Како правилно да се извлече коренот на број. Како да го пронајдете коренот на бројот. Земање корен од негативен број

Кога решаваат различни проблеми од курсот по математика и физика, учениците и студентите често се соочуваат со потребата да извлечат корени од втор, трет или n-ти степен. Се разбира, во векот информатички технологииНема да биде тешко да се реши овој проблем со помош на калкулатор. Сепак, се појавуваат ситуации кога е невозможно да се користи електронскиот асистент.

На пример, многу испити не дозволуваат да носите електроника. Покрај тоа, можеби немате калкулатор при рака. Во такви случаи, корисно е да се знаат барем некои методи за рачно пресметување на радикалите.

Еден од наједноставните начини за пресметување на корените е да користејќи специјална табела. Што е тоа и како правилно да се користи?

Користејќи ја табелата, можете да го најдете квадратот на кој било број од 10 до 99. Редовите на табелата ги содржат вредностите на десетици, а колоните ги содржат вредностите на единиците. Ќелијата на пресекот на ред и колона го содржи квадратот на двоцифрен број. За да го пресметате квадратот 63, треба да најдете ред со вредност 6 и колона со вредност 3. На раскрсницата ќе најдеме ќелија со бројот 3969.

Бидејќи извлекувањето на коренот е инверзна операција на квадрат, за да ја извршите оваа акција мора да го направите спротивното: прво пронајдете ја ќелијата со бројот чиј радикал сакате да го пресметате, а потоа користете ги вредностите на колоната и редот за да го одредите одговорот. . Како пример, разгледајте ја пресметката квадратен корен 169.

Во табелата наоѓаме ќелија со овој број, хоризонтално одредуваме десетки - 1, вертикално наоѓаме единици - 3. Одговор: √169 = 13.

Слично на тоа, можете да пресметате коцка и n-ти корени користејќи ги соодветните табели.

Предноста на методот е неговата едноставност и отсуството на дополнителни пресметки. Недостатоците се очигледни: методот може да се користи само за ограничен опсег на броеви (бројот за кој е пронајден коренот мора да биде во опсег од 100 до 9801). Дополнително, нема да работи ако дадениот број не е во табелата.

Примарната факторизација

Ако табелата со квадрати не е при рака или се покажа дека е невозможно да се најде коренот со негова помош, можете да се обидете разложете го бројот под коренот во главните фактори . Прости фактори се оние кои можат да бидат целосно (без остаток) деливи само со себе или со еден. Примерите може да бидат 2, 3, 5, 7, 11, 13, итн.

Ајде да погледнеме во пресметувањето на коренот користејќи √576 како пример. Ајде да го разложиме на основни фактори. Го добиваме следниот резултат: √576 = √(2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​∙ 3) = √(2 ∙ 2 ∙ 2)² ∙ √3². Користејќи го основното својство на корените √a² = a, ќе се ослободиме од корените и квадратите, а потоа ќе го пресметаме одговорот: 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​= 24.

Што да направите ако некој од множителите нема свој пар? На пример, земете ја пресметката на √54. По размножувањето го добиваме резултатот следната форма: √54 = √(2 ∙ 3 ​​∙ 3 ∙ 3) = √3² ∙ √(2 ∙ 3) = 3√6. Неотстранливиот дел може да се остави под коренот. За повеќето геометриски и алгебарски проблеми, овој одговор ќе се брои како конечен одговор. Но, ако има потреба да се пресметаат приближни вредности, можете да користите методи за кои ќе се дискутира подолу.

Хероновиот метод

Што да направите кога треба барем приближно да знаете на што е еднаков извлечениот корен (ако е невозможно да се добие цел број)? Брзо и убаво точен резултатдава примена на Хероновата метода. Нејзината суштина е да се користи приближна формула:

√R = √a + (R - a) / 2√a,

каде што R е бројот чиј корен треба да се пресмета, a е најблискиот број чија коренска вредност е позната.

Ајде да погледнеме како методот функционира во пракса и да оцениме колку е точен. Да пресметаме на што е еднакво √111. Бројот најблиску до 111, чиј корен е познат, е 121. Така, R = 111, a = 121. Заменете ги вредностите во формулата:

√111 = √121 + (111 - 121) / 2 ∙ √121 = 11 - 10 / 22 ≈ 10,55.

Сега да ја провериме точноста на методот:

10,55² = 111,3025.

Грешката на методот беше приближно 0,3. Ако точноста на методот треба да се подобри, можете да ги повторите претходно опишаните чекори:

√111 = √111,3025 + (111 - 111,3025) / 2 ∙ √111,3025 = 10,55 - 0,3025 / 21,1 ≈ 10,536.

Ајде да ја провериме точноста на пресметката:

10,536² = 111,0073.

По повторното применување на формулата, грешката стана сосема незначителна.

Пресметување на коренот со долга делба

Овој метод за наоѓање на вредноста на квадратниот корен е малку покомплексен од претходните. Сепак, тој е најточен меѓу другите методи за пресметка без калкулатор.

Да речеме дека треба да го најдете квадратниот корен точен до 4 децимални места. Ајде да го анализираме алгоритмот за пресметување користејќи го примерот на произволен број 1308.1912.

1. Поделете го листот хартија на 2 дела со вертикална линија, а потоа повлечете уште една линија од него надесно, малку под горниот раб. Ајде да го напишеме бројот на левата страна, делејќи го во групи од 2 цифри, движејќи се надесно и лева странаод запирка. Првата цифра лево може да биде без пар. Ако знакот недостасува на десната страна на бројот, тогаш треба да додадете 0. Во нашиот случај, резултатот ќе биде 13 08.19 12.
2. Да го избереме најдоброто голем број, чиј квадрат ќе биде помал или еднаков на првата група цифри. Во нашиот случај тоа е 3. Ајде да го напишеме горе десно; 3 е првата цифра од резултатот. Во долниот десен дел укажуваме 3×3 = 9; ова ќе биде потребно за последователни пресметки. Од 13 во колоната одземаме 9, добиваме остаток од 4.
3. Да го доделиме следниот пар броеви на остатокот 4; добиваме 408.
4. Помножете го бројот горе десно со 2 и запишете го долу десно, додавајќи _ x _ = на него. Добиваме 6_ x _ =.
5. Наместо цртички, треба да го замените истиот број, помал или еднаков на 408. Добиваме 66 × 6 = 396. Запишуваме 6 од горе десно, бидејќи ова е втората цифра од резултатот. Одземете 396 од 408, добиваме 12.
6. Да ги повториме чекорите 3-6. Бидејќи цифрите поместени надолу се во фракциониот дел од бројот, потребно е да се стави децимална точкагоре десно после 6. Да го запишеме двојниот резултат со цртички: 72_ x _ =. Соодветен број би бил 1: 721×1 = 721. Ајде да го запишеме како одговор. Да одземеме 1219 - 721 = 498.
7. Ајде да ја извршиме низата дејства дадени во претходниот пасус уште три пати за да добиеме потребна сумадецимални места. Ако нема доволно знаци за понатамошни пресметки, треба да додадете две нули на тековниот број лево.

Како резултат на тоа, го добиваме одговорот: √1308.1912 ≈ 36.1689. Ако го проверите дејството со помош на калкулатор, можете да бидете сигурни дека сите знаци се правилно идентификувани.

