Размислете за два авиони Р 1 и Р 2 со нормални вектори n 1 и n 2. Агол φ помеѓу рамнините Р 1 и Р 2 се изразува преку аголот ψ = \(\widehat((n_1; n_2))\) на следниов начин: ако ψ < 90°, потоа φ = ψ (сл. 202, а); ако ψ > 90°, тогаш ψ = 180° - ψ (сл. 202.6).
Очигледно е дека во секој случај еднаквоста е вистина
cos φ = |cos ψ|
Бидејќи косинусот на аголот помеѓу вектори кои не се нула е еднаков на скаларен производод овие вектори поделени со производот на нивните должини, имаме
$$ cos\psi=cos\widehat((n_1; n_2))=\frac(n_1\cdot n_2)(|n_1|\cdot |n_2|) $$
и, според тоа, косинус на аголот φ помеѓу рамнините Р 1 и Р 2 може да се пресмета со формулата
$$ cos\phi=\frac(n_1\cdot n_2)(|n_1|\cdot |n_2|) (1)$$
Ако рамнините се дадени со општи равенки
А 1 X+ Б 1 y+ C 1 z+ D 1 = 0 и A 2 X+ Б 2 y+ C 2 z+ D 2 = 0,
тогаш за нивните нормални вектори можеме да ги земеме векторите n 1 = (A 1 ; B 1 ; C 1) и n 2 = (A 2; B 2; C 2).
Запишувајќи ја десната страна на формулата (1) во однос на координатите, добиваме
$$ cos\phi=\frac(|A_1 A_2 + B_1 B-2 + C_1 C_2|)(\sqrt((A_1)^2+(B_1)^2+(C_1)^2)\sqrt((A_2) ^2+(B_2)^2+(C_2)^2)) $$
Задача 1.Пресметајте го аголот помеѓу рамнините
X - √2 y + z- 2 = 0 и x+ √2 y - z + 13 = 0.
Во овој случај, A 1 .=1, B 1 = - √2, C 1 = 1, A 2 =1, B 2 = √2, C 2 = - 1.
Од формулата (2) добиваме
$$ cos\phi=\frac(|1\cdot 1 - \sqrt2 \cdot \sqrt2 - 1 \cdot 1|)(\sqrt(1^2+(-\sqrt2)^2+1^2)\sqrt (1^2+(\sqrt2)^2+(-1)^2))=\frac(1)(2) $$
Затоа, аголот помеѓу овие рамнини е 60°.
Рамнини со нормални вектори n 1 и n 2:
а) се паралелни ако и само ако векторите n 1 и n 2 се колинеарни;
б) нормално ако и само ако векторите n 1 и n 2 се нормални, т.е. кога n 1 n 2 = 0.
Од тука ги добиваме неопходните и доволни услови за паралелизам и нормалност на две рамнини дадени со општи равенки.
Во авион
А 1 X+ Б 1 y+ C 1 z+ D 1 = 0 и A 2 X+ Б 2 y+ C 2 z+ D 2 = 0
беа паралелни, неопходно е и доволно да се одржат еднаквостите
$$ \frac(A_1)(A_2)=\frac(B_1)(B_2)=\frac(C_1)(C_2) \;\; (3)$$
Ако некој од коефициентите A 2 , B 2 , C 2 е еднаков на нула, се претпоставува дека соодветниот коефициент A 1 , B 1 , C 1 е исто така еднаков на нула
Неуспехот на барем една од овие две еднаквости значи дека рамнините не се паралелни, односно се сечат.
За перпендикуларност на рамнините
А 1 X+ Б 1 y+ C 1 z+ D 1 = 0 и A 2 X+ Б 2 y+ C 2 z+ D 2 = 0
потребно е и доволно за да се одржи еднаквоста
A 1 A 2 + B 1 B 2 + C 1 C 2 = 0. (4)
Задача 2.Меѓу следниве парови авиони:
2X + 5на + 7z- 1 = 0 и 3 X - 4на + 2z = 0,
на - 3z+ 1 = 0 и 2 на - 6z + 5 = 0,
4X + 2на - 4z+ 1 = 0 и 2 X + на + 2z + 3 = 0
означува паралелно или нормално. За првиот пар авиони
A 1 A 2 + B 1 B 2 + C 1 C 2 = 2 3 + 5 (- 4) + 7 2 = 0,
т.е. условот за перпендикуларност е задоволен. Рамнините се нормални.
