Една од областите на математиката со која студентите најмногу се борат е тригонометријата. Не е изненадувачки: за слободно да ја совладате оваа област на знаење, потребно ви е просторно размислување, способност да пронајдете синуси, косинуси, тангенти, котангенти користејќи формули, да ги поедноставите изразите и да можете да го користите бројот пи во пресметки. Дополнително, треба да бидете способни да користите тригонометрија при докажување теореми, а за тоа е потребна или развиена математичка меморија или способност за изведување сложени логички синџири.
Потекло на тригонометријата
Запознавањето со оваа наука треба да започне со дефиниција на синус, косинус и тангента на агол, но прво треба да разберете што прави тригонометријата воопшто.
Историски гледано, главниот предмет на проучување во оваа гранка на математичката наука биле правоаголните триаголници. Присуството на агол од 90 степени овозможува да се извршат различни операции кои овозможуваат да се одредат вредностите на сите параметри на предметната фигура користејќи две страни и еден агол или два агли и една страна. Во минатото, луѓето ја забележаа оваа шема и почнаа активно да ја користат во изградбата на згради, навигацијата, астрономијата, па дури и во уметноста.
Прва фаза
Првично, луѓето зборуваа за односот помеѓу аглите и страните исклучиво користејќи го примерот на правоаголни триаголници. Тогаш беа откриени посебни формули кои овозможија проширување на границите на употреба во секојдневниот живот на оваа математичка гранка.
Изучувањето на тригонометријата во училиште денес започнува со правоаголни триаголници, по што учениците го користат стекнатото знаење по физика и решавање на апстрактни тригонометриски равенки, кои започнуваат во средно училиште.
Сферична тригонометрија
Подоцна, кога науката го достигнала следното ниво на развој, формулите со синус, косинус, тангента и котангента почнале да се користат во сферичната геометрија, каде што важат различни правила, а збирот на аглите во триаголникот е секогаш повеќе од 180 степени. Овој дел не се изучува во училиште, но потребно е да се знае за неговото постоење, барем затоа што површината на земјата и површината на која било друга планета е конвексна, што значи дека секое обележување на површината ќе биде „во облик на лак“ во тридимензионален простор.
Земете го глобусот и конецот. Прицврстете го конецот на кои било две точки на глобусот така што ќе биде затегнато. Ве молиме имајте предвид - доби форма на лак. Со такви форми се занимава сферичната геометрија, која се користи во геодезијата, астрономијата и други теоретски и применети области.
Правоаголен триаголник
Откако научивме малку за начините на користење на тригонометријата, да се вратиме на основната тригонометрија со цел дополнително да разбереме што се синус, косинус, тангента, кои пресметки може да се извршат со нивна помош и кои формули да се користат.
Првиот чекор е да се разберат концептите поврзани со правоаголен триаголник. Прво, хипотенузата е страната спротивна на аголот од 90 степени. Тоа е најдолго. Се сеќаваме дека според Питагоровата теорема, неговата нумеричка вредност е еднаква на коренот на збирот на квадратите на другите две страни.
На пример, ако двете страни се 3 и 4 сантиметри соодветно, должината на хипотенузата ќе биде 5 сантиметри. Патем, старите Египќани знаеле за ова пред околу четири и пол илјади години.
Двете преостанати страни, кои формираат прав агол, се нарекуваат нозе. Покрај тоа, мораме да запомниме дека збирот на аглите во триаголник во правоаголен координатен систем е еднаков на 180 степени.
Дефиниција
Конечно, со цврсто разбирање на геометриската основа, може да се свртиме кон дефиницијата на синус, косинус и тангента на аголот.
Синус на аголот е односот на спротивната катета (т.е. страната спроти саканиот агол) со хипотенузата. Косинусот на аголот е односот на соседната страна со хипотенузата.
