Внимание!
Има дополнителни
материјали во Посебен дел 555.
За оние кои се многу „не многу...“
И за оние кои „многу...“)
Најпрво, дозволете ми да ве потсетам на едноставен, но многу корисен заклучок од лекцијата „Што се синус и косинус? Што се тангента и котангента?“
Ова е излезот:
Синус, косинус, тангента и котангента се цврсто поврзани со нивните агли. Знаеме едно, што значи дека знаеме друго.
Со други зборови, секој агол има свој константен синус и косинус. И скоро секој има своја тангента и котангента. Зошто за малку?Повеќе за ова подолу.
Ова знаење многу помага во вашите студии! Има многу задачи каде што треба да се движите од синуси до агли и обратно. За ова постои табела на синуси.Слично на тоа, за задачи со косинус - косинусова табела.И, како што можеби претпоставувате, постои тангентна табелаИ табела на котангенси.)
Табелите се различни. Долги, каде што можете да видите на што е еднакво, да речеме, sin37°6’. Ги отвораме табелите Брадис, бараме агол од триесет и седум степени шест минути и ја гледаме вредноста од 0,6032. Јасно е дека нема апсолутно никаква потреба да се запамети овој број (и илјадници други вредности на табелата).
Всушност, во наше време, долгите табели на косинуси, синуси, тангенти, котангенти навистина не се потребни. Еден добар калкулатор целосно ги заменува. Но, не е повредено да се знае за постоењето на такви табели. За општа ерудиција.)
И зошто тогаш оваа лекција?! - прашуваш ти.
Но зошто. Меѓу бесконечниот број на агли има специјални,за кои треба да знаете Сите. Целата училишна геометрија и тригонометрија се изградени на овие агли. Ова е еден вид „табела за множење“ на тригонометријата. Ако не знаете што е еднакво на гревот50°, на пример, никој нема да ве осуди.) Но, ако не знаете на што е еднакво на гревот30°, бидете подготвени да добиете заслужено две...
Таков посебенАглите се исто така доста добри. Училишните учебници обично љубезно нудат меморирање синусна табела и косинусова табелаза седумнаесет агли. И се разбира, тангентна табела и табела котангентаза истите седумнаесет агли... т.е. Се предлага да се запамети 68 вредности. Кои, патем, се многу слични едни на други, се повторуваат одвреме-навреме и менуваат знаци. За човек без совршена визуелна меморија, ова е доста задача...)
Ќе тргнеме по друг пат. Да го замениме меморирањето напамет со логика и генијалност. Потоа ќе треба да запомниме 3 (три!) вредности за табелата со синуси и табелата со косинусите. И 3 (три!) вредности за табелата на тангенти и табелата на котангенти. Тоа е се. Шест вредности се полесни за запомнување од 68, ми се чини...)
Ќе ги добиеме сите други потребни вредности од овие шест користејќи моќен лист за легални измами - тригонометриски круг. Ако не сте ја проучувале оваа тема, следете ја врската, не бидете мрзливи. Овој круг не е потребен само за оваа лекција. Тој е незаменлив за сите тригонометрии одеднаш. Некористењето на таква алатка е едноставно грев! Не сакате? Тоа е твоја работа. Запомни табела на синуси. Табела со косинуси. Табела на тангенти. Табела на котангенси.Сите 68 вредности за различни агли.)
Значи, да започнеме. Прво, да ги поделиме сите овие посебни агли во три групи.
Првата група на агли.
Да ја разгледаме првата група седумнаесет агли посебен. Тоа се 5 агли: 0°, 90°, 180°, 270°, 360°.
Вака изгледа табелата со синуси, косинуси, тангенти, котангенти за овие агли:
Агол x
|
0 |
90 |
180 |
270 |
360 |
Агол x
|
0 |
||||
грев х |
0 |
1 |
0 |
-1 |
0 |
cos x |
1 |
0 |
-1 |
0 |
1 |
tg x |
0 |
именка |
0 |
именка |
0 |
ctg x |
именка |
0 |
именка |
0 |
именка |
Оние кои сакаат да се сеќаваат, запомнете. Но, веднаш ќе кажам дека сите овие едници и нули се многу збунети во главата. Многу посилно отколку што сакате.) Затоа ја вклучуваме логиката и тригонометрискиот круг.
Цртаме круг и на него ги означуваме истите агли: 0°, 90°, 180°, 270°, 360°. Ги означив овие агли со црвени точки:
Веднаш е очигледно што е посебно во овие агли. Да! Ова се аглите што паѓаат точно на координатната оска!Всушност, затоа луѓето се збунуваат... Но ние нема да се збуниме. Ајде да откриеме како да најдеме тригонометриски функции на овие агли без многу меморирање.
