Формула за висина на триаголна пирамида. Основи на геометријата: правилна пирамида е

Овој видео туторијал ќе им помогне на корисниците да добијат идеја за темата Пирамида. Правилна пирамида. Во оваа лекција ќе се запознаеме со концептот на пирамида и ќе му дадеме дефиниција. Ајде да размислиме што е редовна пирамида и какви својства има. Потоа ја докажуваме теоремата за страничната површина на правилна пирамида.

Во оваа лекција ќе се запознаеме со концептот на пирамида и ќе му дадеме дефиниција.

Размислете за многуаголник А 1 А 2...А n, која лежи во α рамнината и точката П, кој не лежи во α рамнината (сл. 1). Ајде да ги поврземе точките Псо врвови А 1, А 2, А 3, … А n. Добиваме nтриаголници: А 1 А 2 Р, А 2 А 3 Ри така натаму.

Дефиниција. Полиедар RA 1 A 2 ...A n, составена од n- квадрат А 1 А 2...А nИ nтриаголници RA 1 A 2, RA 2 A 3 …RA n A n-1 се вика n- јагленова пирамида. Ориз. 1.

Ориз. 1

Размислете за четириаголна пирамида PABCD(сл. 2).

Р- врвот на пирамидата.

А БЕ ЦЕ ДЕ- основата на пирамидата.

РА- странично ребро.

АБ- основно ребро.

Од точка Рда ја испуштиме нормалната RNдо основната рамнина А БЕ ЦЕ ДЕ. Исцртано нормално е висината на пирамидата.

Ориз. 2

Целосната површина на пирамидата се состои од страничната површина, односно областа на сите странични лица и областа на основата:

S full = S страна + S главна

Пирамидата се нарекува правилна ако:

• неговата основа е правилен многуаголник;
• сегментот што го поврзува врвот на пирамидата со центарот на основата е неговата висина.

Објаснување со пример на правилна четириаголна пирамида

Размислете за редовна четириаголна пирамида PABCD(сл. 3).

Р- врвот на пирамидата. Основата на пирамидата А БЕ ЦЕ ДЕ- правилен четириаголник, односно квадрат. Точка ЗА, точката на пресек на дијагоналите, е центарот на квадратот. Средства, ROе висината на пирамидата.

Ориз. 3

Објаснување: во правилна nВо триаголник, центарот на впишаниот круг и центарот на кружниот круг се совпаѓаат. Овој центар се нарекува центар на многуаголникот. Понекогаш велат дека темето е проектирано во центарот.

Висината на страничното лице на правилната пирамида извлечена од нејзиното теме се нарекува апотемаи е назначен ч а.

1. сите странични рабови на правилна пирамида се еднакви;

2. Страните страни се еднакви рамнокраки триаголници.

Ќе дадеме доказ за овие својства користејќи го примерот на правилна четириаголна пирамида.

Со оглед на: PABCD- правилна четириаголна пирамида,

А БЕ ЦЕ ДЕ- квадрат,

RO- висина на пирамидата.

Доказ:

1. RA = PB = RS = PD

2.∆ABP = ∆BCP =∆CDP =∆DAP Види Сл. 4.

Ориз. 4

Доказ.

RO- висина на пирамидата. Тоа е, директно ROнормално на рамнината ABC, а со тоа и директно АД, ВО, СОИ НАПРАВИлежи во него. Значи триаголници ROA, ROV, ROS, ROD- правоаголна.

Размислете за квадрат А БЕ ЦЕ ДЕ. Од својствата на квадрат произлегува дека AO = VO = CO = НАПРАВИ.

Потоа правоаголните триаголници ROA, ROV, ROS, RODнога RO- општи и нозе АД, ВО, СОИ НАПРАВИсе еднакви, што значи дека овие триаголници се еднакви на две страни. Од еднаквоста на триаголниците следува еднаквост на отсечки, RA = PB = RS = PD.Точката 1 е докажана.

Сегменти АБИ Сонцетосе еднакви бидејќи се страни на ист квадрат, RA = PB = RS. Значи триаголници AVRИ VSR -рамнокрак и еднаков на три страни.

