Како да се нацрта симетрија. Аксијална и централна симетрија

Целта на лекцијата:

• формирање на концептот на „симетрични точки“;
• научете ги децата да конструираат точки симетрични на податоците;
• да научат да конструираат сегменти симетрични на податоците;
• консолидација на наученото (формирање на компјутерски вештини, делење на повеќецифрен број со едноцифрен број).

На штандот „за лекција“ има картички:

1. Организациски момент

поздрав.

Наставникот го привлекува вниманието на штандот:

Деца, да ја започнеме лекцијата со планирање на нашата работа.

Денес на лекцијата по математика ќе патуваме во 3 кралства: царството на аритметиката, алгебрата и геометријата. Да ја започнеме лекцијата со најважното за нас денес, со геометријата. Ќе ви раскажам бајка, но „Бајката е лага, но во неа има навестување - лекција за добрите соработници“.

": Еден филозоф по име Буридан имаше магаре. Еднаш, заминувајќи долго време, филозофот стави две идентични раце сено пред магарето. Тој постави клупа, а лево од клупата и десно од неа , на исто растојание поставил сосема идентични раце сено.

Слика 1 на табла:

Магарето одеше од една до друга рака сено, но сепак не одлучи со која рака да почне. И, на крајот, умре од глад“.

Зошто магарето не одлучи со која грчка сено да почне?

Што можете да кажете за овие грутки сено?

(Грацките сено се сосема исти, беа на исто растојание од клупата, што значи дека се симетрични).

2. Ајде да направиме малку истражување.

Земете лист хартија (секое дете има лист хартија во боја на своето биро), преклопете го на половина. Прободете го со ногата на компасот. Прошири.

Што доби? (2 симетрични точки).

Како можете да бидете сигурни дека тие се навистина симетрични? (ајде да го свиткаме листот, точките се поклопуваат)

3. На Бирото:

Дали мислите дека овие точки се симетрични? (Не). Зошто? Како можеме да бидеме сигурни во ова?

Слика 3:

Дали овие точки А и Б се симетрични?

Како можеме да го докажеме ова?

(Мерете го растојанието од права линија до точките)

Да се ​​вратиме на нашите парчиња обоена хартија.

Измерете го растојанието од линијата на превиткување (оската на симетрија) прво до едната, а потоа до другата точка (но прво поврзете ги со отсечка).

Што можете да кажете за овие растојанија?

(Исто)

Најдете ја средината на вашиот сегмент.

Каде е тоа?

(Дали точката на пресек на отсечката AB со оската на симетрија)

4. Обрнете внимание на аглите, формирана како резултат на пресекот на отсечката AB со оската на симетрија. (Дознаваме со помош на квадрат, секое дете работи на своето работно место, едно учи на табла).

Детски заклучок: отсечката AB е под прав агол на оската на симетрија.

Без да знаеме, сега откривме математичко правило:

Ако точките A и B се симетрични за права линија или оска на симетрија, тогаш отсечката што ги поврзува овие точки е под прав агол или нормална на оваа права линија. (Зборот „нормален“ е напишан посебно на штандот). Зборот „нормално“ го кажуваме гласно во хор.

5. Да обрнеме внимание на тоа како е напишано ова правило во нашиот учебник.

Работете според учебникот.

Најдете симетрични точки во однос на правата линија. Дали точките А и Б ќе бидат симетрични за оваа права?

6. Работа на нов материјал.

Ајде да научиме како да конструираме точки симетрични на податоците во однос на права линија.

Наставникот предава расудување.

За да изградите точка симетрична на точката А, треба да ја поместите оваа точка од права линија на истото растојание надесно.

7. Ќе научиме да конструираме сегменти симетрични на податоците во однос на права линија. Работете според учебникот.

Учениците расудуваат на табла.

8. Усно броење.

Тука ќе го завршиме престојот во Кралството „Геометрија“ и ќе направиме мало математичко загревање со посета на „Аритметичкото“ Кралство.

Додека сите работат усно, двајца студенти работат на поединечни табли.

А) Изведете поделба со верификација:

Б) Откако ќе ги вметнете потребните броеви, решете го примерот и проверете:

Вербално броење.

1. Животниот век на брезата е 250 години, а дабот е 4 пати подолг. Колку долго живее дабово дрво?
2. Папагалот живее во просек 150 години, а слонот е 3 пати помалку. Колку години живее слон?
3. Мечката покани гости кај него: еж, лисица и верверица. И како подарок му подарија тенџере со сенф, вилушка и лажица. Што и дал ежот на мечката?

