I denne artikkelen vil vi svare på spørsmålet: "Hvordan finne koordinatene til skjæringspunktet mellom en linje og et plan hvis ligningene som definerer linjen og planet er gitt"? La oss starte med konseptet med skjæringspunktet mellom en linje og et plan. Deretter vil vi vise to måter å finne koordinatene til skjæringspunktet mellom en linje og et plan. For å konsolidere materialet, vurder detaljerte løsninger på eksemplene.
Sidenavigering.
Skjæringspunktet mellom en linje og et plan - definisjon.
Det er tre mulige alternativer for den relative posisjonen til den rette linjen og planet i rommet:
- en rett linje ligger i et plan;
- en rett linje er parallell med et plan;
- en rett linje skjærer et plan.
Vi er interessert i den tredje saken. La oss huske hva uttrykket "en rett linje og et plan krysser hverandre" betyr. En linje og et plan sies å krysse hverandre hvis de bare har ett felles punkt. Dette vanlige punktet for skjæring av linje og plan kalles skjæringspunktet mellom en linje og et plan.
La oss gi en grafisk illustrasjon.
Finne koordinatene til skjæringspunktet til en linje og et plan.
La oss introdusere Oxyz i tredimensjonalt rom. Nå tilsvarer hver linje en rettlinjeligning av en eller annen type (artikkelen er viet til dem: typer ligninger av en linje i rommet), hvert plan tilsvarer en ligning av et plan (du kan lese artikkelen: ligningstyper av et fly), og hvert punkt tilsvarer en ordnet trippel av tall - koordinatene til punktet. Videre presentasjon innebærer kunnskap om alle typer ligninger av en linje i rommet og alle typer ligninger av et plan, samt evnen til å bevege seg fra en type ligninger til en annen. Men ikke bli skremt, gjennom hele teksten vil vi gi lenker til den nødvendige teorien.
La oss først analysere problemet i detalj, hvis løsning vi kan få basert på å bestemme skjæringspunktet mellom en rett linje og et plan. Denne oppgaven vil forberede oss på å finne koordinatene til skjæringspunktet mellom en linje og et plan.
Eksempel.
Er punktet M 0 med koordinater skjæringspunktet for linjen 
og fly 
.
Løsning.
Vi vet at hvis et punkt tilhører en bestemt linje, så tilfredsstiller koordinatene til punktet likningene til linjen. Tilsvarende, hvis et punkt ligger i et bestemt plan, tilfredsstiller koordinatene til punktet ligningen til dette planet. Per definisjon er skjæringspunktet til en linje og et plan et felles punkt for linjen og planet, da tilfredsstiller koordinatene til skjæringspunktet både likningene til linjen og likningen til planet.
Derfor, for å løse problemet, bør vi erstatte koordinatene til punktet M 0 i de gitte ligningene til den rette linjen og inn i likningen til planet. Hvis i dette tilfellet alle ligningene blir til korrekte likheter, så er punktet M 0 skjæringspunktet mellom den gitte linjen og planet, ellers er ikke punktet M 0 skjæringspunktet mellom linjen og planet.
Bytt ut koordinatene til punktet 
:
Alle ligninger omgjort til korrekte likheter, derfor tilhører punktet M 0 samtidig den rette linjen og fly , det vil si at M 0 er skjæringspunktet for den indikerte rette linjen og planet.
Svar:
Ja, punktum 
er skjæringspunktet for linjen og fly .
Så koordinatene til skjæringspunktet mellom en linje og et plan tilfredsstiller både likningene til linjen og likningen til planet. Vi vil bruke dette faktum når vi finner koordinatene til skjæringspunktet mellom en linje og et plan.
Den første metoden er å finne koordinatene til skjæringspunktet til en linje og et plan.
La en rett linje a og et plan gis i det rektangulære koordinatsystemet Oxyz, og det er kjent at rett a og planet skjærer hverandre i punktet M 0 .