На сличен начин ги наоѓаме тие триаголници ABP, VCP, CDP, DAPсе рамнокраки и еднакви, како што се бара да се докаже во став 2.

Површината на страничната површина на правилната пирамида е еднаква на половина од производот од периметарот на основата и апотемата:

За да го докажеме ова, да избереме редовна триаголна пирамида.

Со оглед на: RAVS- правилна триаголна пирамида.

AB = BC = AC.

RO- висина.

Доказ: . Види Сл. 5.

Ориз. 5

Доказ.

RAVS- правилна триаголна пирамида. Тоа е АБ= AC = п.н.е. Нека ЗА- центар на триаголникот ABC, Потоа ROе висината на пирамидата. Во основата на пирамидата лежи рамностран триаголник ABC. забележи, тоа .

Триаголници RAV, RVS, RSA- еднакви рамнокраки триаголници (по својство). Триаголна пирамида има три странични страни: RAV, RVS, RSA. Ова значи дека површината на страничната површина на пирамидата е:

S страна = 3S RAW

Теоремата е докажана.

Радиусот на кругот впишан во основата на правилна четириаголна пирамида е 3 m, висината на пирамидата е 4 m. Најдете ја областа на страничната површина на пирамидата.

Со оглед на: правилна четириаголна пирамида А БЕ ЦЕ ДЕ,

А БЕ ЦЕ ДЕ- квадрат,

р= 3 m,

RO- висина на пирамидата,

RO= 4 m.

Најдете: S страна. Види Сл. 6.

Ориз. 6

Решение.

Според докажаната теорема,.

Ајде прво да ја најдеме страната на основата АБ. Знаеме дека радиусот на кругот впишан во основата на правилна четириаголна пирамида е 3 m.

Потоа, м.

Најдете го периметарот на квадратот А БЕ ЦЕ ДЕсо страна од 6 m:

Размислете за триаголник BCD. Нека М- средината на страната DC. Бидејќи ЗА- средината БД, Тоа (м).

Тријаголник DPC- рамнокрак. М- средината DC. Тоа е, РМ- средна, а со тоа и висината во триаголникот DPC. Потоа РМ- апотема на пирамидата.

RO- висина на пирамидата. Потоа, директно ROнормално на рамнината ABC, а со тоа и директно ОМ, лежејќи во него. Ајде да ја најдеме апотемата РМод правоаголен триаголник ROM.

Сега можеме да ја најдеме страничната површина на пирамидата:

Одговори: 60 м2.

Радиусот на кругот опкружен околу основата на правилна триаголна пирамида е еднаков на m. Страничната површина е 18 m 2. Најдете ја должината на апотемата.

Со оглед на: ABCP- правилна триаголна пирамида,

AB = BC = SA,

Р= m,

S страна = 18 m2.

Најдете: . Види Сл. 7.

Ориз. 7

Решение.

Во правоаголен триаголник ABCДаден е радиусот на ограничениот круг. Ајде да најдеме страна АБовој триаголник го користи законот на синусите.

Знаејќи ја страната на правилен триаголник (m), го наоѓаме неговиот периметар.

Според теоремата на страничната површина на правилна пирамида, каде ч а- апотема на пирамидата. Потоа:

Одговори: 4 m.

Значи, погледнавме што е пирамида, што е правилна пирамида и ја докажавме теоремата за страничната површина на правилна пирамида. Во следната лекција ќе се запознаеме со пресечената пирамида.

Библиографија

1. Геометрија. Одделение 10-11: учебник за студенти на општообразовни институции (основно и специјализирано ниво) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5. изд., рев. и дополнителни - М.: Мнемозина, 2008. - 288 стр.: илуст.
2. Геометрија. Одделение 10-11: Учебник за општообразовни институции / Шаригин И.Ф. - М.: Бустард, 1999. - 208 стр.: ill.
3. Геометрија. Одделение 10: Учебник за општообразовни институции со продлабочено и специјализирано изучување по математика /E. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. - 6-то издание, стереотип. - М.: Бустард, 008. - 233 стр.: илуст.

