Metoder for å løse trigonometriske ligninger. Trigonometriske ligninger

Konsept for å løse trigonometriske ligninger.

• For å løse en trigonometrisk ligning, konverter den til en eller flere grunnleggende trigonometriske ligninger. Å løse en trigonometrisk ligning kommer til slutt ned til å løse de fire grunnleggende trigonometriske ligningene.

Løse grunnleggende trigonometriske ligninger.

• Det er 4 typer grunnleggende trigonometriske ligninger:
• sin x = a; cos x = a
• tan x = a; ctg x = a
• Å løse grunnleggende trigonometriske ligninger innebærer å se på forskjellige x-posisjoner på enhetssirkelen, samt å bruke en konverteringstabell (eller kalkulator).
• Eksempel 1. sin x = 0,866. Ved hjelp av en konverteringstabell (eller kalkulator) får du svaret: x = π/3. Enhetssirkelen gir et annet svar: 2π/3. Husk: alle trigonometriske funksjoner er periodiske, noe som betyr at verdiene deres gjentas. For eksempel er periodisiteten til sin x og cos x 2πn, og periodisiteten til tg x og ctg x er πn. Derfor er svaret skrevet som følger:
• x1 = π/3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn.
• Eksempel 2. cos x = -1/2. Ved å bruke en omregningstabell (eller kalkulator) får du svaret: x = 2π/3. Enhetssirkelen gir et annet svar: -2π/3.
• x1 = 2π/3 + 2π; x2 = -2π/3 + 2π.
• Eksempel 3. tg (x - π/4) = 0.
• Svar: x = π/4 + πn.
• Eksempel 4. ctg 2x = 1,732.
• Svar: x = π/12 + πn.

Transformasjoner brukt til å løse trigonometriske ligninger.

• For å transformere trigonometriske ligninger brukes algebraiske transformasjoner (faktorisering, reduksjon av homogene termer osv.) og trigonometriske identiteter.
• Eksempel 5: Ved å bruke trigonometriske identiteter, konverteres ligningen sin x + sin 2x + sin 3x = 0 til ligningen 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0. Følgende grunnleggende trigonometriske ligninger må løses: cos x = 0; sin(3x/2) = 0; cos(x/2) = 0.

• Finne vinkler ved hjelp av kjente funksjonsverdier.

  • Før du lærer hvordan du løser trigonometriske ligninger, må du lære hvordan du finner vinkler ved å bruke kjente funksjonsverdier. Dette kan gjøres ved hjelp av en konverteringstabell eller kalkulator.
  • Eksempel: cos x = 0,732. Kalkulatoren vil gi svaret x = 42,95 grader. Enhetssirkelen vil gi ytterligere vinkler, hvis cosinus også er 0,732.

• Sett til side løsningen på enhetssirkelen.

  • Du kan plotte løsninger til en trigonometrisk ligning på enhetssirkelen. Løsninger til en trigonometrisk ligning på enhetssirkelen er toppunktene til en vanlig polygon.
  • Eksempel: Løsningene x = π/3 + πn/2 på enhetssirkelen representerer hjørnene til kvadratet.
  • Eksempel: Løsningene x = π/4 + πn/3 på enhetssirkelen representerer toppunktene til en regulær sekskant.

• Metoder for å løse trigonometriske ligninger.

