Комплексни броеви

Имагинарен И сложени броеви. Апциса и ординати

комплексен број. Конјугирајте сложени броеви.

Операции со сложени броеви. Геометриски

претставување на сложени броеви. Комплексен авион.

Модул и аргумент на комплексен број. Тригонометриски

форма на сложени броеви. Операции со комплекс

броеви во тригонометриска форма. Формулата на Моивр.

Основни информации за имагинарен И сложени броеви се дадени во делот „Имагинарни и сложени броеви“. Потребата за овие броеви од нов тип се појави при решавање на квадратни равенки за случајотД< 0 (здесь Д– дискриминаторски квадратна равенка). За долго времеовие бројки не беа пронајдени физичка примена, поради што биле наречени „имагинарни“ броеви. Сепак, сега тие се многу широко користени во различни области на физиката.

и технологија: електротехника, хидро- и аеродинамика, теорија на еластичност итн.

Комплексни броеви се напишани во форма:а+би. Еве аИ б – реални броеви , А јас – имагинарна единица, т.е.д. јас 2 = –1. Број аповикани апсциса, а б – ординатикомплексен броја + би.Два сложени бројаа+биИ а–би се нарекуваат конјугираатсложени броеви.

Главни договори:

1. Реален бројАможе да се запише и во формакомплексен број:a+ 0 јасили а - 0 јас. На пример, записи 5 + 0јаси 5-0 јасзначи ист број 5 .

2. Комплекс број 0 + биповикани чисто имагинарен број. Снимајтебизначи исто како 0 + би.

3. Два сложени бројаа+би Ив + дисе сметаат за еднакви акоa = cИ b = d. Во спротивно комплексните броеви не се еднакви.

Додаток. Збир на сложени броевиа+биИ в + дисе нарекува комплексен број (a+c ) + (б+г ) јас.Така, при додавање сложените броеви, нивните апсциси и ординати се додаваат посебно.

Оваа дефиниција одговара на правилата за операции со обични полиноми.

Одземање. Разликата на два сложени бројаа+би(намалена) и в + ди(подзадница) се нарекува комплексен број (а–в ) + (b–d ) јас.

Така, При одземање на два сложени броја, нивните апсциси и ординати се одземаат посебно.

Множење. Производ на сложени броевиа+биИ в + ди се нарекува комплексен број:

(ac–bd ) + (реклама + п.н.е ) јас.Оваа дефиниција произлегува од две барања:

1) броеви а+биИ в + димора да се множи како алгебарскибиноми,

2) број јасго има главниот имот:јас 2 = – 1.

ПРИМЕР ( а+ би )(а–би) = а 2 + б 2 . Оттука, работа

два конјугирани комплексни броја е еднаков на реалниот

позитивен број.

Поделба. Поделете комплексен броја+би (делив) со другв + ди(разделник) - значи да се најде третиот бројe + f i(чет), кој кога се множи со делителв + ди, резултира со дивидендаа + би.

Ако делителот не е нула, поделбата е секогаш можна.

ПРИМЕР Најдете (8 +јас ) : (2 – 3 јас) .

Решение Ајде да го преработиме овој сооднос како дропка:

Множење на неговиот броител и именителот со 2 + 3јас

И Откако ги извршивме сите трансформации, добиваме:

Геометриски приказ на сложени броеви. Реалните броеви се претставени со точки на бројната права:

Тука е поентата Азначи бројот –3, точкаБ– број 2 и О- нула. Спротивно на тоа, сложените броеви се претставени со точки на координатна рамнина. За таа цел избираме правоаголни (декартови) координати со исти размери на двете оски. Потоа комплексниот броја+би ќе биде претставена со точка П со апсциса а и ордината б (види слика). Овој координатен систем се нарекува комплексен авион .

Модул комплексен број е должината на векторотОП, претставувајќи комплексен број на координатата ( сеопфатен) рамнина. Модул на комплексен броја+биозначено | а+би| или писмо р

Оди) броеви.

2. Алгебарска форма на претставување на сложени броеви

Комплексен бројили комплекс, е број кој се состои од два броја (делови) – реални и имагинарни.

Реалносе нарекува секој позитивен или негативен број, на пример, + 5, - 28, итн. Да означиме реален број со буквата „L“.

Имагинарене број еднаков на производот на реален број и Квадратен коренод негативна единица, на пример, 8, - 20, итн.

