Што треба да знаете за иконите за нееднаквост? Нееднаквости со икона повеќе (> ), или помалку (< ) се нарекуваат строг.Со икони повеќе или еднакви (≥ ), помалку или еднакви (≤ ) се нарекуваат не строг.Икона не еднакви (≠ ) се издвојува, но исто така мора постојано да решавате примери со оваа икона. И ние ќе одлучиме.)
Самата икона нема големо влијание врз процесот на решавање. Но, на крајот на одлуката, при изборот на конечниот одговор, значењето на иконата се појавува во полна сила! Ова е она што ќе го видиме подолу во примери. Има некои шеги таму...
Нееднаквостите, како и еднаквостите, постојат верен и неверен.Сè е едноставно овде, без трикови. Да речеме 5 > 2 е вистинска нееднаквост. 5 < 2 - неточно.
Оваа подготовка работи за нееднаквости секаков види едноставно до ужас.) Треба само правилно да извршите две (само две!) елементарни дејства. Овие акции се познати на сите. Но, карактеристично, грешките во овие дејствија се главната грешка во решавањето на нееднаквостите, да... Затоа, овие постапки мора да се повторат. Овие дејства се нарекуваат на следниов начин:
Идентични трансформации на нееднаквости.
Идентичните трансформации на неравенки се многу слични на идентичните трансформации на равенките. Всушност, ова е главниот проблем. Разликите ти одат преку глава и... еве ти.) Затоа, особено ќе ги истакнам овие разлики. Значи, првата идентична трансформација на неравенки:
1. Истиот број или израз може да се додаде (одземе) на двете страни на неравенката. Било кој. Ова нема да го промени знакот за нееднаквост.
Во пракса, ова правило се користи како пренос на поими од левата страна на нееднаквоста надесно (и обратно) со промена на знакот. Со промена на знакот на поимот, а не нееднаквоста! Правилото еден на еден е исто како и правилото за равенките. Но, следните идентични трансформации во неравенките значително се разликуваат од оние во равенките. Затоа ги истакнувам во црвено:
2. Двете страни на неравенката може да се помножат (поделат) со иста работапозитивенброј. За сепозитивен Нема да се промени.
3. Двете страни на неравенката може да се помножат (поделат) со иста работанегативенброј. За сенегативенброј. Знакот за нееднаквост од оваќе се промени во спротивното.
Се сеќавате (се надевам...) дека равенката може да се помножи/подели со било што. И за кој било број, и за израз со X. Само да не беше нула. Ова го прави, равенката, ниту топла ниту ладна.) Не се менува. Но, неравенките се почувствителни на множење/делење.
Добар примерза долга меморија. Ајде да напишеме нееднаквост што не предизвикува сомнежи:
5 > 2
Помножете ги двете страни со +3, добиваме:
15 > 6
Некој приговор? Нема забелешки.) И ако ги помножиме двете страни на првобитната неравенка со -3, добиваме:
15 > -6
И ова е чиста лага.) Целосна лага! Измама на народот! Но, штом ќе го смените знакот за нееднаквост во спротивен, сè си доаѓа на свое место:
15 < -6
Јас не се колнам само за лаги и измами.) „Заборавив да го сменам знакот за еднаквост...“- Ова домагрешка при решавање на неравенки. Ова тривијално и едноставно правило повреди толку многу луѓе! Која ја заборавија...) Па се колнам. Можеби ќе се сетам...)
Особено внимателните луѓе ќе забележат дека нееднаквоста не може да се помножи со израз со X. Почит до оние кои се внимателни!) Зошто да не? Одговорот е едноставен. Не го знаеме знакот на овој израз со X. Може да биде позитивен, негативен... Затоа, не знаеме кој знак за неравенство да го ставиме по множењето. Дали да го сменам или не? Непознат. Се разбира, ова ограничување (забраната за множење/делење на неравенство со израз со x) може да се заобиколи. Ако навистина ви треба. Но, ова е тема за други лекции.
Тоа се сите идентични трансформации на нееднаквости. Да ве потсетам уште еднаш дека работат за било којнееднаквости Сега можете да преминете на одредени типови.
Линеарни неравенки. Решение, примери.
Линеарни неравенки се неравенки во кои x е во првата сила и нема делење со x. Тип:
x+3 > 5x-5
Како се решаваат ваквите нееднаквости? Тие се многу лесни за решавање! Имено: со помош на ја намалуваме најзбунувачката линеарна нееднаквост директно на одговорот.Тоа е решението. Ќе ги истакнам главните точки на одлуката. За да избегнете глупави грешки.)
Ајде да ја решиме оваа нееднаквост:
x+3 > 5x-5
Го решаваме токму на ист начин како линеарна равенка. Со единствена разлика:
Ние внимателно следиме знак за нееднаквост!
Првиот чекор е најчестиот. Со X - лево, без X - десно... Ова е првата идентична трансформација, едноставна и без проблеми.) Само не заборавајте да ги промените знаците на пренесените термини.
Знакот за нееднаквост останува:
x-5x > -5-3
Еве слични.
Знакот за нееднаквост останува:
4x > -8
Останува да се примени последната идентична трансформација: поделете ги двете страни со -4.
Поделете по негативенброј.
Знакот за нееднаквост ќе се промени во спротивното:
X < 2
Ова е одговорот.
