а, кон основата на ПП;
со својата висина.
- што треба да знаеме, какви податоци располагаме?
- Какви својства има правоаголен паралелепипед?
- дали овде се применува Питагоровата теорема? Како?
- Дали има доволно податоци за примена на Питагоровата теорема или потребни се некои други пресметки?
Дијагонален квадрат, на квадратен паралелепипед (види својства на квадратен паралелепипед) е еднаков на збирот на квадратите на неговите три различни страни (ширина, висина, дебелина) и, соодветно, дијагоналите на квадратниот паралелепипед се еднакви на коренот на оваа сума.
Се сеќавам на училишната програма по геометрија, можеме да го кажеме ова: дијагоналата на паралелепипед е еднаква на квадратниот корен добиен од збирот на неговите три страни (тие се означени со мали букви a, b, c).
Должината на дијагоналата на правоаголен паралелепипед е еднаква на квадратниот корен од збирот на квадратите на неговите страни.
Колку што знам оттогаш училишна наставна програма, класа 9 ако не се лажам и ако служи меморијата, тогаш дијагоналата на правоаголен паралелепипед е еднаква на квадратниот корен од збирот на квадратите на сите три страни.
квадратот на дијагоналата е еднаков на збирот на квадратите на ширината, висината и должината, врз основа на оваа формула го добиваме одговорот, дијагоналата е еднаква на квадратниот корен од збирот на неговите три различни димензии, тие означуваат букви nсz abc
Правоаголен паралелепипед (ПП) не е ништо повеќе од призма, чија основа е правоаголник. За PP, сите дијагонали се еднакви, што значи дека која било од неговите дијагонали се пресметува со формулата:
Друга дефиниција може да се даде со разгледување на Декартовиот правоаголен координатен систем:
PP дијагоналата е вектор на радиус на која било точка во просторот специфицирана со x, y и z координати во Декартовиот координатен систем. Овој вектор на радиус до точката е извлечен од потеклото. И координатите на точката ќе бидат проекциите на векторот на радиусот (дијагоналите на PP) на координатните оски. Проекциите се совпаѓаат со темињата на овој паралелепипед.
Правоаголен паралелепипед е вид полиедар кој се состои од 6 лица, во чија основа е правоаголник. Дијагонала е отсечка што ги поврзува спротивните темиња на паралелограм.
Формула за наоѓање должина на дијагонала - квадрат на дијагоналата еднаков на збиротквадрати од три димензии на паралелограм.
Најдов добар дијаграм-табела на Интернет со целосен список на се што е во паралелепипедот. Постои формула за наоѓање на дијагоналата, која се означува со d.
Има слика на работ, теме и други важни работи за паралелепипедот.
Ако се познати должината, висината и ширината (a,b,c) на правоаголен паралелепипед, тогаш формулата за пресметување на дијагоналата ќе изгледа вака:
Вообичаено, наставниците не им нудат на своите ученици гола формула, туку вложуваат напори за да можат сами да ја извлечат со поставување на водечки прашања:
Обично, откако ќе одговорат на поставените прашања, учениците лесно можат сами да ја изведат оваа формула.
Дијагоналите на правоаголен паралелепипед се еднакви. Како и дијагоналите на неговите спротивни лица. Должината на дијагоналата може да се пресмета со познавање на должината на рабовите на паралелограмот што произлегува од едно теме. Оваа должина е еднаква на квадратниот корен од збирот на квадратите на должините на неговите рабови.
Кубоид е еден од таканаречените полиедри, кој се состои од 6 лица, од кои секоја е правоаголник. Дијагонала е отсечка што ги поврзува спротивните темиња на паралелограм. Ако должината, ширината и висината на правоаголен паралелепипед се земени како a, b, c, соодветно, тогаш формулата за неговата дијагонала (D) ќе изгледа вака: D^2=a^2+b^2+c ^2.
