Правилната триаголна пирамида има нумерирани лица. Геометриски фигури. Пирамида

Инструкции

Во случај дека во основата пирамидилежи квадрат, позната е должината на неговата дијагонала, како и должината на работ на ова пирамиди, Тоа висинаова пирамидиможе да се изрази од Питагоровата теорема, бидејќи триаголник формиран од раб пирамиди, а половина од дијагоналата во основата е правоаголен триаголник.
Питагоровата теорема вели дека квадратот на хипотенузата во правоаголен триаголник е еднаков по големина на збирот на квадратите на неговите катети (a² = b² + c²). Работ пирамиди- хипотенуза, еден од катетите е половина од дијагоналата на квадратот. Тогаш должината на непознатата нога (висина) се наоѓа со помош на формулите:
b² = a² - c²;
c² = a² - b².

За да ги направите двете ситуации што е можно појасни и разбирливи, можете да размислите за еден пар.
Пример 1: Основна површина пирамиди 46 cm², неговиот волумен е 120 cm³. Врз основа на овие податоци, висината пирамидисе наоѓа вака:
h = 3 * 120/46 = 7,83 см
Одговор: висината на ова пирамидиќе биде приближно 7,83 см
Пример 2: У пирамиди, во чија основа лежи многуаголник - квадрат, неговата дијагонала е 14 cm, должината на работ е 15 cm Според овие податоци, да се најде висина пирамиди, треба да ја користите следнава формула (која е последица на Питагоровата теорема):
h² = 15² - 14²
h² = 225 - 196 = 29
h = √29 cm
Одговор: висината на ова пирамидие √29 cm или приближно 5,4 cm

Забелешка

Ако во основата на пирамидата има квадрат или друг правилен многуаголник, тогаш оваа пирамида може да се нарече правилна. Таквата пирамида има голем број својства:
неговите странични ребра се еднакви;
неговите лица се рамнокрак триаголници кои се еднакви еден на друг;
околу таква пирамида може да се опише сфера, а исто така да се впише.

Извори:

• Правилна пирамида

Пирамида е фигура чија основа е многуаголник, а нејзините лица се триаголници со заедничко теме за сите. Во типични проблеми, често е неопходно да се конструира и определи должината на нормалната извлечена од теме пирамидидо рамнината на неговата основа. Должината на овој сегмент се нарекува висина пирамиди.

Ќе ви треба

• - владетел
• - молив
• - компас

Инструкции

За да завршите, изградете пирамида во согласност со условите на задачата. На пример, за да изградите редовен тетраедар, треба да нацртате фигура така што сите 6 рабови се еднакви еден на друг. Ако треба да изградите висиначетириаголна, тогаш само 4 рабови на основата треба да бидат еднакви. Потоа можете да ги изградите рабовите на страничните лица нееднакви со рабовите на многуаголникот. Именувајте ја пирамидата, означувајќи ги сите темиња со латински букви. На пример, за пирамидисо триаголник во основата можете да изберете A, B, C (за основата), S (за врвот). Ако условот одредува специфични димензии на ребрата, тогаш кога ја конструирате фигурата, продолжете од овие вредности.

За почеток, условно изберете, користејќи компас, тангента од внатре до сите рабови на многуаголникот. Ако е пирамида, тогаш точката (наречете ја, на пример, H) на основата пирамиди, во кој висината се спушта, мора да одговара на центарот на кругот впишан во правилната основа пирамиди. Центарот ќе одговара на точка на еднакво растојание од која било друга точка на кругот. Ако го поврзете темето пирамиди S со центар на кругот H, тогаш отсечката SH ќе биде висина пирамиди. Запомнете дека кругот може да биде впишан во четириаголник чии спротивни страни имаат ист збир. Ова се однесува на квадрат и ромб. Во овој случај, точката H ќе лежи на четириаголникот. За секој триаголник може да се впише и опише круг.

Да изгради висина пирамиди, користете компас за да нацртате круг, а потоа користете линијар за да го поврзете неговиот центар H со темето S. SH е саканата висина. Ако во основата пирамиди SABC е неправилна фигура, тогаш висината ќе го поврзе темето пирамидисо центарот на кругот во кој е впишан основниот многуаголник. Сите темиња на многуаголникот лежат на таков круг. Во овој случај, овој сегмент ќе биде нормален на рамнината на основата пирамиди. Можете да опишете круг околу четириаголник ако збирот на спротивните агли е 180°. Тогаш центарот на таков круг ќе лежи на пресекот на дијагоналите на соодветните

Хипотеза:ние веруваме дека совршенството на обликот на пирамидата се должи на математичките закони својствени за нејзината форма.

Цел:Откако ја проучувавте пирамидата како геометриско тело, објаснете го совршенството на нејзината форма.

Задачи:

1. Дајте математичка дефиниција за пирамида.

2. Проучи ја пирамидата како геометриско тело.

3. Разберете какво математичко знаење го вградиле Египќаните во нивните пирамиди.

Приватни прашања:

1. Што е пирамида како геометриско тело?

2. Како може да се објасни уникатната форма на пирамидата од математичка гледна точка?

3. Што ги објаснува геометриските чуда на пирамидата?

4. Што го објаснува совршенството на обликот на пирамидата?

Дефиниција за пирамида.

ПИРАМИДА (од грчки pyramis, ген. pyramidos) - многуедар чија основа е многуаголник, а останатите лица се триаголници со заедничко теме (цртеж). Врз основа на бројот на аглите на основата, пирамидите се класифицираат како триаголни, четириаголни итн.

ПИРАМИДА - монументална градба која има геометриски облик на пирамида (понекогаш и скалеста или кула). Пирамиди се името дадено на џиновските гробници на древните египетски фараони од 3-2 милениум п.н.е. д., како и древните американски храмови постаменти (во Мексико, Гватемала, Хондурас, Перу), поврзани со космолошки култови.

Можно е грчкиот збор „пирамида“ да потекнува од египетскиот израз per-em-us, т.е. од термин што значи висина на пирамидата. Истакнатиот руски египтолог В. Струве верувал дека грчкото „пурам...ј“ доаѓа од староегипетското „п“-мр“.

Од историјата. Проучувајќи го материјалот во учебникот „Геометрија“ од авторите на Атанасјан. Бутузов и други, дознавме дека: Многуедар составен од n-агол A1A2A3 ... An и n триаголници PA1A2, PA2A3, ..., PAnA1 се нарекува пирамида. Многуаголник A1A2A3...An е основата на пирамидата, а триаголниците PA1A2, PA2A3,..., PAnA1 се страничните страни на пирамидата, P е врвот на пирамидата, отсечките PA1, PA2,..., PAn се страничните рабови.

