Линеарна зависност и линеарна независност на вектори.
Основа на вектори. Афин координатен систем

Во аудиториумот има количка со чоколади, а секој посетител денеска ќе добие сладок пар - аналитичка геометрија со линеарна алгебра. Оваа статија ќе допре два дела од вишата математика одеднаш, и ќе видиме како тие коегзистираат во една обвивка. Направете пауза, јадете Твикс! ...проклето, какви глупости. Иако, во ред, нема да постигнам гол, на крајот, треба да имате позитивен став кон учењето.

Линеарна зависност на вектори, линеарна векторска независност, основа на векториа другите поими имаат не само геометриско толкување, туку, пред сè, алгебарско значење. Самиот концепт на „вектор“ од гледна точка на линеарна алгебра не е секогаш „обичниот“ вектор што можеме да го прикажеме на рамнина или во вселената. Не треба да барате далеку за доказ, обидете се да нацртате вектор на петдимензионален простор . Или временскиот вектор, за кој штотуку отидов во Гисметео: температура и атмосферски притисок, соодветно. Примерот, се разбира, е неточен од гледна точка на својствата на векторскиот простор, но, сепак, никој не забранува формализирање на овие параметри како вектор. Здивот на есента...

Не, нема да ви досадувам со теорија, линеарни векторски простори, задачата е да разбередефиниции и теореми. Новите поими (линеарна зависност, независност, линеарна комбинација, основа итн.) важат за сите вектори од алгебарски аспект, но ќе бидат дадени геометриски примери. Така, сè е едноставно, достапно и јасно. Покрај проблемите на аналитичката геометрија, ќе разгледаме и некои типични алгебарски проблеми. За да го совладате материјалот, препорачливо е да се запознаете со лекциите Вектори за куклиИ Како да се пресмета детерминантата?

Линеарна зависност и независност на рамни вектори.
Рамнинска основа и афин координатен систем

Ајде да ја разгледаме рамнината на вашата компјутерска маса (само маса, ноќна маса, под, таван, што и да сакате). Задачата ќе се состои од следниве активности:

1) Изберете рамнина основа. Грубо кажано, масата има должина и ширина, па затоа е интуитивно дека ќе бидат потребни два вектори за да се изгради основата. Еден вектор очигледно не е доволен, три вектори се премногу.

2) Врз основа на избраната основа поставете координатен систем(координатна мрежа) за доделување координати на сите објекти на табелата.

Немојте да се чудите, прво објаснувањата ќе бидат на прсти. Згора на тоа, на твоето. Ве молиме поставете левиот показалецна работ на масата за да гледа во мониторот. Ова ќе биде вектор. Сега место десен мал прстна работ на масата на ист начин - така што е насочен кон екранот на мониторот. Ова ќе биде вектор. Насмевнете се, изгледате одлично! Што можеме да кажеме за векторите? Вектори на податоци колинеарна, што значи линеарнаизразени едни преку други:
, добро, или обратно: , каде е некој број различен од нула.

Можете да видите слика од оваа акција на час. Вектори за кукли, каде што го објаснив правилото за множење вектор со број.

Дали вашите прсти ќе ја постават основата на рамнината на компјутерското биро? Очигледно не. Колинеарни вектори патуваат напред-назад низ самнасока, а рамнината има должина и ширина.

Таквите вектори се нарекуваат линеарно зависни.

Референца: Зборовите „линеарно“, „линеарно“ го означуваат фактот дека во математичките равенки и изрази нема квадрати, коцки, други сили, логаритми, синуси итн. Има само линеарни (1 степен) изрази и зависности.

Два рамни вектори линеарно зависниако и само ако се колинеарни.

Прекрстете ги прстите на масата за да има агол меѓу нив, освен 0 или 180 степени. Два рамни векторилинеарна Независни ако и само ако не се колинеарни. Значи, основата е добиена. Нема потреба да се срамиме што основата се покажа како „искривена“ со ненормални вектори со различни должини. Многу наскоро ќе видиме дека не е погоден само агол од 90 степени за негова конструкција, а не само единечни вектори со еднаква должина

Било којавион вектор единствениот начинсе проширува според основата:
, каде се реалните броеви. Броевите се повикани векторски координативо оваа основа.

Се вели и дека векторпретставен како линеарна комбинацијаосновни вектори. Тоа е, изразот се нарекува векторско распаѓањепо основаили линеарна комбинацијаосновни вектори.

На пример, можеме да кажеме дека векторот е разложен по ортонормална основа на рамнината, или можеме да кажеме дека е претставен како линеарна комбинација на вектори.

Ајде да формулираме дефиниција на основаформално: Основата на авионотсе нарекува пар линеарно независни (неколинеарни) вектори, , при што било којрамен вектор е линеарна комбинација на базични вектори.

Суштинска точка на дефиницијата е фактот дека векторите се земени по одреден редослед. Основи – тоа се две сосема различни основи! Како што велат, не можете да го замените малиот прст од левата рака на местото на малиот прст од десната рака.

Ја сфативме основата, но не е доволно да поставите координатна мрежа и да доделите координати на секоја ставка на вашата компјутерска маса. Зошто не е доволно? Векторите се слободни и талкаат низ целата рамнина. Па, како да им доделите координати на оние мали валкани места на масата останати од дивиот викенд? Потребна е почетна точка. И такво обележје е точка позната на сите - потеклото на координатите. Ајде да го разбереме координатниот систем:

Ќе почнам со „училишниот“ систем. Веќе во воведната лекција Вектори за куклиНагласив некои разлики помеѓу правоаголниот координатен систем и ортонормалната основа. Еве ја стандардната слика:

Кога зборуваат за правоаголен координатен систем, тогаш најчесто значат потекло, координатни оски и размер по оските. Обидете се да напишете „правоаголен координатен систем“ во пребарувачот и ќе видите дека многу извори ќе ви кажат за координатни оски познати од 5-то до 6-то одделение и како да нацртате точки на рамнина.

Од друга страна, се чини дека правоаголен координатен систем може целосно да се дефинира во однос на ортонормална основа. И тоа е речиси точно. Формулацијата е како што следува:

потекло, И ортонормалниосновата е поставена Декартов правоаголна рамнина координатен систем . Односно правоаголниот координатен систем дефинитивносе дефинира со една точка и два единечни ортогонални вектори. Затоа го гледате цртежот што го дадов погоре - во геометриските задачи често (но не секогаш) се цртаат и вектори и координатни оски.