Пресметка на битовински квадратен корен

Методот има висока точност . Покрај тоа, тоа е сосема разбирливо и не бара меморирање формули или сложен алгоритам на дејства, бидејќи суштината на методот е да се избере точниот резултат.

Да го извлечеме коренот на бројот 781. Да ја разгледаме низата на дејства подетално.

1. Ајде да откриеме која цифра од вредноста на квадратниот корен ќе биде најзначајна. За да го направите ова, ајде да поставиме квадрат 0, 10, 100, 1000 итн. и да дознаеме помеѓу кој од нив се наоѓа радикалниот број. Го добиваме тоа 10²< 781 < 100², т. е. старшим разрядом будут десятки.
2. Ајде да ја избереме вредноста на десетици. За да го направиме ова, наизменично ќе се подигнеме до моќта од 10, 20, ..., 90 додека не добиеме број поголем од 781. За нашиот случај, добиваме 10² = 100, 20² = 400, 30² = 900. вредноста на резултатот n ќе биде во рамките на 20< n <30.
3. Слично на претходниот чекор, се избира вредноста на цифрата на единиците. Ајде да поставиме квадрат 21,22, ..., 29 еден по еден: 21² = 441, 22² = 484, 23² = 529, 24² = 576, 25² = 625, 26² = 676, 27² = 729, 28. Добиваме = 7< n < 28.
4. Секоја следна цифра (десетинки, стотинки, итн.) се пресметува на ист начин како што е прикажано погоре. Пресметките се вршат додека не се постигне потребната точност.

Време е да го средиме методи за екстракција на коренот. Тие се засноваат на својствата на корените, особено на еднаквоста, што е точно за секој негативен бројб.

Подолу ќе ги разгледаме главните методи за вадење корени еден по еден.

Да почнеме со наједноставниот случај - извлекување корени од природни броеви користејќи табела со квадрати, табела со коцки итн.

Ако табелите со квадрати, коцки итн. Ако го немате при рака, логично е да го користите методот на извлекување на коренот, кој вклучува разложување на радикалниот број на прости фактори.

Посебно вреди да се спомене што е можно за корените со непарни експоненти.

Конечно, да разгледаме метод кој ни овозможува последователно да ги најдеме цифрите на вредноста на коренот.

Ајде да почнеме.

Користење на табела со квадрати, табела со коцки итн.

Во наједноставните случаи, табелите со квадрати, коцки итн. ви дозволуваат да извлечете корени. Кои се овие табели?

Табелата со квадрати на цели броеви од 0 до 99 вклучително (прикажана подолу) се состои од две зони. Првата зона на табелата се наоѓа на сива позадина; со избирање на одреден ред и одредена колона, ви овозможува да составите број од 0 до 99. На пример, да избереме ред од 8 десетки и колона од 3 единици, со тоа го поправивме бројот 83. Втората зона го зазема остатокот од табелата. Секоја ќелија се наоѓа на пресекот на одреден ред и одредена колона и го содржи квадратот на соодветниот број од 0 до 99. На пресекот на нашиот избран ред од 8 десетки и колона 3 од единици има ќелија со бројот 6.889, што е квадратот на бројот 83.

Табелите со коцки, табелите со четврти сили на броевите од 0 до 99 и така натаму се слични на табелата со квадрати, само што во втората зона содржат коцки, четврти сили итн. соодветните броеви.

Табели со квадрати, коцки, четврти сили итн. ви дозволуваат да извлечете квадратни корени, коцки корени, четврти корени итн. соодветно од бројките во овие табели. Дозволете ни да го објасниме принципот на нивната употреба при вадење корени.

Да речеме дека треба да го извлечеме n-тиот корен од бројот a, додека бројот a е содржан во табелата со n-ти сили. Користејќи ја оваа табела го наоѓаме бројот b таков што a=b n. Потоа , значи, бројот b ќе биде посакуваниот корен од n-тиот степен.

Како пример, да покажеме како се користи табела со коцки за да се извлече коренот на коцката од 19.683. Го наоѓаме бројот 19.683 во табелата со коцки, од него откриваме дека овој број е коцката на бројот 27, затоа, .

Јасно е дека табелите со n-ти сили се многу погодни за вадење корени. Сепак, тие често не се при рака, а нивното составување бара одредено време. Покрај тоа, често е неопходно да се извлечат корени од броеви што не се содржани во соодветните табели. Во овие случаи, мора да се прибегнете кон други методи за екстракција на коренот.

Факторирање на радикален број во прости множители

Прилично удобен начин да се извлече коренот на природен број (ако, се разбира, коренот е извлечен) е да се разложи радикалниот број на прости фактори. Неговиот поентата е ова: после тоа е прилично лесно да се претстави како моќност со саканиот експонент, што ви овозможува да ја добиете вредноста на коренот. Ајде да ја разјасниме оваа точка.

Нека се земе n-тиот корен на природен број a и неговата вредност е еднаква b. Во овој случај, еднаквоста a=b n е точно. Бројот b, како и секој природен број, може да се претстави како производ на сите негови прости множители p 1 , p 2 , …, p m во форма p 1 ·p 2 ·…·p m , и радикалниот број a во овој случај е претставена како (p 1 ·p 2 ·…·p m) n . Бидејќи разложувањето на број на прости множители е единствено, разложувањето на радикалниот број a на прости множители ќе има форма (p 1 ·p 2 ·…·p m) n, што овозможува да се пресмета вредноста на коренот како.

Забележете дека ако разградувањето на прости множители на радикален број a не може да се претстави во форма (p 1 ·p 2 ·…·p m) n, тогаш n-тиот корен од таков број a не е целосно извлечен.

Ајде да го сфатиме ова кога решаваме примери.

Пример.

Земете го квадратниот корен од 144.

Решение.

Ако ја погледнете табелата со квадрати дадена во претходниот пасус, можете јасно да видите дека 144 = 12 2, од каде што е јасно дека квадратниот корен од 144 е еднаков на 12.

Но, во светлината на оваа точка, ние сме заинтересирани за тоа како коренот се извлекува со разложување на радикалниот број 144 на прости фактори. Ајде да го погледнеме ова решение.

Ајде да се разложиме 144 до прости фактори:

Односно 144=2·2·2·2·3·3. Врз основа на добиеното распаѓање, може да се извршат следните трансформации: 144=2·2·2·2·3·3=(2·2) 2·3 2 =(2·2·3) 2 =12 2. Оттука, .

Користејќи ги својствата на степенот и својствата на корените, решението би можело да се формулира малку поинаку: .

Одговор:

За да го консолидирате материјалот, разгледајте ги решенијата на уште два примери.

Пример.

Пресметајте ја вредноста на коренот.

Решение.

Простата разложување на радикалниот број 243 има форма 243=3 5 . Така, .

Одговор:

Пример.

Дали коренската вредност е цел број?

Решение.

За да одговориме на ова прашање, ајде да го факторизираме радикалниот број во прости множители и да видиме дали може да се претстави како коцка од цел број.

Имаме 285 768=2 3 ·3 6 ·7 2. Добиената експанзија не може да се претстави како коцка од цел број, бидејќи моќноста на првиот фактор 7 не е множител на три. Затоа, коренот на коцката од 285.768 не може целосно да се извлече.