Запомнете дека ниту синус ниту косинус не можат да бидат поголеми од еден! Зошто? Бидејќи хипотенузата е стандардно најдолга.Колку и да е долга ногата, таа ќе биде пократка од хипотенузата, што значи дека нивниот сооднос секогаш ќе биде помал од еден. Така, ако во вашиот одговор на проблем добиете синус или косинус со вредност поголема од 1, побарајте грешка во пресметките или расудувањето. Овој одговор е очигледно неточен.
Конечно, тангентата на аголот е односот на спротивната страна со соседната страна. Поделувањето на синусот со косинус ќе го даде истиот резултат. Погледнете: според формулата, ја делиме должината на страната со хипотенузата, потоа ја делиме со должината на втората страна и се множиме со хипотенузата. Така, ја добиваме истата врска како во дефиницијата за тангента.
Котангента, соодветно, е односот на страната во непосредна близина на аголот до спротивната страна. Истиот резултат го добиваме со делење на една со тангента.
Значи, ги разгледавме дефинициите за тоа што се синус, косинус, тангента и котангента и можеме да преминеме на формули.
Наједноставните формули
Во тригонометријата не можете без формули - како да најдете синус, косинус, тангента, котангента без нив? Но, тоа е токму она што се бара при решавање на проблемите.
Првата формула што треба да ја знаете кога започнувате да ја проучувате тригонометријата вели дека збирот на квадратите на синусот и косинусот на аголот е еднаков на еден. Оваа формула е директна последица на Питагоровата теорема, но заштедува време ако треба да ја знаете големината на аголот наместо страната.
Многу ученици не можат да се сетат на втората формула, која е исто така многу популарна при решавање на училишни проблеми: збирот на еден и квадратот на тангентата на аголот е еднаков на еден поделен со квадратот на косинусот на аголот. Погледнете подетално: ова е истата изјава како во првата формула, само двете страни на идентитетот беа поделени со квадратот на косинус. Излегува дека едноставна математичка операција ја прави тригонометриската формула целосно непрепознатлива. Запомнете: знаејќи што се синус, косинус, тангента и котангента, правила за трансформација и неколку основни формули, можете во секое време да ги изведете потребните посложени формули на лист хартија.
Формули за двојни агли и собирање аргументи
Уште две формули што треба да ги научите се поврзани со вредностите на синус и косинус за збирот и разликата на аглите. Тие се претставени на сликата подолу. Забележете дека во првиот случај, синусот и косинусот се множат и двата пати, а во вториот, се додава парниот производ на синус и косинус.
Исто така, постојат формули поврзани со аргументи со двоен агол. Целосно се изведени од претходните - како практика, обидете се сами да ги добиете земајќи го алфа аголот еднаков на бета аголот.
Конечно, забележете дека формулите со двоен агол може да се преуредат за да се намали моќта на синус, косинус, тангентна алфа.
Теореми
Двете главни теореми во основната тригонометрија се синусната теорема и косинусовата теорема. Со помош на овие теореми, можете лесно да разберете како да ги пронајдете синусот, косинусот и тангентата, а со тоа и површината на фигурата и големината на секоја страна итн.
Синусната теорема вели дека делењето на должината на секоја страна на триаголникот со спротивниот агол резултира со ист број. Покрај тоа, овој број ќе биде еднаков на два радиуси на ограничената кружница, односно кругот што ги содржи сите точки на даден триаголник.
Теоремата на косинус ја генерализира Питагоровата теорема, проектирајќи ја на кој било триаголник. Излегува дека од збирот на квадратите на двете страни, одземете го нивниот производ помножен со двојниот косинус на соседниот агол - добиената вредност ќе биде еднаква на квадратот на третата страна. Така, Питагоровата теорема се покажува како посебен случај на косинусовата теорема.
Невнимателни грешки
Дури и знаејќи што се синус, косинус и тангента, лесно е да се направи грешка поради отсутност или грешка во наједноставните пресметки. За да избегнеме вакви грешки, да ги погледнеме најпопуларните.
