(од грчки λόγος - „збор“, „врска“ и ἀριθμός - „број“) броеви ббазирано на а(log α б) се нарекува таков број в, И б= а в, односно го запишува дневникот α б=вИ b=aвсе еквивалентни. Логаритмот има смисла ако a > 0, a ≠ 1, b > 0.
Со други зборови логаритамброеви ббазирано на Аформулиран како експонент на кој мора да се подигне број аза да го добиете бројот б(логаритам постои само за позитивни броеви).
Од оваа формулација произлегува дека пресметката x= log α б, е еквивалентно на решавање на равенката a x =b.
На пример:
дневник 2 8 = 3 бидејќи 8 = 2 3 .
Да нагласиме дека посочената формулација на логаритамот овозможува веднаш да се определи логаритамска вредност, кога бројот под знакот логаритам делува како некоја моќност на основата. Навистина, формулацијата на логаритмот овозможува да се оправда дека ако b=a c, потоа логаритам на бројот ббазирано на аеднакви Со. Исто така, јасно е дека темата логаритми е тесно поврзана со темата моќи на број.
Пресметувањето на логаритам се нарекува логаритам. Логаритам е математичка операција на земање логаритам. При земањето логаритми, производите на факторите се трансформираат во збирови на членови.
Потенцијацијае инверзна математичка операција на логаритам. За време на потенцирањето, дадена основа се подига до степенот на изразување над кој се врши потенцирање. Во овој случај, збировите на поими се трансформираат во производ на фактори.
Доста често, реалните логаритми се користат со основите 2 (бинарни), Ојлеровиот број e ≈ 2,718 (природен логаритам) и 10 (децимална).
На на оваа бинапрепорачливо е да се разгледа логаритамски примероцидневник 7 2 , ln √ 5, lg0.0001.
И записите lg(-3), log -3 3.2, log -1 -4.3 немаат смисла, бидејќи во првиот од нив негативен број се става под знакот логаритам, во вториот - негативен бројво основата, а во третата - и негативен број под знакот на логаритам и единица во основата.
Услови за определување на логаритам.
Вреди да се разгледаат одделно условите a > 0, a ≠ 1, b > 0.под кои добиваме дефиниција на логаритам.Ајде да размислиме зошто беа преземени овие ограничувања. Во тоа ќе ни помогне еднаквоста од формата x = log α б, наречен основен логаритамски идентитет, што директно произлегува од дефиницијата за логаритам дадена погоре.
Да ја земеме состојбата a≠1. Бидејќи еден на која било сила е еднаков на еден, еднаквоста x=log α бможе да постои само кога b=1, но дневникот 1 1 ќе биде кој било реален број. За да ја елиминираме оваа нејасност, земаме a≠1.
Да ја докажеме неопходноста на состојбата a>0. На a=0според формулацијата на логаритамот може да постои само кога b=0. И соодветно тогаш дневник 0 0може да биде кој било реален број што не е нула, бидејќи нула до која било ненулта моќност е нула. Оваа двосмисленост може да се отстрани со состојбата a≠0. И кога а<0 би требало да ја отфрлиме анализата на рационалните и ирационалните вредности на логаритмот, бидејќи степенот со рационален и ирационален експонент е дефиниран само за ненегативни основи. Токму поради оваа причина условот е наведен a>0.
И последниот услов б>0произлегува од нееднаквоста a>0, бидејќи x=log α б, и вредноста на степенот со позитивна основа асекогаш позитивно.
Карактеристики на логаритмите.
Логаритмисе карактеризира со карактеристични карактеристики, што доведе до нивна широка употреба за значително олеснување на макотрпните пресметки. Кога се движите „во светот на логаритмите“, множењето се трансформира во многу полесно собирање, делењето се трансформира во одземање, а степенувањето и извлекувањето на коренот се трансформираат, соодветно, во множење и делење со експонентот.
Формулирање на логаритми и табела на нивните вредности (за тригонометриски функции) за прв пат беше објавен во 1614 година од шкотскиот математичар Џон Напиер. Логаритамските табели, зголемени и детални од други научници, беа широко користени во научните и инженерските пресметки и останаа релевантни до употребата на електронски калкулатори и компјутери.