Мислам дека секој го разбира тоа користење на точка (потекло) и ортонормална основа БИЛО БИЛО ТОЧКА на авионот и БИЛО БИЛО ВЕКТОР во авионотможе да се доделат координати. Фигуративно кажано, „сè во авион може да се нумери“.

Дали е потребно координатните вектори да бидат единечни? Не, тие можат да имаат произволна должина што не е нула. Размислете за точка и два ортогонални вектори со произволна ненулта должина:

Таквата основа се нарекува ортогонални. Потеклото на координатите со вектори се дефинира со координатна мрежа, а секоја точка на рамнината, секој вектор има свои координати во дадена основа. На пример, или. Очигледната непријатност е што координатните вектори генералноимаат различни должини освен единството. Ако должините се еднакви на единство, тогаш се добива вообичаената ортонормална основа.

! Забелешка : во ортогоналната основа, како и подолу во афините основи на рамнина и простор, се разгледуваат единици по оските УСЛОВНА. На пример, една единица долж оската x содржи 4 cm, една единица по должината на оската на ординатите содржи 2 cm. Овие информации се доволни за, доколку е потребно, да се претворат „нестандардните“ координати во „нашите вообичаени сантиметри“.

И второто прашање, кое всушност веќе е одговорено, е дали аголот помеѓу основните вектори мора да биде еднаков на 90 степени? Не! Како што вели дефиницијата, основните вектори мора да бидат само неколинеарни. Според тоа, аголот може да биде сè освен 0 и 180 степени.

Се јави точка на авионот потекло, И неколинеарнивектори, , сет координатен систем на афина рамнина :

Понекогаш се нарекува таков координатен систем косисистем. Како примери, цртежот покажува точки и вектори:

Како што разбирате, афиниот координатен систем е уште помалку удобен; формулите за должини на вектори и отсечки, за кои разговаравме во вториот дел од лекцијата, не работат во него. Вектори за кукли, многу вкусни формули поврзани со скаларен производ на вектори. Но, валидни се правилата за собирање вектори и множење вектор со број, формули за делење отсечка во оваа релација, како и некои други видови проблеми кои наскоро ќе ги разгледаме.

И заклучокот е дека најзгодниот посебен случај на афин координатен систем е Декартовиот правоаголен систем. Затоа најчесто мораш да ја гледаш, драга моја. ...Сепак, сè во овој живот е релативно - има многу ситуации во кои кос агол (или некој друг, на пример, поларна) координатен систем. И на хуманоидите можеби им се допаѓаат такви системи =)

Да преминеме на практичниот дел. Сите проблеми во оваа лекција важат и за правоаголниот координатен систем и за општиот афин случај. Нема ништо комплицирано овде, целиот материјал е достапен дури и за ученик.

Како да се одреди колинеарноста на рамни вектори?

Типична работа. Со цел за два рамни вектори беа колинеарни, потребно е и доволно нивните соодветни координати да бидат пропорционалниВо суштина, ова е координатно-по-координати детали за очигледната врска.

Пример 1

а) Проверете дали векторите се колинеарни .
б) Дали векторите формираат основа? ?

Решение:
а) Да откриеме дали има за вектори коефициент на пропорционалност, така што еднаквостите се задоволени:

Дефинитивно ќе ви кажам за „непромислената“ верзија на примена на ова правило, која функционира доста добро во пракса. Идејата е веднаш да се направи пропорцијата и да се види дали е точна:

Ајде да направиме пропорција од односот на соодветните координати на векторите:

Да скратиме:
, така што соодветните координати се пропорционални, затоа,

Врската може да се направи обратно; ова е еквивалентна опција:

За само-тестирање, можете да го искористите фактот дека колинеарните вектори се линеарно изразени еден преку друг. Во овој случај, еднаквостите се одвиваат . Нивната валидност може лесно да се потврди преку елементарни операции со вектори:

б) Два рамни вектори формираат основа ако не се колинеарни (линеарно независни). Ги испитуваме векторите за колинеарност . Ајде да создадеме систем:

Од првата равенка следува дека , од втората равенка следува дека , што значи системот е неконзистентен(без решенија). Така, соодветните координати на векторите не се пропорционални.

Заклучок: векторите се линеарно независни и претставуваат основа.

Поедноставената верзија на решението изгледа вака:

Да направиме пропорција од соодветните координати на векторите :
, што значи дека овие вектори се линеарно независни и претставуваат основа.

Обично оваа опција не е отфрлена од рецензентите, но проблем се јавува во случаи кога некои координати се еднакви на нула. Како ова: . Или вака: . Или вака: . Како да се работи преку пропорцијата овде? (навистина, не можете да делите со нула). Токму поради оваа причина, поедноставеното решение го нареков „безобразно“.

Одговор:а) , б) форма.

Мал креативен пример за сопствено решение:

Пример 2

На која вредност на параметарот се векторите ќе бидат колинеарни?

Во примерокот решение, параметарот се наоѓа преку пропорцијата.

Постои елегантен алгебарски начин за проверка на векторите за колинеарност. Да го систематизираме нашето знаење и да го додадеме како петта точка:

За два рамни вектори, следните искази се еквивалентни:

2) векторите формираат основа;
3) векторите не се колинеарни;

+ 5) детерминантата составена од координатите на овие вектори е ненула.

Соодветно, следните спротивни искази се еквивалентни:
1) векторите се линеарно зависни;
2) векторите не претставуваат основа;
3) векторите се колинеарни;
4) векторите можат линеарно да се изразуваат еден преку друг;
+ 5) детерминантата составена од координатите на овие вектори е еднаква на нула.

Навистина, навистина се надевам дека до сега веќе ги разбирате сите термини и изјави што сте ги сретнале.

Да ја разгледаме подетално новата, петта точка: два рамни вектори се колинеарни ако и само ако детерминантата составена од координатите на дадените вектори е еднаква на нула:. За да ја примените оваа функција, се разбира, треба да бидете во можност најдете детерминанти.