Прво, не треба да ги претворате дропките во децимали додека не го добиете конечниот резултат - може да го оставите одговорот како дропка, освен ако не е поинаку наведено во условите. Таквата трансформација не може да се нарече грешка, но треба да се запомни дека во секоја фаза од проблемот може да се појават нови корени, кои, според идејата на авторот, треба да се намалат. Во овој случај, ќе го трошите вашето време на непотребни математички операции. Ова е особено точно за вредности како што се коренот на три или коренот на два, бидејќи тие се наоѓаат во проблеми на секој чекор. Истото важи и за заокружување на „грди“ броеви.
Понатаму, забележете дека косинусовата теорема се применува на кој било триаголник, но не и на Питагоровата теорема! Ако погрешно заборавите да одземе двапати од производот на страните помножен со косинус на аголот меѓу нив, не само што ќе добиете сосема погрешен резултат, туку и ќе покажете целосно недоволно разбирање на темата. Ова е полошо од невнимателна грешка.
Трето, не мешајте ги вредностите за агли од 30 и 60 степени за синуси, косинуси, тангенти, котангенти. Запомнете ги овие вредности, бидејќи синусот од 30 степени е еднаков на косинусот од 60, и обратно. Лесно е да ги збуните, како резултат на што неизбежно ќе добиете погрешен резултат.
Апликација
Многу студенти не брзаат да започнат со изучување на тригонометријата бидејќи не го разбираат нејзиното практично значење. Што е синус, косинус, тангента за инженер или астроном? Ова се концепти со кои можете да го пресметате растојанието до далечните ѕвезди, да предвидите пад на метеорит или да испратите истражувачка сонда на друга планета. Без нив, невозможно е да се изгради зграда, да се дизајнира автомобил, да се пресмета оптоварувањето на површината или траекторијата на објектот. И ова се само најочигледните примери! На крајот на краиштата, тригонометријата во една или друга форма се користи насекаде, од музика до медицина.
Конечно
Значи ти си синус, косинус, тангента. Можете да ги користите во пресметките и успешно да ги решавате училишните проблеми.
Целата поента на тригонометријата се сведува на фактот дека користејќи ги познатите параметри на триаголникот треба да ги пресметате непознатите. Вкупно има шест параметри: должина на три страни и големина на три агли. Единствената разлика во задачите лежи во тоа што се дадени различни влезни податоци.
Сега знаете како да најдете синус, косинус, тангента врз основа на познатите должини на нозете или хипотенузата. Бидејќи овие поими не значат ништо повеќе од однос, а односот е дропка, главната цел на проблемот со тригонометрија е да се најдат корените на обична равенка или систем на равенки. И тука ќе ви помогне редовната училишна математика.
Ќе ја започнеме нашата студија за тригонометријата со правоаголен триаголник. Ајде да дефинираме што се синус и косинус, како и тангента и котангента на остар агол. Ова се основите на тригонометријата.
Да ве потсетиме дека прав аголе агол еднаков на 90 степени. Со други зборови, половина свртен агол.
Остар агол- помалку од 90 степени.
Тап агол- поголема од 90 степени. Во однос на таков агол, „тап“ не е навреда, туку математички термин :-)
Ајде да нацртаме правоаголен триаголник. Правиот агол обично се означува со . Ве молиме имајте предвид дека страната спроти аголот е означена со истата буква, само мала. Така, се означува страната спротивна на аголот А.
Аголот се означува со соодветната грчка буква.
Хипотенузана правоаголен триаголник е страната спротивна на правиот агол.
Нозете- страни што лежат спроти акутни агли.
Ногата што лежи спроти аголот се нарекува спротивно(во однос на аголот). Другата нога, која лежи на една од страните на аголот, се нарекува соседните.