De nødvendige koordinatene til skjæringspunktet mellom den rette linjen a og planet, som vi allerede har sagt, tilfredsstiller både likningene til den rette linjen a og likningen til planet, derfor kan de finnes som en løsning på en system av lineære ligninger av formen 
. Dette er faktisk tilfelle, siden løsning av et system med lineære ligninger gjør hver ligning i systemet til en identitet.
Legg merke til at med denne formuleringen av problemet finner vi faktisk koordinatene til skjæringspunktet til tre plan spesifisert av ligningene , og .
La oss løse et eksempel for å konsolidere materialet.
Eksempel.
En rett linje gitt av likningene til to kryssende plan som 
, krysser flyet 
. Finn koordinatene til skjæringspunktet mellom linjen og planet.
Løsning.
Vi får de nødvendige koordinatene til skjæringspunktet mellom linjen og planet ved å løse et system av ligninger av formen 
. I dette tilfellet vil vi stole på informasjonen i artikkelen.
La oss først omskrive likningssystemet i skjemaet 
og beregn determinanten for hovedmatrisen til systemet (om nødvendig, se artikkelen):
Determinanten for hovedmatrisen til systemet er ikke null, så ligningssystemet har en unik løsning. For å finne den kan du bruke hvilken som helst metode. Vi bruker : 
Slik fikk vi koordinatene til skjæringspunktet mellom linjen og planet (-2, 1, 1).
Svar:
(-2, 1, 1) .
Det skal bemerkes at likningssystemet har en unik løsning hvis linjen a definert av ligningene 
, og planet definert av ligningen skjærer. Hvis rett linje a ligger i planet, har systemet et uendelig antall løsninger. Hvis rett linje a er parallell med planet, har ligningssystemet ingen løsninger.
Eksempel.
Finn skjæringspunktet for linjen 
og fly 
, hvis mulig.
Løsning.
"Hvis mulig"-klausulen betyr at linjen og flyet ikke kan krysse hverandre.
. Hvis dette ligningssystemet har en unik løsning, vil det gi oss de ønskede koordinatene til skjæringspunktet mellom linjen og planet. Hvis dette systemet ikke har noen løsninger eller har uendelig mange løsninger, er det uaktuelt å finne koordinatene til skjæringspunktet, siden den rette linjen enten er parallell med planet eller ligger i dette planet.
Hovedmatrisen til systemet har formen 
, og den utvidede matrisen er 
. La oss definere A og rangeringen av matrise T: 
. Det vil si at rangeringen til hovedmatrisen er lik rangeringen til den utvidede matrisen til systemet og er lik to. Derfor kan det, basert på Kronecker-Capelli-teoremet, hevdes at ligningssystemet har et uendelig antall løsninger.
Altså rett ligger i et fly , og vi kan ikke snakke om å finne koordinatene til skjæringspunktet mellom linjen og planet.
Svar:
Det er umulig å finne koordinatene til skjæringspunktet til en linje og et plan.
Eksempel.
Hvis rett 
skjærer planet, og finn deretter koordinatene til skjæringspunktet.
Løsning.
La oss lage et system fra de gitte ligningene 
. For å finne løsningen bruker vi . Gauss-metoden vil tillate oss ikke bare å bestemme om det skrevne ligningssystemet har én løsning, et uendelig antall løsninger, eller ikke har noen løsninger, men også å finne løsninger hvis de eksisterer. 
Den siste ligningen av systemet etter direkte passasje av Gauss-metoden ble en feilaktig likhet, derfor har ligningssystemet ingen løsninger. Fra dette konkluderer vi at den rette linjen og flyet har ikke felles punkter. Dermed kan vi ikke snakke om å finne koordinatene til skjæringspunktet deres.
Svar:
Linjen er parallell med planet og de har ikke et skjæringspunkt.
Merk at hvis linje a tilsvarer parametriske ligninger for en linje i rommet eller kanoniske ligninger for en linje i rommet, så er det mulig å få likningene til to kryssende plan som definerer linje a, og deretter finne koordinatene til skjæringspunktet av linje a og planet på en analysert måte. Det er imidlertid lettere å bruke en annen metode, som vi nå beskriver.