Логаритмите, како и сите броеви, можат да се собираат, одземаат и трансформираат на секој начин. Но, бидејќи логаритмите не се точно редовни броеви, тука има правила, кои се нарекуваат главните својства.
Дефинитивно треба да ги знаете овие правила - без нив не може да се реши ниту еден сериозен логаритамски проблем. Покрај тоа, има многу малку од нив - можете да научите сè за еден ден. Па ајде да започнеме.
Собирање и одземање логаритми
Размислете за два логаритми со по истите основи:log а xи дневник а y. Потоа тие можат да се собираат и одземаат и:
- дневник а x+ дневник а y= дневник а (x · y);
- дневник а x− дневник а y= дневник а (x : y).
Значи, збирот на логаритми е еднаков на логаритмот на производот, а разликата е еднаква на логаритмот на количникот. Забелешка: клучен моментЕве - идентични основи. Ако причините се различни, овие правила не функционираат!
Овие формули ќе ви помогнат да пресметате логаритамски израздури и кога неговите поединечни делови не се бројат (види лекција „Што е логаритам“). Погледнете ги примерите и видете:
Дневник 6 4 + дневник 6 9.
Бидејќи логаритмите имаат исти основи, ја користиме формулата за збир:
дневник 6 4 + дневник 6 9 = дневник 6 (4 9) = дневник 6 36 = 2.
Задача. Најдете ја вредноста на изразот: log 2 48 − log 2 3.
Основите се исти, ја користиме формулата за разлика:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.
Задача. Најдете ја вредноста на изразот: log 3 135 − log 3 5.
Повторно, основите се исти, така што имаме:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.
Како што можете да видите, оригиналните изрази се составени од „лоши“ логаритми, кои не се пресметуваат одделно. Но по трансформациите се добиваат сосема нормални бројки. Многумина се изградени на овој факт тест трудови. Да, изразите слични на тестот се нудат со сета сериозност (понекогаш практично без промени) на Обединетиот државен испит.
Извлекување на експонентот од логаритамот
Сега да ја комплицираме задачата малку. Што ако основата или аргументот на логаритам е моќност? Тогаш експонентот на овој степен може да се извади од знакот на логаритамот според следниве правила:
Лесно е да се види дека последното правило ги следи првите две. Но, подобро е да се запамети во секој случај - во некои случаи тоа значително ќе го намали износот на пресметките.
Се разбира, сите овие правила имаат смисла ако се почитува ODZ на логаритамот: а > 0, а ≠ 1, x> 0. И уште нешто: научете да ги применувате сите формули не само од лево кон десно, туку и обратно, т.е. Можете да ги внесете броевите пред знакот за логаритам во самиот логаритам. Ова е она што најчесто се бара.
Задача. Најдете ја вредноста на изразот: log 7 49 6 .
Ајде да се ослободиме од степенот во аргументот користејќи ја првата формула:
дневник 7 49 6 = 6 дневник 7 49 = 6 2 = 12
Задача. Најдете го значењето на изразот:
[Наслов за сликата]
Забележете дека именителот содржи логаритам, чија основа и аргумент се точни моќи: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Ние имаме:
[Наслов за сликата] Мислам дека последниот пример бара некое појаснување. Каде отидоа логаритмите? До последен момент работиме само со именителот. Ја претставивме основата и аргументот на логаритмот што стои таму во форма на моќности и ги извадивме експонентите - добивме дропка „три ката“.
Сега да ја погледнеме главната фракција. Броителот и именителот го содржат истиот број: log 2 7. Бидејќи log 2 7 ≠ 0, можеме да ја намалиме дропката - 2/4 ќе остане во именителот. Според правилата на аритметиката, четворката може да се пренесе на броителот, што е и направено. Резултатот беше одговорот: 2.
Транзиција кон нова основа
Зборувајќи за правилата за собирање и одземање логаритми, конкретно нагласив дека тие работат само со исти основи. Што ако причините се различни? Што ако тие не се точни моќи со ист број?