Можеме да одговориме на ова прашање ако ги извршиме овие програми.

• Сенф - 7
• Вилушка - 8
• Лажици - 6

(Ежето даде лажица)

4) Пресметајте. Најдете друг пример.

• 810: 90
• 360: 60
• 420: 7
• 560: 80

5) Најдете шема и помогнете да го запишете потребниот број:

3	9	81
2		16

5	10	20
6		24

9. Сега да се одмориме малку.

Ајде да ја слушнеме Бетовеновата Месечева соната. Една минута класична музика. Учениците ги ставаат главите на бирото, ги затвораат очите и слушаат музика.

10. Патување во кралството на алгебрата.

Погодете ги корените на равенката и проверете:

Учениците решаваат задачи на табла и во тетратки. Тие објаснуваат како тоа го погодиле.

11. "Блиц турнир“ .

а) Асија купи 5 ѓевреки за рубља и 2 леба за б рубли. Колку чини целокупното купување?

Ајде да провериме. Ајде да ги споделиме нашите мислења.

12. Сумирајќи.

Значи, го завршивме нашето патување во царството на математиката.

Што ви беше најважно на лекцијата?

На кого му се допадна нашата лекција?

Беше задоволство да се работи со вас

Ви благодариме за лекцијата.

Нека g е фиксна линија (сл. 191). Да земеме произволна точка X и да ја спуштиме нормалната AX на права линија g. На продолжението на нормалната надвор од точката А, ја нацртаме отсечката AX" еднаква на отсечката AX. Точката X" се нарекува симетрична на точката X во однос на правата права g.

Ако точката X лежи на права g, тогаш точката симетрична кон неа е самата точка X. Очигледно, точката симетрична на точката X" е точка X.

Трансформацијата на фигура F во фигура F“, во која секоја нејзина точка X оди до точка X“, симетрична во однос на дадена права g, се нарекува трансформација на симетрија во однос на права линија g. Во овој случај, фигурите F и F" се нарекуваат симетрични во однос на права линија g (сл. 192).

Ако трансформацијата на симетрија во однос на права g ја зема фигурата F во себе, тогаш оваа бројка се нарекува симетрична во однос на правата g, а правата g се нарекува оска на симетрија на фигурата.

На пример, прави линии што минуваат низ пресечната точка на дијагоналите на правоаголникот паралелни со неговите страни се оските на симетрија на правоаголникот (сл. 193). Правите линии на кои лежат дијагоналите на ромбот се неговите оски на симетрија (сл. 194).

Теорема 9.3. Трансформацијата на симетријата за права линија е движење.

Доказ. Да ја земеме оваа права линија како y-оска на Декартовиот координатен систем (сл. 195). Нека произволна точка A (x; y) од сликата F оди до точката A" (x"; y") на сликата F". Од дефиницијата за симетрија во однос на права линија следува дека точките А и А" имаат еднакви ординати, а апсцисите се разликуваат само по знак:

x"= -x.
Да земеме две произволни точки A(x 1; y 1) и B (x 2; y 2) - Тие ќе одат во точките A" (- x 1, y 1) и B" (-x 2; y 2).

AB 2 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2
A"B" 2 =(-x 2 + x 1) 2 +(y 2 -y 1) 2.

Од ова е јасно дека AB = A "B". И ова значи дека трансформацијата на симетријата за права линија е движење. Теоремата е докажана.

ТРИАГОЛНИЦИ.

§ 17. СИМЕТРИЈА РЕЛАТИВНО НА ДЕСНИОТ ПРАВИЛ.

1. Фигури кои се симетрични една на друга.

Ајде да нацртаме некоја фигура на лист хартија со мастило, а со молив надвор од него - произволна права линија. Потоа, без да дозволиме мастилото да се исуши, го свиткаме листот хартија по оваа права линија така што еден дел од листот се преклопува со другиот. Овој друг дел од листот на тој начин ќе создаде отпечаток од оваа бројка.

Ако потоа повторно го исправите листот хартија, тогаш на него ќе има две фигури, кои се нарекуваат симетричниво однос на дадена линија (сл. 128).

Две фигури се нарекуваат симетрични во однос на одредена права линија, ако, при свиткување на рамнината за цртање по оваа права линија, тие се порамнети.

Правата линија во однос на која овие бројки се симетрични се нарекува нивна оска на симетрија.