Дијагонала на правоаголен паралелепипеде отсечка што ги поврзува нејзините спротивни темиња. Значи имаме кубоидсо дијагонала d и страни a, b, c. Едно од својствата на паралелепипедот е тоа што квадратот дијагонална должина d е еднаков на збирот на квадратите на неговите три димензии a, b, c. Оттука заклучокот е дека дијагонална должинаможе лесно да се пресмета со следнава формула:
Исто така:
Како да се најде висината на паралелепипед?
Во оваа лекција, секој ќе може да ја проучува темата „Правоаголен паралелепипед“. На почетокот на лекцијата, ќе повториме што се произволни и прави паралелипипеди, запомнете ги својствата на нивните спротивни лица и дијагоналите на паралелепипедот. Потоа ќе погледнеме што е кубоид и ќе разговараме за неговите основни својства.
Тема: Перпендикуларност на прави и рамнини
Лекција: Кубоид
Површината составена од два еднакви паралелограми ABCD и A 1 B 1 C 1 D 1 и четири паралелограми ABV 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1 се вика паралелепипед(сл. 1).
Ориз. 1 Паралелепипед
Тоа е: имаме два еднакви паралелограми ABCD и A 1 B 1 C 1 D 1 (основи), тие лежат во паралелни рамнинитака што страничните рабови AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 се паралелни. Така, се нарекува површина составена од паралелограми паралелепипед.
Така, површината на паралелепипедот е збир од сите паралелограми што го сочинуваат паралелепипедот.
1. Спротивните лица на паралелепипедот се паралелни и еднакви.
(формите се еднакви, односно може да се комбинираат со преклопување)
На пример:
ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1 (еднакви паралелограми по дефиниција),
AA 1 B 1 B = DD 1 C 1 C (бидејќи AA 1 B 1 B и DD 1 C 1 C се спротивни лица на паралелепипедот),
AA 1 D 1 D = BB 1 C 1 C (бидејќи AA 1 D 1 D и BB 1 C 1 C се спротивни лица на паралелепипедот).
2. Дијагоналите на паралелепипед се сечат во една точка и се преполовуваат со оваа точка.
Дијагоналите на паралелепипедот AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B се сечат во една точка O, и секоја дијагонала е поделена на половина со оваа точка (сл. 2).
Ориз. 2 Дијагоналите на паралелепипед се сечат и се делат на половина со пресечната точка.
3. Постојат три четворки на еднакви и паралелни рабови на паралелепипед: 1 - AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, СС 1, DD 1.
Дефиниција. Паралелепипедот се нарекува исправен ако неговите странични рабови се нормални на основите.
Нека страничниот раб AA 1 е нормален на основата (сл. 3). Тоа значи дека правата АА 1 е нормална на правите АД и АБ, кои лежат во рамнината на основата. Ова значи дека страничните лица содржат правоаголници. А основите содржат произволни паралелограми. Да означиме ∠BAD = φ, аголот φ може да биде кој било.
Ориз. 3 Десен паралелепипед
Значи, десен паралелепипед е паралелепипед во кој страничните рабови се нормални на основите на паралелепипедот.
Дефиниција. Паралелепипедот се нарекува правоаголен,ако неговите странични рабови се нормални на основата. Основите се правоаголници.
Паралелепипедот ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 е правоаголен (сл. 4), ако:
1. AA 1 ⊥ ABCD (страничен раб нормално на рамнината на основата, односно прав паралелепипед).
2. ∠BAD = 90°, односно основата е правоаголник.
Ориз. 4 Правоаголен паралелепипед
Правоаголен паралелепипед ги има сите својства на произволен паралелепипед.Но, постои дополнителни својства, кои се изведени од дефиницијата за правоаголен паралелепипед.
Значи, кубоиде паралелепипед чии странични рабови се нормални на основата. Основата на кубоидот е правоаголник.
1. Во правоаголен паралелепипед, сите шест лица се правоаголници.