Ајде да одлучимеПример 1 на вториот начин:

а) Да ја пресметаме детерминантата составена од координатите на векторите :
, што значи дека овие вектори се колинеарни.

б) Два рамни вектори формираат основа ако не се колинеарни (линеарно независни). Да ја пресметаме детерминантата составена од векторски координати :
, што значи дека векторите се линеарно независни и формираат основа.

Одговор:а) , б) форма.

Изгледа многу покомпактно и поубаво од решение со пропорции.

Со помош на разгледуваниот материјал, можно е да се утврди не само колинеарноста на векторите, туку и да се докаже паралелизмот на отсечки и прави линии. Ајде да разгледаме неколку проблеми со специфични геометриски форми.

Пример 3

Дадени се темињата на четириаголник. Докажи дека четириаголник е паралелограм.

Доказ: Нема потреба да се креира цртеж во проблемот, бидејќи решението ќе биде чисто аналитичко. Да се ​​потсетиме на дефиницијата за паралелограм:
Паралелограм Се нарекува четириаголник чии спротивставени страни се паралелни во парови.

Така, потребно е да се докаже:
1) паралелизам на спротивни страни и;
2) паралелизам на спротивните страни и.

Докажуваме:

1) Најдете ги векторите:

2) Најдете ги векторите:

Резултатот е истиот вектор („според училиштето“ – еднакви вектори). Колинеарноста е сосема очигледна, но подобро е да се формализира одлуката јасно, со аранжман. Да ја пресметаме детерминантата составена од векторски координати:
, што значи дека овие вектори се колинеарни и .

Заклучок: Спротивните страни на четириаголникот се паралелни во парови, што значи дека е паралелограм по дефиниција. Q.E.D.

Повеќе добри и различни фигури:

Пример 4

Дадени се темињата на четириаголник. Докажи дека четириаголник е трапез.

За поригорозна формулација на доказот, подобро е, се разбира, да се добие дефиницијата за трапез, но доволно е едноставно да се потсетиме како изгледа.

Ова е задача која треба да ја решите сами. Целосно решение на крајот од лекцијата.

И сега е време полека да се движиме од авионот во вселената:

Како да се одреди колинеарноста на просторните вектори?

Правилото е многу слично. За два просторни вектори да бидат колинеарни, потребно е и доволно нивните соодветни координати да бидат пропорционални.

Пример 5

Откријте дали следните вектори на просторот се колинеарни:

А) ;
б)
V)

Решение:
а) Да провериме дали има коефициент на пропорционалност за соодветните координати на векторите:

Системот нема решение, што значи дека векторите не се колинеарни.

„Поедноставено“ се формализира со проверка на пропорцијата. Во овој случај:
– соодветните координати не се пропорционални, што значи дека векторите не се колинеарни.

Одговор:векторите не се колинеарни.

б-в) Тоа се точки за независно одлучување. Пробајте го на два начина.

Постои метод за проверка на просторните вектори за колинеарност преку детерминанта од трет ред; овој метод е опфатен во статијата Векторски производ на вектори.

Слично на случајот со рамнина, разгледаните алатки може да се користат за проучување на паралелизмот на просторните сегменти и прави линии.

Добредојдовте во вториот дел:

Линеарна зависност и независност на векторите во тродимензионален простор.
Просторна основа и афин координатен систем

Многу од обрасците што ги испитавме во авионот ќе важат за вселената. Се обидов да ги минимизирам теориските белешки, бидејќи лавовскиот дел од информациите веќе е изџвакан. Сепак, ви препорачувам внимателно да го прочитате воведниот дел, бидејќи ќе се појават нови поими и концепти.

Сега, наместо рамнината на компјутерското биро, истражуваме тродимензионален простор. Прво, да ја создадеме нејзината основа. Некој сега е внатре, некој на отворено, но во секој случај не можеме да избегаме од три димензии: ширина, должина и висина. Затоа, за да се изгради основа, ќе бидат потребни три просторни вектори. Еден или два вектори не се доволни, четвртиот е излишен.

И повторно се загреваме на прстите. Ве молиме кренете ја раката и раширете ја во различни насоки палецот, показалецот и средниот прст. Овие ќе бидат вектори, тие гледаат во различни насоки, имаат различни должини и имаат различни агли меѓу себе. Честитки, основата на тридимензионалниот простор е подготвена! Патем, нема потреба да им го демонстрирате ова на наставниците, колку и да ги вртите прстите, но нема бегање од дефинициите =)

Следно, да си поставиме едно важно прашање: дали трите вектори формираат основа за тродимензионален простор? Ве молиме цврсто притиснете три прста на горниот дел од работната маса на компјутерот. Што се случи? Во иста рамнина се наоѓаат три вектори, а грубо кажано, изгубивме една од димензиите - висината. Такви вектори се компланарнии, сосема е очигледно дека основата на тридимензионалниот простор не е создадена.

Треба да се забележи дека компланарните вектори не мора да лежат во иста рамнина, тие можат да бидат во паралелни рамнини (само не правете го ова со прстите, само Салвадор Дали го направи ова =)).

Дефиниција: се нарекуваат вектори компланарни, ако има рамнина на која се паралелни. Логично е овде да се додаде дека ако таква рамнина не постои, тогаш векторите нема да бидат компланарни.

Три компланарни вектори се секогаш линеарно зависни, односно линеарно се изразуваат еден преку друг. За едноставност, повторно да замислиме дека лежат во иста рамнина. Прво, векторите не се само компланарни, тие можат да бидат и колинеарни, потоа секој вектор може да се изрази преку кој било вектор. Во вториот случај, ако, на пример, векторите не се колинеарни, тогаш третиот вектор се изразува преку нив на единствен начин: (а зошто е лесно да се погоди од материјалите во претходниот дел).

Вистина е и обратното: три некомпланарни вектори се секогаш линеарно независни, односно никако не се изразуваат еден преку друг. И, очигледно, само таквите вектори можат да ја формираат основата на тридимензионалниот простор.

Дефиниција: Основата на тридимензионалниот просторсе нарекува тројка од линеарно независни (некомпланарни) вектори, земени по одреден редоследи секој вектор на просторот единствениот начинсе разложува на дадена основа, каде се координатите на векторот во оваа основа

Да ве потсетам дека можеме да кажеме и дека векторот е претставен во форма линеарна комбинацијаосновни вектори.