Skjæringslinjen mellom to plan er en rett linje. La oss først se på det spesielle tilfellet (fig. 3.9), når et av planene som skjærer seg er parallelt med horisontalplanet av projeksjoner (α π 1, f 0 α X). I dette tilfellet vil skjæringslinjen a, som tilhører planet α, også være parallell med planet π 1, (fig. 3.9. a), dvs. at den vil falle sammen med horisontalen til de skjærende planene (a ≡ h) .
Hvis ett av planene er parallelt med frontalplanet av projeksjoner (fig. 3.9. b), vil skjæringslinjen a som tilhører dette planet være parallell med planet π 2 og vil falle sammen med fronten til de kryssende planene (a ≡ f).
.
.
Ris. 3.9. Et spesielt tilfelle av skjæring av et generelt plan med planene: a - horisontalt nivå; b - frontalnivå
Et eksempel på å konstruere skjæringspunktet (K) av rett linje a (AB) med plan α (DEF) er vist i fig. 3.10. For å gjøre dette, er rett linje a innesluttet i et vilkårlig plan β og skjæringslinjen mellom planene α og β bestemmes.
I det aktuelle eksemplet tilhører rette linjer AB og MN samme plan β og skjærer hverandre i punktet K, og siden den rette linjen MN tilhører et gitt plan α (DEF), er punktet K også skjæringspunktet for rett linje a (AB) med plan α. (Fig. 3.11).
.
Ris. 3.10. Konstruere skjæringspunktet mellom en linje og et plan
For å løse et slikt problem i en kompleks tegning, må du kunne finne skjæringspunktet mellom en rett linje i generell posisjon med et plan i generell posisjon.
La oss vurdere et eksempel på å finne skjæringspunktet mellom rett linje AB med trekanten DEF vist i fig. 3.11.
For å finne skjæringspunktet gjennom frontprojeksjonen av rett linje A 2 B 2 ble det tegnet et frontalt projisert plan β som skjærte trekanten i punktene M og N. På frontprojeksjonsplanet (π 2) er disse punktene representert ved projeksjoner M 2, N 2. Fra tilstanden til å tilhøre et rett plan på horisontalplanet av projeksjoner (π 1), finnes horisontale projeksjoner av de resulterende punktene M 1 N 1. I skjæringspunktet mellom de horisontale projeksjonene av linjene A 1 B 1 og M 1 N 1, dannes en horisontal projeksjon av deres skjæringspunkt (K 1). I henhold til kommunikasjonslinjen og vilkårene for medlemskap på frontalplanet av projeksjoner, er det en frontal projeksjon av skjæringspunktet (K 2).
.
Ris. 3.11. Et eksempel på å bestemme skjæringspunktet for en linje og et plan
Synligheten til segment AB i forhold til trekanten DEF bestemmes av den konkurrerende punktmetoden.
På planet π 2 vurderes to punkter NEF og 1AB. Fra de horisontale projeksjonene av disse punktene kan det fastslås at punktet N ligger nærmere observatøren (Y N >Y 1) enn punkt 1 (retningen på siktelinjen er parallell med S). Følgelig er den rette linjen AB, dvs. en del av den rette linjen AB (K 1) dekket av planet DEF på planet π 2 (projeksjonen K 2 1 2 er vist med den stiplede linjen). Sikten på π 1-planet er etablert på samme måte.
Spørsmål for selvkontroll
1) Hva er essensen av konkurrerende poengmetoden?
2) Hvilke egenskaper ved en rett linje kjenner du til?
3) Hva er algoritmen for å bestemme skjæringspunktet mellom en linje og et plan?
4) Hvilke oppgaver kalles posisjonelle?
5) Formuler betingelsene for å tilhøre et rett plan.
