Во животот често ќе треба да се справуваме математички проблеми: на училиште, на универзитет, а потоа му помагате на вашето дете да заврши домашна работа. Луѓето од одредени професии секојдневно ќе се среќаваат со математиката. Затоа, корисно е да се запаметат или да се потсетат математичките правила. Во оваа статија ќе анализираме еден од нив: наоѓање на ногата правоаголен триаголник.
Што е правоаголен триаголник
Прво, да се потсетиме што е правоаголен триаголник. Правоаголен триаголник е геометриска фигураод три отсечки кои поврзуваат точки кои не лежат на иста права линија, а еден од аглите на оваа бројка е 90 степени. Страните што формираат прав агол се нарекуваат нозе, а страната што лежи спротивна прав агол- хипотенуза.
Наоѓање на кракот на правоаголен триаголник
Постојат неколку начини да ја дознаете должината на ногата. Би сакал да ги разгледам подетално.
Питагорова теорема за наоѓање на страната на правоаголен триаголник
Ако ги знаеме хипотенузата и кракот, тогаш можеме да ја најдеме должината на непознатиот крак користејќи ја Питагоровата теорема. Звучи вака: „Квадрат на хипотенузата еднаков на збиротквадрати на нозе“. Формула: c²=a²+b², каде што c е хипотенузата, a и b се краките. Ја трансформираме формулата и добиваме: a²=c²-b².
Пример. Хипотенузата е 5 cm, а кракот е 3 cm Ја трансформираме формулата: c²=a²+b² → a²=c²-b². Следно решаваме: a²=5²-3²; a²=25-9; a²=16; a=√16; a=4 (cm).
Тригонометриски соодноси за да се најде кракот на правоаголен триаголник
Може да најдете и непозната катета ако се познати која било друга страна и кој било остар агол на правоаголен триаголник. Постојат четири опции за наоѓање нога користејќи тригонометриски функции: синус, косинус, тангента, котангента. Табелата подолу ќе ни помогне да ги решиме проблемите. Ајде да ги разгледаме овие опции.
Најдете ја кракот на правоаголен триаголник со помош на синус
Синус на агол (грев) е односот на спротивната страна со хипотенузата. Формула: sin=a/c, каде што a е спротивната страна даден агол, а c е хипотенуза. Следно, ја трансформираме формулата и добиваме: a=sin*c.
Пример. Хипотенузата е 10 см, аголот А е 30 степени. Користејќи ја табелата, го пресметуваме синусот на аголот А, тој е еднаков на 1/2. Потоа, користејќи ја трансформираната формула решаваме: a=sin∠A*c; a=1/2*10; a=5 (cm).
Најдете ја кракот на правоаголен триаголник со помош на косинус
Косинусот на аголот (cos) е односот соседната ногадо хипотенузата. Формула: cos=b/c, каде што b е кракот во непосредна близина на даден агол, а c е хипотенузата. Да ја трансформираме формулата и да добиеме: b=cos*c.
Пример. Аголот А е еднаков на 60 степени, хипотенузата е еднаква на 10 см Користејќи ја табелата, го пресметуваме косинусот на аголот А, тој е еднаков на 1/2. Следно решаваме: b=cos∠A*c; b=1/2*10, b=5 (cm).
Најдете ја кракот на правоаголен триаголник користејќи тангента
Тангента на аголот (tg) е односот на спротивната страна со соседната страна. Формула: tg=a/b, каде што a е страната спротивна на аголот, а b е соседната страна. Да ја трансформираме формулата и да добиеме: a=tg*b.
Пример. Аголот А е еднаков на 45 степени, хипотенузата е еднаква на 10 см.. Со помош на табелата ја пресметуваме тангентата на аголот А, таа е еднаква на Решете: a=tg∠A*b; a=1*10; a=10 (cm).
Најдете ја кракот на правоаголен триаголник со помош на котангенс
Аголниот котангенс (ctg) е односот на соседната страна со спротивната страна. Формула: ctg=b/a, каде што b е кракот во непосредна близина на аголот и е спротивната катета. Со други зборови, котангентата е „превртена тангента“. Добиваме: b=ctg*a.