Концептот на координатен систем е воведен на ист начин како и за рамнината; доволни се една точка и кои било три линеарно независни вектори:

потекло, И некомпланарнивектори, земени по одреден редослед, сет афин координатен систем на тридимензионален простор :

Се разбира, координатната мрежа е „косо“ и незгодна, но, сепак, конструираниот координатен систем ни овозможува дефинитивнода ги определи координатите на кој било вектор и координатите на која било точка во просторот. Слично на авион, некои формули што веќе ги споменав нема да работат во афиниот координатен систем на просторот.

Најпознатиот и најзгодниот посебен случај на афински координатен систем, како што сите претпоставуваат, е правоаголен просторен координатен систем:

Точка во просторот наречена потекло, И ортонормалниосновата е поставена Декартов правоаголен простор координатен систем . Позната слика:

Пред да преминеме на практични задачи, повторно да ги систематизираме информациите:

За три просторни вектори, следните искази се еквивалентни:
1) векторите се линеарно независни;
2) векторите формираат основа;
3) векторите не се компланарни;
4) векторите не можат линеарно да се изразуваат еден преку друг;
5) детерминантата, составена од координатите на овие вектори, е различна од нула.

Мислам дека спротивните изјави се разбирливи.

Линеарната зависност/независноста на просторните вектори традиционално се проверува со помош на детерминанта (точка 5). Останатите практични задачи ќе бидат од изразен алгебарски карактер. Време е да го закачите стапот за геометрија и да ракувате со безбол палката од линеарна алгебра:

Три вектори на просторотсе компланарни ако и само ако детерминантата составена од координатите на дадените вектори е еднаква на нула: .

Би сакал да го привлечам вашето внимание на мала техничка нијанса: координатите на векторите можат да се напишат не само во колони, туку и во редови (вредноста на детерминантата нема да се промени поради ова - видете ги својствата на детерминантите). Но, тоа е многу подобро во колони, бидејќи е покорисно за решавање на некои практични проблеми.

За оние читатели кои малку ги заборавиле методите на пресметување детерминанти или можеби малку ги разбираат, препорачувам една од моите најстари лекции: Како да се пресмета детерминантата?

Пример 6

Проверете дали следните вектори ја формираат основата на тридимензионалниот простор:

Решение: Всушност, целото решение се сведува на пресметување на детерминантата.

а) Да ја пресметаме детерминантата составена од векторски координати (детерминантата е откриена во првата линија):

, што значи дека векторите се линеарно независни (не компланарни) и ја формираат основата на тродимензионалниот простор.

Одговори: овие вектори формираат основа

б) Ова е точка за независно одлучување. Целосно решение и одговор на крајот од лекцијата.

Постојат и креативни задачи:

Пример 7

При која вредност на параметарот векторите ќе бидат компланарни?

Решение: Векторите се компланарни ако и само ако детерминантата составена од координатите на овие вектори е еднаква на нула:

Во суштина, треба да решите равенка со детерминанта. Се нафрламе на нули како змејови на жарбоа - најдобро е да ја отворите одредницата во втората линија и веднаш да се ослободите од минусите:

Ние вршиме дополнителни поедноставувања и ја сведуваме материјата на наједноставната линеарна равенка:

Одговори: во

Лесно е да се провери овде; за да го направите ова, треба да ја замените добиената вредност во оригиналната детерминанта и да бидете сигурни дека , отворајќи го повторно.

Како заклучок, ќе разгледаме уште еден типичен проблем, кој е поалгебарски по природа и традиционално е вклучен во линеарен алгебарски курс. Толку е вообичаено што заслужува своја тема:

Докажете дека 3 вектори ја формираат основата на тродимензионалниот простор
и најдете ги координатите на четвртиот вектор во оваа основа

Пример 8

Дадени се вектори. Покажете дека векторите формираат основа во тродимензионалниот простор и пронајдете ги координатите на векторот во оваа основа.

Решение: Прво, да се справиме со состојбата. По услов, дадени се четири вектори и, како што можете да видите, тие веќе имаат координати во одредена основа. Што е оваа основа не нè интересира. И следново е од интерес: три вектори може да формираат нова основа. И првата фаза целосно се совпаѓа со решението на Пример 6; потребно е да се провери дали векторите се навистина линеарно независни:

Да ја пресметаме детерминантата составена од векторски координати:

, што значи дека векторите се линеарно независни и ја формираат основата на тродимензионалниот простор.

! Важно : векторски координати ЗадолжителноНапиши во колонидетерминанта, не во жици. Во спротивно, ќе има забуна во понатамошниот алгоритам за решение.

3.3. Линеарна независност на вектори. Основа.

Линеарна комбинација векторски системи

наречен вектор

каде што 1, a 2, ..., a n - произволни броеви.

Ако сите и = 0, тогаш се повикува линеарната комбинација тривијални . Во овој случај, очигледно

Дефиниција 5.

Ако за систем на вектори постои нетривијална линеарна комбинација (барем една ai¹ 0) еднаков на векторот нула: тогаш се нарекува системот на вектори линеарна зависни. Ако еднаквоста (1) е можна само во случај кога сите а јас =0, тогаш се нарекува системот на вектори линеарна независна .

Теорема 2 (Услови на линеарна зависност).

Дефиниција 6.

Од теорема 3 произлегува дека ако е дадена основа во просторот, тогаш со додавање на произволен вектор на неа, добиваме линеарно зависен систем на вектори. Во согласност соТеорема 2 (1) , еден од нив (може да се покаже дека векторот) може да се претстави како линеарна комбинација од другите:

.

Дефиниција 7.

Броеви се нарекуваат координати вектори во основата (означува

Ако векторите се разгледаат на рамнината, тогаш основата ќе биде подреден пар на неколинеарни вектори

а координатите на векторот во оваа основа се пар броеви:

Забелешка 3. Може да се покаже дека за дадена основа, координатите на векторот се одредуваат единствено . Од ова, особено, произлегува дека ако векторите се еднакви, тогаш нивните соодветни координати се еднакви и обратно .

Така, ако е дадена основа во празно место, тогаш секој вектор на просторот одговара на подредена тројка од броеви (координати на векторот во оваа основа) и обратно: секоја тројка од броеви одговара на вектор.