Сепак, оваа дефиниција за пирамида не постоела секогаш. На пример, античкиот грчки математичар, авторот на теоретските трактати за математиката што дошле до нас, Евклид, ја дефинира пирамидата како цврста фигура ограничена со рамнини што се спојуваат од една рамнина до една точка.

Но, оваа дефиниција беше критикувана веќе во античко време. Така Херон ја предложил следнава дефиниција за пирамида: „Тоа е фигура ограничена со триаголници кои се спојуваат во една точка и чија основа е многуаголник“.

Нашата група, споредувајќи ги овие дефиниции, дојде до заклучок дека тие немаат јасна формулација на концептот „основа“.

Ги испитавме овие дефиниции и ја најдовме дефиницијата на Адриен Мари Лежандре, кој во 1794 година во своето дело „Елементи на геометријата“ ја дефинира пирамидата на следниов начин: „Пирамидата е цврста фигура формирана од триаголници кои се спојуваат во една точка и завршуваат на различни страни на рамна основа“.

Ни се чини дека последната дефиниција дава јасна идеја за пирамидата, бидејќи зборува за фактот дека основата е рамна. Друга дефиниција за пирамида се појави во учебник од 19 век: „пирамидата е цврст агол пресечен со рамнина“.

Пирамидата како геометриско тело.

Тоа. Пирамидата е многуедар, чиешто лице (основа) е многуаголник, останатите лица (страни) се триаголници кои имаат едно заедничко теме (темето на пирамидата).

Нормалната извлечена од врвот на пирамидата до рамнината на основата се нарекува висиначпирамиди.

Во прилог на произволната пирамида, постојат правилна пирамидаво чија основа е правилен многуаголник и скратена пирамида.

На сликата има пирамида PABCD, ABCD е нејзината основа, PO е нејзината висина.

Вкупна површина пирамидата е збир на површините на сите нејзини лица.

Sfull = страна + Smain,Каде Страна– збирот на површините на страничните лица.

Волумен на пирамидата се наоѓа со формулата:

V=1/3Sbas. ч, каде што Сбас. - основна површина, ч- висина.

Оската на правилната пирамида е права линија што ја содржи нејзината висина.
Апотема ST е висината на страничната страна на обичната пирамида.

Областа на страничното лице на правилна пирамида се изразува на следниов начин: Странична. =1/2P ч, каде што P е периметарот на основата, ч- висина на страничното лице (апотема на редовна пирамида). Ако пирамидата е пресечена со рамнината A'B'C'D', паралелна со основата, тогаш:

1) страничните ребра и висината се поделени со оваа рамнина на пропорционални делови;

2) во пресек се добива многуаголник A’B’C’D’, сличен на основата;

DIV_ADBLOCK914">

Правилна триаголна пирамида се нарекува тетраедар .

Скратена пирамида се добива со отсекување на нејзиниот горен дел од пирамидата со рамнина паралелна на основата (слика ABCDD’C’B’A’).

Основи на скратена пирамида– слични многуаголници ABCD и A`B`C`D`, страничните лица се трапезоиди.

Висинаскратена пирамида - растојанието помеѓу основите.

Скратен волуменпирамидата се наоѓа со формулата:

V=1/3 ч(S + https://pandia.ru/text/78/390/images/image019_2.png" align="left" width="91" height="96"> Страничната површина на правилна скратена пирамида се изразува на следниов начин: Страна. = ½(P+P') ч, каде што P и P' се периметрите на основите, ч- висина на страничното лице (апотема на редовна скратена пирами

Пресеци од пирамида.

Пресеците на пирамидата со рамнини кои минуваат низ нејзиниот врв се триаголници.

Се нарекува дел што минува низ два несоседни странични рабови на пирамидата дијагонален пресек.

Ако делот поминува низ точка на страничниот раб и на страната на основата, тогаш нејзината трага до рамнината на основата на пирамидата ќе биде оваа страна.

Дел што минува низ точка што лежи на лицето на пирамидата и дадена трага на делот на основната рамнина, тогаш конструкцијата треба да се изврши на следниов начин:

· да ја најде точката на пресек на рамнината на дадено лице и трагата на пресекот на пирамидата и да ја означи;

· конструирај права линија што минува низ дадена точка и добиената пресечна точка;

· повторете ги овие чекори за следните лица.

, што одговара на односот на краците на правоаголен триаголник 4:3. Овој сооднос на краците одговара на добро познатиот правоаголен триаголник со страни 3:4:5, кој се нарекува „совршен“, „свет“ или „египетски“ триаголник. Според историчарите, на „египетскиот“ триаголник му било дадено магично значење. Плутарх напишал дека Египќаните ја споредуваат природата на универзумот со „свет“ триаголник; тие симболично ја споредија вертикалната нога со сопругот, основата со сопругата и хипотенузата со онаа што се раѓа од двете.

За триаголник 3:4:5, еднаквоста е точно: 32 + 42 = 52, што ја изразува Питагоровата теорема. Зарем не беше оваа теорема што египетските свештеници сакаа да ја овековечат со подигнување на пирамида врз основа на триаголникот 3:4:5? Тешко е да се најде поуспешен пример за да се илустрира Питагоровата теорема, која им била позната на Египќаните долго пред нејзиното откривање од страна на Питагора.

Така, брилијантните креатори на египетските пирамиди се обидоа да ги воодушеват далечните потомци со длабочината на своето знаење, а тоа го постигнаа со избирање на „златниот“ правоаголен триаголник како „главна геометриска идеја“ за Кеопсовата пирамида и „светото“ или „египетски“ за пирамидата Кафре.триаголник.

Многу често во своето истражување, научниците ги користат својствата на пирамидите со пропорции на златен сооднос.

Математичкиот енциклопедиски речник ја дава следната дефиниција за Златниот пресек - ова е хармонична поделба, поделба во екстремни и средни соодноси - делење на сегментот AB на два дела на таков начин што неговиот поголем дел AC е просечна пропорционална помеѓу целиот сегмент. АБ и неговиот помал дел НЕ.

Алгебарско определување на златен пресек на отсечка AB = aсе сведува на решавање на равенката a: x = x: (a – x), од која x е приближно еднаква на 0,62a. Односот x може да се изрази како дропки 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21...= 0,618, каде што 2, 3, 5, 8, 13, 21 се Фибоначи броеви.

Геометриската конструкција на Златниот пресек на отсечката AB се изведува на следниов начин: во точката B се обновува нормална на AB, на неа е поставен сегментот BE = 1/2 AB, се поврзани A и E, DE = BE е отпуштен и, конечно, AC = AD, тогаш еднаквоста AB е исполнета: CB = 2:3.