Vi gjør deg oppmerksom på magasiner utgitt av forlaget "Academy of Natural Sciences"
La oss vurdere tilfellene: 1) når den projiserte overflaten er krysset av det projiserte planet; 2) når den utstikkende overflaten skjærer et generelt plan. I begge tilfeller, for å konstruere et utsnitt på diagrammet, bruker vi algoritmen for projiserte figurer (algoritme nr. 1). I det første tilfellet vet tegningen allerede...(Beskrivende geometri)
Konstruere en skjæringslinje av to plan ved skjæringspunktene mellom rette linjer med planet
Figur 2.60 viser konstruksjonen av skjæringslinjen til to trekanter ABC Og DEF som indikerer de synlige og usynlige delene av disse trekantene. Figur 2.60 Rett K,K2 bygget på skjæringspunktene til sidene AC Og Sol triangel ABC med et trekantplan DEF....(Teknisk grafikk)
Spesielle tilfeller
Ved moderat trykk (Re" 1000 atm.) kan væskefasen (for eksempel vann) antas å være inkompressibel (Re= konst). I dette tilfellet kan ligningssystemet for dette inkomprimerbare mediet forenkles ytterligere og reduseres til følgende form: hvor, og av hydrostatiske krefter (begrepet ue7) Til...(Grunnleggende om kavitasjonsbehandling av multikomponentmedier)
Spesielle tilfeller av likevekt i kontinuerlige systemer Barometrisk ligning
Den barometriske ligningen fastslår gasstrykkets avhengighet av høyden. Det er mange metoder for å utlede denne ligningen, som dateres tilbake til Laplace. I dette tilfellet vil vi dra nytte av det faktum at en gass som ligger i et gravitasjonsfelt er et kontinuerlig system som inneholder en komponent - en gass med...(Termodynamikk i moderne kjemi)
SPESIELLE TILFELLER AV GJENSIDIG PARALLELL OG PERPEDIKULARITET AV EN RETT OG FLY. SPESIELLE TILFELLER AV GJENSIDIG PERPENDIKULARHET AV TO FLY
Hvis flyet projiserer, så er enhver projisert linje med samme navn parallell med dette planet, fordi i et plan kan man alltid finne en projisert linje med samme navn. Så i fig. 67 viser planene: T 1Sh, FJL Sh, G1 Pz. Linjene vil være parallelle med disse planene: EN|| T (a 1 Pg);...(Beskrivende geometri)
GENERELLE SAKER. METODE FOR MELLEMMIDLER
For å finne skjæringspunktene for en rett linje med overflaten Ф ved hjelp av mellomleddsmetoden, er det tilrådelig å omslutte den rette linjen i et mellomliggende plan T som skjærer den gitte overflaten Ф langs eksakt linje- rett eller sirkel. En oversikt og klassifisering av ulike typer slike fly ble gitt tidligere (se....(Beskrivende geometri)
METODE FOR MELLEMMIDLER
Hvis begge generelle posisjonsplanene er gitt vilkårlig, kan problemet løses ved hjelp av mellomleddsmetoden i samsvar med algoritme nr. 2. To plan T og T1 velges som mellomledd - projeksjon eller nivå (fig. 254). Når det gjelder skjæringspunktet mellom to plan, skriver vi algoritme nr. 2 som følger: 1. Velg T og T1....(Beskrivende geometri)
Hei venner! I dag ser vi på et emne fra beskrivende geometri - skjæring av en rett linje med et plan Og bestemme linjesynlighet.
Vi henter oppgaven fra Bogolyubovs samling, 1989, s. 63, var. 1. Vi må konstruere en kompleks tegning av trekant ABC og rett linje MN ved å bruke gitte koordinater. Finn møtepunktet (skjæringspunktet) av den rette linjen med det ugjennomsiktige planet ABC Bestem de synlige delene av den rette linjen.
Skjæring av en rett linje med et plan
1. Ved å bruke koordinatene til punktene A, B og C konstruerer vi en kompleks tegning av en trekant og rett linje NM. Vi begynner å tegne med en horisontal projeksjon. Vi finner koordinatene til projeksjonspunktene ved hjelp av hjelpelinjer.