На помош доаѓаат формулите за транзиција кон нова основа. Да ги формулираме во форма на теорема:
Нека е даден логаритамскиот дневник а x. Потоа за кој било број втакви што в> 0 и в≠ 1, еднаквоста е вистина:
[Наслов за сликата]
Конкретно, ако ставиме в = x, добиваме:
[Наслов за сликата]
Од втората формула произлегува дека основата и аргументот на логаритмот може да се заменат, но во овој случај целиот израз е „превртен“, т.е. логаритмот се појавува во именителот.
Овие формули ретко се наоѓаат во обичните нумерички изрази. Можно е да се процени колку се погодни само кога се решаваат логаритамски равенки и неравенки.
Сепак, има проблеми кои не можат да се решат воопшто освен со преселба во нова основа. Ајде да погледнеме неколку од овие:
Задача. Најдете ја вредноста на изразот: log 5 16 log 2 25.
Забележете дека аргументите на двата логаритма содржат точни моќи. Ајде да ги извадиме индикаторите: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; дневник 2 25 = дневник 2 5 2 = 2 дневник 2 5;
Сега да го „превртиме“ вториот логаритам:
[Наслов за сликата]Бидејќи производот не се менува при преуредување на факторите, мирно помноживме четири и два, а потоа се занимававме со логаритми.
Задача. Најдете ја вредноста на изразот: log 9 100 lg 3.
Основата и аргументот на првиот логаритам се точни моќи. Ајде да го запишеме ова и да се ослободиме од индикаторите:
[Наслов за сликата]Сега да се ослободиме од децималниот логаритам со преместување во нова основа:
[Наслов за сликата]Основен логаритамски идентитет
Често во процесот на решавање е потребно да се претстави број како логаритам на дадена основа. Во овој случај, следните формули ќе ни помогнат:
Во првиот случај, бројот nстанува показател за степенот што стои во аргументот. Број nможе да биде апсолутно сè, бидејќи тоа е само логаритамска вредност.
Втората формула е всушност парафразирана дефиниција. Така се нарекува: основен логаритамски идентитет.
Всушност, што ќе се случи ако бројот бподигнете до таква моќ што бројот бна оваа моќ го дава бројот а? Така е: го добивате истиот број а. Прочитајте го овој пасус повторно внимателно - многу луѓе се заглавуваат на него.
Како формули за преместување во нова основа, основниот логаритамски идентитет понекогаш е единственото можно решение.
Задача. Најдете го значењето на изразот:
[Наслов за сликата]
Забележете дека log 25 64 = log 5 8 - едноставно го зеде квадратот од основата и аргументот на логаритамот. Земајќи ги предвид правилата за множење моќи со иста основа, добиваме:
[Наслов за сликата]Ако некој не знае, ова беше вистинска задача од Единствениот државен испит :)
Логаритамска единица и логаритамска нула
Како заклучок, ќе дадам два идентитети кои тешко можат да се наречат својства - напротив, тие се последици од дефиницијата на логаритамот. Тие постојано се појавуваат во проблеми и изненадувачки им создаваат проблеми дури и на „напредните“ студенти.
- дневник а а= 1 е логаритамска единица. Запомнете еднаш засекогаш: логаритам до која било основа аод оваа основа е еднаква на една.
- дневник а 1 = 0 е логаритамска нула. База аможе да биде било што, но ако аргументот содржи еден, логаритамот е еднаков на нула! Бидејќи а 0 = 1 е директна последицаод дефиницијата.
Тоа се сите својства. Задолжително вежбајте да ги применувате во пракса! Преземете го мамечкиот лист на почетокот на лекцијата, испечатете го и решете ги проблемите.
Денес ќе разговараме за логаритамски формулиа ние ќе дадеме индикативно примери за решенија.
Тие самите имплицираат шеми на решенија според основните својства на логаритмите. Пред да примените логаритамски формули за решавање, да ве потсетиме на сите својства:
Сега, врз основа на овие формули (својства), ќе покажеме примери за решавање логаритми.
Примери за решавање на логаритми врз основа на формули.