За вториот пар авиони
\(\frac(B_1)(B_2)=\frac(C_1)(C_2)\), бидејќи \(\frac(1)(2)=\frac(-3)(-6)\)
а коефициентите A 1 и A 2 се еднакви на нула. Затоа, рамнините на вториот пар се паралелни. За третиот пар
\(\frac(B_1)(B_2)\neq\frac(C_1)(C_2)\), бидејќи \(\frac(2)(1)\neq\frac(-4)(2)\)
и A 1 A 2 + B 1 B 2 + C 1 C 2 = 4 2 + 2 1 - 4 2 =/= 0, односно рамнините на третиот пар не се ниту паралелни, ниту нормални.
Видео курсот „Земи А“ ги вклучува сите теми што ви се потребни успешно завршувањеУнифициран државен испит по математика за 60-65 поени. Целосно сите задачи 1-13 од Профил унифициран државен испит по математика. Погоден е и за полагање на Основен унифициран државен испит по математика. Ако сакате да го положите обединетиот државен испит со 90-100 поени, првиот дел треба да го решите за 30 минути и без грешки!
Подготвителен курс за Единствен државен испит за 10-11 одделение, како и за наставници. Сè што ви треба за да го решите Дел 1 од Единствениот државен испит по математика (првите 12 задачи) и задача 13 (тригонометрија). И ова се повеќе од 70 поени на обединет државен испит и без нив не може ниту студент од 100, ниту студент на хуманитарни науки.
Целата потребна теорија. Брзи начинирешенија, замки и тајни на Единствениот државен испит. Анализирани се сите тековни задачи од дел 1 од FIPI Task Bank. Курсот целосно е во согласност со барањата на Единствениот државен испит 2018 година.
Курсот содржи 5 големи теми, по 2,5 часа. Секоја тема е дадена од нула, едноставно и јасно.
Стотици задачи за обединет државен испит. Проблеми со зборови и теорија на веројатност. Едноставни и лесни за паметење алгоритми за решавање проблеми. Геометрија. Теорија, референтен материјал, анализа на сите видови задачи за унифициран државен испит. Стереометрија. Слабо решенија, корисни мамечки листови, развој на просторна имагинација. Тригонометрија од почеток до проблем 13. Разбирање наместо набивање. Јасни објаснувања на сложените концепти. Алгебра. Корени, моќи и логаритми, функција и извод. Основа за решение сложени задачи 2 дела од Единствениот државен испит.
Оваа статија е за аголот помеѓу авионите и како да го пронајдете. Прво, дадена е дефиниција на аголот помеѓу две рамнини и дадена е графичка илустрација. По ова, беше анализиран принципот на наоѓање на аголот помеѓу две пресечни рамнини со помош на методот на координати и беше добиена формула која ви овозможува да го пресметате аголот помеѓу рамнините што се сечат користејќи ги познатите координати на нормалните вектори на овие рамнини. Во заклучок е прикажано детални решенијакарактеристични задачи.
Навигација на страницата.
Агол помеѓу рамнините - дефиниција.
Да претставиме аргументи кои ќе ни овозможат постепено да пристапиме кон одредување на аголот помеѓу две рамнини што се сечат.
Да ни бидат дадени две рамнини што се сечат и . Овие рамнини се сечат по права линија, која ја означуваме со буквата c. Да конструираме рамнина што минува низ точката М од правата c и нормална на правата c. Во овој случај, авионот ќе ги пресече рамнините и. Правата по која се сечат рамнините да ја означиме како a, а правата по која се сечат рамнините како b. Очигледно, правите a и b се сечат во точката M.
Лесно е да се покаже дека аголот помеѓу правата a и b кои се вкрстуваат не зависи од локацијата на точката M на правата c низ која минува рамнината.
Да конструираме рамнина нормална на правата c и различна од рамнината. Рамнината е пресечена со рамнини и по прави линии, кои ги означуваме како 1 и b 1, соодветно.