2. Vi får en så kompleks tegning.
3. Å bestemme koordinater til skjæringspunktet mellom en rett linje og et plan La oss gjøre følgende.
a) Gjennom den rette linjen NM tegner vi et hjelpeplan P, dvs. på frontprojeksjonen tegner vi et spor av planet Pv, på horisontalplanet senker vi vinkelrett Pn - det horisontale sporet av planet P.
b) Finn frontprojeksjonen av skjæringslinjen til sporet til planet P med trekanten ABC. Dette er segmentet d'e'. Vi finner den horisontale projeksjonen langs forbindelseslinjene til de skjærer hverandre med sidene ab (punkt d) og ac (punkt e) i trekanten. Vi kobler sammen punktene d og e.
c) Sammen med skjæringene mellom de og nm vil det være en horisontal projeksjon av ønsket punkt skjæring av en rett linje med et plan k.
d) Vi tegner en forbindelseslinje fra k til skjæringspunktet med d’e’, vi får en frontalprojeksjon av punktet k’.
e) ved hjelp av kommunikasjonslinjene finner vi profilprojeksjonen til punkt k’’.
Koordinater til skjæringspunktet mellom en linje og et plan K funnet. Dette punktet kalles også møtepunktet for linjen og flyet.
Bestemme linjesynlighet
Til bestemme linjesynlighet la oss bruke metoden konkurrerende poeng.
I forhold til vår tegning vil konkurrerende poeng være:
– poeng: d’ som tilhører a’b’ og e’ som tilhører n’m’ (frontalt konkurrerende),
— poeng: g som tilhører bc og h tilhører nm (konkurrerende horisontalt),
— poeng: l’’ som tilhører b’’c’’ og p’’ som tilhører n''m'' (profilkonkurrerende).
Av de to konkurrerende poengene vil den som har størst høyde være synlig. Siktgrensen er begrenset av punkt K.
For et par punkter d’ og e’ bestemmer vi synlighet på følgende måte: senk vinkelrett på skjæringspunktet med ab og nm på den horisontale projeksjonen, finn punktene d og f. Vi ser at y-koordinaten for punkt f er større enn den til d → punkt f er synlig → rett linje nm er synlig i seksjon f’k’, og usynlig i seksjon k’m’.
Vi resonnerer på samme måte for et par punkter g og h: på frontprojeksjonen er z-koordinaten til punktet h' større enn den til g' → punkt h' er synlig, g' er ikke → rett linje nm er synlig på segment hk, men usynlig på segmentet kn.
Og for et par punkter l''p'': på frontalprojeksjonen er x-koordinaten større ved punktet p', noe som betyr at den dekker punkt l'' på profilprojeksjonen → p'' er synlig, l'' er ikke → rett linjestykke n' 'k'' er synlig, k''m'' er usynlig.
Dette kapittelet snakker om hvordan man finner koordinatene til skjæringspunktet for en linje med et plan gitt ligningene som definerer dette planet. Konseptet med skjæringspunktet for en linje med et plan og to måter å finne koordinatene til skjæringspunktet for en linje med et plan vil bli vurdert.
For en grundig studie av teorien er det nødvendig å begynne betraktningen med konseptet om et punkt, en rett linje, et plan. Konseptet med et punkt og en rett linje vurderes både på planet og i rommet. For en detaljert vurdering er det nødvendig å vende seg til temaet rette linjer og fly i rommet.
Det er flere variasjoner i plasseringen av linjen i forhold til flyet og rommet:
- en rett linje ligger i et plan;
- en rett linje er parallell med et plan;
- en rett linje skjærer et plan.
Hvis vi vurderer det tredje tilfellet, kan vi tydelig se at når en rett linje og et plan skjærer hverandre, danner de et felles punkt, som kalles skjæringspunktet mellom den rette linjen og planet. La oss se på denne saken ved å bruke et eksempel.
