Веќе во Стариот Египет знаеја не само аритметичка, туку и геометриска прогресија. Еве, на пример, проблем од папирусот Rhind: „Седум лица имаат седум мачки; Секоја мачка јаде седум глувци, секој глушец јаде седум класови пченка, а секое уво јачмен може да одгледува седум мери јачмен. Колку се големи броевите во оваа серија и нивниот збир?
 |
|
Ориз. 1. Антички египетски проблем со геометриска прогресија |
Оваа задача била повторувана многу пати со различни варијации меѓу другите народи во други времиња. На пример, во напишано во 13 век. „Книгата за абакусот“ од Леонардо од Пиза (Фибоначи) има проблем во кој се појавуваат 7 стари жени на пат кон Рим (очигледно аџии), од кои секоја има по 7 мазги, од кои секоја има по 7 торби, од кои секоја содржи 7 леба, од кои секоја има 7 ножеви, од кои секоја има 7 обвивки. Проблемот прашува колку објекти има.
Збирот на првите n членови на геометриската прогресија S n = b 1 (q n – 1) / (q – 1) . Оваа формула може да се докаже, на пример, вака: S n = b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n – 1.
Додадете го бројот b 1 q n на S n и добијте:
|
Од тука S n (q – 1) = b 1 (q n – 1), и ја добиваме потребната формула.
Веќе на една од глинените плочи на антички Вавилон, која датира од 6 век. п.н.е д., го содржи збирот 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 – 1. Точно, како и во голем број други случаи, не знаеме како овој факт им бил познат на Вавилонците .
Брзиот пораст на геометриската прогресија во голем број култури, особено во индиската, постојано се користи како визуелен симбол на пространоста на универзумот. Во познатата легенда за појавата на шахот, владетелот му дава можност на својот пронаоѓач сам да ја избере наградата, а тој го бара бројот на зрната пченица што ќе се добијат ако едно се стави на првиот квадрат од шаховската табла, два на вториот, четири на третиот, осум на четвртиот, итн., секој пат кога бројот се удвојува. Владика мислеше дека најмногу зборуваме за неколку кеси, но погрешно пресмета. Лесно е да се види дека за сите 64 квадрати на шаховската табла пронаоѓачот би требало да прими (2 64 - 1) зрна, што се изразува како 20-цифрен број; дури и ако ја посеете целата површина на Земјата, ќе бидат потребни најмалку 8 години за да се собере потребна сумазрна Оваа легенда понекогаш се толкува како укажување на практично неограничените можности скриени во играта шах.
Лесно е да се види дека овој број е навистина 20-цифрен:
2 64 = 2 4 ∙ (2 10) 6 = 16 ∙ 1024 6 ≈ 16 ∙ 1000 6 = 1,6∙10 19 (поточна пресметка дава 1,84∙10 19). Но, се прашувам дали можете да дознаете со која цифра завршува овој број?
Геометриската прогресија може да се зголемува ако именителот е поголем од 1, или да се намалува ако е помал од еден. Во вториот случај, бројот q n за доволно голем n може да стане произволно мал. Додека растечката геометриска прогресија се зголемува неочекувано брзо, сè помалата геометриска прогресија се намалува исто толку брзо.
Колку е поголем n, толку е послаб бројот q n се разликува од нула, и колку е поблиску збирот од n членови на геометриската прогресија S n = b 1 (1 – q n) / (1 – q) до бројот S = b 1 / ( 1 – q). (На пример, Ф. Виет резонираше на овој начин). Бројот S се нарекува збир на геометриска прогресија која бескрајно се намалува. Меѓутоа, за многу векови прашањето за тоа што е значењето на собирање на ЦЕЛАТА геометриска прогресија, со нејзиниот бесконечен број членови, не им беше доволно јасно на математичарите.
Намалувачка геометриска прогресија може да се види, на пример, во апориите на Зенон „Половина дивизија“ и „Ахил и желката“. Во првиот случај, јасно е прикажано дека целиот пат (претпоставувајќи ја должината 1) е збир од бесконечен број сегменти 1/2, 1/4, 1/8 итн. Ова, се разбира, е случај од гледна точка на идеи за конечен збир бесконечна геометриска прогресија. А сепак - како може ова да биде?
|
Ориз. 2. Прогресија со коефициент 1/2 |
Во апоријата за Ахил, ситуацијата е малку посложена, бидејќи овде именителот на прогресијата не е 1/2, туку некој друг број. Нека, на пример, Ахил трча со брзина v, желката се движи со брзина u, а почетното растојание меѓу нив е l. Ахил ќе го помине ова растојание во време l/v, а за тоа време желката ќе се движи на растојание lu/v. Кога Ахил ќе го истрча овој сегмент, растојанието помеѓу него и желката ќе стане еднакво на l (u /v) 2, итн. l и именителот u /v. Оваа сума - сегментот што Ахил на крајот ќе го истрча до местото на средба со желката - е еднаков на l / (1 – u /v) = lv / (v – u). Но, повторно, како да се протолкува овој резултат и зошто воопшто има смисла, не беше многу јасно долго време.
|
Ориз. 3. Геометриска прогресија со коефициент 2/3 |
Архимед го користел збирот на геометриска прогресија за да ја одреди плоштината на сегментот на параболата. Нека оваа отсечка од параболата е ограничена со акордот AB и тангентата во точката D од параболата нека биде паралелна со AB. Нека C е средната точка на AB, E средната точка на AC, F средната точка на CB. Да повлечеме прави паралелни со DC низ точките A, E, F, B; Нека тангентата нацртана во точката D ги пресекува овие прави во точките K, L, M, N. Да ги нацртаме и отсечките AD и DB. Нека правата EL ја пресекува правата AD во точката G, а параболата во точката H; линијата FM ја пресекува правата DB во точката Q, а параболата во точката R. Според општата теорија на конусни пресеци, DC е дијаметар на парабола (т.е. сегмент паралелен на нејзината оска); таа и тангентата во точката D можат да послужат како координатни оски x и y, во кои равенката на параболата е напишана како y 2 = 2px (x е растојанието од D до која било точка со даден дијаметар, y е должината на отсечка паралелна на дадена тангента од оваа точка на дијаметар до одредена точка на самата парабола).
