Trigonometri Reduksjonsformler.
Reduksjonsformler trenger ikke å læres; de trenger å bli forstått. Forstå algoritmen for deres utledning. Det er veldig lett!
La oss ta enhetssirkel og plasser alle grader (0°; 90°; 180°; 270°; 360°) på den.
La oss analysere funksjonene sin(a) og cos(a) i hvert kvartal.
Husk at vi ser på sin(a)-funksjonen langs Y-aksen, og cos(a)-funksjonen langs X-aksen.
I første kvartal er det klart at funksjonen sin(a)>0
Og funksjon cos(a)>0
Det første kvartalet kan beskrives i form av grader, som (90-α) eller (360+α).
I andre kvartal er det klart at funksjonen sin(a)>0, fordi Y-aksen er positiv i dette kvartalet.
En funksjon cos(a) fordi X-aksen er negativ i denne kvadranten.
Andre kvartal kan beskrives i form av grader, som (90+α) eller (180-α).
I tredje kvartal er det klart at funksjonene synd(a) Tredje kvartal kan beskrives i form av grader, som (180+α) eller (270-α).
I fjerde kvartal er det klart at funksjonen sin(a) fordi Y-aksen er negativ i dette kvartalet.
En funksjon cos(a)>0, fordi X-aksen er positiv i dette kvartalet.
Fjerde kvartal kan beskrives i form av grader, som (270+α) eller (360-α).
La oss nå se på selve reduksjonsformlene.
La oss huske enkelt algoritme:
1. Fjerdedel.(Se alltid på hvilket kvarter du er i).
2. Skilt.(For kvartaler, se positive eller negative cosinus- eller sinusfunksjoner).
3. Hvis du har (90° eller π/2) og (270° eller 3π/2) i parentes, funksjonsendringer.
Og så vil vi begynne å analysere denne algoritmen i kvartaler.
Finn ut hva uttrykket cos(90-α) vil være lik
Vi resonnerer i henhold til algoritmen:
1. Kvart én.
Vil cos(90-α) = sin(α)
Finn ut hva uttrykket sin(90-α) vil være lik
Vi resonnerer i henhold til algoritmen:
1. Kvart én.
Vil sin(90-α) = cos(α)
Finn ut hva uttrykket cos(360+α) vil være lik
Vi resonnerer i henhold til algoritmen:
1. Kvart én.
2. I første kvartal er tegnet på cosinusfunksjonen positivt.
Vil cos(360+α) = cos(α)
Finn ut hva uttrykket sin(360+α) vil være lik
Vi resonnerer i henhold til algoritmen:
1. Kvart én.
2. I første kvartal er fortegnet for sinusfunksjonen positivt.
3. Det er ingen (90° eller π/2) og (270° eller 3π/2) i parentes, da endres ikke funksjonen.
Vil sin(360+α) = sin(α)
Finn ut hva uttrykket cos(90+α) vil være lik
Vi resonnerer i henhold til algoritmen:
1. Kvart to.
3. Det står (90° eller π/2) i parentes, da endres funksjonen fra cosinus til sinus.
Vil cos(90+α) = -sin(α)
Finn ut hva uttrykket sin(90+α) vil være lik
Vi resonnerer i henhold til algoritmen:
1. Kvart to.
3. Det står (90° eller π/2) i parentes, da endres funksjonen fra sinus til cosinus.
Vil sin(90+α) = cos(α)
Finn ut hva uttrykket cos(180-α) vil være lik
Vi resonnerer i henhold til algoritmen:
1. Kvart to.
2. I andre kvartal er fortegnet for cosinusfunksjonen negativt.
3. Det er ingen (90° eller π/2) og (270° eller 3π/2) i parentes, da endres ikke funksjonen.
Vil cos(180-α) = cos(α)
Finn ut hva uttrykket sin(180-α) vil være lik
Vi resonnerer i henhold til algoritmen:
1. Kvart to.
2. I andre kvartal er fortegnet for sinusfunksjonen positivt.
3. Det er ingen (90° eller π/2) og (270° eller 3π/2) i parentes, da endres ikke funksjonen.
Vil sin(180-α) = sin(α)
Jeg snakker om tredje og fjerde kvartal, la oss lage en tabell på lignende måte:
Abonnere til kanalen på YOUTUBE og se videoen, forbered deg til eksamen i matematikk og geometri med oss.
