Одговори:

Нема име

ако се земе предвид дека a^x=e^x*ln(a), тогаш излегува дека 0^0=1 (граница, за x->0)
иако одговорот „неизвесност“ е исто така прифатлив

Нулата во математиката не е празнина, таа е бројка многу блиску до „ништо“, исто како и бесконечноста само во обратна насока.

Напиши:
0^0 = 0^(a-a) = 0^a * 0^(-a) = 0^a / 0^a = 0 / 0
Излегува дека во овој случај делиме со нула, а оваа операција на полето на реални броеви не е дефинирана.

пред 6 години

RPI.su е најголемата база на прашања и одговори на руски јазик. Нашиот проект беше имплементиран како продолжение на популарната услуга otvety.google.ru, која беше затворена и избришана на 30 април 2015 година. Решивме да ја воскреснеме корисната услуга Google Answers за секој да може јавно да го дознае одговорот на своето прашање од интернет заедницата.

Сите прашања додадени на страницата Google Answers се копирани и складирани овде. Старите кориснички имиња се исто така прикажани како што постоеле претходно. Само треба да се регистрирате повторно за да можете да поставувате прашања или да одговарате на други.

За да не контактирате за какви било прашања ЗА САЈТОТ (рекламирање, соработка, повратни информации за услугата), пишете на [заштитена е-пошта]. Објавувајте ги само сите општи прашања на страницата; нема да бидат одговорени по пошта.

На што ќе биде еднаква нулата ако се подигне на нулта моќност?

Зошто број со јачина од 0 е еднаков на 1? Постои правило дека секој друг број освен нула подигнат на нулта моќност ќе биде еднаков на еден: 20 = 1; 1,50 = 1; 100000 = 1 Меѓутоа, зошто е тоа така? Кога некој број е подигнат до моќ со природен експонент, тоа значи дека тој се множи сам со себе онолку пати колку што е експонентот: 43 = 4 × 4 × 4; 26 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 Кога експонентот е еднаков на 1, тогаш за време на изградбата има само еден фактор (ако воопшто можеме да зборуваме за фактори), и затоа резултатот од конструкцијата е еднаков до основата на моќноста: 181 = 18; (–3,4)1 = –3,4 Но, што е со нултиот индикатор во овој случај? Што се множи со што? Ајде да се обидеме да одиме на поинаков начин. Познато е дека ако два степени идентични основи, но различни експоненти, тогаш основата може да се остави иста, а експонентите може или да се додадат еден на друг (ако моќите се помножат), или да се одземе експонентот на делителот од експонентот на дивидендата (ако моќите се поделено): 32 × 31 = 32+1 = 33 = 3 × 3 × 3 = 27 45 ÷ 43 = 45–3 = 42 = 4 × 4 = 16 И сега разгледајте го овој пример: 82 ÷ 82 = 82-2 = 80 = ? Што ако не го искористиме својството на степени со иста основа и не направиме пресметки по редоследот по кој тие се појавуваат: 82 ÷ 82 = 64 ÷ 64 = 1 Значи, ја добивме вредната единица. Така, нултиот експонент се чини дека покажува дека бројот не се множи со себе, туку се дели со себе. И од тука станува јасно зошто изразот 00 нема смисла. На крајот на краиштата, не можете да делите со 0. Можете да расудувате поинаку. Ако има, на пример, множење на силите од 52 × 50 = 52+0 = 52, тогаш следува дека 52 се помножило со 1. Затоа, 50 = 1.

Од својствата на силите: a^n / a^m = a^(n-m) ако n=m, резултатот ќе биде еден освен природно a=0, во овој случај (бидејќи нула до која било моќност ќе биде нула) делење со нула би се случила, така што 0^0 не постои

Сметководство на различни јазици

Имиња на бројки од 0 до 9 на популарните јазици во светот.

Јазик	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Англиски	нула	еден	два	три	четири	пет	шест	седум	осум	девет
бугарски	нула	една работа	два	три	четири	миленик	столб	се подготвуваме	секири	дет
унгарски	нула	егиј	кетõ	харом	неги	от	капа	het	њолц	киленц
холандски	нула	een	тви	се исуши	вир	vijf	зес	зевен	acht	неген
дански	нула	mk	до	тре	оган	женска	секс	syv	отте	ни
шпански	церо	уно	дос	трес	куатро	cinco	сеис	сајтот	очо	nueve
италијански	нула	уно	поради	тре	quattro	cinque	сеи	сет	ото	нове
Литвански	nullis	виени	ду	се обидува	кетури	пенки	ðeði	септини	aðtuoni	девини
германски	нула	еин	цвеи	дреи	вир	забавно	сечи	sieben	acht	неун
руски	нула	еден	два	три	четири	пет	шест	седум	осум	девет
полски	нула	једен	dwa	trzy	cztery	piêæ	sze¶æ	сидем	осием	dziewiêæ
португалски	хм	dois	трес	кватро	cinco	сеис	сет	оито	нове
француски	нула	ун	декс	троа	кватре	cinq	шест	септ	колиба	неуф
чешки	нула	џедна	dva	toi	ètyøi	pìt	¹est	седм	osm	devìt
шведски	нели	итн	тва	тре	фира	женска	секс	sju	ата	нио
естонски	нула	üks	како	колм	нели	viis	куус	seitse	кахекса	üheksa

Негативни и нулта моќи на број

Нула, негативни и дробни моќи

Нулта индикатор

Да се ​​подигне даден број на одредена моќност значи да се повтори за фактор онолку пати колку што има единици во експонентот.