Така се решаваат сите линеарни неравенки.
Внимание! Точката 2 е нацртана бела, т.е. необоени. Празна внатре. Тоа значи дека таа не е вклучена во одговорот! Намерно ја нацртав толку здрава. Таквата точка (празна, не здрава!)) во математиката се нарекува дупната точка.
Останатите броеви на оската може да се означат, но не се потребни. Надворешните броеви кои не се поврзани со нашата нееднаквост можат да бидат збунувачки, да... Треба само да запомните дека бројките се зголемуваат во насока на стрелката, т.е. броеви 3, 4, 5, итн. се на десносе два, а броевите се 1, 0, -1 итн. - на лево.
Неравенство x < 2 - строг. X е строго помалку од два. Ако се сомневате, проверката е едноставна. Сомнителниот број го заменуваме со неравенка и мислиме: „Два е помалку од два? Не, се разбира!“ Точно. Нееднаквост 2 < 2 погрешно.Двајца за возврат не се соодветни.
Дали е еден во ред? Секако. Помалку... И нулата е добра, и -17, и 0,34... Да, сите броеви што се помали од два се добри! Па дури и 1,9999.... Барем малку, но помалку!
Значи, да ги означиме сите овие броеви на бројната оска. Како? Овде има опции. Опција една е засенчување. Го поместуваме глувчето над сликата (или ја допираме сликата на таблетот) и гледаме дека областа на сите x што го исполнуваат условот x е засенчена < 2 . Тоа е се.
Ајде да ја погледнеме втората опција користејќи го вториот пример:
X ≥ -0,5
Нацртајте оска и означете го бројот -0,5. Како ова:
Забележете ја разликата?) Па, да, тешко е да не се забележи... Оваа точка е црна! Насликано. Ова значи -0,5 е вклучен во одговорот.Тука, патем, верификацијата може да збуни некого. Ајде да замениме:
-0,5 ≥ -0,5
Како тоа? -0,5 не е повеќе од -0,5! И има уште икона...
Во ред е. Во слаба нееднаквост, сè што одговара на иконата е погодно. И еднаквидобро, и повеќедобро. Затоа, -0,5 е вклучено во одговорот.
Значи, означивме -0,5 на оската, останува да ги означиме сите броеви кои се поголеми од -0,5. Овој пат ја означувам областа на соодветни x вредности лак(од зборот лак), наместо засенчување. Ние лебдиме со курсорот над цртежот и го гледаме овој лак.
Нема посебна разлика помеѓу засенчувањето и краците. Прави како што вели наставникот. Ако нема учител, нацртајте лакови. Во посложени задачи, засенчувањето е помалку очигледно. Може да се збуните.
Вака се цртаат линеарни неравенки на оска. Да преминеме на следната карактеристика на неравенките.
Пишување на одговорот за неравенки.
Равенките беа добри.) Го најдовме x и го запишавме одговорот, на пример: x=3. Постојат две форми на пишување одговори во неравенки. Едната е во форма на конечна нееднаквост. добро за едноставни случаи. На пример:
X< 2.
Ова е целосен одговор.
Понекогаш треба да го запишете истото, но во различна форма, во нумерички интервали. Тогаш снимката почнува да изгледа многу научно):
x ∈ (-∞; 2)
Под иконата ∈ зборот е скриен „припаѓа“.
Влезот гласи вака: x припаѓа на интервалот од минус бесконечност до два не вклучувајќи. Сосема логично. X може да биде кој било број од сите можни броеви од минус бесконечност до два. Не може да има двоен Х, што ни кажува зборот „не вклучувајќи“.
А каде во одговорот е јасно тоа "не вклучувајќи"? Овој факт е забележан во одговорот кругзаграда веднаш по двете. Ако беа вклучени двете, заградата ќе беше квадрат.Еве го:]. Следниот пример користи таква заграда.
Да го запишеме одговорот: x ≥ -0,5 во интервали:
x ∈ [-0,5; +∞)
Се чита: x припаѓа на интервалот од минус 0,5, вклучувајќи,до плус бесконечност.
Бесконечноста никогаш не може да се вклучи. Тоа не е број, тоа е симбол. Затоа, во таквите ознаки, бесконечноста е секогаш во непосредна близина на заградата.
Оваа форма на снимање е погодна за сложени одговори кои се состојат од неколку празни места. Но - само за конечни одговори. Во средните резултати, каде што се очекува понатамошно решение, подобро е да се користи вообичаената форма, во форма на едноставна нееднаквост. Со ова ќе се занимаваме во соодветните теми.
Популарни задачи со нееднаквости.
Самите линеарни неравенки се едноставни. Затоа, задачите често стануваат потешки. Затоа беше потребно да се размислува. Ова, ако не сте навикнати, не е многу пријатно.) Но, корисно е. Ќе покажам примери за такви задачи. Не за да ги научиш, тоа е непотребно. И за да не се плашиме кога се среќаваме со такви примери. Само размислете малку - и тоа е едноставно!)
1. Најдете кои било две решенија за неравенството 3x - 3< 0
Ако не е многу јасно што да правите, запомнете го главното правило на математиката:
Ако не знаете што ви треба, направете што можете!)