De tilhører trigonometridelen av matematikken. Essensen deres er å redusere trigonometriske funksjoner av vinkler til en "enkel" form. Det kan skrives mye om viktigheten av å kjenne dem. Det er allerede 32 av disse formlene!
Ikke vær redd, du trenger ikke å lære dem, som mange andre formler i et mattekurs. Det er ikke nødvendig å fylle hodet med unødvendig informasjon, du må huske "nøklene" eller lovene, og det vil ikke være noe problem å huske eller utlede den nødvendige formelen. Forresten, når jeg skriver i artikler "... du må lære!!!" – dette betyr at det virkelig må læres.
Hvis du ikke er kjent med reduksjonsformler, vil enkelheten i utledningen deres gledelig overraske deg - det er en "lov" ved hjelp av hvilken dette enkelt kan gjøres. Og du kan skrive hvilken som helst av de 32 formlene på 5 sekunder.
Jeg vil bare liste noen av problemene som vil vises på Unified State Exam i matematikk, der uten kunnskap om disse formlene er det stor sannsynlighet for å mislykkes i å løse dem. For eksempel:
– problemer å løse høyre trekant, hvor vi snakker om ytre vinkler, og problemer på indre vinkler, er noen av disse formlene også nødvendige.
- oppgaver for å beregne verdiene til trigonometriske uttrykk; konvertering av numeriske trigonometriske uttrykk; konvertere bokstavelige trigonometriske uttrykk.
– problemer på tangenter og geometrisk betydning tangens kreves en reduksjonsformel for tangent, samt andre problemer.
– stereometriske problemer, i løpet av løsningen er det ofte nødvendig å bestemme sinus eller cosinus til en vinkel som ligger i området fra 90 til 180 grader.
Og dette er bare de punktene som er knyttet til Unified State Exam. Og i selve algebrakurset er det mange problemer, hvis løsning ganske enkelt ikke kan gjøres uten kunnskap om reduksjonsformler.
Så hva fører dette til og hvordan gjør de angitte formlene det lettere for oss å løse problemer?
For eksempel må du bestemme sinus, cosinus, tangens eller cotangens for en hvilken som helst vinkel fra 0 til 450 grader:
alfavinkelen varierer fra 0 til 90 grader
* * *
Så det er nødvendig å forstå "loven" som fungerer her:
1. Bestem tegnet til funksjonen i den tilsvarende kvadranten.
La meg minne deg på:
2. Husk følgende:
funksjon endres til samfunksjon
funksjonen endres ikke til samfunksjon
Hva betyr begrepet - en funksjon endres til en kofunksjon?
Svar: sinus endres til cosinus eller omvendt, tangent til cotangens eller omvendt.
Det er alt!
Nå, i henhold til den presenterte loven, vil vi selv skrive ned flere reduksjonsformler:
Denne vinkelen ligger i tredje kvartal, cosinus i tredje kvartal er negativ. Vi endrer ikke funksjonen til en kofunksjon, siden vi har 180 grader, som betyr:
Vinkelen ligger i første kvartal, sinus i første kvartal er positiv. Vi endrer ikke funksjonen til en kofunksjon, siden vi har 360 grader, som betyr:
Her er en annen bekreftelse på at sinusene til tilstøtende vinkler er like:
Vinkelen ligger i andre kvartal, sinus i andre kvartal er positiv. Vi endrer ikke funksjonen til en kofunksjon, siden vi har 180 grader, som betyr:
Arbeid gjennom hver formel mentalt eller skriftlig, og du vil være overbevist om at det ikke er noe komplisert.
***
I artikkelen om løsningen ble følgende faktum notert - sinusen til en spiss vinkel i en rettvinklet trekant er lik cosinus til en annen spiss vinkel i den.
Og et annet problem B11 om samme emne - fra den virkelige Unified State Examination i matematikk.