Од методот на конструирање рамнини произлегува дека правите a и b се нормални на правата c, а правата a 1 и b 1 се нормални на правата c. Бидејќи правите a и a 1 лежат во иста рамнина и се нормални на правата c, тогаш тие се паралелни. Слично на тоа, правите b и b 1 лежат во иста рамнина и се нормални на правата c, затоа, тие се паралелни. Така, можно е да се изврши паралелно пренесување на рамнината на рамнината, во која права линија a 1 се совпаѓа со права линија a, и права линија b со права линија b 1. Според тоа, аголот помеѓу две пресечни прави a 1 и b 1 еднаков на аголотпомеѓу линиите што се вкрстуваат a и b.
Ова докажува дека аголот помеѓу правата a и b кои се вкрстуваат во рамнините што се сечат и не зависи од изборот на точката M низ која минува рамнината. Затоа, логично е овој агол да се земе како агол помеѓу две рамнини што се сечат.
Сега можете да ја искажете дефиницијата на аголот помеѓу две рамнини што се сечат и.
Дефиниција.
Аголот помеѓу две рамнини што се сечат во права линија и- ова е аголот помеѓу две пресечни прави a и b, по кои рамнините и се сечат со рамнината нормална на правата c.
Дефиницијата на аголот помеѓу две рамнини може да се даде малку поинаку. Ако на правата c по која рамнините и се сечат, означете точка M и повлечете прави а и b низ неа, нормално на правата c и лежат во рамнините и, соодветно, тогаш аголот помеѓу правите а и b е аголот помеѓу рамнините и. Вообичаено во пракса се изведуваат токму такви конструкции за да се добие аголот помеѓу рамнините.
Со оглед на тоа што аголот помеѓу правата што се пресекуваат не надминува , од наведената дефиниција произлегува дека степенот на мерката на аголот помеѓу две рамнини што се сечат е изразена реален бројод интервалот. Во овој случај, се нарекуваат пресечни рамнини нормално, ако аголот меѓу нив е деведесет степени. Агол помеѓу паралелни рамниниили воопшто не го одредуваат, или го сметаат за еднаков на нула.
Наоѓање на аголот помеѓу две рамнини што се сечат.
Вообичаено, кога наоѓате агол помеѓу две пресечни рамнини, прво треба да извршите дополнителни конструкции за да ги видите пресечните прави, чиј агол е еднаков на саканиот агол, а потоа да го поврзете овој агол со оригиналните податоци користејќи тестови за еднаквост, сличност тестови, косинусова теорема или дефиниции за синус, косинус и тангента на аголот. Во текот на геометријата средно школосе јавуваат слични проблеми.
Како пример, да го дадеме решението на задачата В2 од Единствениот државен испит по математика за 2012 година (условот е намерно променет, но тоа не влијае на принципот на решението). Во него, само требаше да го пронајдете аголот помеѓу две рамнини што се пресекуваат.
Пример.
Решение.
Прво, ајде да направиме цртеж.
Ајде да извршиме дополнителни конструкции за да го „видиме“ аголот помеѓу рамнините.
Прво, да дефинираме права линија по која се сечат рамнините ABC и BED 1. Точката Б е една од нивните заеднички точки. Ајде да ја најдеме втората заедничка точка на овие рамнини. Правите DA и D 1 E лежат во иста рамнина ADD 1, и тие не се паралелни, па затоа се сечат. Од друга страна, правата DA лежи во рамнината ABC, а правата D 1 E лежи во рамнината BED 1, затоа, пресечната точка на линиите DA и D 1 E ќе биде заедничка точка на рамнините ABC и BED 1. Значи, да ги продолжиме линиите DA и D 1 E до нивното пресекување, означувајќи ја точката на нивното пресекување со буквата F. Тогаш BF е права линија по која се сечат рамнините ABC и BED 1.
Останува да се конструираат две линии кои лежат во рамнините ABC и BED 1, соодветно, поминувајќи низ една точка на правата BF и нормално на правата BF - аголот помеѓу овие линии, по дефиниција, ќе биде еднаков на саканиот агол помеѓу авиони ABC и BED 1. Ајде да го направиме тоа.