Златниот пресек често се користи во уметнички дела, архитектура и се среќава во природата. Живописни примери се скулптурата на Аполо Белведере и Партенон. За време на изградбата на Партенон, користен е односот на висината на зградата и неговата должина и овој однос е 0,618. Објектите околу нас исто така даваат примери за Златен сооднос, на пример, врзивите на многу книги имаат сооднос ширина до должина блиску до 0,618. Со оглед на распоредот на листовите на заедничкото стебло на растенијата, можете да забележите дека меѓу секои два пара лисја третиот се наоѓа на златниот сооднос (слајдови). Секој од нас го „носи“ Златниот сооднос со себе „во наши раце“ - ова е односот на фалангите на прстите.

Благодарение на откривањето на неколку математички папируси, египтолозите научија нешто за древните египетски системи на пресметување и мерење. Задачите содржани во нив ги решавале писарите. Еден од најпознатите е математичкиот папирус Rhind. Со проучување на овие проблеми, египтолозите дознале како древните Египќани се справувале со различните количества што настанале при пресметувањето на мерките за тежина, должина и волумен, кои често вклучувале фракции, како и како постапувале со аглите.

Старите Египќани користеле метод за пресметување на аглите врз основа на односот на висината и основата на правоаголен триаголник. Тие изразија кој било агол на јазикот на градиент. Градиентот на наклонот беше изразен како сооднос на цел број наречен „сецеден“. Во Математиката во ерата на фараоните, Ричард Пилинс објаснува: „Секедот на правилната пирамида е наклонетост на кое било од четирите триаголни лица кон рамнината на основата, мерено со n-тиот број на хоризонтални единици по вертикална единица на пораст. . Така, оваа мерна единица е еквивалентна на нашата модерна котангента на аголот на наклон. Затоа, египетскиот збор „сед“ е поврзан со нашиот современ збор „градиент“.

Нумеричкиот клуч за пирамидите лежи во односот на нивната висина со основата. Во практична смисла, ова е најлесниот начин да се направат шаблоните неопходни за постојано да се проверува правилниот агол на наклон во текот на изградбата на пирамидата.

Египтолозите со задоволство би нè убедиле дека секој фараон копнеел да ја изрази својата индивидуалност, па оттука и разликите во аглите на наклонетост за секоја пирамида. Но, може да има друга причина. Можеби сите тие сакаа да отелотворат различни симболични асоцијации, скриени во различни пропорции. Меѓутоа, аголот на пирамидата на Кафре (врз основа на триаголникот (3:4:5) се појавува во трите проблеми претставени од пирамидите во математичкиот папирус Ринд). Така, овој став им бил добро познат на старите Египќани.

Да бидеме фер кон египтолозите кои тврдат дека древните Египќани не биле свесни за триаголникот 3:4:5, должината на хипотенузата 5 никогаш не била спомната. Но, математичките проблеми кои вклучуваат пирамиди секогаш се решаваат врз основа на аголот на сецеда - односот на висината и основата. Бидејќи должината на хипотенузата никогаш не била спомената, било заклучено дека Египќаните никогаш не ја пресметале должината на третата страна.

Односите висина-основа користени во пирамидите во Гиза несомнено им биле познати на древните Египќани. Можно е овие односи за секоја пирамида да се избрани произволно. Сепак, ова е во спротивност со важноста што се придава на симболиката на броеви во сите видови египетска ликовна уметност. Многу е веројатно дека таквите односи биле значајни затоа што изразувале специфични религиозни идеи. Со други зборови, целиот комплекс Гиза беше подреден на кохерентен дизајн дизајниран да одразува одредена божествена тема. Ова би објаснило зошто дизајнерите избрале различни агли за трите пирамиди.

Во Мистеријата на Орион, Баувал и Гилберт презентираа убедливи докази кои ги поврзуваат пирамидите во Гиза со соѕвездието Орион, особено ѕвездите на појасот Орион. претстава на едно од трите главни божества - Озирис, Изида и Хорус.

„ГЕОМЕТРИСКИ“ ЧУДА.

Меѓу грандиозните пирамиди на Египет, зазема посебно место Големата пирамида на фараонот Кеопс (Куфу). Пред да започнеме да ја анализираме формата и големината на Кеопсовата пирамида, треба да се потсетиме каков систем на мерки користеле Египќаните. Египќаните имаа три единици должина: „лакт“ (466 mm), што беше еднакво на седум „дланки“ (66,5 mm), што, пак, беше еднакво на четири „прсти“ (16,6 mm).

Дозволете ни да ги анализираме димензиите на Кеопсовата пирамида (сл. 2), следејќи ги аргументите дадени во прекрасната книга на украинскиот научник Николај Васјутински „Златната пропорција“ (1990).

Повеќето истражувачи се согласуваат дека должината на страната на основата на пирамидата, на пример, ГФеднаква на Л= 233,16 m Оваа вредност речиси точно одговара на 500 „лактите“. Целосната усогласеност со 500 „лактите“ ќе се случи ако должината на „лактот“ се смета за еднаква на 0,4663 m.

Висина на пирамидата ( Х) истражувачите го проценуваат различно од 146,6 до 148,2 м. А во зависност од прифатената висина на пирамидата, се менуваат сите односи на нејзините геометриски елементи. Која е причината за разликите во проценките на висината на пирамидата? Факт е дека, строго кажано, Кеопсовата пирамида е скратена. Нејзината горна платформа денес е приближно 10 ´ 10 m, но пред еден век беше 6 ´ 6 m. Очигледно, врвот на пирамидата беше демонтиран и не одговара на првобитниот.

При проценка на висината на пирамидата, неопходно е да се земе предвид таков физички фактор како „нацртот“ на структурата. Во текот на подолг временски период, под влијание на колосален притисок (достигнувајќи 500 тони на 1 м2 од долната површина), висината на пирамидата се намали во однос на нејзината првобитна висина.

Која била првобитната висина на пирамидата? Оваа висина може да се пресоздаде со наоѓање на основната „геометриска идеја“ на пирамидата.

Слика 2.

Во 1837 година, англискиот полковник Г. а= 51°51". Оваа вредност сè уште ја препознаваат повеќето истражувачи денес. Наведената вредност на аголот одговара на тангентата (tg а), еднакво на 1,27306. Оваа вредност одговара на односот на висината на пирамидата ACдо половина од својата основа Ц.Б.(сл.2), т.е А.Ц. / Ц.Б. = Х / (Л / 2) = 2Х / Л.