Врз основа на равенката на параболата, DL 2 = 2 ∙ p ∙ LH, DK 2 = 2 ∙ p ∙ KA, и бидејќи DK = 2DL, тогаш KA = 4LH. Бидејќи KA = 2LG, LH = HG. Областа на сегментот ADB на параболата е еднаква на плоштината на триаголникот ΔADB и областите на сегментите AHD и DRB заедно. За возврат, површината на сегментот AHD е слично еднаква на плоштината на триаголникот AHD и преостанатите сегменти AH и HD, со секоја од нив можете да ја извршите истата операција - поделена на триаголник (Δ) и двата преостанати сегменти (), итн.:
Површината на триаголникот ΔAHD е еднаква на половина од плоштината на триаголникот ΔALD (тие имаат заедничка основа AD, а висините се разликуваат за 2 пати), што, пак, е еднакво на половина од плоштината триаголникот ΔAKD, а со тоа и половина од плоштината на триаголникот ΔACD. Така, површината на триаголникот ΔAHD е еднаква на четвртина од плоштината на триаголникот ΔACD. Исто така, плоштината на триаголникот ΔDRB е еднаква на една четвртина од плоштината на триаголникот ΔDFB. Значи, областите на триаголниците ΔAHD и ΔDRB, земени заедно, се еднакви на четвртина од плоштината на триаголникот ΔADB. Повторувањето на оваа операција кога се применува на сегментите AH, HD, DR и RB ќе избере триаголници од нив, чиишто плоштини, земени заедно, ќе бидат 4 пати помали од плоштината на триаголниците ΔAHD и ΔDRB, земени заедно, и затоа 16 пати помалку од плоштината на триаголникот ΔADB. И така натаму:
Така, Архимед докажал дека „секој сегмент содржан помеѓу права линија и парабола сочинува четири третини од триаголникот со иста основа и еднаква висина“.
Прво ниво
Геометриска прогресија. Сеопфатен водич со примери (2019)
Редоследот на броеви
Значи, да седнеме и да почнеме да пишуваме некои бројки. На пример:
Можете да напишете какви било броеви, а може да ги има онолку колку што сакате (во нашиот случај, ги има). Колку и да напишеме броеви, секогаш можеме да кажеме кој е прв, кој е втор и така до последниот, односно да ги нумерираме. Ова е пример за броена низа:
Редоследот на броевие збир на броеви, од кои на секој може да му се додели единствен број.
На пример, за нашата низа:
Доделениот број е специфичен за само еден број во низата. Со други зборови, нема три втори броеви во низата. Вториот број (како и ти број) е секогаш ист.
Бројот со бројот се нарекува n-ти член на низата.
Обично ја нарекуваме целата низа со некоја буква (на пример,), и секој член од оваа низа е иста буква со индекс еднаков на бројот на овој член: .
Во нашиот случај:
Најчестите типови на прогресија се аритметичка и геометриска. Во оваа тема ќе зборуваме за вториот тип - геометриска прогресија.
Зошто е потребна геометриска прогресија и нејзината историја?
Дури и во античко време, италијанскиот математичар монах Леонардо од Пиза (попознат како Фибоначи) се занимавал со практичните потреби на трговијата. Монахот се соочил со задача да одреди колкав е најмалиот број тегови со кои може да се измери производ? Во своите дела, Фибоначи докажува дека таков систем на тежини е оптимален: Ова е една од првите ситуации во кои луѓето мораа да се справат со геометриска прогресија, за која веројатно веќе сте слушнале и имате барем општо разбирање. Откако целосно ќе ја разберете темата, размислете зошто таков систем е оптимален?
Во моментов, во животната практика, геометриската прогресија се манифестира при инвестирање пари во банка, кога износот на каматата се акумулира на износот акумулиран на сметката за претходниот период. Со други зборови, ако ставите пари на орочен депозит во штедилница, тогаш по една година депозитот ќе се зголеми за првичниот износ, т.е. новиот износ ќе биде еднаков на придонесот помножен со. За уште една година оваа сума ќе се зголеми за, т.е. износот добиен во тоа време повторно ќе се помножи со и така натаму. Слична ситуација е опишана во проблемите на пресметување на т.н сложена камата- процентот се зема секој пат од износот што е на сметката, земајќи ја предвид претходната камата. Ќе зборуваме за овие задачи малку подоцна.
Има уште многу едноставни случаи каде што се применува геометриска прогресија. На пример, ширење на грип: едно лице заразило друго лице, тие, пак, заразиле друго лице, а со тоа вториот бран на инфекција е личност, а тие, пак, заразиле друг... и така натаму. .
Патем, финансиската пирамида, истата МММ, е едноставна и сува пресметка заснована на својствата на геометриска прогресија. Интересно? Ајде да го сфатиме.
Геометриска прогресија.
Да речеме дека имаме броена низа:
Веднаш ќе одговорите дека тоа е лесно и името на таквата низа е аритметичка прогресија со разликата на нејзините поими. Како за ова:
Ако го одземете претходниот број од следниот број, ќе видите дека секој пат кога добивате нова разлика (и така натаму), но низата дефинитивно постои и лесно се забележува - секој следен број е пати поголем од претходниот!
Овој тип на низа на броеви се нарекува геометриска прогресијаи е назначен.
Геометриската прогресија () е нумеричка низа, чиј прв член е различен од нула, а секој член, почнувајќи од вториот, е еднаков на претходниот, помножен со ист број. Овој број се нарекува именител на геометриска прогресија.
Ограничувањата дека првиот член ( ) не е еднаков и не се случајни. Да претпоставиме дека нема, а првиот член е сè уште еднаков, а q е еднаков на, хмм.. нека биде, тогаш излегува:
Согласете се дека ова повеќе не е прогресија.
Како што разбирате, ќе ги добиеме истите резултати ако има некој друг број освен нула, а. Во овие случаи, едноставно нема да има прогресија, бидејќи целата бројна серија ќе биде или сите нули, или еден број, а сите останати ќе бидат нули.
Сега да разговараме подетално за именителот на геометриската прогресија, односно о.
Да повториме: - ова е бројот колку пати се менува секој нареден поим?геометриска прогресија.
Што мислите, што би можело да биде? Така е, позитивно и негативно, но не и нула (за ова зборувавме малку повисоко).
Да претпоставиме дека нашето е позитивно. Нека во нашиот случај, а. Која е вредноста на вториот член и? Можете лесно да одговорите на тоа:
Тоа е точно. Според тоа, ако, тогаш сите последователни термини на прогресијата имаат ист знак - тие се позитивни.
Што ако е негативно? На пример, а. Која е вредноста на вториот член и?
Ова е сосема друга приказна
Обидете се да ги броите условите на оваа прогресија. Колку добивте? Имам. Така, ако, тогаш знаците на термините на геометриската прогресија се менуваат. Односно, ако видите прогресија со наизменични знаци за нејзините членови, тогаш нејзиниот именител е негативен. Ова знаење може да ви помогне да се тестирате кога решавате проблеми на оваа тема.
Сега да вежбаме малку: обидете се да одредите кои секвенци на броеви се геометриска прогресија, а кои аритметичка прогресија:
Разбрав? Ајде да ги споредиме нашите одговори:
- Геометриска прогресија - 3, 6.
- Аритметичка прогресија - 2, 4.
- Тоа не е ниту аритметичка ниту геометриска прогресија - 1, 5, 7.
Да се вратиме на нашата последна прогресија и да се обидеме да го најдеме нејзиниот член, исто како во аритметичката. Како што можеби претпоставувате, постојат два начини да го најдете.