На рамнината, се воспоставува слична кореспонденција помеѓу вектори и парови на броеви.

Теорема 4 (Линеарни операции преку векторски координати).

Ако по некоја основа И а е произволен број, тогаш во оваа основа

Со други зборови:

Кога векторот се множи со број, неговите координати се множат со тој број ;

при собирање вектори се додаваат нивните соодветни координати .

Пример 1 . Во некоја основа векторитеимаат координати

Покажете дека векторите формираат основа и пронајдете ги координатите на векторот во оваа основа.

Векторите формираат основа ако се некомпланарни, затоа (во согласност соод теорема 3(2) ) се линеарно независни.

По дефиниција 5 тоа значи дека еднаквоста

можно само акоx = y = z = 0.

Векторски концепт

Дефиниција 1.Векторнаречена насочена отсечка (или, што е исто, подреден пар точки).

Означено: (точката А е почеток на векторот), точката Б е крајот на векторот) или со една буква -.

Дефиниција 2.Векторска должина (модул)е растојанието помеѓу почетокот и крајот на векторот. Должината на векторот се означува со или.

Дефиниција 3.Нулта векторСе нарекува вектор чиј почеток и крај се совпаѓаат. Назначи:

Дефиниција 4.Единица векторе вектор чија должина е еднаква на еден.

Единечниот вектор кој има иста насока како даден вектор се нарекува единичен вектор на векторот и се означува со симболот.

Дефиниција 5.Векторите се нарекуваат колинеарна,ако се наоѓаат на иста права или на паралелни прави. Нултиот вектор се смета за колинеарен со кој било вектор.

Дефиниција 6.Векторите се нарекуваат еднакви, ако се колинеарни, имаат иста должина и иста насока.

Линеарни операции на вектори

Дефиниција 7.Линеарни операции на векторисе нарекуваат собирање вектори и множење на вектор со број.

Дефиниција 8.Збир на два векторие вектор кој оди од почетокот на векторот до крајот на векторот, под услов векторот да е прикачен на крајот на векторот (правило на триаголник). Во случај на неколинеарни вектори, наместо правилото за триаголник, можно е да се користи правилото за паралелограм: ако векторите се издвојат од заедничкото потекло и на нив е изграден паралелограм, тогаш збирот е вектор што се совпаѓа при што дијагоналата на овој паралелограм доаѓа од заедничко потекло.

Дефиниција 9.Разликата на два векторисе нарекува вектор кој, кога ќе се додаде на вектор, формира вектор. Ако два вектори се издвојат од заедничкото потекло, тогаш нивната разлика е вектор што продолжува од крајот на векторот („одзема“) до крајот на векторот („намалено“).

Дефиниција 10.Се нарекуваат два колинеарни вектори со еднаква должина насочени во спротивни насоки спротивно.Се означува векторот спротивен на векторот.

Производот на вектор и број се означува со α.

Некои својства на линеарни операции

7) ;

Теорема 1.(За колинеарни вектори).Ако u се два колинеарни вектори, а векторот не е нула, тогаш постои единствен број x таков што = x

Конкретно, ненулта вектор и неговиот се ort-поврзани со еднаквоста: =·.

Формулираните својства на линеарни операции овозможуваат трансформација на изрази составени од вектори според вообичаените правила на алгебрата: можете да отворите загради, да внесете слични поими, да префрлите некои термини на друг дел од еднаквоста со спротивен знак итн.

Пример 1.

Докажете ја еднаквоста:

и дознајте кое е нивното геометриско значење.

Решение.а) На левата страна на еднаквоста, отворете ги заградите, додајте слични членови и добијте вектор на десната страна. Дозволете ни да ја објасниме оваа еднаквост геометриски. Нека се дадени два вектори, тргнете ги настрана од заедничкото потекло и погледнете го паралелограмот и неговите дијагонали, добиваме:

§2 Линеарна комбинација на вектори

Векторска основа на рамнината и во вселената.

Дефиниција 1.Линеарна комбинација на вектори,,се нарекува збир на производите на овие вектори со некои броеви,,:++.

Дефиниција 2.Векторска основаво дадена рамнина се нарекува секој пар неколинеарни вектори во таа рамнина.

Векторот се нарекува прв основен вектор, векторот втор.

Следната теорема е вистинита.

Теорема 1.Ако основа ,– векторска основа во рамнина, тогаш секој вектор од оваа рамнина може да се претстави, и тоа на единствен начин, во форма на линеарна комбинација на основни вектори: = x + y. (*)

Дефиниција 3.Се нарекува еднаквост(*). и броевите x и y – координати на векторот во основата,(или во однос на основата,). Ако однапред е јасно за која основа зборуваме, тогаш накратко напишете: = (x,y). Од дефиницијата на координатите на векторот во однос на основата произлегува дека еднакви вектори имаат соодветно еднакви координати.

Се нарекуваат два или повеќе вектори во просторот компланарни,ако се паралелни на иста рамнина или лежат во оваа рамнина.

Дефиниција 4.Векторска основаво просторот се нарекуваат трите вектори , ,.

Векторот се нарекува прв основен вектор, вториот и третиот.

Коментар. 1. Три вектори = (), = () и = () ја формираат основата на просторот ако детерминантата составена од нивните координати не е нула:

.

2. Основните принципи на теоријата на детерминантите и методите за нивно пресметување се дискутирани во модул 1 „линеарна алгебра“.

Теорема 2.Нека , , е векторска основа во просторот. Тогаш секој вектор во просторот може да се претстави, и тоа на уникатен начин, како линеарна комбинација на базични вектори , И:

X+y+z. (**)

Дефиниција 5.Се нарекува еднаквост (**). проширување на векторот според основата,,, а броевите x, y, z се координати (компоненти) на векторот во основата , ,.

Ако однапред е јасно за која основа зборуваме, тогаш накратко напишете: = (x,y,z).

Дефиниција 6.Основа , , повикан ортонормални,ако вектори , , се нормални во парови и имаат единечна должина. Во овој случај, ознаката ,, е усвоена.

Дејства на вектори специфицирани со нивните координати.

Теорема 3.Нека се избере векторска основа на рамнината , а во однос на него векторите се дадени со нивните координати: = (), = ().

