Нормално и косо

Теорема. Ако од една точка надвор од рамнината се повлечени нормални и наклонети линии, тогаш:

1) косите со еднакви проекции се еднакви;

2) од двете наклонети, поголема е онаа чијашто проекција е поголема;

3) еднакви коси имаат еднакви проекции;

4) од двете проекции поголема е онаа што одговара на поголемата кос.

Три перпендикуларни теорема. За да може правата што лежи во рамнина да биде нормална на наклонетата, потребно е и доволно оваа права линија да биде нормална на проекцијата на наклонетата (сл. 3).

Теорема за плоштина ортогонална проекцијамногуаголник на рамнина.Областа на ортогоналната проекција на многуаголник на рамнина е еднаква на производот на плоштината на многуаголникот и косинусот на аголот помеѓу рамнината на многуаголникот и проекциската рамнина.

Градба.

1. Во авион аспроведуваме директна А.

3. Во авион бпреку точката Аајде да направиме директен б, паралелно со линијата А.

4. Изградена е права линија бпаралелно со авионот а.

Доказ.Врз основа на паралелизам на права линија и рамнина, права линија бпаралелно со авионот а, бидејќи е паралелна со правата А, кои припаѓаат на авионот а.

Студија.Проблемот има бесконечен број решенија, уште од права линија Аво авионот асе избира по случаен избор.

Пример 2.Определи на кое растојание од рамнината се наоѓа точката А, ако е исправен АБја сече рамнината под агол од 45º, растојанието од точката Адо точка ВОкои припаѓаат на рамнината е еднаква на cm?

Решение.Ајде да направиме цртеж (слика 5):

AC– нормално на рамнината а, АБ– наклонет, агол ABC– агол помеѓу права линија АБи авион а. Тријаголник ABC– правоаголна бидејќи AC– нормално. Потребното растојание од точката Адо авионот - ова е ногата AC правоаголен триаголник. Знаејќи го аголот и хипотенузата cm, ќе ја најдеме ногата AC:

Одговор: 3 см.

Пример 3.Одреди на кое растојание од авионот рамнокрак триаголникдали има точка оддалечена 13 cm од секое од темињата на триаголникот ако основата и висината на триаголникот се еднакви на 8 cm?

Решение.Ајде да направиме цртеж (сл. 6). Точка Сдалеку од бодовите А, ВОИ СОна исто растојание. Значи, наклонет С.А., С.Б.И С.Ц.еднакви, ПА– заедничката перпендикулар на овие наклонети. По теоремата за коси и проекции AO = VO = CO.

Точка ЗА– центарот на кругот опкружен со триаголник ABC. Ајде да го најдеме неговиот радиус:

Каде Сонцето– основа;

АД– висина на даден рамнокрак триаголник.

Наоѓање на страните на триаголникот ABCод правоаголен триаголник ABDспоред Питагоровата теорема:

Сега наоѓаме ОБ:

Размислете за триаголник СОБ: С.Б.= 13 см, ОБ= = 5 cm Најди ја должината на нормалната ПАспоред Питагоровата теорема:

Одговор: 12 см.

Пример 4.Дадени паралелни рамнини аИ б. Преку точка М, кој не припаѓа на ниту еден од нив, се исцртуваат прави линии АИ бтој крст ана точките А 1 и ВО 1 и авионот б– на точки А 2 и ВО 2. Најдете А 1 ВО 1 ако се знае дека М-р 1 = 8 см, А 1 А 2 = 12 см, А 2 ВО 2 = 25 см.

Решение.Бидејќи состојбата не кажува како точката се наоѓа во однос на двете рамнини М, тогаш можни се две опции: (сл. 7, а) и (сл. 7, б). Ајде да погледнеме во секој од нив. Две линии кои се вкрстуваат АИ бдефинирајте рамнина. Оваа рамнина вкрстува две паралелни рамнини аИ бпо паралелни линии А 1 ВО 1 и А 2 ВО 2 според теорема 5 за паралелни прави и паралелни рамнини.