Патем, позицијата на аголот е 0 степени целосно се совпаѓасо позиција на агол од 360 степени. Ова значи дека синусите, косинусите и тангентите на овие агли се сосема исти. Обележав агол од 360 степени за да го завршам кругот.
Да претпоставиме дека во тешкото стресно опкружување на Единствениот државен испит некако се сомневавте... Колкав е синусот од 0 степени? Изгледа како нула... Што ако е еден?! Механичкото меморирање е такво нешто. Во тешки услови, сомнежите почнуваат да глодаат...)
Мирно, само смирено!) Ќе ви кажам една практична техника која ќе ви даде 100% точен одговор и целосно ќе ги отстрани сите сомнежи.
Како пример, ајде да откриеме како јасно и сигурно да се одреди, да речеме, синусот од 0 степени. И во исто време, косинус 0. Токму во овие вредности, чудно е доволно, што луѓето често се збунуваат.
За да го направите ова, нацртајте круг произволнаагол X. Во првата четвртина беше блиску до 0 степени. Да ги означиме синусите и косинусите на овој агол на оските X,се е во ред. Како ова:
И сега - внимание! Ајде да го намалиме аголот X, приближете ја подвижната страна до оската О. Поставете го курсорот над сликата (или допрете ја сликата на таблетот) и ќе видите сè.
Сега да ја вклучиме елементарната логика!Ајде да погледнеме и да размислиме: Како се однесува sinx кога аголот x се намалува? Како што аголот се приближува до нула?Се намалува! И cosx се зголемува!Останува да откриеме што ќе се случи со синусот кога аголот целосно ќе се сруши? Кога подвижната страна на аголот (точка А) се спушта на оската OX и аголот станува еднаков на нула? Очигледно, синусот на аголот ќе оди на нула. А косинусот ќе се зголеми на... до... Колку е должината на подвижната страна на аголот (радиусот на тригонометрискиот круг)? Еден!
Еве го одговорот. Синус од 0 степени е еднаков на 0. Косинусот од 0 степени е еднаков на 1. Апсолутно железен и без никакво сомневање!) Едноставно затоа што во спротивно не може да биде.
На ист начин, можете да го дознаете (или разјасните) синусот од 270 степени, на пример. Или косинус 180. Нацртајте круг, произволнаагол во четвртина до координатната оска што нè интересира, ментално поместете ја страната на аголот и сфатете што ќе станат синусот и косинусот кога страната на аголот ќе падне на оската. Тоа е се.
Како што можете да видите, нема потреба да запаметите ништо за оваа група на агли. Не е потребно овде табела со синуси...Да и косинусова табела- исто така.) Патем, по неколку употреби на тригонометрискиот круг, сите овие вредности ќе бидат запаметени сами по себе. И ако заборават, нацртав круг за 5 секунди и го разјаснив. Многу полесно отколку да се јавите на пријател од тоалетот и да го ризикувате вашиот сертификат, нели?)
Што се однесува до тангентата и котангентата, се е исто. На кругот цртаме тангента (котангента) линија - и сè е веднаш видливо. Каде се еднакви на нула, а каде ги нема. Што, не знаете за тангентите и котангентните линии? Ова е тажно, но може да се поправи.) Го посетивме делот 555 Тангента и котангента на тригонометрискиот круг - и нема проблеми!
Ако сте сфатиле како јасно да дефинирате синус, косинус, тангента и котангента за овие пет агли, честитки! За секој случај, ве известувам дека сега можете да дефинирате функции сите агли што паѓаат на оските.И ова е 450°, и 540°, и 1800°, и бесконечен број други...) Го броев (точно!) аголот на кругот - и нема проблеми со функциите.
Но, токму со мерењето на аглите се јавуваат проблеми и грешки... Како да се избегнат е напишано во лекцијата: Како да нацртате (броиме) било кој агол на тригонометриски круг во степени. Основно, но многу помага во борбата против грешките.)
Еве една лекција: Како да нацртате (измерите) кој било агол на тригонометриски круг во радијани - ќе биде поладно. Во однос на можностите. Да речеме, одреди на која од четирите полуоски паѓа аголот
можете да го направите за неколку секунди. Не се шегувам! Само за неколку секунди. Па, се разбира, не само 345 пи...) И 121, и 16, и -1345. Секој целоброен коефициент е погоден за моментален одговор.
И ако аголот
Размисли! Точниот одговор се добива за 10 секунди.За која било фракциона вредност на радијаните со два во именителот.
Всушност, тоа е она што е добро за тригонометрискиот круг. Бидејќи способноста за работа со некоиаглите до кои автоматски се проширува бесконечно множествоаглите
Значи, подредивме пет агли од седумнаесет.