Точка A е проекцијата на точката E на рамнината ABC. Да нацртаме права линија што ја пресекува правата BF под прав агол во точката М. Тогаш правата AM е проекција на правата линија EM на рамнината ABC, и според теоремата за три нормални.
Така, потребниот агол помеѓу рамнините ABC и BED 1 е еднаков на .
Можеме да го одредиме синусот, косинусот или тангентата на овој агол (а со тоа и самиот агол). правоаголен триаголникАЕМ, ако ги знаеме должините на неговите две страни. Од условот лесно е да се најде должината AE: бидејќи точката E ја дели страната AA 1 во однос 4 спрема 3, сметајќи од точката A, а должината на страната AA 1 е 7, тогаш AE = 4. Ајде да ја најдеме должината AM.
За да го направите ова, разгледајте правоаголен триаголник ABF со прав агол A, каде што AM е висината. Според условот AB = 2. Можеме да ја најдеме должината на страната AF од сличноста на правоаголните триаголници DD 1 F и AEF: 
Користејќи ја Питагоровата теорема, наоѓаме од триаголникот ABF. Ја наоѓаме должината AM низ областа на триаголникот ABF: од едната страна плоштината на триаголникот ABF е еднаква на 
, на другата страна 
, каде 
.
Така, од правоаголен триаголник AEM имаме 
.
Тогаш потребниот агол помеѓу рамнините ABC и BED 1 е еднаков (забележете дека 
).
Одговор:
Во некои случаи, за да се најде аголот помеѓу две пресечни рамнини, погодно е да се постави Oxyz и да се користи методот на координати. Ајде да застанеме таму.
Дозволете ни да ја поставиме задачата: да го пронајдеме аголот помеѓу две рамнини што се сечат и . Дозволете ни да го означиме саканиот агол како .
Ќе претпоставиме дека во даден правоаголен координатен систем Oxyz ги знаеме координатите на нормалните вектори на рамнините што се сечат и или имаме можност да ги најдеме. Нека 
е нормалниот вектор на рамнината, и 
е нормалниот вектор на рамнината. Ќе покажеме како да го најдеме аголот помеѓу рамнините што се сечат и преку координатите на нормалните вектори на овие рамнини.
Да ја означиме правата линија по која рамнините и се сечат како c. Низ точката М на правата c повлекуваме рамнина нормална на правата c. Рамнината ги пресекува рамнините и по правата a и b, соодветно, правата a и b се сечат во точката М. По дефиниција, аголот помеѓу пресечните рамнини и е еднаков на аголот помеѓу правата a и b.
Да ги нацртаме нормалните вектори и рамнини и од точката М во рамнината. Во овој случај, векторот лежи на права која е нормална на правата a, а векторот лежи на права која е нормална на правата b. Така, во рамнината векторот е нормален вектор на правата a, е нормалниот вектор на правата b.
Во написот за наоѓање на аголот помеѓу линиите што се пресекуваат, добивме формула која ни овозможува да го пресметаме косинус на аголот помеѓу линиите што се сечат користејќи ги координатите на нормалните вектори. Така, косинус на аголот помеѓу правите a и b, и, следствено, косинус на аголот помеѓу рамнините што се сечати се наоѓа по формулата, каде И се нормалните вектори на рамнините и соодветно. Потоа се пресметува како 
.
Да го решиме претходниот пример користејќи го методот на координати.
Пример.
Даден е правоаголен паралелепипед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, во кој AB = 2, AD = 3, AA 1 = 7 и точката E ја дели страната AA 1 во однос 4 спрема 3, сметајќи од точката A. Најдете го аголот помеѓу рамнините ABC и BED 1.
Решение.
Од страните правоаголен паралелепипедкога едно теме е парно нормално, погодно е да се воведе правоаголен системго координира Oxyz вака: порамнете го почетокот со темето C и насочете ги координатните оски Ox, Oy и Oz по страните CD, CB и CC 1, соодветно.
Аголот помеѓу рамнините ABC и BED 1 може да се најде преку координатите на нормалните вектори на овие рамнини користејќи ја формулата , каде и се нормалните вектори на рамнините ABC и BED 1, соодветно. Да ги одредиме координатите на нормалните вектори.
Теорема
Аголот помеѓу рамнините не зависи од изборот на рамнината за сечење.
Доказ.