Пример. Аголот А е 30 степени, спротивниот крак е 5 см.Според табелата, тангентата на аголот А е √3. Пресметуваме: b=ctg∠A*a; b=√3*5; b=5√3 (cm).
Значи, сега знаете како да најдете крак во правоаголен триаголник. Како што можете да видите, не е толку тешко, главната работа е да ги запомните формулите.
Синусостар агол α на правоаголен триаголник е односот спротивнонога до хипотенуза.
Се означува на следниов начин: sin α.
КосинусотОстриот агол α на правоаголен триаголник е односот на соседната катета и хипотенузата.
Се означува на следниов начин: cos α.
Тангентаостар агол α е односот на спротивната страна со соседната страна.
Се означува на следниов начин: tg α.
Котангенсостар агол α е односот на соседната страна со спротивната страна.
Се означува на следниов начин: ctg α.
Синус, косинус, тангента и котангента на агол зависат само од големината на аголот.
Правила:
Основни тригонометриски идентитетиво правоаголен триаголник:
(α – остар агол спротивен на ногата б и во непосредна близина на ногата а . Страна Со - хипотенуза. β – втор акутен агол).
б | sin 2 α + cos 2 α = 1 | |
а | 1 | |
б | 1 | |
а | 1 1 | |
грев α |
Како што се зголемува акутниот аголгрев α иtan α зголемување, иcos α се намалува.
За секој остар агол α:
sin (90° – α) = cos α
cos (90° – α) = грев α
Пример-објаснување:
Нека влезе правоаголен триаголник ABC
AB = 6,
п.н.е. = 3,
агол А = 30º.
Ајде да ги дознаеме синусите на аголот А и косинусот на аголот Б.
Решение .
1) Прво, ја наоѓаме вредноста на аголот Б. Овде сè е едноставно: бидејќи во правоаголен триаголник збирот на острите агли е 90º, тогаш аголот B = 60º:
B = 90º – 30º = 60º.
2) Да го пресметаме гревот A. Знаеме дека синусот е еднаков на односот на спротивната страна со хипотенузата. За аголот А, спротивната страна е страната BC. Значи:
п.н.е. 3 1
грев А = -- = - = -
AB 6 2
3) Сега да пресметаме cos B. Знаеме дека косинусот е еднаков на односот на соседната катета и хипотенузата. За аголот Б, соседниот крак е иста страна BC. Ова значи дека повторно треба да го поделиме BC со AB - односно да ги извршиме истите дејства како при пресметување на синусот на аголот А:
п.н.е. 3 1
cos B = -- = - = -
AB 6 2
Резултатот е:
sin A = cos B = 1/2.
грев 30º = cos 60º = 1/2.
Од ова произлегува дека во правоаголен триаголник, синусот на еден остар агол е еднаков на косинусот на другиот остар агол - и обратно. Ова е токму она што значат нашите две формули:
sin (90° – α) = cos α
cos (90° – α) = грев α
Ајде повторно да се увериме во ова:
1) Нека α = 60º. Заменувајќи ја вредноста на α во синусната формула, добиваме:
грев (90º – 60º) = cos 60º.
грев 30º = цена 60º.
2) Нека α = 30º. Заменувајќи ја вредноста на α во косинусната формула, добиваме:
cos (90° – 30º) = грев 30º.
cos 60° = грев 30º.
(За повеќе информации за тригонометријата, видете го делот Алгебра)
Односот на спротивната страна со хипотенузата се нарекува синус со остар аголправоаголен триаголник.
\sin \алфа = \frac(a)(c)
Косинусот на остар агол на правоаголен триаголник
Односот на соседната нога со хипотенузата се нарекува косинус со остар аголправоаголен триаголник.
