Cosinus av vinkelen mellom to plan. Finne vinkelen mellom plan (dihedral vinkel)

Målingen av vinkelen mellom planene er den spisse vinkelen som dannes av to rette linjer som ligger i disse planene og tegnet vinkelrett på skjæringslinjen deres.

Konstruksjonsalgoritme

1. Fra et vilkårlig punkt K tegnes perpendikulære til hvert av de gitte planene.
2. Ved å rotere rundt nivålinjen bestemmes vinkelen γ° med toppunktet i punktet K.
3. Regn ut vinkelen mellom planene ϕ° = 180 – γ°, forutsatt at γ° > 90°. Hvis γ°< 90°, то ∠ϕ° = ∠γ°.

Figuren viser tilfellet når planene α og β er gitt ved spor. Alle nødvendige konstruksjoner ble utført i henhold til algoritmen og er beskrevet nedenfor.

Løsning

1. På et vilkårlig sted på tegningen markerer vi punktet K. Fra det senker vi perpendikulære henholdsvis m og n til planene α og β. Retningen til projeksjonene m og n er som følger: m""⊥f 0α , m"⊥h 0α , n""⊥f 0β , n"⊥h 0β .
2. Vi bestemmer den faktiske størrelsen ∠γ° mellom linjene m og n. For å gjøre dette, rundt frontal f roterer vi vinkelplanet med toppunkt K til en posisjon parallelt med frontal projeksjonsplan. Rotasjonsradius R til punktet K er lik størrelsen på hypotenusen til en rettvinklet trekant O""K""K 0, hvis side er K""K 0 = y K – y O .
3. Ønsket vinkel er ϕ° = ∠γ°, siden ∠γ° er spiss.

Figuren under viser løsningen på et problem der det kreves å finne vinkelen γ° mellom planene α og β, gitt ved henholdsvis parallelle og kryssende linjer.

Løsning

1. Vi bestemmer retningen til projeksjonene til horisontalene h 1, h 2 og frontene f 1, f 2 som tilhører planene α og β, i rekkefølgen angitt av pilene. Fra et vilkårlig punkt K på torget. α og β utelater vi perpendikulære e og k. I dette tilfellet, e""⊥f"" 1 , e"⊥h" 1 og k""⊥f"" 2 , k"⊥h" 2 .
2. Vi definerer ∠γ° mellom linjene e og k. For å gjøre dette, tegn en horisontal linje h 3 og rundt den roterer vi punktet K til posisjon K 1, hvor △CKD vil bli parallell med horisontalplanet og vil bli reflektert på det i naturlig størrelse - △C"K" 1 D ". Projeksjonen av rotasjonssenteret O" er plassert på tegnet til h" 3 vinkelrett på K"O". Radius R bestemmes fra den rette trekanten O"K"K 0, hvis side K"K 0 = Å O – Å K.
3. Verdien av den ønskede verdien er ∠ϕ° = ∠γ°, siden vinkelen γ° er spiss.

Videokurset "Få en A" inkluderer alle emnene som er nødvendige for å lykkes bestått Unified State-eksamenen i matematikk for 60-65 poeng. Fullstendig alle oppgavene 1-13 i Profile Unified State-eksamen i matematikk. Også egnet for å bestå Basic Unified State Examination i matematikk. Hvis du vil bestå Unified State-eksamenen med 90-100 poeng, må du løse del 1 på 30 minutter og uten feil!

Forberedelseskurs til Unified State Exam for klasse 10-11, samt for lærere. Alt du trenger for å løse del 1 av Unified State Exam i matematikk (de første 12 oppgavene) og oppgave 13 (trigonometri). Og dette er mer enn 70 poeng på Unified State Exam, og verken en 100-poengs student eller en humaniorastudent kan klare seg uten dem.

All nødvendig teori. Raske måter løsninger, fallgruver og hemmeligheter ved Unified State Exam. Alle gjeldende oppgaver i del 1 fra FIPI Task Bank er analysert. Kurset oppfyller fullt ut kravene til Unified State Exam 2018.

Kurset inneholder 5 store temaer, 2,5 timer hver. Hvert emne er gitt fra bunnen av, enkelt og tydelig.

