La oss vurdere en bestemt serie.
7 28 112 448 1792...
Det er helt klart at verdien av noen av elementene er nøyaktig fire ganger større enn den forrige. Dette betyr at denne serien er en progresjon.
En geometrisk progresjon er en uendelig rekkefølge av tall, hvis hovedtrekk er at det neste tallet oppnås fra det forrige ved å multiplisere med et spesifikt tall. Dette uttrykkes med følgende formel.
a z +1 =a z ·q, hvor z er tallet på det valgte elementet.
Følgelig er z ∈ N.
Perioden hvor geometrisk progresjon studeres på skolen er 9. klasse. Eksempler vil hjelpe deg å forstå konseptet:
0.25 0.125 0.0625...
Basert på denne formelen kan nevneren for progresjonen bli funnet som følger:
Verken q eller b z kan være null. Hvert av elementene i progresjonen skal heller ikke være lik null.
Følgelig, for å finne ut det neste tallet i en serie, må du multiplisere det siste med q.
For å angi denne progresjonen, må du spesifisere dets første element og nevner. Etter dette er det mulig å finne noen av de påfølgende vilkårene og summen deres.
Varianter
Avhengig av q og a 1 er denne progresjonen delt inn i flere typer:
- Hvis både a 1 og q er større enn én, er en slik sekvens en geometrisk progresjon som øker med hvert påfølgende element. Et eksempel på dette er presentert nedenfor.
Eksempel: a 1 =3, q=2 - begge parameterne er større enn én.
Deretter kan tallrekkefølgen skrives slik:
3 6 12 24 48 ...
- Hvis |q| er mindre enn én, det vil si at multiplikasjon med det tilsvarer divisjon, så er en progresjon med lignende forhold en avtagende geometrisk progresjon. Et eksempel på dette er presentert nedenfor.
Eksempel: a 1 =6, q=1/3 - a 1 er større enn én, q er mindre.
Deretter kan tallrekkefølgen skrives slik:
6 2 2/3 ... - ethvert element er 3 ganger større enn elementet etter det.
- Vekslende tegn. Hvis q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.
Eksempel: a 1 = -3, q = -2 - begge parametere er mindre enn null.
Deretter kan tallrekkefølgen skrives slik:
3, 6, -12, 24,...
Formler
Det er mange formler for praktisk bruk av geometriske progresjoner:
- Z-term formel. Lar deg beregne et element under et bestemt tall uten å beregne tidligere tall.
Eksempel:q = 3, en 1 = 4. Det kreves å telle det fjerde elementet i progresjonen.
Løsning:en 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.
- Summen av de første elementene hvis mengde er lik z. Lar deg beregne summen av alle elementene i en sekvens opp tila zinklusive.
Siden (1-q) er i nevneren, så (1 - q)≠ 0, derfor er q ikke lik 1.
Merk: hvis q=1, vil progresjonen være en serie med uendelig repeterende tall.
Summen av geometrisk progresjon, eksempler:en 1 = 2, q= -2. Beregn S5.
Løsning:S 5 = 22 - beregning ved hjelp av formelen.
- Beløp hvis |q| < 1 и если z стремится к бесконечности.
Eksempel:en 1 = 2 , q= 0,5. Finn beløpet.
Løsning:Sz = 2 · = 4
Sz = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4
Noen egenskaper:
- Karakteristisk egenskap. Hvis følgende tilstand fungerer for enhverz, da er den gitte tallserien en geometrisk progresjon:
a z 2 = a z -1 · enz+1
- Dessuten finner man kvadratet til et hvilket som helst tall i en geometrisk progresjon ved å legge til kvadratene til to andre tall i en gitt serie, hvis de er like langt fra dette elementet.
a z 2 = a z - t 2 + a z + t 2 , Hvort- avstanden mellom disse tallene.
- Elementeravvike i qen gang.
- Logaritmene til elementene i en progresjon danner også en progresjon, men en aritmetisk, det vil si at hver av dem er større enn den forrige med et visst tall.
Eksempler på noen klassiske problemer
For bedre å forstå hva en geometrisk progresjon er, kan eksempler med løsninger for klasse 9 hjelpe.
- Betingelser:en 1 = 3, en 3 = 48. Finnq.
Løsning: hvert påfølgende element er større enn det forrige iq en gang.Det er nødvendig å uttrykke noen elementer i form av andre ved å bruke en nevner.
Derfor,en 3 = q 2 · en 1
Ved erstatningq= 4
- Betingelser:en 2 = 6, en 3 = 12. Regn ut S 6.
Løsning:For å gjøre dette, finn bare q, det første elementet og bytt det inn i formelen.
en 3 = q· en 2 , derfor,q= 2
a 2 = q · en 1 ,Derfor a 1 = 3
S 6 = 189
- · en 1 = 10, q= -2. Finn det fjerde elementet i progresjonen.
Løsning: for å gjøre dette er det nok å uttrykke det fjerde elementet gjennom det første og gjennom nevneren.
a 4 = q 3· a 1 = -80
Applikasjonseksempel:
- En bankklient foretok et innskudd på 10 000 rubler, under hvilke vilkår klienten hvert år vil få 6% av det lagt til hovedbeløpet. Hvor mye penger er det på kontoen etter 4 år?
Løsning: Det opprinnelige beløpet er 10 tusen rubler. Dette betyr at et år etter investeringen vil kontoen ha et beløp tilsvarende 10 000 + 10 000 · 0,06 = 10 000 1,06
Følgelig vil beløpet på kontoen etter et år bli uttrykt som følger:
(10000 · 1,06) · 0,06 + 10000 · 1,06 = 1,06 · 1,06 · 10000
Det vil si at hvert år øker beløpet med 1,06 ganger. Dette betyr at for å finne beløpet på kontoen etter 4 år, er det nok å finne det fjerde elementet i progresjonen, som er gitt av det første elementet lik 10 tusen og nevneren lik 1,06.
S = 1,06 1,06 1,06 1,06 10000 = 12625
Eksempler på sumberegningsproblemer:
Geometrisk progresjon brukes i ulike problemer. Et eksempel for å finne summen kan gis som følger:
en 1 = 4, q= 2, beregnS 5.
Løsning: alle dataene som er nødvendige for beregningen er kjent, du trenger bare å erstatte dem med formelen.
S 5 = 124
- en 2 = 6, en 3 = 18. Regn ut summen av de seks første elementene.
Løsning:
I geom. progresjon, hvert neste element er q ganger større enn det forrige, det vil si for å beregne summen må du kjenne elementeten 1 og nevnerq.
en 2 · q = en 3
q = 3
På samme måte må du finneen 1 , viteen 2 Ogq.
en 1 · q = en 2
a 1 =2
S 6 = 728.
Matematikk er hvamennesker kontrollerer naturen og seg selv.