Нека има две рамнини α и β кои се сечат по права линија c. Да ја нацртаме рамнината γ нормална на правата c. Тогаш рамнината γ ги пресекува рамнините α и β по правата a и b, соодветно. Аголот помеѓу рамнините α и β е еднаков на аголот помеѓу правите a и b.
Да земеме друга рамнина на сечење γ`, нормална на c. Тогаш рамнината γ` ќе ги пресече рамнините α и β долж правите a` и b`, соодветно.
Со паралелен превод, точката на пресек на рамнината γ со правата c ќе оди до точката на пресек на рамнината γ` со правата c. во овој случај, според својството на паралелен превод, правата a ќе оди во линијата a`, b - во линијата b`. затоа аглите меѓу правите a и b, a` и b` се еднакви. Теоремата е докажана.
Оваа статија е за аголот помеѓу авионите и како да го пронајдете. Прво, дадена е дефиниција на аголот помеѓу две рамнини и дадена е графичка илустрација. По ова, беше анализиран принципот на наоѓање на аголот помеѓу две пресечни рамнини со помош на методот на координати и беше добиена формула која ви овозможува да го пресметате аголот помеѓу рамнините што се сечат користејќи ги познатите координати на нормалните вектори на овие рамнини. Како заклучок, се прикажани детални решенија за типични проблеми.
Навигација на страницата.
Агол помеѓу рамнините - дефиниција.
При претставувањето на материјалот ќе ги користиме дефинициите и поимите дадени во написите: рамнина во простор и линија во простор.
Да претставиме аргументи кои ќе ни овозможат постепено да пристапиме кон одредување на аголот помеѓу две рамнини што се сечат.
Да ни бидат дадени две рамнини што се сечат и . Овие рамнини се сечат по права линија, која ја означуваме со буквата в. Ајде да конструираме рамнина што минува низ точката Мдиректно ви нормално на правата в. Во овој случај, авионот ќе ги пресече рамнините и. Да ја означиме правата линија по која се сечат рамнините и како а, и правата линија по која се сечат рамнините и како б. Очигледно исправен аИ бсе сечат во точка М.
Лесно е да се покаже дека аголот помеѓу линиите што се вкрстуваат аИ бне зависи од локацијата на точката Мна права линија вниз кој минува авионот.
Ајде да конструираме рамнина нормална на правата ви различен од авионот. Рамнината е пресечена со рамнини и по прави линии, кои ги означуваме а 1И б 1соодветно.
Од начинот на конструирање рамнини следува дека правите линии аИ бнормално на правата в, и директно а 1И б 1нормално на правата в. Од стрејт аИ а 1 в, тогаш тие се паралелни. Исто така, директно бИ б 1лежат во иста рамнина и се нормални на правата в, според тоа, тие се паралелни. Така, можно е да се изврши паралелно пренесување на рамнината на рамнината, во која права линија а 1се совпаѓа со права линија а, и права линија бсо права линија б 1. Затоа, аголот помеѓу две линии кои се пресекуваат а 1И б 1еднаков на аголот помеѓу линиите што се вкрстуваат аИ б.
Ова докажува дека аголот помеѓу линиите што се пресекуваат аИ б, лежи во рамнини кои се пресекуваат и , не зависи од изборот на точка Мниз кој минува авионот. Затоа, логично е овој агол да се земе како агол помеѓу две рамнини што се сечат.
Сега можете да ја искажете дефиницијата на аголот помеѓу две рамнини што се сечат и.
Дефиниција.
Агол помеѓу две вкрстени права вавиони ие аголот помеѓу две линии кои се вкрстуваат аИ б, по кој рамнините и се сечат со рамнина нормална на правата в.
Дефиницијата на аголот помеѓу две рамнини може да се даде малку поинаку. Ако е на права линија Со, по кои рамнините и се сечат, означете ја точката Ми повлечете прави линии низ него АИ б, нормално на линијата ви лежи во рамнини и, соодветно, тогаш аголот помеѓу прави линии АИ бго претставува аголот помеѓу рамнините и . Вообичаено во пракса се изведуваат токму такви конструкции за да се добие аголот помеѓу рамнините.