ABCD и A 1 B 1 C 1 D 1 се правоаголници по дефиниција.
2. Страничните ребра се нормални на основата. Па тоа е тоа странични лицаправоаголен паралелепипед - правоаголници.
3. Сите диедрални аглиправоаголни паралелепипедни прави линии.
Да го разгледаме, на пример, диедралниот агол на правоаголен паралелепипед со раб AB, т.е. диедралниот агол помеѓу рамнините ABC 1 и ABC.
AB е раб, точката A 1 лежи во едната рамнина - во рамнината ABB 1, а точката D во другата - во рамнината A 1 B 1 C 1 D 1. Тогаш диедралниот агол што се разгледува може да се означи и на следниов начин: ∠A 1 ABD.
Да ја земеме точката А на работ AB. AA 1 е нормално на работ AB во рамнината АВВ-1, AD е нормално на работ AB во рамнината ABC. Ова значи дека ∠A 1 AD е линеарен агол на даден диедрален агол. ∠A 1 AD = 90°, што значи дека диедралниот агол на работ AB е 90°.
∠(ABB 1, ABC) = ∠(AB) = ∠A 1 ABD= ∠A 1 AD = 90°.
Слично на тоа, докажано е дека сите диедрални агли на правоаголен паралелепипед се правилни.
Квадратот на дијагоналата на правоаголен паралелепипед е еднаков на збирот на квадратите на неговите три димензии.
Забелешка. Должините на трите рабови што произлегуваат од едно теме на кубоидот се мерењата на кубоидата. Тие понекогаш се нарекуваат должина, ширина, висина.
Дадено: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - правоаголен паралелепипед (сл. 5).
Доказ: .
Ориз. 5 Правоаголен паралелепипед
Доказ:
Правата линија CC 1 е нормална на рамнината ABC, а со тоа и на правата линија AC. Тоа значи дека триаголникот CC 1 A е правоаголен. Според Питагоровата теорема:
Размислете за правоаголен триаголник ABC. Според Питагоровата теорема:
Но п.н.е. и н.е. спротивни страниправоаголник. Значи п.н.е. = н.е. Потоа:
Бидејќи , А , Тоа. Бидејќи CC 1 = AA 1, тоа е она што треба да се докаже.
Дијагоналите на правоаголен паралелепипед се еднакви.
Да ги означиме димензиите на паралелепипедот ABC како a, b, c (види слика 6), потоа AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =
Во геометријата се разликуваат следниве видови паралелепипеди: правоаголен паралелепипед (лицата на паралелепипедот се правоаголници); десен паралелепипед (неговите странични лица делуваат како правоаголници); наклонет паралелепипед (неговите странични лица делуваат како нормални); коцка е паралелепипед со апсолутно идентични димензии, а лицата на коцката се квадрати. Паралелепипедите можат да бидат или наклонети или прави.
Главните елементи на паралелепипед се дека двете лица на претставениот геометриска фигура, кои немаат заеднички раб се спротивни, а оние што имаат се соседни. Темињата на паралелепипедот, кои не припаѓаат на истото лице, дејствуваат спротивно едни на други. Паралелепипедот има димензија - тоа се три рабови кои имаат заедничко теме.
Линискиот сегмент што ги поврзува спротивните темиња се нарекува дијагонала. Четирите дијагонали на паралелепипед, кои се сечат во една точка, се истовремено поделени на половина.