Oppgave. Finn betydningen av uttrykket:
I denne korte videoopplæringen lærer vi hvordan du søker reduksjonsformler for å løse reelle problemer B11 fra Unified State Examination i matematikk. Som du kan se, har vi to trigonometriske uttrykk, som hver inneholder sinus og cosinus, samt noen ganske brutale numeriske argumenter.
Før vi løser disse problemene, la oss huske hva reduksjonsformler er. Så hvis vi har uttrykk som:
Da kan vi bli kvitt første ledd (av formen k · π/2) etter spesielle regler. La oss tegne en trigonometrisk sirkel og markere hovedpunktene på den: 0, π/2; π; 3π/2 og 2π. Deretter ser vi på det første leddet under tegnet til den trigonometriske funksjonen. Vi har:
- Hvis begrepet vi er interessert i ligger på den vertikale aksen til den trigonometriske sirkelen (for eksempel: 3π/2; π/2, etc.), så erstattes den opprinnelige funksjonen med en co-funksjon: sinus erstattes av cosinus, og cosinus, tvert imot, ved sinus.
- Hvis begrepet vårt ligger på den horisontale aksen, endres ikke den opprinnelige funksjonen. Vi fjerner ganske enkelt den første termen i uttrykket, og det er det.
Dermed får vi en trigonometrisk funksjon som ikke inneholder ledd på formen k · π/2. Arbeidet med reduksjonsformler slutter imidlertid ikke der. Faktum er at før vår ny funksjon, oppnådd etter å ha «kastet» det første leddet, kan ha et pluss- eller minustegn. Hvordan identifisere dette tegnet? Nå skal vi finne ut av det.
La oss forestille oss at vinkelen α som er igjen inne i den trigonometriske funksjonen etter transformasjoner har et veldig lite gradmål. Men hva betyr "små mål"? La oss si α ∈ (0; 30°) - dette er nok. La oss ta et eksempel på funksjonen:
Så, etter våre antakelser om at α ∈ (0; 30°), konkluderer vi med at vinkelen 3π/2 − α ligger i tredje koordinatkvart, dvs. 3π/2 − α ∈ (π; 3π/2). La oss huske tegnet til den opprinnelige funksjonen, dvs. y = sin x på dette intervallet. Åpenbart er sinusen i det tredje koordinatkvartalet negativ, siden sinus per definisjon er ordinaten til enden av den bevegelige radiusen (kort sagt, sinus er y-koordinaten). Vel, y-koordinaten i det nedre halvplanet tar alltid negative verdier. Dette betyr at også i tredje kvartal er y negativ.
Basert på disse refleksjonene kan vi skrive ned det endelige uttrykket:
Oppgave B11 - Alternativ 1
De samme teknikkene er ganske egnet for å løse oppgave B11 fra Unified State Examination i matematikk. Den eneste forskjellen er at i mange reelle B11-problemer, i stedet for et radianmål (dvs. tall π, π/2, 2π, etc.) brukes et gradmål (dvs. 90°, 180°, 270° og etc.). La oss se på den første oppgaven:
La oss først se på telleren. cos 41° er en ikke-tabellverdi, så vi kan ikke gjøre noe med den. La oss la det være sånn for nå.
La oss nå se på nevneren:
sin 131° = sin (90° + 41°) = cos 41°
Dette er åpenbart en reduksjonsformel, så sinusen erstattes av en cosinus. I tillegg ligger vinkelen 41° på segmentet (0°; 90°), dvs. i den første koordinatkvadranten - nøyaktig som nødvendig for å bruke reduksjonsformlene. Men da er 90° + 41° det andre koordinatkvartalet. Den opprinnelige funksjonen y = sin x er positiv der, så vi setter et plusstegn foran cosinus på siste trinn (med andre ord, vi la ikke noe).
Det gjenstår å håndtere det siste elementet:
cos 240° = cos (180° + 60°) = −cos 60° = −0,5
Her ser vi at 180° er den horisontale aksen. Følgelig vil ikke selve funksjonen endre seg: det var en cosinus - og cosinus vil også forbli. Men spørsmålet dukker opp igjen: vil pluss eller minus vises før det resulterende uttrykket cos 60°? Merk at 180° er det tredje koordinatkvartalet. Cosinus der er negativ, derfor vil cosinus til slutt ha et minustegn foran seg. Totalt får vi konstruksjonen −cos 60° = −0,5 - dette er en tabellverdi, så alt er enkelt å beregne.