Finne koordinatene til skjæringspunktet til en linje og et plan
Et rektangulært koordinatsystem O x y z av tredimensjonalt rom ble introdusert. Hver rett linje har sin egen ligning, og hvert plan tilsvarer sin egen gitte ligning, hvert punkt har et visst antall reelle tall - koordinater.
For å forstå i detalj emnet for skjæringskoordinater, må du kjenne til alle typer rettlinjeligninger i rom- og planligninger. i dette tilfellet vil kunnskap om overgangen fra en type ligning til en annen være nyttig.
Tenk på et problem som er basert på et gitt skjæringspunkt mellom en linje og et plan. det gjelder å finne koordinatene til kryssene.
Eksempel 1
Regn ut om punktet M 0 med koordinater - 2, 3, - 5 kan være skjæringspunktet til linjen x + 3 - 1 = y - 3 = z + 2 3 med planet x - 2 y - z + 3 = 0.
Løsning
Når et punkt tilhører en bestemt linje, er koordinatene til skjæringspunktet løsningen på begge ligningene. Fra definisjonen har vi at det i skjæringspunktet dannes et felles punkt. For å løse problemet må du erstatte koordinatene til punktet M 0 i begge ligningene og beregne. Hvis det er skjæringspunktet, vil begge ligningene samsvare.
La oss forestille oss koordinatene til punktet - 2, 3, - 5 og få:
2 + 3 - 1 = 3 - 3 = - 5 + 2 3 ⇔ - 1 = - 1 = - 1 - 2 - 2 3 - (- 5) + 3 = 0 ⇔ 0 = 0
Siden vi får de riktige likhetene, konkluderer vi med at punktet M 0 er skjæringspunktet for den gitte linjen med planet.
Svar: det gitte punktet med koordinater er skjæringspunktet.
Hvis koordinatene til skjæringspunktet er løsninger på begge likningene, så skjærer de hverandre.
Den første metoden er å finne koordinatene til skjæringspunktet mellom en linje og et plan.
Når en rett linje a er spesifisert med et plan α av et rektangulært koordinatsystem, er det kjent at de skjærer hverandre i punktet M 0. La oss først se etter koordinatene til et gitt skjæringspunkt for en gitt planligning, som har formen A x + B y + C z + D = 0 med en rett linje a, som er skjæringspunktet mellom planene A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 og A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0. Denne metoden for å definere en linje i rommet er omtalt i artikkelen likninger av en linje og likninger av to kryssende plan.
Koordinatene til den rette linjen a og planet α vi trenger må tilfredsstille begge ligningene. Dermed er et system av lineære ligninger spesifisert, med formen
A x + B y + C z + D = 0 A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0
Å løse systemet innebærer å gjøre hver identitet til en ekte likhet. Det skal bemerkes at med denne løsningen bestemmer vi koordinatene til skjæringspunktet mellom 3 plan av formen A x + B y + C z + D = 0, A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 , A2x + B2y + C2z + D2 = 0. For å konsolidere materialet vil vi vurdere å løse disse problemene.
Eksempel 2
Den rette linjen er definert av ligningen av to kryssende plan x - y + 3 = 0 5 x + 2 z + 8 = 0, og skjærer et annet 3 x - z + 7 = 0. Det er nødvendig å finne koordinatene til skjæringspunktet.
Løsning
Vi får de nødvendige koordinatene ved å kompilere og løse et system som har formen x - y + 3 = 0 5 x + 2 z + 8 = 0 3 x - z + 7 = 0.
Du bør ta hensyn til emnet løsning av systemer med lineære ligninger.
La oss ta et likningssystem av formen x - y = - 3 5 x + 2 z = - 8 3 x - z = - 7 og utføre beregninger ved å bruke determinanten til hovedmatrisen til systemet. Det skjønner vi
∆ = 1 - 1 0 5 0 2 3 0 - 1 = 1 0 (- 1) + (- 1) 2 3 + 0 5 0 - 0 0 3 - 1 2 0 - (- 1) · 5 · (- 1 ) = - 11
Siden determinanten til matrisen ikke er lik null, har systemet bare én løsning. For å gjøre dette vil vi bruke Cramers metode. Det anses som veldig praktisk og egnet for denne anledningen.