Според оваа дефиниција, изразот: а 0 нема смисла. Но, за да има значење правилото за делење на ист број и во случај кога експонентот на делителот е еднаков на експонентот на дивидендата, воведена е дефиниција:

Нултата моќност на кој било број ќе биде еднаква на еден.

Негативен индикатор

Изразување a -m, само по себе нема никакво значење. Но, за да важи правилото за делење моќи со ист број и во случај кога експонентот на делителот е поголем од експонентот на дивидендата, воведена е дефиниција:

Пример 1. Ако даден број се состои од 5 стотки, 7 десетици, 2 единици и 9 стотинки, тогаш може да се прикаже на следниов начин:

5 × 10 2 + 7 × 10 1 + 2 × 10 0 + 0 × 10 -1 + 9 × 10 -2 = 572,09

Пример 2. Ако даден број се состои од десетки, b единици, c десетини и d илјадити, тогаш тој може да се претстави на следниов начин:

а× 10 1 + б× 10 0 + в× 10 -1 + г× 10 -3

Дејства на моќи со негативни експоненти

Кога се множат силите на ист број, експонентите се собираат.

При делење на моќи со ист број, експонентот на делителот се одзема од експонентот на дивидендата.

За да се подигне производ на моќност, доволно е да се подигне секој фактор посебно на оваа моќност:

За да се подигне дропка на моќност, доволно е да се подигнат двата члена на дропот посебно на оваа моќност:

Кога моќта е подигната на друга моќност, експонентите се множат.

Дробен индикатор

Ако кне е множител на n, потоа изразот: нема смисла. Но, за да може правилото за извлекување на коренот на степенот да се одвива за која било вредност на експонентот, воведена е дефиниција:

Благодарение на воведувањето на нов симбол, екстракцијата на коренот секогаш може да се замени со степенување.

Дејства на моќи со дробни експоненти

Дејствата на моќи со фракциони показатели се вршат според истите правила што се утврдени за целобројните експоненти.

При докажување на овој предлог, прво ќе претпоставиме дека членовите на дропките: и , кои служат како експоненти, се позитивни.

Во посебен случај nили qможе да биде еднаква на една.

Кога се множат моќи од ист број, се додаваат фракционите експоненти:

Кога се делат моќи од ист број со фракциони експоненти, експонентот на делителот се одзема од експонентот на дивидендата:

За да се подигне моќта на друга моќност во случај на фракциони експоненти, доволно е да се помножат експонентите:

За да се извлече коренот на фракционата моќност, доволно е да се подели експонентот со експонентот на коренот:

Правилата на дејствување важат не само за позитивенфракционите показатели, но и да негативен.

Постои правило дека кој било број освен нула подигнат на нулта моќност ќе биде еднаков на еден:
2 0 = 1; 1.5 0 = 1; 10 000 0 = 1
Меѓутоа, зошто е тоа така?
Кога некој број е подигнат до моќ со природен експонент, тоа значи дека тој се множи сам по себе онолку пати колку што е експонентот:
4 3 = 4×4×4; 2 6 = 2×2×2×2×2 x 2
Кога експонентот е еднаков на 1, тогаш за време на изградбата има само еден фактор (ако воопшто можеме да зборуваме за фактори овде), и затоа резултатот од конструкцијата е еднаков на основата на степенот:
18 1 = 18;(-3.4)^1 = -3.4
Но, што е со нултиот индикатор во овој случај? Што се множи со што?
Ајде да се обидеме да одиме на поинаков начин.

Зошто број со јачина од 0 е еднаков на 1?

Познато е дека ако две сили имаат исти основи, но различни експоненти, тогаш основата може да се остави иста, а експонентите може или да се додадат еден на друг (ако моќите се помножат), или експонентот на делителот може да се одземе од експонентот на дивидендата (ако моќите се деливи):
3 2 × 3 1 = 3^(2+1) = 3 3 = 3×3×3 = 27
4 5 ÷ 4 3 = 4^(5−3) = 4 2 = 4×4 = 16
Сега да го погледнеме овој пример:
8 2 ÷ 8 2 = 8^(2−2) = 8 0 = ?
Што ако не го користиме својството на моќи со иста основа и не ги извршиме пресметките по редоследот на кој се појавуваат:
8 2 ÷ 8 2 = 64 ÷ 64 = 1
Така ја добивме посакуваната единица. Така, нултиот експонент се чини дека покажува дека бројот не се множи со себе, туку се дели со себе.
И од тука станува јасно зошто изразот 0 0 нема смисла. Не можете да делите со 0.

Прво ниво

Степен и неговите својства. Сеопфатен водич (2019)

Зошто се потребни дипломи? Каде ќе ви требаат? Зошто треба да одвоите време да ги проучувате?

За да научите сè за дипломите, за што се тие, како да го користите вашето знаење во Секојдневниот животпрочитајте ја оваа статија.

И, се разбира, познавањето на дипломите ќе ве приближи до успешно завршување OGE или обединет државен испит и прием на универзитетот од вашите соништа.