Втора група агли.
Следната група на агли се аглите 30°, 45° и 60°. Зошто токму овие, а не, на пример, 20, 50 и 80? Да, некако испадна вака... Историски.) Понатаму ќе се види зошто овие агли се добри.
Табелата на синусни косинуси тангенти котангенти за овие агли изгледа вака:
Агол x
|
0 |
30 |
45 |
60 |
90 |
Агол x
|
0 |
||||
грев х |
0 |
1 |
|||
cos x |
1 |
0 |
|||
tg x |
0 |
1 |
именка |
||
ctg x |
именка |
1 |
0 |
Ги оставив вредностите за 0° и 90° од претходната табела за да ја дополнам сликата.) За да видите дека овие агли лежат во првата четвртина и се зголемуваат. Од 0 до 90. Ова ќе ни биде корисно подоцна.
Мора да се запомнат вредностите на табелата за агли од 30°, 45° и 60°. Запомнете го ако сакате. Но, и овде има можност да си го олесните животот.) Обрнете внимание на вредности на синусната табелаовие агли. И споредете со Вредности на косинусната табела...
Да! Тие исто!Само подредени во обратен редослед. Аглите се зголемуваат (0, 30, 45, 60, 90) - и синусните вредности зголемувањеод 0 до 1. Можете да проверите со калкулатор. И косинусните вредности се се намалуваатод 1 до нула. Покрај тоа, самите вредности исто.За агли од 20, 50, 80 ова не би функционирало...
Ова е корисен заклучок. Доволно за учење тривредности за агли од 30, 45, 60 степени. И запомнете дека за синус се зголемуваат, а за косинус се намалуваат. Кон синусот.) Се среќаваат на половина пат (45°), односно синусот од 45 степени е еднаков на косинусот од 45 степени. И потоа повторно се разминуваат... Може да се научат три значења, нели?
Со тангенти - котангенти сликата е потполно иста. Еден на еден. Само значењата се различни. Овие вредности (уште три!) исто така треба да се научат.
Па, скоро целото меморирање е завршено. Вие (се надеваме) разбравте како да ги одредите вредностите за петте агли што паѓаат на оската и ги научивте вредностите за аглите од 30, 45, 60 степени. Вкупно 8.
Останува да се справиме со последната група од 9 корнери.
Ова се аглите:
120°; 135°; 150°; 210°; 225°; 240°; 300°; 315°; 330°. За овие агли, треба да ја знаете табелата со синуси, табела со косинуси итн.
Кошмар, нели?)
И ако тука додадете агли, како што се: 405°, 600° или 3000° и многу, многу подеднакво убави?)
Или агли во радијани? На пример, за аглите:
и многу други што треба да ги знаете Сите.
Најсмешното нешто е да го знаеш ова Сите - во принцип невозможно.Ако користите механичка меморија.
И тоа е многу лесно, всушност елементарно - ако користите тригонометриски круг. Штом ќе започнете да работите со тригонометрискиот круг, сите тие страшни агли во степени ќе бидат лесно и елегантно намалени на старите добри агли:
Патем, имам уште неколку интересни страници за вас.)
Можете да вежбате да решавате примери и да го дознаете вашето ниво. Тестирање со инстант верификација. Ајде да научиме - со интерес!)
Можете да се запознаете со функции и деривати.
Концептите на синус (), косинус (), тангента (), котангента () се нераскинливо поврзани со концептот на агол. За добро да ги разбереме овие, на прв поглед, сложени концепти (кои предизвикуваат состојба на ужас кај многу ученици) и да се увериме дека „ѓаволот не е толку страшен како што е насликан“, да почнеме од на самиот почеток и разбирање на концептот на агол.
Концепт на агол: радијан, степен
Ајде да ја погледнеме сликата. Векторот се „свртел“ во однос на точката за одредена количина. Значи мерката на оваа ротација во однос на почетната позиција ќе биде агол.
Што друго треба да знаете за концептот на агол? Па, се разбира, аголни единици!
Аголот, и во геометријата и во тригонометријата, може да се мери во степени и радијани.
Агол (еден степен) е централниот агол во кругот подвижен со кружен лак еднаков на дел од кругот. Така, целиот круг се состои од „парчиња“ кружни лаци, или аголот опишан од кругот е еднаков.
Тоа е, на сликата погоре е прикажан агол еднаков на, односно, овој агол се потпира на кружен лак со големина на обемот.
Агол во радијани е централниот агол во кругот подвижен со кружен лак чија должина е еднаква на радиусот на кругот. Па, дали сфативте? Ако не, тогаш ајде да дознаеме од цртежот.