\cos \алфа = \frac(b)(c)
Тангента на остар агол на правоаголен триаголник
Односот на спротивната страна со соседната страна се нарекува тангента на остар аголправоаголен триаголник.
tg \алфа = \frac(a)(b)
Котангенс на остар агол на правоаголен триаголник
Односот на соседната страна со спротивната страна се нарекува котангенс со остар аголправоаголен триаголник.
ctg \алфа = \frac(b)(a)
Синус на произволен агол
Се вика ординатата на точка на единечната кружница на која одговара аголот \алфа синус на произволен аголротација \алфа .
\sin \alpha=y
Косинусот на произволен агол
Точка на апсциса на единица круг, на кој одговара аголот \alpha се нарекува косинус на произволен аголротација \алфа .
\cos \alpha=x
Тангента на произволен агол
Се нарекува односот на синусот на произволен агол на ротација \алфа со неговиот косинус тангента на произволен аголротација \алфа .
tan \алфа = y_(A)
tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)
Котангенс на произволен агол
Се нарекува односот на косинус на произволен агол на ротација \алфа со неговиот синус котангенс со произволен аголротација \алфа .
ctg\алфа =x_(A)
ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)
Пример за наоѓање произволен агол
Ако \alpha е некој агол AOM, каде што M е точка на единечната кружница, тогаш
\sin \alpha=y_(M) , \cos \alpha=x_(M) , tg \алфа=\frac(y_(M))(x_(M)), ctg \алфа=\frac(x_(M))(y_(M)).
На пример, ако \агол AOM = -\frac(\pi)(4), тогаш: ординатата на точката М е еднаква на -\frac(\sqrt(2))(2), апсцисата е еднаква на \frac(\sqrt(2))(2)и затоа
\sin \лево (-\frac(\pi)(4) \десно)=-\frac(\sqrt(2))(2);
\cos \лево (\frac(\pi)(4) \десно)=\frac(\sqrt(2))(2);
tg;
ctg \лево (-\frac(\pi)(4) \десно)=-1.
Табела со вредности на синусите на косинусите на тангентите на котангентите
Вредностите на главните агли кои често се појавуваат се дадени во табелата:
| 0^(\circ) (0) | 30^(\circ)\лево(\frac(\pi)(6)\десно) | 45^(\circ)\лево(\frac(\pi)(4)\десно) | 60^(\circ)\лево(\frac(\pi)(3)\десно) | 90^(\circ)\лево(\frac(\pi)(2)\десно) | 180^(\circ)\лево(\pi\десно) | 270^(\circ)\лево(\frac(3\pi)(2)\десно) | 360^(\circ)\лево(2\pi\десно) | |
| \sin\алфа | 0 | \frac12 | \frac(\sqrt 2)(2) | \frac(\sqrt 3)(2) | 1 | 0 | −1 | 0 |
| \cos\алфа | 1 | \frac(\sqrt 3)(2) | \frac(\sqrt 2)(2) | \frac12 | 0 | −1 | 0 | 1 |
| tg\алфа | 0 | \frac(\sqrt 3)(3) | 1 | \sqrt3 | — | 0 | — | 0 |
| ctg\алфа | — | \sqrt3 | 1 | \frac(\sqrt 3)(3) | 0 | — | 0 | — |
Инструкции
Триаголникот се нарекува правоаголен ако еден од неговите агли е 90 степени. Се состои од две нозе и хипотенуза. Хипотенузата е најголемата страна на овој триаголник. Лежи против прав агол. Нозете, соодветно, се нарекуваат негови помали страни. Тие можат да бидат или еднакви едни на други или да имаат различни големини. Еднаквоста на нозете е она што го работите со правоаголен триаголник. Неговата убавина е што комбинира две фигури: правоаголен триаголник и рамнокрак триаголник. Ако катетите не се еднакви, тогаш триаголникот е произволен и го следи основниот закон: колку е поголем аголот, толку повеќе се тркала оној што лежи спроти него.