И тука истражувачите ги чекаше големо изненадување!.png" width="25" height="24">= 1.272. Споредувајќи ја оваа вредност со вредноста tg а= 1,27306, гледаме дека овие вредности се многу блиску една до друга. Ако го земеме аголот а= 51°50“, односно намалете ја за само една лак минута, а потоа вредноста аќе стане еднаква на 1,272, односно ќе се совпадне со вредноста. Треба да се напомене дека во 1840 година Г. Вајс ги повторил своите мерења и појаснил дека вредноста на аголот а=51°50".

Овие мерења ги доведоа истражувачите до следната многу интересна хипотеза: триаголникот ACB на Кеопсовата пирамида се заснова на релацијата AC / Ц.Б. = = 1,272!

Размислете сега за правоаголен триаголник ABC, во која односот на нозете А.Ц. / Ц.Б.= (сл. 2). Ако сега должините на страните на правоаголникот ABCназначи од x, y, z, а исто така да се земе предвид дека соодносот y/x= , тогаш во согласност со Питагоровата теорема, должината zможе да се пресмета со формулата:

Ако прифатиме x = 1, y= https://pandia.ru/text/78/390/images/image027_1.png" width="143" height="27">

Слика 3.„Златен“ правоаголен триаголник.

Правоаголен триаголник во кој страните се поврзани како т:златен“ правоаголен триаголник.

Потоа, ако ја земеме како основа хипотезата дека главната „геометриска идеја“ на Кеопсовата пирамида е „златен“ правоаголен триаголник, тогаш оттука лесно можеме да ја пресметаме „дизајнерската“ висина на Кеопсовата пирамида. Тоа е еднакво на:

H = (L/2) ´ = 148,28 m.

Сега да изведеме некои други односи за Кеопсовата пирамида, кои произлегуваат од „златната“ хипотеза. Конкретно, ќе го најдеме односот на надворешната површина на пирамидата до површината на нејзината основа. За да го направите ова, ја земаме должината на ногата Ц.Б.по единица, тоа е: Ц.Б.= 1. Но, тогаш должината на страната на основата на пирамидата ГФ= 2 и површината на основата EFGHќе бидат еднакви СЕФГХ = 4.

Сега да ја пресметаме областа на страничното лице на Кеопсовата пирамида SD. Бидејќи висината АБтријаголник АЕФеднаква на т, тогаш површината на страничното лице ќе биде еднаква на SD = т. Тогаш вкупната површина на сите четири странични лица на пирамидата ќе биде еднаква на 4 т, а односот на вкупната надворешна површина на пирамидата до површината на основата ќе биде еднаков на златниот сооднос! Тоа е што е - главната геометриска мистерија на Кеопсовата пирамида!

Групата „геометриски чуда“ на Кеопсовата пирамида вклучува вистински и пресилен својства на односите помеѓу различните димензии во пирамидата.

Како по правило, тие се добиваат во потрага по одредени „константи“, особено, бројот „пи“ (бројот на Лудолфо), еднаков на 3,14159...; основата на природните логаритми „е“ (неперовски број), еднаква на 2,71828...; бројот „F“, бројот на „златниот дел“, еднаков на, на пример, 0,618... итн.

Можете да именувате, на пример: 1) Имотот на Херодот: (Висина) 2 = 0,5 уметност. основни x Апотема; 2) Сопственост на V. Цена: Висина: 0,5 чл. основа = Квадратен корен од „F“; 3) Сопственост на M. Eist: Периметар на основата: 2 Висина = „Пи“; во различно толкување - 2 лажици. основни : Висина = „Пи“; 4) Својство на Г. Раб: Радиус на впишаниот круг: 0,5 чл. основни = "F"; 5) Сопственост на K. Kleppisch: (чл. главен.)2: 2(чл. главен. x Apothem) = (чл. главен. W. Apothema) = 2 (чл. главен. x Apothem) : ((2 чл. .основа X Апотема) + (чл. основа)2). итн. Можете да излезете со многу такви својства, особено ако поврзете две соседни пирамиди. На пример, како „Својства на А. Арефев“ може да се спомене дека разликата во волумените на Кеопсовата пирамида и пирамидата на Кафре е еднаква на двојно поголем волумен на пирамидата на Микерин...

Многу интересни точки, особено за изградбата на пирамидите според „златниот пресек“, се изложени во книгите на Д. Хамбиџ „Динамичка симетрија во архитектурата“ и М. Гик „Естетика на пропорцијата во природата и уметноста“. Да потсетиме дека „златниот пресек“ е поделба на отсечка во таков однос што делот А е толку пати поголем од делот Б, колку пати А е помал од целата отсечка A + B. Односот A/B е еднаков на бројот „F“ == 1.618.. Употребата на „златниот сооднос“ е означена не само во поединечните пирамиди, туку и во целиот комплекс на пирамиди во Гиза.

Сепак, најљубопитно е што една иста Кеопсова пирамида едноставно „не може“ да содржи толку многу прекрасни својства. Земајќи одреден имот еден по еден, може да се „вклопи“, но сите не се вклопуваат одеднаш - не се совпаѓаат, тие се контрадикторни. Затоа, ако, на пример, при проверка на сите својства, првично ја земеме истата страна на основата на пирамидата (233 m), тогаш висините на пирамидите со различни својства исто така ќе бидат различни. Со други зборови, постои одредено „семејство“ на пирамиди кои надворешно се слични на Кеопс, но имаат различни својства. Забележете дека нема ништо особено чудесно во „геометриските“ својства - многу произлегува чисто автоматски, од својствата на самата фигура. „Чудо“ треба да се смета само за нешто што било очигледно невозможно за древните Египќани. Ова, особено, вклучува „космички“ чуда, во кои мерењата на Кеопсовата пирамида или пирамидниот комплекс во Гиза се споредуваат со некои астрономски мерења и се наведуваат „парни“ бројки: милион пати помалку, милијарда пати помалку и така натаму. Ајде да разгледаме некои „космички“ односи.

Една од изјавите е: „Ако ја поделите страната на основата на пирамидата со точната должина на годината, ќе добиете точно 10 милионити дел од оската на Земјата“. Пресметајте: поделете 233 со 365, добиваме 0,638. Радиусот на Земјата е 6378 km.

Друга изјава е всушност спротивна од претходната. Ф. Ноетлинг истакна дека ако го користиме „египетскиот лакот“ што тој самиот го измислил, тогаш страната на пирамидата ќе одговара на „најпрецизното времетраење на сончевата година, изразено до најблиската една милијардити дел од денот“ - 365.540. 903.777.