Ајде да одиме... (Ајде да одиме!)

Важна забелешка! Ако видите gobbledygook наместо формули, исчистете го кешот. За да го направите ова, притиснете CTRL + F5 (на Windows) или Cmd + R (на Mac).

ПРВО НИВО

Експоненцијата е математичка операција исто како собирање, одземање, множење или делење.

Сега ќе објаснам сè на човечки јазик на многу едноставни примери. Внимавај. Примерите се елементарни, но објаснуваат важни работи.

Да почнеме со додавање.

Тука нема што да се објаснува. Веќе знаете сè: ние сме осуммина. Секој има две шишиња кола. Колку кола има? Така е - 16 шишиња.

Сега множење.

Истиот пример со кола може да се напише поинаку: . Математичарите се лукави и мрзливи луѓе. Тие прво забележуваат некои шаблони, а потоа смислуваат начин да ги „набројат“ побрзо. Во нашиот случај, забележаа дека секој од осумте луѓе има ист број шишиња кола и смислија техника наречена множење. Се согласувам, се смета дека е полесно и побрзо отколку.

Значи, за да броите побрзо, полесно и без грешки, само треба да запомните табела за множење. Секако, сè можете побавно, потешко и со грешки! Но…

Еве ја табелата за множење. Повторете.

И уште една поубава:

Кои други паметни трикови за броење смислиле мрзливите математичари? Десно - подигање на број на моќ.

Подигнување на број до моќ

Ако треба да помножите број сам по себе пет пати, тогаш математичарите велат дека треба да го подигнете тој број на петти степен. На пример,. Математичарите паметат дека два до петта сила е ... И тие ги решаваат таквите проблеми во нивните глави - побрзо, полесно и без грешки.

Сè што треба да направите е запомнете што е означено во боја во табелата со моќности на броеви. Верувај ми, ова ќе ти го олесни животот многу.

Патем, зошто се вика втор степен? квадратбројки, а третиот - коцка? Што значи тоа? Многу добро прашање. Сега ќе имате и квадрати и коцки.

Пример број 1 од реалниот живот

Да почнеме со квадратот или втората моќност на бројот.

Замислете квадрат базен со димензии еден метар на еден метар. Базенот е на вашата дача. Топло е и навистина сакам да пливам. Но... базенот нема дно! Треба да го покриете дното на базенот со плочки. Колку плочки ви требаат? За да го одредите ова, треба да ја знаете долната површина на базенот.

Можете едноставно да пресметате со покажување на прстот дека дното на базенот се состои од метар по метар коцки. Ако имате плочки еден метар по еден метар, ќе ви требаат парчиња. Лесно е... Ама каде сте виделе вакви плочки? Плочката најверојатно ќе биде цм по см. А потоа ќе ве измачуваат „броејќи со прст“. Потоа треба да се множите. Така, на едната страна од дното на базенот ќе поставиме плочки (парчиња), а од другата, исто така, плочки. Помножете се со и добивате плочки ().

Дали забележавте дека за да ја одредиме површината на дното на базенот го помноживме истиот број сам по себе? Што значи тоа? Бидејќи го множиме истиот број, можеме да ја користиме техниката „експоненција“. (Се разбира, кога имате само два броја, сепак треба да ги помножите или да ги подигнете на јачина. Но, ако имате многу од нив, тогаш нивното подигање на јачина е многу полесно и исто така има помалку грешки во пресметките За Единствениот државен испит, ова е многу важно).
Значи, триесет до втората моќ ќе биде (). Или можеме да кажеме дека ќе биде триесет квадрат. Со други зборови, вториот степен на број секогаш може да се претстави како квадрат. И обратно, ако видите квадрат, тој СЕКОГАШ е втор степен на некој број. Квадрат е слика на вториот степен на број.

Пример број 2 од реалниот живот

Еве една задача за вас: избројте колку квадрати има на шаховската табла користејќи го квадратот на бројот... На едната страна од ќелиите и на другата страна исто така. За да го пресметате нивниот број, треба да помножите осум со осум или... ако забележите дека шаховска табла е квадрат со страна, тогаш можете да квадратите осум. Ќе добиете клетки. () Значи?

Пример број 3 од реалниот живот

Сега коцката или третата сила на некој број. Истиот базен. Но, сега треба да откриете колку вода ќе треба да се истури во овој базен. Треба да ја пресметате јачината на звукот. (Волуменот и течностите, патем, се мерат во кубни метри. Неочекувано, нели?) Нацртајте базен: дно со мерење на метар и длабочина од метар и обидете се да изброите колку коцки со димензии метар на метар ќе се вклопат во вашиот базен.

Само покажете со прстот и избројте! Еден, два, три, четири...дваесет и два, дваесет и три...Колку добивте? Не е изгубено? Дали е тешко да се брои со прст? Па тоа! Земете пример од математичарите. Тие се мрзливи, па забележале дека за да се пресмета волуменот на базенот, треба да се помножат неговата должина, ширина и висина една со друга. Во нашиот случај, волуменот на базенот ќе биде еднаков на коцки... Полесно, нели?

