arrangement i 3 rader, summen av brøkene i hver av dem er 2.

;
;

2. Ordne alle 15 fliser i tre rader med 5 fliser hver, bruk noen av dominobrikkene som uekte brøker, slik som 4/3, 6/1, 3/2 osv., slik at summen av brøkene i hver rad lik tallet 10.

1\3+6\1+3\4+5\3+5\4=10

2\1+5\1+2\6+6\3+4\6=10

4\1+2\3+4\2+5\2+5\6=10

3. Arrangement av brøker i rader, summen av disse vil være et helt tall (men forskjellig i forskjellige rader).

3.2 Fra uminnelige tider.

"Han studerte dette spørsmålet nøye." Dette betyr at problemstillingen er studert til slutten, at ikke engang den minste uklarhet gjenstår. Og det merkelige ordet "scrupulously" kommer fra det romerske navnet for 1/288 assa - "scrupulus".

"Å komme inn i brøker." Dette uttrykket betyr å finne deg selv i en vanskelig situasjon.

"Ræva" er en måleenhet for masse i farmakologi (farmasøytekund).

«Ounce» er en masseenhet i det engelske målesystemet, en måleenhet for masse i farmakologi og kjemi.

IV. Konklusjon.

Studiet av brøker ble ansett som den vanskeligste delen av matematikken til enhver tid og blant alle folkeslag. De som kjente brøker ble høyt aktet. Forfatter av et gammelt slavisk manuskript fra 1400-tallet. skriver: "Det er ikke fantastisk at ... i helheter, men det er prisverdig at i deler ...".

Jeg konkluderte med at brøkhistorien er en svingete vei med mange hindringer og vanskeligheter. Mens jeg jobbet med essayet mitt, lærte jeg mye nytt og interessant. Jeg leser mange bøker og deler fra leksikon. Jeg ble kjent med de første brøkene som folk opererte med, med konseptet om en alikvotbrøk, og lærte nye navn på forskere som bidro til utviklingen av brøklæren. Jeg prøvde selv å løse Olympiade og underholdende problemer, valgte uavhengig eksempler på dekomponering av vanlige brøker til alikvote brøker, og analyserte løsningen på eksemplene og problemene gitt i tekstene. Svaret på spørsmålet jeg stilte meg selv før jeg begynte å jobbe med essayet: vanlige brøker er nødvendige, de er viktige. Det var interessant å forberede presentasjonen, jeg måtte henvende meg til læreren og klassekameratene for å få hjelp. Også når jeg skrev, møtte jeg for første gang behovet for å skrive brøker og brøkuttrykk. Jeg presenterte abstraktet mitt på en skolekonferanse. Hun opptrådte også foran klassekameratene. De lyttet veldig nøye, og etter min mening var de interesserte.

Jeg mener at jeg har fullført oppgavene jeg satte før jeg begynte arbeidet med abstraktet.

Litteratur.

1. Borodin A.I. Fra aritmetikkens historie. Hovedforlag “Vishcha School”-K., 1986

2. Glazer G.I. Matematikkens historie på skolen: IV-VI klasser. Håndbok for lærere. – M.: Utdanning, 1981.

3. Ignatiev E.I. I oppfinnsomhetens rike. Hovedredaksjon for fysisk og matematisk litteratur i forlaget "Nauka", M., 1978.

4. Kordemskoy G.A. Matematisk oppfinnsomhet - 10. utgave, revidert. Og i tillegg - M.: Unisam, MDS, 1994.

5. Stroik D.Ya. En kort oversikt over matematikkens historie. M.: Nauka, 1990.

6.Leksikon for barn. Bind 11. Matematikk. Moskva, Avanta+, 1998.

7. /wiki.Material fra Wikipedia - det frie leksikonet.

Vedlegg 1.

Naturlig skala

Alle vet at Pythagoras var en vitenskapsmann og spesielt forfatteren av det berømte teoremet. Men at han også var en strålende musiker er ikke så allment kjent. Kombinasjonen av disse talentene tillot ham å være den første til å gjette om eksistensen av en naturlig skala. Jeg måtte fortsatt bevise det. Pythagoras bygde et halvt instrument og en halv enhet for sine eksperimenter - en "monokord". Det var en avlang boks med en snor strukket over. Under strengen, på topplokket på boksen, tegnet Pythagoras en skala for å gjøre det lettere å visuelt dele strengen i deler. Pythagoras utførte mange eksperimenter med en monochord og beskrev til slutt matematisk oppførselen til en klingende streng. Verkene til Pythagoras dannet grunnlaget for vitenskapen som vi nå kaller musikalsk akustikk. Det viser seg at for musikk er syv lyder innenfor en oktav en like naturlig ting som ti fingre på hendene i aritmetikk. Allerede strengen til den aller første buen, som svingte etter skuddet, ga klar det settet med musikalske lyder som vi fortsatt bruker nesten uendret.