1. Интернет портал „Јаклас“ ()
2. Интернет портал „Фестивал на педагошки идеи „Први септември“ ()
3. Интернет портал „Slideshare.net“ ()

Домашна работа

1. Дали правилен многуаголник може да биде основа на неправилна пирамида?
2. Докажете дека разделените рабови на правилна пирамида се нормални.
3. Најдете ја вредноста на диедралниот агол на страната на основата на правилна четириаголна пирамида ако апотемата на пирамидата е еднаква на страната на нејзината основа.
4. RAVS- правилна триаголна пирамида. Конструирај го линеарниот агол на диедралниот агол во основата на пирамидата.

Видео туторијал 2: Проблем со пирамидата. Волумен на пирамидата

Видео туторијал 3: Проблем со пирамидата. Правилна пирамида

Предавање: Пирамида, нејзината основа, странични ребра, висина, странична површина; триаголна пирамида; редовна пирамида

Пирамида, нејзините својства

Пирамидае тродимензионално тело кое има многуаголник во основата, а сите негови лица се состојат од триаголници.

Посебен случај на пирамида е конус со круг во основата.

Ајде да ги погледнеме главните елементи на пирамидата:

Апотема- ова е сегмент што го поврзува врвот на пирамидата со средината на долниот раб на страничното лице. Со други зборови, ова е висината на работ на пирамидата.

На сликата можете да ги видите триаголниците ADS, ABS, BCS, CDS. Ако внимателно ги погледнете имињата, можете да видите дека секој триаголник има една заедничка буква во своето име - S. Тоа значи дека сите странични лица (триаголници) се спојуваат во една точка, што се нарекува врв на пирамидата. .

Сегментот ОС што го поврзува темето со точката на пресек на дијагоналите на основата (во случај на триаголници - во точката на пресек на висините) се нарекува висина на пирамидата.

Дијагонален пресек е рамнина што минува низ врвот на пирамидата, како и една од дијагоналите на основата.

Бидејќи страничната површина на пирамидата се состои од триаголници, за да се најде вкупната површина на страничната површина, неопходно е да се најде плоштината на секое лице и да се соберат. Бројот и обликот на лицата зависи од обликот и големината на страните на многуаголникот што лежи во основата.

Се нарекува единствената рамнина во пирамидата што не припаѓа на нејзиното теме основапирамиди.

На сликата гледаме дека основата е паралелограм, но може да биде кој било произволен многуаголник.

Својства:

Размислете за првиот случај на пирамида, во која има рабови со иста должина:

• Околу основата на таквата пирамида може да се нацрта круг. Ако го проектирате врвот на таквата пирамида, тогаш нејзината проекција ќе се наоѓа во центарот на кругот.
• Аглите на основата на пирамидата се исти на секое лице.
• Во овој случај, доволен услов за тоа што може да се опише круг околу основата на пирамидата, а исто така и сите рабови да се со различна должина, може да се сметаат за исти агли помеѓу основата и секој раб на лицата.

Ако наидете на пирамида во која аглите помеѓу страничните страни и основата се еднакви, тогаш следниве својства се вистинити:

• Ќе можете да опишете круг околу основата на пирамидата, чиј врв е проектиран точно во центарот.
• Ако го нацртате секој страничен раб на висината до основата, тогаш тие ќе бидат со еднаква должина.
• За да ја пронајдете страничната површина на таквата пирамида, доволно е да го пронајдете периметарот на основата и да го помножите за половина од должината на висината.
• S bp = 0,5P oc H.
• Видови пирамиди.
• Во зависност од тоа кој многуаголник лежи во основата на пирамидата, тие можат да бидат триаголни, четириаголни итн. Ако во основата на пирамидата има правилен многуаголник (со еднакви страни), тогаш таквата пирамида ќе се нарекува правилна.

Правилна триаголна пирамида

Продолжуваме да ги разгледуваме задачите вклучени во Единствениот државен испит по математика. Веќе ги проучувавме проблемите каде условот е даден и се бара да се најде растојанието помеѓу две дадени точки или агол.