Значи, сликата покажува агол еднаков на радијан, односно овој агол се потпира на кружен лак, чија должина е еднаква на радиусот на кругот (должината е еднаква на должината или радиусот е еднаков на должина на лакот). Така, должината на лакот се пресметува со формулата:
Каде е централниот агол во радијани.
Па, знаејќи го ова, можете ли да одговорите колку радијани содржи аголот опишан со кругот? Да, за ова треба да ја запомните формулата за обемот. Еве ја таа:
Па, сега да ги поврземе овие две формули и да откриеме дека аголот опишан од кругот е еднаков. Односно, со корелација на вредноста во степени и радијани, го добиваме тоа. Соодветно,. Како што можете да видите, за разлика од „степените“, зборот „радијан“ е испуштен, бидејќи мерната единица обично е јасна од контекстот.
Колку радијани има? Тоа е точно!
Разбрав? Потоа оди напред и поправете го:
Имате потешкотии? Потоа погледнете одговори:
Правоаголен триаголник: синус, косинус, тангента, котангенс на аголот
Значи, го сфативме концептот на агол. Но, што е синус, косинус, тангента и котангента на агол? Ајде да го сфатиме. За да го направите ова, правоаголен триаголник ќе ни помогне.
Како се викаат страните на правоаголен триаголник? Така е, хипотенузата и нозете: хипотенузата е страната што лежи спроти прав агол (во нашиот пример ова е страната); нозете се двете преостанати страни и (оние во непосредна близина на правиот агол), и ако ги земеме предвид нозете во однос на аголот, тогаш ногата е соседната нога, а ногата е спротивна. Значи, сега да одговориме на прашањето: што се синус, косинус, тангента и котангента на агол?
Синус на агол- ова е односот на спротивната (оддалечена) нога до хипотенузата.
Во нашиот триаголник.
Косинусот на аголот- ова е односот на соседната (блиска) нога до хипотенузата.
Во нашиот триаголник.
Тангента на аголот- ова е односот на спротивната (оддалечена) страна со соседната (блиска).
Во нашиот триаголник.
Котангенс на аголот- ова е односот на соседната (блиска) нога до спротивната (далеку).
Во нашиот триаголник.
Овие дефиниции се неопходни запомнете! За полесно да запомните која нога да ја поделите на што, треба јасно да го разберете тоа тангентаИ котангентасамо нозете седат, а хипотенузата се појавува само во синусИ косинус. И тогаш можете да излезете со синџир на асоцијации. На пример, овој:
Косинус→допир→допир→соседен;
Котангента → допир → допир → соседно.
Пред сè, треба да запомните дека синус, косинус, тангента и котангента, бидејќи односот на страните на триаголникот не зависат од должината на овие страни (по ист агол). Не верувам? Потоа уверете се гледајќи ја сликата:
Размислете, на пример, косинус на агол. По дефиниција, од триаголник: , но можеме да го пресметаме косинус на агол од триаголник: . Гледате, должините на страните се различни, но вредноста на косинус од еден агол е иста. Така, вредностите на синус, косинус, тангента и котангента зависат исклучиво од големината на аголот.
Ако ги разбирате дефинициите, тогаш продолжи и консолидирај ги!
За триаголникот прикажан на сликата подолу, наоѓаме.
Па, дали го добивте? Потоа обидете се сами: пресметајте го истото за аголот.
Единица (тригонометриски) круг
Разбирање на концептите на степени и радијани, разгледавме круг со радиус еднаков на. Таков круг се нарекува сингл. Тоа ќе биде многу корисно при изучување на тригонометрија. Затоа, да го разгледаме малку подетално.
Како што можете да видите, овој круг е конструиран во Декартовиот координатен систем. Радиусот на кругот е еднаков на еден, додека центарот на кругот лежи на потеклото на координатите, почетната позиција на векторот на радиусот е фиксирана по позитивната насока на оската (во нашиот пример, ова е радиусот).
Секоја точка на кругот одговара на два броја: координатата на оската и координатата на оската. Кои се овие координатни броеви? И воопшто, каква врска имаат тие со темата што се работи? За да го направите ова, треба да запомниме за разгледуваниот правоаголен триаголник. На сликата погоре, можете да видите два цели правоаголни триаголници. Размислете за триаголник. Правоаголна е бидејќи е нормална на оската.
На што е еднаков триаголникот? Тоа е точно. Дополнително, знаеме дека е радиусот на единечниот круг, што значи . Ајде да ја замениме оваа вредност во нашата формула за косинус. Еве што се случува:
На што е еднаков триаголникот? Па, се разбира,! Заменете ја вредноста на радиусот во оваа формула и добијте:
Значи, можете ли да кажете какви координати има точка која припаѓа на круг? Па, нема шанси? Што ако го сфатите тоа и сте само бројки? На која координата одговара? Па, се разбира, координатите! И на која координата одговара? Така е, координати! Така, период.