Fra et fysikksynspunkt er en buestreng og en streng ett og det samme. Og mannen laget strengen og tok hensyn til buestrengens egenskaper. Den klingende strengen vibrerer ikke bare som en helhet, men også i halvdeler, terts, kvart, etc. La oss nå nærme oss dette fenomenet fra den aritmetiske siden. Halvparter vibrerer dobbelt så ofte som en hel streng, tredjedeler - tre ganger, fjerdedeler - fire ganger. Med et ord, hvor mange ganger mindre er den vibrerende delen av strengen, frekvensen av svingningene er like mange ganger større. La oss si at hele strengen vibrerer med en frekvens på 24 hertz. Ved å telle svingningene til brøker ned til sekstendedeler får vi tallrekka vist i tabellen. Denne sekvensen av frekvenser kalles naturlig, dvs. naturlig, skala.

Vedlegg 2.

Gamle problemer med bruk av vanlige brøker.

I eldgamle manuskripter og eldgamle aritmetiske lærebøker fra forskjellige land er det mange interessante problemer som involverer brøker. Å løse hvert av disse problemene krever betydelig oppfinnsomhet, oppfinnsomhet og evne til å resonnere.

1. En gjeter kommer med 70 okser. Han blir spurt:

Hvor mange tar du med deg fra din tallrike flokk?

Hyrden svarer:

Jeg tar med to tredjedeler av en tredjedel av storfeet. Tell hvor mange okser er det i flokken?

Papyrus av Ahmes (Egypt, ca 2000 f.Kr.).

2. Noen tok 1/13 fra statskassen. Fra det som var igjen tok en annen 1/17. Han la igjen 192 i statskassen. Vi ønsker å finne ut hvor mye som var i statskassen i utgangspunktet

Akmim papyrus (VI århundre)

3. Reisende! Diophanthus' aske er gravlagt her. Og tallene kan fortelle, se og se, hvor lenge livet hans var.

Del seks av ham var en fantastisk barndom.

Den tolvte delen av livet hans gikk - så var haken hans dekket med lo.
Diophantus tilbrakte den syvende tiden i et barnløst ekteskap.

Fem år har gått; han ble velsignet med fødselen av sin vakre førstefødte sønn.
Til hvem skjebnen ga bare halvparten av et vakkert og lyst liv på jorden sammenlignet med sin far.

Og i dyp tristhet aksepterte den gamle mannen slutten på sin jordiske lott, etter å ha overlevd fire år siden han mistet sønnen.

Fortell meg, hvor mange år av livet tålte Diophantus døden?

4. Noen, døende, testamenterte: «Hvis min kone føder en sønn, så la ham få 2/3 av boet, og la hans kone få resten. Hvis en datter blir født, vil 1/3 bli gitt til henne og 2/3 til kona.» Det ble født tvillinger - en sønn og en datter. Hvordan dele boet?

Antikkens romersk problem (II århundre)

Finn tre tall slik at det største overstiger gjennomsnittet med en gitt del av det minste, slik at gjennomsnittet overskrider det minste med en gitt del av det største, og slik at det minste overskrider tallet 10 med en gitt del av gjennomsnittet.

Diophantus Alexandrian avhandling "Aritmetikk" (2. – 3. århundre e.Kr.)

5. En villand flyr fra Sørishavet til Nordsjøen i 7 dager. En villgås flyr fra nordhavet til sørhavet i 9 dager. Nå flyr anda og gåsa ut samtidig. Hvor mange dager skal de møtes?

Kina (2. århundre e.Kr.)

6. «En kjøpmann gikk gjennom 3 byer, og i den første byen tok de toll fra ham for halvparten og en tredjedel av eiendommen hans, og i den andre byen for halvparten og en tredjedel av hans gjenværende eiendom, og i den tredje byen for halvparten og en tredjedel av hans gjenværende eiendom. Og da han kom hjem hadde han 11 penger igjen. Finn ut hvor mye penger kjøpmannen hadde i begynnelsen.»

Ananiy Shirakatsi. Samling "Spørsmål og svar"VIIårhundre e.Kr.).

Det er en kadamba-blomst,

For ett kronblad

En femtedel av biene har falt.

Jeg vokste opp i nærheten

Alt i blomst Simengda,

Og den tredje delen passet på den.

Finn deres forskjell

Brett den tre ganger

Og plant de biene på kutaien.

Bare to ble ikke funnet

Ingen plass for deg selv noe sted

Alle fløy frem og tilbake og overalt

Likte duften av blomster.

Nå fortell meg

Etter å ha regnet i tankene mine,

Hvor mange bier er det totalt?

Gammelt indisk problem (XI århundre).

8. "Finn et tall, vel vitende om at hvis du trekker en tredjedel og en fjerdedel fra det, får du 10."