Од дефиницијата за симетрични фигури произлегува дека сите симетрични фигурисе еднакви.

Можете да добиете симетрични фигури без користење на свиткување на авионот, но со помош геометриска конструкција. Нека е неопходно да се изгради точка C" симетрична на дадена точка C во однос на права линија AB. Да паднеме нормална од точката C
ЦД на права линија AB и како нејзино продолжение ќе ја поставиме отсечката DC" = DC. Ако ја свиткаме рамнината за цртање долж AB, тогаш точката C ќе се израмни со точката C": точките C и C" се симетрични (сл. 129 ).

Да претпоставиме дека сега треба да конструираме сегмент C „D“, симетричен овој сегментЦД во однос на директно АБ. Да ги конструираме точките C" и D", симетрични на точките C и D. Ако ја свиткаме рамнината на цртање долж AB, тогаш точките C и D ќе се поклопат, соодветно, со точките C" и D" (цртеж 130). Затоа, отсечки ЦД и Ц „Д“ ќе се совпаднат, тие ќе бидат симетрични.

Сега да изградиме симетрична фигура даден многуаголник ABCDE во однос на оваа оска на симетрија MN (сл. 131).

За да го решиме овој проблем, да ги отфрлиме перпендикуларите А А, ВО б, СО Со, Д ги Е ддо оската на симетрија MN. Потоа, на продолжетоците на овие перпендикулари ги исцртуваме отсечките
АА" = А А, бБ" = Б б, Со C" = Cs; гД"" =Д гИ дЕ" = Е д.

Многуаголникот A"B"C"D"E" ќе биде симетричен на многуаголникот ABCDE. Навистина, ако го свиткате цртежот по права линија MN, тогаш соодветните темиња на двата многуаголници ќе се израмнат, и затоа самите многуаголници ќе се израмнат ; ова докажува дека многуаголниците ABCDE и A" B"C"D"E" се симетрични во однос на правата линија MN.

2. Фигури кои се состојат од симетрични делови.

Често се наоѓа геометриски фигури, кои се поделени со некоја права линија на два симетрични дела. Таквите бројки се нарекуваат симетрични.

Така, на пример, аголот е симетрична фигура, а симетралата на аголот е неговата оска на симетрија, бидејќи кога се свиткува по него, едниот дел од аголот се комбинира со другиот (слика 132).

Во круг, оската на симетрија е неговиот дијаметар, бидејќи при свиткување по него, еден полукруг се комбинира со друг (слика 133). Фигурите на цртежите 134, a, b се точно симетрични.

Симетричните фигури често се наоѓаат во природата, конструкцијата и накитот. Сликите поставени на цртежите 135 и 136 се симетрични.

Треба да се забележи дека симетричните фигури може да се комбинираат едноставно со движење по рамнина само во некои случаи. За да се комбинираат симетрични фигури, по правило, неопходно е да се сврти една од нив со спротивната страна,

Во оваа лекција ќе разгледаме уште една карактеристика на некои фигури - аксијална и централна симетрија. Секојдневно се среќаваме со аксијална симетрија кога ќе се погледнеме во огледало. Централната симетрија е многу честа појава во живата природа. Во исто време, фигурите кои имаат симетрија имаат цела линијасвојства. Дополнително, последователно учиме дека аксијалните и централните симетрии се типови на движења со чија помош се решава цела класа проблеми.

Оваа лекцијапосветен на аксијалната и централната симетрија.

Дефиниција

Двете точки се нарекуваат симетричнирелативно исправен ако:

На сл. 1 покажува примери на точки симетрични во однос на права линија и , и .

Ориз. 1

Да го забележиме и фактот дека која било точка на правата е симетрична за себе во однос на оваа права.

Фигурите можат да бидат и симетрични во однос на права линија.

Дозволете ни да формулираме строга дефиниција.

Дефиниција

Фигурата се нарекува симетрични во однос на прави, ако за секоја точка на фигурата и точката симетрична кон неа во однос на оваа права линија и припаѓа на фигурата. Во овој случај линијата се нарекува оска на симетрија. Бројката има аксијална симетрија.

Ајде да погледнеме неколку примери на фигури кои имаат аксијална симетрија и нивните оски на симетрија.

Пример 1

Аголот има аксијална симетрија. Оската на симетрија на аголот е симетралата. Навистина: да спуштиме нормална на симетралата од која било точка на аголот и да ја прошириме додека не се пресече со другата страна на аголот (види слика 2).