СинусОстриот агол во правоаголен триаголник е односот на спротивната страна со хипотенузата:
Косинусотостар агол во правоаголен триаголник - односот на соседната нога до хипотенузата:
Тангентаостар агол во правоаголен триаголник - односот на спротивната страна со соседната:
Друга (еквивалентна) дефиниција: тангентата на остар агол е односот на синусот на аголот и неговиот косинус:
Котангенсостар агол во правоаголен триаголник - односот на соседната страна кон спротивната (или, што е исто, односот на косинус и синус):
Забележете ги основните односи за синус, косинус, тангента и котангента подолу. Тие ќе ни бидат корисни при решавање на проблеми.
Ајде да докажеме некои од нив.
Добро, дадовме дефиниции и запишавме формули. Но, зошто сè уште ни се потребни синус, косинус, тангента и котангента?
Ние го знаеме тоа збирот на аглите на кој било триаголник е еднаков на.
Ја знаеме врската помеѓу забавиправоаголен триаголник. Ова е Питагоровата теорема: .
Излегува дека знаејќи два агли во триаголник, можете да го најдете третиот. Знаејќи ги двете страни на правоаголен триаголник, можете да ја најдете третата. Тоа значи дека аглите имаат свој сооднос, а страните имаат свој. Но, што треба да направите ако во правоаголен триаголник знаете еден агол (освен правиот агол) и едната страна, но треба да ги најдете другите страни?
Ова е она што луѓето во минатото го сретнале кога правеле мапи на областа и ѕвезденото небо. На крајот на краиштата, не е секогаш можно директно да се измерат сите страни на триаголникот.
Синус, косинус и тангента - тие се нарекуваат и функции на тригонометриски агол- даде односи меѓу забавиИ аглитетријаголник. Знаејќи го аголот, можете да ги најдете сите негови тригонометриски функции користејќи специјални табели. И знаејќи ги синусите, косинусите и тангентите на аглите на триаголникот и една од неговите страни, можете да ги најдете останатите.
Ќе нацртаме и табела со вредностите на синус, косинус, тангента и котангента за „добри“ агли од до.
Забележете ги двете црвени цртички во табелата. При соодветни аголни вредности, тангента и котангента не постојат.
Ајде да погледнеме неколку тригонометриски проблеми од FIPI Task Bank.
1. Во триаголник, аголот е , . Најдете .
Проблемот е решен за четири секунди.
Затоа што , .
2. Во триаголник, аголот е , , . Најдете .
Ајде да го најдеме користејќи ја Питагоровата теорема.
Проблемот е решен.
Често во проблемите има триаголници со агли и или со агли и. Запомнете ги основните соодноси за нив напамет!
За триаголник со агли и кракот спроти аголот во е еднаков на половина од хипотенузата.
Триаголник со агли и е рамнокрак. Во него хипотенузата е пати поголема од ногата.
Разгледавме проблеми за решавање правоаголни триаголници - односно наоѓање непознати страни или агли. Но, тоа не е се! Има многу проблеми во Обединетиот државен испит по математика кои вклучуваат синус, косинус, тангента или котангента на надворешен агол на триаголник. Повеќе за ова во следната статија.
Што е синус, косинус, тангента, котангента на агол ќе ви помогне да разберете правоаголен триаголник.
Како се викаат страните на правоаголен триаголник? Така е, хипотенузата и нозете: хипотенузата е страната што лежи спроти прав агол (во нашиот пример ова е страната \(AC\)); краците се двете преостанати страни \(AB\) и \(BC\) (оние кои се во непосредна близина на правиот агол), и ако ги земеме предвид катетите во однос на аголот \(BC\), тогаш кракот \(AB\) е соседниот крак, а кракот \(BC\) е спротивен. Значи, сега да одговориме на прашањето: што се синус, косинус, тангента и котангента на агол?
Синус на агол– ова е односот на спротивната (оддалечена) нога до хипотенузата.
Во нашиот триаголник:
\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]
Косинусот на аголот– ова е односот на соседната (блиска) нога до хипотенузата.
Во нашиот триаголник:
\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]
Тангента на аголот– ова е односот на спротивната (оддалечена) страна со соседната (блиска).