Тогаш =(),=( ), т.е. При собирање или одземање на вектори се додаваат или одземаат нивните истоимени координати;= (·;), т.е. Кога векторот се множи со број, неговите координати се множат со тој број.

Услов за колинеарност на два вектори

Теорема 4.Векторот е колинеарен со вектор без нула ако и само ако координатите на векторот се пропорционални со соодветните координати на векторот, т.е.

Линеарните операции на вектори специфицирани со нивните координати во просторот се изведуваат на сличен начин.

Пример 1.Нека вектори = (1;2;-1) ,= (3;2;1), = (1;0;1) се дадени во некоја векторска основа , ,. Најдете ги координатите на линеарната комбинација 2+3-4.

Решение.Да ја воведеме ознаката за линеарната комбинација = 2+3+(-4).

Коефициенти на линеарна комбинација =2,=3,=-4. Ајде да ја напишеме оваа векторска еднаквост во координатна форма = (x,y,z)=:

2

Очигледно е дека секоја координата на линеарна комбинација на вектори е еднаква на иста линеарна комбинација на истоимени координати, т.е.

x = 2·1+3·3+(-4)·1=7,

y = 2·2+3·2+(-4)·0=10,

z= 2·(-1)+3·1+(-4)·0=-3.

Векторски координати во основата , ,ќе биде:

Одговор:= {7,10,-3}.

Општ (афин) Декартов координатен систем

Дефиниција 7.Нека О е некоја фиксна точка, која ќе ја наречеме почеток.

Ако М е произволна точка, тогаш се повикува векторот вектор на радиусточката М во однос на почетокот, накратко, векторот на радиусот на точката М.

Декартови (афини) координати на права

Нека се даде некоја права линија во просторот л. Дозволете ни да го избереме потеклото О за да лежи на оваа линија. Покрај тоа, ние избираме на права линија л вектор без нула, кој ќе го наречеме основа.

Дефиниција 8.Нека точката М лежи на права. Бидејќи векторите се колинеарни, тогаш = x, каде што x е одреден број. Ајде да се јавиме на овој број координираатточки М на права линија.

Потеклото на О има позитивни или негативни координати, во зависност од тоа дали насоките на векторите се совпаѓаат или се спротивни. Правата линија на која се наоѓаат координатите ќе се нарекува координатна оска или оска OX.

Воведувањето на координати на права одговара на еден број x, и обратно, постои една точка М за која овој број е координата.

Декартови (афини) координати на рамнината.

Дозволете ни да избереме два неколинеарни вектори и на рамнината О, формирајќи одредена основа. Очигледно, должините на векторите можат да бидат различни.

Дефиниција 9.Множество од (0;;) точка О и векторска основа , повикани Декартов (афин) системна површината.

Две прави кои минуваат низ О и паралелни со векторите, соодветно , се нарекуваат координатни оски. Првата од нив обично се нарекува оска на апсциса и се означува Ox, втората е ординатна оска и е означена Oy.

Секогаш ќе ги прикажуваме како лежени на соодветните координатни оски.

Дефиниција 10.Точка координати M на рамнината во однос на Декартовиот (афин) координатен систем (0;;) се нарекуваат координати на неговиот вектор на радиус долж основата:

X+y, тогаш броевите x и y ќе бидат координати на M во однос на Декартовиот (афин) координатен систем (0;;). Се повикува координатата x апсцисаточка М, координати y- ординацијапоени М.

Значи, ако се избере координатен систем, (0;;) на рамнината, тогаш секоја точка М од рамнината одговара на една точка М на рамнината: оваа точка е крајот на векторот

Воведувањето на координатен систем лежи во основата на методот на аналитичка геометрија, чија суштина е да може секој геометриски проблем да се сведе на проблеми од аритметика или алгебра.

Дефиниција 11.Векторски координатина рамнината во однос на Декартовиот координатен систем (0;;) се повикуваат координатите на овој вектор во основата.

За да ги пронајдете координатите на векторот, треба да го проширите според основата:

X+y, каде што коефициентите x,y и ќе бидат координати на векторот во однос на Декартовиот систем (0;;).

Декартов (афин) координатен систем во вселената.

Нека одредена точка O (почеток) е фиксирана во просторот и нека се избере векторска основа

Дефиниција 12.Збирката (0;;;) се нарекува Декартов координатен системво вселената.

Дефиниција 13.Три прави што минуваат низ О и паралелни со векторите, соодветно , ,, повикан координатни оскии означуваме соодветно Oz, Oy, Oz.Секогаш ќе прикажуваме вектори , , лежејќи на соодветните оски.

Дефиниција 14.Точка координатиМ во просторот во однос на Декартовиот координатен систем (0;;;) се нарекуваат координати на неговиот вектор на радиус во овој систем.

Со други зборови, координатите на точката M се трите броеви x, y, z, соодветно, апсцисата и ординатата на точката M; третата координата z се нарекува апликација на точката М.

Воведувањето на Декартов координатен систем во просторот ни овозможува да воспоставиме кореспонденција еден на еден помеѓу точките M од просторот и подредените тројки од броевите x, y, z.

Дефиниција 15.Векторски координативо просторот во однос на Декартовиот координатен систем (0;;;), се нарекуваат координатите на овој вектор во основата;;.

Пример 2.

Дадени се три последователни темиња на паралелограм A(-2;1),B(1;3),C(4;0). Најдете ја нејзината четврта координата D. Координатниот систем е афин.

Решение.

Векторите се еднакви, што значи дека нивните координати се еднакви (коефициенти на линеарна комбинација):

= (3;2), =(4-x;-y); . Значи, D(1;-2).

Одговор: D (1;-2).

Линеарна зависност. Концептот на основа

Дефиниција 16.Векторите се нарекуваат линеарно зависни,ако има бројки,

Оваа дефиниција за линеарна зависност на вектори е еквивалентна на ова: векторите се линеарно зависни ако еден од нив може да се претстави како линеарна комбинација на другите (или да се прошири над другите).

Векторите се нарекуваат линеарно зависни ако еднаквоста (***) е можна во единствениот случај кога

Концептот на линеарна зависност игра голема улога во линеарната алгебра. Во векторската алгебра, линеарната зависност има едноставно геометриско значење.