Одговор:

Бр.

Извлекување корени од дробни броеви

Време е да дознаеме како да го извлечеме коренот на фракциониот број. Нека фракциониот радикален број се запише како p/q. Според својството на коренот на количник, точно е следново еднаквост. Од оваа еднаквост произлегува правило за вадење корен од дропка: Коренот на дропка е еднаков на количникот на коренот на броителот поделен со коренот на именителот.

Ајде да погледнеме пример за извлекување корен од дропка.

Пример.

Колку изнесува квадратниот корен на заедничката дропка 25/169?

Решение.

Користејќи ја табелата со квадрати, откриваме дека квадратниот корен на броителот на првобитната дропка е еднаков на 5, а квадратниот корен на именителот е еднаков на 13. Потоа . Со ова се комплетира извлекувањето на коренот на заедничката дропка 25/169.

Одговор:

Корен на децималнаили се извлекува мешан број по заменување на радикалните броеви со обични дропки.

Пример.

Земете го коцканиот корен на децималната дропка 474,552.

Решение.

Да ја замислиме првобитната децимална дропка како обична дропка: 474.552=474552/1000. Потоа . Останува да се извлечат коцките корени кои се во броителот и именителот на добиената дропка. Бидејќи 474 552=2·2·2·3·3·3·13·13·13=(2 3 13) 3 =78 3 и 1 000 = 10 3, тогаш И . Останува само да се завршат пресметките .

Одговор:

.

Земање корен од негативен број

Вреди да се задржиме на извлекување корени од негативни броеви. Кога ги проучувавме корените, рековме дека кога експонентот на коренот е непарен број, тогаш може да има негативен број под знакот за корен. На овие записи им го дадовме следново значење: за негативен број −a и непарен експонент на коренот 2 n−1, . Оваа еднаквост дава правило за вадење непарни корени од негативни броеви: за да го извлечете коренот на негативен број, треба да го земете коренот на спротивниот позитивен број и да ставите знак минус пред резултатот.

Да го погледнеме примерот на решението.

Пример.

Најдете ја вредноста на коренот.

Решение.

Ајде да го трансформираме оригиналниот израз за да има позитивен број под знакот за корен: . Сега заменете го мешаниот број со обична дропка: . Го применуваме правилото за извлекување на коренот на обична дропка: . Останува да се пресметаат корените во броителот и именителот на добиената дропка: .

Еве кратко резиме на решението: .

Одговор:

.

Битно определување на вредноста на коренот

Во општ случај, под коренот има број кој, користејќи ги техниките дискутирани погоре, не може да се претстави како n-та сила на кој било број. Но, во овој случај има потреба да се знае значењето на даден корен, барем до одреден знак. Во овој случај, за да го извлечете коренот, можете да користите алгоритам кој ви овозможува последователно да добиете доволен број цифри од саканиот број.

Првиот чекор на овој алгоритам е да се открие кој е најзначајниот дел од вредноста на коренот. За да го направите ова, броевите 0, 10, 100, ... секвенцијално се подигнуваат на јачината n до моментот кога ќе се добие бројката што го надминува радикалниот број. Тогаш бројот што го подигнавме на моќноста n во претходната фаза ќе ја означи соодветната најзначајна цифра.

На пример, земете го овој чекор од алгоритмот кога го извлекувате квадратниот корен од пет. Земете ги броевите 0, 10, 100, ... и квадрат ги додека не добиеме број поголем од 5. Имаме 0 2 =0<5 , 10 2 =100>5, што значи дека најзначајната цифра ќе биде цифрата на оние. Вредноста на овој бит, како и на пониските, ќе се најде во следните чекори од алгоритмот за екстракција на коренот.

Сите последователни чекори на алгоритмот се насочени кон последователно разјаснување на вредноста на коренот со наоѓање на вредностите на следните битови од саканата вредност на коренот, почнувајќи од највисоката и преминувајќи кон најниските. На пример, вредноста на коренот на првиот чекор излегува дека е 2, на вториот – 2,2, на третиот – 2,23, и така натаму 2,236067977…. Дозволете ни да опишеме како се наоѓаат вредностите на цифрите.

Цифрите се наоѓаат со пребарување низ нивните можни вредности 0, 1, 2, ..., 9. Во овој случај, паралелно се пресметуваат n-ти сили на соодветните броеви и тие се споредуваат со радикалниот број. Ако во некоја фаза вредноста на степенот го надмине радикалниот број, тогаш вредноста на цифрата што одговара на претходната вредност се смета за пронајдена и се прави премин кон следниот чекор од алгоритмот за екстракција на коренот; ако тоа не се случи, тогаш вредноста на оваа цифра е 9.

Дозволете ни да ги објасниме овие точки користејќи го истиот пример за извлекување на квадратен корен од пет.

Прво ја наоѓаме вредноста на цифрата на единиците. Ќе поминеме низ вредностите 0, 1, 2, ..., 9, пресметувајќи 0 2, 1 2, ..., 9 2, соодветно, додека не добиеме вредност поголема од радикалниот број 5. Удобно е да се прикажат сите овие пресметки во форма на табела:

Значи вредноста на цифрата на единиците е 2 (од 2 2<5 , а 2 3 >5). Да продолжиме со наоѓање на вредноста на десеттото место. Во овој случај, ќе ги квадратиме броевите 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9, споредувајќи ги добиените вредности со радикалниот број 5:

Од 2.2 2<5 , а 2,3 2 >5, тогаш вредноста на десетиното место е 2. Можете да продолжите со наоѓање на вредноста на стотинките:

Така е пронајдена следната вредност на коренот од пет, таа е еднаква на 2,23. И така можете да продолжите да ги наоѓате вредностите: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

За да го консолидираме материјалот, ќе го анализираме извлекувањето на коренот со точност од стотинки користејќи го разгледуваниот алгоритам.

Прво ја одредуваме најзначајната цифра. За да го направите ова, ги коцкаме броевите 0, 10, 100 итн. додека не добиеме број поголем од 2.151.186. Имаме 0 3 =0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151,186 , така што најзначајната цифра е цифрата на десетки.

Ајде да ја одредиме неговата вредност.

Од 10 3<2 151,186 , а 20 3 >2 151,186, тогаш вредноста на местото на десетки е 1. Ајде да преминеме на единици.

Така, вредноста на цифрата е 2. Да преминеме на десетинки.

Бидејќи дури 12,9 3 е помал од радикалниот број 2 151,186, тогаш вредноста на десетиното место е 9. Останува да го извршиме последниот чекор од алгоритмот, тој ќе ни ја даде вредноста на коренот со потребната точност.

Во оваа фаза, вредноста на коренот се наоѓа точна до стотинки: .

Како заклучок на овој напис, би сакал да кажам дека има многу други начини за извлекување корени. Но, за повеќето задачи, доволни се оние што ги проучувавме погоре.

Библиографија.

• Макаричев Ју.Н., Миндјук Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник за 8 одделение. образовните институции.
• Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницин Ју.П. и други.Алгебра и почетоците на анализа: Учебник за 10 - 11 одделение на општообразовните установи.
• Гушев В.А., Мордкович А.Г. Математика (прирачник за оние кои влегуваат во техничките училишта).