Sovjetisk matematiker, akademiker A.N. Kolmogorov
Geometrisk progresjon.
Sammen med problemer om aritmetiske progresjoner, er problemer knyttet til begrepet geometrisk progresjon også vanlig ved opptaksprøver i matematikk. For å lykkes med å løse slike problemer, må du kjenne egenskapene til geometriske progresjoner og ha gode ferdigheter i å bruke dem.
Denne artikkelen er viet presentasjonen av de grunnleggende egenskapene til geometrisk progresjon. Eksempler på å løse typiske problemer er også gitt her., lånt fra oppgavene til opptaksprøver i matematikk.
La oss først legge merke til de grunnleggende egenskapene til den geometriske progresjonen og huske de viktigste formlene og påstandene, relatert til dette konseptet.
Definisjon. En tallsekvens kalles en geometrisk progresjon hvis hvert tall, fra det andre, er lik det forrige, multiplisert med det samme tallet. Tallet kalles nevneren for en geometrisk progresjon.
For geometrisk progresjonformlene er gyldige
, (1)
Hvor . Formel (1) kalles formelen for det generelle begrepet for en geometrisk progresjon, og formel (2) representerer hovedegenskapen til en geometrisk progresjon: hvert ledd i progresjonen faller sammen med det geometriske gjennomsnittet av naboleddene og .
Merk, at det er nettopp på grunn av denne egenskapen at den aktuelle progresjonen kalles «geometrisk».
Formlene (1) og (2) ovenfor er generalisert som følger:
, (3)
For å beregne beløpet først medlemmer av en geometrisk progresjonformelen gjelder
Hvis vi betegner, da
Hvor . Siden , formel (6) er en generalisering av formel (5).
I tilfelle når og geometrisk progresjoner uendelig avtagende. For å beregne beløpetav alle ledd i en uendelig avtagende geometrisk progresjon, brukes formelen
. (7)
For eksempel , ved hjelp av formel (7) kan vi vise, Hva
Hvor . Disse likhetene er oppnådd fra formel (7) under forutsetning av at , (første likhet) og , (andre likhet).
Teorem. Hvis da
Bevis. Hvis da
Teoremet er bevist.
La oss gå videre til å vurdere eksempler på å løse problemer om emnet "Geometrisk progresjon".
Eksempel 1. Gitt: , og . Finn .
Løsning. Hvis vi bruker formel (5), da
Svar: .
Eksempel 2. La det være. Finn .
Løsning. Siden og , bruker vi formler (5), (6) og får et likningssystem
Hvis den andre ligningen av system (9) er delt på den første, deretter eller . Det følger av dette at . La oss vurdere to tilfeller.
1. Hvis, så fra den første ligningen av system (9) har vi.
2. Hvis , da .
Eksempel 3. La , og . Finn .
Løsning. Fra formel (2) følger det at eller . Siden , da eller .
Etter betingelse. Imidlertid derfor. Siden og så her har vi et ligningssystem
Hvis den andre ligningen i systemet er delt på den første, så eller .
Siden har ligningen en unik egnet rot. I dette tilfellet følger det av den første ligningen i systemet.
Ved å ta hensyn til formel (7), får vi.
Svar: .
Eksempel 4. Gitt: og . Finn .
Løsning. Siden da.
Siden , da eller
I henhold til formel (2) har vi . I denne forbindelse, fra likhet (10) oppnår vi eller .
Imidlertid etter betingelse, altså.
Eksempel 5. Det er kjent at . Finn .
Løsning. I følge teoremet har vi to likheter
Siden , da eller . Fordi da.
Svar: .
Eksempel 6. Gitt: og . Finn .
Løsning. Ved å ta hensyn til formel (5), får vi
Siden da. Siden , og , da .
Eksempel 7. La det være. Finn .
Løsning. I henhold til formel (1) kan vi skrive
Derfor har vi eller . Det er kjent at og , derfor og .
Svar: .
Eksempel 8. Finn nevneren for en uendelig avtagende geometrisk progresjon if
Og .
Løsning. Fra formel (7) følger det Og . Herfra og fra betingelsene for oppgaven får vi et likningssystem
Hvis den første ligningen i systemet er kvadratisk, og del deretter den resulterende ligningen med den andre ligningen, så får vi
Eller .
Svar: .
Eksempel 9. Finn alle verdier der sekvensen , , er en geometrisk progresjon.
Løsning. La , og . I henhold til formel (2), som definerer hovedegenskapen til en geometrisk progresjon, kan vi skrive eller .
Herfra får vi den andregradsligningen, hvis røtter er Og .
La oss sjekke: hvis, deretter , og ; hvis , da , og .
I det første tilfellet har vi og , og i den andre – og .
Svar: , .
Eksempel 10.Løs ligningen
, (11)
hvor og.
Løsning. Venstre side av ligning (11) er summen av en uendelig avtagende geometrisk progresjon, der og , underlagt: og .
Fra formel (7) følger det, Hva . I denne forbindelse har ligning (11) formen eller . Egnet rot andregradsligningen er
Svar: .
Eksempel 11. P sekvens av positive talldanner en aritmetisk progresjon, A - geometrisk progresjon, hva har det å gjøre med . Finn .
Løsning. Fordi aritmetisk rekkefølge, Det (hovedegenskapen til aritmetisk progresjon). Fordi det, deretter eller . Dette innebærer , at den geometriske progresjonen har formen. I henhold til formel (2), så skriver vi ned det .
Siden og , da . I dette tilfellet uttrykket tar formen eller . Etter betingelse, så fra Eq.vi får en unik løsning på det aktuelle problemet, dvs. .
Svar: .
Eksempel 12. Beregn sum
. (12)
Løsning. Multipliser begge sider av likhet (12) med 5 og få
Hvis vi trekker (12) fra det resulterende uttrykket, Det
eller .
For å beregne, erstatter vi verdiene i formel (7) og får . Siden da.
Svar: .
Eksemplene på problemløsning gitt her vil være nyttige for søkere når de forbereder seg til opptaksprøver. For en dypere studie av problemløsningsmetoder, relatert til geometrisk progresjon, Du kan bruke veiledninger fra listen over anbefalt litteratur.
1. Oppgavesamling i matematikk for søkere til høyskoler / Utg. M.I. Scanavi. – M.: Mir og utdanning, 2013. – 608 s.
2. Suprun V.P. Matematikk for elever på videregående skole: tilleggsdeler av skolepensum. – M.: Lenand / URSS, 2014. – 216 s.
3. Medynsky M.M. Et komplett kurs i elementær matematikk i oppgaver og øvelser. Bok 2: Tallsekvenser og progresjoner. – M.: Editus, 2015. – 208 s.
Har du fortsatt spørsmål?
Registrer deg for å få hjelp fra en veileder.
nettside, ved kopiering av materiale helt eller delvis, kreves en lenke til kilden.