X < 1
И што? Ништо посебно. Што нè прашуваат? Од нас се бара да најдеме два конкретни бројки кои се решение за неравенство. Оние. одговара на одговорот. Две било којброеви. Всушност, ова е збунувачки.) Погодни се неколку 0 и 0,5. Пар -3 и -8. Овие парови ги има бесконечен број! Кој одговор е точен?!
Јас одговарам: сè! Секој пар на броеви, од кои секој е помал од еден, ќе биде точниот одговор.Напишете кој сакате. Ајде да продолжиме.
2. Решете ја неравенката:
4x - 3 ≠ 0
Задачите во оваа форма се ретки. Но, како помошни неравенки, при наоѓање на ODZ, на пример, или при наоѓање на доменот на дефинирање на функцијата, тие се појавуваат постојано. Ваквата линеарна неравенка може да се реши како обична линеарна равенка. Само секаде освен знакот „=" ( еднакви) стави знак“ ≠ " (не еднакви). Вака му пристапувате на одговорот, со знак за нееднаквост:
X ≠ 0,75
Во посложени примери, подобро е работите да се прават поинаку. Направете нееднаквост од еднаквост. Како ова:
4x - 3 = 0
Смирено решете го како што е научено и добијте го одговорот:
x = 0,75
Главната работа е, на самиот крај, при запишување на конечниот одговор, не заборавајте дека најдовме x, што дава еднаквост.И ни треба - нееднаквост.Затоа, овој X навистина не ни треба.) И треба да го запишеме со точниот симбол:
X ≠ 0,75
Со овој пристап излегува помалку грешки. Оние кои автоматски решаваат равенки. И за оние кои не решаваат равенки, неравенките, всушност, немаат никаква корист...) Друг пример за популарна задача:
3. Најдете го најмалиот целоброен решение за неравенството:
3 (x - 1) < 5x + 9
Прво едноставно ја решаваме нееднаквоста. Ги отвораме заградите, ги поместуваме, носиме слични... Добиваме:
X > - 6
Зарем не испадна така!? Дали ги следевте знаците!? И зад знаците на членовите, и зад знакот на нееднаквоста...
Ајде да размислиме повторно. Треба да најдеме конкретен број што одговара и на одговорот и на условот „најмал цел број“.Ако не ви се појави веднаш, можете само да земете кој било број и да го сфатите. Два над минус шест? Секако! Дали има соодветен помал број? Секако. На пример, нулата е поголема од -6. А уште помалку? Ни треба најмалата можна работа! Минус три е повеќе од минус шест! Веќе можете да го фатите шаблонот и да престанете глупаво да поминувате низ бројките, нели?)
Да земеме број поблиску до -6. На пример, -5. Одговорот е исполнет, -5 > - 6. Дали е можно да се најде друг број помал од -5, но поголем од -6? Можеш, на пример, -5,5... Стоп! Ни е кажано целинарешение! Не се тркала -5,5! Што е со минус шест? Ух-ух! Нееднаквоста е строга, минус 6 во никој случај не е помал од минус 6!
Затоа, точниот одговор е -5.
Се надеваме дека со избор на вредности од општо решениесе е чисто. Друг пример:
4. Решете ја нееднаквоста:
7 < 3x+1 < 13
Леле! Овој израз се нарекува тројна нееднаквост.Строго кажано, ова е скратена форма на систем на нееднаквости. Но, таквите тројни неравенки сепак треба да се решат во некои задачи... Тоа може да се реши без никакви системи. Според истите идентични трансформации.
Треба да поедноставиме, да ја доведеме оваа нееднаквост до чисто Х. Но... Што да се помести каде?! Ова е местото каде што е време да се потсетиме дека е движењето лево и десно Кратка формапрвата трансформација на идентитетот.
А Цела формазвучи вака: Секој број или израз може да се додаде/одземе на двете страни на равенката (неравенство).
Тука има три дела. Така ќе примениме идентични трансформации на сите три дела!
Значи, да се ослободиме од оној во средишниот дел на нееднаквоста. Да одземеме еден од целиот среден дел. За да не се промени неравенството, од преостанатите два дела одземаме еден. Како ова:
7 -1< 3x+1-1 < 13-1
6 < 3x < 12
Тоа е подобро, нели?) Останува само да се поделат сите три дела на три:
2 < X < 4
Тоа е се. Ова е одговорот. X може да биде кој било број од два (не вклучува) до четири (не вклучува). Овој одговор исто така се пишува во интервали; таквите записи ќе бидат во квадратни неравенки. Таму тие се најчестата работа.
На крајот од лекцијата ќе го повторам најважното нешто. Успехот во решавањето на линеарни неравенки зависи од способноста да се трансформираат и поедностават линеарните равенки. Ако во исто време внимавајте на знакот за нееднаквост,нема да има никакви проблеми. Тоа ти посакувам. Нема проблеми.)
Доколку ви се допаѓа оваа страница...
Патем, имам уште неколку интересни страници за вас.)
Можете да вежбате да решавате примери и да го дознаете вашето ниво. Тестирање со инстант верификација. Ајде да научиме - со интерес!)
Можете да се запознаете со функции и деривати.
Научивме за неравенки на училиште, каде користиме нумерички неравенки. Во оваа статија ќе ги разгледаме својствата на нумеричките неравенки, од кои се изградени принципите на работа со нив.