Прво поглавје.

Наоѓање на најголемиот цел број квадратен корен од даден цел број.

170. Прелиминарни забелешки.

А)Бидејќи ќе зборуваме за извлекување само на квадратен корен, за да го скратиме говорот во ова поглавје, наместо „квадратен“ корен ќе кажеме едноставно „корен“.

б)Ако ги квадратиме броевите на природната низа: 1,2,3,4,5. . . , тогаш ја добиваме следната табела со квадрати: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100,121,144. .,

Очигледно, има многу цели броеви кои ги нема во оваа табела; Се разбира, невозможно е да се извлече целиот корен од таквите броеви. Затоа, ако треба да го извлечете коренот на кој било цел број, на пример. потребно е да се најде √4082, тогаш се согласуваме да го разбереме ова барање на следниов начин: извадете го целиот корен на 4082, ако е можно; ако тоа не е можно, тогаш мора да го најдеме најголемиот цел број чиј квадрат е 4082 (таков број е 63, бидејќи 63 2 = 3969, и 64 2 = 4090).

V)Ако овој број е помал од 100, тогаш неговиот корен се наоѓа со помош на табелата за множење; Така, √60 би било 7, бидејќи седум 7 е еднакво на 49, што е помалку од 60, а осум 8 е еднакво на 64, што е поголемо од 60.

171. Извлекување на корен од број помал од 10.000, но поголем од 100.Да речеме дека треба да го најдеме √4082. Бидејќи овој број е помал од 10.000, неговиот корен е помал од √l0.000 = 100. Од друга страна, овој број е поголем од 100; тоа значи дека неговиот корен е поголем од (или еднаков на 10). (Ако, на пример, беше неопходно да се најде √ 120 , тогаш иако бројот 120 > 100, сепак √ 120 е еднакво на 10, бидејќи 11 2 = 121.) Но секој број што е поголем од 10, но помал од 100 има 2 цифри; Ова значи дека потребниот корен е збирот:

десетици + едно,

и затоа неговиот квадрат мора да биде еднаков на збирот:

Оваа сума мора да биде најголемиот квадрат од 4082.

Да го земеме најголемиот од нив, 36, и да претпоставиме дека квадратот на коренот на десетките ќе биде еднаков на токму овој најголем квадрат. Тогаш бројот на десетици во коренот мора да биде 6. Сега да провериме дали тоа секогаш треба да биде така, т.е. бројот на десетици во коренот е секогаш еднаков на најголемиот целоброен корен од бројот на стотици радикал.

Навистина, во нашиот пример, бројот на десетици од коренот не може да биде повеќе од 6, бидејќи (7 дек.) 2 = 49 стотки, што надминува 4082. Но, не може да биде помал од 6, бидејќи 5 дек. (со единици) е помало од 6 дес., а во меѓувреме (6 дес.) 2 = 36 стотки, што е помало од 4082. А бидејќи го бараме најголемиот цел корен, не треба да земаме 5 дес за коренот, кога и 6 десетки не се многу.

Значи, го најдовме бројот на десетици од коренот, имено 6. Овој број го пишуваме десно од знакот =, запомнувајќи дека значи десетици од коренот. Подигнувајќи го за квадрат, добиваме 36 стотки. Ги одземаме овие 36 стотки од 40-те стотки на радикалниот број и ги одземаме преостанатите две цифри од овој број. Остатокот 482 мора да содржи 2 (6 дек.) (единици) + (единици)2. Производот (6 дек.) (единици) мора да биде десетици; затоа, двојниот производ од десетки по едно мора да се бара во десетките од остатокот, т.е. во 48 (нивниот број го добиваме со одвојување на една цифра десно во остатокот од 48 "2). Сочинуваме 12. Тоа значи дека ако помножиме 12 со единиците на коренот (кои сè уште се непознати), тогаш треба да го добиеме бројот содржан во 48. Затоа, го делиме 48 со 12.

За да го направите ова, нацртајте вертикална линија лево од остатокот и зад неа (повлекувајќи се од линијата едно место налево за целта што ќе се појави сега) ја запишуваме двојно првата цифра од коренот, т.е. 12, и подели со него 48. Во количник добиваме 4.

Сепак, не можеме однапред да гарантираме дека бројот 4 може да се земе како единици на коренот, бидејќи сега го поделивме со 12 целиот број на десетици од остатокот, додека некои од нив можеби не припаѓаат на двојниот производ од десетки со единици, но се дел од квадратот на единиците. Затоа, бројот 4 може да биде голем. Треба да го пробаме. Очигледно е погодно ако збирот 2 (6 дек.) 4 + 4 2 не е повеќе од остатокот 482.

Како резултат на тоа, го добиваме збирот на двете одеднаш. Добиениот производ се покажа дека е 496, што е поголемо од остатокот 482; Тоа значи дека бројот 4 е голем. Потоа да го тестираме следниот помал број 3 на ист начин.

Примери.

Во примерот 4, при делење на 47 десетици од остатокот со 4, како количник добиваме 11. Но бидејќи бројот на единиците на коренот не може да биде двоцифрен број 11 или 10, мора директно да го тестираме бројот 9.

Во примерот 5, откако ќе се одземе 8 од првото лице на квадратот, остатокот излегува дека е 0, а следното лице исто така се состои од нули. Ова покажува дека саканиот корен се состои од само 8 десетици и затоа на местото на оние мора да се стави нула.

172. Извлекување на корен од број поголем од 10000. Да речеме дека треба да го најдеме √35782. Бидејќи радикалниот број надминува 10.000, неговиот корен е поголем од √10000 = 100 и, според тоа, се состои од 3 цифри или повеќе. Без разлика од колку цифри се состои, секогаш можеме да го сметаме како збир од само десетки и единици. Ако, на пример, коренот се покаже дека е 482, тогаш можеме да го броиме како износ од 48 des. + 2 единици Тогаш квадратот на коренот ќе се состои од 3 члена:

(дек.) 2 + 2 (дек.) (единица) + (единица) 2 .

Сега можеме да размислуваме на ист начин како кога го наоѓаме √4082 (во претходниот пасус). Единствената разлика ќе биде во тоа што за да ги најдеме десетките од коренот на 4082, моравме да го извлечеме коренот од 40, а тоа може да се направи со помош на табелата за множење; сега, за да добиеме десетки√35782, ќе треба да го земеме коренот на 357, што не може да се направи со помош на табелата за множење. Но, можеме да најдеме √357 користејќи ја техниката опишана во претходниот пасус, бидејќи бројот 357< 10 000. Наибольший целый корень из 357 оказывается 18. Значит, в √3"57"82 должно быть 18 десятков. Чтобы найти единицы, надо из 3"57"82 вычесть квадрат 18 десятков, для чего достаточно вычесть квадрат 18 из 357 сотен и к остатку снести 2 последние цифры подкоренного числа. Остаток от вычитания квадpaта 18 из 357 у нас уже есть: это 33. Значит, для получения остатка от вычитания квадрата 18 дес. из 3"57"82, достаточно к 33 приписать справа цифры 82.