Било кои два колинеарни вектори се линеарно зависни, и обратно, два неколинеарни вектори се линеарно независни.

Три компланарни вектори се линеарно зависни, и обратно, три некомпланарни вектори се линеарно независни.

Секои четири вектори се линеарно зависни.

Дефиниција 17.Се нарекуваат три линеарно независни вектори основата на просторот,тие. кој било вектор може да се претстави како некои.

Дефиниција 18.Се нарекуваат два линеарно независни вектори кои лежат во рамнина основа на авионот,тие. кој било вектор што лежи во оваа рамнина може да се претстави како линеарна комбинација на вектори.

Задачи за самостојно решение.

векторите наоѓаат координати во оваа основа.

Во оваа статија ќе покриеме:

• што се колинеарни вектори;
• кои се условите за колинеарност на вектори;
• кои својства на колинеарни вектори постојат;
• колкава е линеарната зависност на колинеарните вектори.

Дефиниција 1

Колинеарни вектори се вектори кои се паралелни на една права или лежат на една права.

Пример 1

Услови за колинеарност на вектори

Два вектори се колинеарни ако некој од следниве услови е точно:

• состојба 1 . Векторите a и b се колинеарни ако има број λ таков што a = λ b;
• состојба 2 . Векторите a и b се колинеарни со еднакви координатни соодноси:

a = (a 1 ; a 2) , b = (b 1 ; b 2) ⇒ a ∥ b ⇔ a 1 b 1 = a 2 b 2

• состојба 3 . Векторите a и b се колинеарни под услов вкрстениот производ и нултиот вектор да се еднакви:

a ∥ b ⇔ a, b = 0

Забелешка 1

Состојба 2 не е применливо ако една од векторските координати е нула.

Забелешка 2

Состојба 3 се однесува само на оние вектори кои се наведени во просторот.

Примери на проблеми за проучување на колинеарноста на векторите

Пример 1

Ги испитуваме векторите a = (1; 3) и b = (2; 1) за колинеарност.

Како да се реши?

Во овој случај, неопходно е да се користи втората состојба на колинеарност. За дадените вектори изгледа вака:

Еднаквоста е лажна. Од ова можеме да заклучиме дека векторите a и b се неколинеарни.

Одговори : a | | б

Пример 2

Која вредност m на векторот a = (1; 2) и b = (- 1; m) е неопходна за векторите да бидат колинеарни?

Како да се реши?

Користејќи го вториот услов за колинеарност, векторите ќе бидат колинеарни ако нивните координати се пропорционални:

Ова покажува дека m = - 2.

Одговор: m = - 2 .

Критериуми за линеарна зависност и линеарна независност на векторските системи

Теорема

Систем на вектори во векторски простор е линеарно зависен само ако еден од векторите на системот може да се изрази во однос на преостанатите вектори од овој систем.

Доказ

Нека системот e 1 , e 2 , . . . , e n е линеарно зависен. Дозволете ни да напишеме линеарна комбинација на овој систем еднаква на нултиот вектор:

a 1 e 1 + a 2 e 2 + . . . + a n e n = 0

во кои барем еден од комбинациските коефициенти не е еднаков на нула.

Нека k ≠ 0 k ∈ 1 , 2 , . . . , n.

Ние ги делиме двете страни на еднаквоста со коефициент кој не е нула:

a k - 1 (a k - 1 a 1) e 1 + (a k - 1 a k) e k + . . . + (a k - 1 a n) e n = 0

Да означиме:

A k - 1 a m , каде што m ∈ 1 , 2 , . . . , k - 1 , k + 1 , n

Во овој случај:

β 1 e 1 + . . . + β k - 1 e k - 1 + β k + 1 e k + 1 + . . . + β n e n = 0

или e k = (- β 1) e 1 + . . . + (- β k - 1) e k - 1 + (- β k + 1) e k + 1 + . . . + (- β n) e n

Следи дека еден од векторите на системот се изразува преку сите други вектори на системот. Што требаше да се докаже (и сл.).

Адекватност

Нека еден од векторите е линеарно изразен преку сите други вектори на системот:

e k = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

Го поместуваме векторот e k на десната страна на оваа еднаквост:

0 = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 - e k + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

Бидејќи коефициентот на векторот e k е еднаков на - 1 ≠ 0, добиваме нетривијално претставување на нула со систем од вектори e 1, e 2, . . . , e n , а тоа, пак, значи дека овој систем на вектори е линеарно зависен. Што требаше да се докаже (и сл.).

Последица:

• Систем од вектори е линеарно независен кога ниту еден од неговите вектори не може да се изрази во однос на сите други вектори на системот.
• Систем на вектори кој содржи нула вектор или два еднакви вектори е линеарно зависен.

Својства на линеарно зависните вектори

1. За 2- и 3-димензионални вектори е исполнет следниот услов: два линеарно зависни вектори се колинеарни. Два колинеарни вектори се линеарно зависни.
2. За 3-димензионални вектори, следниов услов е задоволен: три линеарно зависни вектори се компланарни. (3 компланарни вектори се линеарно зависни).
3. За n-димензионални вектори, следниов услов е задоволен: n + 1 вектори се секогаш линеарно зависни.

Примери за решавање проблеми кои вклучуваат линеарна зависност или линеарна независност на вектори

Пример 3

Да ги провериме векторите a = 3, 4, 5, b = - 3, 0, 5, c = 4, 4, 4, d = 3, 4, 0 за линеарна независност.

Решение. Векторите се линеарно зависни бидејќи димензијата на векторите е помала од бројот на вектори.

Пример 4

Да ги провериме векторите a = 1, 1, 1, b = 1, 2, 0, c = 0, - 1, 1 за линеарна независност.

Решение. Ги наоѓаме вредностите на коефициентите при кои линеарната комбинација ќе биде еднаква на нула вектор:

x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0

Векторската равенка ја пишуваме во линеарна форма:

x 1 + x 2 = 0 x 1 + 2 x 2 - x 3 = 0 x 1 + x 3 = 0

Овој систем го решаваме користејќи го методот Гаус:

1 1 0 | 0 1 2 - 1 | 0 1 0 1 | 0 ~

Од втората линија ја одземаме првата, од 3-та - 1-виот:

~ 1 1 0 | 0 1 - 1 2 - 1 - 1 - 0 | 0 - 0 1 - 1 0 - 1 1 - 0 | 0 - 0 ~ 1 1 0 | 0 0 1 - 1 | 0 0 - 1 1 | 0 ~

Од првата линија ја одземаме втората, на третата ја додаваме втората:

~ 1 - 0 1 - 1 0 - (- 1) | 0 - 0 0 1 - 1 | 0 0 + 0 - 1 + 1 1 + (- 1) | 0 + 0 ~ 0 1 0 | 1 0 1 - 1 | 0 0 0 0 | 0

Од решението произлегува дека системот има многу решенија. Ова значи дека постои ненулта комбинација на вредности на такви броеви x 1, x 2, x 3 за кои линеарната комбинација на a, b, c е еднаква на нула вектор. Според тоа, векторите a, b, c се линеарно зависни. ​​​​​​​

Доколку забележите грешка во текстот, означете ја и притиснете Ctrl+Enter

Линеарна комбинација на вектори од се нарекува вектор на . Јасно е дека линеарна комбинација на линеарни комбинации на вектори е повторно линеарна комбинација на овие вектори.

Множеството вектори се нарекува линеарно независно ако еднаквоста е можна само за . Ако постојат не-нули и такви што тие се еднакви на - 0, тогаш множеството вектори се нарекува линеарно зависно. Овие дефиниции се совпаѓаат со дефинициите дадени на страница 108 како што се применуваат на стринговите.

Предлог 1. Множество вектори е линеарно зависно ако и само ако еден од векторите е линеарна комбинација на другите.

Предлог 2. Ако множеството вектори е линеарно независно, а множеството е линеарно зависно, тогаш векторот е линеарна комбинација на вектори

Предлог 3. Ако векторите се линеарни комбинации на вектори, тогаш збирката е линеарно зависна.

Доказите на овие реченици не се разликуваат од доказите на слични реченици за жици (стр. 108-110).

Множеството вектори се нарекува генерирање ако сите вектори во просторот се нивни линеарни комбинации. Ако за просторот S постои конечен систем за генерирање, тогаш просторот се нарекува конечно-димензионален, во спротивно, тој се нарекува бесконечно-димензионален. Во конечни-димензионален простор, произволно големи (во бројот на вектори) линеарно независни збирки вектори не можат да постојат, бидејќи, според предлогот 3, секоја збирка вектори што ја надминува генерирачката збирка во бројот на вектори е линеарно зависна.

Просторот на матрици со фиксни големини и, особено, просторот на редовите со фиксна должина се конечни-димензионални; матриците со една во една позиција и нули во останатите можат да се земат како генерички систем.

Просторот на сите полиноми од е веќе бесконечно-димензионален, бидејќи множеството полиноми е линеарно независно за кој било .

Во продолжение ќе разгледаме конечни-димензионални простори.

Предлог 4. Секое минимално (во однос на бројот на вектори) кое генерира множество вектори е линеарно независно.

Навистина, нека биде минималната генерирана збирка вектори. Ако е линеарно зависен, тогаш еден од векторите, да речеме, е линеарна комбинација на другите и секоја линеарна комбинација е линеарна комбинација од помал сет на вектори кои на тој начин излегува дека генерира.

Предлог 5. Се генерира секоја максимална (во однос на бројот на вектори) линеарно независна збирка вектори.

Навистина, нека е максимална линеарно независна збирка, а u кој било вектор на просторот. Тогаш множеството нема да биде линеарно независно, и врз основа на предлогот 2, векторот е линеарна комбинација

Предлог 6. Секое линеарно независно генераторско множество е минимално кај генераторите и максимално кај линеарно независните.

Навистина, нека биде линеарно независно генерирање множество вектори. Ако е некое друго генерирачко множество, тогаш тие се линеарни комбинации и од тука заклучуваме дека, бидејќи кога би постоело тогаш, врз основа на предлогот, тоа би било линеарно зависно множество. Сега нека биде линеарно независна колекција. Векторите се линеарни комбинации на вектори и, според тоа, врз основа на истиот предлог тие би сочинувале линеарно зависно множество.

Така, во предлозите 4, 5, 6 се утврдува идентитетот на три концепти - минимално генерирачко множество вектори, максимално линеарно независно множество вектори и линеарно независно генерирачко множество.

Множеството вектори што ги задоволува овие услови се нарекува основа на просторот, а бројот на вектори што ја сочинуваат основата се нарекува димензија на просторот. Димензијата на просторот S се означува со . Така, димензијата е еднаква на максималниот број на линеарно независни вектори (во иднина често ќе ги кажуваме зборовите „линеарно независни“ и „линеарно зависни вектори“ наместо „вектори што сочинуваат линеарно зависно множество“ и - соодветно за линеарно независно множество) и минимален број на генерирачки вектори.

Предлог 7. Нека е линеарно независна збирка вектори, а нивниот број е помал од димензијата на просторот. Потоа може да им се додаде вектор така што множеството останува линеарно независно.

Доказ. Ајде да разгледаме многу линеарни комбинации. Тоа не го исцрпува целиот простор, бидејќи тие не сочинуваат генераторско збир на вектори. Да земеме вектор кој не е линеарна комбинација

Потоа е линеарно независна збирка, бидејќи во спротивно би била линеарна комбинација на вектори врз основа на предлогот 2.

Од предлогот 7 следува дека секоја линеарно независна збирка вектори може да се надополни со основа.

Истиот предлог и неговото докажување укажуваат на природата на самоволието при изборот на основата. Навистина, ако земете произволен вектор без нула, тогаш можете да го изградите до основа со земање на вториот вектор на кој било начин, но не линеарна комбинација на првиот, третиот на кој било начин, но не и линеарна комбинација од првите две итн.

Може да се „спушти“ на основата почнувајќи од произволно генераторско множество.

Предлог 8. Секоја генерирана збирка вектори содржи основа.

Навистина, нека биде генерирачко множество вектори. Ако е линеарно зависен, тогаш еден од неговите вектори е линеарна комбинација на другите и може да се исклучи од генерациското множество. Ако преостанатите вектори се линеарно зависни, тогаш може да се елиминира уште еден вектор, и така натаму, додека не остане линеарно независно генерирачко множество, т.е., основа.