Се нарекува негативна единица имагинарен и се означува со буквата „yot“:

Да го означиме реалниот број во имагинарниот број со буквата „М“.

Тогаш имагинарниот број може да се напише вака: j M. Во овој случај, комплексниот број А може да се напише вака:

A = L + j M (2).

Оваа форма на пишување комплексен број (комплекс), што е алгебарски збирсе нарекуваат реални и имагинарни делови алгебарски.

Пример 1.Претстави во алгебарска форма комплекс чиј реален дел е 6, а имагинарен дел е 15.

Решение. A = 6 +j 15.

Покрај алгебарската форма, комплексен број може да се претстави со уште три:

1. графички;

2. тригонометриски;

3. индикативни.

Таквата разновидност на форми е драматично ги поедноставува пресметките синусоидни величини и нивно графичко прикажување.

Ајде да ги погледнеме графичките, тригонометриските и експонентот за возврат.

нови форми на претставување сложени броеви.

Графички облик на претставување сложени броеви

За графичко прикажување на сложени броеви, директно

јаглероден координатен систем. Во редовен (училишен) координатен систем, позитивните или негативните вредности се исцртуваат долж оските „x“ (апсциса) и „y“ (ординати). вистински броеви.

Во координатен систем усвоен во симболичкиот метод, по оската „x“.

реалните броеви се исцртуваат во форма на отсечки, а имагинарните броеви се нацртани по оската „y“

Ориз. 1. Координатен систем за графичко претставување на сложени броеви

Затоа, x-оската се нарекува оска на реални големини или, накратко, вистински оска.

Ординатна оска се нарекува оска на имагинарни величини или имагинарен оска.

Самата рамнина (т.е. рамнината на цртежот), на која се прикажани сложени броеви или количини, се нарекува сеопфатен рамен.

Во оваа рамнина, комплексниот број A = L + j M е претставен со векторот A

(сл. 2), чија проекција на реалната оска е еднаква на нејзиниот реален дел Re A = A" = L, а проекцијата на имагинарната оска е еднаква на имагинарниот дел Im A = A" = M.

(Ре - од англискиот real - real, real, real, Im - од англискиот имагинарен - нереален, имагинарен).

Ориз. 2. Графички приказ на комплексен број

Во овој случај, бројот А може да се напише на следниов начин

A = A" + A" = Re A + j Im A (3).

Користејќи графички приказ на бројот А во сложената рамнина, воведуваме нови дефиниции и добиваме некои важни врски:

1. се нарекува должината на векторот А модул вектор и се означува со |A|.

Според Питагоровата теорема

|А| = (4) .

2. агол α формиран од векторот А и реален позитивен полу-

се нарекува оската аргумент вектор А и се одредува преку неговата тангента:

tg α = A" / A" = Im A / Re A (5).

Така, за графички приказ на комплексен број

A = A" + A" во форма на вектор што ви треба:

1. најдете го модулот на векторот |A| според формулата (4);

2. најдете го аргументот на векторот tan α користејќи ја формулата (5);

3. најдете го аголот α од релацијата α = arc tan α;

4. во координатен систем j (x) нацртајте помошен

права линија и на неа, на одредена скала, нацртајте отсечка еднаква на апсолутната вредност на векторот |A|.

Пример 2.Претстави го комплексниот број A = 3 + j 4 во графичка форма.

Комплексни броеви и
координираат
рамнина

Геометрискиот модел на множеството R од реални броеви е бројната права. Секој реален број одговара на една точка

на
бројна права и која било точка на правата
само еден натпревар
реален број!

Со додавање на уште една димензија на бројната линија што одговара на множеството од сите реални броеви - линијата што го содржи множеството чисти броеви

Со додавање на бројната линија што одговара на множеството
сите реални броевиуште една димензија -
права линија која содржи збир од чисто имагинарни броеви -
добиваме координатна рамнина во која секој
може да се поврзе сложениот број a+bi
точка (а; б) од координатната рамнина.
i=0+1i одговара на точката (0;1)
2+3i одговара на точката (2;3)
-i-4 одговара на точката (-4;-1)
5=5+1i одговара на меланхолија (5;0)

Геометриско значење на операцијата за конјугација

! Операцијата за парење е аксијална
симетрија околу оската на апсцисата.
!! Конјугирани едни со други
комплексните броеви се еднакво оддалечени од
потекло.
!!! Вектори кои прикажуваат
конјугирани броеви, наклонети кон оската
апсциса под ист агол, но
се наоѓа на спротивните страни на
оваа оска.