Hundrevis av Unified State Exam-oppgaver. Ordproblemer og sannsynlighetsteori. Enkle og lett å huske algoritmer for å løse problemer. Geometri. Teori, referansemateriale, analyse av alle typer Unified State Examination oppgaver. Stereometri. Vanskelige løsninger, nyttige jukseark, utvikling av romlig fantasi. Trigonometri fra scratch til problem 13. Forståelse i stedet for propp. Tydelige forklaringer av komplekse begreper. Algebra. Røtter, potenser og logaritmer, funksjon og derivert. Grunnlag for løsning komplekse oppgaver 2 deler av Unified State-eksamenen.

Tenk på to fly R 1 og R 2 med normale vektorer n 1 og n 2. Vinkel φ mellom plan R 1 og R 2 uttrykkes gjennom vinkelen ψ = \(\widehat((n_1; n_2))\) som følger: hvis ψ < 90°, så φ = ψ (fig. 202, a); hvis ψ > 90°, så er ψ = 180° - ψ (fig. 202.6).

Det er åpenbart at likestillingen i alle fall er sann

cos φ = |cos ψ|

Siden cosinus til vinkelen mellom vektorer som ikke er null er lik skalært produkt av disse vektorene delt på produktet av lengdene deres, har vi

$$ cos\psi=cos\widehat((n_1; n_2))=\frac(n_1\cdot n_2)(|n_1|\cdot |n_2|) $$

og derfor cosinus til vinkelen φ mellom planene R 1 og R 2 kan beregnes ved hjelp av formelen

$$ cos\phi=\frac(n_1\cdot n_2)(|n_1|\cdot |n_2|) (1)$$

Hvis planene er gitt ved generelle ligninger

A 1 X+ B 1 y+ C 1 z+ D 1 = 0 og A 2 X+ B 2 y+ C 2 z+ D 2 = 0,

så for deres normale vektorer kan vi ta vektorene n 1 = (Ai; B1; C1) og n 2 = (A2; B2; C2).

Ved å skrive høyre side av formel (1) når det gjelder koordinater, får vi

$$ cos\phi=\frac(|A_1 A_2 + B_1 B-2 + C_1 C_2|)(\sqrt((A_1)^2+(B_1)^2+(C_1)^2)\sqrt((A_2) ^2+(B_2)^2+(C_2)^2)) $$

Oppgave 1. Regn ut vinkelen mellom planene

X - √2 y + z- 2 = 0 og x+ √2 y - z + 13 = 0.

I dette tilfellet er A 1 .=1, B 1 = - √2, C 1 = 1, A 2 = 1, B 2 = √2, C 2 = - 1.

Fra formel (2) får vi

$$ cos\phi=\frac(|1\cdot 1 - \sqrt2 \cdot \sqrt2 - 1 \cdot 1|)(\sqrt(1^2+(-\sqrt2)^2+1^2)\sqrt (1^2+(\sqrt2)^2+(-1)^2))=\frac(1)(2) $$

Derfor er vinkelen mellom disse planene 60°.

Plan med normale vektorer n 1 og n 2:

a) er parallelle hvis og bare hvis vektorene n 1 og n 2 er kolineære;

b) vinkelrett hvis og bare hvis vektorene n 1 og n 2 er vinkelrett, dvs. når n 1 n 2 = 0.

Herfra får vi de nødvendige og tilstrekkelige betingelsene for parallelliteten og perpendikulariteten til to plan gitt av generelle ligninger.

Å fly

A 1 X+ B 1 y+ C 1 z+ D 1 = 0 og A 2 X+ B 2 y+ C 2 z+ D2 = 0

var parallelle, er det nødvendig og tilstrekkelig at likestillingene holder

$$ \frac(A_1)(A_2)=\frac(B_1)(B_2)=\frac(C_1)(C_2) \;\; (3)$$

Hvis noen av koeffisientene A 2 , B 2 , C 2 er lik null, antas det at den tilsvarende koeffisienten A 1 , B 1 , C 1 også er lik null

Unnlatelse av å tilfredsstille minst én av disse to likhetene betyr at planene ikke er parallelle, det vil si at de krysser hverandre.