На што се тогаш и што се еднакви? Така е, ајде да ги искористиме соодветните дефиниции за тангента и котангента и да го добиеме тоа, a.
Што ако аголот е поголем? На пример, како на оваа слика:
Што се смени во овој пример? Ајде да го сфатиме. За да го направите ова, ајде повторно да се свртиме кон правоаголен триаголник. Размислете за правоаголен триаголник: агол (како во непосредна близина на агол). Кои се вредностите на синус, косинус, тангента и котангента за агол? Така е, ние се придржуваме до соодветните дефиниции за тригонометриските функции:
Па, како што можете да видите, вредноста на синусот на аголот сè уште одговара на координатата; вредноста на косинус на аголот - координатата; и вредностите на тангента и котангента на соодветните соодноси. Така, овие односи се однесуваат на секоја ротација на векторот на радиусот.
Веќе беше споменато дека почетната положба на векторот на радиусот е долж позитивната насока на оската. Досега го ротиравме овој вектор спротивно од стрелките на часовникот, но што ќе се случи ако го ротираме во насока на стрелките на часовникот? Ништо извонредно, ќе добиете и агол со одредена вредност, но само тој ќе биде негативен. Така, при ротирање на векторот на радиус спротивно од стрелките на часовникот, добиваме позитивни аглии кога се ротира во насока на стрелките на часовникот - негативен.
Значи, знаеме дека цела револуција на векторот на радиусот околу круг е или. Дали е можно да се ротира векторот на радиусот до или до? Па, секако дека можеш! Според тоа, во првиот случај, векторот на радиусот ќе направи една целосна револуција и ќе застане на позицијата или.
Во вториот случај, односно векторот на радиусот ќе направи три целосни вртежи и ќе застане на позиција или.
Така, од горенаведените примери можеме да заклучиме дека аглите кои се разликуваат по или (каде е некој цел број) одговараат на истата позиција на векторот на радиусот.
Сликата подолу покажува агол. Истата слика одговара на аголот, итн. Оваа листа може да се продолжи на неодредено време. Сите овие агли може да се напишат со општата формула или (каде е кој било цел број)
Сега, знаејќи ги дефинициите на основните тригонометриски функции и користејќи го единечниот круг, обидете се да одговорите кои се вредностите:
Еве еден круг единица за да ви помогне:
Имате потешкотии? Тогаш ајде да го сфатиме. Значи знаеме дека:
Оттука, ги одредуваме координатите на точките што одговараат на одредени мерки на агол. Па, да почнеме по редослед: аголот при одговара на точка со координати, затоа:
Не постои;
Понатаму, придржувајќи се до истата логика, дознаваме дека аглите во одговараат на точки со координати, соодветно. Знаејќи го ова, лесно е да се одредат вредностите на тригонометриските функции во соодветните точки. Прво пробајте сами, а потоа проверете ги одговорите.
Одговори:
Не постои
Не постои
Не постои
Не постои
Така, можеме да ја направиме следната табела:
Нема потреба да се сеќавате на сите овие вредности. Доволно е да се запамети кореспонденцијата помеѓу координатите на точките на единечниот круг и вредностите на тригонометриските функции:
Но, вредностите на тригонометриските функции на аглите во и, дадени во табелата подолу, мора да се запамети:
Не плашете се, сега ќе ви покажеме еден пример прилично едноставно за запомнување на соодветните вредности:
За да го користите овој метод, од витално значење е да се запаметат вредностите на синусот за сите три мерки на аголот (), како и вредноста на тангентата на аголот. Знаејќи ги овие вредности, прилично е едноставно да се врати целата табела - косинусните вредности се пренесуваат во согласност со стрелките, односно:
Знаејќи го ова, можете да ги вратите вредностите за. Броителот " " ќе се совпаѓа и именителот " " ќе се совпаѓа. Вредностите на котангентите се пренесуваат во согласност со стрелките наведени на сликата. Ако го разбирате ова и се сеќавате на дијаграмот со стрелките, тогаш ќе биде доволно да ги запомните сите вредности од табелата.
Координати на точка на круг
Дали е можно да се најде точка (неговите координати) на круг, знаејќи ги координатите на центарот на кругот, неговиот радиус и аголот на ротација?
Па, секако дека можеш! Ајде да го извадиме општа формула за пронаоѓање на координатите на точка.