За да ја одредите дијагоналата на паралелепипед, треба да ги одредите страните и рабовите, кои се познати од условите на проблемот. Со три познати ребра А , ВО , СО нацртајте дијагонала во паралелепипедот. Според својството на паралелепипедот, кое вели дека сите агли му се правилни, се одредува дијагоналата. Конструирај дијагонала од едно од лицата на паралелепипедот. Дијагоналите мора да се исцртаат на таков начин што дијагоналата на лицето, саканата дијагонала на паралелепипедот и познатиот раб создаваат триаголник. Откако ќе се формира триаголник, пронајдете ја должината на оваа дијагонала. Дијагоналата во другиот добиен триаголник делува како хипотенуза, така што може да се најде со помош на Питагоровата теорема, која мора да се земе под квадратниот корен. На овој начин ја знаеме вредноста на втората дијагонала. За да се најде првата дијагонала на паралелепипедот во формираниот правоаголен триаголник, потребно е да се најде и непознатата хипотенуза (со помош на Питагоровата теорема). Користејќи го истиот пример, секвенцијално пронајдете ги преостанатите три дијагонали кои постојат во паралелепипедот, изведувајќи дополнителни конструкции на дијагонали кои формираат правоаголни триаголниции решаваат со помош на Питагоровата теорема.
Правоаголен паралелепипед (ПП) не е ништо повеќе од призма, чија основа е правоаголник. За PP, сите дијагонали се еднакви, што значи дека која било од неговите дијагонали се пресметува со формулата:
a, c - страни на основата на ПП;
c е неговата висина.
Друга дефиниција може да се даде со разгледување на Декартовиот правоаголен координатен систем:
PP дијагоналата е вектор на радиус на која било точка во просторот специфицирана со x, y и z координати во Декартовиот координатен систем. Овој вектор на радиус до точката е извлечен од потеклото. И координатите на точката ќе бидат проекциите на векторот на радиусот (дијагоналите на PP) на координатните оски. Проекциите се совпаѓаат со темињата на овој паралелепипед.
Паралелепипед и неговите типови
Ако буквално го преведеме неговото име од старогрчки, излегува дека тоа е фигура составена од паралелни рамнини. Постојат следниве еквивалентни дефиниции за паралелепипед:
- призма со основа во форма на паралелограм;
- полиедар, чиешто лице е паралелограм.
Неговите типови се разликуваат во зависност од тоа која фигура лежи во нејзината основа и како се насочени страничните ребра. ВО општ случајзбори за наклонет паралелепипед, чија основа и сите лица се паралелограми. Ако страничните лица на претходниот поглед станат правоаголници, тогаш ќе треба да се повика директно. И правоаголнаа основата исто така има агли од 90º.
Покрај тоа, во геометријата тие се обидуваат да го прикажат второто на таков начин што може да се забележи дека сите рабови се паралелни. Тука, патем, е главната разлика помеѓу математичарите и уметниците. Важно е второто да го пренесе телото во согласност со законот за перспектива. И во овој случај, паралелизмот на ребрата е целосно невидлив.
За воведените нотации
Во формулите подолу, ознаките наведени во табелата се валидни.
Формули за наклонет паралелепипед
Прво и второ за области:
Третиот е да се пресмета волуменот на паралелепипед:
Бидејќи основата е паралелограм, за да ја пресметате нејзината плоштина ќе треба да ги користите соодветните изрази.
Формули за правоаголен паралелепипед
Слично на првата точка - две формули за области:
И уште една за волумен:
Прва задача
Состојба. Даден е правоаголен паралелепипед, чиј волумен треба да се најде. Позната е дијагоналата - 18 см - и фактот дека формира агли од 30 и 45 степени со рамнината на страничното лице и страничниот раб, соодветно.
Решение.За да одговорите на проблемското прашање, ќе треба да ги знаете сите страни во три правоаголни триаголници. Тие ќе ги дадат потребните вредности на рабовите со кои треба да ја пресметате јачината на звукот.
Прво треба да откриете каде е аголот од 30º. За да го направите ова, треба да нацртате дијагонала на страничното лице од истото теме од каде што е нацртана главната дијагонала на паралелограмот. Аголот меѓу нив ќе биде она што е потребно.