Ориз. 2

(бидејќи - заедничката страна, (својство на симетрала), а триаголниците се правоаголни). Средства,. Според тоа, точките се симетрични во однос на симетралата на аголот.

Од ова произлегува дека рамнокрак триаголникима аксијална симетрија во однос на симетралата (висина, средна) повлечена до основата.

Пример 2

Рамностран триаголник има три оски на симетрија (симетрали/средини/висини на секој од трите агли (види слика 3).

Ориз. 3

Пример 3

Правоаголникот има две оски на симетрија, од кои секоја минува низ средните точки на неговите две спротивни страни(види Сл. 4).

Ориз. 4

Пример 4

Ромбот има и две оски на симетрија: прави линии кои ги содржат неговите дијагонали (види Сл. 5).

Ориз. 5

Пример 5

Квадрат, кој е и ромб и правоаголник, има 4 оски на симетрија (види слика 6).

Ориз. 6

Пример 6

За круг, оската на симетрија е секоја права линија што минува низ неговиот центар (што значи, го содржи дијаметарот на кругот). Според тоа, кругот има бесконечно многу оски на симетрија (види Сл. 7).

Ориз. 7

Сега да го разгледаме концептот централна симетрија.

Дефиниција

Точките се нарекуваат симетричниво однос на точката ако: - средината на отсечката.

Ајде да погледнеме неколку примери: на Сл. 8 ги прикажува точките и , како и и , кои се симетрични во однос на точката , и точките и не се симетрични во однос на оваа точка.

Ориз. 8

Некои бројки се симетрични за одредена точка. Дозволете ни да формулираме строга дефиниција.

Дефиниција

Фигурата се нарекува симетрични во однос на точката, ако за која било точка од фигурата и точката симетрична на неа и припаѓа на оваа фигура. Точката се нарекува центар на симетрија, а фигурата има централна симетрија.

Ајде да погледнеме примери на фигури со централна симетрија.

Пример 7

За круг, центарот на симетријата е центарот на кругот (ова е лесно да се докаже со потсетување на својствата на дијаметарот и радиусот на кругот) (види Сл. 9).

Ориз. 9

Пример 8

За паралелограм, центарот на симетрија е точката на пресек на дијагоналите (види Сл. 10).

Ориз. 10

Ајде да решиме неколку проблеми за аксијална и централна симетрија.

Задача 1.

Колку оски на симетрија има отсечката?

Еден сегмент има две оски на симетрија. Првата од нив е права која содржи отсечка (бидејќи која било точка на правата е симетрична за себе во однос на оваа права). Втората е нормална симетрала на отсечката, односно права линија нормална на отсечката и минува низ нејзината средина.

Одговор: 2 оски на симетрија.

Задача 2.

Колку оски на симетрија има права линија?

Правата линија има бесконечно многу оски на симетрија. Една од нив е самата права (бидејќи секоја точка на правата е симетрична за себе во однос на оваа права). И, исто така, оските на симетрија се кои било прави нормални на дадена права.

Одговор: има бесконечно многу оски на симетрија.

Задача 3.

Колку оски на симетрија има зракот?

Зракот има една оска на симетрија, која се совпаѓа со линијата што го содржи зракот (бидејќи која било точка на правата е симетрична за себе во однос на оваа права).

Одговор: една оска на симетрија.

Задача 4.

Докажете дека линиите што ги содржат дијагоналите на ромбот се неговите оски на симетрија.

Доказ:

Размислете за ромб. Да докажеме, на пример, дека правата линија е нејзината оска на симетрија. Очигледно е дека точките се симетрични сами за себе, бидејќи лежат на оваа линија. Покрај тоа, точките и се симетрични во однос на оваа линија, бидејќи . Сега да избереме произволна точка и да докажеме дека точката симетрична во однос на неа исто така припаѓа на ромбот (види Сл. 11).

Ориз. единаесет

Нацртајте нормална на правата низ точката и продолжете ја додека не се пресече со . Размислете за триаголници и . Овие триаголници се правоаголни (по градба), покрај тоа имаат: - заедничка катета и (бидејќи дијагоналите на ромбот се неговите симетрали). Значи, овие триаголници се еднакви: . Тоа значи дека сите нивни соодветни елементи се еднакви, па затоа: . Од еднаквоста на овие отсечки произлегува дека точките и се симетрични во однос на правата линија. Ова значи дека тоа е оската на симетрија на ромбот. Овој факт може слично да се докаже и за втората дијагонала.

Докажано.

Задача 5.