Постојат неколку начини да се најде хипотенузата по и агол. Но, пред да користите еден од нив, треба да одредите кој агол е познат. Ако ви е даден агол и страна во непосредна близина на него, тогаш полесно е да ја пронајдете хипотенузата користејќи го косинусот на аголот. Косинусот на остар агол (cos a) во правоаголен триаголник е односот на соседната катета со хипотенузата. Следи дека хипотенузата (c) ќе биде еднаква на односот на соседниот крак (б) со косинус на аголот a (cos a). Ова може да се напише вака: cos a=b/c => c=b/cos a.
Ако се дадени агол и спротивна нога, тогаш треба да работите. Синус на остар агол (sin a) во правоаголен триаголник е односот на спротивната страна (а) со хипотенузата (c). Овде принципот е ист како во претходниот пример, само наместо функцијата косинус се зема синус. sin a=a/c => c=a/sin a.
Можете исто така да користите тригонометриска функција како што е . Но, наоѓањето на саканата вредност ќе стане малку покомплицирано. Тангентата на остар агол (tg a) во правоаголен триаголник е односот на спротивната катета (а) со соседната катета (б). Откако ќе ги пронајдете двете краци, применете ја Питагоровата теорема (квадратот на хипотенузата е еднаков на збирот на квадратите на катетите) и ќе се најде поголемата.
Забелешка
Кога работите со Питагоровата теорема, запомнете дека се занимавате со диплома. Откако го пронајдовте збирот на квадратите на нозете, треба да го земете квадратниот корен за да го добиете конечниот одговор.
Извори:
- како да се најде ногата и хипотенузата
Хипотенузата е страната во правоаголен триаголник што е спротивна на аголот од 90 степени. За да се пресмета нејзината должина, доволно е да се знае должината на една од катетите и големината на еден од акутните агли на триаголникот.
Инструкции
Со оглед на познат и остар правоаголен агол, тогаш големината на хипотенузата ќе биде односот на кракот со / на овој агол, ако овој агол е спротивен/во непосредна близина на него:
h = C1(или C2)/sinα;
h = C1 (или C2)/cosα.
Пример: Нека се дадени ABC со хипотенуза AB и C Нека аголот B е 60 степени, а аголот A е 30 степени Должината на кракот BC е 8 cm Должината на хипотенузата AB е потребна. За да го направите ова, можете да користите кој било од методите предложени погоре:
AB = BC/cos60 = 8 cm.
AB = BC/sin30 = 8 cm.
збор“ нога„ потекнува од грчките зборови „нормално“ или „проводник“ - ова објаснува зошто двете страни на правоаголен триаголник, што го сочинуваат неговиот агол од деведесет степени, биле така наречени. Најдете ја должината на која било од нога ov не е тешко ако се знае вредноста на соседниот агол и сите други параметри, бидејќи во овој случај вредностите на сите три агли всушност ќе станат познати.
Инструкции
Ако покрај вредноста на соседниот агол (β), должината на вториот ногаа (б), потоа должината ногаи (а) може да се дефинира како количник на должината на познатото ногаа под познат агол: a=b/tg(β). Ова произлегува од дефиницијата на оваа тригонометрија. Можете да направите без тангента ако ја користите теоремата. Од него произлегува дека должината на саканиот до синусот на спротивниот агол до односот на должината на познатото ногаи до синус на познат агол. Спротивно на посакуваното нога y остриот агол може да се изрази преку познатиот агол како 180°-90°-β = 90°-β, бидејќи збирот на сите агли на кој било триаголник мора да биде 180°, а еден од неговите агли е 90°. Значи, потребната должина ногаи може да се пресмета со формулата a=sin(90°-β)∗b/sin(β).
Ако вредноста на соседниот агол (β) и должината на хипотенузата (c) се познати, тогаш должината ногаи (а) може да се пресмета како производ на должината на хипотенузата и косинусот на познатиот агол: a=c∗cos(β). Ова произлегува од дефиницијата на косинус како тригонометриска функција. Но, можете да ја користите, како и во претходниот чекор, теоремата на синусите, а потоа и должината на саканата нога a ќе биде еднаков на производот од синусот помеѓу 90° и познатиот агол и односот на должината на хипотенузата со синусот од правиот агол. А бидејќи синусот од 90° е еднаков на еден, можеме да го запишеме вака: a=sin(90°-β)∗c.