На пример, еве еден круг пред нас:
Дадено ни е дека точката е центар на кругот. Радиусот на кругот е еднаков. Потребно е да се пронајдат координатите на точката добиена со ротирање на точката за степени.
Како што може да се види од сликата, координатата на точката одговара на должината на отсечката. Должината на сегментот одговара на координатата на центарот на кругот, односно е еднаква. Должината на сегментот може да се изрази користејќи ја дефиницијата за косинус:
Потоа го имаме тоа за координатата на точката.
Користејќи ја истата логика, ја наоѓаме координативната вредност y за точката. Така,
Значи, генерално, координатите на точките се одредуваат со формулите:
Координати на центарот на кругот,
Кружен радиус,
Аголот на ротација на векторскиот радиус.
Како што можете да видите, за единечниот круг што го разгледуваме, овие формули се значително намалени, бидејќи координатите на центарот се еднакви на нула, а радиусот е еднаков на еден:
Па, ајде да ги испробаме овие формули со вежбање наоѓање точки на круг?
1. Најдете ги координатите на точката на единечната кружница добиена со ротирање на точката на.
2. Најдете ги координатите на точката на единечната кружница добиена со ротирање на точката на.
3. Најдете ги координатите на точката на единечната кружница добиена со ротирање на точката на.
4. Точката е центар на кругот. Радиусот на кругот е еднаков. Потребно е да се најдат координатите на точката добиена со ротирање на векторот на почетниот радиус за.
5. Точката е центар на кругот. Радиусот на кругот е еднаков. Потребно е да се најдат координатите на точката добиена со ротирање на векторот на почетниот радиус за.
Дали имате проблем да ги пронајдете координатите на точка на круг?
Решете ги овие пет примери (или бидете добри во решавањето) и ќе научите да ги наоѓате!
1.
Можете да го забележите тоа. Но, знаеме што одговара на целосна револуција на почетната точка. Така, саканата точка ќе биде во иста положба како кога се врти кон. Знаејќи го ова, ги наоѓаме потребните координати на точката:
2. Кругот на единицата е центриран во точка, што значи дека можеме да користиме поедноставени формули:
Можете да го забележите тоа. Знаеме што одговара на две целосни вртежи на почетната точка. Така, саканата точка ќе биде во иста положба како кога се врти кон. Знаејќи го ова, ги наоѓаме потребните координати на точката:
Синус и косинус се вредности на табелата. Се сеќаваме на нивните значења и добиваме:
Така, саканата точка има координати.
3. Кругот на единицата е центриран во точка, што значи дека можеме да користиме поедноставени формули:
Можете да го забележите тоа. Ајде да го прикажеме предметниот пример на сликата:
Радиусот прави агли еднакви на и со оската. Знаејќи дека вредностите на табелата на косинус и синус се еднакви и откако утврдивме дека косинусот овде зема негативна вредност, а синусот позитивна, имаме:
Ваквите примери подетално се разгледуваат при проучувањето на формулите за намалување на тригонометриските функции во темата.
Така, саканата точка има координати.
4.
Агол на ротација на радиусот на векторот (по услов)
За да ги одредиме соодветните знаци на синус и косинус, конструираме единечен круг и агол:
Како што можете да видите, вредноста, односно, е позитивна, а вредноста, односно негативна. Знаејќи ги табеларните вредности на соодветните тригонометриски функции, добиваме дека:
Ајде да ги замениме добиените вредности во нашата формула и да ги најдеме координатите:
Така, саканата точка има координати.
5. За да го решиме овој проблем, користиме формули во општа форма, каде
Координати на центарот на кругот (во нашиот пример,
Радиус на кругот (по услов)
Агол на ротација на радиусот на векторот (по услов).
Ајде да ги замениме сите вредности во формулата и да добиеме:
и - вредности на табелата. Да се потсетиме и да ги замениме во формулата:
Така, саканата точка има координати.
РЕЗИМЕ И ОСНОВНИ ФОРМУЛИ
Синус на агол е односот на спротивната (далеку) крак до хипотенузата.
Косинусот на аголот е односот на соседната (блиска) крак до хипотенузата.
Тангентата на аголот е односот на спротивната (далечна) страна со соседната (блиска) страна.
Котангенсот на аголот е односот на соседната (блиска) страна со спротивната (далечната) страна.
Табела на основни тригонометриски функции за агли од 0, 30, 45, 60, 90, ... степени
Од тригонометриските дефиниции на функциите $\sin$, $\cos$, $\tan$ и $\cot$, можете да ги дознаете нивните вредности за аглите $0$ и $90$ степени:
$\sin0°=0$, $\cos0°=1$, $\tan 0°=0$, $\cot 0°$ не е дефинирано;
$\sin90°=1$, $\cos90°=0$, $\cot90°=0$, $\tan 90°$ не е дефинирано.