Сега замислете колку се мрзливи и лукави математичарите ако го поедностават и ова. Сè сведовме на една акција. Забележале дека должината, ширината и висината се еднакви и дека истиот број се множи сам по себе... Што значи ова? Ова значи дека можете да ги искористите предностите на степенот. Значи, она што некогаш сте го избројале со прстот, тие го прават во една акција: три коцки се еднакви. Се пишува вака: .

Останува само запомнете ја табелата со степени. Освен, се разбира, ако не сте мрзливи и лукави како математичари. Ако сакате да работите напорно и да правите грешки, можете да продолжите да броите со прст.

Па, конечно да те убедам дека дипломите се измислени од откажувачи и итри луѓе за да си ги решат животни проблеми, а не да ви создавам проблеми, еве уште пар примери од животот.

Пример број 4 од реалниот живот

Имате милион рубли. На почетокот на секоја година, за секој милион што ќе го заработите, заработувате уште еден милион. Односно, на секој милион имате двојки на почетокот на секоја година. Колку пари ќе имате за години? Ако сега седите и „броите со прст“, тоа значи дека сте многу вреден човеки.. глупав. Но, најверојатно ќе дадете одговор за неколку секунди, бидејќи сте паметни! Значи, во првата година - два помножени со два... во втората година - што се случи, со уште две, во третата година... Стоп! Забележавте дека бројот се множи сам по себе пати. Значи два до петта сила е милион! Сега замислете дека имате натпревар и оној што може најбрзо да брои ќе ги добие овие милиони... Вреди да се потсетиме на моќта на бројките, не мислите?

Пример број 5 од реалниот живот

Имаш милион. На почетокот на секоја година, за секој милион што ќе го заработите, заработувате уште два. Одлично нели? Секој милион е тројно зголемен. Колку пари ќе имате за една година? Ајде да броиме. Првата година - помножете се со, потоа резултатот со друга... Веќе е досадно, бидејќи веќе сте разбрале сè: три се множат сами по себе пати. Значи на четвртата сила е еднаква на милион. Треба само да запомните дека три до четврта моќ е или.

Сега знаете дека со подигање број на моќ ќе си го олесните животот многу. Ајде дополнително да погледнеме што можете да направите со дипломите и што треба да знаете за нив.

Поими и поими... за да не се мешаме

Значи, прво, ајде да ги дефинираме концептите. Што мислиш, што е експонент? Тоа е многу едноставно - тоа е бројот што е „на врвот“ на моќта на бројот. Не научно, но јасно и лесно за паметење...

Па, во исто време, што таков степен основа? Уште поедноставно - ова е бројот што се наоѓа подолу, во основата.

Еве еден цртеж за добра мерка.

Па внатре општ поглед, за да се генерализира и подобро да се запамети... Степен со основа „ ” и експонент „ ” се чита како „до степен“ и се запишува на следниов начин:

Моќност на број со природен експонент

Веројатно веќе погодивте: бидејќи експонентот е природен број. Да, но што е тоа природен број? Основно! Природни броеви се оние броеви што се користат при броењето при наведување на предмети: еден, два, три... Кога броиме предмети, не велиме: „минус пет“, „минус шест“, „минус седум“. Исто така, не велиме: „една третина“ или „нула точка пет“. Ова не се природни броеви. Кои бројки мислите дека се овие?

Се однесуваат на броеви како „минус пет“, „минус шест“, „минус седум“. цели броеви.Општо земено, цели броеви ги вклучуваат сите природни броеви, броеви спротивни на природните броеви (односно земени со знак минус) и бројот. Нулата е лесно да се разбере - тоа е кога нема ништо. Што значат негативни („минус“) броеви? Но, тие беа измислени првенствено за да се наведат долгови: ако имате салдо на телефонот во рубли, тоа значи дека му должите на операторот рубли.

Сите дропки се рационални броеви. Како се појавија, мислиш? Многу едноставно. Пред неколку илјади години, нашите предци открија дека им недостасува природни броевиза мерење на должина, тежина, површина итн. И тие дојдоа до рационални броеви... Интересно, нели?

Има и ирационални броеви. Кои се овие бројки? Накратко, тоа е бесконечна децимална дропка. На пример, ако го поделите обемот на кругот со неговиот дијаметар, ќе добиете ирационален број.

Резиме:

Дозволете ни да го дефинираме концептот на степен чиј експонент е природен број (т.е. цел број и позитивен).

1. Секој број до првата моќност е еднаков на самиот себе:
2. Да се ​​квадрира број значи да се помножи сам со себе:
3. Да се ​​коцка број значи да се помножи со себе три пати:

Дефиниција.Подигнете го бројот на природен степен- значи множење број сам по себе пати:
.

Својства на степени

Од каде потекнуваат овие имоти? Сега ќе ти покажам.

Ајде да видиме: што е тоа И ?

А-приоритет:

Колку множители има вкупно?

Многу е едноставно: додадовме множители на факторите, а резултатот е множители.

Но, по дефиниција, ова е моќ на број со експонент, односно: , што требаше да се докаже.

Пример: Поедноставете го изразот.

Решение:

Пример:Поедноставете го изразот.

Решение:Важно е да се напомене дека во нашето владеење Задолжителномора да има исти причини!
Затоа, ги комбинираме моќите со основата, но таа останува посебен фактор:

само за производ на моќите!

Во никој случај не можете да го напишете тоа.