Следно, продолжуваме како што направивме при наоѓањето на √4082, имено: лево од остатокот 3382 повлекуваме вертикална линија и зад неа пишуваме (повлекувајќи едно празно место од линијата) двојно повеќе од бројот на десетици од пронајдениот корен, т.е. 36 (двапати 18). Во остатокот, одвојуваме една цифра десно и го делиме бројот на десетици од остатокот, односно 338, со 36. Во количникот добиваме 9. Го тестираме овој број, за што го доделуваме на 36 десно и множете се со него. Производот се покажа дека е 3321, што е помалку од остатокот. Ова значи дека бројот 9 е погоден, го пишуваме во коренот.

Општо земено, за да го извлечете квадратниот корен од кој било цел број, прво мора да го извлечете коренот на неговите стотици; ако овој број е повеќе од 100, тогаш ќе треба да го барате коренот на бројот на стотици од овие стотици, односно од десетици илјади од овој број; ако овој број е повеќе од 100, ќе треба да го земете коренот од бројот од стотици десетици илјади, односно од милионите на даден број итн.

Примери.

Во последниот пример, откако ја најдовме првата цифра и го одземавме нејзиниот квадрат, добиваме остаток од 0. Ги одземаме следните 2 цифри 51. Одвојувајќи ги десетките, добиваме 5 des, додека двојната пронајдена цифра на коренот е 6. Ова значи дека од делење 5 со 6 добиваме 0 Го ставаме 0 на второ место во коренот и ги додаваме следните 2 цифри на остатокот; добиваме 5110. Потоа продолжуваме како и обично.

Во овој пример, потребниот корен се состои од само 9 стотки, и затоа нулите мора да се постават на местата на десетки и на местата на единици.

Правило. За да го извлечат квадратниот корен на даден цел број, го делат, од десната кон левата страна, на работ, со по 2 цифри во секоја, освен последната која може да има една цифра.
За да ја пронајдете првата цифра од коренот, земете го квадратниот корен од првото лице.
За да се најде втората цифра, квадратот на првата цифра од коренот се одзема од првото лице, второто лице се зема на остатокот, а бројот на десетици од добиениот број се дели со двојното од првата цифра од коренот. ; добиениот цел број се тестира.
Овој тест се изведува вака: зад вертикалната линија (лево од остатокот) запишете го двапати од претходно пронајдениот број на коренот и на него, на десната страна, додадете ја тестираната цифра, добиениот број, по ова собирање. , се множи со тестираната цифра. Ако по множењето резултатот е број поголем од остатокот, тогаш тестираната цифра не е соодветна и следната помала цифра мора да се тестира.
Следните цифри од коренот се наоѓаат со истата техника.
Ако, по отстранувањето на лицето, бројот на десетици од добиениот број се покаже дека е помал од делителот, односно помалку од двапати од пронајдениот дел од коренот, тогаш тие ставаат 0 во коренот, го отстрануваат следното лице и продолжи со акцијата понатаму.

173. Број на цифри на коренот.Од разгледувањето на процесот на пронаоѓање на коренот, произлегува дека има толку цифри во коренот колку што има лица од по 2 цифри во радикалниот број (левото лице може да има една цифра).

Второ поглавје.

Извлекување приближни квадратни корени од цели броеви и дропки .

За извлекување на квадратниот корен на полиномите, видете ги дополнувањата на вториот дел од § 399 и понатаму.

174. Знаци на точен квадратен корен.Точниот квадратен корен на даден број е број чиј квадрат е точно еднаков на дадениот број. Дозволете ни да посочиме неколку знаци со кои може да се процени дали може да се извлече точен корен од даден број или не:

А)Ако точниот цел корен не се извлече од даден цел број (остатокот се добива при извлекување), тогаш од таков број не може да се најде фракционо точен корен, бидејќи секоја дропка што не е еднаква на цел број, кога ќе се помножи со себе , исто така, произведува дропка во производот, а не цел број.

б)Бидејќи коренот на дропката е еднаков на коренот на броителот поделен со коренот на именителот, не може да се најде точниот корен на нередуцираната дропка ако не може да се извлече од броителот или именителот. На пример, точниот корен не може да се извлече од дропките 4/5, 8/9 и 11/15, бидејќи во првата дропка не може да се извлече од именителот, во втората - од броителот, а во третата - ниту од броител ниту од именителот.

Од броеви од кои не може да се извлече точниот корен, може да се извлечат само приближни корени.

175. Приближен корен прецизен до 1. Приближен квадратен корен, точен до 1, од даден број (цел број или фракционо, не е важно) е цел број што ги задоволува следните две барања:

1) квадратот на овој број не е поголем од дадениот број; 2) но квадратот на овој број зголемен за 1 е поголем од овој број. Со други зборови, приближниот квадратен корен точен на 1 е најголемиот цел број квадратен корен од даден број, односно коренот што научивме да го најдеме во претходното поглавје. Овој корен се нарекува приближен со точност од 1, бидејќи за да добиеме точен корен, на овој приближен корен би требало да додадеме дропка помала од 1, па ако наместо непознатиот точен корен го земеме овој приближен, ќе направиме грешка помала од 1.

Правило. За да извлечете приближен квадратен корен точен до 1, треба да го извлечете најголемиот целоброен корен од целиот дел од дадениот број.

Бројот што го наоѓа ова правило е приближен корен со недостаток , бидејќи му недостасува точниот корен на одредена дропка (помалку од 1). Ако го зголемиме овој корен за 1, добиваме друг број во кој има вишок над точниот корен, а тој вишок е помал од 1. Овој корен зголемен за 1 може да се нарече и приближен корен со точност од 1, но со вишок. (Имињата: „со недостаток“ или „со вишок“ во некои математички книги се заменуваат со други еквивалентни: „со недостаток“ или „со вишок“.)

176. Приближен корен со точност од 1/10. Да речеме дека треба да најдеме √2.35104 со точност од 1/10. Тоа значи дека треба да пронајдете децимална дропка која би се состоела од цели единици и десетини и која би ги задоволила следните две барања:

1) квадратот на оваа дропка не надминува 2,35104, но 2) ако го зголемиме за 1/10, тогаш квадратот на оваа зголемена дропка надминува 2,35104.

За да најдеме таква дропка, прво наоѓаме приближен корен точен на 1, односно го извлекуваме коренот само од цел број 2. Добиваме 1 (а остатокот е 1). Го пишуваме бројот 1 во коренот и ставаме запирка по него. Сега ќе го бараме бројот на десетинки. За да го направите ова, ги симнуваме до остатокот 1 цифрите 35 десно од децималната точка и продолжуваме со екстракција како да го извлекуваме коренот на цел број 235. Добиениот број 5 го запишуваме во коренот на местото на десетинки . Не ни требаат преостанатите цифри од радикалниот број (104). Дека добиениот број 1,5 всушност ќе биде приближен корен со точност од 1/10, може да се види од следново. Ако го најдеме најголемиот целоброен корен од 235 со точност од 1, ќе добиеме 15. Значи:

15 2 < 235, но 16 2 > 235.

Поделувајќи ги сите овие броеви со 100, добиваме:

Тоа значи дека бројот 1,5 е децимална дропка што ја нарековме приближен корен со точност од 1/10.

Користејќи ја оваа техника, можеме да ги најдеме и следните приближни корени со точност од 0,1:

177. Приближно квадратен корен во рамките од 1/100 до 1/1000, итн.