ЛогаритамПозитивен број b за основата a (означен со лог a b) е експонент на кој мора да се подигне a за да се добие b, со b > 0, a > 0 и 1.
Според дефиницијата, log a b = x, што е еквивалентно на x = b, затоа log a x = x.
Логаритми, примери:
дневник 2 8 = 3, бидејќи 2 3 = 8
дневник 7 49 = 2, бидејќи 7 2 = 49
дневник 5 1/5 = -1, бидејќи 5 -1 = 1/5
Децимален логаритам- ова е обичен логаритам, чија основа е 10. Се означува како lg.
дневник 10 100 = 2, бидејќи 10 2 = 100
Природен логаритам- исто така обичен логаритам, логаритам, но со основа e (e = 2,71828... - ирационален број). Означено како ln.
Препорачливо е да се запаметат формулите или својствата на логаритмите, бидејќи тие ќе ни требаат подоцна при решавање на логаритми, логаритамски равенки и неравенки. Ајде да работиме низ секоја формула повторно со примери.
- Основен логаритамски идентитет
а дневник a b = b8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9
- Логаритам на производот еднаков на збиротлогаритми
log a (bc) = log a b + log a cдневник 3 8,1 + дневник 3 10 = дневник 3 (8,1*10) = дневник 3 81 = 4
- Логаритам на количникот еднаква на разликаталогаритми
log a (b/c) = log a b - log a c9 дневник 5 50 /9 лог 5 2 = 9 дневник 5 50- лог 5 2 = 9 лог 5 25 = 9 2 = 81
- Својства на моќноста на логаритамскиот број и основата на логаритамот
Експонент на логаритамскиот број log a b m = mlog a b
Експонент на основата на логаритамот log a n b =1/n*log a b
log a n b m = m/n*log a b,
ако m = n, добиваме log a n b n = log a b
дневник 4 9 = дневник 2 2 3 2 = дневник 2 3
- Транзиција кон нова основа
log a b = log c b/log c a,ако c = b, добиваме log b b = 1
тогаш log a b = 1/log b a
лог 0,8 3*лог 3 1,25 = лог 0,8 3*лог 0,8 1,25/лог 0,8 3 = лог 0,8 1,25 = лог 4/5 5/4 = -1
Како што можете да видите, формулите за логаритми не се толку комплицирани како што изгледаат. Сега, гледајќи во примери за решавање логаритми, можеме да преминеме на логаритамски равенки. Ќе разгледаме примери за решавање на логаритамски равенки подетално во статијата: "". Не пропуштајте!
Ако сè уште имате прашања за решението, напишете ги во коментарите на статијата.
Забелешка: решивме да добиеме поинаков степен на образование и да студираме во странство како опција.
Еден од елементите на алгебрата на примитивно ниво е логаритамот. Името доаѓа од грчки јазикод зборот „број“ или „моќ“ и означува степен до кој бројот во основата мора да се подигне за да се најде конечниот број.
Видови логаритми
- log a b – логаритам на бројот b до основата a (a > 0, a ≠ 1, b > 0);
- log b – децимален логаритам (логаритам до основата 10, a = 10);
- ln b – природен логаритам (логаритам до основата e, a = e).
Како да се решат логаритми?
Логаритмот од b до основата a е експонент кој бара b да се подигне на основата a. Добиениот резултат се изговара вака: „логаритам од b до основата a“. Решение логаритамски проблемие тоа што треба да одредите даден степен по бројки врз основа на наведените бројки. Постојат некои основни правила за одредување или решавање на логаритам, како и конвертирање на самата нотација. Користејќи ги, се решаваат логаритамски равенки, се наоѓаат изводи, се решаваат интеграли и се вршат многу други операции. Во основа, решението на самиот логаритам е неговата поедноставена нотација. Подолу се дадени основните формули и својства:
За било кој а ; a > 0; a ≠ 1 и за кој било x; y > 0.
- a log a b = b – основен логаритамски идентитет
- логирај а 1 = 0
- лога a = 1
- log a (x y) = log a x + log a y
- log a x/ y = log a x – log a y
- log a 1/x = -log a x
- log a x p = p log a x
- log a k x = 1/k log a x, за k ≠ 0
- log a x = log a c x c
- log a x = log b x/ log b a – формула за преместување во нова база
- log a x = 1/log x a
Како да решавате логаритми - чекор-по-чекор инструкции за решавање
- Прво, запишете ја потребната равенка.