Својствата на неравенките се слични на својствата на нумеричките неравенки. Ќе се разгледаат својствата, неговата оправданост и ќе се дадат примери.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Нумерички неравенки: дефиниција, примери
При воведувањето на концептот на неравенки имаме дека нивната дефиниција е направена според видот на записот. Постојат алгебарски изрази кои имаат знаци ≠,< , >, ≤ , ≥ . Ајде да дадеме дефиниција.
Дефиниција 1
Нумеричка неравенканаречена неравенка во која двете страни имаат броеви и нумерички изрази.
Ги разгледуваме нумеричките неравенки во училиште по проучувањето на природните броеви. Ваквите споредбени операции се проучуваат чекор по чекор. Првичните изгледаат како 1< 5 , 5 + 7 >3. По што правилата се дополнуваат, а неравенките стануваат покомплицирани, тогаш добиваме неравенки од формата 5 2 3 > 5, 1 (2), ln 0. 73 - 17 2< 0 .
Својства на нумеричките неравенки
За да работите правилно со неравенки, мора да ги користите својствата на нумеричките неравенки. Тие доаѓаат од концептот на нееднаквост. Овој концепт е дефиниран со помош на изјава, која е означена како „повеќе“ или „помалку“.
Дефиниција 2
- бројот a е поголем од b кога разликата a - b – позитивен број;
- бројот a е помал од b кога разликата a - b – негативен број;
- бројот a е еднаков на b кога разликата a - b е нула.
Дефиницијата се користи кога се решаваат нееднаквости со односите „помалку или еднакво на“, „поголемо или еднакво на“. Го добиваме тоа
Дефиниција 3
- a е поголем или еднаков на b кога a - b е ненегативен број;
- a е помал или еднаков на b кога a - b е непозитивен број.
Дефинициите ќе се користат за докажување на својствата на нумеричките неравенки.
Основни својства
Ајде да погледнеме во 3 главни нееднаквости. Употреба на знаци< и >карактеристика на следниве својства:
Дефиниција 4
- анти-рефлексивност, кој вели дека кој било број a од неравенките a< a и a >а се смета за неточна. Познато е дека за секое a важи еднаквоста a − a = 0, па оттука добиваме дека a = a. Значи а< a и a >а е неточна. На пример, 3< 3 и - 4 14 15 >- 4 14 15 се неточни.
- асиметрија. Кога броевите a и b се такви што a< b , то b >a, и ако a > b, тогаш b< a . Используя определение отношений «больше», «меньше» обоснуем его. Так как в первой части имеем, что a < b , тогда a − b является отрицательным числом. А b − a = − (a − b) положительное число, потому как число противоположно отрицательному числу a − b . Отсюда следует, что b >а. На сличен начин се докажува и вториот дел од него.
Пример 1
На пример, со оглед на нееднаквоста 5< 11 имеем, что 11 >5, што значи дека неговата нумеричка неравенка − 0, 27 > − 1, 3 ќе се препише како − 1, 3< − 0 , 27 .
Пред да преминете на следното својство, забележете дека со помош на асиметрија можете да ја прочитате нееднаквоста од десно кон лево и обратно. На овој начин, нумеричките неравенки може да се модифицираат и заменуваат.
Дефиниција 5
- транзитивност. Кога броевите a, b, c го исполнуваат условот a< b и b < c , тогда a < c , и если a >b и b > c , потоа a > c .
Доказ 1
Првата изјава може да се докаже. Состојба а< b и b < c означает, что a − b и b − c являются отрицательными, а разность а - с представляется в виде (a − b) + (b − c) , что является отрицательным числом, потому как имеем сумму двух отрицательных a − b и b − c . Отсюда получаем, что а - с является отрицательным числом, а значит, что a < c . Что и требовалось доказать.
На сличен начин се докажува и вториот дел со својството транзитивност.
Пример 2
Анализираното својство го разгледуваме користејќи го примерот на неравенки − 1< 5 и 5 < 8 . Отсюда имеем, что − 1 < 8 . Аналогичным образом из неравенств 1 2 >1 8 и 1 8 > 1 32 следува дека 1 2 > 1 32.
Нумеричките неравенки, кои се пишуваат со слаби знаци за неравенство, имаат својство на рефлексивност, бидејќи a ≤ a и a ≥ a може да имаат случај на еднаквост a = a. Тие се карактеризираат со асиметрија и транзитивност.
Дефиниција 6
Неравенките кои ги имаат знаците ≤ и ≥ во нивното пишување ги имаат следните својства:
- рефлексивноста a ≥ a и a ≤ a се сметаат за вистински неравенки;
- антисиметрија, кога a ≤ b, тогаш b ≥ a, и ако a ≥ b, тогаш b ≤ a.
- транзитивност, кога a ≤ b и b ≤ c, тогаш a ≤ c, а исто така, ако a ≥ b и b ≥ c, тогаш a ≥ c.
Доказот се изведува на сличен начин.
Други важни својства на нумеричките неравенки
За дополнување на основните својства на неравенките се користат резултати кои имаат практично значење. Принципот на методот се користи за проценка на вредностите на изразите, на кои се засноваат принципите на решавање на нееднаквости.