∆ x = - 3 - 1 0 - 8 0 2 - 7 0 - 1 = (- 3) 0 (- 1) + (- 1) 2 (- 7) + 0 (- 8) 0 - - 0 0 (- 7) - (- 3) 2 0 - (- 1) (- 8) (- 1) = 22 ⇒ x = ∆ x ∆ = 22 - 11 = - 2 ∆ y = 1 - 3 0 5 - 8 2 3 - 7 - 1 = 1 · (- 8) · (- 1) + (- 3) · 2 · 3 + 0 · 5 · (- 7) - - 0 · ( - 8) 3 - 1 2 (- 7) - (- 3) 5 (- 1) = - 11 ⇒ y = ∆ y ∆ = - 11 - 11 = 1 ∆ z = 1 - 1 - 3 5 0 - 8 3 0 - 7 = 1 0 (- 7) + ( - 1) (- 8) 3 + (- 3) 5 0 - - (- 3) 0 3 - 1 · (- 8) · 0 - (- 1) · 5 · (- 7) = - 11 ⇒ z = ∆ z ∆ = - 11 - 11 = 1
Det følger at koordinatene til skjæringspunktet til en gitt linje og plan har verdien (- 2, 1, 1).
Svar: (- 2 , 1 , 1) .
Et likningssystem av formen A x + B y + C z + D = 0 A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 har bare én løsning. Når linje a er definert av ligninger som A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0, og planet α er gitt ved A x + B y + C z + D = 0, så krysser de hverandre. Når en rett linje ligger i et plan, produserer systemet et uendelig antall løsninger. Hvis de er parallelle, har ligningen ingen løsninger, siden det ikke er noen felles skjæringspunkter.
Eksempel 3
Finn skjæringspunktet til den rette linjen z - 1 = 0 2 x - y - 2 = 0 og planet 2 x - y - 3 z + 1 = 0.
Løsning
De gitte ligningene må konverteres til systemet z - 1 = 0 2 x - y - 2 = 0 2 x - y - 3 z + 1 = 0. Når den har en unik løsning vil vi få de nødvendige krysskoordinatene på punktet. Forutsatt at hvis det ikke er løsninger, så er de parallelle, eller den rette linjen ligger i samme plan.
Vi får at hovedmatrisen til systemet er A = 0 0 1 2 - 1 0 2 - 1 - 3, den utvidede matrisen er T = 0 0 1 1 2 - 1 0 2 2 - 1 - 3 - 1. Vi må bestemme rangeringen av matrisen A og T ved hjelp av Gauss-metoden:
1 = 1 ≠ 0 , 0 1 - 1 0 = 1 ≠ 0 , 0 0 1 2 - 1 0 2 - 1 - 3 = 0 , 0 1 1 - 1 0 2 - 1 - 3 - 1 = 0
Da finner vi at rangeringen til hovedmatrisen er lik rangeringen til den utvidede. La oss bruke Kronecker-Capelli teoremet, som viser at systemet har et uendelig antall løsninger. Vi oppnår at den rette linjen z - 1 = 0 2 x - y - 2 = 0 tilhører planet 2 x - y - 3 z + 1 = 0, som indikerer umuligheten av deres skjæringspunkt og tilstedeværelsen av et felles punkt.
Svar: det er ingen koordinater til skjæringspunktet.
Eksempel 4
Gitt skjæringspunktet mellom den rette linjen x + z + 1 = 0 2 x + y - 4 = 0 og planet x + 4 y - 7 z + 2 = 0, finn koordinatene til skjæringspunktet.