Во нашиот триаголник:
\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]
Котангенс на аголот– ова е односот на соседната (блиска) нога со спротивната (далеку).
Во нашиот триаголник:
\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]
Овие дефиниции се неопходни запомнете! За полесно да запомните која нога да ја поделите на што, треба јасно да го разберете тоа тангентаИ котангентасамо нозете седат, а хипотенузата се појавува само во синусИ косинус. И тогаш можете да излезете со синџир на асоцијации. На пример, овој:
Косинус→допир→допир→соседен;
Котангента → допир → допир → соседно.
Пред сè, треба да запомните дека синус, косинус, тангента и котангента, бидејќи односот на страните на триаголникот не зависат од должината на овие страни (по ист агол). Не верувам? Потоа уверете се гледајќи ја сликата:
Размислете, на пример, косинус на аголот \(\beta \) . По дефиниција, од триаголник \(ABC\) : \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), но можеме да го пресметаме косинусот на аголот \(\beta \) од триаголникот \(AHI \) : \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). Гледате, должините на страните се различни, но вредноста на косинус од еден агол е иста. Така, вредностите на синус, косинус, тангента и котангента зависат исклучиво од големината на аголот.
Ако ги разбирате дефинициите, тогаш продолжи и консолидирај ги!
За триаголникот \(ABC \) прикажан на сликата подолу, наоѓаме \(\sin \\алфа,\ \cos \\алфа,\ tg\ \алфа,\ ctg\ \алфа \).
\(\begin(низа)(l)\sin \\alpha =\dfrac(4)(5)=0,8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0,6\\ tg\ \алфа =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \алфа =\dfrac(3)(4)=0,75\крај (низа) \)
Па, дали го добивте? Потоа обидете се сами: пресметајте го истото за аголот \(\beta \) .
Одговори: \(\sin \ \бета =0,6;\ \cos \ \бета =0,8;\ tg\ \бета =0,75;\ ctg\ \бета =\dfrac(4)(3) \).
Единица (тригонометриски) круг
Разбирање на концептите на степени и радијани, разгледавме круг со радиус еднаков на \(1\) . Таков круг се нарекува сингл. Тоа ќе биде многу корисно при изучување на тригонометрија. Затоа, да го разгледаме малку подетално.
Како што можете да видите, овој круг е конструиран во Декартовиот координатен систем. Радиусот на кругот е еднаков на еден, додека центарот на кругот лежи на почетокот на координатите, почетната позиција на векторот на радиусот е фиксирана долж позитивната насока на оската \(x\) (во нашиот пример, ова е радиусот \(AB\)).
Секоја точка на кругот одговара на два броја: координатата долж оската \(x\) и координатата по оската \(y\). Кои се овие координатни броеви? И воопшто, каква врска имаат тие со темата што се работи? За да го направите ова, треба да запомниме за разгледуваниот правоаголен триаголник. На сликата погоре, можете да видите два цели правоаголни триаголници. Размислете за триаголникот \(ACG\) . Тој е правоаголен бидејќи \(CG\) е нормално на оската \(x\).
Што е \(\cos \ \alpha \) од триаголникот \(ACG \)? Тоа е точно \(\cos \\алфа =\dfrac(AG)(AC) \). Дополнително, знаеме дека \(AC\) е радиусот на единечниот круг, што значи \(AC=1\) . Ајде да ја замениме оваа вредност во нашата формула за косинус. Еве што се случува:
\(\cos \\алфа =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).
На што е еднакво \(\sin \ \alpha \) од триаголникот \(ACG \)? Па, се разбира, \(\sin \алфа =\dfrac(CG)(AC)\)! Заменете ја вредноста на радиусот \(AC\) во оваа формула и добијте:
\(\sin \алфа =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)
Значи, можете ли да кажете какви координати има точката \(C\) што припаѓа на кругот? Па, нема шанси? Што ако сфатите дека \(\cos \ \alpha \) и \(\sin \alpha \) се само бројки? На која координата одговара \(\cos \alpha \)? Па, се разбира, координатата \(x\)! И на која координата одговара \(\sin \alpha \)? Така е, координирајте \(y\)! Значи поентата \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).