Овој параграф ги открива својствата на нееднаквостите за еден знак на строга нееднаквост. Истото се прави и за нестрогите. Ајде да погледнеме пример, формулирајќи ја неравенството ако a< b и c являются любыми числами, то a + c < b + c . Справедливыми окажутся свойства:
- ако a > b, тогаш a + c > b + c;
- ако a ≤ b, тогаш a + c ≤ b + c;
- ако a ≥ b, тогаш a + c ≥ b + c.
За удобна презентација, ја даваме соодветната изјава, која е запишана и дадени докази, прикажани се примери за употреба.
Дефиниција 7
Додавање или пресметување број на двете страни. Со други зборови, кога a и b одговараат на неравенството a< b , тогда для любого такого числа имеет смысл неравенство вида a + c < b + c .
Доказ 2
За да се докаже ова, равенката мора да го задоволува условот a< b . Тогда (a + c) − (b + c) = a + c − b − c = a − b . Из условия a < b получим, что a − b < 0 . Значит, (a + c) − (b + c) < 0 , откуда a + c < b + c . Множество реални броевиможе да се промени со додавање на спротивниот број - с.
Пример 3
На пример, ако ги зголемиме двете страни на неравенката 7 > 3 за 15, тогаш ќе ја добиеме таа 7 + 15 > 3 + 15. Ова е еднакво на 22 > 18.
Дефиниција 8
Кога двете страни на неравенката се помножат или поделат со ист број c, добиваме вистинска неравенка. Ако земете негативен број, знакот ќе се промени во спротивен. Инаку, изгледа вака: за a и b неравенството важи кога a< b и c являются положительными числами, то a· c < b · c , а если v является отрицательным числом, тогда a · c >п.н.е.
Доказ 3
Кога има случај c > 0, потребно е да се конструира разлика помеѓу левата и десната страна на неравенката. Тогаш добиваме дека a · c − b · c = (a − b) · c . Од состојба а< b , то a − b < 0 , а c >0, тогаш производот (a − b) · c ќе биде негативен. Следи дека a · c − b · c< 0 , где a · c < b · c . Другая часть доказывается аналогичным образом.
При докажување, делењето со цел број може да се замени со множење со инверзната на дадената, односно 1 в. Ајде да погледнеме пример за својство на одредени броеви.
Пример 4
Дозволени се двете страни на нееднаквоста 4< 6 умножаем на положительное 0 , 5 , тогда получим неравенство вида − 4 · 0 , 5 < 6 · 0 , 5 , где − 2 < 3 . Когда обе части делим на - 4 , то необходимо изменить знак неравенства на противоположный. отсюда имеем, что неравенство примет вид − 8: (− 4) ≥ 12: (− 4) , где 2 ≥ − 3 .
Сега да ги формулираме следните два резултати, кои се користат за решавање на неравенки:
- Заклучок 1. При промена на знаци на делови нумеричка неравенкасамиот знак за нееднаквост се менува во спротивен, како а< b , как − a >− b . Ова го следи правилото за множење на двете страни со - 1. Тоа е применливо за транзиција. На пример, - 6< − 2 , то 6 > 2 .
- Заклучок 2. При замена на делови од нумеричка неравенка со спротивставени броеви, неговиот знак исто така се менува, а неравенството останува точно. Оттука имаме дека a и b се позитивни броеви, a< b , 1 a >1 б.
Кога се делат двете страни на неравенството a< b разрешается на число a · b . Данное свойство используется при верном неравенстве 5 >3 2 го имаме тоа 1 5< 2 3 . При отрицательных a и b c условием, что a < b , неравенство 1 a >1 b може да биде неточна.
Пример 5
На пример, - 2< 3 , однако, - 1 2 >1 3 се неточна равенка.
Сите точки се обединети со тоа што дејствата на делови од неравенката ја даваат точната неравенка на излезот. Да ги разгледаме својствата каде што првично има неколку нумерички неравенки, а неговиот резултат се добива со собирање или множење на неговите делови.
Дефиниција 9
Кога броевите a, b, c, d важат за неравенки a< b и c < d , тогда верным считается a + c < b + d . Свойство можно формировать таким образом: почленно складывать числа частей неравенства.
Доказ 4
Да докажеме дека (a + c) − (b + d) е негативен број, тогаш добиваме дека a + c< b + d . Из условия имеем, что a < b и c < d . Выше доказанное свойство позволяет прибавлять к обеим частям одинаковое число. Тогда увеличим неравенство a < b на число b , при c < d , получим неравенства вида a + c < b + c и b + c < b + d . Полученное неравенство говорит о том, что ему присуще свойство транзитивности.
Својството се користи за собирање термин по член на три, четири или повеќе нумерички неравенки. Броевите a 1 , a 2 , … , a n и b 1 , b 2 , … , b n ги задоволуваат неравенките a 1< b 1 , a 2 < b 2 , … , a n < b n , можно доказать метод математичка индукција, откако доби 1 + a 2 + … + a n< b 1 + b 2 + … + b n .
Пример 6
На пример, дадени три нумерички неравенки со ист знак - 5< − 2 , − 1 < 12 и 3 < 4 . Свойство позволяет определять то, что − 5 + (− 1) + 3 < − 2 + 12 + 4 является верным.