Nå erstatter vi de resulterende tallene i den opprinnelige formelen og får:
Som du kan se, reduseres tallet cos 41° i telleren og nevneren til brøken lett, og det vanlige uttrykket forblir, som er lik -10. I dette tilfellet kan minus enten tas ut og plasseres foran brøktegnet, eller "holdes" ved siden av den andre faktoren til det aller siste trinnet i beregningene. Uansett vil svaret være -10. Det er det, problem B11 er løst!
Oppgave B14 - alternativ 2
La oss gå videre til den andre oppgaven. Vi har en brøkdel foran oss igjen:
Vel, 27° ligger i det første koordinatkvartalet, så vi vil ikke endre noe her. Men synd 117° må skrives (uten noen firkant foreløpig):
sin 117° = sin (90° + 27°) = cos 27°
Tydeligvis før oss igjen reduksjonsformel: 90° er den vertikale aksen, derfor vil sinus endres til cosinus. I tillegg ligger vinkelen α = 117° = 90° + 27° i den andre koordinatkvadranten. Den opprinnelige funksjonen y = sin x er positiv der, derfor er det etter alle transformasjonene fortsatt et plusstegn foran cosinus. Med andre ord, ingenting er lagt til der - vi lar det være slik: cos 27°.
Vi går tilbake til det opprinnelige uttrykket som må beregnes:
Som vi kan se, i nevneren etter transformasjonene det grunnleggende trigonometrisk identitet: sin 2 27° + cos 2 27° = 1. Totalt −4: 1 = −4 - så vi fant svaret på den andre oppgaven B11.
Som du kan se, ved hjelp av reduksjonsformler løses slike problemer fra Unified State Examination i matematikk bokstavelig talt på et par linjer. Ingen sinus av summen og cosinus til differansen. Alt vi trenger å huske er bare den trigonometriske sirkelen.
Hvordan huske formler for å redusere trigonometriske funksjoner? Det er enkelt hvis du bruker en assosiasjon. Denne assosiasjonen er ikke oppfunnet av meg. Som allerede nevnt, bør en god assosiasjon "fange", det vil si vekke livlige følelser. Jeg kan ikke kalle følelsene forårsaket av denne assosiasjonen positive. Men det gir et resultat - det lar deg huske reduksjonsformler, noe som betyr at det har rett til å eksistere. Tross alt, hvis du ikke liker det, trenger du ikke bruke det, ikke sant?
Reduksjonsformlene har formen: sin(πn/2±α), cos(πn/2±α), tg(πn/2±α), ctg(πn/2±α). Husk at +α gir bevegelse mot klokken, - α gir bevegelse med klokken.
For å jobbe med reduksjonsformler trenger du to punkter:
1) sett tegnet som initialfunksjonen har (i lærebøker skriver de: reduserbar. Men for ikke å bli forvirret er det bedre å kalle det initial), hvis vi anser α som vinkelen til det første kvartalet, dvs. , liten.
2) Horisontal diameter - π±α, 2π±α, 3π±α... - generelt, når det ikke er noen brøk, endres ikke navnet på funksjonen. Vertikal π/2±α, 3π/2±α, 5π/2±α... - når det er en brøk, endres navnet på funksjonen: sinus - til cosinus, cosinus - til sinus, tangens - til cotangens og cotangens - å tangere. 
Nå, faktisk, foreningen:
vertikal diameter (det er en brøkdel) -
står full. Hva vil skje med ham tidlig?
eller er det for sent? Det stemmer, det vil falle.
Funksjonsnavnet vil endres.
Hvis diameteren er horisontal, ligger fyllesyken allerede. Han sover sannsynligvis. Ingenting vil skje med ham, han har allerede inntatt en horisontal stilling. Følgelig endres ikke navnet på funksjonen.
Det vil si sin(π/2±α), sin(3π/2±α), sin(5π/2±α), osv. gi ±cosα,
og sin(π±α), sin(2π±α), sin(3π±α), … - ±sinα.