Првиот триаголник што ќе даде една од вредностите на страните на основата ќе биде следниот. Ја содржи потребната страна и две нацртани дијагонали. Правоаголна е. Сега треба да ја искористиме врската спротивна страна(базни страни) и хипотенуза (дијагонали). Тоа е еднакво на синусот од 30º. Односно, непознатата страна на основата ќе се одреди како дијагонала помножена со синусот од 30º или ½. Нека биде означено со буквата „а“.
Вториот ќе биде триаголник кој содржи позната дијагонала и раб со кој формира 45º. Исто така е правоаголен, и повторно можете да го користите односот на ногата со хипотенузата. Со други зборови, страничен раб до дијагонала. Тоа е еднакво на косинус од 45º. Односно, „c“ се пресметува како производ на дијагоналата и косинусот од 45º.
c = 18 * 1/√2 = 9 √2 (cm).
Во истиот триаголник треба да пронајдете друга нога. Ова е неопходно за потоа да се пресмета третата непозната - „во“. Нека биде означено со буквата „x“. Може лесно да се пресмета со помош на Питагоровата теорема:
x = √(18 2 - (9√2) 2) = 9√2 (cm).
Сега треба да разгледаме уште еден правоаголен триаголник. Веќе содржи познати партии„c“, „x“ и оној што треба да се изброи, „v“:
во = √((9√2) 2 - 9 2 = 9 (cm).
Сите три количини се познати. Можете да ја користите формулата за волумен и да ја пресметате:
V = 9 * 9 * 9√2 = 729√2 (cm 3).
Одговор:волуменот на паралелепипедот е 729√2 cm 3.
Втора задача
Состојба. Треба да го пронајдете волуменот на паралелепипед. Во него, страните на паралелограмот, кој лежи во основата, се знае дека се 3 и 6 cm, како и неговиот остар агол - 45º. Страничното ребро има наклон кон основата од 30º и е еднакво на 4 cm.
Решение.За да одговорите на прашањето на проблемот, треба да ја земете формулата напишана за волуменот на наклонет паралелепипед. Но и двете количини се непознати во него.
Областа на основата, односно паралелограм, ќе се определи со формула во која треба да ги помножите познатите страни и синусот на акутниот агол меѓу нив.
S o = 3 * 6 sin 45º = 18 * (√2)/2 = 9 √2 (cm 2).
Втората непозната големина е висината. Може да се извлече од кое било од четирите темиња над основата. Може да се најде од правоаголен триаголник во кој висината е кракот, а страничниот раб е хипотенузата. Во овој случај, аголот од 30º лежи спроти непознатата висина. Тоа значи дека можеме да го искористиме односот на ногата и хипотенузата.
n = 4 * грев 30º = 4 * 1/2 = 2.
Сега сите вредности се познати и волуменот може да се пресмета:
V = 9 √2 * 2 = 18 √2 (cm 3).
Одговор:волуменот е 18 √2 cm 3.
Трета задача
Состојба. Најдете го волуменот на паралелепипед ако се знае дека е исправен. Страните на неговата основа формираат паралелограм и се еднакви на 2 и 3 cm. Остриот агол меѓу нив е 60º. Помалата дијагонала на паралелепипедот е еднаква на поголемата дијагонала на основата.
Решение.За да го дознаеме волуменот на паралелепипед, ја користиме формулата со основната површина и висината. И двете количини се непознати, но лесно се пресметуваат. Првиот е висината.
Бидејќи помалата дијагонала на паралелепипедот се совпаѓа по големина со поголемата основа, тие можат да бидат означени со истата буква d. Најголемиот агол на паралелограмот е 120º, бидејќи тој формира 180º со акутниот. Нека втората дијагонала на основата е означена со буквата „x“. Сега за двете дијагонали на основата можеме да ги напишеме косинусните теореми:
d 2 = a 2 + b 2 - 2av cos 120º,
x 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos 60º.
Нема смисла да се најдат вредности без квадрати, бидејќи подоцна тие повторно ќе се подигнат на втората сила. Откако ќе ги замениме податоците, добиваме:
d 2 = 2 2 + 3 2 - 2 * 2 * 3 cos 120º = 4 + 9 + 12 * ½ = 19,
x 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos 60º = 4 + 9 - 12 * ½ = 7.