Дефиниција 10
Поимното множење на двете страни резултира со позитивен број. Кога< b и c < d , где a , b , c и d являются положительными числами, тогда неравенство вида a · c < b · d считается справедливым.
Доказ 5
За да го докажеме ова, потребни ни се двете страни на нееднаквоста a< b умножить на число с, а обе части c < d на b . В итоге получим, что неравенства a · c < b · c и b · c < b · d верные, откуда получим свойство транизитивности a · c < b · d .
Ова својство се смета за валидно за бројот на броеви со кои мора да се помножат двете страни на неравенката. Потоа a 1 , a 2 , ... , a nИ b 1, b 2, …, b nсе позитивни броеви, каде што е 1< b 1 , a 2 < b 2 , … , a n < b n , то a 1 · a 2 · … · a n< b 1 · b 2 · … · b n .
Забележете дека при пишување неравенки има непозитивни броеви, тогаш нивното множење по член води до неточни неравенки.
Пример 7
На пример, нееднаквост 1< 3 и − 5 < − 4 являются верными, а почленное их умножение даст результат в виде 1 · (− 5) < 3 · (− 4) , считается, что − 5 < − 12 это является неверным неравенством.
Последица: Поимно множење на неравенки a< b с положительными с a и b , причем получается a n < b n .
Својства на нумеричките неравенки
Да ги разгледаме следните својства на нумеричките неравенки.
- а< a , a >а - неточни неравенки,
a ≤ a, a ≥ a се вистински неравенки. - Ако< b , то b >а - антисиметрија.
- Ако< b и b < c то a < c - транзитивность.
- Ако< b и c - любоое число, то a + b < b + c .
- Ако< b и c - положительное число, то a · c < b · c ,
Ако< b и c - отрицательное число, то a · c >п.н.е.
Заклучок 1: ако< b , то - a >-б.
Заклучок 2: ако a и b се позитивни броеви и a< b , то 1 a >1 б.
- Ако 1< b 1 , a 2 < b 2 , . . . , a n < b n , то a 1 + a 2 + . . . + a n < b 1 + b 2 + . . . + b n .
- Ако е 1 , а 2 , . . . , a n , b 1 , b 2 , . . . , b n се позитивни броеви и a 1< b 1 , a 2 < b 2 , . . . , a n < b n , то a 1 · a 2 · . . . · a n < b 1 · b 2 · . . . b n .
Заклучок 1: Ако а< b , a И б се позитивни броеви, а потоа a n< b n .
Доколку забележите грешка во текстот, означете ја и притиснете Ctrl+Enter
Неравенките се нарекуваат линеарничија лева и десна страна се линеарни функции во однос на непознатото количество. Тие вклучуваат, на пример, нееднаквости:
2x-1-x+3; 7x0;
5 > 4 - 6x 9- x< x + 5 .
1) Строги нееднаквости: секира +b>0или секира+б<0
2) Нестроги нееднаквости: секира +b≤0или секира+б≫ 0
Ајде да ја анализираме оваа задача. Една од страните на паралелограмот е 7cm. Колку мора да биде должината на другата страна за периметарот на паралелограмот да биде поголем од 44 cm?
Нека биде потребната страна X cm Во овој случај периметарот на паралелограмот ќе биде претставен со (14 + 2x) cm Неравенката 14 + 2x > 44 е математички модел на задачата на периметар на паралелограм. Ако ја замениме променливата во оваа неравенка Xна, на пример, бројот 16, тогаш ја добиваме точната бројна неравенка 14 + 32 > 44. Во овој случај, тие велат дека бројот 16 е решение за неравенката 14 + 2x > 44.
Решавање на нееднаквостанаведете ја вредноста на променливата што ја претвора во вистинска нумеричка неравенка.
Според тоа, секој од броевите е 15,1; 20;73 делува како решение за неравенката 14 + 2x > 44, но бројот 10, на пример, не е негово решение.
Решете ја нееднаквостазначи да се утврдат сите негови решенија или да се докаже дека нема решенија.
Формулацијата на решението на неравенката е слична на формулацијата на коренот на равенката. А сепак не е вообичаено да се означи „коренот на нееднаквоста“.
Својствата на нумеричките еднаквости ни помогнаа да ги решиме равенките. Слично на тоа, својствата на нумеричките неравенки ќе помогнат во решавањето на неравенките.
Кога решаваме равенка, ја менуваме во друга, поедноставна равенка, но еквивалентна на дадената. Одговорот на нееднаквостите се наоѓа на сличен начин. Кога менуваат равенка во еквивалентна равенка, тие ја користат теоремата за пренесување на членовите од едната страна на равенката на спротивната и за множење на двете страни на равенката со ист број што не е нула. При решавање на неравенството постои значајна разликатоа со равенката, која е дека секое решение на равенката може да се провери едноставно со замена во првобитната равенка. Во неравенки, овој метод е отсутен, бидејќи не е можно да се заменат безброј решенија во првобитната неравенка. Затоа, постои важен концепт, овие стрели<=>е знак за еквивалентни, или еквивалентни, трансформации. Трансформацијата се нарекува еквивалент,или еквивалент, доколку не го променат множеството решенија.
Слични правила за решавање на неравенки.
Ако поместиме кој било член од еден дел на неравенката во друг, заменувајќи го неговиот знак со спротивниот, добиваме неравенка еквивалентна на овој.