Триаголници М-р 1 ВО 1 и М-р 2 ВО 2 се слични (агли А 2 МВ 2 и А 1 МВ 1 - вертикална, агли М-р 1 ВО 1 и М-р 2 ВО 2 – внатрешно вкрстено лежи со паралелни линии А 1 ВО 1 и А 2 ВО 2 и секант А 1 А 2). Од сличноста на триаголниците следи пропорционалноста на страните:

Од тука

Опција а):

Опција б):

Одговор: 10 см и 50 см.

Пример 5.Преку точка Арамнина ебеше повлечена директна линија АБ, формирајќи агол со рамнината а. Преку директно АБе нацртан авион р, формирајќи се со авионот еагол б. Најдете го аголот помеѓу проекцијата на права линија АБдо авионот еи авион р.

Решение.Ајде да направиме цртеж (сл. 8). Од точка ВОспуштете ја нормалната на рамнината е. Линеарен диедрален агол помеѓу рамнините еИ р- ова е прав агол АД ДБЦ, врз основа на перпендикуларноста на права и рамнина, како и Врз основа на нормалноста на рамнините, рамнина рнормално на рамнината на триаголникот ДБЦ, бидејќи поминува низ линијата АД. Го конструираме саканиот агол со отфрлање на нормалната од точката СОдо авионот р, да го означиме Најди го синусот на овој агол на правоаголен триаголник СЕБЕ. Дозволете ни да воведеме помошен сегмент a = п.н.е. Од триаголник ABC: Од триаголник морнарицаќе најдеме

Тема на лекцијата

• Нормално и косо.

Цели на часот

• Запознајте се со новите дефиниции и запомнете некои веќе проучени.
• Научете да ги применувате својствата на формите кога решавате проблеми.
• Разберете некои навидум едноставни концепти и дефиниции.
• Развојно - да се развие вниманието на учениците, истрајноста, истрајноста, логично размислување, математички говор.
• Образовни - преку лекцијата, негувајте внимателен однос еден кон друг, всадете способност да ги слушате другарите, взаемна помош и независност.

Цели на часот

• Тестирајте ги вештините на учениците за решавање проблеми.
• Научете правилно да ги согледувате информациите.
• Преглед на основите на нормални и коси.

План за лекција

1. Вовед.
2. Повторување на претходно проучен материјал.
3. Нормално и косо.
4. Примери за решавање проблеми.

вовед

Не е тајна дека целата елементарна геометрија ни дојде главно од Египет и Грција. Во далечните и античките времиња, геометријата се користела како наука за мерење на земјата, а исто така многу внимателно во градежништвото. Сите теореми, закони и аксиоми беа изведени и докажани дека го олеснуваат мерењето или градежни работи. Денешната тема беше многу важна за тогашните луѓе бидејќи нормалните и косите се главните насоки за овој тип на работа.

Постојат многу хипотези во врска со техниката на изградба на египетските пирамиди. Очигледно е дека оваа техника се менувала со текот на времето, т.е. подоцнежните пирамиди биле изградени поинаку од претходните. Повеќетохипотезите се засноваат на фактот дека блоковите биле исечени во каменоломи со помош на тупаници, длета, длета, адзи и сл., чиј главен материјал во производството бил бакар. Според тоа, извлечениот материјал некако требаше да се транспортира до градилиштето и да се инсталира. Несогласувања помеѓу различни хипотезисе однесуваат главно на методите на испорака и монтажа на блокови, како и проценки на времето за изградба и барањата за работна сила.

Техника на градба на Големите пирамиди според Херодот

Нашиот единствениот пишан извор, кој го опишува процесот на градење на пирамидите, служи како книга II од „Историјата“ на Херодот, кој го посетил Египет околу. 450 п.н.е ух. Без да се зборува на јазикот на Египќаните, Херодотмораше да земе белешки од зборовите на грчките доселеници кои живееле во земјата, како и - преку преведувачите - од зборовите на претставниците на египетското свештенство. Дефинитивно му беше тешко да открие како биле изградени Големите пирамиди пред две илјади години пред него, бидејќи веројатно немаше да им биде познато на самите Египќани.