Може да се извршат практични пресметки, на пример, со помош на софтверскиот калкулатор вклучен во оперативниот систем Windows. За да го извршите, можете да изберете „Run“ од главното мени на копчето „Start“, напишете ја командата calc и кликнете „OK“. Во наједноставната верзија на интерфејсот на оваа програма што се отвора стандардно тригонометриски функциине се обезбедени, така што откако ќе го стартувате, треба да кликнете на делот „Преглед“ во менито и да ја изберете линијата „Научно“ или „Инженерство“ (во зависност од користената верзија операционен систем).
Видео на темата
Зборот „катет“ дојде на руски од грчки. Во точен превод, тоа значи водоводна линија, односно нормална на површината на земјата. Во математиката, катетите се страни кои формираат прав агол на правоаголен триаголник. Страната спроти овој агол се нарекува хипотенуза. Терминот „катет“ се користи и во архитектурата и технологијата на заварување.
Нацртајте правоаголен триаголник DIA. Означете ги неговите нозе како a и b, а неговата хипотенуза како c. Сите страни и агли на правоаголен триаголник се дефинирани меѓу себе. Односот на кракот спроти еден од акутните агли до хипотенузата се нарекува синус на овој агол. ВО даден триаголник sinCAB=a/c. Косинус е односот со хипотенузата на соседната нога, односно cosCAB=b/c. Инверзните односи се нарекуваат секантни и косекантни.
Секантот на овој агол се добива со делење на хипотенузата со соседната катета, односно secCAB = c/b. Резултатот е реципроцитет на косинусот, односно може да се изрази со помош на формулата secCAB=1/cosSAB.
Косекантот е еднаков на количникот на хипотенузата поделен со спротивната страна и е реципрочен на синусот. Може да се пресмета со помош на формулата cosecCAB=1/sinCAB
Двете нозе се поврзани едни со други и со котангенс. Во овој случај, тангентата ќе биде односот на страната a на страната b, односно спротивната страна на соседната страна. Оваа врска може да се изрази со формулата tgCAB=a/b. Соодветно, инверзна врскаќе има котангенс: ctgCAB=b/a.
Односот помеѓу големините на хипотенузата и двете нозе бил одреден од античкиот грчки Питагора. Луѓето сè уште ја користат теоремата и неговото име. Таа вели дека квадратот на хипотенузата е еднаков на збирот на квадратите на катетите, односно c2 = a2 + b2. Соодветно на тоа, секоја нога ќе биде еднаква на квадратен коренод разликата помеѓу квадратите на хипотенузата и другиот крак. Оваа формула може да се запише како b=√(c2-a2).
Должината на ногата може да се изрази и преку врските што ви се познати. Според теоремите на синусите и косинусите, кракот е еднаков на производот на хипотенузата и една од овие функции. Може да се изрази како и или котангента. Ногата a може да се најде, на пример, користејќи ја формулата a = b*tan CAB. На ист начин, во зависност од дадената тангента или , се одредува вториот крак.
Терминот „катет“ се користи и во архитектурата. Се нанесува на јонскиот главен град и се пробива низ средината на грбот. Тоа е, во овој случај, овој член е нормален на дадена линија.
Во технологијата на заварување постои „нога за заварување со филе“. Како и во други случаи, ова е најкраткото растојание. Еве ние зборуваме заза јазот помеѓу еден од деловите што се заваруваат до границата на шевот што се наоѓа на површината на другиот дел.
Видео на темата
Извори:
- што се нога и хипотенуза во 2019 година
Ќе ја започнеме нашата студија за тригонометријата со правоаголен триаголник. Ајде да дефинираме што се синус и косинус, како и тангента и котангента на остар агол. Ова се основите на тригонометријата.