Изјавата на П. Смит: „Висината на пирамидата е точно една милијардити дел од растојанието од Земјата до Сонцето“. Иако висината обично се зема е 146,6 m, Смит ја зема како 148,2 m Според современите радарски мерења, полуглавната оска на земјината орбита е 149.597.870 + 1,6 km. Ова е просечното растојание од Земјата до Сонцето, но во перихел е за 5.000.000 километри помало отколку кај афелот.

Една последна интересна изјава:

„Како можеме да објасниме дека масите на пирамидите на Кеопс, Кафре и Микеринус се поврзани една со друга, како масите на планетите Земја, Венера, Марс? Ајде да пресметаме. Масите на трите пирамиди се: Кафре - 0,835; Кеопс - 1.000; Микерин - 0,0915. Односите на масите на трите планети: Венера - 0,815; Земја - 1.000; Марс - 0,108.

Значи, и покрај скептицизмот, ја забележуваме добро познатата хармонија на конструкцијата на изјавите: 1) висината на пирамидата, како линија „што оди во вселената“, одговара на растојанието од Земјата до Сонцето; 2) страната на основата на пирамидата, најблиску „до подлогата“, односно до Земјата, е одговорна за радиусот на земјата и за циркулацијата на земјата; 3) волумените на пирамидата (читај - маси) одговараат на односот на масите на планетите најблиску до Земјата. Слична „шифра“ може да се следи, на пример, во пчелниот јазик анализиран од Карл фон Фриш. Сепак, засега ќе се воздржиме од коментирање на оваа работа.

ОБЛИК НА ПИРАМИДА

Познатиот тетраедарски облик на пирамидите не се појави веднаш. Скитите правеле погребувања во вид на земјени ридови - могили. Египќаните изградиле „ридови“ од камен - пирамиди. Ова првпат се случило по обединувањето на Горен и Долен Египет, во 28 век п.н.е., кога основачот на Третата династија, фараонот Џосер (Зосер), бил исправен пред задача да го зајакне единството на земјата.

И овде, според историчарите, „новиот концепт на обожение“ на кралот одиграл важна улога во зајакнувањето на централната моќ. Иако кралските погреби се одликуваа со поголем раскош, тие, во принцип, не се разликуваа од гробниците на дворските благородници; тие беа истите структури - мастабас. Над комората со саркофагот во која се наоѓа мумијата, се истури правоаголен рид од мали камења, каде потоа беше поставена мала зграда направена од големи камени блокови - „мастаба“ (на арапски - „клупа“). Фараонот Џосер ја подигнал првата пирамида на местото на мастабата на неговиот претходник Санахт. Беше скалесто и беше видлива преодна сцена од една во друга архитектонска форма, од мастаба во пирамида.

На овој начин, мудрецот и архитект Имхотеп, кој подоцна бил сметан за волшебник, а Грците го идентификувале со богот Асклепиј, го „подигнал“ фараонот. Како да беа поставени шест мастаби по ред. Покрај тоа, првата пирамида зафаќала површина од 1125 x 115 метри, со проценета висина од 66 метри (според египетските стандарди - 1000 „дланки“). Во почетокот, архитектот планирал да изгради мастаба, но не долгнавеста, туку квадратна во план. Подоцна беше проширен, но бидејќи проширувањето беше пониско, се чинеше дека има два чекори.

Оваа ситуација не го задоволи архитектот, а на горната платформа на огромната рамна мастаба, Имхотеп постави уште три, постепено намалувајќи се кон врвот. Гробницата се наоѓала под пирамидата.

Познати се уште неколку скалести пирамиди, но подоцна градителите се префрлија на градење на тетраедарски пирамиди кои ни се попознати. Зошто, сепак, не триаголен или, да речеме, октагонален? Индиректен одговор е даден со фактот дека скоро сите пирамиди се совршено ориентирани по четирите кардинални насоки и затоа имаат четири страни. Покрај тоа, пирамидата беше „куќа“, школка на четириаголна погребна комора.

Но, што го одреди аголот на наклон на лицата? Во книгата „Принципот на пропорциите“ цело поглавје е посветено на ова: „Што можеше да ги одреди аглите на наклонетост на пирамидите“. Конкретно, се посочува дека „сликата кон која гравитираат големите пирамиди на Старото Кралство е триаголник со прав агол на врвот.

Во вселената тоа е полуоктаедар: пирамида во која рабовите и страните на основата се еднакви, рабовите се рамнострани триаголници.“ Одредени размислувања на оваа тема се дадени во книгите на Хамбиџ, Гик и други.

Која е предноста на полуоктаедарскиот агол? Според описите на археолозите и историчарите, некои пирамиди се урнале под сопствената тежина. Она што беше потребно беше „агол на издржливост“, агол кој беше енергетски најсигурен. Чисто емпириски, овој агол може да се земе од аголот на темето во куп сув песок што се распаѓа. Но, за да добиете точни податоци, треба да користите модел. Земајќи четири цврсто фиксирани топки, треба да поставите петто на нив и да ги измерите аглите на наклон. Сепак, тука можете да направите грешка, па затоа помага теоретска пресметка: треба да ги поврзете центрите на топките со линии (ментално). Основата ќе биде квадрат со страна еднаква на двојно поголем радиус. Плоштадот ќе биде само основата на пирамидата, чија должина на рабовите исто така ќе биде еднаква на двојно поголем радиус.

Така, блиското пакување на топчиња како 1:4 ќе ни даде редовен полуоктаедар.

Меѓутоа, зошто многу пирамиди, кои гравитираат кон слична форма, сепак не ја задржуваат? Пирамидите веројатно стареат. Спротивно на познатата изрека:

„Сè во светот се плаши од времето, а времето се плаши од пирамидите“, градбите на пирамидите мора да стареат, не само што можат и треба да се случат процеси на надворешно атмосферско влијанија во нив, туку и процеси на внатрешно „смалување“, од кои пирамидите може да станат пониски. Смалувањето е можно и затоа што, како што е откриено од работата на Д. Токму слични процеси би можеле да ја објаснат причината за уништувањето на Медум пирамидата, која се наоѓа на 50 километри јужно од Каиро. Стара е 4600 години, димензиите на основата се 146 x 146 m, висината е 118 m. „Зошто е толку изобличено?“ прашува В.

На крајот на краиштата, повеќето нејзини блокови и свртени плочи останале на своето место до ден-денес, во урнатини во неговото подножје.“ Како што ќе видиме, голем број одредби дури нè тераат да помислиме дека и познатата Кеопсова пирамида „се збрчкала“. во секој случај, на сите древни слики пирамидите се насочени ...

Обликот на пирамидите, исто така, можел да се генерира со имитација: некои природни примероци, „чудо совршенство“, да речеме, некои кристали во форма на октаедар.