Секој член последователно го множиме со.
Значи, тиот член на опишаната геометриска прогресија е еднаков на.
Како што веќе погодивте, сега вие самите ќе изведете формула која ќе ви помогне да најдете кој било член на геометриската прогресија. Или веќе сте го развиле за себе, опишувајќи како чекор по чекор да го најдете тиот член? Ако е така, тогаш проверете ја точноста на вашето размислување.
Дозволете ни да го илустрираме ова со примерот за наоѓање на тиот член на оваа прогресија:
Со други зборови:
Сами пронајдете ја вредноста на членот на дадената геометриска прогресија.
Се случи? Ајде да ги споредиме нашите одговори:
Имајте предвид дека го добивте точно истиот број како и во претходниот метод, кога последователно се множивме со секој претходен член на геометриската прогресија.
Ајде да се обидеме да ја „обезличиме“ оваа формула - да ја ставиме во општа форма и да добиеме:
Изведената формула е точна за сите вредности - и позитивни и негативни. Проверете го ова сами со пресметување на условите на геометриската прогресија со следните услови: , a.
Дали броевте? Ајде да ги споредиме резултатите:
Согласете се дека би било можно да се најде термин на прогресија на ист начин како термин, но постои можност за погрешно пресметување. И ако веќе го најдовме тиот член на геометриската прогресија, тогаш што може да биде поедноставно од користењето на „отсечениот“ дел од формулата.
Бесконечно намалена геометриска прогресија.
Во поново време, зборувавме за фактот дека може да биде или поголемо или помало од нула, сепак, постојат посебни вредности за кои геометриската прогресија се нарекува бескрајно се намалува.
Што мислите, зошто е дадено ова име?
Прво, да запишеме некоја геометриска прогресија која се состои од термини.
Да речеме, тогаш:
Гледаме дека секој нареден член е помал од претходниот за фактор, но дали ќе има некој број? Веднаш ќе одговорите - „не“. Затоа бескрајно се намалува - се намалува и се намалува, но никогаш не станува нула.
За јасно да разбереме како ова изгледа визуелно, ајде да се обидеме да нацртаме график на нашата прогресија. Значи, за нашиот случај, формулата ја има следната форма:
На графиконите сме навикнати да исцртуваме зависност од, затоа:
Суштината на изразот не е променета: во првиот запис ја покажавме зависноста на вредноста на член на геометриска прогресија од неговиот реден број, а во вториот запис едноставно ја земавме вредноста на член на геометриска прогресија како , и го означил редниот број не како, туку како. Сè што останува да се направи е да се изгради графикон.
Ајде да видиме што имаш. Еве го графикот до кој дојдов:
Дали гледате? Функцијата се намалува, се стреми кон нула, но никогаш не ја преминува, па бескрајно се намалува. Да ги означиме нашите точки на графиконот, а во исто време и што значи координатата и:
Обидете се шематски да прикажете график на геометриска прогресија ако нејзиниот прв член е исто така еднаков. Анализирајте која е разликата со нашиот претходен график?
Дали се снајде? Еве го графикот до кој дојдов:
Сега, кога целосно ги разбравте основите на темата за геометриска прогресија: знаете што е тоа, знаете како да го најдете неговиот термин, а исто така знаете што е бескрајно опаѓачка геометриска прогресија, да преминеме на нејзината главна особина.
Својство на геометриска прогресија.
Дали се сеќавате на својството на поимите на аритметичка прогресија? Да, да, како да се најде вредноста на одреден број на прогресија кога има претходни и последователни вредности на термините на оваа прогресија. Дали се сеќаваш? Ова:
Сега сме соочени со точно истото прашање за термините на геометриска прогресија. За да изведеме таква формула, да почнеме да цртаме и расудуваме. Ќе видите, тоа е многу лесно, а ако заборавите, можете сами да го извадите.
Да земеме уште една едноставна геометриска прогресија, во која знаеме и. Како да се најде? Со аритметичка прогресија е лесно и едноставно, но што е со овде? Всушност, нема ништо комплицирано ниту во геометрија - само треба да ја запишете секоја вредност што ни е дадена според формулата.
Можеби ќе прашате, што да правиме во врска со тоа сега? Да, многу едноставно. Прво, ајде да ги прикажеме овие формули на слика и да се обидеме да направиме разни манипулации со нив за да дојдеме до вредноста.
Да се апстрахираме од бројките што ни се дадени, да се фокусираме само на нивното изразување преку формулата. Треба да ја најдеме вредноста означена со портокалова боја, знаејќи ги термините во непосредна близина на неа. Ајде да се обидеме да извршиме разни дејства со нив, како резултат на што можеме да добиеме.
Додаток.
Ајде да се обидеме да додадеме два израза и ќе добиеме:
Од овој израз, како што можете да видите, не можеме да го изразиме на кој било начин, затоа, ќе се обидеме со друга опција - одземање.
Одземање.
Како што можете да видите, ние не можеме да го изразиме ниту ова, затоа, ајде да се обидеме да ги помножиме овие изрази еден со друг.
Множење.
Сега погледнете внимателно што имаме со множење на условите на геометриската прогресија што ни е дадена во споредба со она што треба да се најде:
Погодете за што зборувам? Точно, за да најдеме, треба да го земеме квадратниот корен од геометриските броеви на прогресија соседни до саканиот помножени еден со друг:
Еве ти. Вие самите го извлековте својството на геометриска прогресија. Обидете се да ја напишете оваа формула во општа форма. Се случи?
Го заборавивте условот за? Размислете зошто е важно, на пример, обидете се сами да го пресметате. Што ќе се случи во овој случај? Точно е, целосна глупост бидејќи формулата изгледа вака:
Според тоа, не заборавајте на ова ограничување.
Сега да пресметаме што е еднакво
Точен одговор - ! Ако не сте ја заборавиле втората можна вредност за време на пресметката, тогаш сте одлични и можете веднаш да преминете на тренинг, а ако сте заборавиле, прочитајте што се дискутира подолу и обрнете внимание зошто е неопходно да се запишат двата корени во одговорот.
Ајде да ги нацртаме двете наши геометриски прогресии - едната со вредност, а другата со вредност и да провериме дали и двете имаат право да постојат:
За да се провери дали таква геометриска прогресија постои или не, потребно е да се види дали сите нејзини дадени поими се исти? Пресметај q за првиот и вториот случај.
Видете зошто треба да напишеме два одговори? Бидејќи знакот на терминот што го барате зависи од тоа дали е позитивен или негативен! И бидејќи не знаеме што е тоа, треба да ги напишеме двата одговори со плус и минус.