  • Hvis en gitt trigonometrisk ligning inneholder bare én trigonometrisk funksjon, løs den ligningen som en grunnleggende trigonometrisk ligning. Hvis en gitt ligning inkluderer to eller flere trigonometriske funksjoner, er det 2 metoder for å løse en slik ligning (avhengig av muligheten for transformasjon).
    • Metode 1.
  • Transformer denne ligningen til en ligning av formen: f(x)*g(x)*h(x) = 0, hvor f(x), g(x), h(x) er de grunnleggende trigonometriske ligningene.
  • Eksempel 6. 2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
  • Løsning. Bruk dobbeltvinkelformelen sin 2x = 2*sin x*cos x, bytt ut sin 2x.
  • 2cos x + 2*sin x*cos x = 2cos x*(sin x + 1) = 0. Løs nå de to grunnleggende trigonometriske ligningene: cos x = 0 og (sin x + 1) = 0.
  • Eksempel 7. cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
  • Løsning: Bruk trigonometriske identiteter, transformer denne ligningen til en ligning av formen: cos 2x(2cos x + 1) = 0. Løs nå de to grunnleggende trigonometriske ligningene: cos 2x = 0 og (2cos x + 1) = 0.
  • Eksempel 8. sin x - sin 3x = cos 2x. (0< x < 2π)
  • Løsning: Bruk trigonometriske identiteter, transformer denne ligningen til en ligning av formen: -cos 2x*(2sin x + 1) = 0. Løs nå de to grunnleggende trigonometriske ligningene: cos 2x = 0 og (2sin x + 1) = 0 .
    • Metode 2.
  • Konverter den gitte trigonometriske ligningen til en ligning som inneholder bare én trigonometrisk funksjon. Bytt deretter ut denne trigonometriske funksjonen med en ukjent, for eksempel t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tan x = t; tg (x/2) = t, etc.).
  • Eksempel 9. 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0< x < 2π).
  • Løsning. I denne ligningen, erstatt (cos^2 x) med (1 - sin^2 x) (i henhold til identiteten). Den transformerte ligningen er:
  • 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. Erstatt sin x med t. Nå ser ligningen slik ut: 5t^2 - 4t - 9 = 0. Dette er en andregradsligning som har to røtter: t1 = -1 og t2 = 9/5. Den andre roten t2 tilfredsstiller ikke funksjonsområdet (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
  • Eksempel 10. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
  • Løsning. Bytt ut tg x med t. Skriv om den opprinnelige ligningen som følger: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. Finn nå t og finn deretter x for t = tan x.

Trigonometriske ligninger er ikke et lett tema. De er for forskjellige.) For eksempel disse:

sin 2 x + cos3x = ctg5x

sin(5x+π /4) = cot(2x-π /3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

Etc...

Men disse (og alle andre) trigonometriske monstre har to felles og obligatoriske trekk. For det første - du vil ikke tro det - det er trigonometriske funksjoner i ligningene.) For det andre: alle uttrykk med x finnes innenfor de samme funksjonene. Og bare der! Hvis X vises et sted utenfor, For eksempel, sin2x + 3x = 3, dette vil allerede være en likning av blandet type. Slike ligninger krever en individuell tilnærming. Vi vil ikke vurdere dem her.

Vi skal heller ikke løse onde ligninger i denne leksjonen.) Her skal vi ta for oss de enkleste trigonometriske ligningene. Hvorfor? Ja fordi løsningen noen trigonometriske ligninger består av to trinn. På det første stadiet reduseres den onde ligningen til en enkel gjennom en rekke transformasjoner. På den andre er denne enkleste ligningen løst. Ingen annen vei.

Så hvis du har problemer i det andre trinnet, gir ikke det første trinnet mye mening.)

Hvordan ser elementære trigonometriske ligninger ut?

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

Her EN står for et hvilket som helst tall. Noen.

Forresten, inne i en funksjon er det kanskje ikke en ren X, men et slags uttrykk, som:

cos(3x+π /3) = 1/2

etc. Dette kompliserer livet, men påvirker ikke metoden for å løse en trigonometrisk ligning.

Hvordan løse trigonometriske ligninger?

Trigonometriske ligninger kan løses på to måter. Den første måten: ved hjelp av logikk og den trigonometriske sirkelen. Vi skal se på denne veien her. Den andre måten - ved å bruke minne og formler - vil bli diskutert i neste leksjon.

Den første måten er tydelig, pålitelig og vanskelig å glemme.) Den er god for å løse trigonometriske ligninger, ulikheter og alle slags vanskelige ikke-standardiserte eksempler. Logikk er sterkere enn minne!)

Løse ligninger ved hjelp av en trigonometrisk sirkel.

Vi inkluderer elementær logikk og evnen til å bruke den trigonometriske sirkelen. Vet du ikke hvordan? Imidlertid ... Du vil ha det vanskelig i trigonometri ...) Men det spiller ingen rolle. Ta en titt på leksjonene "Trigonometrisk sirkel...... Hva er det?" og "Måle vinkler på en trigonometrisk sirkel." Alt er enkelt der. I motsetning til lærebøker...)

Å, vet du!? Og til og med mestret "Praktisk arbeid med den trigonometriske sirkelen"!? Gratulerer. Dette emnet vil være nært og forståelig for deg.) Det som er spesielt gledelig er at den trigonometriske sirkelen ikke bryr seg om hvilken ligning du løser. Sinus, cosinus, tangent, cotangens - alt er det samme for ham. Det er bare ett løsningsprinsipp.

Så vi tar en hvilken som helst elementær trigonometrisk ligning. I det minste dette:

cosx = 0,5

Vi må finne X. Snakker på menneskelig språk, du trenger finn vinkelen (x) hvis cosinus er 0,5.