Пирамидата е полиедар, чија основа е многуаголник, преостанатите лица се триаголници и имаат заедничко теме.

Правилна пирамида е пирамида во чија основа лежи правилен многуаголник, а нејзиното теме е проектирано во центарот на основата.

Правилна четириаголна пирамида - основата е квадрат Врвот на пирамидата е проектиран на местото на пресекот на дијагоналите на основата (квадрат).

МЛ - апотема
∠MLO - диедрален агол на основата на пирамидата
∠MCO - агол помеѓу страничниот раб и рамнината на основата на пирамидата

Во оваа статија ќе ги разгледаме проблемите за решавање на редовна пирамида. Треба да најдете некој елемент, странична површина, волумен, висина. Се разбира, треба да ја знаете Питагоровата теорема, формулата за површината на страничната површина на пирамидата и формулата за наоѓање на волуменот на пирамидата.

Во статијата „“ ги прикажува формулите кои се неопходни за решавање на проблеми во стереометријата. Значи, задачите:

SABCDточка О- центарот на основата,Стеме, ПА = 51, А.Ц.= 136. Најдете го страничниот рабС.Ц..

Во овој случај, основата е квадрат. Тоа значи дека дијагоналите AC и BD се еднакви, се сечат и се пресечени со пресечната точка. Имајте на ум дека во правилна пирамида висината падната од нејзиниот врв поминува низ центарот на основата на пирамидата. Значи SO е висината и триаголникотСПЦправоаголна. Потоа според Питагоровата теорема:

Како да се извлече коренот на голем број.

Одговор: 85

Одлучете сами:

Во редовна четириаголна пирамида SABCDточка О- центарот на основата, Стеме, ПА = 4, А.Ц.= 6. Најдете го страничниот раб С.Ц..

Во редовна четириаголна пирамида SABCDточка О- центарот на основата, Стеме, С.Ц. = 5, А.Ц.= 6. Најдете ја должината на отсечката ПА.

Во редовна четириаголна пирамида SABCDточка О- центарот на основата, Стеме, ПА = 4, С.Ц.= 5. Најдете ја должината на отсечката А.Ц..

SABC Р- средината на реброто п.н.е., С- врв. Познато е дека АБ= 7, а С.Р.= 16. Најдете ја страничната површина.

Површината на страничната површина на правилна триаголна пирамида е еднаква на половина од производот на периметарот на основата и апотемата (апотема е висината на страничното лице на правилната пирамида извлечена од нејзиното теме):

Или можеме да го кажеме ова: површината на страничната површина на пирамидата е еднаква на збирот на површините на трите странични лица. Страничните лица во правилна триаголна пирамида се триаголници со еднаква површина. Во овој случај:

Одговор: 168

Одлучете сами:

Во редовна триаголна пирамида SABC Р- средината на реброто п.н.е., С- врв. Познато е дека АБ= 1, а С.Р.= 2. Најдете ја страничната површина.

Во редовна триаголна пирамида SABC Р- средината на реброто п.н.е., С- врв. Познато е дека АБ= 1, а површината на страничната површина е 3. Најдете ја должината на сегментот С.Р..

Во редовна триаголна пирамида SABC Л- средината на реброто п.н.е., С- врв. Познато е дека SL= 2, а површината на страничната површина е 3. Најдете ја должината на сегментот АБ.

Во редовна триаголна пирамида SABC М. Плоштина на триаголник ABCе 25, волуменот на пирамидата е 100. Најдете ја должината на отсечката ГОСПОЃИЦА.

Основата на пирамидата е рамностран триаголник. Затоа Ме центарот на основата, иГОСПОЃИЦА- висина на правилна пирамидаSABC. Волумен на пирамидата SABCеднакво на: поглед решение

Во редовна триаголна пирамида SABCмедијаните на основата се сечат во точката М. Плоштина на триаголник ABCе еднакво на 3, ГОСПОЃИЦА= 1. Најдете го волуменот на пирамидата.

Во редовна триаголна пирамида SABCмедијаните на основата се сечат во точката М. Волуменот на пирамидата е 1, ГОСПОЃИЦА= 1. Најдете ја плоштината на триаголникот ABC.