Muhammad ibn Musa al Khwarizmi "Aritmetikk" (9. århundre)

9. En kvinne gikk til hagen for å plukke epler. For å forlate hagen måtte hun gjennom fire dører som hver hadde en vakt. Kvinnen ga halvparten av eplene hun hadde plukket til vakten ved den første døren. Etter å ha nådd den andre vakten, ga kvinnen ham halvparten av de gjenværende. Det samme gjorde hun med den tredje vakten, og da hun delte eplene med den fjerde vakten, hadde hun 10 epler igjen. Hvor mange epler plukket hun i hagen?

"1001 netter"

10. Bare "det" og "dette", og halvparten av "det" og "dette" - hvor mange prosent av tre fjerdedeler av "det" og "dette" vil det være.

Gamle manuskript av det gamle Rus (X-XI århundrer)

11. Tre kosakker kom til gjeteren for å kjøpe hester.

"Ok, jeg skal selge deg hester," sa gjeteren, "jeg skal selge en halv flokk og en annen halv hest til den første, halvparten av de gjenværende hestene og en annen halv hest til den andre, den tredje vil også motta halvparten av de resterende hestene med en halv hest.

Jeg overlater bare 5 hester til meg selv.

Kosakkene ble overrasket over hvordan gjeteren ville dele hestene i deler. Men etter litt refleksjon roet de seg, og handelen fant sted.

Hvor mange hester solgte gjeteren til hver av kosakkene?

12. Noen spurte læreren: «Fortell meg hvor mange elever du har i klassen din, for jeg vil melde sønnen min inn hos deg.» Læreren svarte: "Hvis det kommer så mange flere elever som jeg har, og halvparten så mange, og en fjerdedel, og sønnen din, så vil jeg ha 100 elever." Spørsmålet er, hvor mange elever hadde læreren?

L. F. Magnitsky "Aritmetikk" (1703)

13. Den reisende, etter å ha innhentet den andre, spurte ham: "Hvor langt er det til landsbyen foran?" En annen reisende svarte: «Avstanden fra landsbyen du kommer fra er lik en tredjedel av den totale avstanden mellom landsbyene. Og går du ytterligere to mil, vil du være akkurat midt mellom landsbyene. Hvor mange mil har den første reisende igjen å gå?

L. F. Magnitsky "Aritmetikk" (1703)

14. En bondekvinne solgte egg på markedet. Den første kunden kjøpte halvparten av eggene hennes og en annen halvparten av et egg, den andre halvdelen av resten og en annen halvparten av et egg, og den tredje de siste 10 eggene.

Hvor mange egg kom bondekvinnen med på markedet?

L. F. Magnitsky "Aritmetikk" (1703)

15. Mannen og kona tok penger fra samme kiste, og det var ingenting igjen. Mannen tok 7/10 av alle pengene, og kona tok 690 rubler. Hvor mye var alle pengene?

L. N. Tolstoy "Aritmetikk"

16. En åttendedel av tallet

Ta den og legg til evt

Halvparten av tre hundre

Og de åtte vil overgå

Ikke litt – femti

Tre fjerdedeler. jeg vil være glad,

Hvis den som kjenner poengsummen

Han vil fortelle meg nummeret.

Johann Hemeling, matematikklærer. (1800)

17. Tre personer vant en viss sum penger. Den første utgjorde 1/4 av dette beløpet, den andre -1/7, og den tredje - 17 floriner. Hvor stor er den totale gevinsten?

Adam Riese (Tyskland, 1500-tallet) 18. Etter å ha bestemt seg for å dele alle sparepengene hans likt mellom alle sønnene, laget noen et testamente. «Den eldste av mine sønner skulle få 1000 rubler og en åttendedel av resten; den neste - 2000 rubler og en åttendedel av den nye saldoen; tredje sønn - 3000 rubler og en åttendedel av neste saldo, etc." Bestem antall sønner og mengden av testamenterte sparepenger.

Leonhard Euler (1780)

19. Tre personer ønsker å kjøpe et hus for 24.000 livres. De ble enige om at den første skulle gi halvparten, den andre en tredjedel og den tredje resten. Hvor mye penger vil den tredje gi?

Brøker ", " Vanlig brøker" Spill "Hva kan de snakke om ... for hoderegning." Oppgaver for emnet " Vanlig brøker og handlinger på dem» 1. U...filosof, forfatter. B. Pascal var uvanlig talentfull og allsidig, livet hans var...

Populær

Presentasjoner om utvikling av dialogisk tale i grunnskolen

« Mestring av samtaletale inntar en viktig plass i systemet for arbeid med å utvikle barns kommunikasjonsevner. Hvordan utvikle et barns ønske om... »

Emne: «Å besøke svalene»

« ANASTASIA ZLOBINA Integrert logopedisesjon for å korrigere lyduttale og taleutvikling for barn i eldre førskolealder... »

Voronezh State University of Engineering Technologies Voronezh State Engineering and Technical University

« : 51°41′04″ n. w. 39°11′10″ Ø. d. / 51,684444° s. w. 39.186111° E. d. (G) 51.684444, 39.186111 (VSTU) Stiftelsesår Rektor V.R.... »