Во училишниот курс по геометрија, кога се проучуваат правоаголните триаголници, се наоѓаат тригонометриските функции на аглите $0°$, $30°$, $45°$, $60°$ и $90°$.
Пронајдени вредности на тригонометриски функции за наведените агли во степени и радијани, соодветно ($0$, $\frac(\pi)(6)$, $\frac(\pi)(4)$, $\frac(\ pi)(3) $, $\frac(\pi)(2)$) за полесно меморирање и користење се внесуваат во табела наречена тригонометриска табела, табела на основни вредности на тригонометриски функциии така натаму.
Кога користите формули за намалување, тригонометриската табела може да се прошири до агол од $360°$ и, соодветно, $2\pi$ радијани:
Користејќи ги својствата на периодичноста на тригонометриските функции, секој агол, кој ќе се разликува од веќе познатиот за $360°$, може да се пресмета и запише во табела. На пример, тригонометриската функција за агол $0°$ ќе ја има истата вредност за агол $0°+360°$ и за агол $0°+2 \cdot 360°$ и за агол $0°+3 \cdot 360°$ и сл.
Користејќи тригонометриска табела, можете да ги одредите вредностите на сите агли на единечниот круг.
Во курсот по училишна геометрија, треба да ги запаметите основните вредности на тригонометриските функции собрани во тригонометриска табела за погодност за решавање на тригонометриски проблеми.
Користење на табела
Во табелата доволно е да се најде потребната тригонометриска функција и вредноста на аголот или радијаните за кои треба да се пресмета оваа функција. На пресекот на редот со функцијата и колоната со вредноста ја добиваме саканата вредност на тригонометриската функција на дадениот аргумент.
На сликата можете да видите како да ја пронајдете вредноста на $\cos60°$, што е еднакво на $\frac(1)(2)$.
Проширената тригонометриска табела се користи на ист начин. Предноста на неговото користење е, како што веќе споменавме, пресметката на тригонометриската функција на речиси секој агол. На пример, лесно можете да ја најдете вредноста $\tan 1 380°=\tan (1 380°-360°)=\tan(1 020°-360°)=\tan(660°-360°)=\tan300 °$:
Брадис табели на основни тригонометриски функции
Способноста за пресметување на тригонометриската функција на апсолутно секоја вредност на аголот за цела вредност на степени и цел број на минути е обезбедена со употреба на табелите Брадис. На пример, пронајдете ја вредноста на $\cos34°7"$. Табелите се поделени на 2 дела: табела со вредности на $\sin$ и $\cos$ и табела со вредности од $ \tan$ и $\cot$.
Табелите на Брадис овозможуваат да се добијат приближни вредности на тригонометриските функции со точност до 4 децимални места.
Користење на табелите Брадис
Користејќи ги табелите Брадис за синуси, наоѓаме $\sin17°42"$. За да го направите ова, во левата колона од табелата со синуси и косинуси ја наоѓаме вредноста на степените - $17°$, а во горната линија ја наоѓаме вредноста на минутите - $42"$. На нивниот пресек ја добиваме саканата вредност:
$\sin17°42"=0,304$.
За да ја пронајдете вредноста $\sin17°44"$ треба да ја користите корекцијата на десната страна на табелата. Во овој случај, на вредноста $42"$, која е во табелата, треба да додадете корекција за $2 „$, што е еднакво на 0,0006$. Добиваме:
$\sin17°44"=0,304+0,0006=0,3046$.
За да ја пронајдеме вредноста $\sin17°47"$ ја користиме и исправката на десната страна на табелата, само во овој случај ја земаме вредноста $\sin17°48"$ како основа и ја одземаме исправката за $1"$ :
$\sin17°47"=0,3057-0,0003=0,3054$.
Кога ги пресметуваме косинусите, извршуваме слични дејства, но ги гледаме степените во десната колона, а минутите во долната колона од табелата. На пример, $\cos20°=0,9397$.
Нема корекции за вредностите на тангентите до $90°$ и котангента со мал агол. На пример, да најдеме $\tan 78°37"$, што според табелата е еднакво на 4,967 $.
Табела на вредности на тригонометриски функции
Забелешка. Оваа табела со вредности на тригонометриски функции го користи знакот √ за да го претстави квадратниот корен. За да означите дропка, користете го симболот "/".