Hvordan brukte vi sirkelen tidligere? Vi tegnet en vinkel på den. I grader eller radianer. Og med en gang sag trigonometriske funksjoner til denne vinkelen. La oss nå gjøre det motsatte. La oss tegne en cosinus på sirkelen lik 0,5 og umiddelbart vi får se hjørne. Det gjenstår bare å skrive ned svaret.) Ja, ja!

Tegn en sirkel og merk cosinus lik 0,5. På cosinus-aksen, selvfølgelig. Som dette:

La oss nå tegne vinkelen som denne cosinus gir oss. Hold musen over bildet (eller trykk på bildet på nettbrettet ditt), og du vil se akkurat dette hjørnet X.

Hvilken vinkel er cosinus 0,5?

x = π /3

cos 60°= cos( π /3) = 0,5

Noen mennesker vil humre skeptisk, ja... Som, var det verdt å lage en sirkel når alt allerede er klart... Du kan selvfølgelig humre...) Men faktum er at dette er et feilsvar. Eller rettere sagt, utilstrekkelig. Sirkelkjennere forstår at det er en hel haug med andre vinkler her som også gir en cosinus på 0,5.

Hvis du snur den bevegelige siden OA full sving, vil punkt A gå tilbake til sin opprinnelige posisjon. Med samme cosinus lik 0,5. De. vinkelen vil endre seg med 360° eller 2π radianer, og kosinus - nei. Den nye vinkelen 60° + 360° = 420° vil også være en løsning på ligningen vår, fordi

Et uendelig antall slike komplette omdreininger kan gjøres... Og alle disse nye vinklene vil være løsninger på vår trigonometriske ligning. Og de må alle skrives ned på en eller annen måte som svar. Alle. Ellers teller ikke avgjørelsen, ja...)

Matematikk kan gjøre dette enkelt og elegant. Skriv ned i ett kort svar uendelig sett beslutninger. Slik ser det ut for ligningen vår:

x = π /3 + 2π n, n ∈ Z

Jeg skal tyde det. Skriv fortsatt meningsfullt Det er mer behagelig enn å tegne noen mystiske bokstaver dumt, ikke sant?)

π /3 – dette er det samme hjørnet som vi sag på sirkelen og fast bestemt i henhold til cosinustabellen.

2π er en fullstendig revolusjon i radianer.

n - dette er antallet komplette, dvs. hel rpm Det er klart at n kan være lik 0, ±1, ±2, ±3.... og så videre. Som indikert av den korte oppføringen:

n ∈ Z

n tilhører ( ∈ ) sett med heltall ( Z ). Forresten, i stedet for bokstaven n bokstaver kan godt brukes k, m, t etc.

Denne notasjonen betyr at du kan ta et hvilket som helst heltall n . Minst -3, minst 0, minst +55. Hva enn du vil. Hvis du erstatter dette tallet i svaret, vil du få en spesifikk vinkel, som definitivt vil være løsningen på vår harde ligning.)

Eller med andre ord, x = π /3 er den eneste roten til et uendelig sett. For å få alle de andre røttene er det nok å legge til et hvilket som helst antall hele omdreininger til π /3 ( n ) i radianer. De. 2πn radian.

Alle? Nei. Jeg forlenger gleden bevisst. For å huske bedre.) Vi fikk bare deler av svarene på ligningen vår. Jeg vil skrive denne første delen av løsningen slik:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 1 - ikke bare én rot, men en hel rekke røtter, skrevet ned i kort form.

Men det finnes også vinkler som også gir en cosinus på 0,5!

La oss gå tilbake til bildet vårt som vi skrev ned svaret fra. Her er hun:

Hold musen over bildet og vi ser en annen vinkel det gir også en cosinus på 0,5. Hva tror du det er lik? Trekantene er like... Ja! Det er lik vinkelen X , bare forsinket i negativ retning. Dette er hjørnet -X. Men vi har allerede beregnet x. π /3 eller 60°. Derfor kan vi trygt skrive:

x 2 = - π /3

Vel, selvfølgelig legger vi til alle vinklene som oppnås gjennom hele omdreininger:

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Det er alt nå.) På den trigonometriske sirkelen vi sag(hvem forstår, selvfølgelig)) Alle vinkler som gir en cosinus på 0,5. Og vi skrev ned disse vinklene i en kort matematisk form. Svaret resulterte i to uendelige serier med røtter:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Dette er det riktige svaret.