Со оглед на тоа што аголот помеѓу линиите што се пресекуваат не надминува , од наведената дефиниција произлегува дека степенот на мерката на аголот помеѓу две пресечни рамнини се изразува со реален број од интервалот. Во овој случај, се нарекуваат пресечни рамнини нормално, ако аголот меѓу нив е деведесет степени. Аголот помеѓу паралелните рамнини или воопшто не е одреден или се смета за еднаков на нула.
Врвот на страницата
Наоѓање на аголот помеѓу две рамнини што се сечат.
Вообичаено, кога наоѓате агол помеѓу две пресечни рамнини, прво треба да извршите дополнителни конструкции за да ги видите пресечните прави, чиј агол е еднаков на саканиот агол, а потоа да го поврзете овој агол со оригиналните податоци користејќи тестови за еднаквост, сличност тестови, косинусова теорема или дефиниции за синус, косинус и тангента на аголот. Во средношколскиот курс по геометрија се јавуваат слични проблеми.
Како пример, да го дадеме решението на задачата В2 од Единствениот државен испит по математика за 2012 година (условот е намерно променет, но тоа не влијае на принципот на решението). Во него, само требаше да го пронајдете аголот помеѓу две рамнини што се пресекуваат.
ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, во која AB=3, АД=2, АА 1 =7и период Еја дели страната АА 1во врска 4 До 3 , броејќи од точка А ABCИ КРЕВЕТ 1.
Прво, ајде да направиме цртеж.
Ајде да извршиме дополнителни конструкции за да го „видиме“ аголот помеѓу рамнините.
Прво, да дефинираме права линија по која се сечат рамнините ABCИ КРЕВЕТ 1. Точка ВО– ова е една од нивните заеднички точки. Ајде да ја најдеме втората заедничка точка на овие рамнини. Директно Д.А.И Д 1 Длегнете во иста рамнина ДОДАЈ 1, и тие не се паралелни, туку, според тоа, се сечат. Од друга страна, директно Д.А.лежи во авион ABC, и права линија Д 1 Д– во авионот КРЕВЕТ 1, значи, точката на пресек на линиите Д.А.И Д 1 Дќе биде заедничка точка на авионите ABCИ КРЕВЕТ 1. Па да продолжиме право Д.А.И Д 1 Дпред да се вкрстат, точката на нивното вкрстување ја означуваме со буквата Ф. Потоа Б.Ф.– права линија по која се сечат рамнините ABCИ КРЕВЕТ 1.
Останува да се конструираат две прави линии што лежат во авионите ABCИ КРЕВЕТ 1соодветно, поминувајќи низ една точка на правата Б.Ф.и нормално на правата Б.Ф., - аголот помеѓу овие прави линии, по дефиниција, ќе биде еднаков на саканиот агол помеѓу рамнините ABCИ КРЕВЕТ 1. Ајде да го направиме тоа.
Точка Ае проекцијата на точката Едо авионот ABC. Нацртајте права што ја пресекува правата под прав агол ВФво точката М. Потоа директно AMе проекцијата на линијата ЈАДЕТЕдо авионот ABC, и по теоремата за три нормални.
Така, саканиот агол помеѓу авионите ABCИ КРЕВЕТ 1еднаква на .
Можеме да го одредиме синусот, косинусот или тангентата на овој агол (а со тоа и самиот агол) од правоаголен триаголник АЕМ, ако ги знаеме должините на неговите две страни. Од условот е лесно да се најде должината AE: од точка Еја дели страната АА 1во врска 4 До 3 , броејќи од точка А, и должината на страната АА 1еднаква на 7 , Тоа AE=4. Ајде да најдеме друга должина AM.
За да го направите ова, размислете за правоаголен триаголник ABFсо прав агол А, Каде AMе висината. По услов AB=2. Должина на страна AFможеме да откриеме од сличноста на правоаголните триаголници ДД 1 ФИ АЕФ:
Според Питагоровата теорема од триаголник ABFние најдовме . Должина AMнајдете низ плоштината на триаголникот ABF: од едната страна плоштината на триаголникот ABFеднакво на, од друга страна, од каде .
Така, од правоаголен триаголник АЕМние имаме .
Потоа саканиот агол помеѓу авионите ABCИ КРЕВЕТ 1е еднаков (забележете дека ).