Сега висината, која е и страничниот раб на паралелепипедот, ќе испадне дека е крак во триаголникот. Хипотенузата ќе биде позната дијагонала на телото, а вториот крак ќе биде „x“. Можеме да ја напишеме Питагоровата теорема:
n 2 = d 2 - x 2 = 19 - 7 = 12.
Оттука: n = √12 = 2√3 (cm).
Сега втората непозната количина е површината на основата. Може да се пресмета со помош на формулата спомната во вториот проблем.
S o = 2 * 3 sin 60º = 6 * √3/2 = 3√3 (cm 2).
Комбинирајќи сè во формулата за волумен, добиваме:
V = 3√3 * 2√3 = 18 (cm 3).
Одговор: V = 18 cm 3.
Четврта задача
Состојба. Потребно е да се дознае волуменот на паралелепипед кој ги исполнува следните услови: основата е квадрат со страна од 5 cm; страничните лица се ромбови; едно од темињата што се наоѓа над основата е подеднакво оддалечено од сите темиња што лежат во основата.
Решение.Прво треба да се справите со состојбата. Нема прашања со првата точка за плоштадот. Вториот, за ромбовите, јасно покажува дека паралелепипедот е наклонет. Покрај тоа, сите негови рабови се еднакви на 5 см, бидејќи страните на ромбот се исти. И од третото станува јасно дека трите дијагонали извлечени од него се еднакви. Тоа се две кои лежат на страничните лица, а последната е внатре во паралелепипедот. И овие дијагонали се еднакви на работ, односно имаат и должина од 5 см.
За да ја одредите јачината на звукот, ќе ви треба формула напишана за наклонет паралелепипед. Во него повторно нема познати количини. Сепак, површината на основата е лесно да се пресмета бидејќи е квадрат.
S o = 5 2 = 25 (cm 2).
Ситуацијата со висината е малку посложена. Ќе биде вака во три фигури: паралелепипед, четириаголна пирамида и рамнокрак триаголник. Оваа последна околност треба да се искористи.
Бидејќи е висината, тоа е крак во правоаголен триаголник. Хипотенузата во него ќе биде познат раб, а вториот крак е еднаков на половина од дијагоналата на квадратот (висината е исто така средна). И дијагоналата на основата е лесно да се најде:
d = √(2 * 5 2) = 5√2 (cm).
n = √ (5 2 - (5/2 * √2) 2) = √(25 - 25/2) = √(25/2) = 2,5 √2 (cm).
V = 25 * 2,5 √2 = 62,5 √2 (cm 3).
Одговор: 62,5 √2 (cm 3).
Инструкции
Метод 2. Да претпоставиме дека правоаголниот паралелепипед е коцка. Коцката е правоаголен паралелепипед, секое лице е претставено со квадрат. Затоа, сите негови страни се еднакви. Потоа за да се пресмета должината на нејзината дијагонала ќе се изрази на следниов начин:
Извори:
- формула за дијагонала на правоаголник
Паралелепипед е посебен случај на призма, во која сите шест лица се паралелограми или правоаголници. Паралелепипед со правоаголни лица се нарекува и правоаголен. Паралелепипедот има четири вкрстени дијагонали. Ако се дадени три рабови a, b, c, можете да ги најдете сите дијагонали на правоаголен паралелепипед со изведување дополнителни конструкции.
Инструкции
Најдете ја дијагоналата на паралелепипедот m. За да го направите ова, пронајдете ја непознатата хипотенуза во a, n, m: m² = n² + a². Замена познати вредности, потоа пресметајте го квадратниот корен. Добиениот резултат ќе биде првата дијагонала на паралелепипедот m.