Ако двете страни на неравенката се помножат (поделат) со ист позитивен број, добиваме неравенка еквивалентна на оваа.
Ако двете страни на неравенката се помножат (поделат) со ист негативен број, заменувајќи го знакот за неравенство со спротивната, добиваме неравенка еквивалентна на дадената.
Користење на овие правилаДа ги пресметаме следните неравенки.
1) Ајде да ја анализираме нееднаквоста 2x - 5 > 9.
Ова линеарна нееднаквост, ќе го најдеме неговото решение и ќе разговараме за основните концепти.
2x - 5 > 9<=>2x>14(5 се пресели во лева странасо спротивен знак), потоа поделивме сè со 2 и имаме x > 7. Дозволете ни да го нацртаме множеството решенија на оската x
Добивме позитивно насочен зрак. Го забележуваме множеството решенија или во форма на нееднаквост x > 7, или во форма на интервалот x(7; ∞). Кое е конкретно решение за оваа нееднаквост? На пример, x = 10е посебно решение за оваа нееднаквост, x = 12- ова е исто така посебно решение за оваа нееднаквост.
Има многу парцијални решенија, но наша задача е да ги најдеме сите решенија. И обично има безброј решенија.
Ајде да го средиме пример 2:
2) Решете ја нееднаквоста 4а - 11 > а + 13.
Ајде да го решиме: Апоместете го на едната страна 11 преместете го на другата страна, добиваме 3а< 24, и в результате после деления обеих частей на 3 неравенството ја има формата а<8 .
4а - 11 > а + 13<=>3а< 24 <=>а< 8 .
Ќе го прикажеме и комплетот а< 8 , но веќе на оската А.
Одговорот или го пишуваме во форма на неравенство a< 8, либо А(-∞;8), 8 не се вклучува.
Одржувањето на вашата приватност е важно за нас. Поради оваа причина, развивме Политика за приватност која опишува како ги користиме и складираме вашите информации. Ве молиме прегледајте ги нашите практики за приватност и кажете ни ако имате какви било прашања.
Собирање и користење на лични информации
Личните информации се однесуваат на податоци што може да се користат за идентификација одредена личностили врска со него.
Може да биде побарано од вас да ги дадете вашите лични податоци во секое време кога ќе не контактирате.
Подолу се дадени неколку примери за типовите на лични информации што можеме да ги собираме и како можеме да ги користиме тие информации.
Кои лични податоци ги собираме:
- Кога поднесувате апликација на страницата, може да собереме различни информации, вклучувајќи го вашето име, телефонски број, адреса Е-поштаитн.
Како ги користиме вашите лични податоци:
- Собрани од нас лични податоцини овозможува да ве контактираме и да ве информираме за уникатни понуди, промоции и други настани и претстојни настани.
- Од време на време, може да ги користиме вашите лични податоци за да испраќаме важни известувања и комуникации.
- Може да користиме и лични информации за внатрешни цели како што се ревизија, анализа на податоци и различни студиисо цел да ги подобриме услугите што ги нудиме и да ви дадеме препораки во врска со нашите услуги.
- Ако учествувате во наградно извлекување, натпревар или слична промоција, ние може да ги користиме информациите што ги давате за администрирање на такви програми.
Откривање на информации на трети страни
Ние не ги откриваме информациите добиени од вас на трети страни.
Исклучоци:
- Доколку е потребно - во согласност со закон, судска постапка, правни постапки и/или врз основа на јавни барања или барања од владини агенциина територијата на Руската Федерација - обелоденете ги вашите лични податоци. Ние, исто така, може да откриеме информации за вас ако утврдиме дека таквото откривање е неопходно или соодветно за безбедност, спроведување на законот или други цели од јавна важност.
- Во случај на реорганизација, спојување или продажба, можеме да ги пренесеме личните информации што ги собираме на соодветната трета страна наследник.
Заштита на лични информации
Преземаме мерки на претпазливост - вклучувајќи административни, технички и физички - за да ги заштитиме вашите лични информации од губење, кражба и злоупотреба, како и од неовластен пристап, откривање, менување и уништување.
Почитување на вашата приватност на ниво на компанија
За да се осигураме дека вашите лични информации се безбедни, ние ги пренесуваме стандардите за приватност и безбедност на нашите вработени и строго ги спроведуваме практиките за приватност.
На пример, неравенката е изразот \(x>5\).
Видови неравенки:
Ако \(a\) и \(b\) се броеви или , тогаш се повикува неравенството нумерички. Тоа е всушност само споредување на два броја. Ваквите нееднаквости се поделени на веренИ неверен.
На пример:
\(-5<2\) - верное числовое неравенство, ведь \(-5\) действительно меньше \(2\);
\(17+3\geq 115\) е неточна нумеричка неравенка, бидејќи \(17+3=20\), а \(20\) е помало од \(115\) (и не поголемо или еднакво на) .
Ако \(a\) и \(b\) се изрази што содржат променлива, тогаш имаме нееднаквост со променлива. Ваквите нееднаквости се поделени на типови во зависност од содржината:
|
\(2x+1\geq4(5-x)\) |
Променлива само до првата моќност |
|||
|
\(3x^2-x+5>0\) |
Има променлива во втората моќност (квадрат), но нема повисоки сили (трета, четврта, итн.) |
|||
|
\(\log_(4)((x+1))<3\) |
||||
|
\(2^(x)\leq8^(5x-2)\) |
Кое е решението за нееднаквоста?