Во некои случаи, за да се најде аголот помеѓу две пресечни рамнини, погодно е да се одреди правоаголен координатен систем Оксизи користете го методот на координати. Ајде да застанеме таму.
Дозволете ни да ја поставиме задачата: да го пронајдеме аголот помеѓу две рамнини што се сечат и . Дозволете ни да го означиме саканиот агол како .
Ќе претпоставиме дека во даден правоаголен координатен систем Оксизги знаеме координатите на нормалните вектори на рамнините што се сечат и или имаме можност да ги најдеме. Нека е нормалниот вектор на рамнината и нека е нормалниот вектор на рамнината. Ќе покажеме како да го најдеме аголот помеѓу рамнините што се сечат и преку координатите на нормалните вектори на овие рамнини.
Да ја означиме правата линија по која рамнините и се сечат како в. Преку точка Мна права линија внацртајте рамнина нормална на правата в. Авионот ги пресекува рамнините и по прави линии аИ бсоодветно, директно аИ бсе сечат во точка М. По дефиниција, аголот помеѓу пресечните рамнини и е еднаков на аголот помеѓу линиите што се сечат аИ б.
Да одложиме од поентата Мво рамнината нормалните вектори и рамнини и . Во овој случај, векторот лежи на права која е нормална на правата а, а векторот е на права која е нормална на правата б. Така, во рамнината векторот е нормален вектор на правата а, - вектор на нормална линија б.
Во написот за наоѓање на аголот помеѓу линиите што се пресекуваат, добивме формула која ни овозможува да го пресметаме косинус на аголот помеѓу линиите што се сечат користејќи ги координатите на нормалните вектори. Така, косинус на аголот помеѓу линиите аИ б, и, следствено, косинус на аголот помеѓу рамнините што се сечати се наоѓа со формулата , каде и се нормалните вектори на рамнините и, соодветно. Потоа агол помеѓу рамнините што се вкрстуваатсе пресметува како .
Да го решиме претходниот пример користејќи го методот на координати.
Даден е правоаголен паралелепипед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, во која AB=3, АД=2, АА 1 =7и период Еја дели страната АА 1во врска 4 До 3 , броејќи од точка А. Најдете го аголот помеѓу рамнините ABCИ КРЕВЕТ 1.
Бидејќи страните на правоаголен паралелепипед на едно теме се нормални во парови, погодно е да се воведе правоаголен координатен систем Оксизвака: почетокот е усогласен со врвот СО, и координатните оски Вол, ОјИ Озпосочете на страните ЦД, Ц.Б.И CC 1соодветно.
Агол помеѓу рамнините ABCИ КРЕВЕТ 1може да се најде преку координатите на нормалните вектори на овие рамнини користејќи ја формулата , каде и се нормалните вектори на рамнините ABCИ КРЕВЕТ 1соодветно. Да ги одредиме координатите на нормалните вектори.
Уште од авионот ABCсе совпаѓа со координатна рамнина Окси, тогаш неговиот нормален вектор е координатниот вектор, односно .
Како нормален вектор на рамнината КРЕВЕТ 1можете да го земете векторскиот производ на векторите и, пак, координатите на векторите и може да се најде преку координатите на точките ВО, ЕИ Д 1(како што е напишано во статијата, координатите на векторот низ координатите на точките на неговиот почеток и крај), и координатите на точките ВО, ЕИ Д 1во воведениот координатен систем одредуваме од условите на проблемот.
Очигледно,. Бидејќи , наоѓаме од координатите на точките (доколку е потребно, видете ја поделбата на член на сегмент во дадена релација). Потоа andOxyz равенки и .
Кога ја проучувавме општата равенка на правата линија, дознавме дека коефициентите А, ВОИ СОги претставуваат соодветните координати на нормалниот вектор на рамнината. Така, и се нормални вектори на рамнините и, соодветно.
Координатите на нормалните вектори на рамнините ги заменуваме во формулата за да го пресметаме аголот помеѓу две рамнини кои се пресечуваат:
Потоа. Бидејќи аголот помеѓу две пресечни рамнини не е тап, тогаш се користи главната тригонометриски идентитетнајдете го синусот на аголот: .
Се вчитува...