Некои биле обврзани да влечат огромни блокови камења од каменоломи во Арапските Планини до Нил (камењата биле транспортирани преку реката со бродови), додека на други им било наредено да ги влечат понатаму до таканаречените Либиски Планини. Сто илјади луѓе ја извршуваа оваа работа континуирано, менувајќи се на секои три месеци. На исцрпените луѓе им требаа десет години да го изградат патот по кој се влечеа овие камени блокови - работата, според мене, беше речиси исто толку огромна колку и самата изградба на пирамидата. Изградбата на самата пирамида траеше дваесет години.

Други теории за изработка и инсталација на блокови

Исто така, постои теорија дека самите блокови што ја сочинуваат пирамидата се направени со помош на кофражни. На претходното ниво беше поставена правоаголна кофражна форма, во која потоа се истури состав сличен на малтер. Самиот замрзнат блок служеше како кофраж за следните блокови од растечкото ниво. Компонентите на растворот може релативно лесно да се испорачаат од бројни робови без употреба на сложена опрема.

Оваа теорија добро го објаснува идеалното вклопување на ѕидовите на поединечни блокови.

Алтернативни хипотези

Голем број автори изнесоа хипотези дека пирамидите биле изградени од други развиени цивилизации, или копнени, кои подоцна исчезнале или вонземјани. Исто така, едно од здруженијата на аматерски египтолози изнесе теорија според која огромните камени блокови се поместуваат со помош на змејови. Египтолозите не ги разгледуваат сериозно таквите хипотези.

Нормално и косо

И така, да почнеме со наједноставното и да повториме што е нормално и косо.

Дефиниција.Две прави се нарекуваат нормални ако се сечат под прав агол.

Одговор: 13.

Машини и механизми.

Машини и механизми, механички уреди кои ја олеснуваат работата и ја зголемуваат нејзината продуктивност. Автомобилите можат да бидат различни степенисложеност - од едноставна количка со едно тркало до лифтови, автомобили, печатење, текстил и компјутерски машини. Енергетските машини конвертираат еден вид енергија во друг. На пример, хидроелектричните генератори ја претвораат механичката енергија на водата што паѓа во електрична енергија. Моторот со внатрешно согорување ја претвора хемиската енергија на бензинот во топлинска енергија, а потоа во механичка енергија на движењето на возилото.

Запчаник е механизам или дел од механизам кој вклучува запчаници.

Цел:

• пренос на ротационо движење помеѓу шахтите, кои може да имаат паралелни, пресечни или вкрстени оски.
• претворање на ротационото движење во преводно движење и обратно.

Во овој случај, силата се пренесува од еден елемент на друг со помош на заби. Менувачкото тркало со помалку заби се нарекува пинион, второто тркало со голем бројзабите се нарекува тркало. Пар запчанициимајќи ист број на заби, во овој случај погонската опрема се нарекува запчаник, а погонуваната се нарекува тркало.

Архимед завртка, Архимед завртка- механизам кој историски се користел за пренос на вода од ниски водни тела до канали за наводнување. Тоа беше еден од неколкуте пронајдоци и откритија кои традиционално му се припишуваат на Архимед, кој живеел во 3 век п.н.е. д. Завртката Архимед стана прототип на шнеклото.

Пропелерот обично се ротира со тркало на ветерили рачно. Како што се врти долниот крај на цевката, тоа собира одредена количина на вода. Оваа количина на вода ќе се лизне нагоре по спиралната цевка додека вратилото се ротира додека конечно водата не истече надвор од врвот на цевката, снабдувајќи го системот за наводнување.

Прашања

1. Што е нормално?
2. Која линија се нарекува коси?
3. Дали дијагоналите на квадратот се поделени на половина со точката на пресек?
4. Дали дијагоналите на квадрат се еднакви?
5. Каде се користи наклонета рамнина во пракса?
6. Која форма се нарекува правоаголник?

Список на користени извори

1. „Градителите на пирамидата“ Белешки од д-р З. Хавас
2. Перепелкин Ју. Ја. Историја на антички Египет. - Санкт Петербург: „ Летна градина“, 2000 година.
3. Кобичева Марина Викторовна, наставник по математика
4. Mazur K. I. „Решавање на главните натпреварувачки проблеми по математика од збирката уредена од M. I. Skanavi“

Работевме на лекцијата

Потурнак С.А.