Ајде да завршиме овде. Како што можете да видите, проблемите се решаваат во еден или два чекори. Во иднина ќе разгледаме и други проблеми од овој дел, каде се даваат тела на револуцијата, не пропуштајте!

Ти посакувам успех!

Со почит, Александар Крутицких.

P.S: Би ви бил благодарен ако ми кажете за страницата на социјалните мрежи.

Дефиниција

Пирамидае полиедар составен од многуаголник \(A_1A_2...A_n\) и \(n\) триаголници со заедничко теме \(P\) (не лежи во рамнината на многуаголникот) и страни наспроти него, што се совпаѓаат со страни на многуаголникот.
Ознака: \(PA_1A_2...A_n\) .
Пример: пентагонална пирамида \(PA_1A_2A_3A_4A_5\) .

Триаголници \(PA_1A_2, \PA_2A_3\), итн. се нарекуваат странични лицапирамиди, сегменти \(PA_1, PA_2\), итн. - странични ребра, многуаголник \(A_1A_2A_3A_4A_5\) - основа, точка \(P\) - врв.

Висинапирамидите се перпендикуларно спуштено од врвот на пирамидата до рамнината на основата.

Пирамида со триаголник во основата се нарекува тетраедар.

Пирамидата се нарекува точно, ако неговата основа е правилен многуаголник и е исполнет еден од следниве услови:

\((а)\) страничните рабови на пирамидата се еднакви;

\((б)\) висината на пирамидата минува низ центарот на кругот опкружен во близина на основата;

\((c)\) страничните ребра се наклонети кон рамнината на основата под ист агол.

\((г)\) страничните лица се наклонети кон рамнината на основата под ист агол.

Регуларен тетраедаре триаголна пирамида, чиишто лица се еднакви рамностран триаголници.

Теорема

Условите \((а), (б), (в), (г)\) се еквивалентни.

Доказ

Ајде да ја најдеме висината на пирамидата \(PH\) . Нека \(\алфа\) е рамнината на основата на пирамидата.

1) Да докажеме дека од \((a)\) следува \((b)\) . Нека \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

Бидејќи \(PH\perp \alpha\), тогаш \(PH\) е нормално на која било линија што лежи во оваа рамнина, што значи дека триаголниците се правоаголни. Ова значи дека овие триаголници се еднакви во заедничката катета \(PH\) и хипотенузата \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) . Ова значи \(A_1H=A_2H=...=A_nH\) . Ова значи дека точките \(A_1, A_2, ..., A_n\) се на исто растојание од точката \(H\), затоа, тие лежат на истата кружница со радиусот \(A_1H\) . Овој круг, по дефиниција, е ограничен на многуаголникот \(A_1A_2...A_n\) .

2) Да докажеме дека \((b)\) имплицира \((c)\) .

\(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\)правоаголни и еднакви на два крака. Ова значи дека нивните агли се исто така еднакви, затоа, \(\агол PA_1H=\агол PA_2H=...=\агол PA_nH\).

3) Да докажеме дека \((c)\) имплицира \((a)\) .

Слично на првата точка, триаголници \(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\)правоаголен и по должината на ногата и остар агол. Тоа значи дека и нивните хипотенуси се еднакви, односно \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

4) Да докажеме дека \((b)\) имплицира \((d)\) .

Бидејќи во правилен многуаголник, центрите на ограничените и впишаните кругови се совпаѓаат (општо кажано, оваа точка се нарекува центар на правилен многуаголник), тогаш \(H\) е центар на впишаната кружница. Ајде да нацртаме нормални точки од точката \(H\) до страните на основата: \(HK_1, HK_2\) итн. Тоа се радиусите на впишаниот круг (по дефиниција). Потоа, според TTP (\(PH\) е нормална на рамнината, \(HK_1, HK_2\), итн. се проекции нормално на страните) наклонети \(PK_1, PK_2\) итн. нормално на страните \(A_1A_2, A_2A_3\), итн. соодветно. Значи, по дефиниција \(\агол PK_1H, \агол PK_2H\)еднакви на аглите помеѓу страничните лица и основата. Бидејќи триаголниците \(PK_1H, PK_2H, ...\) се еднакви (како правоаголни на две страни), потоа аглите \(\агол PK_1H, \агол PK_2H, ...\)се еднакви.