На што тогаш се \(tg \alpha \) и \(ctg \alpha \) еднакви? Така е, ајде да ги користиме соодветните дефиниции за тангента и котангента и да го добиеме тоа \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha)(\cos \alpha)=\dfrac(y)(x) \), А \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha)(\sin \alpha)=\dfrac(x)(y) \).
Што ако аголот е поголем? На пример, како на оваа слика:
Што се смени во овој пример? Ајде да го сфатиме. За да го направите ова, ајде повторно да се свртиме кон правоаголен триаголник. Размислете за правоаголен триаголник \(((A)_(1))(C)_(1))G \) : агол (во непосредна близина на аголот \(\beta \) ). Која е вредноста на синус, косинус, тангента и котангента за агол \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \\)? Така е, ние се придржуваме до соодветните дефиниции за тригонометриските функции:
\(\почеток(низа)(l)\sin \агол ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \агол ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\агол ((C )_(1) ((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\агол ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)((C)_(1 ))G)=\dfrac(x)(y)\крај (низа) \)
Па, како што можете да видите, вредноста на синусот на аголот сè уште одговара на координатата \(y\) ; вредноста на косинус на аголот - координата \(x\) ; и вредностите на тангента и котангента на соодветните соодноси. Така, овие односи се однесуваат на секоја ротација на векторот на радиусот.
Веќе беше споменато дека почетната позиција на векторот на радиусот е долж позитивната насока на оската \(x\). Досега го ротиравме овој вектор спротивно од стрелките на часовникот, но што ќе се случи ако го ротираме во насока на стрелките на часовникот? Ништо извонредно, ќе добиете и агол со одредена вредност, но само тој ќе биде негативен. Така, при ротирање на векторот на радиус спротивно од стрелките на часовникот, добиваме позитивни агли, и кога се ротира во насока на стрелките на часовникот - негативен.
Значи, знаеме дека целата револуција на векторот на радиусот околу кругот е \(360()^\circ \) или \(2\pi \) . Дали е можно да се ротира векторот на радиусот за \(390()^\circ \) или со \(-1140()^\circ \)? Па, секако дека можеш! Во првиот случај, \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), така, векторот на радиусот ќе направи една целосна револуција и ќе застане на позицијата \(30()^\circ \) или \(\dfrac(\pi )(6) \) .
Во вториот случај, \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), односно векторот на радиусот ќе направи три целосни вртежи и ќе застане на позицијата \(-60()^\circ \) или \(-\dfrac(\pi )(3) \) .
Така, од горенаведените примери можеме да заклучиме дека аглите што се разликуваат за \(360()^\circ \cdot m\) или \(2\pi \cdot m\) (каде \(m \) е кој било цел број ), одговараат на истата положба на векторот на радиусот.
Сликата подолу го прикажува аголот \(\beta =-60()^\circ \) . Истата слика одговара на аголот \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \)итн. Оваа листа може да се продолжи на неодредено време. Сите овие агли може да се напишат со општата формула \(\бета +360()^\circ \cdot m\)или \(\beta +2\pi \cdot m \) (каде што \(m\) е кој било цел број)
\(\begin(низа)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\ 300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end (низа) \)
Сега, знаејќи ги дефинициите на основните тригонометриски функции и користејќи го единечниот круг, обидете се да одговорите кои се вредностите:
\(\begin(низа)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \\pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\текст(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\текст (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\текст (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(низа) \)
Еве еден круг единица за да ви помогне:
Имате потешкотии? Тогаш ајде да го сфатиме. Значи знаеме дека:
\(\begin(низа)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x )(y).\крај(низа)\)
Оттука, ги одредуваме координатите на точките што одговараат на одредени мерки на агол. Па, да почнеме по ред: аголот внатре \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \)одговара на точка со координати \(\left(0;1 \десно) \) , затоа:
\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;
\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;
\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\десна стрелка \text(tg)\ 90()^\circ \)- не постои;
\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).