исто така видикорисни материјали:
За одредување на вредноста на тригонометриска функција, најдете го на пресекот на правата што ја покажува тригонометриската функција. На пример, синус 30 степени - ја бараме колоната со наслов грев (синус) и го наоѓаме пресекот на оваа колона од табелата со редот „30 степени“, на нивниот пресек го читаме резултатот - една половина. Слично наоѓаме косинус 60степени, синус 60степени (уште еднаш, на пресекот на колоната грев и линијата од 60 степени ја наоѓаме вредноста sin 60 = √3/2), итн. Вредностите на синусите, косинусите и тангентите на другите „популарни“ агли се наоѓаат на ист начин.
Синус пи, косинус пи, тангента пи и други агли во радијани
Табелата подолу за косинусите, синусите и тангентите е исто така погодна за наоѓање на вредноста на тригонометриските функции чиј аргумент е дадени во радијани. За да го направите ова, користете ја втората колона со вредности на аглите. Благодарение на ова, можете да ја конвертирате вредноста на популарните агли од степени во радијани. На пример, да го најдеме аголот од 60 степени во првата линија и да ја прочитаме неговата вредност во радијани под неа. 60 степени е еднакво на π/3 радијани.
Бројот пи недвосмислено ја изразува зависноста на обемот од степенот на мерката на аголот. Така, пи радијаните се еднакви на 180 степени.
Секој број изразен во однос на пи (радијани) може лесно да се претвори во степени со замена на пи (π) со 180.
Примери:
1. Сине пи.
грев π = грев 180 = 0
така, синусот на пи е ист со синусот од 180 степени и е еднаков на нула.
2. Косинусот пи.
cos π = cos 180 = -1
така, косинусот на пи е ист со косинусот од 180 степени и е еднаков на минус еден.
3. Тангента пи
tg π = tg 180 = 0
така, тангентата пи е иста како тангентата 180 степени и е еднаква на нула.
Табела на вредности на синус, косинус, тангента за агли 0 - 360 степени (заеднички вредности)
|
агол α вредност (степени) |
агол α вредност (преку пи) |
грев (синус) |
cos (косинус) |
tg (тангента) |
ctg (котангента) |
сек (секант) |
косек (косекант) |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | - | 1 | - |
| 15 | π/12 | 2 - √3 | 2 + √3 | ||||
| 30 | π/6 | 1/2 | √3/2 | 1/√3 | √3 | 2/√3 | 2 |
| 45 | π/4 | √2/2 | √2/2 | 1 | 1 | √2 | √2 |
| 60 | π/3 | √3/2 | 1/2 | √3 | 1/√3 | 2 | 2/√3 |
| 75 | 5π/12 | 2 + √3 | 2 - √3 | ||||
| 90 | π/2 | 1 | 0 | - | 0 | - | 1 |
| 105 | 7π/12 |
- |
- 2 - √3 | √3 - 2 | |||
| 120 | 2π/3 | √3/2 | -1/2 | -√3 | -√3/3 | ||
| 135 | 3π/4 | √2/2 | -√2/2 | -1 | -1 | -√2 | √2 |
| 150 | 5π/6 | 1/2 | -√3/2 | -√3/3 | -√3 | ||
| 180 | π | 0 | -1 | 0 | - | -1 | - |
| 210 | 7π/6 | -1/2 | -√3/2 | √3/3 | √3 | ||
| 240 | 4π/3 | -√3/2 | -1/2 | √3 | √3/3 | ||
| 270 | 3π/2 | -1 | 0 | - | 0 | - | -1 |
| 360 | 2π | 0 | 1 | 0 | - | 1 | - |
Ако во табелата со вредности на тригонометриски функции е означена цртичка наместо вредноста на функцијата (тангента (tg) 90 степени, котангента (ctg) 180 степени), тогаш за дадена вредност на степенот мерка на аголот функцијата нема одредена вредност. Ако нема цртичка, ќелијата е празна, што значи дека сè уште не сме ја внеле потребната вредност. Нас нè интересира за какви прашања доаѓаат корисниците кај нас и ја дополнуваат табелата со нови вредности, и покрај фактот што тековните податоци за вредностите на косинусите, синусите и тангентите на најчестите вредности на аголот се сосема доволни за решавање на повеќето проблеми.
Табела со вредности на тригонометриски функции sin, cos, tg за најпопуларните агли
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 степени
(нумерички вредности „според табелите на Брадис“)
| вредност на аголот α (степени) | агол α вредност во радијани | грев (синус) | cos (косинус) | tg (тангента) | ctg (котангента) |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | ||||
| 15 |
0,2588 |
0,9659
|
0,2679 |
||
| 30 |
0,5000 |
0,5774 |
|||
| 45 |
0,7071 |
||||
|
0,7660 |
|||||
| 60 |
0,8660 |
0,5000
|
1,7321 |
||
|
7π/18 |
Се вчитува...