Сега кога сте ги совладале главните точки и ја извлековте формулата за својството на геометриска прогресија, најдете, знаејќи и
Споредете ги вашите одговори со точните:
Што мислите, што ако ни беа дадени не вредностите на термините на геометриската прогресија во непосредна близина на саканиот број, туку на еднакво оддалечени од него. На пример, ние треба да најдеме, и дадено и. Можеме ли да ја искористиме формулата што ја изведовме во овој случај? Обидете се да ја потврдите или побиете оваа можност на ист начин, опишувајќи од што се состои секоја вредност, како што правевте кога првично ја изведовте формулата.
Што доби?
Сега повторно погледнете внимателно.
и соодветно:
Од ова можеме да заклучиме дека формулата функционира не само со соседнитесо саканите термини на геометриската прогресија, но и со на еднакво растојаниеод она што го бараат членовите.
Така, нашата почетна формула ја има формата:
Односно, ако во првиот случај го кажавме тоа, сега велиме дека може да биде еднаков на кој било природен број што е помал. Главната работа е што е исто и за двата дадени броеви.
Вежбајте со конкретни примери, само бидете исклучително внимателни!
- , . Најдете.
- , . Најдете.
- , . Најдете.
Одлучивте? Се надевам дека бевте исклучително внимателни и забележавте мал улов.
Ајде да ги споредиме резултатите.
Во првите два случаи, мирно ја применуваме горната формула и ги добиваме следните вредности:
Во третиот случај, по внимателно испитување на сериските броеви на броевите што ни се дадени, разбираме дека тие не се подеднакво оддалечени од бројот што го бараме: тој е претходниот број, но е отстранет на позиција, така што е не е можно да се примени формулата.
Како да се реши? Всушност, не е толку тешко како што изгледа! Дозволете ни да запишеме од што се состои секој број што ни е даден и бројот што го бараме.
Значи имаме и. Ајде да видиме што можеме да направиме со нив? Предлагам да се подели со. Добиваме:
Ние ги заменуваме нашите податоци во формулата:
Следниот чекор што можеме да го најдеме е - за ова треба да го земеме коцканиот корен од добиениот број.
Сега да погледнеме повторно што имаме. Го имаме, но треба да го најдеме, а тоа, пак, е еднакво на:
Ги најдовме сите потребни податоци за пресметката. Заменете во формулата:
Нашиот одговор: .
Обидете се сами да решите друг сличен проблем:
Дадено: ,
Најдете:
Колку добивте? Имам - .
Како што можете да видите, во суштина ви треба запомнете само една формула- . Сето останато можете сами да го повлечете без никакви тешкотии во секое време. За да го направите ова, едноставно напишете ја наједноставната геометриска прогресија на парче хартија и запишете на што е еднаков секој негов број, според формулата опишана погоре.
Збирот на членовите на геометриската прогресија.
Сега да ги погледнеме формулите што ни овозможуваат брзо да го пресметаме збирот на членовите на геометриската прогресија во даден интервал:
За да се изведе формулата за збир на членови на конечна геометриска прогресија, помножете ги сите делови од горната равенка со. Добиваме:
Погледнете внимателно: што имаат заедничко последните две формули? Така е, заеднички членови, на пример, и така натаму, освен првиот и последниот член. Ајде да се обидеме да го одземеме 1-то од 2-та равенка. Што доби?
Сега изразете го терминот на геометриската прогресија преку формулата и заменете го добиениот израз во нашата последна формула:
Групирај го изразот. Треба да добиете:
Сè што останува да се направи е да се изрази:
Според тоа, во овој случај.
Што ако? Која формула функционира тогаш? Замислете геометриска прогресија на. Како изгледа таа? Серија идентични броеви е точна, па формулата ќе изгледа вака:
Постојат многу легенди и за аритметичката и за геометриската прогресија. Една од нив е легендата на Сет, креаторот на шахот.
Многу луѓе знаат дека играта шах е измислена во Индија. Кога хинду кралот ја сретнал, бил воодушевен од нејзината духовитост и разновидноста на можните пози во неа. Откако дознал дека е измислен од еден од неговите поданици, кралот решил лично да го награди. Го повикал пронаоѓачот кај себе и му наредил да побара од него сè што ќе посака, ветувајќи дека ќе ја исполни и највештата желба.
Сета побара време да размисли, а кога следниот ден Сета се појави пред кралот, тој го изненади кралот со невидената скромност на неговото барање. Тој побара да даде зрно пченица за првиот квадрат на шаховската табла, зрно пченица за вториот, зрно пченица за третото, четвртото итн.
Царот се налутил и го избркал Сет, велејќи дека барањето на слугата е недостојно за дарежливоста на кралот, но ветил дека слугата ќе ги добие своите зрна за сите квадрати на таблата.
И сега прашањето: користејќи ја формулата за збир на членовите на геометриска прогресија, пресметајте колку зрна треба да добие Сет?
Да почнеме да расудуваме. Бидејќи, според условот, Сет побарал зрно пченица за првиот квадрат на шаховската табла, за вториот, за третиот, за четвртиот итн., тогаш гледаме дека проблемот е околу геометриска прогресија. Што значи во овој случај?
Во право.
Вкупни квадрати на шаховската табла. Соодветно,. Ги имаме сите податоци, останува само да ги вклучиме во формулата и да пресметаме.
За да ја замислиме барем приближно „скалата“ на даден број, ние трансформираме користејќи ги својствата на степенот:
Се разбира, ако сакате, можете да земете калкулатор и да пресметате со кој број ќе завршите, а ако не, ќе мора да ми го прифатите зборот: конечната вредност на изразот ќе биде.
Тоа е:
квинтилиони квадрилиони трилиони милијарди милиони илјади.
Пју) Ако сакате да ја замислите огромната бројка, тогаш проценете колку голема штала ќе биде потребна за да се смести целата количина на жито.
Ако шталата е висока m и широка m, нејзината должина би требало да се протега за km, т.е. двапати подалеку од Земјата до Сонцето.
Ако кралот беше силен во математиката, можеше да го покани самиот научник да ги изброи зрната, бидејќи за да изброи милион зрна, ќе му требаше барем еден ден неуморно броење, а со оглед на тоа дека е неопходно да се избројат квинтилиони, зрната ќе треба да се брои во текот на неговиот живот.
Сега да решиме едноставен проблем кој вклучува збир на членови на геометриска прогресија.
Ученик од класа 5А Васија се разболе од грип, но продолжува да оди на училиште. Секој ден Васија заразува две лица, кои, пак, заразуваат уште две лица итн. Во класот има само луѓе. За колку дена цело одделение ќе биде болно од грип?
Значи, првиот термин на геометриската прогресија е Васија, односно личност. Третиот термин на геометриската прогресија се двете лица што ги заразил на првиот ден од неговото пристигнување. Вкупниот збир на членовите за прогресија е еднаков на бројот на ученици од 5А. Според тоа, зборуваме за прогресија во која:
Да ги замениме нашите податоци во формулата за збирот на членовите на геометриската прогресија:
Целото одделение ќе се разболи за неколку дена. Не верувате во формули и бројки? Обидете се сами да ја прикажете „инфекцијата“ на учениците. Се случи? Погледнете како ми изгледа:
Пресметајте сами колку дена ќе им требаат на учениците да се разболат од грип ако секој зарази по едно лице, а во класот има само еден човек.