Vi vet allerede hvordan.
Hvordan det fungerer? La oss se på eksempler.
1) cos(π/2+α)=?
Vi blir π/2. Siden +α betyr at vi går fremover, mot klokken. Vi befinner oss i andre kvartal, hvor kosinus har et "-"-tegn. Navnet på funksjonen endres ("en full person står", som betyr at han vil falle). Så,
cos(π/2+α)=-sin α.
La oss komme til 2π. Siden -α - går vi bakover, det vil si med klokken. Vi befinner oss i IV-kvartalet, der tangenten har et "-"-tegn. Navnet på funksjonen endres ikke (diameteren er horisontal, "fyllen ligger allerede"). Således, tan(2π-α)=- tanα.
3) ctg²(3π/2-α)=?
Eksempler der en funksjon heves til en jevn potens er enda enklere å løse. Den jevne graden "-" fjerner den, det vil si at du bare trenger å finne ut om navnet på funksjonen endres eller forblir. Diameteren er vertikal (det er en brøkdel, "står full", den vil falle), navnet på funksjonen endres. Vi får: ctg²(3π/2-α)= tan²α.
Sentrert på et punkt EN.
α
- vinkel uttrykt i radianer.
Definisjon
Sinus (sin α)- Dette trigonometrisk funksjon, avhengig av vinkelen α mellom hypotenusen og benet i en rettvinklet trekant, lik forholdet mellom lengden på det motsatte benet |BC| til lengden av hypotenusen |AC|.
Cosinus (cos α) er en trigonometrisk funksjon avhengig av vinkelen α mellom hypotenusen og benet i en rettvinklet trekant, lik forholdet mellom lengden tilstøtende ben|AB| til lengden av hypotenusen |AC|.
Godkjente notasjoner
;
;
.
;
;
.
Graf av sinusfunksjonen, y = sin x
Graf for cosinusfunksjonen, y = cos x
Egenskaper for sinus og cosinus
Periodisitet
Funksjoner y = synd x og y = fordi x periodisk med punktum 2π.
Paritet
Sinusfunksjonen er merkelig. Cosinusfunksjonen er jevn.
Definisjonsdomene og verdier, ekstrema, økning, avtag
Sinus- og cosinusfunksjonene er kontinuerlige i sitt definisjonsdomene, det vil si for alle x (se bevis for kontinuitet). Hovedegenskapene deres er presentert i tabellen (n - heltall).
| y = synd x | y = fordi x | |
| Omfang og kontinuitet | - ∞ < x < + ∞ | - ∞ < x < + ∞ |
| Rekkevidde av verdier | -1 ≤ y ≤ 1 | -1 ≤ y ≤ 1 |
| Økende | ||
| Synkende | ||
| Maxima, y = 1 | ||
| Minima, y = - 1 | ||
| Null, y = 0 | ||
| Avskjæringspunkter med ordinataksen, x = 0 | y = 0 | y = 1 |
Grunnleggende formler
Summen av kvadrater av sinus og cosinus
Formler for sinus og cosinus fra sum og differanse
;
;
Formler for produktet av sinus og cosinus
Sum- og differanseformler
Uttrykker sinus gjennom cosinus
;
;
;
.
Uttrykker cosinus gjennom sinus
;
;
;
.
Uttrykk gjennom tangent
; .
Når har vi:
;
.
kl.:
;
.
Tabell over sinus og cosinus, tangenter og cotangenter
Denne tabellen viser verdiene til sinus og cosinus for visse verdier av argumentet. 
Uttrykk gjennom komplekse variabler
;
Eulers formel
Uttrykk gjennom hyperbolske funksjoner
;
;
Derivater
; . Utlede formler > > >
Derivater av n-te orden:
{ -∞ <
x < +∞ }
Sekant, cosecant
Inverse funksjoner
De inverse funksjonene til sinus og cosinus er henholdsvis arcsinus og arccosinus.
Arcsine, arcsin
Arccosine, arccos
Referanser:
I. Bronstein, K.A. Semendyaev, Håndbok i matematikk for ingeniører og studenter, "Lan", 2009.
Laster inn...