Håp, generelt prinsipp for å løse trigonometriske ligningerå bruke en sirkel er tydelig. Vi markerer cosinus (sinus, tangens, cotangens) fra den gitte ligningen på en sirkel, tegner vinklene som tilsvarer den og skriver ned svaret. Selvfølgelig må vi finne ut hvilke hjørner vi er sag på sirkelen. Noen ganger er det ikke så tydelig. Vel, jeg sa at logikk kreves her.)

La oss for eksempel se på en annen trigonometrisk ligning:

Vennligst ta i betraktning at tallet 0,5 ikke er det eneste mulige tallet i ligninger!) Det er bare mer praktisk for meg å skrive det enn røtter og brøker.

Vi jobber etter det generelle prinsippet. Vi tegner en sirkel, markerer (på sinusaksen, selvfølgelig!) 0,5. Vi tegner alle vinklene som tilsvarer denne sinusen samtidig. Vi får dette bildet:

La oss ta for oss vinkelen først X i første kvartal. Vi husker tabellen over sinus og bestemmer verdien av denne vinkelen. Det er en enkel sak:

x = π /6

Vi husker om fulle svinger, og med god samvittighet skriver vi ned den første serien med svar:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

Halve jobben er gjort. Men nå må vi bestemme andre hjørnet... Det er vanskeligere enn å bruke kosinus, ja... Men logikken vil redde oss! Hvordan bestemme den andre vinkelen gjennom x? Ja enkelt! Trekantene på bildet er de samme, og det røde hjørnet X lik vinkel X . Bare det telles fra vinkelen π i negativ retning. Det er derfor den er rød.) Og for svaret trenger vi en vinkel, målt riktig, fra den positive halvaksen OX, dvs. fra en vinkel på 0 grader.

Vi holder markøren over tegningen og ser alt. Jeg fjernet det første hjørnet for ikke å komplisere bildet. Vinkelen vi er interessert i (tegnet i grønt) vil være lik:

π - x

X vi vet dette π /6 . Derfor vil den andre vinkelen være:

π - π /6 = 5π /6

Igjen husker vi å legge til hele omdreininger og skrive ned den andre serien med svar:

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Det er alt. Et fullstendig svar består av to serier med røtter:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Tangent- og cotangensligninger kan enkelt løses ved å bruke det samme generelle prinsippet for å løse trigonometriske ligninger. Hvis du selvfølgelig vet hvordan du tegner tangent og cotangens på en trigonometrisk sirkel.

I eksemplene ovenfor brukte jeg tabellverdien for sinus og cosinus: 0,5. De. en av de betydningene som eleven kjenner til må. La oss nå utvide våre evner til alle andre verdier. Bestem, så bestem!)

Så la oss si at vi må løse denne trigonometriske ligningen:

Det er ingen slik cosinusverdi i de korte tabellene. Vi ignorerer kaldt dette forferdelige faktum. Tegn en sirkel, merk 2/3 på cosinus-aksen og tegn de tilsvarende vinklene. Vi får dette bildet.

La oss først se på vinkelen i første kvartal. Hvis vi bare visste hva x er lik, ville vi umiddelbart skrevet ned svaret! Vi vet ikke ... Feil!? Rolig! Matematikk etterlater ikke sine egne folk i trøbbel! Hun kom opp med buekosinus til denne saken. Vet ikke? Forgjeves. Finn ut, det er mye enklere enn du tror. Det er ikke en eneste vanskelig spell om "inverse trigonometriske funksjoner" på denne lenken... Dette er overflødig i dette emnet.

Hvis du vet, bare si til deg selv: "X er en vinkel hvis cosinus er lik 2/3." Og umiddelbart, rent av definisjonen av arc cosinus, kan vi skrive:

Vi husker de ekstra revolusjonene og skriver rolig ned den første serien med røtter til vår trigonometriske ligning:

x 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Den andre serien med røtter for den andre vinkelen skrives nesten automatisk ned. Alt er det samme, bare X (arccos 2/3) vil ha et minus:

x 2 = - buer 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Og det er det! Dette er det riktige svaret. Enda enklere enn med tabellverdier. Det er ikke nødvendig å huske noe.) De mest oppmerksomme vil forresten legge merke til at dette bildet viser løsningen gjennom buekosinus i hovedsak ikke forskjellig fra bildet for ligningen cosx = 0,5.

Nøyaktig! Det generelle prinsippet er nettopp det! Jeg har bevisst tegnet to nesten like bilder. Sirkelen viser oss vinkelen X ved sin kosinus. Om det er en tabellform kosinus eller ikke er ukjent for alle. Hva slags vinkel dette er, π /3, eller hva buekosinus er - det er opp til oss å bestemme.