На ист начин, секвенцијално нацртајте ги сите други три дијагонали на паралелепипедот. Исто така, за секој од нив, извршете дополнителна конструкција на дијагонали на соседните лица. Имајќи ги предвид формираните правоаголни триаголници и применувајќи ја Питагоровата теорема, пронајдете ги вредностите на преостанатите дијагонали.
Видео на темата
Извори:
- наоѓање на паралелепипед
Хипотенузата е спротивна страна прав агол. Нозете се страните на триаголникот во непосредна близина на прав агол. Во однос на триаголниците ABC и ACD: AB и BC, AD и DC–, AC е заедничка хипотенуза за двата триаголници (саканата дијагонала). Затоа, AC = квадрат AB + квадрат BC или AC b = квадрат AD + квадрат DC. Заменете ги должините на страните правоаголникво горната формула и пресметајте ја должината на хипотенузата (дијагонала правоаголник).
На пример, страните правоаголник ABCD се еднакви на следните вредности: AB = 5 cm и BC = 7 cm. Квадратот на дијагоналата AC на дадена правоаголникспоред Питагоровата теорема: AC квадрат = квадрат AB + квадрат BC = 52+72 = 25 + 49 = 74 кв.см. Користете калкулатор за да ја пресметате вредноста квадратен корен 74. Треба да добиете 8,6 cm (заоблена вредност). Ве молиме имајте предвид дека според еден од својствата правоаголник, неговите дијагонали се еднакви. Значи должината на втората дијагонала BD правоаголник ABCD е еднаква на должината на дијагоналата AC. За горенаведениот пример, оваа вредност
Дефиниција
Полиедарќе ја наречеме затворена површина составена од многуаголници и ограничување на одреден дел од просторот.
Се нарекуваат отсечките кои се страни на овие многуаголници ребраполиедар, а самите многуаголници се рабовите. Темињата на многуаголниците се нарекуваат полиедарски темиња.
Ќе ги разгледаме само конвексните полиедри (ова е полиедар кој се наоѓа на едната страна од секоја рамнина што го содржи нејзиното лице).
Многуаголниците што го сочинуваат полиедарот ја формираат неговата површина. Делот од просторот што е ограничен со даден полиедар се нарекува негова внатрешност.
Дефиниција: призма
Размислете за два еднакви многуаголници \(A_1A_2A_3...A_n\) и \(B_1B_2B_3...B_n\) лоцирани во паралелни рамнини така што отсечките \(A_1B_1, \A_2B_2, ..., A_nB_n\)паралелно. Многуедар формиран од многуаголниците \(A_1A_2A_3...A_n\) и \(B_1B_2B_3...B_n\) , како и паралелограмите \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\), се нарекува (\(n\)-gonal) призма.
Многуаголниците \(A_1A_2A_3...A_n\) и \(B_1B_2B_3...B_n\) се нарекуваат основи на призма, паралелограми \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\)– странични лица, сегменти \(A_1B_1, \ A_2B_2, \ ..., A_nB_n\)- странични ребра.
Така, страничните рабови на призмата се паралелни и еднакви еден на друг.
Ајде да погледнеме на пример - призма \(A_1A_2A_3A_4A_5B_1B_2B_3B_4B_5\), во чија основа лежи конвексен петаголник.
Висинапризмите се нормални спуштени од која било точка на една основа до рамнината на друга основа.
Ако страничните рабови не се нормални на основата, тогаш се нарекува таква призма наклонет(сл. 1), инаку - директно. Во права призма, страничните рабови се висини, а страничните лица се еднакви правоаголници.
Ако правилен многуаголник лежи во основата на права призма, тогаш призмата се нарекува точно.
Дефиниција: концепт на волумен
Единицата за мерење на волуменот е единица коцка (коцка која мери \(1\times1\times1\) единици\(^3\), каде што единицата е одредена мерна единица).
Можеме да кажеме дека волуменот на полиедарот е количината на просторот што овој полиедар го ограничува. Инаку: ова е величина чија нумеричка вредност покажува колку пати единична коцка и нејзините делови се вклопуваат во даден полиедар.
Волуменот ги има истите својства како областа:
1. Волуменот на еднакви фигури се еднакви.
2. Ако многуедарот е составен од неколку полиедри кои не се сечат, тогаш неговиот волумен е еднаков на збирот на волумените на овие полиедри.
3. Волуменот е ненегативна количина.
4. Волуменот се мери во cm\(^3\) ( кубни сантиметри), m\(^3\) ( Кубни метри) итн.
Теорема
1. Површината на страничната површина на призмата е еднаква на производот на периметарот на основата и висината на призмата.
Површината на страничната површина е збир на површините на страничните лица на призмата.
2. Волуменот на призмата е еднаков на производот на основната површина и висината на призмата: \
Дефиниција: паралелепипед
Паралелепипеде призма со паралелограм во основата.
Сите лица на паралелепипедот (има \(6\) : \(4\) странични лица и \(2\) основи) се паралелограми, а спротивните лица (паралелно едни со други) се еднакви паралелограми (сл. 2) .
Дијагонала на паралелепипеде отсечка што поврзува две темиња на паралелепипед кои не лежат на истото лице (има \(8\) од нив: \(AC_1,\A_1C,\BD_1,\B_1D\)итн.).
Правоаголен паралелепипеде правоаголен паралелепипед со правоаголник во основата.
Бидејќи Бидејќи ова е прав паралелепипед, страничните лица се правоаголници. Ова значи дека генерално сите лица на правоаголен паралелепипед се правоаголници.
Сите дијагонали на правоаголен паралелепипед се еднакви (ова произлегува од еднаквоста на триаголниците \(\триаголник ACC_1=\триаголник AA_1C=\триаголник BDD_1=\триаголник BB_1D\)итн.).
Коментар
Така, паралелепипедот ги има сите својства на призмата.
Теорема
Страничната површина на правоаголен паралелепипед е \
Плоштад целосна површинаправоаголен паралелепипед е еднаков на \
Теорема
Волуменот на кубоидот е еднаков на производот на неговите три рабови што излегуваат од едно теме (три димензии на коцката): \
Доказ
Бидејќи Во правоаголен паралелепипед, страничните рабови се нормални на основата, тогаш тие се и нејзините висини, односно \(h=AA_1=c\) бидејќи основата е правоаголник, тогаш \(S_(\text(главен))=AB\cdot AD=ab\). Оттука доаѓа оваа формула.
Теорема
Дијагоналата \(d\) на правоаголен паралелепипед се наоѓа со помош на формулата (каде \(a,b,c\) се димензиите на паралелепипедот) \
Доказ
Ајде да погледнеме на Сл. 3. Затоа што основата е правоаголник, тогаш \(\триаголникот ABD\) е правоаголен, според тоа, според Питагоровата теорема \(BD^2=AB^2+AD^2=a^2+b^2\) .
Бидејќи сите странични рабови се нормални на основите, тогаш \(BB_1\perp (ABC) \Десна стрелка BB_1\)нормално на која било права линија во оваа рамнина, т.е. \(BB_1\perp BD\) . Ова значи дека \(\триаголникот BB_1D\) е правоаголен. Потоа, според Питагоровата теорема \(B_1D=BB_1^2+BD^2=a^2+b^2+c^2\), тд.
Дефиниција: коцка
Коцкае правоаголен паралелепипед, чиишто лица се еднакви квадрати.
Така, трите димензии се еднакви една на друга: \(a=b=c\) . Значи вистинито е следново
Теореми
1. Волуменот на коцка со раб \(a\) е еднаков на \(V_(\text(cobe))=a^3\) .
2. Дијагоналата на коцката се наоѓа со помош на формулата \(d=a\sqrt3\) .
3. Вкупна површина на коцка \(S_(\текст(полна коцка))=6a^2\).
Се вчитува...