Formelen for det n-te leddet i en geometrisk progresjon er veldig enkel. Både i betydning og generelt utseende. Men det er alle slags problemer på formelen til det n-te leddet - fra veldig primitivt til ganske alvorlig. Og i prosessen med vårt bekjentskap vil vi definitivt vurdere begge deler. Vel, la oss bli kjent?)
Så til å begynne med, faktisk formeln
Her er hun:
b n = b 1 · qn -1
Formelen er bare en formel, ikke noe overnaturlig. Det ser enda enklere og mer kompakt ut enn en lignende formel for. Betydningen av formelen er også like enkel som filtstøvler.
Denne formelen lar deg finne ALLE medlemmer av en geometrisk progresjon ETTER NUMMER " n".
Som du kan se, er meningen fullstendig analogi med en aritmetisk progresjon. Vi kjenner tallet n - vi kan også telle begrepet under dette tallet. Uansett hvilken vi ønsker. Uten å multiplisere med "q" mange, mange ganger. Det er hele poenget.)
Jeg forstår at på dette nivået av å jobbe med progresjoner, bør alle mengdene som er inkludert i formelen allerede være klare for deg, men jeg anser det fortsatt som min plikt å dechiffrere hver enkelt. For sikkerhets skyld.
Så, her går vi:
b 1 – først term for geometrisk progresjon;
q – ;
n– medlemsnummer;
b n – nth (nth) ledd for en geometrisk progresjon.
Denne formelen forbinder de fire hovedparametrene for enhver geometrisk progresjon - bn, b 1 , q Og n. Og alle progresjonsproblemene dreier seg om disse fire nøkkeltallene.
"Hvordan fjernes det?"– Jeg hører et nysgjerrig spørsmål... Elementært! Se!
Hva er lik sekund medlem av progresjonen? Ikke noe problem! Vi skriver direkte:
b 2 = b 1 · q
Hva med det tredje medlemmet? Ikke noe problem heller! Vi multipliserer det andre leddet nok en gang påq.
Som dette:
B 3 = b 2 q
La oss nå huske at det andre leddet på sin side er lik b 1 ·q og erstatte dette uttrykket med vår likhet:
B 3 = b 2 q = (b 1 q) q = b 1 q q = b 1 q 2
Vi får:
B 3 = b 1 ·q 2
La oss nå lese vår oppføring på russisk: tredje ledd er lik første ledd multiplisert med q in sekund grader. Forstår du det? Ikke ennå? Ok, ett skritt til.
Hva er fjerde termin? Alt det samme! Multiplisere tidligere(dvs. tredje ledd) på q:
B 4 = b 3 q = (b 1 q 2) q = b 1 q 2 q = b 1 q 3
Total:
B 4 = b 1 ·q 3
Og igjen oversetter vi til russisk: fjerde ledd er lik første ledd multiplisert med q in tredje grader.
Og så videre. Så hvordan er det? Fikk du med deg mønsteret? Ja! For alle ledd med et hvilket som helst tall, vil antallet identiske faktorer q (dvs. graden av nevneren) alltid være ett mindre enn antallet til ønsket medlemn.
Derfor vil formelen vår være uten alternativer:
b n =b 1 · qn -1
Det er alt.)
Vel, la oss løse problemene, antar jeg?)
Løse formelproblemernledd i en geometrisk progresjon.
La oss starte, som vanlig, med direkte anvendelse av formelen. Her er et typisk problem:
I geometrisk progresjon er det kjent at b 1 = 512 og q = -1/2. Finn det tiende leddet i progresjonen.
Selvfølgelig kan dette problemet løses uten noen formler i det hele tatt. Direkte i betydningen geometrisk progresjon. Men vi må varme opp med formelen for n'te termin, ikke sant? Her varmer vi opp.
Våre data for å bruke formelen er som følger.
Det første medlemmet er kjent. Dette er 512.
b 1 = 512.
Nevneren for progresjonen er også kjent: q = -1/2.
Det gjenstår bare å finne ut hva antallet medlem n er. Ikke noe problem! Er vi interessert i den tiende perioden? Så vi erstatter ti i stedet for n i den generelle formelen.
Og regn nøye ut aritmetikken:
Svar: -1
Som du kan se, viste den tiende perioden av progresjonen seg å være minus. Ingenting overraskende: progresjonsnevneren vår er -1/2, dvs. negativ Antall. Og dette forteller oss at tegnene på progresjonen vår veksler, ja.)
Alt er enkelt her. Her er et lignende problem, men litt mer komplisert når det gjelder beregninger.
I geometrisk progresjon er det kjent at:
b 1 = 3
Finn det trettende leddet i progresjonen.
Alt er det samme, bare denne gangen er nevneren for progresjonen irrasjonell. Rot av to. Vel, det er greit. Formelen er en universell ting; den kan håndtere alle tall.
Vi jobber direkte etter formelen:
Formelen fungerte selvfølgelig som den skulle, men... det er her noen sitter fast. Hva skal jeg gjøre videre med roten? Hvordan heve en rot til tolvte potens?
Hvordan-hvordan... Du må forstå at enhver formel, selvfølgelig, er en god ting, men kunnskap om all tidligere matematikk er ikke kansellert! Hvordan bygge? Ja, husk egenskapene til grader! La oss gjøre roten til brøkgrad og – i henhold til formelen for å heve en grad til en grad.
Som dette:
Svar: 192
Og det er alt.)
Hva er hovedvanskeligheten med å direkte anvende formelen for n'te ledd? Ja! Den største vanskeligheten er jobber med grader! Nemlig å heve negative tall, brøker, røtter og lignende konstruksjoner til potenser. Så de som har problemer med dette, vennligst gjenta gradene og deres egenskaper! Ellers vil du bremse dette emnet også, ja...)
La oss nå løse typiske søkeproblemer et av elementene i formelen, hvis alle andre er gitt. For å lykkes med å løse slike problemer er oppskriften enhetlig og fryktelig enkel - skriv formelenn-medlem generelt! Rett i notatboken ved siden av tilstanden. Og så finner vi ut fra tilstanden hva som er gitt oss og hva som mangler. Og vi uttrykker ønsket verdi fra formelen. Alle!
For eksempel et slikt ufarlig problem.
Det femte leddet i en geometrisk progresjon med nevner 3 er 567. Finn det første leddet i denne progresjonen.
Ikke noe komplisert. Vi jobber direkte etter trolldommen.
La oss skrive formelen for det n-te leddet!
b n = b 1 · qn -1
Hva har vi fått? Først er nevneren for progresjonen gitt: q = 3.
Dessuten er vi gitt femte medlem: b 5 = 567 .
Alle? Nei! Vi har også fått nummer n! Dette er fem: n = 5.
Jeg håper du allerede forstår hva som står i opptaket b 5 = 567 to parametere er skjult samtidig - dette er selve den femte termen (567) og dens nummer (5). Jeg har allerede snakket om dette i en lignende leksjon, men jeg synes det er verdt å nevne her også.)