Понатаму, придржувајќи се до истата логика, дознаваме дека аглите во \(180()^\circ,\ 270()^\circ,\ 360()^\circ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ )одговараат на точки со координати \(\лево(-1;0 \десно),\текст()\лево(0;-1 \десно),\текст( )\лево(1;0 \десно),\текст( )\лево(0 ;1 \десно) \), соодветно. Знаејќи го ова, лесно е да се одредат вредностите на тригонометриските функции во соодветните точки. Прво пробајте сами, а потоа проверете ги одговорите.
Одговори:
\(\приказ стил \sin \180()^\circ =\sin \\pi =0 \)
\(\displaystyle \cos \180()^\circ =\cos \\pi =-1\)
\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)
\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Десна стрелка \text(ctg)\ \pi \)- не постои
\(\sin \270()^\circ =-1\)
\(\cos \ 270()^\circ =0 \)
\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\десна стрелка \text(tg)\ 270()^\circ \)- не постои
\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)
\(\sin \360()^\circ =0\)
\(\cos \360()^\circ =1\)
\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)
\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Десна стрелка \text(ctg)\ 2\pi \)- не постои
\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \десно)=\sin \ 90()^\circ =1 \)
\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \десно)=\cos \ 90()^\circ =0 \)
\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \десно)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\десна стрелка \text(tg)\ 450()^\circ \)- не постои
\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \десно)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).
Така, можеме да ја направиме следната табела:
Нема потреба да се сеќавате на сите овие вредности. Доволно е да се запамети кореспонденцијата помеѓу координатите на точките на единечниот круг и вредностите на тригонометриските функции:
\(\лево. \почеток(низа)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(низа) \right\)\ \text(Мора да го запомните или да можете да го прикажете!! \) !}
Но, вредностите на тригонометриските функции на аглите во и \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4)\)дадени во табелата подолу, мора да запомните:
Не плашете се, сега ќе ви покажеме еден пример за прилично едноставно меморирање на соодветните вредности:
За да се користи овој метод, од витално значење е да се запаметат синусните вредности за сите три мерки на агол ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi)(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi)(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3)\)), како и вредноста на тангентата на аголот во \(30()^\circ \) . Знаејќи ги овие \(4\) вредности, прилично е едноставно да се врати целата табела - косинусните вредности се пренесуваат во согласност со стрелките, односно:
\(\begin(низа)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3 ))(2)\ \крај (низа) \)
\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \), знаејќи го ова, можете да ги вратите вредностите за \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). Броителот „\(1 \)“ ќе одговара на \(\text(tg)\ 45()^\circ \\), а именителот „\(\sqrt(\text(3)) \)“ ќе одговара на \(\текст (tg)\ 60()^\circ \ \) . Вредностите на котангентите се пренесуваат во согласност со стрелките наведени на сликата. Ако го разбирате ова и се сеќавате на дијаграмот со стрелките, тогаш ќе биде доволно да запомните само \(4\) вредности од табелата.
Координати на точка на круг
Дали е можно да се најде точка (неговите координати) на круг, знаејќи ги координатите на центарот на кругот, неговиот радиус и аголот на ротација? Па, секако дека можеш! Да изведеме општа формула за наоѓање на координатите на точка. На пример, еве еден круг пред нас:
Ни е дадена таа точка \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \)- центарот на кругот. Радиусот на кругот е \(1,5\) . Потребно е да се најдат координатите на точката \(P\) добиени со ротирање на точката \(O\) за \(\делта \) степени.