Да претпоставиме дека треба да најдеме приближна √248 со точност од 1/100. Ова значи: најдете децимална дропка која би се состоела од цели, десетинки и стотинки делови и која би задоволувала две барања:

1) неговиот квадрат не надминува 248, но 2) ако ја зголемиме оваа дропка за 1/100, тогаш квадратот на оваа зголемена дропка надминува 248.

Таква дропка ќе најдеме во следнава низа: прво ќе го најдеме целиот број, потоа десетинки, па стотинки. Коренот на цел број е 15 цели броеви. За да ја добиете бројката за десетинки, како што видовме, треба да додадете на остатокот 23 уште 2 цифри десно од децималната точка. Во нашиот пример, овие бројки воопшто не се присутни, на нивно место ставаме нули. Со нивно додавање на остатокот и продолжување како да го наоѓаме коренот на цел број 24.800, ќе ги најдеме десетките фигура 7. Останува да ги најдеме стотинките. За да го направите ова, додаваме уште 2 нули на остатокот 151 и продолжуваме со екстракција, како да го наоѓаме коренот на цел број 2.480.000. Добиваме 15,74. Дека овој број навистина е приближен корен од 248 со точност од 1/100 може да се види од следново. Ако го најдеме најголемиот цел број квадратен корен од цел број 2.480.000, ќе добиеме 1574; Значи:

1574 2 < 2.480.000, но 1575 2 > 2.480.000.

Поделувајќи ги сите броеви со 10.000 (= 100 2), добиваме:

Тоа значи дека 15,74 е таа децимална дропка што ја нарековме приближен корен со точност од 1/100 од 248.

Применувајќи ја оваа техника за наоѓање приближен корен со точност од 1/1000 до 1/10000 итн., го наоѓаме следново.

Правило. За да се извлече приближен корен од даден цел број или од дадена децимална дропка со точност од 1/10 до 1/100 до 1/100 итн., најпрво пронајдете приближен корен со точност 1, извлекувајќи го коренот на цел број (ако не, тие пишуваат за коренот на 0 цели броеви).

Потоа го наоѓаат бројот на десетинки. За да го направите ова, додајте ги на остатокот 2 цифри од радикалниот број десно од децималната точка (ако ги нема, додадете две нули на остатокот) и продолжете со екстракција како што се прави кога се извлекува коренот на цел број. . Добиениот број се запишува во коренот на местото на десетинки.

Потоа пронајдете го бројот на стотинките. За да го направите ова, два броја десно од оние што штотуку беа отстранети се додаваат на остатокот, итн.

Така, при извлекување на коренот на цел број со децимална дропка, потребно е да се подели на лица по 2 цифри, почнувајќи од децималната точка, и налево (во целиот дел од бројот) и надесно (во фракциониот дел).

Примери.

1) Најдете до 1/100 корени: а) √2; б) √0,3;

Во последниот пример, дропот 3/7 го претворивме во децимален со пресметување на 8 децимали за да ги формираме 4-те лица потребни за наоѓање на 4 децимални места од коренот.

178. Опис на табелата со квадратни корени.На крајот од оваа книга е табела со квадратни корени пресметани со четири цифри. Користејќи ја оваа табела, можете брзо да го пронајдете квадратниот корен на цел број (или децимална дропка) кој е изразен со не повеќе од четири цифри. Пред да објасниме како е структурирана оваа табела, забележуваме дека секогаш можеме да ја најдеме првата значајна цифра од саканиот корен без помош на табели само со гледање на радикалниот број; лесно можеме да одредиме кое децимално место значи првата цифра од коренот и, според тоа, каде во коренот, кога ќе ги најдеме неговите цифри, мора да ставиме запирка. Еве неколку примери:

1) √5"27,3 . Првата цифра ќе биде 2, бидејќи левата страна на радикалниот број е 5; а коренот на 5 е еднаков на 2. Дополнително, бидејќи во цел број на радикалот има само 2 лица, тогаш во целиот дел од саканиот корен мора да има 2 цифри и, според тоа, неговата прва цифра 2 мора значи десетици.

2) √9.041. Очигледно, во овој корен првата цифра ќе биде 3 прости единици.

3) √0,00"83"4. Првата значајна цифра е 9, бидејќи лицето од кое треба да се земе коренот за да се добие првата значајна цифра е 83, а коренот на 83 е 9. Бидејќи потребниот број нема да содржи ниту цели броеви ниту десетини, првата цифра 9 мора да значи стотинки.

4) √0,73"85. Првата значајна бројка е 8 десетинки.

5) √0,00"00"35"7. Првата значајна бројка ќе биде 5 илјадити.

Да направиме уште една забелешка. Да претпоставиме дека треба да го извлечеме коренот на број кој, откако ќе го отфрлиме окупираниот збор во него, е претставен со низа броеви како овој: 5681. Овој корен може да биде еден од следниве:

Ако ги земеме корените што ги подвлекуваме со една линија, тогаш сите тие ќе бидат изразени со иста низа броеви, токму оние броеви што се добиваат при извлекување на коренот од 5681 (тоа ќе бидат броевите 7, 5, 3, 7 ). Причината за ова е што лицата на кои треба да се подели радикалниот број при наоѓање на цифрите на коренот ќе бидат исти во сите овие примери, затоа цифрите за секој корен ќе бидат исти (само позицијата на децималната поентата, се разбира, ќе биде различна). На ист начин, во сите корени подвлечени од нас со два реда, треба да се добијат исти броеви, токму оние со кои се изразува √568,1 (овие броеви ќе бидат 2, 3, 8, 3), а за истите причина. Така, цифрите од корените на броевите претставени (со испуштање на запирката) со истиот ред од броеви 5681 ќе бидат од два (и само два) вида: или ова е редот 7, 5, 3, 7 или ред 2, 3, 8, 3. Истото, очигледно, може да се каже и за која било друга серија на броеви. Затоа, како што ќе видиме сега, во табелата, секој ред цифри од радикалниот број одговара на 2 реда цифри за корените.

Сега можеме да ја објасниме структурата на табелата и како да ја користиме. За јасност на објаснувањето, овде го прикажавме почетокот на првата страница од табелата.

Оваа табела се наоѓа на неколку страници. На секој од нив, во првата колона лево, се поставени броевите 10, 11, 12... (до 99). Овие бројки ги изразуваат првите 2 цифри од бројот од кој се бара квадратниот корен. Во горната хоризонтална линија (како и во долната страна) се броевите: 0, 1, 2, 3... 9, што ја претставува третата цифра од овој број, а потоа понатаму десно се броевите 1, 2, 3. . . 9, што ја претставува 4-та цифра од овој број. Сите други хоризонтални линии содржат 2 четирицифрени броеви кои ги изразуваат квадратните корени на соодветните броеви.