5) Да докажеме дека \((d)\) имплицира \((b)\) .

Слично на четвртата точка, триаголниците \(PK_1H, PK_2H, ...\) се еднакви (како правоаголни долж кракот и остар агол), што значи дека отсечките \(HK_1=HK_2=...=HK_n\) се еднакви. Ова значи дека, по дефиниција, \(H\) е центар на круг впишан во основата. Но затоа што За правилни многуаголници, центрите на впишаните и опишаните кругови се совпаѓаат, тогаш \(H\) е центарот на опишаната кружница. Chtd.

Последица

Страничните лица на правилната пирамида се еднакви рамнокраки триаголници.

Дефиниција

Висината на страничното лице на правилната пирамида извлечена од нејзиното теме се нарекува апотема.
Апотемите на сите странични лица на правилната пирамида се еднакви една со друга и се исто така медијани и симетрали.

Важни забелешки

1. Висината на правилна триаголна пирамида паѓа на точката на пресек на висините (или симетралите, или средните) на основата (основата е правилен триаголник).

2. Висината на правилна четириаголна пирамида паѓа на местото на пресекот на дијагоналите на основата (основата е квадрат).

3. Висината на правилна шестоаголна пирамида паѓа на местото на пресекот на дијагоналите на основата (основата е правилен шестоаголник).

4. Висината на пирамидата е нормална на која било права линија што лежи во основата.

Дефиниција

Пирамидата се нарекува правоаголна, ако еден од неговите странични рабови е нормален на рамнината на основата.

Важни забелешки

1. Во правоаголна пирамида, работ нормално на основата е висината на пирамидата. Тоа е, \(SR\) е висината.

2. Затоа што \(SR\) е нормално на која било линија од основата, тогаш \(\триаголник SRM, \триаголник SRP\)– правоаголни триаголници.

3. Триаголници \(\триаголник SRN, \триаголник SRK\)- исто така правоаголни.
Односно, секој триаголник формиран од овој раб и дијагоналата што излегува од темето на овој раб што лежи во основата ќе биде правоаголен.

\[(\Large(\text(Волумен и површина на пирамидата)))\]

Теорема

Волуменот на пирамидата е еднаков на една третина од производот на површината на основата и висината на пирамидата: \

Последици

Нека \(a\) е страната на основата, \(h\) е висината на пирамидата.

1. Волуменот на правилна триаголна пирамида е \(V_(\text(праведен триаголник.pir.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^2h\),

2. Волуменот на правилна четириаголна пирамида е \(V_(\text(right.four.pir.))=\dfrac13a^2h\).

3. Волуменот на правилна шестоаголна пирамида е \(V_(\text(десно.six.pir.))=\dfrac(\sqrt3)(2)a^2h\).

4. Волуменот на правилен тетраедар е \(V_(\text(десно тетр.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^3\).

Теорема

Областа на страничната површина на правилната пирамида е еднаква на половина производ од периметарот на основата и апотемата.

\[(\ Large (\text(Frustum)))\]

Дефиниција

Размислете за произволна пирамида \(PA_1A_2A_3...A_n\) . Дозволете ни да нацртаме рамнина паралелна со основата на пирамидата низ одредена точка што лежи на страничниот раб на пирамидата. Оваа рамнина ќе ја подели пирамидата на две полиедри, од кои едната е пирамида (\(PB_1B_2...B_n\)), а другата се вика скратена пирамида(\(A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n\) ).

Скратената пирамида има две основи - многуаголници \(A_1A_2...A_n\) и \(B_1B_2...B_n\) кои се слични еден на друг.

Висината на скратената пирамида е нормална извлечена од некоја точка на горната основа до рамнината на долната основа.

Важни забелешки

1. Сите странични лица на скратена пирамида се трапезоиди.