Која вредност ја добивте? Се испостави дека сите почнаа да се разболуваат по еден ден.
Како што можете да видите, таквата задача и цртежот за неа личат на пирамида, во која секоја наредна „донесува“ нови луѓе. Сепак, порано или подоцна доаѓа момент кога второто не може да привлече никого. Во нашиот случај, ако замислиме дека класата е изолирана, лицето од го затвора синџирот (). Така, ако некое лице беше вклучено во финансиска пирамида во која беа дадени пари ако донесете двајца други учесници, тогаш лицето (или воопшто) не би донело никого, соодветно, би изгубило сè што инвестирало во оваа финансиска измама.
Сè што беше кажано погоре се однесува на опаѓачка или зголемена геометриска прогресија, но, како што се сеќавате, имаме посебен тип - бескрајно опаѓачка геометриска прогресија. Како да се пресмета збирот на неговите членови? И зошто овој тип на прогресија има одредени карактеристики? Ајде да го сфатиме заедно.
Значи, прво, да го погледнеме повторно овој цртеж на бескрајно опаѓачка геометриска прогресија од нашиот пример:
Сега да ја погледнеме формулата за збир на геометриска прогресија, изведена малку порано:
или
Кон што се стремиме? Така е, графикот покажува дека има тенденција на нула. Тоа е, во, ќе биде речиси еднакво, соодветно, при пресметување на изразот ќе го добиеме речиси. Во овој поглед, веруваме дека при пресметување на збирот на бесконечно опаѓачка геометриска прогресија, оваа заграда може да се занемари, бидејќи ќе биде еднаква.
- формулата е збир од членовите на бесконечно опаѓачка геометриска прогресија.
ВАЖНО!Ја користиме формулата за збир на членови на бесконечно опаѓачка геометриска прогресија само ако условот експлицитно вели дека треба да го најдеме збирот бесконечнаброј на членови.
Ако е наведен одреден број n, тогаш ја користиме формулата за збир од n членови, дури и ако или.
Сега ајде да вежбаме.
- Најдете го збирот на првите членови на геометриската прогресија со и.
- Најдете го збирот на членовите на бесконечно опаѓачка геометриска прогресија со и.
Се надевам дека бевте исклучително внимателни. Ајде да ги споредиме нашите одговори:
Сега знаете сè за геометриската прогресија и време е да преминете од теорија во пракса. Најчестите проблеми со геометриската прогресија што се среќаваат на испитот се проблемите со пресметување на сложената камата. Ова се оние за кои ќе зборуваме.
Проблеми при пресметување сложена камата.
Веројатно сте слушнале за таканаречената формула за сложена камата. Дали разбирате што значи тоа? Ако не, ајде да го сфатиме, бидејќи штом ќе го разберете самиот процес, веднаш ќе разберете каква врска има геометриската прогресија со него.
Сите одиме во банка и знаеме дека има различни услови за депозити: тука спаѓаат рокот, дополнителните услуги и каматата со два различни начини на пресметување - едноставни и сложени.
СО едноставен интерессè е повеќе или помалку јасно: каматата се акумулира еднаш на крајот на рокот на депозитот. Тоа е, ако кажеме дека депонираме 100 рубли за една година, тогаш тие ќе бидат кредитирани само на крајот на годината. Соодветно на тоа, до крајот на депозитот ќе добиеме рубли.
Сложена камата- ова е опција во која се јавува каматна капитализација, т.е. нивно додавање на износот на депозитот и последователна пресметка на приходот не од првичниот, туку од акумулираниот износ на депозит. Капитализацијата не се случува постојано, туку со одредена фреквенција. По правило, таквите периоди се еднакви и најчесто банките користат месец, квартал или година.
Да претпоставиме дека ги депонираме истите рубли годишно, но со месечна капитализација на депозитот. Што правиме?
Дали разбираш сè овде? Ако не, ајде да го сфатиме чекор по чекор.
Донесовме рубли во банката. До крајот на месецот, треба да имаме износ на нашата сметка што се состои од нашите рубли плус камата на нив, односно:
Се согласувате?
Можеме да го извадиме од загради и потоа да добиеме:
Се согласувам, оваа формула е веќе повеќе слична на она што го напишавме на почетокот. Останува само да ги дознаеме процентите
Во изјавата за проблемот ни се кажува за годишните стапки. Како што знаете, ние не се множиме со - ние ги претвораме процентите во децимални фракции, односно:
нели? Сега може да прашате, од каде е бројот? Многу едноставно!
Повторувам: изјавата за проблемот вели за ГОДИШЕНкаматата што се акумулира МЕСЕЧЕН. Како што знаете, за една година од месеци, соодветно, банката ќе ни наплати дел од годишната камата месечно:
Го реализираше тоа? Сега обидете се да напишете како би изгледал овој дел од формулата ако кажам дека каматата се пресметува дневно.
Дали се снајде? Ајде да ги споредиме резултатите:
Добро сторено! Да се вратиме на нашата задача: напишете колку ќе се кредитираат на нашата сметка во вториот месец, имајќи предвид дека каматата се акумулира на акумулираниот износ на депозит.
Еве што добив:
Или, со други зборови:
Мислам дека веќе забележавте шема и видовте геометриска прогресија во сето ова. Напишете со што ќе биде еднаков неговиот член или, со други зборови, колкава сума на пари ќе добиеме на крајот на месецот.
Правеше? Ајде да провериме!
Како што можете да видите, ако ставите пари во банка една година со едноставна каматна стапка, ќе добиете рубљи, а ако со сложена камата, ќе добиете рубли. Придобивката е мала, но тоа се случува само во текот на годината, но за подолг период капитализацијата е многу попрофитабилна:
Ајде да погледнеме друг тип на проблем кој вклучува сложена камата. После тоа што сте го смислиле, ќе ви биде елементарно. Значи, задачата:
Компанијата Звезда почна да инвестира во индустријата во 2000 година, со капитал во долари. Секоја година од 2001 година добива добивка која е еднаква на капиталот од претходната година. Колкава добивка ќе добие компанијата Звезда на крајот на 2003 година доколку не се повлече добивката од оптек?
Капитал на компанијата Звезда во 2000 година.
- капитал на компанијата Звезда во 2001 година.
- капитал на компанијата Звезда во 2002 година.
- капитал на компанијата Звезда во 2003 година.
Или можеме накратко да напишеме:
За нашиот случај:
2000, 2001, 2002 и 2003 година.
Соодветно:
рубли
Имајте предвид дека во овој проблем немаме поделба ниту со ниту со, бидејќи процентот се дава ГОДИШНО и се пресметува ГОДИШНО. Односно, кога читате проблем за сложена камата, внимавајте колкав процент е даден и во кој период се пресметува, па дури потоа преминете на пресметки.