Слични кристали може да бидат дијамантски и златни кристали. Голем број „преклопувачки“ карактеристики се типични за концепти како фараон, сонце, злато, дијамант. Насекаде - благородно, брилијантно (брилијантно), одлично, беспрекорно итн. Сличностите не се случајни.

Сончевиот култ, како што е познато, бил важен дел од религијата на Стариот Египет. „Без разлика како го преведуваме името на најголемата од пирамидите“, забележува еден од современите прирачници, „Небото на Куфу“ или „Куфу кон небото“, тоа значело дека кралот е сонцето. Ако Куфу, во сјајот на својата моќ, се замислил себеси како второто сонце, тогаш неговиот син Џедеф-Ра станал првиот од египетските кралеви што се нарекол себеси „син на Ра“, односно син на Сонцето. Сонцето, речиси кај сите народи, беше симболизирано со „сончевиот метал“, златото. „Голем диск со светло злато“ - така го нарекоа Египќаните нашата дневна светлина. Египќаните совршено го познавале златото, ги знаеле неговите родни форми, каде златните кристали можат да се појават во форма на октаедрони.

„Сончевиот камен“ - дијамантот - е исто така интересен овде како „примерок на форми“. Името на дијамантот дојде токму од арапскиот свет, „алмас“ - најтешкиот, најтврдиот, неуништлив. Старите Египќани доста добро ги познавале дијамантите и неговите својства. Според некои автори, тие дури користеле бронзени цевки со дијамантски секачи за дупчење.

Во денешно време главен снабдувач на дијаманти е Јужна Африка, но и Западна Африка е богата со дијаманти. Територијата на Република Мали се нарекува дури и „Дијамантска земја“. Во меѓувреме, на територијата на Мали живеат Догон, со кои поддржувачите на хипотезата за палео-посета вложуваат многу надежи (види подолу). Дијамантите не можеле да бидат причина за контактите на старите Египќани со овој регион. Меѓутоа, на овој или оној начин, можно е токму со копирање на октаедрите од дијамант и златни кристали, старите Египќани на тој начин ги обожувале фараоните, „неуништливи“ како дијаманти и „брилијантни“ како злато, синовите на Сонцето, само споредливи до најубавите креации на природата.

Заклучок:

Откако ја проучувавме пирамидата како геометриско тело, запознавајќи се со нејзините елементи и својства, се уверивме во валидноста на мислењето за убавината на обликот на пирамидата.

Како резултат на нашето истражување, дојдовме до заклучок дека Египјаните, собрајќи го највредното математичко знаење, го отелотвориле во пирамида. Затоа, пирамидата е навистина најсовршената креација на природата и човекот.

БИБЛИОГРАФИЈА

„Геометрија: Учебник. за 7-9 одделение. општо образование институции\, итн - 9-то издание - М.: Образование, 1999 г

Историја на математиката во училиште, М: „Просвешчение“, 1982 година.

Геометрија 10-11 одделение, М: „Просветителство“, 2000 г

Питер Томпкинс „Тајните на големата Кеопсова пирамида“, М: „Центрополиграф“, 2005 година.

Интернет ресурси

http://veka-i-mig. *****/

http://tambov. *****/vjpusk/vjp025/rabot/33/index2.htm

http://www. *****/enc/54373.html

Концепт на пирамида

Дефиниција 1

Геометриска фигура формирана од многуаголник и точка што не лежи во рамнината што го содржи овој многуаголник, поврзана со сите темиња на многуаголникот, се нарекува пирамида (сл. 1).

Многуаголникот од кој е направена пирамидата се нарекува основа на пирамидата; добиените триаголници, кога се поврзани со точка, се страничните лица на пирамидата, страните на триаголниците се страните на пирамидата и точката заедничка до сите триаголници е врвот на пирамидата.

Видови пирамиди

Во зависност од бројот на агли на основата на пирамидата, таа може да се нарече триаголна, четириаголна и така натаму (сл. 2).

Слика 2.

Друг тип на пирамида е обичната пирамида.

Дозволете ни да воведеме и докажеме својство на правилна пирамида.

Теорема 1

Сите странични лица на правилната пирамида се рамнокраки триаголници кои се еднакви еден на друг.

Доказ.

Размислете за редовна $n-$gonal пирамида со теме $S$ на висина $h=SO$. Дозволете ни да нацртаме круг околу основата (слика 4).

Слика 4.

Размислете за триаголникот $SOA$. Според Питагоровата теорема, добиваме

Очигледно, секој страничен раб ќе биде дефиниран на овој начин. Следствено, сите странични рабови се еднакви еден на друг, односно сите странични лица се рамнокрак триаголници. Да докажеме дека се еднакви едни на други. Бидејќи основата е правилен многуаголник, основите на сите странични лица се еднакви една со друга. Следствено, сите странични лица се еднакви според III критериум за еднаквост на триаголниците.

Теоремата е докажана.

Сега да ја воведеме следнава дефиниција поврзана со концептот на правилна пирамида.

Дефиниција 3

Апотемата на правилната пирамида е висината на нејзината странична страна.

Очигледно, според една теорема, сите апотеми се еднакви една со друга.

Теорема 2

Страничната површина на правилната пирамида се одредува како производ на полупериметарот на основата и апотемата.

Доказ.

Да ја означиме страната на основата на $n-$gonal пирамидата со $a$, а апотемата со $d$. Затоа, површината на страничното лице е еднаква на

Бидејќи, според теорема 1, сите страни се еднакви, тогаш

Теоремата е докажана.

Друг тип на пирамида е скратена пирамида.

Дефиниција 4

Ако рамнината паралелна на нејзината основа се повлече низ обична пирамида, тогаш фигурата формирана помеѓу оваа рамнина и рамнината на основата се нарекува скратена пирамида (сл. 5).

Слика 5. Скратена пирамида

Страничните лица на скратената пирамида се трапезоиди.

Теорема 3

Страничната површина на правилна скратена пирамида се одредува како производ од збирот на полупериметрите на основите и апотемата.

Доказ.

Да ги означиме страните на основите на $n-$gonal пирамидата со $a\ и\ b$, соодветно, а апотемата со $d$. Затоа, површината на страничното лице е еднаква на

Бидејќи сите страни се еднакви, тогаш

Теоремата е докажана.

Примерок задача

Пример 1

Најдете ја плоштината на страничната површина на скратена триаголна пирамида ако е добиена од правилна пирамида со основна страна 4 и апотема 5 со отсекување на рамнина што минува низ средната линија на страничните лица.

Решение.