2. тоа е тоа та моќ на број

Исто како и со претходното својство, да се свртиме кон дефиницијата за степен:

Излегува дека изразот се множи сам по себе пати, односно, според дефиницијата, ова е та сила на бројот:

Во суштина, ова може да се нарече „вадење на индикаторот од загради“. Но, никогаш не можете да го направите ова во целост:

Да се ​​потсетиме на скратените формули за множење: колку пати сакавме да пишуваме?

Но, сепак, ова не е вистина.

Моќ со негативна основа

До овој момент разговаравме само каков треба да биде експонентот.

Но, што треба да биде основата?

Во овластувањата на природен индикаторосновата може да биде кој било број. Навистина, можеме да ги помножиме сите броеви еден со друг, без разлика дали се позитивни, негативни или парни.

Ајде да размислиме кои знаци ("" или "") ќе имаат степени на позитивни и негативни броеви?

На пример, дали бројот е позитивен или негативен? А? ? Со првиот, сè е јасно: без разлика колку позитивни броеви ќе помножиме еден со друг, резултатот ќе биде позитивен.

Но, негативните се малку поинтересни. Се сеќаваме на едноставното правило од 6-то одделение: „минус за минус дава плус“. Тоа е, или. Но, ако се помножиме со, тоа функционира.

Одредете сами каков знак ќе имаат следните изрази:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Дали се снајде?

Еве ги одговорите: Во првите четири примери, се надевам дека сè е јасно? Едноставно ги гледаме основата и експонентот и го применуваме соодветното правило.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Во примерот 5) сè исто така не е толку страшно како што изгледа: на крајот на краиштата, не е важно на што е еднаква основата - степенот е рамномерен, што значи дека резултатот секогаш ќе биде позитивен.

Па, освен кога основата е нула. Основата не е еднаква, нели? Очигледно не, бидејќи (бидејќи).

Пример 6) веќе не е толку едноставен!

6 примери за вежбање

Анализа на решението 6 примери

Ако ја игнорираме осмата сила, што гледаме овде? Да се ​​потсетиме на програмата за 7-мо одделение. Па, се сеќаваш ли? Ова е формулата за скратено множење, имено разликата на квадратите! Добиваме:

Ајде внимателно да го разгледаме именителот. Изгледа многу како еден од факторите за броење, но што не е во ред? Редоследот на термините е погрешен. Ако тие беа обратни, правилото може да важи.

Но, како да се направи тоа? Излегува дека е многу лесно: парниот степен на именителот ни помага овде.

Магично термините ги сменија местата. Овој „феномен“ се однесува на кој било израз до рамномерен степен: лесно можеме да ги смениме знаците во загради.

Но, важно е да се запамети: сите знаци се менуваат во исто време!

Да се ​​вратиме на примерот:

И повторно формулата:

Целиги нарекуваме природните броеви, нивните спротивности (односно земени со знакот „“) и бројот.

позитивен цел број, и не се разликува од природното, тогаш сè изгледа токму како во претходниот дел.

Сега да ги погледнеме новите случаи. Да почнеме со индикатор еднаков на.

Секој број со нулта моќност е еднаков на еден:

Како и секогаш, да се запрашаме: зошто е тоа така?

Ајде да разгледаме одреден степен со основа. Земете, на пример, и множете се со:

Значи, го помноживме бројот со, и го добивме истото како што беше - . Со кој број треба да се помножи за ништо да не се промени? Така е, на. Средства.

Можеме да го сториме истото со произволен број:

Да го повториме правилото:

Секој број со нулта моќност е еднаков на еден.

Но, постојат исклучоци од многу правила. И тука е исто така - ова е број (како основа).

Од една страна, мора да биде еднаков на кој било степен - колку и да помножите нула само по себе, сепак ќе добиете нула, ова е јасно. Но, од друга страна, како и секој број со нулта моќност, тој мора да биде еднаков. Значи, колку од ова е вистина? Математичарите решија да не се мешаат и одбија да ја подигнат нулата на нулта моќност. Тоа е, сега не само што не можеме да делиме со нула, туку и да ја подигнеме на нулта моќност.

Ајде да продолжиме. Покрај природните броеви и броеви, цели броеви вклучуваат и негативни броеви. За да разбереме што е негативен степен, да сториме како минатиот пат: помножете некој нормален број со истиот негативен степен:

Оттука е лесно да се изрази она што го барате:

Сега да го прошириме добиеното правило до произволен степен:

Значи, ајде да формулираме правило:

Број на негативна моќност е реципроцитет на истиот број до позитивен степен. Но во исто време Основата не може да биде нула:(бидејќи не можете да делите со).

Да резимираме:

I. Изразот не е дефиниран во случајот. Ако тогаш.

II. Секој број со нулта моќност е еднаков на еден: .

III. Број кој не е еднаков на нула на негативна моќност е инверзна на истиот број на позитивна моќност: .

Задачи за независно решение:

Па, како и обично, примери за независни решенија:

Анализа на проблеми за независно решение:

Знам, знам, бројките се страшни, но на обединет државен испит треба да бидете подготвени на се! Решете ги овие примери или анализирајте ги нивните решенија ако не сте можеле да ги решите и ќе научите лесно да се справувате со нив на испитот!