Сега знаете сè за геометриската прогресија.
Обука.
- Најдете го членот на геометриската прогресија ако се знае дека, и
- Најдете го збирот на првите членови на геометриската прогресија ако се знае дека, и
- Компанијата МДМ Капитал започна да инвестира во индустријата во 2003 година, со капитал во долари. Секоја година од 2004 година добива добивка која е еднаква на капиталот од претходната година. Компанијата MSK Cash Flows почна да инвестира во индустријата во 2005 година во износ од 10.000 долари, почнувајќи да остварува профит во 2006 година во износ од. За колку долари е поголем капиталот на едната компанија од другата на крајот на 2007 година, доколку добивката не се повлече од оптек?
Одговори:
- Бидејќи изјавата за проблемот не вели дека прогресијата е бесконечна и дека е потребно да се најде збирот на одреден број од неговите членови, пресметката се врши според формулата:
МДМ Капитална компанија:2003, 2004, 2005, 2006, 2007 година.
- се зголемува за 100%, односно 2 пати.
Соодветно:
рубли
Компанија MSK Cash Flows:2005, 2006, 2007 година.
- се зголемува за, односно по пати.
Соодветно:
рубли
рубли
Да резимираме.
1) Геометриска прогресија ( ) е нумеричка низа, чиј прв член е различен од нула, а секој член, почнувајќи од вториот, е еднаков на претходниот, помножен со ист број. Овој број се нарекува именител на геометриска прогресија.
2) Равенката на членовите на геометриската прогресија е .
3) може да земе какви било вредности освен и.
- ако, тогаш сите наредни термини на прогресијата имаат ист знак - тие се позитивни;
- ако, тогаш сите наредни услови на прогресијата алтернативни знаци;
- кога - прогресијата се нарекува бесконечно опаѓачка.
4) , со - својство на геометриска прогресија (соседни поими)
или
, на (еднакво растојание)
Кога ќе го најдете, не заборавајте го тоа треба да има два одговори.
На пример,
5) Збирот на членовите на геометриската прогресија се пресметува со формулата:
или
Ако прогресијата бесконечно се намалува, тогаш:
или
ВАЖНО!Ја користиме формулата за збир на членови на бесконечно опаѓачка геометриска прогресија само ако условот експлицитно вели дека треба да го најдеме збирот на бесконечен број членови.
6) Проблемите на сложената камата се пресметуваат и со формулата на тиот член на геометриска прогресија, под услов средствата да не се повлечени од оптек:
ГЕОМЕТРИСКА ПРОГРЕСИЈА. НАКРАТКО ЗА ГЛАВНИТЕ РАБОТИ
Геометриска прогресија( ) е нумеричка низа, чиј прв член е различен од нула, а секој член, почнувајќи од вториот, е еднаков на претходниот, помножен со ист број. Овој број се нарекува именителот на геометриска прогресија.
Именител на геометриска прогресијаможе да земе било која вредност освен и.
- Ако, тогаш сите последователни термини на прогресијата имаат ист знак - тие се позитивни;
- ако, тогаш сите наредни членови на прогресијата алтернативни знаци;
- кога - прогресијата се нарекува бесконечно опаѓачка.
Равенка на термини на геометриска прогресија - .
Збир на членови на геометриска прогресијапресметано со формулата:
или
Инструкции
10, 30, 90, 270...
Треба да го пронајдете именителот на геометриската прогресија.
Решение:
Опција 1. Да земеме произволен член на прогресијата (на пример, 90) и да го поделиме со претходниот (30): 90/30=3.
Ако е познат збирот на неколку членови на геометриска прогресија или збирот на сите членови на опаѓачката геометриска прогресија, тогаш за да го пронајдете именителот на прогресијата, користете ги соодветните формули:
Sn = b1*(1-q^n)/(1-q), каде што Sn е збир од првите n членови од геометриската прогресија и
S = b1/(1-q), каде што S е збир на бесконечно опаѓачка геометриска прогресија (збирот на сите членови на прогресијата со именител помал од еден).
Пример.
Првиот член на опаѓачката геометриска прогресија е еднаков на еден, а збирот на сите негови членови е еднаков на два.
Потребно е да се одреди именителот на оваа прогресија.
Решение:
Заменете ги податоците од проблемот во формулата. Ќе испадне:
2=1/(1-q), од каде – q=1/2.
Прогресијата е низа од броеви. Во геометриска прогресија, секој следен член се добива со множење на претходниот со одреден број q, наречен именител на прогресијата.
Инструкции
Ако се познати два соседни геометриски члена b(n+1) и b(n), за да се добие именителот, треба да се подели бројот со поголемиот со оној што му претходи: q=b(n+1)/b (n). Ова произлегува од дефиницијата за прогресија и нејзиниот именител. Важен услов е првиот член и именителот на прогресијата да не се еднакви на нула, во спротивно се смета за недефиниран.
Така, меѓу поимите на прогресијата се воспоставуваат следните врски: b2=b1 q, b3=b2 q, ... , b(n)=b(n-1) q. Со помош на формулата b(n)=b1 q^(n-1), може да се пресмета кој било член од геометриската прогресија во која се познати именителот q и членот b1. Исто така, секоја од прогресиите е еднаква по модул на просекот на нејзините соседни членови: |b(n)|=√, каде што прогресијата го доби својот .
Аналог на геометриска прогресија е наједноставната експоненцијална функција y=a^x, каде што x е експонент, а е одреден број. Во овој случај, именителот на прогресијата се совпаѓа со првиот член и е еднаков на бројот a. Вредноста на функцијата y може да се разбере како n-ти член на прогресијата ако аргументот x се земе како природен број n (бројач).
>>Математика: Геометриска прогресија
За погодност на читателот, овој став е конструиран токму според истиот план што го следевме во претходниот став.
1. Основни поими.
Дефиниција.Нумеричка низа, чии сите членови се различни од 0 и чиј секој член, почнувајќи од вториот, се добива од претходниот член со множење со истиот број, се нарекува геометриска прогресија. Во овој случај, бројот 5 се нарекува именител на геометриска прогресија.
Така, геометриска прогресија е нумеричка низа (b n) дефинирана повторливо со релациите
Дали е можно да се погледне низа од броеви и да се утврди дали е геометриска прогресија? Може. Ако сте убедени дека односот на кој било член од низата со претходниот член е константен, тогаш имате геометриска прогресија.
Пример 1.
1, 3, 9, 27, 81,... .
b 1 = 1, q = 3.
Пример 2.
Ова е геометриска прогресија што има
Пример 3.
Ова е геометриска прогресија што има
Пример 4.
8, 8, 8, 8, 8, 8,....
Ова е геометриска прогресија во која b 1 - 8, q = 1.