Ако замените број наместо променлива со неравенка, тој ќе се претвори во нумеричка.
Ако дадена вредност за x ја претвори оригиналната неравенка во вистинска нумеричка, тогаш таа се нарекува решение за нееднаквоста. Ако не, тогаш оваа вредност не е решение. И да реши нееднаквост– треба да ги најдете сите негови решенија (или да покажете дека ги нема).
На пример,ако го замениме бројот \(7\) во линеарната неравенка \(x+6>10\), ја добиваме точната бројна неравенка: \(13>10\). И ако го замениме \(2\), ќе има неточна бројна неравенка \(8>10\). Односно, \(7\) е решение за првичната неравенка, но \(2\) не е.
Меѓутоа, неравенката \(x+6>10\) има други решенија. Навистина, ќе ги добиеме точните нумерички неравенки при замена на \(5\), и \(12\), и \(138\)... И како можеме да ги најдеме сите можни решенија? За ова тие користат За нашиот случај имаме:
\(x+6>10\) \(|-6\)
\(x>4\)
Односно, секој број поголем од четири е погоден за нас. Сега треба да го запишете одговорот. Решенијата на неравенките обично се пишуваат нумерички, дополнително означувајќи ги на бројната оска со засенчување. За нашиот случај имаме:
Одговор:
\(x\in(4;+\infty)\)
Кога се менува знакот на нееднаквост?
Постои една голема замка во нееднаквостите во кои студентите навистина „сакаат“ да паднат:
При множење (или делење) на неравенство со негативен број, тој се менува („повеќе“ со „помалку“, „повеќе или еднакво“ со „помалку или еднакво“ и така натаму)
Зошто се случува ова? За да го разбереме ова, да ги погледнеме трансформациите на бројната неравенка \(3>1\). Вистина е, навистина три повеќе од еден. Прво, да се обидеме да го помножиме со кој било позитивен број, на пример, два:
\(3>1\) \(|\cdot2\)
\(6>2\)
Како што можеме да видиме, по множењето неравенството останува точно. И без разлика со кој позитивен број ќе помножиме, секогаш ќе ја добиеме точната неравенка. Сега да се обидеме да помножиме со негативен број, на пример, минус три:
\(3>1\) \(|\cdot(-3)\)
\(-9>-3\)
Резултатот е неточна неравенка, бидејќи минус девет е помал од минус три! Тоа е, за да може нееднаквоста да стане вистинита (и затоа, трансформацијата на множењето со негативно беше „правна“), треба да го смените знакот за споредба, вака: \(-9<− 3\).
Со делење ќе функционира на ист начин, можете сами да го проверите.
Правилото напишано погоре важи за сите видови неравенки, а не само за нумеричките.
Пример: Решете ја неравенката \(2(x+1)-1<7+8x\)Решение:
|
\(2x+2-1<7+8x\) |
Ајде да се движиме \(8x\) налево, и \(2\) и \(-1\) надесно, не заборавајќи да ги смениме знаците |
|
\(2x-8x<7-2+1\) |
|
|
\(-6x<6\) \(|:(-6)\) |
Ајде да ги поделиме двете страни на нееднаквоста со \(-6\), не заборавајќи да се смениме од „помалку“ во „повеќе“ |
|
Да означиме нумерички интервал на оската. Нееднаквост, затоа ја „избодуваме“ самата вредност \(-1\) и не ја земаме како одговор |
|
|
Ајде да го напишеме одговорот како интервал |
Одговор: \(x\in(-1;\infty)\)
Нееднаквости и попреченост
Неравенките, исто како равенките, можат да имаат ограничувања на , односно на вредностите на x. Соодветно на тоа, оние вредности што се неприфатливи според DZ треба да бидат исклучени од опсегот на решенија.
Пример: Решете ја неравенката \(\sqrt(x+1)<3\)
Решение: Јасно е дека за левата страна да биде помала од \(3\), радикалниот израз мора да биде помал од \(9\) (на крајот на краиштата, од \(9\) само \(3\)). Добиваме:
\(x+1<9\) \(|-1\)
\(х<8\)
Сите? Дали ќе ни одговара некоја вредност од x помала од \(8\)? Не! Затоа што ако ја земеме, на пример, вредноста \(-5\) што се чини дека одговара на барањето, тоа нема да биде решение за првобитната неравенка, бидејќи ќе не доведе до пресметување на коренот на негативен број.
\(\sqrt(-5+1)<3\)
\(\sqrt(-4)<3\)
Затоа, мора да ги земеме предвид и ограничувањата на вредноста на X - не може да биде таква што има негативен број под коренот. Така, го имаме второто барање за x:
\(x+1\geq0\)
\(x\geq-1\)
А за x да биде конечно решение, мора да ги задоволува двете барања одеднаш: мора да биде помало од \(8\) (да биде решение) и поголемо од \(-1\) (да биде во принцип прифатливо). Исцртувајќи го на бројната линија, го имаме конечниот одговор:
Одговор: \(\лево[-1;8\десно)\)
Се вчитува...