Да ве потсетиме дека прав аголе агол еднаков на 90 степени. Со други зборови, половина свртен агол.
Остар агол- помалку од 90 степени.
Тап агол- поголема од 90 степени. Во однос на таков агол, „тап“ не е навреда, туку математички термин :-)
Ајде да нацртаме правоаголен триаголник. Правиот агол обично се означува со . Ве молиме имајте предвид дека страната спроти аголот е означена со истата буква, само мала. Така, се означува страната спротивна на аголот А.
Аголот е означен со соодветниот Грчко писмо.
Хипотенузана правоаголен триаголник е страната спротивна на правиот агол.
Нозете- страни што лежат спроти акутни агли.
Ногата што лежи спроти аголот се нарекува спротивно(во однос на аголот). Другата нога, која лежи на една од страните на аголот, се нарекува соседните.
СинусОстриот агол во правоаголен триаголник е односот на спротивната страна со хипотенузата:
Косинусотостар агол во правоаголен триаголник - односот на соседната нога до хипотенузата:
Тангентаостар агол во правоаголен триаголник - односот на спротивната страна со соседната:
Друга (еквивалентна) дефиниција: тангентата на остар агол е односот на синусот на аголот и неговиот косинус:
Котангенсостар агол во правоаголен триаголник - односот на соседната страна кон спротивната (или, што е исто, односот на косинус и синус):
Забележете ги основните односи за синус, косинус, тангента и котангента подолу. Тие ќе ни бидат корисни при решавање на проблеми.
Ајде да докажеме некои од нив.
Добро, дадовме дефиниции и запишавме формули. Но, зошто сè уште ни се потребни синус, косинус, тангента и котангента?
Ние го знаеме тоа збирот на аглите на кој било триаголник е еднаков на.
Ја знаеме врската помеѓу забавиправоаголен триаголник. Ова е Питагоровата теорема: .
Излегува дека знаејќи два агли во триаголник, можете да го најдете третиот. Знаејќи ги двете страни на правоаголен триаголник, можете да ја најдете третата. Тоа значи дека аглите имаат свој сооднос, а страните имаат свој. Но, што треба да направите ако во правоаголен триаголник знаете еден агол (освен правиот агол) и едната страна, но треба да ги најдете другите страни?
Ова е она што луѓето во минатото го сретнале кога правеле мапи на областа и ѕвезденото небо. На крајот на краиштата, не е секогаш можно директно да се измерат сите страни на триаголникот.
Синус, косинус и тангента - тие се нарекуваат и функции на тригонометриски агол- даде односи меѓу забавиИ аглитетријаголник. Знаејќи го аголот, можете да ги најдете сите негови тригонометриски функции користејќи специјални табели. И знаејќи ги синусите, косинусите и тангентите на аглите на триаголникот и една од неговите страни, можете да ги најдете останатите.
Ќе нацртаме и табела со вредностите на синус, косинус, тангента и котангента за „добри“ агли од до.
Забележете ги двете црвени цртички во табелата. При соодветни аголни вредности, тангента и котангента не постојат.
Ајде да погледнеме неколку тригонометриски проблеми од FIPI Task Bank.
1. Во триаголник, аголот е , . Најдете .
Проблемот е решен за четири секунди.
Затоа што , .
2. Во триаголник, аголот е , , . Најдете .
Ајде да го најдеме користејќи ја Питагоровата теорема.
Проблемот е решен.
Често во проблемите има триаголници со агли и или со агли и. Запомнете ги основните соодноси за нив напамет!
За триаголник со агли и кракот спроти аголот во е еднаков на половина од хипотенузата.
Триаголник со агли и е рамнокрак. Во него, хипотенузата е пати поголема од ногата.
Разгледавме проблеми за решавање правоаголни триаголници - односно наоѓање непознати страни или агли. Но, тоа не е се! Има многу проблеми во Обединетиот државен испит по математика кои вклучуваат синус, косинус, тангента или котангента на надворешен агол на триаголник. Повеќе за ова во следната статија.
Се вчитува...