Забележете дека оваа низа е исто така аритметичка прогресија (види пример 3 од § 15).
Пример 5.
2,-2,2,-2,2,-2.....
Ова е геометриска прогресија во која b 1 = 2, q = -1.
Очигледно, геометриската прогресија е растечка низа ако b 1 > 0, q > 1 (види пример 1), и опаѓачка низа ако b 1 > 0, 0< q < 1 (см. пример 2).
За да се покаже дека низата (b n) е геометриска прогресија, понекогаш е погодна следната нотација:
Иконата ја заменува фразата „геометриска прогресија“.
Да забележиме едно љубопитно и во исто време сосема очигледно својство на геометриската прогресија:
Ако низата 
е геометриска прогресија, потоа низата квадрати, т.е. 
е геометриска прогресија.
Во втората геометриска прогресија, првиот член е еднаков и еднаков на q 2.
Ако во геометриска прогресија ги отфрлиме сите поими по b n , добиваме конечна геометриска прогресија 
Во понатамошните параграфи од овој дел ќе ги разгледаме најважните својства на геометриската прогресија.
2. Формула за n-ти член на геометриска прогресија.
Размислете за геометриска прогресија 
именителот q. Ние имаме:
Не е тешко да се погоди дека за кој било број n еднаквоста е точно
Ова е формулата за n-ти член на геометриска прогресија.
Коментар.
Ако сте ја прочитале важната забелешка од претходниот пасус и сте ја разбрале, тогаш обидете се да ја докажете формулата (1) користејќи го методот на математичка индукција, исто како што беше направено за формулата за n-ти член на аритметичка прогресија.
Да ја преработиме формулата за n-тиот член од геометриската прогресија
и воведете ја ознаката: Добиваме y = mq 2, или, подетално, 
Аргументот x е содржан во експонентот, па оваа функција се нарекува експоненцијална функција. Ова значи дека геометриската прогресија може да се смета како експоненцијална функција дефинирана на множеството N од природни броеви. На сл. 96а е прикажан графикот на функцијата Сл. 966 - графикон на функција 
Во двата случаи, имаме изолирани точки (со апсциси x = 1, x = 2, x = 3, итн.) кои лежат на одредена крива (двете слики ја покажуваат истата крива, само различно лоцирани и прикажани во различни размери). Оваа крива се нарекува експоненцијална крива. Повеќе детали за експоненцијалната функција и нејзиниот график ќе бидат разгледани во курсот за алгебра за 11-то одделение.
Да се вратиме на примерите 1-5 од претходниот пасус.
1) 1, 3, 9, 27, 81,... . Ова е геометриска прогресија за која b 1 = 1, q = 3. Да ја создадеме формулата за n-тиот член 
2) 
Ова е геометриска прогресија за која Ајде да создадеме формула за n-тиот член 
Ова е геометриска прогресија што има 
Ајде да ја создадеме формулата за n-тиот член 
4) 8, 8, 8, ..., 8, ... . Ова е геометриска прогресија за која b 1 = 8, q = 1. Да ја создадеме формулата за n-тиот член 
5) 2, -2, 2, -2, 2, -2,.... Ова е геометриска прогресија во која b 1 = 2, q = -1. Ајде да ја создадеме формулата за n-тиот член 
Пример 6.
Дадена е геометриска прогресија
Во сите случаи, решението се заснова на формулата на n-тиот член на геометриската прогресија
а) Ставајќи n = 6 во формулата за n-тиот член од геометриската прогресија, добиваме
б) Имаме
Бидејќи 512 = 2 9, добиваме n - 1 = 9, n = 10.
г) Имаме
Пример 7.
Разликата помеѓу седмиот и петтиот член на геометриската прогресија е 48, збирот на петтиот и шестиот член на прогресијата е исто така 48. Најдете го дванаесеттиот член од оваа прогресија.
Прва фаза.Изработка на математички модел.
Условите на проблемот може накратко да се напишат на следниов начин:
Користејќи ја формулата за n-ти член на геометриска прогресија, добиваме:
Тогаш вториот услов на проблемот (b 7 - b 5 = 48) може да се запише како
Третиот услов на задачата (b 5 + b 6 = 48) може да се запише како
Како резултат на тоа, добиваме систем од две равенки со две променливи b 1 и q:
кој во комбинација со условот 1) напишан погоре, претставува математички модел на проблемот.
Втора фаза.
Работа со составениот модел. Изедначувајќи ги левите страни на двете равенки на системот, добиваме:
(двете страни на равенката ги поделивме со ненултиот израз b 1 q 4).
Од равенката q 2 - q - 2 = 0 наоѓаме q 1 = 2, q 2 = -1. Заменувајќи ја вредноста q = 2 во втората равенка на системот, добиваме 
Заменувајќи ја вредноста q = -1 во втората равенка на системот, добиваме b 1 1 0 = 48; оваа равенка нема решенија.
Значи, b 1 =1, q = 2 - овој пар е решение за составениот систем на равенки.
Сега можеме да ја запишеме геометриската прогресија за која ние зборуваме заво задачата: 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... .
Трета фаза.
Одговор на проблематичното прашање. Треба да пресметате b 12. Ние имаме
Одговор: b 12 = 2048.
3. Формула за збир на членови на конечна геометриска прогресија.
Нека е дадена конечна геометриска прогресија
Да го означиме со S n збирот на неговите членови, т.е.
Дозволете ни да изведеме формула за наоѓање на оваа сума.
Да почнеме со наједноставниот случај, кога q = 1. Тогаш геометриската прогресија b 1 , b 2 , b 3 ,..., bn се состои од n броеви еднакви на b 1 , т.е. прогресијата изгледа како b 1, b 2, b 3, ..., b 4. Збирот на овие броеви е nb 1.
Нека сега q = 1 За да го најдеме S n, применуваме вештачка техника: вршиме некои трансформации на изразот S n q. Ние имаме:
При извршувањето на трансформациите, прво, ја користевме дефиницијата за геометриска прогресија, според која (види трета линија на расудување); второ, собирале и одземале, поради што значењето на изразот, се разбира, не се променило (види четврти ред на расудување); трето, ја користевме формулата за n-ти член на геометриска прогресија:
Од формулата (1) наоѓаме:
Ова е формулата за збир од n членови на геометриска прогресија (за случајот кога q = 1).
Пример 8.
Дадена е конечна геометриска прогресија
а) збирот на условите на прогресијата; б) збирот на квадратите на неговите членови.
б) Погоре (види стр. 132) веќе забележавме дека ако сите членови на геометриска прогресија се на квадрат, тогаш добиваме геометриска прогресија со првиот член b 2 и именителот q 2. Тогаш збирот на шесте члена на новата прогресија ќе се пресмета со
Пример 9.
Најди го 8 член од геометриската прогресија за која
Всушност, ја докажавме следнава теорема.