Слика на реални броеви

Слика од сложени броеви

Алгебарски
начин
Слики:
Комплексен број
прикажан е a+bi
рамнина точка
со координати
(а;б)

Примери за прикажување сложени броеви на координатната рамнина

(Ние сме заинтересирани
сложени броеви
z=x+yi , за што
x=-4. Ова е равенката
директно,
паралелна оска
ординација)
на
X= - 4
Важи
дел е -4
0
X

Нацртајте го на координатната рамнина множеството од сите сложени броеви за кои:

Имагинарен дел
е изедначена
недвосмислена
природно
број
(Ние сме заинтересирани
сложени броеви
z=x+yi, за што
y=2,4,6,8.
Геометриска слика
се состои од четири
директно, паралелно
x-оска)
на
8
6
4
2
0
X

Одредувањето комплексен број е еквивалентно на одредување на два реални броеви a, b - реалните и имагинарните делови на даден комплексен број. Но, подреден пар броеви е прикажан на Декартов правоаголен системкоординати по точка со координати Така, оваа точка може да послужи како слика за сложениот број z: се воспоставува кореспонденција еден на еден помеѓу сложените броеви и точките на координатната рамнина. Кога се користи координатната рамнина за прикажување сложени броеви, оската Ox обично се нарекува реална оска (бидејќи реалниот дел од бројот се зема како апсциса на точката), а оската Oy е имагинарна оска (бидејќи имагинарниот дел на бројот се зема како ордината на точката). Комплексниот број z претставен со точката (а, б) се нарекува афикс на оваа точка. Во овој случај, реалните броеви се претставени со точки што лежат на реалната оска, а сите чисто имагинарни броеви (за a = 0) се претставени со точки што лежат на имагинарната оска. Бројот нула е претставен со точката О.

На сл. Конструирани се 8 слики од броеви.

Два сложени конјугирани броја се претставени со точки симетрични за оската Ox (точки на сл. 8).

Често поврзана со комплексен број не е само точката М, која го претставува овој број, туку и векторот OM (види став 93), кој води од О до М; Претставувањето на број како вектор е погодно од гледна точка на геометриското толкување на дејството на собирање и одземање на сложени броеви.

На сл. 9, а е прикажано дека векторот што претставува збир на сложени броеви се добива како дијагонала на паралелограм конструиран на вектори што ги претставуваат членовите.

Ова правило за собирање вектори е познато како правило на паралелограм (на пример, за собирање сили или брзини во курс по физика). Одземањето може да се намали до собирање со спротивниот вектор (сл. 9, б).

Како што е познато (точка 8), положбата на точка на рамнината може да се определи и со нејзините поларни координати.Така сложениот број - афиксот на точката ќе се определи и со задачата Од сл. 10 јасно е дека во исто време модулот на комплексен број е: поларниот радиус на точката што го претставува бројот е еднаков на модулот на овој број.

Поларниот агол на точката М се нарекува аргумент на бројот претставен со оваа точка. Аргументот на комплексен број (како поларниот агол на точка) не е двосмислено дефиниран; ако е една од неговите вредности, тогаш сите негови вредности се изразуваат со формулата

Сите вредности на аргументот се колективно означени со симболот.

Значи, секој комплексен број може да се поврзе со пар реални броеви: модулот и аргументот на дадениот број, а аргументот се одредува двосмислено. Напротив, одговара на дадениот модул и аргумент еднина, имајќи го дадениот модул и аргумент. Бројот нула има посебни својства: неговиот модул е ​​нула и не му се доделува одредена вредност на неговиот аргумент.

За да се постигне недвосмисленост во дефиницијата на аргументот на комплексен број, може да се согласи да се нарече една од вредностите на аргументот главна. Тоа е означено со симболот. Вообичаено, главната вредност на аргументот се избира да биде вредност што ги задоволува нееднаквостите

(во други случаи нееднаквости).

Да обрнеме внимание и на вредностите на аргументот на реални и чисто имагинарни броеви:

Реалните и имагинарните делови на комплексен број (како Декартови координати на точка) се изразуваат преку неговиот модул и аргумент (поларни координати на точката) користејќи формули (8.3):

а комплексен број може да се запише во следната тригонометриска форма.