Samme sang med sinus. For eksempel:

Tegn en sirkel igjen, merk sinus lik 1/3, tegn vinklene. Dette er bildet vi får:

Og igjen er bildet nesten det samme som for ligningen sinx = 0,5. Igjen starter vi fra hjørnet i første kvarter. Hva er X lik hvis sinus er 1/3? Ikke noe problem!

Nå er den første pakken med røtter klar:

x 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

La oss ta for oss den andre vinkelen. I eksemplet med en tabellverdi på 0,5 var den lik:

π - x

Det blir akkurat det samme her også! Bare x er forskjellig, arcsin 1/3. Hva så!? Du kan trygt skrive ned den andre pakken med røtter:

x 2 = π - arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Dette er et helt riktig svar. Selv om det ikke ser veldig kjent ut. Men det er klart, håper jeg.)

Slik løses trigonometriske ligninger ved hjelp av en sirkel. Denne veien er tydelig og forståelig. Det er han som sparer i trigonometriske ligninger med utvalg av røtter på et gitt intervall, i trigonometriske ulikheter - de løses stort sett alltid i en sirkel. Kort sagt, i alle oppgaver som er litt vanskeligere enn standardoppgaver.

La oss bruke kunnskap i praksis?)

Løs trigonometriske ligninger:

Først, enklere, rett fra denne leksjonen.

Nå er det mer komplisert.

Hint: her må du tenke på sirkelen. Personlig.)

Og nå er de utad enkle... De kalles også spesielle tilfeller.

sinx = 0

sinx = 1

cosx = 0

cosx = -1

Hint: her må du finne ut i en sirkel hvor det er to serier med svar og hvor det er en ... Og hvordan du skriver en i stedet for to serier med svar. Ja, slik at ikke en eneste rot fra et uendelig antall går tapt!)

Vel, veldig enkelt):

sinx = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

Hint: her må du vite hva arcsine og arccosine er? Hva er arctangens, arccotangent? De enkleste definisjonene. Men du trenger ikke å huske noen tabellverdier!)

Svarene er selvfølgelig et rot):

x 1= arcsin0,3 + 2π n, n ∈ Z
x 2= π - arcsin0.3 + 2

Ikke alt ordner seg? Skjer. Les leksjonen på nytt. Bare ettertenksomt(det er et så utdatert ord...) Og følg linkene. Hovedlenkene handler om sirkelen. Uten den er trigonometri som å krysse veien med bind for øynene. Noen ganger fungerer det.)

Hvis du liker denne siden...

Forresten, jeg har et par flere interessante nettsteder for deg.)

Du kan trene på å løse eksempler og finne ut nivået ditt. Testing med umiddelbar verifisering. La oss lære - med interesse!)

Du kan bli kjent med funksjoner og derivater.

Når man løser mange matematiske problemer, spesielt de som inntreffer før karakter 10, er rekkefølgen på utførte handlinger som vil føre til målet klart definert. Slike problemer inkluderer for eksempel lineære og kvadratiske ligninger, lineære og kvadratiske ulikheter, brøklikninger og ligninger som reduserer til andregradslikninger. Prinsippet for å lykkes med å løse hvert av de nevnte problemene er som følger: du må fastslå hvilken type problem du løser, husk den nødvendige sekvensen av handlinger som vil føre til ønsket resultat, dvs. svar og følg disse trinnene.

Det er åpenbart at suksess eller fiasko i å løse et bestemt problem hovedsakelig avhenger av hvor riktig type ligning som blir løst er bestemt, hvor riktig sekvensen av alle stadier av løsningen er gjengitt. Selvfølgelig er det i dette tilfellet nødvendig å ha ferdighetene til å utføre identiske transformasjoner og beregninger.

Situasjonen er annerledes med trigonometriske ligninger. Det er slett ikke vanskelig å fastslå at ligningen er trigonometrisk. Det oppstår vanskeligheter når man skal bestemme rekkefølgen av handlinger som vil føre til riktig svar.

Det er noen ganger vanskelig å bestemme typen basert på utseendet til en ligning. Og uten å vite hvilken type ligning, er det nesten umulig å velge den rette fra flere dusin trigonometriske formler.

For å løse en trigonometrisk ligning, må du prøve:

1. bringe alle funksjoner inkludert i ligningen til "samme vinkler";
2. bringe ligningen til "identiske funksjoner";
3. faktor venstre side av ligningen osv.

La oss vurdere grunnleggende metoder for å løse trigonometriske ligninger.