Да претпоставиме дека треба да го пронајдете квадратниот корен на некој број, или цел број или изразен како децимална дропка. Како прво, ја наоѓаме, без помош на табели, првата цифра од коренот и неговата цифра. Потоа ќе ја отфрлиме запирката во овој број, ако ја има. Прво да претпоставиме дека по отфрлањето на запирката ќе останат само 3 цифри, на пример. 114. Во табелите во најлевата колона ги наоѓаме првите 2 цифри, односно 11, и се движиме од нив надесно по хоризонталната линија додека не стигнеме до вертикалната колона, на врвот (и на дното) од која е третата цифра од бројот , односно 4. На ова место наоѓаме два четирицифрени броја: 1068 и 3376. Кој од овие два броја треба да се земе и каде да се стави запирката во него, тоа се одредува со првата цифра од коренот и нејзината цифра, која ја најдовме претходно. Значи, ако треба да најдеме √0,11"4, тогаш првата цифра од коренот е 3 десетини, и затоа мора да земеме 0,3376 за коренот. Ако треба да најдеме √1,14, тогаш првата цифра од коренот би била 1, а ние Тогаш би земале 1.068.

На овој начин лесно можеме да најдеме:

√5,30 = 2,302; √7"18 = 26,80; √0,91"6 = 0,9571, итн.

Сега да претпоставиме дека треба да го најдеме коренот на бројот изразен (со отфрлање на децималната точка) со 4 цифри, на пример, √7"45.6. Имајќи предвид дека првата цифра од коренот е 2 десетки, наоѓаме за број 745, како што е сега објаснето, цифрите 2729 (овој број го забележуваме само со прстот, но не го запишуваме.) Потоа се движиме од овој број понатаму надесно додека на десната страна од табелата (зад последната задебелена линија) ја среќаваме вертикалната колона што е означена на врвот (и на дното) 4 цифрата од дадениот број, односно бројот 6, и таму го наоѓаме бројот 1. Ова ќе биде корекција што мора да се примени (во умот) до претходно пронајдениот број 2729, добиваме 2730. Го запишуваме овој број и ставаме запирка во него на соодветното место: 27.30.

На овој начин наоѓаме, на пример:

√44,37 = 6,661; √4.437 = 2.107; √0.04"437 =0.2107, итн.

Ако радикалниот број се изразува само со една или две цифри, тогаш можеме да претпоставиме дека овие цифри се проследени со една или две нули, а потоа да продолжиме како што е објаснето за трицифрен број. На пример, √2,7 =√2,70 =1,643; √0,13 = √0,13"0 = 0,3606, итн.

Конечно, ако радикалниот број е изразен со повеќе од 4 цифри, тогаш ќе ги земеме само првите 4 од нив, а останатите ќе ги отфрлиме, а за да ја намалиме грешката, ако првата од отфрлените цифри е 5 или повеќе од 5, тогаш ќе ја зголемиме за l четвртата од задржаните цифри . Значи:

√357,8| 3 | = 18,91; √0,49"35|7 | = 0,7025; и така натаму.

Коментар. Табелите го покажуваат приближниот квадратен корен, понекогаш со недостаток, понекогаш со вишок, имено оној од овие приближни корени што се приближува до точниот корен.

179. Извлекување квадратни корени од обични дропки.Точниот квадратен корен на нередуцирана дропка може да се извлече само кога двата члена на дропката се точни квадрати. Во овој случај, доволно е да се извлече коренот на броителот и именителот одделно, на пример:

Најлесен начин да се најде приближен квадратен корен од обична дропка со одредена децимална прецизност е прво да се претвори обичната дропка во децимален, пресметувајќи го во оваа дропка бројот на децимали по децималната точка кој би бил два пати поголем од бројот на децимални места. во саканиот корен.

Сепак, можете да го направите поинаку. Да го објасниме ова со следниов пример:

Најдете приближно √ 5 / 24

Да го направиме именителот точен квадрат. За да го направите ова, би било доволно да се помножат двата члена на дропката со именителот 24; но во овој пример можете да го направите поинаку. Ајде да разложиме 24 на прости множители: 24 = 2 2 2 3. Од ова разложување е јасно дека ако 24 се помножи со 2 и уште 3, тогаш во производот секој едноставен фактор ќе се повтори парен број пати, и затоа , именителот ќе стане квадрат:

Останува да се пресмета √30 со одредена точност и да се подели резултатот со 12. Мора да се има на ум дека делењето со 12 исто така ќе ја намали дропот што го покажува степенот на точност. Значи, ако најдеме √30 со точност од 1/10 и го поделиме резултатот со 12, ќе добиеме приближен корен на дропот 5/24 со точност од 1/120 (имено 54/120 и 55/120)

Трето поглавје.

График на функцијаx = √y .

180. Инверзна функција.Нека биде дадена некоја равенка која одредува на како функција на X , на пример, вака: y = x 2 . Можеме да кажеме дека одредува не само на како функција на X , но и, обратно, одредува X како функција на на , иако на имплицитен начин. За да ја направиме оваа функција експлицитна, треба да ја решиме оваа равенка за X , зборува на за познат број; Значи, од равенката што ја зедовме наоѓаме: y = x 2 .

Алгебарскиот израз добиен за x по решавањето на равенката што го дефинира y како функција од x се нарекува инверзна функција на онаа што го дефинира y.

Значи функцијата x = √y инверзна функција y = x 2 . Ако, како што е вообичаено, ја означуваме независната променлива X , и зависните на , тогаш инверзната функција добиена сега може да се изрази на следниов начин: y = √ x . Така, за да се добие функција инверзна на дадена (директна), потребно е да се изведе од равенката што ја дефинира оваа дадена функција X во зависност од y а во добиениот израз замени y на x , А X на y .

181. График на функција y = √ x . Оваа функција не е можна со негативна вредност X , но може да се пресмета (со секаква точност) за која било позитивна вредност x , и за секоја таква вредност функцијата добива две различни вредности со иста апсолутна вредност, но со спротивни знаци. Ако сте запознаени √ Ако ја означиме само аритметичката вредност на квадратниот корен, тогаш овие две вредности на функцијата може да се изразат на следниов начин: y= ± √ x За да нацртате график на оваа функција, прво мора да составите табела со нејзините вредности. Најлесен начин да се создаде оваа табела е од табелата со директни вредности на функции:

y = x 2 .

x

y

доколку вредностите на земете како вредности X , и обратно:

y= ± √ x

Со исцртување на сите овие вредности на цртежот, го добиваме следниот графикон.

На истиот цртеж го прикажавме (со скршена линија) графикот на директната функција y = x 2 . Ајде да ги споредиме овие два графикони едни со други.

182. Врската помеѓу графиците на директни и инверзни функции.Да се ​​состави табела со вредности на инверзната функција y= ± √ x земавме за X оние броеви кои се во табелата на директната функција y = x 2 служи како вредности за на , и за на ги зеде тие бројки; кои во оваа табела беа вредностите за x . Од ова произлегува дека двата графика се исти, само графикот на директната функција е така лоциран во однос на оската на - како се наоѓа графикот на инверзната функција во однос на оската X - ов. Како резултат на тоа, ако го свиткаме цртежот околу права линија ОП пресекување на прав агол xOy , така што делот од цртежот што ја содржи полуоската ОУ , паднал на делот што ја содржи осовината О , Тоа ОУ компатибилен со О , сите поделби ОУ ќе се совпадне со поделбите О , и парабола точки y = x 2 ќе се усогласи со соодветните точки на графикот y= ± √ x . На пример, поени М И Н , чија ордината 4 , и апсцисите 2 И - 2 , ќе се совпадне со точките М" И N" , за што апсцисата 4 , и ординатите 2 И - 2 . Ако овие точки се совпаѓаат, тоа значи дека правите линии ММ" И НН" нормално на ОПи поделете ја оваа права линија на половина. Истото може да се каже и за сите други соодветни точки на двата графика.