Nå erstatter vi dataene våre i formelen:
567 = b 1 ·3 5-1
Vi regner, forenkler og får en enkel lineær ligning:
81 b 1 = 567
Vi løser og får:
b 1 = 7
Som du ser er det ingen problemer med å finne den første termen. Men når du søker etter nevneren q og tall n Det kan også komme overraskelser. Og du må også være forberedt på dem (overraskelser), ja.)
For eksempel dette problemet:
Det femte leddet i en geometrisk progresjon med en positiv nevner er 162, og det første leddet i denne progresjonen er 2. Finn progresjonens nevner.
Denne gangen får vi første og femte ledd, og blir bedt om å finne nevneren for progresjonen. Her går vi.
Vi skriver formelennmedlem!
b n = b 1 · qn -1
Våre første data vil være som følger:
b 5 = 162
b 1 = 2
n = 5
Manglende verdi q. Ikke noe problem! La oss finne det nå.) Vi erstatter alt vi vet i formelen.
Vi får:
162 = 2q 5-1
2 q 4 = 162
q 4 = 81
En enkel ligning av fjerde grad. Og nå - forsiktig! På dette stadiet av løsningen trekker mange studenter umiddelbart med glede ut roten (av fjerde grad) og får svaret q=3 .
Som dette:
q4 = 81
q = 3
Men faktisk er dette et uferdig svar. Mer presist, ufullstendig. Hvorfor? Poenget er at svaret q = -3 også egnet: (-3) 4 vil også være 81!
Dette er fordi potensligningen x n = en alltid har to motsatte røtter på til og medn . Med pluss og minus:
Begge egner seg.
For eksempel, når du bestemmer deg (dvs. sekund grader)
x 2 = 9
Av en eller annen grunn er du ikke overrasket over utseendet to røtter x=±3? Det er det samme her. Og med alle andre til og med grad (fjerde, sjette, tiende osv.) vil være den samme. Detaljer er i emnet om
Derfor vil den riktige løsningen være:
q 4 = 81
q= ±3
Ok, vi har ordnet skiltene. Hvilken er riktig - pluss eller minus? Vel, la oss lese problemformuleringen igjen på jakt etter tilleggsinformasjon. Selvfølgelig kan det ikke eksistere, men i dette problemet slik informasjon tilgjengelig. Vår tilstand sier i klartekst at det gis en progresjon med positiv nevner.
Derfor er svaret åpenbart:
q = 3
Alt er enkelt her. Hva tror du ville skjedd hvis problemformuleringen var slik:
Det femte leddet i en geometrisk progresjon er 162, og det første leddet i denne progresjonen er 2. Finn progresjonens nevner.
Hva er forskjellen? Ja! I stand Ingenting det nevnes ikke noe om nevnerens tegn. Verken direkte eller indirekte. Og her ville problemet allerede ha to løsninger!
q = 3 Og q = -3
Ja Ja! Både med pluss og minus.) Matematisk vil dette faktum bety at det finnes to progresjoner, som passer til betingelsene for problemet. Og hver har sin egen nevner. Bare for moro skyld, øv og skriv ut de fem første termene av hver.)
La oss nå øve på å finne medlemsnummeret. Dette problemet er det vanskeligste, ja. Men også mer kreativ.)
Gitt en geometrisk progresjon:
3; 6; 12; 24; …
Hvilket tall i denne progresjonen er tallet 768?
Det første trinnet er fortsatt det samme: skriv formelennmedlem!
b n = b 1 · qn -1
Og nå, som vanlig, erstatter vi dataene vi kjenner til den. Hm... det går ikke! Hvor er det første leddet, hvor er nevneren, hvor er alt annet?!
Hvor, hvor... Hvorfor trenger vi øyne? Klaffer øyevippene? Denne gangen gis progresjonen til oss direkte i skjemaet sekvenser. Kan vi se det første medlemmet? Vi ser! Dette er en trippel (b 1 = 3). Hva med nevneren? Vi ser det ikke ennå, men det er veldig enkelt å telle. Hvis du selvfølgelig forstår...
Så vi teller. Direkte i henhold til betydningen av en geometrisk progresjon: vi tar noen av termene (unntatt den første) og deler med den forrige.
I det minste slik:
q = 24/12 = 2
Hva annet vet vi? Vi kjenner også et ledd for denne progresjonen, lik 768. Under et tall n:
b n = 768
Vi vet ikke nummeret hans, men vår oppgave er nettopp å finne ham.) Så vi leter. Vi har allerede lastet ned alle nødvendige data for substitusjon til formelen. Ukjent for deg selv.)
Her erstatter vi:
768 = 3 2n -1
La oss gjøre de elementære - del begge sider med tre og skriv om ligningen i vanlig form: det ukjente er til venstre, det kjente er til høyre.
Vi får:
2 n -1 = 256
Dette er en interessant ligning. Vi må finne "n". Hva, uvanlig? Ja, jeg krangler ikke. Egentlig er dette den enkleste tingen. Det kalles så fordi det ukjente (i dette tilfellet er det nummeret n) koster inn indikator grader.
På stadiet av å lære om geometrisk progresjon (dette er niende klasse), lærer de deg ikke hvordan du løser eksponentielle ligninger, ja ... Dette er et emne for videregående skole. Men det er ikke noe skummelt. Selv om du ikke vet hvordan slike ligninger løses, la oss prøve å finne vår n, styrt av enkel logikk og sunn fornuft.
La oss begynne å snakke. Til venstre har vi en toer til en viss grad. Vi vet ennå ikke nøyaktig hva denne graden er, men det er ikke skummelt. Men vi vet med sikkerhet at denne graden er lik 256! Så vi husker i hvilken grad en toer gir oss 256. Husker du? Ja! I åttende grader!
256 = 2 8
Hvis du ikke husker eller har problemer med å gjenkjenne gradene, så er det også greit: bare etter hverandre kvadrat to, kube, fjerde, femte, og så videre. Utvalg, faktisk, men på dette nivået vil fungere ganske bra.
På en eller annen måte får vi:
2 n -1 = 2 8
n-1 = 8
n = 9
Så 768 er niende medlem av vår progresjon. Det er det, problemet løst.)
Svar: 9
Hva? Kjedelig? Lei av elementære ting? Bli enige. Og jeg også. La oss gå til neste nivå.)
Mer komplekse oppgaver.
La oss nå løse mer utfordrende problemer. Ikke akkurat superkule, men de som krever litt jobb for å komme til svaret.
For eksempel denne.
Finn det andre leddet i en geometrisk progresjon hvis det fjerde leddet er -24 og det syvende leddet er 192.