Докажете дека точката на пресек на дијагоналите на паралелограмот е неговиот центар на симетрија.

Доказ:

Размислете за паралелограм. Да докажеме дека точката е нејзиниот центар на симетрија. Очигледно е дека точките и , и се во пар симетрични во однос на точката , бидејќи дијагоналите на паралелограмот се поделени на половина со точката на пресек. Сега да избереме произволна точка и да докажеме дека точката симетрична во однос на неа исто така припаѓа на паралелограмот (види Сл. 12).

симетрија архитектонска фасадна зграда

Симетријата е концепт кој го отсликува поредокот кој постои во природата, пропорционалноста и пропорционалноста помеѓу елементите на кој било систем или објект на природата, уредноста, рамнотежата на системот, стабилноста, т.е. некој елемент на хармонија.

Милениуми поминале пред човештвото, во текот на неговите општествени и производствени активности, ја сфатило потребата да ги изрази во одредени концепти двете тенденции што ги има воспоставено првенствено во природата: присуството на строга уредност, пропорционалност, рамнотежа и нивно нарушување. Луѓето долго време обрнувале внимание на правилната форма на кристалите, геометриската строгост на структурата на саќе, редоследот и повторливоста на распоредот на гранките и лисјата на дрвјата, ливчињата, цвеќињата и семките на растенијата и оваа уредност ја рефлектирале во нивните практични активности, размислување и уметност.

Предметите и појавите на живата природа имаат симетрија. Не само што го радува окото и ги инспирира поетите од сите времиња и народи, туку им овозможува на живите организми подобро да се прилагодат на нивната околина и едноставно да преживеат.

Во живата природа, огромното мнозинство живи организми изложуваат различни видовисиметрии (облик, сличност, релативна локација). Покрај тоа, организми од различни анатомска структураможе да има ист тип на надворешна симетрија.

Принципот на симетрија вели дека ако просторот е хомоген, преносот на системот како целина во просторот не ги менува својствата на системот. Ако сите насоки во просторот се еквивалентни, тогаш принципот на симетрија овозможува ротација на системот како целина во просторот. Принципот на симетрија се почитува ако се промени потеклото на времето. Во согласност со принципот, можно е да се направи транзиција кон друг референтен систем кој се движи во однос на овој систем со постојана брзина. Нежив светмногу симетрично. Често прекршување на симетријата кај квантна физика елементарни честички- ова е манифестација на уште подлабока симетрија. Асиметријата е структура-формирање и креативен принцип на животот. Во живите клетки, функционално значајните биомолекули се асиметрични: протеините се состојат од леворотаторни амино киселини (L-форма), а нуклеинските киселини содржат, покрај хетероцикличните бази, декстророторни јаглехидрати - шеќери (Д-форма), покрај тоа, самата ДНК е основа на наследноста е десната двојна спирала.

Принципите на симетрија се во основата на теоријата на релативност, квантна механика, физичари солидна, нуклеарни и нуклеарна физика, физика на честички. Овие принципи се најјасно изразени во непроменливите својства на законите на природата. Ова не е само за физичките закони, но и други, на пример, биолошки. Пример биолошки законзачувувањето може да послужи како закон за наследување. Се заснова на непроменливоста на биолошките својства во однос на преминот од една генерација во друга. Сосема е очигледно дека без закони за зачувување (физички, биолошки и други), нашиот свет едноставно не би можел да постои.

Така, симетријата изразува зачувување на нешто и покрај некои промени или зачувување на нешто и покрај промената. Симетријата ја претпоставува непроменливоста не само на самиот објект, туку и на сите негови својства во однос на трансформациите извршени на објектот. Непроменливоста на одредени предмети може да се забележи во однос на различни операции - ротации, преводи, меѓусебна замена на делови, рефлексии итн.

Ајде да ги разгледаме видовите на симетрија во математиката:

• * централно (во однос на точката)
• * аксијален (релативно исправен)
• * огледало (во однос на авионот)
• 1. Централна симетрија (Додаток 1)

За фигурата се вели дека е симетрична во однос на точката О, ако за секоја точка од сликата, точка симетрична во однос на точката О, исто така, припаѓа на оваа бројка. Точката О се нарекува центар на симетрија на фигурата.