I. Reduksjon til de enkleste trigonometriske ligningene

Løsningsdiagram

Trinn 1. Uttrykk en trigonometrisk funksjon i form av kjente komponenter.

Steg 2. Finn funksjonsargumentet ved å bruke formlene:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tan x = a; x = arctan a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.

Trinn 3. Finn den ukjente variabelen.

Eksempel.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Løsning.

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Svar: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Variabel utskifting

Løsningsdiagram

Trinn 1. Reduser ligningen til algebraisk form med hensyn til en av de trigonometriske funksjonene.

Steg 2. Angi den resulterende funksjonen med variabelen t (om nødvendig, innfør begrensninger på t).

Trinn 3. Skriv ned og løs den resulterende algebraiske ligningen.

Trinn 4. Gjør en omvendt erstatning.

Trinn 5. Løs den enkleste trigonometriske ligningen.

Eksempel.

2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.

Løsning.

1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;

2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.

2) La sin (x/2) = t, hvor |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 eller e = -3/2, tilfredsstiller ikke betingelsen |t| ≤ 1.

4) sin(x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Svar: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Reduksjonsmetode for ligningsorden

Løsningsdiagram

Trinn 1. Erstatt denne ligningen med en lineær, ved å bruke formelen for å redusere graden:

sin 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

Steg 2. Løs den resulterende ligningen ved å bruke metode I og II.

Eksempel.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

Løsning.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Svar: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Homogene ligninger

Løsningsdiagram

Trinn 1. Reduser denne ligningen til formen

a) a sin x + b cos x = 0 (homogen ligning av første grad)

eller til utsikten

b) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (homogen ligning av andre grad).

Steg 2. Del begge sider av ligningen med

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

og få ligningen for tan x:

a) a tan x + b = 0;

b) a tan 2 x + b arctan x + c = 0.

Trinn 3. Løs ligningen ved å bruke kjente metoder.

Eksempel.

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.

Løsning.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.

3) La da tg x = t

t2 + 3t – 4 = 0;

t = 1 eller t = -4, som betyr

tg x = 1 eller tg x = -4.

Fra den første ligningen x = π/4 + πn, n Є Z; fra den andre ligningen x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Svar: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Metode for å transformere en ligning ved bruk av trigonometriske formler

Løsningsdiagram

Trinn 1. Bruk alle mulige trigonometriske formler, reduser denne ligningen til en ligning løst med metodene I, II, III, IV.

Steg 2. Løs den resulterende ligningen ved å bruke kjente metoder.

Eksempel.

sin x + sin 2x + sin 3x = 0.

Løsning.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 eller 2cos x + 1 = 0;

Fra den første ligningen 2x = π/2 + πn, n Є Z; fra den andre ligningen cos x = -1/2.

Vi har x = π/4 + πn/2, n Є Z; fra den andre ligningen x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Som et resultat, x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Svar: x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Evnen og ferdigheten til å løse trigonometriske ligninger er svært viktig, deres utvikling krever betydelig innsats, både fra elevens og lærerens side.

Mange problemer med stereometri, fysikk osv. er knyttet til løsning av trigonometriske ligninger.Prosessen med å løse slike problemer legemliggjør mange av kunnskapen og ferdighetene som tilegnes ved å studere elementene i trigonometri.

Trigonometriske ligninger inntar en viktig plass i prosessen med å lære matematikk og personlig utvikling generelt.

Har du fortsatt spørsmål? Vet du ikke hvordan du løser trigonometriske ligninger?
Registrer deg for å få hjelp fra en veileder.
Den første leksjonen er gratis!

nettside, ved kopiering av materiale helt eller delvis, kreves en lenke til kilden.

Når man løser mange matematiske problemer, spesielt de som inntreffer før karakter 10, er rekkefølgen på utførte handlinger som vil føre til målet klart definert. Slike problemer inkluderer for eksempel lineære og kvadratiske ligninger, lineære og kvadratiske ulikheter, brøklikninger og ligninger som reduserer til andregradslikninger. Prinsippet for å lykkes med å løse hvert av de nevnte problemene er som følger: du må fastslå hvilken type problem du løser, husk den nødvendige sekvensen av handlinger som vil føre til ønsket resultat, dvs. svar og følg disse trinnene.

Det er åpenbart at suksess eller fiasko i å løse et bestemt problem hovedsakelig avhenger av hvor riktig type ligning som blir løst er bestemt, hvor riktig sekvensen av alle stadier av løsningen er gjengitt. Selvfølgelig er det i dette tilfellet nødvendig å ha ferdighetene til å utføre identiske transformasjoner og beregninger.

Situasjonen er annerledes med trigonometriske ligninger. Det er slett ikke vanskelig å fastslå at ligningen er trigonometrisk. Det oppstår vanskeligheter når man skal bestemme rekkefølgen av handlinger som vil føre til riktig svar.

Det er noen ganger vanskelig å bestemme typen basert på utseendet til en ligning. Og uten å vite hvilken type ligning, er det nesten umulig å velge den rette fra flere dusin trigonometriske formler.

For å løse en trigonometrisk ligning, må du prøve:

1. bringe alle funksjoner inkludert i ligningen til "samme vinkler";
2. bringe ligningen til "identiske funksjoner";
3. faktor venstre side av ligningen osv.

La oss vurdere grunnleggende metoder for å løse trigonometriske ligninger.

I. Reduksjon til de enkleste trigonometriske ligningene

Løsningsdiagram

Trinn 1. Uttrykk en trigonometrisk funksjon i form av kjente komponenter.

Steg 2. Finn funksjonsargumentet ved å bruke formlene:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tan x = a; x = arctan a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.

Trinn 3. Finn den ukjente variabelen.

Eksempel.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Løsning.

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Svar: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Variabel utskifting

Løsningsdiagram

Trinn 1. Reduser ligningen til algebraisk form med hensyn til en av de trigonometriske funksjonene.

Steg 2. Angi den resulterende funksjonen med variabelen t (om nødvendig, innfør begrensninger på t).

Trinn 3. Skriv ned og løs den resulterende algebraiske ligningen.

Trinn 4. Gjør en omvendt erstatning.

Trinn 5. Løs den enkleste trigonometriske ligningen.

Eksempel.

2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.

Løsning.

1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;

2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.

2) La sin (x/2) = t, hvor |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 eller e = -3/2, tilfredsstiller ikke betingelsen |t| ≤ 1.

4) sin(x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Svar: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Reduksjonsmetode for ligningsorden

Løsningsdiagram

Trinn 1. Erstatt denne ligningen med en lineær, ved å bruke formelen for å redusere graden:

sin 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

Steg 2. Løs den resulterende ligningen ved å bruke metode I og II.

Eksempel.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

Løsning.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Svar: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Homogene ligninger

Løsningsdiagram

Trinn 1. Reduser denne ligningen til formen

a) a sin x + b cos x = 0 (homogen ligning av første grad)

eller til utsikten

b) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (homogen ligning av andre grad).

Steg 2. Del begge sider av ligningen med

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

og få ligningen for tan x:

a) a tan x + b = 0;

b) a tan 2 x + b arctan x + c = 0.

Trinn 3. Løs ligningen ved å bruke kjente metoder.

Eksempel.

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.

Løsning.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.

3) La da tg x = t

t2 + 3t – 4 = 0;

t = 1 eller t = -4, som betyr

tg x = 1 eller tg x = -4.

Fra den første ligningen x = π/4 + πn, n Є Z; fra den andre ligningen x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Svar: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Metode for å transformere en ligning ved bruk av trigonometriske formler

Løsningsdiagram

Trinn 1. Bruk alle mulige trigonometriske formler, reduser denne ligningen til en ligning løst med metodene I, II, III, IV.

Steg 2. Løs den resulterende ligningen ved å bruke kjente metoder.

Eksempel.

sin x + sin 2x + sin 3x = 0.

Løsning.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 eller 2cos x + 1 = 0;

Fra den første ligningen 2x = π/2 + πn, n Є Z; fra den andre ligningen cos x = -1/2.

Vi har x = π/4 + πn/2, n Є Z; fra den andre ligningen x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Som et resultat, x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Svar: x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Evnen og ferdigheten til å løse trigonometriske ligninger er svært viktig, deres utvikling krever betydelig innsats, både fra elevens og lærerens side.

Mange problemer med stereometri, fysikk osv. er knyttet til løsning av trigonometriske ligninger.Prosessen med å løse slike problemer legemliggjør mange av kunnskapen og ferdighetene som tilegnes ved å studere elementene i trigonometri.

Trigonometriske ligninger inntar en viktig plass i prosessen med å lære matematikk og personlig utvikling generelt.

Har du fortsatt spørsmål? Vet du ikke hvordan du løser trigonometriske ligninger?
For å få hjelp fra en veileder -.
Den første leksjonen er gratis!

blog.site, når du kopierer materiale helt eller delvis, kreves en lenke til originalkilden.

Krever kunnskap om trigonometriens grunnleggende formler - summen av kvadratene av sinus og cosinus, uttrykket for tangent gjennom sinus og cosinus, og andre. For de som har glemt dem eller ikke kjenner dem, anbefaler vi å lese artikkelen "".
Så vi kjenner de grunnleggende trigonometriske formlene, det er på tide å bruke dem i praksis. Løse trigonometriske ligninger med riktig tilnærming er det en ganske spennende aktivitet, som for eksempel å løse en Rubiks kube.

Basert på selve navnet er det klart at en trigonometrisk likning er en likning der det ukjente står under tegnet til den trigonometriske funksjonen.
Det finnes såkalte enkleste trigonometriske ligninger. Slik ser de ut: sinx = a, cos x = a, tan x = a. La oss vurdere hvordan løse slike trigonometriske ligninger, for klarhet vil vi bruke den allerede kjente trigonometriske sirkelen.

sinx = a

cos x = a

tan x = a

barneseng x = a

Enhver trigonometrisk likning løses i to trinn: vi reduserer likningen til den enkleste formen og løser den deretter som en enkel trigonometrisk likning.
Det er 7 hovedmetoder for å løse trigonometriske ligninger.

1. Variabel substitusjon og substitusjonsmetode

Løs ligningen 2cos 2 (x + /6) – 3sin( /3 – x) +1 = 0

Ved å bruke reduksjonsformlene får vi:

2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0

Erstatt cos(x + /6) med y for å forenkle og få den vanlige andregradsligningen:

2y 2 – 3y + 1 + 0

Røttene er y 1 = 1, y 2 = 1/2

La oss nå gå i omvendt rekkefølge

Vi erstatter de funnet verdiene av y og får to svaralternativer:

2. Løse trigonometriske ligninger gjennom faktorisering

Hvordan løser man ligningen sin x + cos x = 1?

La oss flytte alt til venstre slik at 0 forblir til høyre:

sin x + cos x – 1 = 0

La oss bruke identitetene diskutert ovenfor for å forenkle ligningen:

sin x - 2 sin 2 (x/2) = 0

La oss faktorisere:

2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0

2sin(x/2) * = 0

Vi får to ligninger

3. Reduksjon til en homogen ligning

En ligning er homogen med hensyn til sinus og cosinus hvis alle leddene er i forhold til sinus og cosinus med samme potens i samme vinkel. For å løse en homogen ligning, fortsett som følger:

a) overføre alle dens medlemmer til venstre side;

b) ta alle vanlige faktorer ut av parentes;

c) sette likhetstegn mellom alle faktorer og parenteser til 0;

d) en homogen ligning av lavere grad oppnås i parentes, som igjen er delt inn i en sinus eller cosinus av en høyere grad;

e) løs den resulterende ligningen for tg.

Løs ligningen 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2

La oss bruke formelen sin 2 x + cos 2 x = 1 og bli kvitt de to åpne til høyre:

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2cos 2 x

sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

Del på cos x:

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

Erstatt tan x med y og få en andregradsligning:

y 2 + 4y +3 = 0, hvis røtter er y 1 =1, y 2 = 3

Herfra finner vi to løsninger på den opprinnelige ligningen:

x 2 = arktan 3 + k

4. Løse ligninger gjennom overgangen til en halv vinkel

Løs ligningen 3sin x – 5cos x = 7

La oss gå videre til x/2:

6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

La oss flytte alt til venstre:

2sin 2 (x/2) – 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

Del på cos(x/2):

tg 2 (x/2) – 3tg(x/2) + 6 = 0

5. Innføring av hjelpevinkel

For vurdering, la oss ta en ligning av formen: a sin x + b cos x = c,

hvor a, b, c er noen vilkårlige koeffisienter, og x er en ukjent.

La oss dele begge sider av ligningen med:



Nå har koeffisientene til ligningen, i henhold til trigonometriske formler, egenskapene sin og cos, nemlig: deres modul er ikke mer enn 1 og summen av kvadrater = 1. La oss betegne dem som henholdsvis cos og sin, hvor - dette er den såkalte hjelpevinkelen. Deretter vil ligningen ha formen:

cos * sin x + sin * cos x = C

eller sin(x + ) = C

Løsningen på denne enkleste trigonometriske ligningen er

x = (-1) k * arcsin C - + k, hvor



Det skal bemerkes at notasjonene cos og sin er utskiftbare.

Løs ligningen sin 3x – cos 3x = 1

Koeffisientene i denne ligningen er:

a = , b = -1, så del begge sider med = 2