Dette er en klassiker i sjangeren. Noen to forskjellige termer for progresjonen er kjent, men en annen term må finnes. Dessuten er alle medlemmer IKKE naboer. Noe som er forvirrende i begynnelsen, ja...
Som i, for å løse slike problemer vil vi vurdere to metoder. Den første metoden er universell. Algebraisk. Fungerer feilfritt med alle kildedata. Så det er der vi starter.)
Vi beskriver hvert begrep i henhold til formelen nmedlem!
Alt er nøyaktig det samme som med en aritmetisk progresjon. Bare denne gangen jobber vi med en annen generell formel. Det er alt.) Men essensen er den samme: vi tar og en etter en Vi erstatter våre første data i formelen for det n-te leddet. For hvert medlem - sitt eget.
For fjerde semester skriver vi:
b 4 = b 1 · q 3
-24 = b 1 · q 3
Spise. En ligning er klar.
For syvende termin skriver vi:
b 7 = b 1 · q 6
192 = b 1 · q 6
Totalt fikk vi to likninger for samme progresjon .
Vi setter sammen et system fra dem:
Til tross for det truende utseendet er systemet ganske enkelt. Den mest åpenbare løsningen er enkel substitusjon. Vi uttrykker b 1 fra den øvre ligningen og bytt den inn i den nedre:
Etter å ha fiklet litt med bunnligningen (redusert potensene og dividert med -24), får vi:
q 3 = -8
Forresten, denne samme ligningen kan man komme frem til på en enklere måte! Hvilken? Nå vil jeg vise deg en annen hemmelig, men veldig vakker, kraftig og nyttig måte å løse slike systemer på. Slike systemer, likningene som inkluderer fungerer bare. I hvert fall i ett. Kalt divisjonsmetode en ligning til en annen.
Så vi har et system foran oss:
I begge ligningene til venstre - arbeid, og til høyre er bare et tall. Dette er et veldig godt tegn.) La oss ta det og... dele for eksempel den nedre ligningen med den øvre! Hva betyr, la oss dele en ligning med en annen? Veldig enkelt. La oss ta det venstre side en ligning (nedre) og dele opp henne på venstre side en annen ligning (øvre). Høyre side er lik: høyre sideén ligning dele opp på høyre side en annen.
Hele delingsprosessen ser slik ut:
Når vi nå reduserer alt som kan reduseres, får vi:
q 3 = -8
Hva er bra med denne metoden? Ja, fordi i prosessen med en slik deling kan alt dårlig og ubeleilig reduseres trygt og en helt ufarlig ligning gjenstår! Det er derfor det er så viktig å ha bare multiplikasjon i minst én av systemets likninger. Det er ingen multiplikasjon - det er ingenting å redusere, ja...
Generelt fortjener denne metoden (som mange andre ikke-trivielle metoder for å løse systemer) til og med en egen leksjon. Jeg skal definitivt se nærmere på det. En dag…
Imidlertid spiller det ingen rolle hvor nøyaktig du løser systemet, i alle fall, nå må vi løse den resulterende ligningen:
q 3 = -8
Ikke noe problem: trekk ut kuberoten og du er ferdig!
Vær oppmerksom på at det ikke er nødvendig å sette pluss/minus her ved uttrekk. Roten vår er av merkelig (tredje) grad. Og svaret er også det samme, ja.)
Så nevneren for progresjonen er funnet. Minus to. Flott! Prosessen pågår.)
For det første leddet (si fra den øvre ligningen) får vi:
Flott! Vi kjenner det første leddet, vi kjenner nevneren. Og nå har vi muligheten til å finne et hvilket som helst medlem av progresjonen. Inkludert den andre.)
For det andre begrepet er alt ganske enkelt:
b 2 = b 1 · q= 3·(-2) = -6
Svar: -6
Så vi har brutt ned den algebraiske metoden for å løse problemet. Vanskelig? Egentlig ikke, jeg er enig. Lang og kjedelig? Ja, definitivt. Men noen ganger kan du redusere mengden arbeid betydelig. For dette er det grafisk metode. Godt gammelt og kjent for oss.)
La oss tegne et problem!
Ja! Nøyaktig. Igjen skildrer vi progresjonen vår på tallaksen. Det er ikke nødvendig å følge en linjal, det er ikke nødvendig å opprettholde like intervaller mellom leddene (som forresten ikke vil være det samme, siden progresjonen er geometrisk!), men ganske enkelt skjematisk La oss tegne sekvensen vår.
Jeg fikk det slik:
Se nå på bildet og finn ut av det. Hvor mange identiske faktorer "q" skiller fjerde Og syvende medlemmer? Det stemmer, tre!
Derfor har vi full rett til å skrive:
-24·q 3 = 192
Herfra er det nå lett å finne q:
q 3 = -8
q = -2
Det er flott, vi har allerede nevneren i lomma. La oss nå se på bildet igjen: hvor mange slike nevnere sitter mellom sekund Og fjerde medlemmer? To! Derfor, for å registrere sammenhengen mellom disse begrepene, vil vi konstruere nevneren kvadrat.
Så vi skriver:
b 2 · q 2 = -24 , hvor b 2 = -24/ q 2
Vi erstatter vår funnet nevner i uttrykket for b 2, teller og får:
Svar: -6
Som du kan se, er alt mye enklere og raskere enn gjennom systemet. Dessuten, her trengte vi ikke engang å telle den første terminen i det hele tatt! I det hele tatt.)
Her er et så enkelt og visuelt veilys. Men det har også en alvorlig ulempe. Gjettet du det? Ja! Det er bare bra for svært korte stykker av progresjon. De der avstandene mellom medlemmene av interesse for oss ikke er veldig store. Men i alle andre tilfeller er det allerede vanskelig å tegne et bilde, ja... Da løser vi problemet analytisk, gjennom systemet.) Og systemer er universelle ting. De kan håndtere alle tall.
Nok en episk utfordring:
Det andre leddet i den geometriske progresjonen er 10 mer enn det første, og det tredje leddet er 30 mer enn det andre. Finn nevneren for progresjonen.
Hva, kult? Ikke i det hele tatt! Alt det samme. Igjen oversetter vi problemstillingen til ren algebra.
1) Vi beskriver hvert begrep i henhold til formelen nmedlem!
Andre ledd: b 2 = b 1 q
Tredje ledd: b 3 = b 1 q 2
2) Vi skriver ned sammenhengen mellom medlemmene fra problemstillingen.
Vi leser betingelsen: "Det andre leddet i den geometriske progresjonen er 10 større enn det første." Stopp, dette er verdifullt!
Så vi skriver:
b 2 = b 1 +10
Og vi oversetter denne setningen til ren matematikk:
b 3 = b 2 +30
Vi har to ligninger. La oss kombinere dem til et system:
Systemet ser enkelt ut. Men det er for mange forskjellige indekser for bokstavene. La oss erstatte uttrykkene deres i stedet for andre og tredje ledd med det første leddet og nevneren! Var det forgjeves at vi malte dem?