Концептот на центар на симетрија првпат се сретнал во 16 век. Во една од теоремите на Клавиус, која вели: „ако паралелепипед се сече со рамнина што минува низ центарот, тогаш тој се дели на половина и, обратно, ако паралелепипед се преполови, тогаш рамнината поминува низ центарот“. Лежандре, кој прв ги вовел елементите на доктрината за симетрија во елементарната геометрија, покажува дека десниот паралелепипед има 3 рамнини на симетрија нормални на рабовите, а коцката има 9 рамнини на симетрија, од кои 3 се нормални на рабовите, и останатите 6 минуваат низ дијагоналите на лицата.

Примери на фигури кои имаат централна симетрија се кругот и паралелограмот.

Во алгебрата, кога се проучуваат парните и непарните функции, се разгледуваат нивните графикони. Кога е конструиран, графикот на парна функција е симетричен во однос на оската на ординатите, а графикот на непарната функција е симетричен во однос на потеклото, т.е. точка О. Значи, не дури и функцијаима централна симетрија, а парната функција е аксијална.

2. Аксијална симетрија (Додаток 2)

Фигурата се нарекува симетрична во однос на правата a ако, за секоја точка од сликата, точка симетрична во однос на правата a исто така припаѓа на оваа фигура. Правата а се нарекува оска на симетрија на фигурата. Се вели дека фигурата има аксијална симетрија.

Во потесна смисла, оската на симетрија се нарекува оска на симетрија од втор ред и зборува за „аксијална симетрија“, која може да се дефинира на следниов начин: фигурата (или телото) има аксијална симетрија за одредена оска ако секоја од неговите точки E одговараат на точка F што припаѓа на истата фигура, дека отсечката EF е нормална на оската, ја пресекува и е поделена на половина на пресечната точка.

Ќе дадам примери на фигури кои имаат аксијална симетрија. Неразвиениот агол има една оска на симетрија - права линија на која се наоѓа симетралата на аголот. Рамнокрак (но не рамностран) триаголник исто така има една оска на симетрија, и рамностран триаголник-- три оски на симетрија. Правоаголник и ромб, кои не се квадрати, имаат по две оски на симетрија, а квадрат има четири оски на симетрија. Кругот има бесконечен број од нив - секоја права линија што минува низ неговиот центар е оска на симетрија.

Има фигури кои немаат единствена оска на симетрија. Таквите фигури вклучуваат паралелограм, различен од правоаголник и скален триаголник.

3. Симетрија на огледалото (Прилог 3)

Симетрија на огледалото (симетрија во однос на рамнината) е пресликување на просторот врз себе во кое секоја точка М оди во точка М1 што е симетрична кон неа во однос на оваа рамнина.

Симетријата на огледалото е добро позната на секој човек од секојдневното набљудување. Како што покажува самото име, симетријата на огледалото го поврзува секој предмет и неговиот одраз во рамно огледало. Една фигура (или тело) се вели дека е огледало симетрична на друга ако заедно формираат огледална симетрична фигура (или тело).

Билјард играчите одамна се запознаени со дејството на рефлексија. Нивните „огледала“ се страните на полето за играње, а улогата на зрак светлина ја играат траекториите на топките. Откако ја погоди страната во близина на аголот, топката се тркала кон страната што се наоѓа под прав агол и, откако се рефлектира од неа, се движи назад паралелно со правецот на првиот удар.

Треба да се забележи дека две симетрични фигури или два симетрични делови од една фигура, и покрај сите нивни сличности, еднаквост на волумени и површини, во општ случај, се нееднакви, т.е. тие не можат да се комбинираат едни со други. Ова се различни фигури, тие не можат да се заменат едни со други, на пример, десната ракавица, чизма итн. не е погоден за левата рака или нога. Предметите можат да имаат еден, два, три итн. рамнини на симетрија. На пример, права пирамида, чија основа е рамнокрак триаголник, е симетрична за една рамнина P. Призмата со иста основа има две рамнини на симетрија. Правилна шестоаголна призма има седум од нив. Тела на ротација: топка, торус, цилиндар, конус итн. имаат бесконечен број рамнини на симетрија.

Старите Грци верувале дека универзумот е симетричен само затоа што симетријата е убава. Врз основа на размислувањата за симетријата, тие направија голем број нагаѓања. Така, Питагора (5 век п.н.е.), сметајќи ја сферата за најсиметрична и најсовршена форма, заклучил дека Земјата е сферична и околу нејзиното движење по сферата. Во исто време, тој веруваше дека Земјата се движи по сферата на одреден „централен оган“. Според Питагора, шесте планети познати во тоа време, како и Месечината, Сонцето и ѕвездите, требало да се вртат околу истиот „оган“.