Ајде да продолжиме да го шириме опсегот на броеви „погодни“ како експонент.

Сега да размислиме рационални броеви.Кои броеви се нарекуваат рационални?

Одговор: се што може да се претстави како дропка, каде и се цели броеви, и.

Да се ​​разбере што е тоа "фракционо степен", разгледајте ја дропката:

Ајде да ги подигнеме двете страни на равенката на моќност:

Сега да се потсетиме на правилото за "степен до степен":

Која бројка мора да се подигне на моќ за да се добие?

Оваа формулација е дефиниција за коренот на тиот степен.

Дозволете ми да ве потсетам: коренот на та сила на број () е број што, кога ќе се подигне на моќ, е еднаков на.

Односно, коренот на та моќ е инверзната операција на подигање до моќност: .

Излегува дека. Очигледно ова посебен случајможе да се прошири: .

Сега го додаваме броителот: што е тоа? Одговорот е лесно да се добие користејќи го правилото моќ-на-моќ:

Но, дали основата може да биде кој било број? На крајот на краиштата, коренот не може да се извлече од сите броеви.

Никој!

Да се ​​потсетиме на правилото: секој број подигнат до парен број е позитивен број. Тоа е, невозможно е да се извлечат дури и корени од негативни броеви!

Тоа значи дека таквите бројки не можат да се подигнат на фракциона моќсо парен именител, односно изразот нема смисла.

Што е со изразот?

Но, тука се појавува проблем.

Бројот може да се претстави во форма на други, скратливи фракции, на пример, или.

И излегува дека постои, но не постои, но ова се само два различни записи со ист број.

Или друг пример: еднаш, тогаш можете да го запишете. Но, ако го запишеме индикаторот поинаку, повторно ќе влеземе во неволја: (односно, добивме сосема поинаков резултат!).

За да избегнеме такви парадокси, размислуваме само позитивен базен експонент со дробен експонент.

Па ако:

• - природен број;
• - цел број;

Примери:

Рационалните експоненти се многу корисни за трансформација на изрази со корени, на пример:

5 примери за вежбање

Анализа на 5 примери за обука

Па, сега доаѓа најтешкиот дел. Сега ќе го сфатиме степен со ирационален експонент.

Сите правила и својства на степените овде се сосема исти како за степен со рационален експонент, со исклучок

На крајот на краиштата, по дефиниција, ирационалните броеви се броеви кои не можат да се претстават како дропка, каде што и се цели броеви (односно, ирационалните броеви се сите реални броеви освен рационалните).

Кога студиравме степени со природни, целобројни и рационални експоненти, секој пат кога создававме одредена „слика“, „аналогија“ или опис со попознати термини.

На пример, степен со природен експонент е број помножен со себе неколку пати;

...број до нултата моќност- ова е, како што беше, број помножен сам по себе еднаш, односно тие сè уште не почнале да го множат, што значи дека самиот број сè уште не се ни појавил - затоа резултатот е само одреден „празен број“ , имено број;

...негативен цел број- како да се случил некој „обратен процес“, односно бројот не се множел сам по себе, туку се делел.

Патем, во науката често се користи степен со сложен експонент, односно експонентот не е ни реален број.

Но, на училиште не размислуваме за такви тешкотии; ќе имате можност да ги разберете овие нови концепти на институтот.

КАДЕ СМЕ СИГУРНИ ДЕКА ЌЕ ОДИШ! (ако научиш да решаваш вакви примери :))

На пример:

Одлучете сами:

Анализа на решенија:

1. Да почнеме со вообичаеното правило за подигање на моќ на моќ:

Сега погледнете го индикаторот. Не те потсетува на ништо? Да се ​​потсетиме на формулата за скратено множење на разликата на квадратите:

Во овој случај,

Излегува дека:

Одговор: .

2. Ги намалуваме дропките во експоненти на истиот изглед: или двете децимали или обете правилни. Добиваме, на пример:

Одговор: 16

3. Ништо посебно, ајде да го искористиме нормални својствастепени:

НАПРЕДНО НИВО

Одредување на степен

Степенот е израз на формата: , каде што:

• — степен база;
• - експонент.

Степен со природен индикатор (n = 1, 2, 3,...)

Подигнувањето на број до природната моќност n значи множење на бројот сам по себе пати:

Степен со цел број експонент (0, ±1, ±2,...)

Ако експонентот е позитивен цел бројброј:

Градба до нулта степен:

Изразот е неопределен, затоа што, од една страна, до кој било степен е ова, а од друга страна, кој било број до ти степен е ова.

Ако експонентот е негативен цел бројброј:

(бидејќи не можете да делите со).

Уште еднаш за нули: изразот не е дефиниран во случајот. Ако тогаш.

Примери:

Моќ со рационален експонент

• - природен број;
• - цел број;

Примери:

Својства на степени

За да го олесниме решавањето на проблемите, ајде да се обидеме да разбереме: од каде потекнуваат овие својства? Да ги докажеме.

Ајде да видиме: што е и?

А-приоритет:

Значи, на десната страна на овој израз го добиваме следниот производ:

Но по дефиниција тоа е моќ на број со експонент, односно:

Q.E.D.

Пример : Поедноставете го изразот.

Решение : .

Пример : Поедноставете го изразот.