Така, графикот на инверзната функција треба да биде ист како графикот на директната функција, но овие графикони се наоѓаат различно, имено симетрично еден со друг во однос на симетралата на аголот xOy . Можеме да кажеме дека графикот на инверзната функција е одраз (како во огледало) на графикот на директната функција во однос на симетралата на аголот xOy .

Математиката настана кога човекот стана свесен за себе и почна да се позиционира како автономна единица на светот. Желбата да се измери, споредува, брои она што ве опкружува е она што лежи во основата на една од основните науки на нашите денови. Отпрвин, ова беа честички од елементарната математика, што овозможи да се поврзат броевите со нивните физички изрази, подоцна заклучоците почнаа да се прикажуваат само теоретски (поради нивната апстракција), но по некое време, како што рече еден научник, „ математиката го достигна плафонот на сложеност кога исчезна од неа.“ сите бројки“. Концептот на „квадратен корен“ се појави во време кога можеше лесно да се поддржи со емпириски податоци, надминувајќи го рамнината на пресметките.

Каде што сè започна

Првото спомнување на коренот, кој моментално е означен како √, е забележано во делата на вавилонските математичари, кои ги поставиле темелите на модерната аритметика. Се разбира, тие малку наликуваа на сегашната форма - научниците од тие години првпат користеа гломазни таблети. Но, во вториот милениум п.н.е. д. Тие извлекоа приближна формула за пресметка која покажа како да се извлече квадратниот корен. На фотографијата подолу е прикажан камен на кој вавилонските научници го издлабиле процесот за заклучување √2, и се покажало дека е толку точно што несовпаѓањето во одговорот е пронајдено само во десетото децимално место.

Дополнително, коренот се користел доколку било потребно да се најде страна на триаголник, под услов другите две да бидат познати. Па, кога се решаваат квадратни равенки, нема спас од извлекување на коренот.

Заедно со вавилонските дела, предметот на статијата беше изучуван и во кинеското дело „Математика во девет книги“, а старите Грци дојдоа до заклучок дека секој број од кој коренот не може да се извлече без остаток дава ирационален резултат. .

Потеклото на овој термин е поврзано со арапското претставување на бројот: античките научници верувале дека квадратот на произволен број расте од корен, како растение. На латински, овој збор звучи како радикс (можете да следите шема - сè што има значење „корен“ е согласка, било да е тоа ротквица или радикулитис).

Научниците од следните генерации ја прифатија оваа идеја, означувајќи ја како Rx. На пример, во 15 век, за да покажат дека е земен квадратен корен на произволен број a, тие напишале R 2 a. „Крлежот“, познат на современите очи, се појави дури во 17 век благодарение на Рене Декарт.

Нашите денови

Во математичка смисла, квадратниот корен на бројот y е бројот z чиј квадрат е еднаков на y. Со други зборови, z 2 =y е еквивалентно на √y=z. Сепак, оваа дефиниција е релевантна само за аритметичкиот корен, бидејќи подразбира ненегативна вредност на изразот. Со други зборови, √y=z, каде што z е поголем или еднаков на 0.

Генерално, што се однесува на определување на алгебарски корен, вредноста на изразот може да биде или позитивна или негативна. Така, поради тоа што z 2 =y и (-z) 2 =y, имаме: √y=±z или √y=|z|.

Поради фактот што љубовта кон математиката само се зголеми со развојот на науката, постојат различни манифестации на наклонетост кон неа кои не се изразуваат во суви пресметки. На пример, заедно со такви интересни феномени како Денот на Пи, се слават и празници со квадратен корен. Тие се слават девет пати на секои сто години, а се одредуваат според следниот принцип: броевите што по ред го означуваат денот и месецот мора да бидат квадратен корен од годината. Така, следниот пат кога ќе го славиме овој празник е 4 април 2016 година.

Својства на квадратниот корен на полето Р

Речиси сите математички изрази имаат геометриска основа, а √y, кој е дефиниран како страна на квадрат со површина y, не ја избегнал оваа судбина.

Како да се најде коренот на бројот?

Постојат неколку алгоритми за пресметка. Наједноставната, но во исто време доста незгодна е вообичаената аритметичка пресметка, која е како што следува:

1) од бројот чиј корен ни треба, непарните броеви се одземаат за возврат - додека остатокот на излезот не биде помал од одземениот или дури еднаков на нула. Бројот на потези на крајот ќе стане посакуваниот број. На пример, пресметување на квадратниот корен од 25:

Следниот непарен број е 11, а остатокот е: 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?

За такви случаи постои проширување на серијата Тејлор:

√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n, каде што n зема вредности од 0 до

+∞ и |y|≤1.

Графички приказ на функцијата z=√y

Да ја разгледаме елементарната функција z=√y на полето на реалните броеви R, каде y е поголем или еднаков на нула. Неговиот распоред изгледа вака:

Кривата расте од потеклото и нужно ја пресекува точката (1; 1).

Својства на функцијата z=√y на полето реални броеви Р

1. Доменот на дефинирање на функцијата што се разгледува е интервалот од нула до плус бесконечност (нула е вклучена).

2. Опсегот на вредности на функцијата што се разгледува е интервалот од нула до плус бесконечност (нула е повторно вклучена).

3. Функцијата ја зема својата минимална вредност (0) само во точката (0; 0). Нема максимална вредност.

4. Функцијата z=√y не е ниту парна ниту непарна.

5. Функцијата z=√y не е периодична.

6. Има само една точка на пресек на графикот на функцијата z=√y со координатните оски: (0; 0).

7. Пресечната точка на графикот на функцијата z=√y е и нула на оваа функција.

8. Функцијата z=√y постојано расте.

9. Функцијата z=√y зема само позитивни вредности, па затоа нејзиниот график го зафаќа првиот координатен агол.

Опции за прикажување на функцијата z=√y

Во математиката, за да се олесни пресметувањето на сложените изрази, понекогаш се користи формата на моќност за пишување на квадратен корен: √y=y 1/2. Оваа опција е погодна, на пример, при подигање на функција на моќност: (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2. Овој метод е исто така добар приказ за диференцијација со интеграција, бидејќи благодарение на него квадратниот корен е претставен како обична функција на моќност.

А во програмирањето, заменувањето на симболот √ е комбинација од буквите sqrt.

Вреди да се напомене дека во оваа област квадратниот корен е во голема побарувачка, бидејќи е дел од повеќето геометриски формули неопходни за пресметки. Самиот алгоритам за броење е доста сложен и се заснова на рекурзија (функција која се повикува себеси).

Квадратен корен во сложено поле В

Во голема мера, темата на оваа статија го стимулираше откривањето на полето на сложени броеви C, бидејќи математичарите беа прогонувани од прашањето за добивање парен корен од негативен број. Така се појави имагинарната единица i, која се карактеризира со многу интересно својство: нејзиниот квадрат е -1. Благодарение на ова, квадратните равенки беа решени дури и со негативна дискриминанта. Во C, истите својства се релевантни за квадратниот корен како и во R, единственото нешто е што ограничувањата на радикалниот израз се отстранети.