For vinkelrett på fly

A 1 X+ B 1 y+ C 1 z+ D 1 = 0 og A 2 X+ B 2 y+ C 2 z+ D2 = 0

det er nødvendig og tilstrekkelig for at likestillingen skal holde

A 1 A 2 + B 1 B 2 + C 1 C 2 = 0. (4)

Oppgave 2. Blant følgende flypar:

2X + 5på + 7z- 1 = 0 og 3 X - 4på + 2z = 0,

på - 3z+ 1 = 0 og 2 på - 6z + 5 = 0,

4X + 2på - 4z+ 1 = 0 og 2 X + på + 2z + 3 = 0

indikerer parallell eller vinkelrett. For det første flyparet

A 1 A 2 + B 1 B 2 + C 1 C 2 = 2 3 + 5 (- 4) + 7 2 = 0,

dvs. at perpendikularitetsbetingelsen er oppfylt. Planene er vinkelrette.

For det andre flyparet

\(\frac(B_1)(B_2)=\frac(C_1)(C_2)\), siden \(\frac(1)(2)=\frac(-3)(-6)\)

og koeffisientene A 1 og A 2 er lik null. Derfor er planene til det andre paret parallelle. For det tredje paret

\(\frac(B_1)(B_2)\neq\frac(C_1)(C_2)\), siden \(\frac(2)(1)\neq\frac(-4)(2)\)

og A 1 A 2 + B 1 B 2 + C 1 C 2 = 4 2 + 2 1 - 4 2 =/= 0, dvs. planene til det tredje paret er verken parallelle eller perpendikulære.

Denne artikkelen handler om vinkelen mellom fly og hvordan du finner den. Først gis definisjonen av vinkelen mellom to plan og en grafisk illustrasjon. Etter dette ble prinsippet om å finne vinkelen mellom to kryssende plan ved hjelp av koordinatmetoden analysert, og det ble oppnådd en formel som lar deg beregne vinkelen mellom kryssende plan ved hjelp av de kjente koordinatene til normalvektorene til disse planene. Avslutningsvis er det vist detaljerte løsninger karakteristiske oppgaver.

Sidenavigering.

Vinkel mellom plan - definisjon.

La oss presentere argumenter som vil tillate oss å gradvis nærme oss bestemmelsen av vinkelen mellom to kryssende plan.

La oss få to kryssende plan og . Disse planene skjærer hverandre langs en rett linje, som vi betegner med bokstaven c. La oss konstruere et plan som går gjennom punktet M på linje c og vinkelrett på linje c. I dette tilfellet vil flyet krysse flyene og. La oss betegne den rette linjen som planene skjærer langs som a, og den rette linjen som planene skjærer langs som b. Det er klart at linjene a og b skjærer hverandre i punktet M.

Det er lett å vise at vinkelen mellom kryssende linjer a og b ikke er avhengig av plasseringen av punktet M på linjen c som flyet går gjennom.

La oss konstruere et plan vinkelrett på linjen c og forskjellig fra planet. Planet er krysset av plan og langs rette linjer, som vi betegner som henholdsvis a 1 og b 1.

Fra metoden for å konstruere plan følger det at linjene a og b er vinkelrette på linje c, og linjene a 1 og b 1 er vinkelrette på linje c. Siden linjene a og a 1 ligger i samme plan og er vinkelrett på linje c, så er de parallelle. På samme måte ligger linjene b og b 1 i samme plan og er vinkelrette på linje c, derfor er de parallelle. Dermed er det mulig å utføre en parallell overføring av planet til planet, der rett linje a 1 sammenfaller med rett linje a, og rett linje b med rett linje b 1. Derfor er vinkelen mellom to kryssende linjer a 1 og b 1 lik vinkel mellom kryssende linjer a og b.

Dette beviser at vinkelen mellom kryssende linjer a og b som ligger i kryssende plan og ikke er avhengig av valget av punkt M som planet passerer gjennom. Derfor er det logisk å ta denne vinkelen som vinkelen mellom to kryssende plan.

Nå kan du gi uttrykk for definisjonen av vinkelen mellom to kryssende plan og.

Definisjon.

Vinkelen mellom to plan som skjærer i en rett linje og- dette er vinkelen mellom to kryssende linjer a og b, langs hvilke planene og skjærer med planet vinkelrett på linjen c.

Definisjonen av vinkelen mellom to plan kan gis litt annerledes. Hvis på den rette linjen c som planene og skjærer, merker du et punkt M og tegner rette linjer a og b gjennom det, vinkelrett på den rette linjen c og ligger i henholdsvis planene, og da vinkelen mellom de rette linjene a og b er vinkelen mellom planene og. Vanligvis i praksis utføres nettopp slike konstruksjoner for å oppnå vinkelen mellom planene.

Siden vinkelen mellom kryssende rette linjer ikke overstiger , følger det av den angitte definisjonen at gradmålet for vinkelen mellom to kryssende plan uttrykkes ekte nummer fra intervallet. I dette tilfellet kalles kryssende plan vinkelrett, hvis vinkelen mellom dem er nitti grader. Vinkel mellom parallelle plan enten bestemmer de det ikke i det hele tatt, eller så anser de det som lik null.

Finne vinkelen mellom to kryssende plan.

Vanligvis, når du finner en vinkel mellom to kryssende plan, må du først utføre ytterligere konstruksjoner for å se de kryssende rette linjene, vinkelen mellom disse er lik ønsket vinkel, og deretter koble denne vinkelen med de originale dataene ved hjelp av likhetstester, likhet tester, cosinussetningen eller definisjoner av sinus, cosinus og tangens til vinkelen. I løpet av geometri videregående skole lignende problemer oppstår.

Som et eksempel, la oss gi løsningen på oppgave C2 fra Unified State Exam in Mathematics for 2012 (betingelsen ble med vilje endret, men dette påvirker ikke prinsippet for løsningen). I den måtte du bare finne vinkelen mellom to kryssende plan.

Eksempel.

Løsning.

Først, la oss lage en tegning.

La oss utføre ytterligere konstruksjoner for å "se" vinkelen mellom flyene.

Først, la oss definere en rett linje langs hvilken planene ABC og BED 1 krysser hverandre. Punkt B er et av deres felles punkter. La oss finne det andre fellespunktet for disse flyene. Linjene DA og D 1 E ligger i samme plan ADD 1, og de er ikke parallelle, og krysser derfor hverandre. På den annen side ligger linje DA i planet ABC, og linje D 1 E - i planet BED 1, derfor vil skjæringspunktet mellom linjene DA og D 1 E være fellespunktet for planene ABC og BED 1. Så la oss fortsette linjene DA og D 1 E til deres skjæringspunkt, og angir skjæringspunktet med bokstaven F. Da er BF den rette linjen som planene ABC og BED 1 skjærer langs.

Det gjenstår å konstruere to linjer som ligger i henholdsvis planene ABC og BED 1, som går gjennom ett punkt på linjen BF og vinkelrett på linjen BF - vinkelen mellom disse linjene vil per definisjon være lik den ønskede vinkelen mellom fly ABC og BED 1. La oss gjøre det.

Punktum A er projeksjonen av punkt E på plan ABC. La oss tegne en rett linje som skjærer linje BF i rette vinkler ved punkt M. Da er den rette linjen AM projeksjonen av den rette linjen EM på planet ABC, og ved teoremet om tre perpendikulære.

Dermed er den nødvendige vinkelen mellom planene ABC og BED 1 lik .

Vi kan bestemme sinus, cosinus eller tangens til denne vinkelen (og derfor selve vinkelen) fra den rettvinklede trekanten AEM hvis vi vet lengdene på de to sidene. Fra betingelsen er det lett å finne lengden AE: siden punkt E deler side AA 1 i forholdet 4 til 3, tellende fra punkt A, og lengden på siden AA 1 er 7, så er AE = 4. La oss finne lengden AM.

For å gjøre dette, vurder høyre trekant ABF med rett vinkel A, der AM er høyden. Etter betingelse AB = 2. Vi kan finne lengden på side-AF fra likheten mellom rettvinklede trekanter DD 1 F og AEF:

Ved å bruke Pythagoras teorem finner vi fra trekant ABF. Vi finner lengden AM gjennom arealet av trekanten ABF: på den ene siden er arealet av trekanten ABF lik , på den andre siden , hvor .

Dermed har vi fra den høyre trekanten AEM .

Da er den nødvendige vinkelen mellom planene ABC og BED 1 lik (merk at ).

Svar:

I noen tilfeller, for å finne vinkelen mellom to kryssende plan, er det praktisk å sette Oxyz og bruke koordinatmetoden. La oss stoppe der.

La oss sette oppgaven: Finn vinkelen mellom to kryssende plan og . La oss betegne ønsket vinkel som .

Vi vil anta at vi i et gitt rektangulært koordinatsystem Oxyz kjenner koordinatene til normalvektorene til kryssende plan og eller har mulighet til å finne dem. La er normalvektoren til planet, og er normalvektoren til planet. Vi skal vise hvordan man finner vinkelen mellom kryssende plan og gjennom koordinatene til normalvektorene til disse planene.

La oss betegne den rette linjen langs hvilken planene og krysser som c. Gjennom punkt M på linje c tegner vi et plan vinkelrett på linje c. Planet skjærer planene og langs linjene a og b, henholdsvis skjærer linjene a og b i punkt M. Per definisjon er vinkelen mellom kryssende plan og lik vinkelen mellom kryssende linjer a og b.

La oss plotte normalvektorene og -planene og fra punktet M i planet. I dette tilfellet ligger vektoren på en linje som er vinkelrett på linje a, og vektoren ligger på en linje som er vinkelrett på linje b. Således, i planet er vektoren normalvektoren til linjen a, er normalvektoren til linjen b.

I artikkelen om å finne vinkelen mellom kryssende linjer, mottok vi en formel som lar oss beregne cosinus til vinkelen mellom kryssende linjer ved å bruke koordinatene til normalvektorer. Dermed cosinus til vinkelen mellom linjene a og b, og følgelig, cosinus av vinkelen mellom kryssende plan og finnes av formelen hvor Og er normalvektorene til planene og hhv. Da er det beregnet som .

La oss løse det forrige eksemplet ved å bruke koordinatmetoden.

Eksempel.

Dan kuboid ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, der AB=2, AD=3, AA 1 =7 og punkt E deler side AA 1 i forholdet 4 til 3, tellende fra punkt A. Finn vinkelen mellom planene ABC og BED 1.

Løsning.

Siden sidene av et rektangulært parallellepiped ved ett toppunkt er parvis vinkelrett, er det praktisk å introdusere rektangulært system koordinater Oxyz slik: juster begynnelsen med toppunktet C, og rett koordinataksene Ox, Oy og Oz langs sidene CD, CB og CC 1, henholdsvis.

Vinkelen mellom ABC- og BED 1-planene kan finnes gjennom koordinatene til normalvektorene til disse planene ved å bruke formelen , hvor og er normalvektorene til henholdsvis ABC- og BED 1-planene. La oss bestemme koordinatene til normale vektorer.

Artikkelen snakker om å finne vinkelen mellom planene. Etter å ha gitt definisjonen, la oss gi en grafisk illustrasjon og vurdere detaljert metode finne etter koordinatmetode. Vi får en formel for kryssende plan, som inkluderer koordinatene til normale vektorer.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Materialet vil bruke data og begreper som tidligere ble studert i artikler om planet og linjen i rommet. Først er det nødvendig å gå videre til resonnement som lar oss ha en viss tilnærming til å bestemme vinkelen mellom to kryssende plan.

To kryssende plan γ 1 og γ 2 er gitt. Krysset deres vil ha betegnelsen c. Konstruksjonen av χ-planet er assosiert med skjæringspunktet mellom disse planene. Planet χ går gjennom punktet M som en rett linje c. Skjæringen mellom planene γ 1 og γ 2 vil bli laget ved hjelp av planet χ. Vi tar betegnelsen på linjen som skjærer γ 1 og χ som linje a, og linjen som skjærer γ 2 og χ som linje b. Vi finner at skjæringspunktet mellom linjene a og b gir punktet M.

Plasseringen av punktet M påvirker ikke vinkelen mellom kryssende linjer a og b, og punktet M ligger på linje c, som planet χ går gjennom.

Det er nødvendig å konstruere et plan χ 1 vinkelrett på linjen c og forskjellig fra planet χ. Skjæringspunktet mellom planene γ 1 og γ 2 ved hjelp av χ 1 vil ta betegnelsen av linjene a 1 og b 1.

Det kan sees at når du konstruerer χ og χ 1, er linjene a og b vinkelrette på linje c, deretter er a 1, b 1 plassert vinkelrett på linje c. Finne rette linjer a og a 1 i planet γ 1 med perpendikularitet til rett linje c, så kan de betraktes som parallelle. På samme måte indikerer plasseringen av b og b 1 i γ 2-planet med perpendikularitet til rett linje c deres parallellitet. Dette betyr at det er nødvendig å gjøre en parallell overføring av planet χ 1 til χ, hvor vi får to sammenfallende rette linjer a og a 1, b og b 1. Vi finner at vinkelen mellom skjærende linjer a og b 1 er lik vinkelen til skjærende linjer a og b.

La oss se på figuren nedenfor.

Denne påstanden bevises av det faktum at mellom de kryssende linjene a og b er det en vinkel som ikke er avhengig av plasseringen av punktet M, det vil si skjæringspunktet. Disse linjene er plassert i planene γ 1 og γ 2. Faktisk kan den resulterende vinkelen betraktes som vinkelen mellom to kryssende plan.

La oss gå videre til å bestemme vinkelen mellom de eksisterende kryssende planene γ 1 og γ 2.

Definisjon 1

Vinkelen mellom to kryssende plan γ 1 og γ 2 kalt vinkelen som dannes av skjæringspunktet mellom linjene a og b, der planene γ 1 og γ 2 skjærer planet χ vinkelrett på linje c.

Tenk på figuren nedenfor.

Avgjørelsen kan sendes i annen form. Når planene γ 1 og γ 2 skjærer hverandre, hvor c er linjen de skjærer seg på, markerer du et punkt M som trekker linjene a og b vinkelrett på linje c og ligger i planene γ 1 og γ 2, så vinkelen mellom linjene a og b vil være vinkelen mellom planene. I praksis er dette anvendelig for å konstruere vinkelen mellom planene.

Ved skjæring dannes det en vinkel som er mindre enn 90 grader i verdi, det vil si at gradmålet på vinkelen er gyldig på et intervall av denne typen (0, 90]. Samtidig kalles disse planene perpendikulære hvis det dannes en rett vinkel i skjæringspunktet Vinkelen mellom parallelle plan regnes som lik null.

Den vanlige måten å finne vinkelen mellom kryssende plan er å utføre tilleggskonstruksjoner. Dette bidrar til å bestemme det med nøyaktighet, og dette kan gjøres ved å bruke tegn på likhet eller likhet i en trekant, sinus og cosinus i en vinkel.

La oss vurdere å løse problemer ved å bruke et eksempel fra Unified State Exam-problemene i blokk C 2.

Eksempel 1

Gitt et rektangulært parallellepipedum A B C D A 1 B 1 C 1 D 1, hvor side A B = 2, A D = 3, A A 1 = 7, deler punkt E side A A 1 i forholdet 4:3. Finn vinkelen mellom planene A B C og B E D 1.

Løsning

For klarhet er det nødvendig å lage en tegning. Det skjønner vi

En visuell representasjon er nødvendig for å gjøre det mer praktisk å jobbe med vinkelen mellom planene.

Vi bestemmer den rette linjen langs hvilken skjæringspunktet mellom planene A B C og B E D 1 oppstår. Punkt B er et felles punkt. Et annet felles skjæringspunkt bør finnes. La oss vurdere de rette linjene D A og D 1 E, som er plassert i samme plan A D D 1. Plasseringen deres indikerer ikke parallellitet; det betyr at de har et felles skjæringspunkt.

Rett linje D A ligger imidlertid i planet A B C, og D 1 E i B E D 1. Fra dette får vi at de rette linjene D A Og D 1 E ha et felles skjæringspunkt, som er felles for planene A B C og B E D 1. Indikerer skjæringspunktet mellom linjer D A og D 1 E bokstaven F. Av dette får vi at B F er den rette linjen langs hvilken planene A B C og B E D 1 skjærer.

La oss se på figuren nedenfor.

For å få svaret er det nødvendig å konstruere rette linjer plassert i planene A B C og B E D 1 som går gjennom et punkt som ligger på linjen B F og vinkelrett på det. Da regnes den resulterende vinkelen mellom disse rette linjene som den ønskede vinkelen mellom planene A B C og B E D 1.

Av dette kan vi se at punktet A er projeksjonen av punktet E på planet A B C. Det er nødvendig å tegne en rett linje som skjærer linjen B F i rett vinkel i punktet M. Det kan ses at den rette linjen A M er projeksjonen av rett linje E M på planet A B C, basert på teoremet om disse perpendikulære A M ⊥ B F . Tenk på bildet nedenfor.

∠ A M E er den ønskede vinkelen dannet av planene A B C og B E D 1. Fra den resulterende trekanten A E M kan vi finne sinus, cosinus eller tangens til vinkelen, og deretter selve vinkelen, bare hvis de to sidene er kjent. Ved betingelse har vi at lengden A E finnes på denne måten: rett linje A A 1 deles på punktet E i forholdet 4:3, som betyr at den totale lengden på den rette linjen er 7 deler, da er A E = 4 deler. Vi finner A M.

Det er nødvendig å vurdere en rettvinklet trekant A B F. Vi har en rett vinkel A med høyden A M. Fra betingelsen A B = 2 kan vi finne lengden A F ved likheten mellom trekanter D D 1 F og A E F. Vi får at A E D D 1 = A F D F ⇔ A E D D 1 = A F D A + A F ⇒ 4 7 = A F 3 + A F ⇔ A F = 4

Det er nødvendig å finne lengden på siden B F i trekanten A B F ved å bruke Pythagoras teorem. Vi får at B F  = A B 2 + A F 2 = 2 2 + 4 2 = 2 5 . Lengden på siden A M finnes gjennom arealet av trekanten A B F. Vi har at arealet kan være lik både S A B C = 1 2 · A B · A F og S A B C = 1 2 · B F · A M .

Vi får at A M = A B A F B F = 2 4 2 5 = 4 5 5

Da kan vi finne verdien av tangenten til vinkelen til trekanten A E M. Vi får:

t g ∠ A M E = A E A M = 4 4 5 5 = 5

Den ønskede vinkelen oppnådd ved skjæringen av planene A B C og B E D 1 er lik a r c t g 5, så får vi ved forenkling a r c t g 5 = a r c sin 30 6 = a r c cos 6 6.

Svar: a r c t g 5 = a r c sin 30 6 = a r c cos 6 6 .

Noen tilfeller av å finne vinkelen mellom kryssende linjer spesifiseres ved hjelp av koordinatplan O x y z og koordinatmetoden. La oss ta en nærmere titt.

Dersom det er gitt en oppgave hvor det er nødvendig å finne vinkelen mellom planene γ 1 og γ 2 som skjærer hverandre, betegner vi ønsket vinkel som α.

Da viser det gitte koordinatsystemet at vi har koordinatene til normalvektorene til de kryssende planene γ 1 og γ 2. Da betegner vi at n 1 → = n 1 x, n 1 y, n 1 z er normalvektoren til planet γ 1, og n 2 → = (n 2 x, n 2 y, n 2 z) - for plan γ 2. La oss vurdere den detaljerte bestemmelsen av vinkelen mellom disse planene i henhold til koordinatene til vektorene.

Det er nødvendig å angi den rette linjen langs hvilken planene γ 1 og γ 2 krysser bokstaven c. På linjen c har vi et punkt M som vi tegner et plan χ vinkelrett på c. Planet χ langs linjene a og b skjærer planene γ 1 og γ 2 i punktet M. av definisjonen følger det at vinkelen mellom de skjærende planene γ 1 og γ 2 er lik vinkelen til de kryssende linjene a og b som hører til disse planene, henholdsvis.

I χ-planet plotter vi normalvektorer fra punktet M og betegner dem n 1 → og n 2 → . Vektor n 1 → er plassert på en linje vinkelrett på linje a, og vektor n 2 → er plassert på en linje vinkelrett på linje b. Herfra får vi det gitt flyχ har en normalvektor av linje a lik n 1 → og for linje b lik n 2 →. Tenk på figuren nedenfor.

Herfra får vi en formel som vi kan beregne sinusen til vinkelen til kryssende linjer ved å bruke koordinatene til vektorer. Vi fant at cosinus til vinkelen mellom rette linjer a og b er den samme som cosinus mellom kryssende plan γ 1 og γ 2, som er utledet fra cos formlerα = cos n 1 → , n 2 → ^ = n 1 x n 2 x + n 1 y n 2 y + n 1 z n 2 z n 1 x 2 + n 1 y 2 + n 1 z 2 n 2 x 2 + n 2 y 2 + n 2 z 2, hvor vi har at n 1 → = (n 1 x, n 1 y, n 1 z) og n 2 → = (n 2 x, n 2 y, n 2 z) er koordinatene til vektorene til de representerte planene.

Vinkelen mellom kryssende linjer beregnes ved hjelp av formelen

α = a r c cos n 1 x n 2 x + n 1 y n 2 y + n 1 z n 2 z n 1 x 2 + n 1 y 2 + n 1 z 2 n 2 x 2 + n 2 y 2 + n 2 z 2

Eksempel 2

I henhold til betingelsen er parallellepipedet A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 gitt , der A B = 2, A D = 3, A A 1 = 7, og punkt E deler siden A A 1 4: 3. Finn vinkelen mellom planene A B C og B E D 1.

Løsning

Fra tilstanden er det klart at sidene er parvis vinkelrette. Dette betyr at det er nødvendig å innføre et koordinatsystem O x y z med toppunktet i punktet C og koordinataksene O x, O y, O z. Det er nødvendig å sette retningen til de riktige sidene. Tenk på figuren nedenfor.

Kryssende fly A B C Og B E D 1 danne en vinkel som kan finnes av formelen α = a r c cos n 1 x n 2 x + n 1 y n 2 y + n 1 z n 2 z n 1 x 2 + n 1 y 2 + n 1 z 2 n 2 x 2 + n 2 y 2 + n 2 z 2, der n 1 → = (n 1 x, n 1 y, n 1 z) og n 2 → = (n 2 x, n 2 y, n 2 z ) er normale vektorer av disse flyene. Det er nødvendig å bestemme koordinatene. Fra figuren ser vi at koordinataksen O x y sammenfaller med planet A B C, dette betyr at koordinatene til normalvektoren k → er lik verdien n 1 → = k → = (0, 0, 1).

Normalvektoren til planet B E D 1 er tatt for å være vektorproduktet B E → og B D 1 →, der deres koordinater er funnet av koordinatene til ekstrempunktene B, E, D 1, som bestemmes basert på forholdene til problem.

Vi får at B (0, 3, 0), D 1 (2, 0, 7). Fordi A E E A 1 = 4 3, fra koordinatene til punktene A 2, 3, 0, A 1 2, 3, 7 finner vi E 2, 3, 4. Vi finner at B E → = (2 , 0 , 4) , B D 1 → = 2 , - 3 , 7 n 2 → = B E → × B D 1 = i → j → k → 2 0 4 2 - 3 7 = 12 · i → - 6 j → - 6 k → ⇔ n 2 → = (12 , - 6 , - 6)

Det er nødvendig å erstatte de funnet koordinatene i formelen for å beregne vinkelen gjennom buen cosinus. Vi får

α = a r c cos 0 12 + 0 (- 6) + 1 (- 6) 0 2 + 0 2 + 1 2 12 2 + (- 6) 2 + (- 6) 2 = a r c cos 6 6 6 = a r c cos 6 6

Koordinatmetoden gir et lignende resultat.

Svar: a r c cos 6 6 .

Det endelige problemet vurderes med mål om å finne vinkelen mellom plan som skjærer hverandre med de eksisterende kjente ligningene til planene.

Eksempel 3

Beregn sinus, cosinus til vinkelen og verdien av vinkelen dannet av to kryssende linjer, som er definert i koordinatsystemet O x y z og gitt av ligningene 2 x - 4 y + z + 1 = 0 og 3 y - z - 1 = 0.

Løsning

Når du studerte emnet for den generelle rettlinjeligningen av formen A x + B y + C z + D = 0, ble det avslørt at A, B, C er koeffisienter lik koordinatene til normalvektoren. Dette betyr at n 1 → = 2, - 4, 1 og n 2 → = 0, 3, - 1 er normalvektorer for de gitte linjene.

Det er nødvendig å erstatte koordinatene til de normale vektorene til planene i formelen for å beregne ønsket vinkel på kryssende plan. Da får vi det

α = a r c cos 2 0 + - 4 3 + 1 (- 1) 2 2 + - 4 2 + 1 2 = a r c cos 13 210

Herfra har vi at cosinus til vinkelen har formen cos α = 13 210. Da er ikke vinkelen på kryssende linjer stump. Bytter inn trigonometrisk identitet, finner vi at verdien av sinusen til vinkelen er lik uttrykket. La oss regne ut og finne det

sin α = 1 - cos 2 α = 1 - 13 210 = 41 210

Svar: sin α = 41.210, cos α = 13.210, α = a r c cos 13.210 = a r c sin 41.210.

Hvis du oppdager en feil i teksten, merk den og trykk Ctrl+Enter