2. Сегментот што ги поврзува центрите на основите на правилна скратена пирамида (односно пирамида добиена со пресек на правилна пирамида) е висината.

Пирамидата е полиедар со многуаголник во основата. Сите лица, пак, формираат триаголници кои се спојуваат на едно теме. Пирамидите се триаголни, четириаголни итн. За да одредите која пирамида е пред вас, доволно е да го изброите бројот на агли во нејзината основа. Дефиницијата за „висина на пирамида“ многу често се наоѓа во геометриските проблеми во училишната програма. Во оваа статија ќе се обидеме да разгледаме различни начини да го најдеме.

Делови од пирамидата

Секоја пирамида се состои од следниве елементи:

• странични лица, кои имаат три агли и се спојуваат на врвот;
• апотемата ја претставува висината што се спушта од нејзиниот врв;
• врвот на пирамидата е точка што ги поврзува страничните ребра, но не лежи во рамнината на основата;
• основата е многуаголник на кој темето не лежи;
• висината на пирамидата е отсечка што го пресекува врвот на пирамидата и формира прав агол со нејзината основа.

Како да се најде висината на пирамидата ако е познат нејзиниот волумен

Преку формулата V = (S*h)/3 (во формулата V е волуменот, S е плоштината на основата, h е висината на пирамидата) откриваме дека h = (3*V)/ С. За да го консолидираме материјалот, веднаш да го решиме проблемот. Триаголната основа е 50 cm 2 , додека нејзиниот волумен е 125 cm 3 . Висината на триаголната пирамида е непозната, што е она што треба да го најдеме. Сè е едноставно овде: ги вметнуваме податоците во нашата формула. Добиваме h = (3*125)/50 = 7,5 cm.

Како да се најде висината на пирамидата ако се познати должината на дијагоналата и нејзините рабови

Како што се сеќаваме, висината на пирамидата формира прав агол со нејзината основа. Ова значи дека висината, работ и половина од дијагоналата заедно формираат Многумина, се разбира, се сеќаваат на Питагоровата теорема. Знаејќи две димензии, нема да биде тешко да се најде третата количина. Да се ​​потсетиме на добро познатата теорема a² = b² + c², каде што a е хипотенузата, а во нашиот случај работ на пирамидата; б - првиот крак или половина од дијагоналата и c - соодветно, вториот крак или висината на пирамидата. Од оваа формула c² = a² - b².

Сега проблемот: во правилна пирамида дијагоналата е 20 см, кога должината на работ е 30 см. Треба да ја пронајдете висината. Решаваме: c² = 30² - 20² = 900-400 = 500. Оттука c = √ 500 = околу 22,4.

Како да ја пронајдете висината на скратена пирамида

Тоа е многуаголник со пресек паралелен на неговата основа. Висината на скратената пирамида е сегментот што ги поврзува нејзините две основи. Висината може да се најде за правилна пирамида ако се познати должините на дијагоналите на двете основи, како и на работ на пирамидата. Нека дијагоналата на поголемата основа е d1, додека дијагоналата на помалата основа е d2, а работ има должина l. За да ја пронајдете висината, можете да ги спуштите висините од двете горните спротивни точки на дијаграмот до неговата основа. Гледаме дека имаме два правоаголни триаголници, останува само да ја најдеме должината на нивните нозе. За да го направите ова, одземете ја помалата од поголемата дијагонала и поделете ја со 2. Така ќе најдеме една катета: a = (d1-d2)/2. После тоа, според Питагоровата теорема, сè што треба да направиме е да го најдеме вториот крак, кој е висината на пирамидата.

Сега да ја погледнеме целата оваа работа во пракса. Имаме задача пред нас. Скратената пирамида има квадрат во основата, дијагоналната должина на поголемата основа е 10 cm, додека помалата е 6 cm, а работ е 4 cm. Треба да ја пронајдете висината. Прво, наоѓаме една нога: a = (10-6)/2 = 2 cm Една нога е еднаква на 2 cm, а хипотенузата е 4 cm. Излегува дека втората нога или висина ќе биде еднаква на 16- 4 = 12, односно h = √12 = околу 3,5 см.