Решение : Важно е да се напомене дека во нашето владеење Задолжителномора да има исти причини. Затоа, ги комбинираме моќите со основата, но таа останува посебен фактор:

Друга важна забелешка: ова правило - само за производ на моќи!

Во никој случај не можете да го напишете тоа.

Исто како и со претходното својство, да се свртиме кон дефиницијата за степен:

Ајде да ја прегрупираме оваа работа вака:

Излегува дека изразот се множи сам по себе пати, односно, според дефиницијата, ова е та сила на бројот:

Во суштина, ова може да се нарече „вадење на индикаторот од загради“. Но, никогаш не можете да го направите ова вкупно: !

Да се ​​потсетиме на скратените формули за множење: колку пати сакавме да пишуваме? Но, сепак, ова не е вистина.

Моќ со негативна основа.

До овој момент разговаравме само како треба да биде индексстепени. Но, што треба да биде основата? Во овластувањата на природно индикатор основата може да биде кој било број .

Навистина, можеме да ги помножиме сите броеви еден со друг, без разлика дали се позитивни, негативни или парни. Ајде да размислиме кои знаци ("" или "") ќе имаат степени на позитивни и негативни броеви?

На пример, дали бројот е позитивен или негативен? А? ?

Со првиот, сè е јасно: без разлика колку позитивни броеви ќе помножиме еден со друг, резултатот ќе биде позитивен.

Но, негативните се малку поинтересни. Се сеќаваме на едноставното правило од 6-то одделение: „минус за минус дава плус“. Тоа е, или. Но, ако се помножиме со (), добиваме - .

И така натаму бесконечно: со секое следно множење знакот ќе се менува. Можеме да го формулираме следново едноставни правила:

1. дуристепен, - број позитивен.
2. Негативен број, вграден чудностепен, - број негативен.
3. Позитивен бројдо кој било степен е позитивен број.
4. Нула на која било моќност е еднаква на нула.

Одредете сами каков знак ќе имаат следните изрази:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Дали се снајде? Еве ги одговорите:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Во првите четири примери, се надевам дека сè е јасно? Едноставно ги гледаме основата и експонентот и го применуваме соодветното правило.

Во примерот 5) сè исто така не е толку страшно како што изгледа: на крајот на краиштата, не е важно на што е еднаква основата - степенот е рамномерен, што значи дека резултатот секогаш ќе биде позитивен. Па, освен кога основата е нула. Основата не е еднаква, нели? Очигледно не, бидејќи (бидејќи).

Пример 6) веќе не е толку едноставен. Овде треба да откриете што е помалку: или? Ако се потсетиме на тоа, станува јасно дека, а со тоа и основата помалку од нула. Тоа е, го применуваме правилото 2: резултатот ќе биде негативен.

И повторно ја користиме дефиницијата за степен:

Сè е како и обично - ја запишуваме дефиницијата за степени и ги делиме еден со друг, ги делиме во парови и добиваме:

Пред да го разгледаме последното правило, да решиме неколку примери.

Пресметајте ги изразите:

Решенија :

Ако ја игнорираме осмата сила, што гледаме овде? Да се ​​потсетиме на програмата за 7-мо одделение. Па, се сеќаваш ли? Ова е формулата за скратено множење, имено разликата на квадратите!

Добиваме:

Ајде внимателно да го разгледаме именителот. Изгледа многу како еден од факторите за броење, но што не е во ред? Редоследот на термините е погрешен. Ако тие беа обратни, може да се примени правилото 3. Но, како? Излегува дека е многу лесно: парниот степен на именителот ни помага овде.

Ако го помножиш со, ништо не се менува, нели? Но, сега излегува вака:

Магично термините ги сменија местата. Овој „феномен“ се однесува на кој било израз до рамномерен степен: лесно можеме да ги смениме знаците во загради. Но, важно е да се запамети: Сите знаци се менуваат во исто време!Не можете да го замените со менување само на еден недостаток што не ни се допаѓа!

Да се ​​вратиме на примерот:

И повторно формулата:

Па сега последното правило:

Како ќе докажеме? Се разбира, како и обично: да го прошириме концептот на степен и да го поедноставиме:

Па, сега да ги отвориме заградите. Колку букви има вкупно? пати по множители - на што ве потсетува ова? Ова не е ништо повеќе од дефиниција за операција множење: Таму имаше само множители. Тоа е, ова, по дефиниција, е моќ на број со експонент:

Пример:

Степен со ирационален експонент

Покрај информациите за степените за просечното ниво, степенот ќе го анализираме со ирационален експонент. Сите правила и својства на степените овде се сосема исти како и за степен со рационален експонент, со исклучок - на крајот на краиштата, по дефиниција, ирационалните броеви се броеви што не можат да се претстават како дропка, каде што и се цели броеви (т.е. , ирационалните броеви се сите реални броеви освен рационалните броеви).

Кога студиравме степени со природни, целобројни и рационални експоненти, секој пат кога создававме одредена „слика“, „аналогија“ или опис со попознати термини. На пример, степен со природен експонент е број помножен со себе неколку пати; број до нулта моќ е, како што беше, број помножен сам по себе еднаш, односно сè уште не почнале да го множат, што значи дека самиот број сè уште не се ни појавил - затоа резултатот е само одреден „празен број“, имено број; степен со цел број негативен експонент - како да се случил некој „обратен процес“, односно бројот не се множел сам по себе, туку се делел.