Кобичева Марина Викторовна

Поставете прашање за модерно образование, изразете идеја или решите неодложен проблем, можете Едукативен форум, каде на меѓународно нивосе собира едукативен совет на свежа мисла и акција. Имајќи создадено блог,Вие не само што ќе го подобрите вашиот статус како компетентен наставник, туку и ќе дадете значаен придонес во развојот на училиштето на иднината. Еснаф на образовни лидериги отвора вратите за врвни специјалисти и ги поканува да соработуваат во создавањето на најдобрите училишта во светот.

ГЕОМЕТРИЈА

Дел II. СТЕРЕОМЕТРИЈА

§8. ПРЕДМЕТНИ И КОСИ. КОСНА ПРОЕКЦИЈА НА РАМНИНА.

2. Својства на нормални и коси.

Да ги разгледаме својствата на нормални и коси.

1) Нормалата нацртана од дадена точка до рамнината е помала од која било наклонета нацртана од истата точка до рамнината.

На слика 411: AN AK.

2) Ако две наклонети косини извлечени од дадена точка до рамнина се еднакви, тогаш нивните проекции се еднакви.

К 1 и нормалноАН и АК = АК 1. Потоа по својство: NK = NK 1.

3) Ако две наклонети косини нацртани од дадена точка до дадена рамнина имаат еднакви проекции, тогаш тие се еднакви една со друга.

На слика 412, две наклонети рамнини АК и А се нацртани од точката А до рамнината aК 1 и нормално на AN, со KH = K 1 N. Потоа по својство: АК = АК 1 .

4) Ако две наклонети рамнини се нацртани од дадена точка до рамнина, тогаш поголемата наклонета има поголема проекција.

Л и нормално на AN, A K > AL . Потоа по имот: H K > HL.

5) Ако од дадена точка до рамнина се повлечени две наклонети косини, тогаш поголема од нив е онаа што има поголема проекција на дадената рамнина.

На слика 413, две наклонети рамнини АК и А се нацртани од точката А до рамнината aЛ и нормално на AN, NK> Н Л . Потоа по имот: А.К> А Л.

Пример 1. Од точка до рамнина се нацртани две наклонети косини, чии должини се 41 cm и 50 cm Најди ги проекциите на наклонетите, ако имаат однос 3:10 и растојанието од точката до авионот.

Решенија. 1) А Л = 41 см; AK = 50 cm (сл. 413). По имот го имаме ХЛ НК. Да означиме H L = 3 x cm, NK = 10 x cm, AN = h види АН - растојание од точката А до рамнинатаα .

4) Изедначувајќи, добиваме 41 2 - 9x 2 = 50 2 - 100 x 2; x 2 = 9; x = 3 (со оглед на x> 0). Значи, N L = 3 ∙ 3 = 9 (cm), NK = 10 ∙ 3 = 30 (cm).

Пример 2. Од оваа точка до нацртани се две наклонети рамнини, секојаво cm Аголот меѓу наклонетите е 60°, а аголот меѓу нивните проекции е исправен. Најдете го растојанието од точката до рамнината.

Својства на наклонети линии што излегуваат од една точка. 1. Нормалната е секогаш пократка од наклонетата ако се повлечени од иста точка. 2. Ако наклонетите се еднакви, тогаш нивните проекции се еднакви, и обратно. 3. Поголема косо одговара на поголема проекција и обратно.

Слајд 10од презентацијата „Нормално и наклонето на рамнината“. Големината на архивата со презентацијата е 327 KB.

Геометрија 10-то одделение

резимедруги презентации

„Паралелограмски проблеми“ - Геометрија. Точки. Висина на паралелограмот. Плоштад. Доказ. Тангента на круг. Знаци на паралелограм. Периметар на паралелограм. Заокружете. Дел. Средна линија. Центри на кругови. Агли. Паралелограм. Најдете ја плоштината на паралелограмот. Два круга. Својства на паралелограм. Остар агол. Плоштина на паралелограм. Дијагонали на паралелограм. Дијагонала. Четириаголник. Триаголници.