Користејќи ја теоремата за средната линија, откриваме дека горната основа на скратената пирамида е еднаква на $4\cdot \frac(1)(2)=2$, а апотемата е еднаква на $5\cdot \frac(1)(2) = 2,5 долари.

Потоа, по теорема 3, добиваме

Овој видео туторијал ќе им помогне на корисниците да добијат идеја за темата Пирамида. Правилна пирамида. Во оваа лекција ќе се запознаеме со концептот на пирамида и ќе му дадеме дефиниција. Ајде да размислиме што е редовна пирамида и какви својства има. Потоа ја докажуваме теоремата за страничната површина на правилна пирамида.

Во оваа лекција ќе се запознаеме со концептот на пирамида и ќе му дадеме дефиниција.

Размислете за многуаголник А 1 А 2...А n, која лежи во α рамнината и точката П, кој не лежи во α рамнината (сл. 1). Ајде да ги поврземе точките Псо врвови А 1, А 2, А 3, … А n. Добиваме nтриаголници: А 1 А 2 Р, А 2 А 3 Ри така натаму.

Дефиниција. Полиедар RA 1 A 2 ...A n, составена од n- квадрат А 1 А 2...А nИ nтриаголници RA 1 A 2, RA 2 A 3 …RA n A n-1 се вика n- јагленова пирамида. Ориз. 1.

Ориз. 1

Размислете за четириаголна пирамида PABCD(сл. 2).

Р- врвот на пирамидата.

А БЕ ЦЕ ДЕ- основата на пирамидата.

РА- странично ребро.

АБ- основно ребро.

Од точка Рда ја испуштиме нормалната RNдо основната рамнина А БЕ ЦЕ ДЕ. Исцртано нормално е висината на пирамидата.

Ориз. 2

Целосната површина на пирамидата се состои од страничната површина, односно областа на сите странични лица и областа на основата:

S full = S страна + S главна

Пирамидата се нарекува правилна ако:

• неговата основа е правилен многуаголник;
• сегментот што го поврзува врвот на пирамидата со центарот на основата е неговата висина.

Објаснување со пример на правилна четириаголна пирамида

Размислете за редовна четириаголна пирамида PABCD(сл. 3).

Р- врвот на пирамидата. Основата на пирамидата А БЕ ЦЕ ДЕ- правилен четириаголник, односно квадрат. Точка ЗА, точката на пресек на дијагоналите, е центарот на квадратот. Средства, ROе висината на пирамидата.

Ориз. 3

Објаснување: во правилна nВо триаголник, центарот на впишаниот круг и центарот на кружниот круг се совпаѓаат. Овој центар се нарекува центар на многуаголникот. Понекогаш велат дека темето е проектирано во центарот.

Висината на страничното лице на правилната пирамида извлечена од нејзиното теме се нарекува апотемаи е назначен ч а.

1. сите странични рабови на правилна пирамида се еднакви;

2. Страните страни се еднакви рамнокраки триаголници.

Ќе дадеме доказ за овие својства користејќи го примерот на правилна четириаголна пирамида.

Со оглед на: PABCD- правилна четириаголна пирамида,

А БЕ ЦЕ ДЕ- квадрат,

RO- висина на пирамидата.

Доказ:

1. RA = PB = RS = PD

2.∆ABP = ∆BCP =∆CDP =∆DAP Види Сл. 4.

Ориз. 4

Доказ.

RO- висина на пирамидата. Тоа е, директно ROнормално на рамнината ABC, а со тоа и директно АД, ВО, СОИ НАПРАВИлежи во него. Значи триаголници ROA, ROV, ROS, ROD- правоаголна.

Размислете за квадрат А БЕ ЦЕ ДЕ. Од својствата на квадрат произлегува дека AO = VO = CO = НАПРАВИ.

Потоа правоаголните триаголници ROA, ROV, ROS, RODнога RO- општи и нозе АД, ВО, СОИ НАПРАВИсе еднакви, што значи дека овие триаголници се еднакви на две страни. Од еднаквоста на триаголниците следува еднаквост на отсечки, RA = PB = RS = PD.Точката 1 е докажана.

Сегменти АБИ Сонцетосе еднакви бидејќи се страни на ист квадрат, RA = PB = RS. Значи триаголници AVRИ VSR -рамнокрак и еднаков на три страни.

На сличен начин ги наоѓаме тие триаголници ABP, VCP, CDP, DAPсе рамнокраки и еднакви, како што се бара да се докаже во став 2.

Површината на страничната површина на правилната пирамида е еднаква на половина од производот од периметарот на основата и апотемата:

За да го докажеме ова, да избереме редовна триаголна пирамида.

Со оглед на: RAVS- правилна триаголна пирамида.

AB = BC = AC.

RO- висина.

Доказ: . Види Сл. 5.

Ориз. 5

Доказ.

RAVS- правилна триаголна пирамида. Тоа е АБ= AC = п.н.е. Нека ЗА- центар на триаголникот ABC, Потоа ROе висината на пирамидата. Во основата на пирамидата лежи рамностран триаголник ABC. забележи, тоа .

Триаголници RAV, RVS, RSA- еднакви рамнокраки триаголници (по својство). Триаголна пирамида има три странични страни: RAV, RVS, RSA. Ова значи дека површината на страничната површина на пирамидата е:

S страна = 3S RAW

Теоремата е докажана.

Радиусот на кругот впишан во основата на правилна четириаголна пирамида е 3 m, висината на пирамидата е 4 m. Најдете ја областа на страничната површина на пирамидата.

Со оглед на: правилна четириаголна пирамида А БЕ ЦЕ ДЕ,

А БЕ ЦЕ ДЕ- квадрат,

р= 3 m,

RO- висина на пирамидата,

RO= 4 m.

Најдете: S страна. Види Сл. 6.

Ориз. 6

Решение.

Според докажаната теорема,.

Ајде прво да ја најдеме страната на основата АБ. Знаеме дека радиусот на кругот впишан во основата на правилна четириаголна пирамида е 3 m.

Потоа, м.

Најдете го периметарот на квадратот А БЕ ЦЕ ДЕсо страна од 6 m:

Размислете за триаголник BCD. Нека М- средината на страната DC. Бидејќи ЗА- средината БД, Тоа (м).

Тријаголник DPC- рамнокрак. М- средината DC. Тоа е, РМ- средна, а со тоа и висината во триаголникот DPC. Потоа РМ- апотема на пирамидата.

RO- висина на пирамидата. Потоа, директно ROнормално на рамнината ABC, а со тоа и директно ОМ, лежејќи во него. Ајде да ја најдеме апотемата РМод правоаголен триаголник ROM.

Сега можеме да ја најдеме страничната површина на пирамидата:

Одговори: 60 м2.