Исклучително е тешко да се замисли степен со ирационален експонент (исто како што е тешко да се замисли 4-димензионален простор). Тоа е прилично чисто математички објект што математичарите го создадоа за да го прошират концептот на степен на целиот простор на броеви.

Патем, во науката често се користи степен со сложен експонент, односно експонентот не е ни реален број. Но, на училиште не размислуваме за такви тешкотии; ќе имате можност да ги разберете овие нови концепти на институтот.

Значи, што правиме ако видиме ирационален експонент? Се трудиме да се ослободиме од него! :)

На пример:

Одлучете сами:

1)

2)

3)

Одговори:

1. Да се ​​потсетиме на формулата за разлика во квадратите. Одговор:.
2. Ги сведуваме дропките на иста форма: или двете децимали или обичните. Добиваме, на пример: .
3. Ништо посебно, ги користиме вообичаените својства на степените:

РЕЗИМЕ НА ДЕЛ И ОСНОВНИ ФОРМУЛИ

Степеннаречен израз на формата: , каде што:

Степен со цел број експонент

степен чиј експонент е природен број (т.е. цел број и позитивен).

Моќ со рационален експонент

степен, чиј експонент е негативни и дробни броеви.

Степен со ирационален експонент

степен чиј експонент е бесконечна децимална дропка или корен.

Својства на степени

Карактеристики на степени.

• Негативниот број е зголемен на дуристепен, - број позитивен.
• Негативниот број е зголемен на чудностепен, - број негативен.
• Позитивен број до кој било степен е позитивен број.
• Нулата е еднаква на која било моќност.
• Секој број на нулта моќност е еднаков.

СЕГА ГО ИМАШ ЗБОРОТ...

Како ви се допаѓа статијата? Напишете подолу во коментар дали ви се допадна или не.

Кажете ни за вашето искуство со користење на својствата на степенот.

Можеби имате прашања. Или предлози.

Напишете во коментарите.

И со среќа на вашите испити!

СТЕПЕН В РАЦИОНАЛЕН ИНДИКАТОР,

ФУНКЦИЈА НА ЕНЕРГИЈА IV

§ 71. Сили со нула и негативни показатели

Во § 69 докажавме (види теорема 2) дека за t > стр

(а =/= 0)

Сосема е природно да се сака да се прошири оваа формула во случајот кога Т < П . Но, тогаш бројот т - стр ќе биде или негативен или еднаков на нула. А. Досега зборувавме само за степени со природни експоненти. Така, се соочуваме со потребата да се воведат дипломи реални броевисо нула и негативни показатели.

Дефиниција 1. Било кој број А , не е еднаква на нула, на нулта моќност еднаква на една, односно кога А =/= 0

А 0 = 1. (1)

На пример, (-13,7) 0 = 1; π 0 = 1; (√2 ) 0 = 1. Бројот 0 нема нулта степен, односно изразот 0 0 не е дефиниран.

Дефиниција 2. Ако А=/= 0 и Пе природен број, тогаш

А - n = 1 /а n (2)

тоа е моќта на кој било број што не е еднаква на нула со негативен цел број експонент е еднаква на дропка чиј броител е еден, а именителот е моќ на истиот број a, но со експонент спротивен на оној на дадената моќност .

На пример,

Прифаќајќи ги овие дефиниции може да се докаже дека кога а =/= 0, формула

точно за сите природни броеви Т И n , и не само за t > стр . За да го докажеме тоа, доволно е да се ограничиме на разгледување на два случаи: t = n И Т< .п , од случајот m > n веќе дискутирано во § 69.

Нека t = n ; Потоа . Средства, лева странаеднаквоста (3) е еднаква на 1. Десната страна на t = n станува

А m - n = А n - n = А 0 .

Но по дефиниција А 0 = 1. Така, десната страна на еднаквоста (3) е исто така еднаква на 1. Затоа, кога t = n формулата (3) е точна.

Сега да претпоставиме дека Т< п . Поделете ги броителот и именителот на дропката со А м , добиваме:

Бидејќи n > t , Тоа . Затоа . Користејќи ја дефиницијата за моќ со негативен експонент, можеме да напишеме .

Значи, кога , што требаше да се докаже. Формулата (3) сега е докажана за сите природни броеви Т И П .

Коментар. Негативните експоненти ви дозволуваат да пишувате дропки без именители. На пример,

1 / 3 = 3 - 1 ; 2 / 5 = 2 5 - 1 ; воопшто, а / б = а б - 1

Сепак, не треба да мислите дека со оваа нотација, дропките се претвораат во цели броеви. На пример, 3 - 1 е иста дропка како 1/3, 2 5 - 1 е иста дропка како 2/5, итн.

Вежби

529. Пресметај:

530. Запиши дропка без именители:

1) 1 / 8 , 2) 1 / 625 ; 3) 10 / 17 ; 4) - 2 / 3

531. Податоци децималипишувајте како цели броеви користејќи негативни експоненти:

1) 0,01; 3) -0,00033; 5) -7,125;

2) 0,65; 4) -0,5; 6) 75,75.

3) - 33 10 - 5