Løsning
Det er nødvendig å sette sammen de gitte ligningene til et system av formen x + z + 1 = 0 2 x + y - 4 = 0 x + 4 y - 7 z + 2 = 0. For å løse bruker vi Gauss-metoden. Med dens hjelp vil vi finne alle tilgjengelige løsninger på en kort måte. For å gjøre dette, la oss skrive
x + z + 1 = 0 2 x + y - 4 x + 4 y - 7 z + 2 = 0 ⇔ x + z = - 1 2 x + y = 4 x + 4 y - 7 z = - 2 ⇔ ⇔ x + z = - 1 y - 2 z = 6 4 y - 8 z = - 1 ⇔ x + z = - 1 y - 2 z = 6 0 = - 25
Etter å ha brukt Gauss-metoden ble det klart at likheten er feil, siden ligningssystemet ikke har noen løsninger.
Vi konkluderer med at den rette linjen x + z + 1 = 0 2 x + y - 4 = 0 med planet x + 4 y - 7 z + 2 = 0 ikke har noen skjæringspunkter. Det følger at det er umulig å finne koordinatene til punktet, siden de ikke krysser hverandre.
Svar: det er ingen skjæringspunkter, siden linjen er parallell med planet.
Når en rett linje er gitt av en parametrisk eller kanonisk ligning, kan du herfra finne ligningen til de kryssende planene som definerer den rette linjen a, og deretter se etter de nødvendige koordinatene til skjæringspunktet. Det er en annen metode som brukes til å finne koordinatene til skjæringspunktet til en linje og et plan.
Den andre metoden for å finne et punkt begynner med å spesifisere en rett linje a som skjærer planet α i punktet M 0. Det er nødvendig å finne koordinatene til et gitt skjæringspunkt for en gitt planligning A x + B y + C z + D = 0. Vi definerer rett linje a ved parametriske ligninger av formen x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ, λ ∈ R.
Når substitusjon gjøres i ligningen A x + B y + C z + D = 0 x = x 1 + a x · λ , y = y 1 + a y · λ , z = z 1 + a z · λ , tar uttrykket form av en ligning med en ukjent λ. Det er nødvendig å løse det med hensyn til λ, da får vi λ = λ 0, som tilsvarer koordinatene til punktet der de skjærer hverandre. Koordinatene til et punkt beregnes fra x = x 1 + a x · λ 0 y = y 1 + a y · λ 0 z = z 1 + a z · λ 0.
Denne metoden vil bli diskutert mer detaljert ved å bruke eksemplene gitt nedenfor.
Eksempel 5
Finn koordinatene til skjæringspunktet til linjen x = - 1 + 4 · λ y = 7 - 7 · λ z = 2 - 3 · λ, λ ∈ R med planet x + 4 y + z - 2 = 0 .
Løsning
For å løse systemet er det nødvendig å gjøre en erstatning. Da får vi det
1 + 4 λ + 4 7 - 7 λ + 2 - 3 λ - 2 = 0 ⇔ - 27 λ + 27 = 0 ⇔ λ = 1
La oss finne koordinatene til skjæringspunktet mellom planet og den rette linjen ved å bruke parametriske ligninger med verdien λ = 1.
x = - 1 + 4 1 y = 7 - 7 1 z = 2 - 3 1 ⇔ x = 3 y = 0 z = - 1
Svar: (3 , 0 , - 1) .
Når en linje med formen x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ, tilhører λ ∈ R planet A x + B y + C z + D = 0 , da er det nødvendig å erstatte ligningen til uttrykksplanet x = x 1 + a x · λ, y = y 1 + a y · λ, z = z 1 + a z · λ, da får vi en identitet av denne formen 0 ≡ 0. Hvis planet og linjen er parallelle, får vi en ukorrekt likhet, siden det ikke er noen skjæringspunkter.
Hvis en rett linje er gitt av en kanonisk ligning med formen x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z , så er det nødvendig å gå fra kanonisk til parametrisk når du søker etter koordinatene til punktet til skjæringspunktet mellom den rette linjen med planet A x + B y + C z + D = 0, det vil si at vi får x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z ⇔ x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ og Vi vil bruke den nødvendige metoden for å finne koordinatene til skjæringspunktet for en gitt linje og et plan i rommet.
Hvis du oppdager en feil i teksten, merk den og trykk Ctrl+Enter
Laster inn...