„Методи за изградба на делови“ - Формирање вештини за изградба на делови. Да разгледаме четири случаи на изградба на делови од паралелепипед. Конструирај делови од тетраедарот. Метод на внатрешен дизајн. Работа со дискови. Паралелепипедот има шест лица. Авион за сечење. Изградба на делови од полиедри. Трагата е права линија на пресек на рамнината на пресекот и рамнината на кое било лице на полиедарот. Метод на трага. Меморандум.

„„Редовни полиедри“ 10-то одделение“ - Предвиден резултат. Тетраедар опишан во близина на орбиталната сфера на Марс. Центар О, оска a и рамнина. Лица на полиедар. Радиоларија. Содржина. Редовни полиедри. Редовни полиедри во Платоновата филозофска слика за светот. Феодарија. Редовните полиедри се наоѓаат во живата природа. За време на часовите. Точка (права, рамнина) се нарекува центар (оска, рамнина). Кое од наведените геометриски тела не е правилен полиедар?

„Одредување на диедрални агли“ - Точката К е отстранета од секоја страна. Лежат точките М и К различни лица. Степен мерка на агол. Својство на триедарен агол. Забелешки за решавање на проблеми. Точката М се наоѓа на едно од лицата на диедрален агол еднаков на 30. Конструкција на линеарен агол. Нацртајте перпендикулар. Права линија нацртана во дадена рамнина. Диедрални агливо пирамидите. Решавање на проблем. Точка К. Оваа пирамида. Точката на работ може да биде произволна.

„Методи за изградба на делови од полиедри“ - која било рамнина. Уметници. Закони на геометријата. Блиц анкета. Меѓусебно уредувањерамнина и полиедар. Конструирај дел од полиедар. Многуаголници. Аксиоматски метод. Задачи. Брод. Задача. Аксиоми. Изградба на делови од полиедри. Пресеци по различни рамнини. Античка кинеска поговорка. Самостојна работа. Дијагонални пресеци. Консолидација на стекнатото знаење. Авион за сечење.

„Рамностран многуаголници“ - Хексаедар (коцка) Коцката е составена од шест квадрати. Октаедар Октаедарот е составен од осум рамностран триаголници. Тетраедарот има 4 лица, 4 темиња и 6 рабови. Постојат 5 типа правилни полиедри. Правилни полигони. Додекаедронот има 12 лица, 20 темиња и 30 рабови. Икозаедронот има 20 лица, 12 темиња и 30 рабови. Така, една коцка има 6 лица, 8 темиња и 12 рабови. Тетраедар Тетраедарот е составен од четири рамностран триаголници.

Геометрија

Стереометрија

Нормално и косо

Нормалнопаднато од дадена точка на дадена рамнина се нарекува сегмент што се поврзува оваа точкасо точка во рамнината и лежи на права нормална на рамнината. Крајот на овој сегмент што лежи во рамнина се нарекува основа на нормалната. Растојание од точка до авионе должината на нормалниот спуштен од оваа точка на рамнината.
На сликата АБ- нормално; А.Ц.- наклонет; п.н.е.- проекција.

Растојание од права линијадо рамнина паралелна со неа е растојанието од која било точка на оваа права линија до рамнината.
Растојание помеѓу паралелни рамнини е растојанието од која било точка на една рамнина до друга рамнина.
Наклонетнацртана од дадена точка до дадена рамнина е која било отсечка што поврзува дадена точка со точка на рамнината и не е нормална на рамнината. Крајот на сегментот што лежи во рамнина се нарекува наклонета основа.
Се вика отсечка што ги поврзува основите на нормална и кос извлечена од иста точка коси проекција.

Својства на наклонети линии нацртани од една точка до една рамнина

1. Наклоните нацртани кон рамнина од една точка (сликата долу лево) се еднакви ако и само ако имаат еднакви проекции.
2. Ако од точка до рамнина се нацртани две наклонети косини, тогаш поголема е онаа со поголема проекција, и обратно, поголемата наклонета има поголема проекција.
Ве молиме имајте предвид дека овие својства се зачувани за наклонети линии извлечени кон рамнина од различни точки, но имаат иста нормална должина (слика десно).