Vi får:
Men et slikt system er ikke lenger en gave, ja... Hvordan løser man dette? Dessverre er det ingen universell hemmelig trollformel for å løse kompleks ikke-lineær Det finnes ingen systemer i matematikk og det kan det ikke være. Det er fantastisk! Men det første du bør tenke på når du prøver å knekke en så tøff nøtt er å finne ut Men er ikke en av likningene i systemet redusert til en vakker form som gjør det enkelt å uttrykke en av variablene i form av en annen?
La oss finne ut av det. Den første ligningen i systemet er klart enklere enn den andre. Vi torturerer ham.) Skal vi ikke prøve fra den første ligningen noe uttrykke gjennom noe? Siden vi ønsker å finne nevneren q, da ville det være mest fordelaktig for oss å uttrykke b 1 gjennom q.
Så la oss prøve å gjøre denne prosedyren med den første ligningen, ved å bruke de gode gamle:
b 1 q = b 1 +10
b 1 q – b 1 = 10
b 1 (q-1) = 10
Alle! Så vi uttrykte unødvendig gi oss variabelen (b 1) gjennom nødvendig(q). Ja, det er ikke det enkleste uttrykket vi har. En slags brøkdel... Men systemet vårt er på et anstendig nivå, ja.)
Typisk. Vi vet hva vi skal gjøre.
Vi skriver ODZ (Nødvendigvis!) :
q ≠ 1
Vi multipliserer alt med nevneren (q-1) og kansellerer alle brøker:
10 q 2 = 10 q + 30(q-1)
Vi deler alt på ti, åpner parentesene og samler alt fra venstre:
q 2 – 4 q + 3 = 0
Vi løser resultatet og får to røtter:
q 1 = 1
q 2 = 3
Det er bare ett endelig svar: q = 3 .
Svar: 3
Som du kan se, er veien til å løse de fleste problemer som involverer formelen til det n-te leddet i en geometrisk progresjon alltid den samme: les oppmerksomt tilstanden til problemet og ved hjelp av formelen til det n-te leddet oversetter vi all nyttig informasjon til ren algebra.
Nemlig:
1) Vi beskriver separat hvert begrep gitt i oppgaven i henhold til formelennmedlem.
2) Fra betingelsene for oppgaven oversetter vi forbindelsen mellom medlemmene til matematisk form. Vi lager en ligning eller et system av ligninger.
3) Vi løser den resulterende ligningen eller likningssystemet, finn de ukjente parametrene for progresjonen.
4) I tilfelle et tvetydig svar, les problemformuleringen nøye på jakt etter ytterligere informasjon (hvis noen). Vi sjekker også det mottatte svaret med vilkårene i DL (hvis noen).
La oss nå liste opp hovedproblemene som oftest fører til feil i prosessen med å løse geometriske progresjonsproblemer.
1. Elementær aritmetikk. Operasjoner med brøker og negative tall.
2. Hvis det er problemer med minst ett av disse tre punktene, vil du uunngåelig gjøre feil i dette emnet. Dessverre... Så ikke vær lat og gjenta det som ble nevnt ovenfor. Og følg lenkene - gå. Noen ganger hjelper det.)
Modifiserte og tilbakevendende formler.
La oss nå se på et par typiske eksamensproblemer med en mindre kjent presentasjon av tilstanden. Ja, ja, du gjettet det! Dette modifisert Og tilbakevendende nth term formler. Vi har allerede møtt slike formler og jobbet med aritmetisk progresjon. Alt er likt her. Essensen er den samme.
For eksempel dette problemet fra OGE:
Den geometriske progresjonen er gitt av formelen b n = 3 2 n . Finn summen av dets første og fjerde ledd.
Denne gangen er ikke progresjonen helt som vanlig for oss. I form av en form for formel. Hva så? Denne formelen er også en formelnmedlem! Du og jeg vet at formelen for det n-te leddet kan skrives både i generell form, med bokstaver og for spesifikk progresjon. MED spesifikk første ledd og nevner.
I vårt tilfelle får vi faktisk en generell termformel for en geometrisk progresjon med følgende parametere:
b 1 = 6
q = 2
La oss sjekke?) La oss skrive ned formelen for det n-te leddet i generell form og erstatte det med b 1 Og q. Vi får:
b n = b 1 · qn -1
b n= 6 2n -1
Vi forenkler ved å bruke faktorisering og egenskaper til potenser, og vi får:
b n= 6 2n -1 = 3·2·2n -1 = 3 2n -1+1 = 3 2n
Som du kan se, er alt rettferdig. Men målet vårt er ikke å demonstrere utledningen av en spesifikk formel. Dette er en lyrisk digresjon. Rent for å forstå.) Målet vårt er å løse problemet i henhold til formelen som er gitt oss i tilstanden. Skjønner du det?) Så vi jobber med den modifiserte formelen direkte.
Vi teller første termin. La oss erstatte n=1 inn i den generelle formelen:
b 1 = 3 2 1 = 3 2 = 6
Som dette. Forresten, jeg vil ikke være lat og igjen trekke oppmerksomheten din til en typisk feil med beregningen av den første termen. IKKE, ser på formelen b n= 3 2n, skynder deg umiddelbart å skrive at første termin er en treer! Dette er en grov feil, ja...)
La oss fortsette. La oss erstatte n=4 og tell det fjerde leddet:
b 4 = 3 2 4 = 3 16 = 48
Og til slutt beregner vi det nødvendige beløpet:
b 1 + b 4 = 6+48 = 54
Svar: 54
Et annet problem.
Den geometriske progresjonen er spesifisert av betingelsene:
b 1 = -7;
b n +1 = 3 b n
Finn det fjerde leddet i progresjonen.
Her er progresjonen gitt av en tilbakevendende formel. Vel ok.) Hvordan jobbe med denne formelen – Det vet vi også.
Så vi handler. Steg for steg.
1) Tell to påfølgende medlem av progresjonen.
Den første perioden er allerede gitt til oss. Minus syv. Men neste, andre ledd, kan enkelt beregnes ved hjelp av gjentakelsesformelen. Hvis du forstår prinsippet om driften, selvfølgelig.)
Så vi teller andre termin ifølge den velkjente først:
b 2 = 3 b 1 = 3·(-7) = -21
2) Regn ut nevneren for progresjonen
Ikke noe problem heller. Rett, la oss dele sekund pikk på først.
Vi får:
q = -21/(-7) = 3
3) Skriv formelennmedlem i vanlig form og beregne nødvendig medlem.
Så vi kjenner det første leddet, og det samme gjør nevneren. Så vi skriver:
b n= -7·3n -1
b 4 = -7·3 3 = -7·27 = -189
Svar: -189
Som du kan se, er det å jobbe med slike formler for en geometrisk progresjon i hovedsak ikke forskjellig fra det for en aritmetisk progresjon. Det er bare viktig å forstå den generelle essensen og betydningen av disse formlene. Vel, du må også forstå betydningen av geometrisk progresjon, ja.) Og da blir det ingen dumme feil.
Vel, la oss bestemme på egen hånd?)
Svært grunnleggende oppgaver for oppvarming:
1. Gitt en geometrisk progresjon der b 1 = 243, a q = -2/3. Finn sjette ledd i progresjonen.
2. Den generelle termen for den geometriske progresjonen er gitt av formelen b n = 5∙2 n +1 . Finn nummeret på det siste tresifrede leddet i denne progresjonen.
3. Geometrisk progresjon er gitt av betingelsene:
b 1 = -3;
b n +1 = 6 b n
Finn det femte leddet i progresjonen.
Litt mer komplisert:
4. Gitt en geometrisk progresjon:
b 1 =2048; q =-0,5
Hva er det sjette negative leddet lik?
Hva virker supervanskelig? Ikke i det hele tatt. Logikk og forståelse av betydningen av geometrisk progresjon vil redde deg. Vel, formelen for n'te termin, selvfølgelig.
5. Det tredje leddet i den geometriske progresjonen er -14, og det åttende leddet er 112. Finn nevneren for progresjonen.
6. Summen av det første og andre leddet i den geometriske progresjonen er 75, og summen av det andre og tredje leddet er 150. Finn det sjette leddet i progresjonen.
Svar (i uorden): 6; -3888; -1; 800; -32; 448.
Det er nesten alt. Alt vi trenger å gjøre er å lære å telle summen av de første n leddene i en geometrisk progresjon ja oppdage uendelig avtagende geometrisk progresjon og beløpet. En veldig interessant og uvanlig ting, forresten! Mer om dette i de neste leksjonene.)
>>Matematikk: Geometrisk progresjon
For leserens bekvemmelighet er dette avsnittet konstruert nøyaktig i henhold til samme plan som vi fulgte i forrige avsnitt.
1. Grunnleggende begreper.
Definisjon. En numerisk sekvens, der alle medlemmer er forskjellige fra 0 og hvert medlem, fra det andre, er hentet fra det forrige elementet ved å multiplisere det med det samme tallet, kalles en geometrisk progresjon. I dette tilfellet kalles tallet 5 nevneren for en geometrisk progresjon.
Dermed er en geometrisk progresjon en numerisk sekvens (b n) definert tilbakevendende av relasjonene
Er det mulig å se på en tallrekke og finne ut om det er en geometrisk progresjon? Kan. Hvis du er overbevist om at forholdet mellom et hvilket som helst medlem av sekvensen til det forrige medlemmet er konstant, har du en geometrisk progresjon.
Eksempel 1.
1, 3, 9, 27, 81,... .
b 1 = 1, q = 3.
Eksempel 2.
Dette er en geometrisk progresjon som har
Eksempel 3.
Dette er en geometrisk progresjon som har
Eksempel 4.
8, 8, 8, 8, 8, 8,....
Dette er en geometrisk progresjon der b 1 - 8, q = 1.
Merk at denne sekvensen også er en aritmetisk progresjon (se eksempel 3 fra § 15).
Eksempel 5.
2,-2,2,-2,2,-2.....
Dette er en geometrisk progresjon der b 1 = 2, q = -1.
En geometrisk progresjon er åpenbart en økende sekvens hvis b 1 > 0, q > 1 (se eksempel 1), og en avtagende sekvens hvis b 1 > 0, 0< q < 1 (см. пример 2).
For å indikere at sekvensen (b n) er en geometrisk progresjon, er følgende notasjon noen ganger praktisk:
Ikonet erstatter uttrykket "geometrisk progresjon".
La oss merke oss en nysgjerrig og samtidig ganske åpenbar egenskap ved geometrisk progresjon:
Hvis sekvensen 
er en geometrisk progresjon, så rekkefølgen av kvadrater, dvs. 
er en geometrisk progresjon.
I den andre geometriske progresjonen er det første leddet lik og lik q 2.
Hvis vi i en geometrisk progresjon forkaster alle ledd etter b n , får vi en endelig geometrisk progresjon 
I ytterligere avsnitt av denne delen vil vi vurdere de viktigste egenskapene til geometrisk progresjon.
2. Formel for n'te ledd i en geometrisk progresjon.
Tenk på en geometrisk progresjon 
nevner q. Vi har:
Det er ikke vanskelig å gjette at for et hvilket som helst tall n er likheten sann
Dette er formelen for det n-te leddet i en geometrisk progresjon.
Kommentar.
Hvis du har lest den viktige bemerkningen fra forrige avsnitt og forstått den, så prøv å bevise formel (1) ved å bruke metoden for matematisk induksjon, akkurat som det ble gjort for formelen for det n. leddet i en aritmetisk progresjon.
La oss omskrive formelen for det n'te leddet i den geometriske progresjonen
og introduser notasjonen: Vi får y = mq 2, eller mer detaljert, 
Argumentet x er inneholdt i eksponenten, så denne funksjonen kalles en eksponentiell funksjon. Dette betyr at en geometrisk progresjon kan betraktes som en eksponentiell funksjon definert på settet N av naturlige tall. I fig. 96a viser grafen for funksjonen Fig. 966 - funksjonsgraf 
I begge tilfeller har vi isolerte punkter (med abscisse x = 1, x = 2, x = 3 osv.) liggende på en bestemt kurve (begge figurene viser samme kurve, bare forskjellig plassert og avbildet i forskjellige skalaer). Denne kurven kalles en eksponentiell kurve. Flere detaljer om eksponentialfunksjonen og dens graf vil bli diskutert i algebrakurset i 11. klasse.
La oss gå tilbake til eksempel 1-5 fra forrige avsnitt.
1) 1, 3, 9, 27, 81,... . Dette er en geometrisk progresjon der b 1 = 1, q = 3. La oss lage formelen for det n-te leddet 
2) 
Dette er en geometrisk progresjon som La oss lage en formel for det n'te leddet 
Dette er en geometrisk progresjon som har 
La oss lage formelen for det n'te leddet 
4) 8, 8, 8, ..., 8, ... . Dette er en geometrisk progresjon der b 1 = 8, q = 1. La oss lage formelen for det n-te leddet 
5) 2, -2, 2, -2, 2, -2,.... Dette er en geometrisk progresjon der b 1 = 2, q = -1. La oss lage formelen for det n'te leddet 
Eksempel 6.
Gitt en geometrisk progresjon
I alle tilfeller er løsningen basert på formelen til det n. leddet i den geometriske progresjonen
a) Ved å sette n = 6 i formelen for det n'te leddet i den geometriske progresjonen, får vi
b) Vi har
Siden 512 = 2 9, får vi n - 1 = 9, n = 10.
d) Vi har
Eksempel 7.
Forskjellen mellom det syvende og femte leddet i den geometriske progresjonen er 48, summen av det femte og sjette leddet i progresjonen er også 48. Finn det tolvte leddet i denne progresjonen.
Første etappe.Å tegne en matematisk modell.
Betingelsene for problemet kan kort skrives som følger:
Ved å bruke formelen for det n-te leddet i en geometrisk progresjon får vi:
Da kan den andre betingelsen for oppgaven (b 7 - b 5 = 48) skrives som
Den tredje betingelsen for oppgaven (b 5 + b 6 = 48) kan skrives som
Som et resultat får vi et system med to ligninger med to variable b 1 og q:
som, i kombinasjon med betingelse 1) skrevet ovenfor, representerer en matematisk modell av problemet.
Andre fase.
Arbeider med den kompilerte modellen. Ved å likestille venstresiden av begge likningene i systemet får vi:
(vi delte begge sider av ligningen med uttrykket som ikke er null b 1 q 4).
Fra ligningen q 2 - q - 2 = 0 finner vi q 1 = 2, q 2 = -1. Ved å erstatte verdien q = 2 i den andre ligningen av systemet, får vi 
Ved å erstatte verdien q = -1 i den andre ligningen av systemet, får vi b 1 1 0 = 48; denne ligningen har ingen løsninger.
Så, b 1 =1, q = 2 - dette paret er løsningen på det kompilerte ligningssystemet.
Nå kan vi skrive ned den geometriske progresjonen som er diskutert i oppgaven: 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... .
Tredje trinn.
Svar på problemspørsmålet. Du må regne ut b 12. Vi har
Svar: b 12 = 2048.
3. Formel for summen av ledd av en endelig geometrisk progresjon.
La en endelig geometrisk progresjon gis
La oss betegne summen av leddene med S n, dvs.
La oss utlede en formel for å finne dette beløpet.
La oss starte med det enkleste tilfellet, når q = 1. Da består den geometriske progresjonen b 1 , b 2 , b 3 ,..., bn av n tall lik b 1 , dvs. progresjonen ser ut som b 1, b 2, b 3, ..., b 4. Summen av disse tallene er nb 1.
La nå q = 1 For å finne S n bruker vi en kunstig teknikk: vi utfører noen transformasjoner av uttrykket S n q. Vi har:
Når vi utførte transformasjoner, brukte vi for det første definisjonen av en geometrisk progresjon, ifølge hvilken (se den tredje resonnementlinjen); for det andre la de til og trakk fra, og det er grunnen til at betydningen av uttrykket selvfølgelig ikke endret seg (se den fjerde begrunnelsen); for det tredje brukte vi formelen for det n-te leddet i en geometrisk progresjon:
Fra formel (1) finner vi:
Dette er formelen for summen av n ledd av en geometrisk progresjon (for tilfellet når q = 1).
Eksempel 8.
Gitt en endelig geometrisk progresjon
a) summen av vilkårene for progresjonen; b) summen av kvadratene av leddene.
b) Ovenfor (se s. 132) har vi allerede lagt merke til at hvis alle ledd i en geometrisk progresjon kvadreres, så får vi en geometrisk progresjon med det første leddet b 2 og nevneren q 2. Deretter vil summen av de seks leddene til den nye progresjonen beregnes av
Eksempel 9.
Finn det åttende leddet i den geometriske progresjonen som
Faktisk har vi bevist følgende teorem.
En numerisk sekvens er en geometrisk progresjon hvis og bare hvis kvadratet av hvert av dens ledd, bortsett fra den første teoremet (og den siste, i tilfelle av en endelig sekvens), er lik produktet av de foregående og påfølgende leddene (a karakteristisk egenskap for en geometrisk progresjon).
Geometrisk progresjon ikke mindre viktig i matematikk sammenlignet med aritmetikk. En geometrisk progresjon er en sekvens av tallene b1, b2,..., b[n], hvor hvert neste ledd oppnås ved å multiplisere det forrige med et konstant tall. Dette tallet, som også karakteriserer vekst eller reduksjon av progresjon, kalles nevner for geometrisk progresjon og betegne
For å spesifisere en geometrisk progresjon fullstendig, i tillegg til nevneren, er det nødvendig å vite eller bestemme dens første ledd. For en positiv verdi av nevneren er progresjonen en monoton sekvens, og hvis denne tallsekvensen er monotont avtagende og hvis den er monotont økende. Tilfellet når nevneren er lik én vurderes ikke i praksis, siden vi har en sekvens med identiske tall, og summeringen av dem er uten praktisk interesse
Generell term for geometrisk progresjon beregnet med formelen
Summen av de første n leddene i en geometrisk progresjon bestemt av formelen
La oss se på løsninger på klassiske geometriske progresjonsproblemer. La oss starte med de enkleste å forstå.
Eksempel 1. Det første leddet i en geometrisk progresjon er 27, og dens nevner er 1/3. Finn de seks første leddene i den geometriske progresjonen.
Løsning: La oss skrive problemtilstanden i skjemaet
For beregninger bruker vi formelen for det n'te leddet i en geometrisk progresjon
Basert på den finner vi de ukjente vilkårene for progresjonen
Som du kan se, er det ikke vanskelig å beregne betingelsene for en geometrisk progresjon. Selve progresjonen vil se slik ut
Eksempel 2. De tre første leddene i den geometriske progresjonen er gitt: 6; -12; 24. Finn nevneren og dens syvende ledd.
Løsning: Vi beregner nevneren for den geometriske progresjonen basert på dens definisjon
Vi har fått en vekslende geometrisk progresjon hvis nevner er lik -2. Det syvende leddet beregnes ved hjelp av formelen
Dette løser problemet.
Eksempel 3. En geometrisk progresjon er gitt ved to av leddene 
. Finn det tiende leddet i progresjonen.
Løsning:
La oss skrive de gitte verdiene ved å bruke formler
I henhold til reglene må vi finne nevneren og deretter se etter ønsket verdi, men for tiende ledd har vi
Den samme formelen kan oppnås basert på enkle manipulasjoner med inndataene. Del den sjette termen i serien med en annen, og som et resultat får vi
Hvis den resulterende verdien multipliseres med det sjette leddet, får vi det tiende
Derfor, for slike problemer, ved å bruke enkle transformasjoner på en rask måte, kan du finne den riktige løsningen.
Eksempel 4. Geometrisk progresjon er gitt ved tilbakevendende formler
Finn nevneren for den geometriske progresjonen og summen av de seks første leddene.
Løsning:
La oss skrive de gitte dataene i form av et ligningssystem
Uttrykk nevneren ved å dele den andre ligningen med den første
La oss finne det første leddet i progresjonen fra den første ligningen
La oss beregne følgende fem ledd for å finne summen av den geometriske progresjonen
Laster inn...
