Begrepene sinus (), cosinus (), tangens (), cotangens () er uløselig knyttet til begrepet vinkel. For å ha en god forståelse av disse, ved første øyekast, komplekse konsepter (som forårsaker en tilstand av redsel hos mange skolebarn), og for å sikre at "djevelen ikke er så forferdelig som han er malt," la oss starte fra helt i begynnelsen og forstå konseptet med en vinkel.
Vinkelkonsept: radian, grad
La oss se på bildet. Vektoren har "snudd" i forhold til punktet med en viss mengde. Så målet for denne rotasjonen i forhold til utgangsposisjonen vil være hjørne.
Hva annet trenger du å vite om begrepet vinkel? Vel, vinkelenheter, selvfølgelig!
Vinkel, både i geometri og trigonometri, kan måles i grader og radianer.
Vinkel (én grad) er den sentrale vinkelen i en sirkel dekket av en sirkelbue lik en del av sirkelen. Dermed består hele sirkelen av "biter" av sirkelbuer, eller vinkelen beskrevet av sirkelen er lik.
Det vil si at figuren over viser en vinkel lik, det vil si at denne vinkelen hviler på en sirkelbue på størrelse med omkretsen.
En vinkel i radianer er den sentrale vinkelen i en sirkel dekket av en sirkelbue hvis lengde er lik radiusen til sirkelen. Vel, fant du ut av det? Hvis ikke, la oss finne det ut fra tegningen.
Så, figuren viser en vinkel lik en radian, det vil si at denne vinkelen hviler på en sirkelbue, hvis lengde er lik radiusen til sirkelen (lengden er lik lengden eller radiusen er lik lengden på buen). Dermed beregnes buelengden med formelen:
Hvor er den sentrale vinkelen i radianer.
Vel, når du vet dette, kan du svare på hvor mange radianer som finnes i vinkelen beskrevet av sirkelen? Ja, for dette må du huske formelen for omkrets. Her er hun:
Vel, la oss nå korrelere disse to formlene og finne at vinkelen beskrevet av sirkelen er lik. Det vil si at ved å korrelere verdien i grader og radianer får vi det. Henholdsvis. Som du kan se, i motsetning til "grader", er ordet "radian" utelatt, siden måleenheten vanligvis er tydelig fra konteksten.
Hvor mange radianer er det? Det er riktig!
Har det? Så fortsett og fiks det:
Har du vanskeligheter? Så se svar:
Rettvinklet trekant: sinus, cosinus, tangens, cotangens av vinkelen
Så vi fant ut konseptet med en vinkel. Men hva er sinus, cosinus, tangens og cotangens av en vinkel? La oss finne ut av det. For å gjøre dette, vil en rettvinklet trekant hjelpe oss.
Hva kalles sidene i en rettvinklet trekant? Det er riktig, hypotenusa og ben: hypotenusen er siden som ligger motsatt den rette vinkelen (i vårt eksempel er dette siden); bena er de to gjenværende sidene og (de ved siden av den rette vinkelen), og hvis vi ser på bena i forhold til vinkelen, så er benet det tilstøtende benet, og benet er det motsatte. Så la oss nå svare på spørsmålet: hva er sinus, cosinus, tangens og cotangens av en vinkel?
Sinus av vinkel- dette er forholdet mellom det motsatte (fjerne) benet og hypotenusen.
I vår trekant.
Cosinus av vinkel- dette er forholdet mellom det tilstøtende (nære) benet og hypotenusen.
I vår trekant.
Tangent av vinkelen- dette er forholdet mellom den motsatte (fjerne) siden til den tilstøtende (nære).
I vår trekant.
Kotangens av vinkel- dette er forholdet mellom det tilstøtende (nære) benet og det motsatte (langt).
I vår trekant.
Disse definisjonene er nødvendige huske! For å gjøre det lettere å huske hvilket ben du skal dele inn i hva, må du tydelig forstå det i tangent Og cotangens bare bena sitter, og hypotenusen vises bare i sinus Og kosinus. Og så kan du komme opp med en kjede av assosiasjoner. For eksempel denne:
Cosinus→berøring→berøring→tilstøtende;
Kotangens→berøring→berøring→tilstøtende.
Først av alt må du huske at sinus, cosinus, tangens og cotangens, siden forholdet mellom sidene i en trekant ikke avhenger av lengden på disse sidene (i samme vinkel). Tror ikke? Pass deretter på ved å se på bildet:
Tenk for eksempel på cosinus til en vinkel. Per definisjon, fra en trekant: , men vi kan beregne cosinus til en vinkel fra en trekant: . Du ser, lengdene på sidene er forskjellige, men verdien av cosinus til en vinkel er den samme. Dermed avhenger verdiene av sinus, cosinus, tangens og cotangens utelukkende av størrelsen på vinkelen.
Hvis du forstår definisjonene, så fortsett og konsolider dem!
For trekanten vist i figuren nedenfor finner vi.
Vel, fikk du det? Så prøv det selv: beregn det samme for vinkelen.
Enhetssirkel (trigonometrisk).
For å forstå begrepene grader og radianer, betraktet vi en sirkel med en radius lik. En slik sirkel kalles enkelt. Det vil være veldig nyttig når du studerer trigonometri. La oss derfor se litt mer detaljert på det.
Som du kan se, er denne sirkelen konstruert i det kartesiske koordinatsystemet. Sirkelens radius er lik én, mens sentrum av sirkelen ligger ved opprinnelsen til koordinatene, er startposisjonen til radiusvektoren fast langs den positive retningen til aksen (i vårt eksempel er dette radiusen).
Hvert punkt på sirkelen tilsvarer to tall: aksekoordinaten og aksekoordinaten. Hva er disse koordinattallene? Og generelt, hva har de med emnet å gjøre? For å gjøre dette må vi huske på den betraktede rettvinklet. I figuren over kan du se to hele rette trekanter. Tenk på en trekant. Den er rektangulær fordi den er vinkelrett på aksen.
Hva er trekanten lik? Det er riktig. I tillegg vet vi at det er radiusen til enhetssirkelen, som betyr . La oss erstatte denne verdien i formelen vår for cosinus. Her er hva som skjer:
Hva er trekanten lik? Selvfølgelig, ! Bytt ut radiusverdien i denne formelen og få:
Så, kan du si hvilke koordinater et punkt som tilhører en sirkel har? Vel, ingen måte? Hva om du innser det og bare er tall? Hvilken koordinat tilsvarer det? Vel, selvfølgelig, koordinatene! Og hvilken koordinat tilsvarer det? Det stemmer, koordinater! Altså punktum.
Hva er og lik da? Det stemmer, la oss bruke de tilsvarende definisjonene av tangent og cotangens og få det, a.
Hva om vinkelen er større? For eksempel, som på dette bildet:
Hva har endret seg i dette eksemplet? La oss finne ut av det. For å gjøre dette, la oss snu igjen til en rettvinklet trekant. Tenk på en rettvinklet trekant: vinkel (som ved siden av en vinkel). Hva er verdiene av sinus, cosinus, tangens og cotangens for en vinkel? Det er riktig, vi holder oss til de tilsvarende definisjonene av trigonometriske funksjoner:
Vel, som du kan se, tilsvarer verdien av sinusen til vinkelen fortsatt koordinaten; verdien av cosinus til vinkelen - koordinaten; og verdiene av tangent og cotangens til de tilsvarende forholdene. Dermed gjelder disse relasjonene for enhver rotasjon av radiusvektoren.
Det er allerede nevnt at startposisjonen til radiusvektoren er langs den positive retningen til aksen. Så langt har vi rotert denne vektoren mot klokken, men hva skjer hvis vi roterer den med klokken? Ikke noe ekstraordinært, du vil også få en vinkel med en viss verdi, men bare den vil være negativ. Når vi roterer radiusvektoren mot klokken, får vi altså positive vinkler, og når du roterer med klokken - negativ.
Så vi vet at en hel omdreining av radiusvektoren rundt en sirkel er eller. Er det mulig å rotere radiusvektoren til eller til? Vel, selvfølgelig kan du det! I det første tilfellet vil derfor radiusvektoren gjøre en hel omdreining og stoppe ved posisjon eller.
I det andre tilfellet, det vil si at radiusvektoren vil gjøre tre hele omdreininger og stoppe ved posisjon eller.
Fra eksemplene ovenfor kan vi konkludere med at vinkler som er forskjellige med eller (hvor er et heltall) tilsvarer den samme posisjonen til radiusvektoren.
Figuren under viser en vinkel. Det samme bildet tilsvarer hjørnet osv. Denne listen kan fortsettes på ubestemt tid. Alle disse vinklene kan skrives med den generelle formelen eller (hvor er et heltall)
Nå, når du kjenner definisjonene av de grunnleggende trigonometriske funksjonene og bruker enhetssirkelen, prøv å svare på hva verdiene er:
Her er en enhetssirkel for å hjelpe deg:
Har du vanskeligheter? Så la oss finne ut av det. Så vi vet at:
Herfra bestemmer vi koordinatene til punktene som tilsvarer visse vinkelmål. Vel, la oss starte i rekkefølge: vinkelen ved tilsvarer et punkt med koordinater, derfor:
Eksisterer ikke;
Videre, ved å følge den samme logikken, finner vi ut at hjørnene i samsvarer med henholdsvis punkter med koordinater. Når du vet dette, er det lett å bestemme verdiene til trigonometriske funksjoner på de tilsvarende punktene. Prøv selv først, og sjekk deretter svarene.
Svar:
Eksisterer ikke
Eksisterer ikke
Eksisterer ikke
Eksisterer ikke
Dermed kan vi lage følgende tabell:
Det er ikke nødvendig å huske alle disse verdiene. Det er nok å huske korrespondansen mellom koordinatene til punktene på enhetssirkelen og verdiene til trigonometriske funksjoner:
Men verdiene til de trigonometriske funksjonene til vinkler i og gitt i tabellen nedenfor, må huskes:
Ikke vær redd, nå skal vi vise deg ett eksempel ganske enkelt å huske de tilsvarende verdiene:
For å bruke denne metoden er det viktig å huske verdiene til sinusen for alle tre vinkelmålene (), samt verdien av tangensen til vinkelen. Når du kjenner disse verdiene, er det ganske enkelt å gjenopprette hele tabellen - cosinusverdiene overføres i samsvar med pilene, det vil si:
Når du vet dette, kan du gjenopprette verdiene for. Telleren " " vil matche og nevneren " " vil matche. Kotangensverdier overføres i samsvar med pilene angitt i figuren. Hvis du forstår dette og husker diagrammet med pilene, vil det være nok å huske alle verdiene fra tabellen.
Koordinater til et punkt på en sirkel
Er det mulig å finne et punkt (dets koordinater) på en sirkel, kjenne koordinatene til sirkelens sentrum, radius og rotasjonsvinkel?
Vel, selvfølgelig kan du det! La oss få det ut generell formel for å finne koordinatene til et punkt.
For eksempel, her er en sirkel foran oss:
Vi er gitt at punktet er sentrum av sirkelen. Sirkelens radius er lik. Det er nødvendig å finne koordinatene til et punkt oppnådd ved å rotere punktet i grader.
Som det fremgår av figuren, tilsvarer koordinaten til punktet lengden på segmentet. Lengden på segmentet tilsvarer koordinaten til sentrum av sirkelen, det vil si at den er lik. Lengden på et segment kan uttrykkes ved å bruke definisjonen av cosinus:
Så har vi det for punktkoordinaten.
Ved å bruke samme logikk finner vi y-koordinatverdien for punktet. Dermed,
Så generelt er koordinatene til punktene bestemt av formlene:
Koordinater til sentrum av sirkelen,
Sirkelradius,
Rotasjonsvinkelen til vektorradiusen.
Som du kan se, for enhetssirkelen vi vurderer, er disse formlene betydelig redusert, siden koordinatene til sentrum er lik null og radius er lik en:
Vel, la oss prøve disse formlene ved å øve på å finne punkter på en sirkel?
1. Finn koordinatene til et punkt på enhetssirkelen oppnådd ved å rotere punktet videre.
2. Finn koordinatene til et punkt på enhetssirkelen oppnådd ved å rotere punktet videre.
3. Finn koordinatene til et punkt på enhetssirkelen oppnådd ved å rotere punktet videre.
4. Punktet er sentrum av sirkelen. Sirkelens radius er lik. Det er nødvendig å finne koordinatene til punktet oppnådd ved å rotere den opprinnelige radiusvektoren med.
5. Punktet er sentrum av sirkelen. Sirkelens radius er lik. Det er nødvendig å finne koordinatene til punktet oppnådd ved å rotere den opprinnelige radiusvektoren med.
Har du problemer med å finne koordinatene til et punkt på en sirkel?
Løs disse fem eksemplene (eller bli flink til å løse dem) så lærer du å finne dem!
1.
Det kan du merke. Men vi vet hva som tilsvarer en full revolusjon av utgangspunktet. Dermed vil ønsket punkt være i samme posisjon som når du svinger til. Når vi vet dette, finner vi de nødvendige koordinatene til punktet:
2. Enhetssirkelen er sentrert i et punkt, noe som betyr at vi kan bruke forenklede formler:
Det kan du merke. Vi vet hva som tilsvarer to hele omdreininger av utgangspunktet. Dermed vil ønsket punkt være i samme posisjon som når du svinger til. Når vi vet dette, finner vi de nødvendige koordinatene til punktet:
Sinus og cosinus er tabellverdier. Vi husker betydningen deres og får:
Dermed har ønsket punkt koordinater.
3. Enhetssirkelen er sentrert i et punkt, noe som betyr at vi kan bruke forenklede formler:
Det kan du merke. La oss skildre det aktuelle eksemplet i figuren:
Radius gjør vinkler lik og med aksen. Når vi vet at tabellverdiene til cosinus og sinus er like, og har bestemt at cosinus her tar en negativ verdi og sinus har en positiv verdi, har vi:
Slike eksempler diskuteres mer detaljert når man studerer formlene for å redusere trigonometriske funksjoner i emnet.
Dermed har ønsket punkt koordinater.
4.
Rotasjonsvinkel for vektorens radius (etter tilstand)
For å bestemme de tilsvarende tegnene på sinus og cosinus, konstruerer vi en enhetssirkel og vinkel:
Som du kan se, er verdien, det vil si, positiv, og verdien, det vil si, er negativ. Når vi kjenner tabellverdiene til de tilsvarende trigonometriske funksjonene, får vi at:
La oss erstatte de oppnådde verdiene i formelen vår og finne koordinatene:
Dermed har ønsket punkt koordinater.
5. For å løse dette problemet bruker vi formler i generell form, hvor
Koordinater til sentrum av sirkelen (i vårt eksempel,
Sirkelradius (etter tilstand)
Rotasjonsvinkel for vektorens radius (etter tilstand).
La oss erstatte alle verdiene i formelen og få:
og - tabellverdier. La oss huske og erstatte dem med formelen:
Dermed har ønsket punkt koordinater.
SAMMENDRAG OG GRUNNLEGGENDE FORMLER
Sinusen til en vinkel er forholdet mellom det motsatte (fjerne) benet og hypotenusen.
Cosinus til en vinkel er forholdet mellom det tilstøtende (nære) benet og hypotenusen.
Tangensen til en vinkel er forholdet mellom motsatt (fjern) side og tilstøtende (nær) side.
Kotangensen til en vinkel er forholdet mellom den tilstøtende (nære) siden og den motsatte (fjerne) siden.
TABEL OVER VERDIER FOR TRIGONOMETRISKE FUNKSJONER
Tabellen med verdier for trigonometriske funksjoner er kompilert for vinkler på 0, 30, 45, 60, 90, 180, 270 og 360 grader og de tilsvarende vinkelverdiene i vradianer. Av de trigonometriske funksjonene viser tabellen sinus, cosinus, tangens, cotangens, sekant og cosekant. For å gjøre det enklere å løse skoleeksempler, er verdiene til trigonometriske funksjoner i tabellen skrevet i form av en brøk, mens de beholder tegnene for å trekke ut kvadratroten av tall, noe som veldig ofte bidrar til å redusere komplekse matematiske uttrykk. For tangent og cotangens kan verdiene til noen vinkler ikke bestemmes. For verdiene til tangent og cotangens for slike vinkler er det en strek i tabellen over verdier for trigonometriske funksjoner. Det er generelt akseptert at tangenten og cotangensen til slike vinkler er lik uendelig. På en egen side er det formler for å redusere trigonometriske funksjoner.
Tabellen med verdier for den trigonometriske sinusfunksjonen viser verdiene for følgende vinkler: sin 0, sin 30, sin 45, sin 60, sin 90, sin 180, sin 270, sin 360 i grader, som tilsvarer sin 0 pi, sin pi/6 , sin pi/4, sin pi/3, sin pi/2, sin pi, sin 3 pi/2, sin 2 pi i radianmål for vinkler. Skolebord av sines.
For den trigonometriske cosinusfunksjonen viser tabellen verdiene for følgende vinkler: cos 0, cos 30, cos 45, cos 60, cos 90, cos 180, cos 270, cos 360 i grader, som tilsvarer cos 0 pi , cos pi med 6, cos pi med 4, cos pi med 3, cos pi med 2, cos pi, cos 3 pi med 2, cos 2 pi i radianmål av vinkler. Skolebord med kosiner.
Den trigonometriske tabellen for den trigonometriske tangentfunksjonen gir verdier for følgende vinkler: tg 0, tg 30, tg 45, tg 60, tg 180, tg 360 i gradmål, som tilsvarer tg 0 pi, tg pi/6, tg pi/4, tg pi/3, tg pi, tg 2 pi i radianmål for vinkler. Følgende verdier for de trigonometriske tangentfunksjonene er ikke definert tan 90, tan 270, tan pi/2, tan 3 pi/2 og anses som lik uendelig.
For den trigonometriske funksjonen cotangens i den trigonometriske tabellen er verdiene av følgende vinkler gitt: ctg 30, ctg 45, ctg 60, ctg 90, ctg 270 i gradmål, som tilsvarer ctg pi/6, ctg pi/4 , ctg pi/3, tg pi/ 2, tan 3 pi/2 i radianmål for vinkler. Følgende verdier for de trigonometriske cotangensfunksjonene er ikke definert ctg 0, ctg 180, ctg 360, ctg 0 pi, ctg pi, ctg 2 pi og anses som lik uendelig.
Verdiene til de trigonometriske funksjonene sekant og cosecant er gitt for de samme vinklene i grader og radianer som sinus, cosinus, tangens, cotangens.
Tabellen over verdier for trigonometriske funksjoner for ikke-standardvinkler viser verdiene av sinus, cosinus, tangens og cotangens for vinkler i grader 15, 18, 22,5, 36, 54, 67,5 72 grader og i radianer pi/12 , pi/10, pi/ 8, pi/5, 3pi/8, 2pi/5 radianer. Verdiene til trigonometriske funksjoner uttrykkes i form av brøker og kvadratrøtter for å gjøre det lettere å redusere brøker i skoleeksempler.
Tre trigonometriske monstre til. Den første er tangensen til 1,5 halvannen grad eller pi delt på 120. Den andre er cosinus til pi delt på 240, pi/240. Den lengste er cosinus til pi delt på 17, pi/17.
Den trigonometriske verdisirkelen til funksjonene sinus og cosinus representerer visuelt tegnene på sinus og cosinus avhengig av størrelsen på vinkelen. Spesielt for blondiner er cosinusverdiene understreket med en grønn strek for å redusere forvirring. Konverteringen av grader til radianer er også veldig tydelig presentert når radianer uttrykkes i form av pi.
Denne trigonometriske tabellen presenterer verdiene av sinus, cosinus, tangens og cotangens for vinkler fra 0 null til 90 nitti grader med én grads intervaller. For de første førtifem gradene bør navnene på trigonometriske funksjoner ses på øverst i tabellen. Den første kolonnen inneholder grader, verdiene av sinus, cosinus, tangens og cotangens er skrevet i de neste fire kolonnene.
For vinkler fra førtifem grader til nitti grader er navnene på de trigonometriske funksjonene skrevet nederst i tabellen. Den siste kolonnen inneholder grader verdiene til cosinus, sinus, cotangenter og tangenter er skrevet i de fire foregående kolonnene. Du bør være forsiktig fordi navnene på de trigonometriske funksjonene nederst i den trigonometriske tabellen er forskjellige fra navnene øverst i tabellen. Sinus og cosinus er vekslet, akkurat som tangent og cotangens. Dette skyldes symmetrien til verdiene til trigonometriske funksjoner.
Tegnene på trigonometriske funksjoner er vist i figuren ovenfor. Sinus har positive verdier fra 0 til 180 grader, eller 0 til pi. Sinus har negative verdier fra 180 til 360 grader eller fra pi til 2 pi. Cosinusverdier er positive fra 0 til 90 og 270 til 360 grader, eller 0 til 1/2 pi og 3/2 til 2 pi. Tangent og cotangens har positive verdier fra 0 til 90 grader og fra 180 til 270 grader, tilsvarende verdier fra 0 til 1/2 pi og pi til 3/2 pi. Negative verdier for tangent og cotangens er fra 90 til 180 grader og fra 270 til 360 grader, eller fra 1/2 pi til pi og fra 3/2 pi til 2 pi. Når du skal bestemme tegnene til trigonometriske funksjoner for vinkler større enn 360 grader eller 2 pi, bør du bruke periodisitetsegenskapene til disse funksjonene.
De trigonometriske funksjonene sinus, tangens og cotangens er oddetallsfunksjoner. Verdiene til disse funksjonene for negative vinkler vil være negative. Cosinus er en jevn trigonometrisk funksjon - cosinusverdien for en negativ vinkel vil være positiv. Tegnregler må følges ved multiplisering og deling av trigonometriske funksjoner.
Tabellen med verdier for den trigonometriske sinusfunksjonen viser verdiene for følgende vinkler
DokumentDet er reduksjonsformler på en egen side trigonometriskfunksjoner. I bordverdierTiltrigonometriskfunksjonersinusgittverdierTilfølgendehjørner: sin 0, sin 30, sin 45 ...
Det foreslåtte matematiske apparatet er en komplett analog av kompleks kalkulus for n-dimensjonale hyperkomplekse tall med et hvilket som helst antall frihetsgrader n og er beregnet for matematisk modellering av ikke-lineære
Dokument... funksjoner er lik funksjoner Bilder. Fra dette teoremet bør, Hva Tilå finne koordinatene U, V, er det nok å beregne funksjon... geometri; polynar funksjoner(flerdimensjonale analoger av todimensjonale trigonometriskfunksjoner), deres egenskaper, tabeller og søknad; ...
-
1. Trigonometriske funksjoner er elementære funksjoner hvis argument er hjørne. Trigonometriske funksjoner beskriver forholdet mellom sider og spisse vinkler i en rettvinklet trekant. Bruksområdene for trigonometriske funksjoner er ekstremt forskjellige. For eksempel kan alle periodiske prosesser representeres som en sum av trigonometriske funksjoner (Fourier-serien). Disse funksjonene dukker ofte opp når man løser differensial- og funksjonelle ligninger.
2. Trigonometriske funksjoner inkluderer følgende 6 funksjoner: sinus, kosinus, tangent,cotangens, sekant Og cosecant. For hver av disse funksjonene er det en invers trigonometrisk funksjon.
3. Det er praktisk å introdusere den geometriske definisjonen av trigonometriske funksjoner ved hjelp av enhetssirkel. Figuren under viser en sirkel med radius r=1. Punktet M(x,y) er markert på sirkelen. Vinkelen mellom radiusvektoren OM og den positive retningen til Ox-aksen er lik α.
4. Sinus vinkel α er forholdet mellom ordinaten y til punktet M(x,y) og radius r:
sinα=y/r.
Siden r=1, er sinus lik ordinaten til punktet M(x,y).5. Cosinus vinkel α er forholdet mellom abscissen x til punktet M(x,y) og radius r:
cosα=x/r6. Tangent vinkel α er forholdet mellom ordinaten y til et punkt M(x,y) og abscissen x:
tanα=y/x,x≠07. Cotangens vinkel α er forholdet mellom abscissen x til et punkt M(x,y) og ordinaten y:
cotα=x/y,y≠08. Sekant vinkel α er forholdet mellom radius r og abscissen x til punktet M(x,y):
sekα=r/x=1/x,x≠09. Cosecant vinkel α er forholdet mellom radius r og ordinaten y til punktet M(x,y):
csca=r/y=1/y,y≠010. I enhetssirkelen danner projeksjonene x, y, punktene M(x,y) og radius r en rettvinklet trekant, der x,y er bena, og r er hypotenusen. Derfor er definisjonene ovenfor av trigonometriske funksjoner brukt på en rettvinklet trekant formulert som følger:
Sinus vinkel α er forholdet mellom motsatt side og hypotenusen.
Cosinus vinkel α er forholdet mellom det tilstøtende benet og hypotenusen.
Tangent vinkel α kalles det motsatte benet til det tilstøtende.
Cotangens vinkel α kalles tilstøtende side til motsatt side.
Sekant vinkel α er forholdet mellom hypotenusen og det tilstøtende benet.
Cosecant vinkel α er forholdet mellom hypotenusen og motsatt ben.11. Graf over sinusfunksjonen
y=sinx, definisjonsdomene: x∈R, verdiområde: −1≤sinx≤112. Graf over cosinusfunksjonen
y=cosx, domene: x∈R, område: −1≤cosx≤113. Graf over tangentfunksjonen
y=tanx, domene: x∈R,x≠(2k+1)π/2, område: −∞
14. Graf over cotangensfunksjonen
y=cotx, domene: x∈R,x≠kπ, område: −∞
15. Graf over sekantfunksjonen
y=secx, definisjonsdomene: x∈R,x≠(2k+1)π/2, verdiområde: secx∈(−∞,−1]∪∪. Alle forstår at de blir lurt, men ingen forstår, i hva er bedrag?Fra et matematisk synspunkt demonstrerte Zeno i sin aporia tydelig overgangen fra kvantitet til . Denne overgangen innebærer bruk i stedet for permanente. Så vidt jeg forstår, har det matematiske apparatet for bruk av variable måleenheter enten ikke blitt utviklet ennå, eller det har ikke blitt brukt på Zenos aporia. Å bruke vår vanlige logikk fører oss inn i en felle. Vi, på grunn av treghet i tenkningen, bruker konstante tidsenheter på den gjensidige verdien. Fra et fysisk synspunkt ser dette ut som at tiden går ned til den stopper helt i det øyeblikket Akilles innhenter skilpadden. Hvis tiden stopper, kan ikke Akilles lenger løpe unna skilpadden.
Hvis vi snur vår vanlige logikk, faller alt på plass. Akilles løper med konstant hastighet. Hvert påfølgende segment av banen hans er ti ganger kortere enn den forrige. Følgelig er tiden brukt på å overvinne den ti ganger mindre enn den forrige. Hvis vi bruker begrepet "uendelighet" i denne situasjonen, vil det være riktig å si "Akilles vil ta igjen skilpadden uendelig raskt."
Hvordan unngå denne logiske fellen? Forbli i konstante tidsenheter og ikke bytt til gjensidige enheter. På Zenos språk ser det slik ut:
På den tiden det tar Akilles å løpe tusen skritt, vil skilpadden krype hundre skritt i samme retning. I løpet av neste tidsintervall lik det første, vil Akilles løpe ytterligere tusen skritt, og skilpadden vil krype hundre skritt. Nå er Akilles åtte hundre skritt foran skilpadden.
Denne tilnærmingen beskriver virkeligheten tilstrekkelig uten noen logiske paradokser. Men dette er ikke en fullstendig løsning på problemet. Einsteins uttalelse om uimotståelig lyshastighet er veldig lik Zenos aporia "Akilles og skilpadden". Vi må fortsatt studere, tenke nytt og løse dette problemet. Og løsningen må ikke søkes i uendelig store tall, men i måleenheter.
En annen interessant aporia av Zeno forteller om en flygende pil:
En flygende pil er ubevegelig, siden den i hvert øyeblikk er i ro, og siden den er i ro i hvert øyeblikk av tiden, er den alltid i ro.
I denne aporiaen overvinnes det logiske paradokset veldig enkelt - det er nok til å klargjøre at i hvert øyeblikk er en flygende pil i ro på forskjellige punkter i rommet, som faktisk er bevegelse. Et annet poeng må bemerkes her. Fra ett fotografi av en bil på veien er det umulig å fastslå verken bevegelsen eller avstanden til den. For å finne ut om en bil beveger seg, trenger du to bilder tatt fra samme punkt på forskjellige tidspunkter, men du kan ikke bestemme avstanden fra dem. For å bestemme avstanden til en bil, trenger du to bilder tatt fra forskjellige punkter i rommet på ett tidspunkt, men fra dem kan du ikke bestemme bevegelsen (selvfølgelig trenger du fortsatt ytterligere data for beregninger, trigonometri vil hjelpe deg ). Det jeg vil trekke spesielt frem er at to punkter i tid og to punkter i rom er forskjellige ting som ikke bør forveksles, fordi de gir ulike muligheter for forskning.
onsdag 4. juli 2018
Forskjellene mellom sett og multisett er beskrevet veldig godt på Wikipedia. La oss se.
Som du kan se, "det kan ikke være to identiske elementer i et sett," men hvis det er identiske elementer i et sett, kalles et slikt sett et "multiset." Fornuftige vesener vil aldri forstå en slik absurd logikk. Dette er nivået av snakkende papegøyer og trente aper, som ikke har noen intelligens fra ordet "helt". Matematikere fungerer som vanlige trenere og forkynner for oss deres absurde ideer.
En gang i tiden var ingeniørene som bygde brua i en båt under brua mens de testet brua. Hvis broen kollapset, døde den middelmådige ingeniøren under ruinene av sin skapelse. Hvis broen tålte belastningen, bygde den dyktige ingeniøren andre broer.
Uansett hvordan matematikere gjemmer seg bak uttrykket "pass på, jeg er i huset", eller rettere sagt, "matematikk studerer abstrakte konsepter", er det en navlestreng som uløselig forbinder dem med virkeligheten. Denne navlestrengen er penger. La oss anvende matematisk settteori på matematikere selv.
Vi studerte matematikk veldig bra, og nå sitter vi i kassa og deler ut lønn. Så en matematiker kommer til oss for pengene sine. Vi teller ut hele beløpet til ham og legger det ut på bordet vårt i forskjellige hauger, der vi legger sedler av samme valør. Så tar vi en regning fra hver haug og gir matematikeren hans "matematiske sett med lønn." La oss forklare matematikeren at han vil motta de resterende regningene først når han beviser at et sett uten identiske elementer ikke er likt med et sett med identiske elementer. Det er her moroa begynner.
Først av alt vil logikken til varamedlemmene fungere: "Dette kan brukes på andre, men ikke på meg!" Da vil de begynne å forsikre oss om at sedler av samme valør har forskjellige seddelnummer, noe som betyr at de ikke kan betraktes som de samme elementene. Ok, la oss telle lønn i mynter - det er ingen tall på myntene. Her vil matematikeren begynne å febrilsk huske fysikk: forskjellige mynter har forskjellige mengder skitt, krystallstrukturen og arrangementet av atomer er unikt for hver mynt ...
Og nå har jeg det mest interessante spørsmålet: hvor er linjen utenfor hvilken elementene i et multisett blir til elementer i et sett og omvendt? En slik linje finnes ikke - alt bestemmes av sjamaner, vitenskapen er ikke engang i nærheten av å lyve her.
Se her. Vi velger fotballstadioner med samme feltareal. Arealene til feltene er de samme - noe som betyr at vi har et multisett. Men hvis vi ser på navnene på de samme stadionene, får vi mange, fordi navnene er forskjellige. Som du kan se, er det samme settet med elementer både et sett og et multisett. Hvilken er korrekt? Og her trekker matematiker-sjaman-skarpisten frem et trumfess fra ermet og begynner å fortelle oss enten om et sett eller et multisett. Uansett vil han overbevise oss om at han har rett.
For å forstå hvordan moderne sjamaner opererer med settteori og knytter den til virkeligheten, er det nok å svare på ett spørsmål: hvordan skiller elementene i ett sett fra elementene i et annet sett? Jeg skal vise deg, uten noen "tenkbar som ikke en enkelt helhet" eller "ikke tenkelig som en enkelt helhet."
Søndag 18. mars 2018
Summen av sifrene til et tall er en dans av sjamaner med en tamburin, som ikke har noe med matematikk å gjøre. Ja, i matematikktimer blir vi lært å finne summen av sifrene til et tall og bruke det, men det er derfor de er sjamaner, for å lære etterkommerne deres ferdigheter og visdom, ellers vil sjamanene ganske enkelt dø ut.
Trenger du bevis? Åpne Wikipedia og prøv å finne siden «Summen av sifre i et tall». Hun finnes ikke. Det er ingen formel i matematikk som kan brukes til å finne summen av sifrene til et hvilket som helst tall. Tross alt er tall grafiske symboler som vi skriver tall med, og på matematikkspråket høres oppgaven slik ut: "Finn summen av grafiske symboler som representerer et hvilket som helst tall." Matematikere kan ikke løse dette problemet, men sjamaner kan gjøre det enkelt.
La oss finne ut hva og hvordan vi gjør for å finne summen av sifrene til et gitt tall. Så la oss få tallet 12345. Hva må gjøres for å finne summen av sifrene til dette tallet? La oss vurdere alle trinnene i rekkefølge.
1. Skriv ned tallet på et papir. Hva har vi gjort? Vi har konvertert tallet til et grafisk tallsymbol. Dette er ikke en matematisk operasjon.
2. Vi kuttet ett resulterende bilde i flere bilder som inneholder individuelle tall. Å kutte et bilde er ikke en matematisk operasjon.
3. Konverter individuelle grafiske symboler til tall. Dette er ikke en matematisk operasjon.
4. Legg til de resulterende tallene. Nå er dette matematikk.
Summen av sifrene til tallet 12345 er 15. Dette er "skjære- og sykursene" som undervises av sjamaner som matematikere bruker. Men det er ikke alt.
Fra et matematisk synspunkt spiller det ingen rolle i hvilket tallsystem vi skriver et tall. Så i forskjellige tallsystemer vil summen av sifrene i samme tall være forskjellig. I matematikk er tallsystemet angitt som et abonnent til høyre for tallet. Med det store tallet 12345 vil jeg ikke lure hodet mitt, la oss vurdere tallet 26 fra artikkelen om. La oss skrive dette tallet i binære, oktale, desimale og heksadesimale tallsystemer. Vi vil ikke se på hvert trinn under et mikroskop, vi har allerede gjort det. La oss se på resultatet.
Som du kan se, i forskjellige tallsystemer er summen av sifrene til samme tall forskjellig. Dette resultatet har ingenting med matematikk å gjøre. Det er det samme som om du bestemte arealet til et rektangel i meter og centimeter, ville du få helt andre resultater.
Null ser likt ut i alle tallsystemer og har ingen tallsum. Dette er et annet argument for det faktum. Spørsmål til matematikere: hvordan er noe som ikke er et tall angitt i matematikk? Hva, for matematikere eksisterer ingenting bortsett fra tall? Jeg kan tillate dette for sjamaner, men ikke for forskere. Virkeligheten handler ikke bare om tall.
Resultatet som oppnås bør betraktes som bevis på at tallsystemer er måleenheter for tall. Vi kan tross alt ikke sammenligne tall med ulike måleenheter. Hvis de samme handlingene med forskjellige måleenheter av samme mengde fører til forskjellige resultater etter å ha sammenlignet dem, har dette ingenting med matematikk å gjøre.
Hva er ekte matematikk? Dette er når resultatet av en matematisk operasjon ikke er avhengig av størrelsen på tallet, måleenheten som brukes og hvem som utfører denne handlingen.
Skilt på døren Åh! Er ikke dette dametoalettet?
- Ung kvinne! Dette er et laboratorium for studiet av sjelenes indefiliske hellighet under deres oppstigning til himmelen! Halo på toppen og pil opp. Hvilket annet toalett?Hunn... Haloen på toppen og pilen ned er hann.
Hvis et slikt designkunstverk blinker foran øynene dine flere ganger om dagen,
Da er det ikke overraskende at du plutselig finner et merkelig ikon i bilen din:
Personlig anstrenger jeg meg for å se minus fire grader hos en som bæser (ett bilde) (en sammensetning av flere bilder: et minustegn, tallet fire, en betegnelse på grader). Og jeg tror ikke denne jenta er en tosk som ikke kan fysikk. Hun har bare en sterk stereotyp av å oppfatte grafiske bilder. Og matematikere lærer oss dette hele tiden. Her er et eksempel.
1A er ikke "minus fire grader" eller "én a". Dette er "bajsende mann" eller tallet "tjueseks" i heksadesimal notasjon. De menneskene som hele tiden jobber i dette tallsystemet, oppfatter automatisk et tall og en bokstav som ett grafisk symbol.
I artikkelen vil vi fullt ut forstå hvordan det ser ut tabell over trigonometriske verdier, sinus, cosinus, tangens og cotangens. La oss vurdere den grunnleggende betydningen av trigonometriske funksjoner, fra en vinkel på 0,30,45,60,90,...,360 grader. Og la oss se hvordan du bruker disse tabellene til å beregne verdiene til trigonometriske funksjoner.
La oss først se på tabell over cosinus, sinus, tangens og cotangens fra en vinkel på 0, 30, 45, 60, 90,... grader. Definisjonen av disse mengdene lar oss bestemme verdien av funksjonene til vinkler på 0 og 90 grader:sin 0 0 =0, cos 0 0 = 1. tg 00 = 0, cotangens fra 00 vil være udefinert
sin 90 0 = 1, cos 90 0 =0, ctg90 0 = 0, tangent fra 90 0 vil være usikkerHvis du tar rette trekanter hvis vinkler er fra 30 til 90 grader. Vi får:
sin 30 0 = 1/2, cos 30 0 = √3/2, tan 30 0 = √3/3, cos 30 0 = √3
sin 45 0 = √2/2, cos 45 0 = √2/2, tan 45 0 = 1, cos 45 0 = 1
sin 60 0 = √3/2, cos 60 0 = 1/2, tg 60 0 =√3, barneseng 60 0 = √3/3La oss representere alle de oppnådde verdiene i skjemaet trigonometrisk tabell:
Tabell over sinus, cosinus, tangenter og cotangenter!
Hvis vi bruker reduksjonsformelen, vil tabellen vår øke og legge til verdier for vinkler opp til 360 grader. Det vil se slik ut:
Dessuten, basert på egenskapene til periodisitet, kan tabellen økes hvis vi erstatter vinklene med 0 0 +360 0 *z .... 330 0 +360 0 *z, der z er et heltall. I denne tabellen er det mulig å beregne verdien av alle vinkler som tilsvarer punkter i en enkelt sirkel.
La oss se på hvordan du bruker tabellen i en løsning.
Alt er veldig enkelt. Siden verdien vi trenger ligger i skjæringspunktet til cellene vi trenger. Ta for eksempel cos av en vinkel på 60 grader, i tabellen vil det se slik ut:
I slutttabellen over hovedverdiene til trigonometriske funksjoner fortsetter vi på samme måte. Men i denne tabellen er det mulig å finne ut hvor mye tangenten fra en vinkel på 1020 grader er, den = -√3 La oss sjekke 1020 0 = 300 0 +360 0 *2. La oss finne det ved hjelp av tabellen.
Bradis bord. For sinus, cosinus, tangens og cotangens.
Bradis-tabellene er delt inn i flere deler, bestående av tabeller av cosinus og sinus, tangens og cotangens - som er delt i to deler (tg av vinkler opp til 90 grader og ctg av små vinkler).
Sinus og kosinus
tg for vinkel som starter fra 00 som slutter med 760, ctg for vinkel som starter med 140 som slutter med 900.
tg opp til 900 og ctg av små vinkler.
La oss finne ut hvordan du bruker Bradis-tabeller til å løse problemer.
La oss finne betegnelsen sin (betegnelse i kolonnen på venstre kant) 42 minutter (betegnelsen står på den øverste linjen). Ved kryss ser vi etter betegnelsen, den = 0,3040.
Minuttverdiene er angitt med et intervall på seks minutter, hva skal du gjøre hvis verdien vi trenger faller nøyaktig innenfor dette intervallet. La oss ta 44 minutter, men det er bare 42 i tabellen. Vi tar 42 som grunnlag og bruker tilleggskolonnene på høyre side, tar 2. endring og legger til 0,3040 + 0,0006 får vi 0,3046.
Med sin 47 minutter tar vi 48 minutter som grunnlag og trekker fra 1 korreksjon, dvs. 0,3057 - 0,0003 = 0,3054
Når vi beregner cos, jobber vi på samme måte som sin, bare vi tar den nederste raden i tabellen som grunnlag. For eksempel cos 20 0 = 0,9397
Verdiene for tg-vinkel opp til 90 0 og barneseng med liten vinkel er korrekte og det er ingen korreksjoner i dem. Finn for eksempel tg 78 0 37min = 4,967
og ctg 20 0 13min = 25,83
Vel, vi har sett på de grunnleggende trigonometriske tabellene. Vi håper denne informasjonen var svært nyttig for deg. Hvis du har spørsmål om tabellene, må du huske å skrive dem i kommentarfeltet!
Merk: Veggstøtfangere er et støtfangerbrett for å beskytte vegger. Følg lenken rammeløse veggstøtfangere (http://www.spi-polymer.ru/otboyniki/) og finn ut mer.
(Ingen vurderinger ennå) 
Laster inn...Del med venner:LukkFinn på sidenFor eksempel: typer gips