Ве молиме имајте предвид: ако основниот логаритам е 10, тогаш записот е скратен, што резултира со децимален логаритам. Ако вреди природен бројд, потоа го запишуваме, сведувајќи го на природниот логаритам. Ова значи дека резултатот на сите логаритми е моќноста на која се подига основниот број за да се добие бројот b.
Директно, решението лежи во пресметувањето на овој степен. Пред да се реши изразот со логаритам, тој мора да се поедностави според правилото, односно со користење на формули. Главните идентитети можете да ги најдете ако се вратите малку назад во статијата.
Собирање и одземање логаритми со два различни броеви, но со исти основи, заменете со еден логаритам со производот или поделбата на броевите b и c, соодветно. Во овој случај, можете да ја примените формулата за преместување во друга база (види погоре).
Ако користите изрази за поедноставување на логаритам, има некои ограничувања што треба да се земат предвид. А тоа е: основата на логаритамот a е само позитивен број, но не еднаков на еден. Бројот b, како a, мора да биде поголем од нула.
Има случаи каде што, со поедноставување на изразот, нема да можете да го пресметате логаритамот во нумеричка форма. Се случува таквиот израз да нема смисла, бидејќи многу сили се ирационални броеви. Под овој услов, оставете ја моќноста на бројот како логаритам.
Одржувањето на вашата приватност е важно за нас. Поради оваа причина, развивме Политика за приватност која опишува како ги користиме и складираме вашите информации. Ве молиме прегледајте ги нашите практики за приватност и кажете ни ако имате какви било прашања.
Собирање и користење на лични информации
Личните информации се однесуваат на податоци што може да се користат за идентификација одредена личностили врска со него.
Можеби ќе биде побарано да го дадете вашиот лични податоциво секое време да не контактирате.
Подолу се дадени неколку примери за типовите на лични информации што можеме да ги собираме и како можеме да ги користиме тие информации.
Кои лични податоци ги собираме:
- Кога поднесувате апликација на страницата, може да собереме различни информации, вклучувајќи го вашето име, телефонски број, адреса Е-поштаитн.
Како ги користиме вашите лични податоци:
- Личните информации што ги собираме ни овозможуваат да ве контактираме и да ве информираме уникатни понуди, промоции и други настани и претстојни настани.
- Од време на време, може да ги користиме вашите лични податоци за да испраќаме важни известувања и комуникации.
- Може да користиме и лични информации за внатрешни цели како што се ревизија, анализа на податоци и различни студиисо цел да ги подобриме услугите што ги нудиме и да ви дадеме препораки во врска со нашите услуги.
- Ако учествувате во наградно извлекување, натпревар или слична промоција, ние може да ги користиме информациите што ги давате за администрирање на такви програми.
Откривање информации на трети страни
Ние не ги откриваме информациите добиени од вас на трети страни.
Исклучоци:
- Доколку е потребно - во согласност со закон, судска постапка, правни постапки и/или врз основа на јавни барања или барања од владини агенциина територијата на Руската Федерација - обелоденете ги вашите лични податоци. Ние, исто така, може да откриеме информации за вас ако утврдиме дека таквото откривање е неопходно или соодветно за безбедност, спроведување на законот или други цели од јавна важност.
- Во случај на реорганизација, спојување или продажба, можеме да ги пренесеме личните информации што ги собираме на соодветната трета страна наследник.
Заштита на лични информации
Преземаме мерки на претпазливост - вклучувајќи административни, технички и физички - за да ги заштитиме вашите лични информации од губење, кражба и злоупотреба, како и од неовластен пристап, откривање, менување и уништување.
Почитување на вашата приватност на ниво на компанија
За да се осигураме дека вашите лични информации се безбедни, ние ги пренесуваме стандардите за приватност и безбедност на нашите вработени и строго ги спроведуваме практиките за приватност.
Се вчитува...