Радиусот на кругот опкружен околу основата на правилна триаголна пирамида е еднаков на m. Страничната површина е 18 m 2. Најдете ја должината на апотемата.

Со оглед на: ABCP- правилна триаголна пирамида,

AB = BC = SA,

Р= m,

S страна = 18 m2.

Најдете: . Види Сл. 7.

Ориз. 7

Решение.

Во правоаголен триаголник ABCДаден е радиусот на ограничениот круг. Ајде да најдеме страна АБовој триаголник го користи законот на синусите.

Знаејќи ја страната на правилен триаголник (m), го наоѓаме неговиот периметар.

Според теоремата на страничната површина на правилна пирамида, каде ч а- апотема на пирамидата. Потоа:

Одговори: 4 m.

Значи, погледнавме што е пирамида, што е правилна пирамида и ја докажавме теоремата за страничната површина на правилна пирамида. Во следната лекција ќе се запознаеме со пресечената пирамида.

Библиографија

1. Геометрија. Одделение 10-11: учебник за студенти на општообразовни институции (основно и специјализирано ниво) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5. изд., рев. и дополнителни - М.: Мнемозина, 2008. - 288 стр.: илуст.
2. Геометрија. Одделение 10-11: Учебник за општообразовни институции / Шаригин И.Ф. - М.: Бустард, 1999. - 208 стр.: ill.
3. Геометрија. Одделение 10: Учебник за општообразовни институции со продлабочено и специјализирано изучување по математика /E. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. - 6-то издание, стереотип. - М.: Бустард, 008. - 233 стр.: илуст.

1. Интернет портал „Јаклас“ ()
2. Интернет портал „Фестивал на педагошки идеи „Први септември“ ()
3. Интернет портал „Slideshare.net“ ()

Домашна работа

1. Дали правилен многуаголник може да биде основа на неправилна пирамида?
2. Докажете дека разделените рабови на правилна пирамида се нормални.
3. Најдете ја вредноста на диедралниот агол на страната на основата на правилна четириаголна пирамида ако апотемата на пирамидата е еднаква на страната на нејзината основа.
4. RAVS- правилна триаголна пирамида. Конструирај го линеарниот агол на диедралниот агол во основата на пирамидата.

Кога го решаваат проблемот В2 со помош на методот на координати, многу ученици се соочуваат со истиот проблем. Не можат да пресметаат координати на точкивклучени во формулата за скаларен производ. Се појавуваат најголеми тешкотии пирамиди. И ако основните точки се сметаат за повеќе или помалку нормални, тогаш врвовите се вистински пекол.

Денеска ќе работиме на правилна четириаголна пирамида. Исто така постои и триаголна пирамида (ака - тетраедар). Ова е покомплексен дизајн, така што ќе му биде посветена посебна лекција.

Прво, да се потсетиме на дефиницијата:

Обична пирамида е онаа која:

1. Основата е правилен многуаголник: триаголник, квадрат итн.;
2. Низ нејзиниот центар минува надморска височина до основата.

Особено, основата на четириаголна пирамида е квадрат. Исто како Кеопс, само малку помал.

Подолу се пресметките за пирамида во која сите рабови се еднакви на 1. Ако тоа не е случај во вашиот проблем, пресметките не се менуваат - само бројките ќе бидат различни.

Темиња на четириаголна пирамида

Значи, нека биде дадена правилна четириаголна пирамида SABCD, каде што S е темето, а основата ABCD е квадрат. Сите рабови се еднакви на 1. Треба да внесете координатен систем и да ги пронајдете координатите на сите точки. Ние имаме:

Воведуваме координатен систем со потекло во точката А:

1. Оската OX е насочена паралелно со работ AB;
2. OY оската е паралелна со AD. Бидејќи ABCD е квадрат, AB ⊥ AD;
3. Конечно, ја насочуваме оската OZ нагоре, нормално на рамнината ABCD.

Сега ги пресметуваме координатите. Дополнителна конструкција: SH - висина повлечена до основата. За погодност, ќе ја поставиме основата на пирамидата во посебен цртеж. Бидејќи точките A, B, C и D лежат во рамнината OXY, нивната координата е z = 0. Имаме:

1. A = (0; 0; 0) - се совпаѓа со потеклото;
2. B = (1; 0; 0) - чекор по 1 долж оската OX од потеклото;
3. C = (1; 1; 0) - чекор по 1 по оската OX и со 1 по должината на оската OY;
4. D = (0; 1; 0) - чекор само по оската OY.
5. H = (0,5; 0,5; 0) - центарот на плоштадот, средината на сегментот AC.

Останува да се најдат координатите на точката С. Забележете дека x и y координатите на точките S и H се исти, бидејќи тие лежат на права паралелна со оската OZ. Останува да се најде координатата z за точката S.

Размислете за триаголниците ASH и ABH:

1. AS = AB = 1 по услов;
2. Агол AHS = AHB = 90°, бидејќи SH е висината и AH ⊥ HB како дијагонали на квадратот;
3. Страната AH е вообичаена.

Затоа, правоаголни триаголници ASH и ABH еднаквипо една нога и по една хипотенуза. Ова значи SH = BH = 0,5 BD. Но, BD е дијагонала на квадрат со страна 1. Затоа имаме:

Вкупни координати на точката S:

Како заклучок, ги запишуваме координатите на сите темиња на правилна правоаголна пирамида:

Што да направите кога ребрата се различни

Што ако страничните рабови на пирамидата не се еднакви со рабовите на основата? Во овој случај, разгледајте го триаголникот AHS:

Триаголник AHS - правоаголна, а хипотенузата AS е исто така страничен раб на првобитната пирамида SABCD. Ногата AH лесно се пресметува: AH = 0,5 AC. Ќе го најдеме преостанатиот крак SH според Питагоровата теорема. Ова ќе биде координатата z за точката S.

Задача. Дадена е правилна четириаголна пирамида SABCD, во чија основа лежи квадрат со страна 1. Страничен раб BS = 3. Најдете ги координатите на точката S.

Веќе ги знаеме x и y координатите на оваа точка: x = y = 0,5. Ова произлегува од два факти:

1. Проекцијата на точката S на рамнината OXY е точка H;
2. Во исто време, точката H е центар на квадрат ABCD, чиишто страни се еднакви на 1.

Останува да се најде координатата на точката С. Размислете за триаголникот AHS. Тој е правоаголен, со хипотенуза AS = BS = 3, а кракот AH е половина од дијагоналата. За понатамошни пресметки ни треба нејзината должина:

Питагорова теорема за триаголник AHS: AH 2 + SH 2 = AS 2. Ние имаме:

Значи, координатите на точката S: