Stereometri er en gren av geometrien som studerer figurer som ikke ligger i samme plan. Et av objektene for studiet av stereometri er prismer. I artikkelen vil vi definere et prisme fra et geometrisk synspunkt, og også kort liste opp egenskapene som er karakteristiske for det.

Geometrisk figur

Definisjonen av et prisme i geometri er som følger: det er en romlig figur som består av to identiske n-goner plassert i parallelle plan, forbundet med hverandre med sine toppunkter.

Å få et prisme er ikke vanskelig. La oss forestille oss at det er to identiske n-goner, der n er antall sider eller toppunkter. La oss plassere dem slik at de er parallelle med hverandre. Etter dette skal toppunktene til den ene polygonen kobles til de tilsvarende toppunktene til den andre. Den resulterende figuren vil bestå av to n-gonale sider, som kalles baser, og n firkantede sider, som generelt er parallellogrammer. Settet med parallellogrammer danner sideflaten til figuren.

Det er en annen måte å geometrisk fremskaffe den aktuelle figuren på. Så hvis vi tar en n-gon og overfører den til et annet plan ved å bruke parallelle segmenter av lik lengde, vil vi i det nye planet få den opprinnelige polygonen. Både polygoner og alle parallelle segmenter trukket fra hjørnene deres danner et prisme.

Bildet ovenfor viser dette. Det kalles det fordi basene er trekanter.

Elementer som utgjør en figur

Ovenfor ble definisjonen av et prisme gitt, hvorfra det er klart at hovedelementene i figuren er dens kanter eller sider, som begrenser alle de indre punktene til prismet fra det ytre rommet. Ethvert ansikt til den aktuelle figuren tilhører en av to typer:

• lateral;
• begrunnelse.

Det er n sidestykker, og de er parallellogrammer eller deres spesielle typer (rektangler, firkanter). Generelt er sideflatene forskjellige fra hverandre. Det er bare to flater av basen; de er n-goner og er like hverandre. Dermed har hvert prisme n+2 sider.

I tillegg til sidene er figuren preget av sine hjørner. De representerer punkter der tre ansikter berører samtidig. Dessuten hører alltid to av de tre flatene til sideflaten, og en til basen. I et prisme er det altså ikke noe spesielt tildelt ett toppunkt, for eksempel i en pyramide er de alle like. Antall hjørner av figuren er 2*n (n stykker for hver base).

Til slutt, det tredje viktige elementet i et prisme er ribbeina. Dette er segmenter av en viss lengde som dannes som et resultat av skjæringen av sidene til en figur. Som ansikter har kanter også to forskjellige typer:

• eller dannet bare av sidene;
• eller oppstår ved krysset mellom parallellogrammet og siden av den n-gonale basen.

Antall kanter er dermed lik 3*n, og 2*n av dem tilhører den andre av de navngitte typene.

Typer prismer

Det er flere måter å klassifisere prismer på. Imidlertid er de alle basert på to funksjoner i figuren:

• på typen n-karbonbase;
• på sidetype.

La oss først gå til den andre funksjonen og gi en definisjon av en rett linje. Hvis minst én side er et generelt parallellogram, kalles figuren skrå eller skrå. Hvis alle parallellogrammer er rektangler eller firkanter, vil prismet være rett.

Definisjonen kan også gis litt annerledes: en rett figur er et prisme hvis sidekanter og flater er vinkelrett på basene. Figuren viser to firkantede figurer. Den venstre er rett, den høyre er skråstilt.

La oss nå gå videre til klassifiseringen i henhold til typen n-gon som ligger ved basene. Den kan ha de samme sidene og vinklene eller forskjellige. I det første tilfellet kalles polygonen regulær. Hvis den aktuelle figuren inneholder en polygon med like sider og vinkler i bunnen og er rett, kalles den regulær. I følge denne definisjonen kan et regulært prisme ved basen ha en likesidet trekant, firkant, regulær femkant eller sekskant, og så videre. De oppførte vanlige tallene er presentert i figuren.

Lineære parametere for prismer

For å beskrive størrelsene på de aktuelle figurene, brukes følgende parametere:

• høyde;
• sidene av basen;
• lengde på laterale ribber;
• volumetriske diagonaler;
• diagonaler på sidene og basene.

For vanlige prismer er alle disse mengdene relatert til hverandre. For eksempel er lengdene på sideribbene de samme og lik høyden. For en spesifikk n-gonal regulær figur er det formler som lar deg bestemme alle de andre ved å bruke to lineære parametere.

Overflaten til en figur

Hvis vi refererer til definisjonen av et prisme gitt ovenfor, vil det ikke være vanskelig å forstå hva overflaten til figuren representerer. Overflate er arealet av alle ansikter. For et rett prisme beregnes det med formelen:

S = 2*S o + Po *h

hvor So er arealet av basen, Po er omkretsen av n-gonen ved basen, h er høyden (avstanden mellom basene).

Figurvolum

Sammen med overflaten for praksis er det viktig å kjenne volumet til prismet. Det kan bestemmes ved hjelp av følgende formel:

Dette uttrykket er gyldig for absolutt alle typer prismer, inkludert de som er skråstilt og dannet av uregelmessige polygoner.

For riktige er det en funksjon av lengden på siden av basen og høyden på figuren. For det tilsvarende n-gonale prismet har formelen for V en spesifikk form.

Foredrag: Prisme, dets baser, sideribber, høyde, sideoverflate; rett prisme; riktig prisme

Prisme

Hvis du lærte flate figurer hos oss fra tidligere spørsmål, så er du helt klar til å studere tredimensjonale figurer. Det første stoffet vi vil lære vil være et prisme.

Prisme er en tredimensjonal kropp som har et stort antall ansikter.

Denne figuren har to polygoner ved basene, som er plassert i parallelle plan, og alle sideflatene har form som et parallellogram.

Fig. 1. Fig. 2

Så la oss finne ut hva et prisme består av. For å gjøre dette, vær oppmerksom på Fig. 1

Som nevnt tidligere har et prisme to baser som er parallelle med hverandre - disse er femkantene ABCEF og GMNJK. Dessuten er disse polygonene like med hverandre.

Alle andre flater av prismet kalles sideflater - de består av parallellogrammer. For eksempel BMNC, AGKF, FKJE, etc.

Den totale overflaten av alle sideflater kalles sideflate.

Hvert par av tilstøtende ansikter har en felles side. Denne vanlige siden kalles en kant. For eksempel MV, SE, AB, etc.

Hvis den øvre og nedre basen av prismet er forbundet med en perpendikulær, vil det bli kalt prismets høyde. På figuren er høyden markert som rett linje OO 1.

Det er to hovedtyper prisme: skrå og rett.

Hvis sidekantene av prismet ikke er vinkelrett på basene, kalles et slikt prisme tilbøyelig.

Hvis alle kantene på et prisme er vinkelrett på basene, kalles et slikt prisme rett.

Hvis basene til et prisme inneholder vanlige polygoner (de med like sider), kalles et slikt prisme riktig.

Hvis basene til et prisme ikke er parallelle med hverandre, vil et slikt prisme bli kalt avkortet.

Du kan se det på fig. 2

Formler for å finne volumet og arealet til et prisme

Det er tre grunnleggende formler for å finne volum. De skiller seg fra hverandre i applikasjonen:

Lignende formler for å finne overflatearealet til et prisme:

Generell informasjon om rett prisme

Sideoverflaten til et prisme (mer presist, sideoverflaten) kalles sum områder av sideflatene. Den totale overflaten av prismet er lik summen av sideflaten og arealene til basene.

Teorem 19.1. Sideoverflaten til et rett prisme er lik produktet av omkretsen av basen og høyden på prismet, dvs. lengden på sidekanten.

Bevis. Sideflatene til et rett prisme er rektangler. Basene til disse rektanglene er sidene av polygonet som ligger ved bunnen av prismet, og høydene er lik lengden på sidekantene. Det følger at sideoverflaten til prismet er lik

S = a 1 l + a 2 l + ... + a n l = pl,

hvor a 1 og n er lengdene til grunnkantene, p er omkretsen av prismets basis, og I er lengden til sidekantene. Teoremet er bevist.

Praktisk oppgave

Problem (22) . I et skrånende prisme utføres det seksjon, vinkelrett på sideribbene og krysser alle sideribbene. Finn sideflaten til prismet hvis omkretsen av snittet er lik p og sidekantene er lik l.

Løsning. Planet til det tegnede snittet deler prismet i to deler (fig. 411). La oss utsette en av dem for parallell oversettelse, ved å kombinere prismebasene. I dette tilfellet får vi et rett prisme, hvis basis er tverrsnittet til det originale prismet, og sidekantene er lik l. Dette prismet har samme sideoverflate som det originale. Dermed er sideflaten til det opprinnelige prismet lik pl.

Oppsummering av det dekkede emnet

La oss nå prøve å oppsummere emnet vi dekket om prismer og huske hvilke egenskaper et prisme har.

Prismeegenskaper

For det første har et prisme alle sine baser som like polygoner;
For det andre, i et prisme er alle sideflatene parallellogrammer;
For det tredje, i en så mangefasettert figur som et prisme, er alle sidekanter like;

Det bør også huskes at polyedre som prismer kan være rette eller skråstilte.

Hvilket prisme kalles et rett prisme?

Hvis sidekanten til et prisme er plassert vinkelrett på planet til basen, kalles et slikt prisme et rett.

Det ville ikke være overflødig å huske at sideflatene til et rett prisme er rektangler.

Hvilken type prisme kalles skrå?

Men hvis sidekanten til et prisme ikke er plassert vinkelrett på planet til basen, kan vi trygt si at det er et skrånende prisme.

Hvilket prisme kalles riktig?

Hvis en regulær polygon ligger ved bunnen av et rett prisme, så er et slikt prisme regulært.

La oss nå huske egenskapene som et vanlig prisme har.

Egenskaper til et vanlig prisme

For det første tjener regelmessige polygoner alltid som basis for et regulært prisme;
For det andre, hvis vi tar for oss sideflatene til et vanlig prisme, er de alltid like rektangler;
For det tredje, hvis du sammenligner størrelsene på sideribbene, er de alltid like i et vanlig prisme.
For det fjerde er et korrekt prisme alltid rett;
For det femte, hvis sideflatene i et vanlig prisme har form av firkanter, kalles en slik figur vanligvis en semi-regelmessig polygon.

Prismetverrsnitt

La oss nå se på tverrsnittet av prismet:

Hjemmelekser

La oss nå prøve å konsolidere emnet vi har lært ved å løse problemer.

La oss tegne et skråstilt trekantet prisme, avstanden mellom kantene vil være lik: 3 cm, 4 cm og 5 cm, og sideoverflaten til dette prismet vil være lik 60 cm2. Når du har disse parameterne, finn sidekanten til dette prismet.

Vet du at geometriske figurer hele tiden omgir oss, ikke bare i geometritimer, men også i hverdagen er det gjenstander som ligner en eller annen geometrisk figur.

Hvert hjem, skole eller arbeid har en datamaskin hvis systemenhet er formet som et rett prisme.

Hvis du tar opp en enkel blyant, vil du se at hoveddelen av blyanten er et prisme.

Når vi går langs den sentrale gaten i byen, ser vi at under føttene våre ligger en flis som har form av et sekskantet prisme.

A. V. Pogorelov, Geometri for klassetrinn 7-11, Lærebok for utdanningsinstitusjoner

Basen til prismet kan være en hvilken som helst polygon - trekant, firkant, etc. Begge baser er helt identiske, og følgelig, med hvilke hjørnene av parallelle kanter er forbundet med hverandre, er de alltid parallelle. Ved bunnen av et regulært prisme ligger en regulær polygon, det vil si en der alle sider er like. I et rett prisme er ribbene mellom sideflatene vinkelrett på basen. I dette tilfellet kan bunnen av et rett prisme inneholde en polygon med et hvilket som helst antall vinkler. Et prisme hvis base er et parallellogram kalles et parallellepiped. Et rektangel er et spesialtilfelle av et parallellogram. Hvis denne figuren ligger ved basen, og sideflatene er plassert i rette vinkler på basen, kalles parallellepipedet rektangulært. Det andre navnet på denne geometriske kroppen er rektangulær.

Hvordan ser hun ut

Det er ganske mange rektangulære prismer i miljøet til det moderne mennesket. Dette er for eksempel vanlig papp til sko, datakomponenter m.m. Se deg rundt. Selv i et rom vil du sannsynligvis se mange rektangulære prismer. Dette inkluderer en datamaskinkoffert, en bokhylle, et kjøleskap, en garderobe og mange andre ting. Formen er ekstremt populær hovedsakelig fordi den lar deg få mest mulig ut av plassen din, enten du skal dekorere interiøret eller pakke ting inn i papp før du flytter.

Egenskaper til et rektangulært prisme

Et rektangulært prisme har en rekke spesifikke egenskaper. Ethvert par ansikter kan tjene som det, siden alle tilstøtende ansikter er plassert i samme vinkel til hverandre, og denne vinkelen er 90°. Volumet og overflatearealet til et rektangulært prisme er lettere å beregne enn noen annen. Ta en hvilken som helst gjenstand som har form av et rektangulært prisme. Mål lengden, bredden og høyden. For å finne volumet, multipliser bare disse målingene. Det vil si at formelen ser slik ut: V=a*b*h, der V er volumet, a og b er sidene av basen, h er høyden som faller sammen med sidekanten til denne geometriske kroppen. Grunnflaten beregnes ved hjelp av formelen S1=a*b. For sideflaten må du først beregne omkretsen av basen ved å bruke formelen P=2(a+b), og deretter multiplisere den med høyden. Den resulterende formelen er S2=P*h=2(a+b)*h. For å beregne det totale overflatearealet til et rektangulært prisme, legg til to ganger grunnarealet og sideoverflaten. Formelen er S=2S1+S2=2*a*b+2*(a+b)*h=2

Definisjon.

Dette er en sekskant, hvis basis er to like firkanter, og sideflatene er like rektangler

Sideribbe- er fellessiden av to tilstøtende sideflater

Prismehøyde- dette er et segment vinkelrett på basen til prismet

Prisme diagonal- et segment som forbinder to hjørner av basene som ikke tilhører samme side

Diagonalt plan- et plan som går gjennom prismets diagonal og dets sidekanter

Diagonalt snitt- grensene for skjæringspunktet mellom prismet og diagonalplanet. Det diagonale tverrsnittet av et regulært firkantet prisme er et rektangel

Perpendikulært snitt (ortogonalt snitt)- dette er skjæringspunktet mellom et prisme og et plan tegnet vinkelrett på sidekantene

Elementer av et vanlig firkantet prisme

Figuren viser to vanlige firkantede prismer, som er indikert med de tilsvarende bokstavene:

• Basene ABCD og A 1 B 1 C 1 D 1 er like og parallelle med hverandre
• Sideflater AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C og CC 1 D 1 D, som hver er et rektangel
• Lateral overflate - summen av arealene til alle sideflatene til prismet
• Total overflate - summen av arealene til alle baser og sideflater (summen av arealet av sideoverflaten og basene)
• Sideribber AA 1, BB 1, CC 1 og DD 1.
• Diagonal B 1 D
• Base diagonal BD
• Diagonalsnitt BB 1 D 1 D
• Vinkelrett snitt A 2 B 2 C 2 D 2.

Egenskaper til et regulært firkantet prisme

• Basene er to like firkanter
• Basene er parallelle med hverandre
• Sideflatene er rektangler
• Sidekantene er like med hverandre
• Sideflatene er vinkelrette på basene
• Sideribbene er parallelle med hverandre og like
• Vinkelrett snitt vinkelrett på alle sideribber og parallelt med basene
• Vinkler av vinkelrett snitt - rett
• Det diagonale tverrsnittet av et regulært firkantet prisme er et rektangel
• Vinkelrett (ortogonalt snitt) parallelt med basene

Formler for et vanlig firkantet prisme

Instruksjoner for å løse problemer

Når du løser problemer om emnet " vanlig firkantet prisme" betyr at:

Riktig prisme- et prisme ved bunnen av det ligger en regulær polygon, og sidekantene er vinkelrette på bunnens plan. Det vil si at et vanlig firkantet prisme inneholder ved bunnen torget. (se egenskapene til et vanlig firkantet prisme ovenfor) Merk. Dette er en del av en leksjon med geometriproblemer (seksjonsstereometri - prisme). Her er problemer som er vanskelige å løse. Hvis du trenger å løse et geometriproblem som ikke er her, skriv om det i forumet. For å betegne handlingen med å trekke ut kvadratroten for å løse problemer, brukes symbolet√ .

Oppgave.

I et vanlig firkantet prisme er grunnflaten 144 cm 2 og høyden 14 cm Finn prismets diagonal og det totale overflatearealet.

Løsning.
En vanlig firkant er en firkant.
Følgelig vil siden av basen være lik

√144 = 12 cm.
Fra hvor diagonalen til basen til et vanlig rektangulært prisme vil være lik
√(12 2 + 12 2 ) = √288 = 12√2

Diagonalen til et vanlig prisme danner en rettvinklet trekant med diagonalen til basen og høyden til prismet. Følgelig, i henhold til Pythagoras teorem, vil diagonalen til et gitt regulært firkantet prisme være lik:
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 cm

Svar: 22 cm

Oppgave

Bestem den totale overflaten til et vanlig firkantet prisme hvis diagonalen er 5 cm og diagonalen på sideflaten er 4 cm.

Løsning.
Siden grunnflaten til et regulært firkantet prisme er et kvadrat, finner vi siden av grunnflaten (betegnet som a) ved å bruke Pythagoras teorem:

A 2 + a 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12,5

Høyden på sideflaten (betegnet som h) vil da være lik:

H2 + 12,5 = 42
h 2 + 12,5 = 16
h 2 = 3,5
h = √3,5

Det totale overflatearealet vil være lik summen av sideoverflaten og to ganger grunnflaten

S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12,5 * √3,5
S = 25 + 4√43,75
S = 25 + 4√(175/4)
S = 25 + 4√(7*25/4)
S = 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

Svar: 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.