Нумеричка низа е геометриска прогресија ако и само ако квадратот на секој од неговите членови, освен првата теорема (и последната, во случај на конечна низа), е еднаков на производот од претходните и следните членови ( карактеристично својство на геометриска прогресија).
Математиката е штолуѓето ја контролираат природата и себеси.
Советскиот математичар, академик А.Н. Колмогоров
Геометриска прогресија.
Заедно со проблемите за аритметички прогресии, проблемите поврзани со концептот на геометриска прогресија се исто така вообичаени при приемните испити по математика. За успешно решавање на ваквите проблеми, треба да ги знаете својствата на геометриските прогресии и да имате добри вештини за нивно користење.
Оваа статија е посветена на презентација на основните својства на геометриската прогресија. Овде се дадени и примери за решавање на типични проблеми., позајмено од задачите на приемните испити по математика.
Прво да ги забележиме основните својства на геометриската прогресија и да се потсетиме на најважните формули и искази, поврзани со овој концепт.
Дефиниција.Бројната низа се нарекува геометриска прогресија ако секој број, почнувајќи од вториот, е еднаков на претходниот, помножен со истиот број. Бројот се нарекува именител на геометриска прогресија.
За геометриска прогресијаформулите се валидни
, (1)
Каде. Формулата (1) се нарекува формула на општиот член на геометриската прогресија, а формулата (2) го претставува главното својство на геометриската прогресија: секој член од прогресијата се совпаѓа со геометриската средина на нејзините соседни членови и .
Забелешка, дека токму поради ова својство предметната прогресија се нарекува „геометриска“.
Горенаведените формули (1) и (2) се генерализирани на следниов начин:
, (3)
За да се пресмета износотпрво членови на геометриска прогресијасе применува формулата
Ако означиме, тогаш
Каде. Бидејќи , формулата (6) е генерализација на формулата (5).
Во случај кога и геометриска прогресијабескрајно се намалува. За да се пресмета износотод сите термини на бесконечно опаѓачка геометриска прогресија, се користи формулата
. (7)
На пример, со помош на формулата (7) можеме да покажеме, Што
Каде. Овие еднаквости се добиени од формулата (7) под услов , (прва еднаквост) и , (втора еднаквост).
Теорема.Ако тогаш
Доказ. Ако тогаш
Теоремата е докажана.
Ајде да продолжиме да разгледуваме примери за решавање проблеми на тема „Геометриска прогресија“.
Пример 1.Дадени: , и . Најдете .
Решение.Ако ја примениме формулата (5), тогаш
Одговор:.
Пример 2.Нека биде. Најдете .
Решение.Бидејќи и , ги користиме формулите (5), (6) и добиваме систем од равенки
Ако втората равенка на системот (9) се подели со првата, тогаш или. Од ова произлегува дека . Да разгледаме два случаи.
1. Ако, тогаш од првата равенка на системот (9) имаме.
2. Ако , тогаш .
Пример 3.Нека, и. Најдете .
Решение.Од формулата (2) следува дека или . Оттогаш или .
По услов. Меѓутоа, затоа. Бидејќи и тогаш тука имаме систем на равенки
Ако втората равенка на системот се подели со првата, тогаш или .
Бидејќи, равенката има единствен соодветен корен. Во овој случај, тоа произлегува од првата равенка на системот.
Земајќи ја предвид формулата (7), добиваме.
Одговор:.
Пример 4.Дадени: и . Најдете .
Решение.Од тогаш.
Оттогаш или
Според формулата (2) имаме . Во овој поглед, од еднаквоста (10) добиваме или .
Меѓутоа, според условот.
Пример 5.Познато е дека. Најдете .
Решение. Според теоремата, имаме две еднаквости
Оттогаш или . Затоа што тогаш.
Одговор:.
Пример 6.Дадени: и . Најдете .
Решение.Земајќи ја предвид формулата (5), добиваме
Од тогаш. Од , и , тогаш .
Пример 7.Нека биде. Најдете .
Решение.Според формулата (1) можеме да пишуваме
Затоа, имаме или . Познато е дека и , затоа и .
Одговор:.
Пример 8.Најдете го именителот на бесконечна опаѓачка геометриска прогресија ако
И .
Решение. Од формулата (7) следуваИ . Од тука и од условите на задачата добиваме систем на равенки
Ако првата равенка на системот е квадрат, а потоа добиената равенка поделете ја со втората равенка, тогаш добиваме
Или .
Одговор:.
Пример 9.Најдете ги сите вредности за кои низата , , е геометриска прогресија.
Решение.Нека, и. Според формулата (2), која го дефинира главното својство на геометриската прогресија, можеме да напишеме или .
Од тука ја добиваме квадратната равенка, чии корени сеИ .
Ајде да провериме: ако, потоа и ; ако , тогаш и .
Во првиот случај имамеи , а во вториот – и .
Одговор: ,.
Пример 10.Решете ја равенката
, (11)
каде и.
Решение. Левата страна на равенката (11) е збир на бесконечна опаѓачка геометриска прогресија, во која и , предмет на: и .
Од формулата (7) следува, Што . Во овој поглед, равенката (11) има формаили . Погоден корен квадратна равенка е
Одговор:.
Пример 11.П низа од позитивни броевиформира аритметичка прогресија, А - геометриска прогресија, каква врска има тоа. Најдете .
Решение.Бидејќи аритметичка низа, Тоа (главното својство на аритметичката прогресија). Затоа што, тогаш или. Ова имплицира, дека геометриската прогресија има форма. Според формулата (2), потоа го запишуваме тоа .
Оттогаш и тогаш . Во овој случај, изразотзема форма или . По услов, па од равенка.добиваме единствено решение за проблемот што се разгледува, т.е. .
Одговор:.
Пример 12.Пресметај Збир
. (12)
Решение. Помножете ги двете страни на еднаквоста (12) со 5 и добијте
Ако го одземеме (12) од добиениот израз, Тоа
или .
За да пресметаме, ги заменуваме вредностите во формулата (7) и добиваме . Од тогаш.
Одговор:.
Примерите за решавање проблеми дадени овде ќе бидат корисни за апликантите кога се подготвуваат за приемните испити. За подлабоко проучување на методите за решавање проблеми, поврзани со геометриска прогресија, Можете да користите упатства од списокот со препорачана литература.
1. Збирка задачи по математика за кандидати на колеџи / Ед. М.И. Сканави. – М.: Мир и образованието, 2013. – 608 стр.
2. Супрун В.П. Математика за средношколци: дополнителни делови од училишната програма. – М.: Ленанд / УРСС, 2014. – 216 стр.
3. Медински М.М. Комплетен курс по елементарна математика во задачи и вежби. Книга 2: Секвенци на броеви и прогресии. – М.: Едитус, 2015. – 208 стр.
Сè уште имате прашања?
За да добиете помош од учител, регистрирајте се.
веб-страница, при копирање на материјал во целост или делумно, потребна е врска до изворот.
Се вчитува...