Како што може да се види од сликата, координатата \(x\) на точката \(P\) одговара на должината на отсечката \(TP=UQ=UK+KQ\) . Должината на отсечката \(Велика Британија\) одговара на координатата \(x\) на центарот на кругот, односно е еднаква на \(3\) . Должината на сегментот \(KQ\) може да се изрази користејќи ја дефиницијата за косинус:
\(\cos \ \делта =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Десна стрелка KQ=r\cdot \cos \ \делта \).
Тогаш имаме дека за точката \(P\) координатата \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \делта =3+1,5\cdot \cos \ \делта \).
Користејќи ја истата логика, ја наоѓаме вредноста на координатата y за точката \(P\) . Така,
\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \делта =2+1,5\cdot \sin \делта \).
Значи, генерално, координатите на точките се одредуваат со формулите:
\(\почеток(низа)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \делта \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \делта \крај (низа) \), Каде
\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - координати на центарот на кругот,
\(r\) - радиус на кругот,
\(\делта \) - агол на ротација на векторскиот радиус.
Како што можете да видите, за единечниот круг што го разгледуваме, овие формули се значително намалени, бидејќи координатите на центарот се еднакви на нула, а радиусот е еднаков на еден:
\(\почеток(низа)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \делта =0+1\cdot \cos \ \делта =\cos \ \делта \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \\делта =0+1\cdot \sin \ \делта =\sin \ \делта \крај (низа) \)
Javascript е оневозможен во вашиот прелистувач.За да извршите пресметки, мора да овозможите ActiveX контроли!
Тригонометријата е гранка на математичката наука која ги проучува тригонометриските функции и нивната употреба во геометријата. Развојот на тригонометријата започна во античка Грција. Во текот на средниот век, научниците од Блискиот Исток и Индија дадоа важен придонес во развојот на оваа наука.
Оваа статија е посветена на основните концепти и дефиниции за тригонометријата. Се дискутира за дефинициите на основните тригонометриски функции: синус, косинус, тангента и котангента. Нивното значење е објаснето и илустрирано во контекст на геометријата.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Првично, дефинициите на тригонометриските функции чиј аргумент е агол беа изразени во однос на односот на страните на правоаголен триаголник.
Дефиниции на тригонометриски функции
Синус на агол (sin α) е односот на кракот спроти овој агол со хипотенузата.
Косинусот на аголот (cos α) - односот на соседната нога до хипотенузата.
Аголна тангента (t g α) - односот на спротивната страна со соседната страна.
Агол котангенс (c t g α) - односот на соседната страна со спротивната страна.
Овие дефиниции се дадени за остриот агол на правоаголен триаголник!
Ајде да дадеме илустрација.
Во триаголникот ABC со прав агол C, синусот на аголот A е еднаков на односот на кракот BC и хипотенузата AB.
Дефинициите за синус, косинус, тангента и котангента ви овозможуваат да ги пресметате вредностите на овие функции од познатите должини на страните на триаголникот.
Важно е да се запамети!
Опсегот на вредности на синус и косинус е од -1 до 1. Со други зборови, синусот и косинусот земаат вредности од -1 до 1. Опсегот на вредности на тангента и котангента е целата нумеричка линија. односно овие функции можат да добијат какви било вредности.
Дефинициите дадени погоре се однесуваат на акутните агли. Во тригонометријата се воведува концепт на агол на ротација чија вредност за разлика од остриот агол не е ограничена на 0 до 90 степени.Аголот на ротација во степени или радијани се изразува со кој било реален број од - ∞ до + ∞ .
Во овој контекст, можеме да дефинираме синус, косинус, тангента и котангента со агол со произволна големина. Дозволете ни да замислиме единечен круг со неговиот центар на почетокот на Декартовиот координатен систем.
Почетната точка А со координати (1, 0) се врти околу центарот на единечниот круг низ одреден агол α и оди до точката А 1. Дефиницијата е дадена во однос на координатите на точката A 1 (x, y).
Синус (грев) на аголот на ротација
Синус на аголот на ротација α е ординатата на точката A 1 (x, y). sin α = y
Косинусот (cos) на аголот на ротација
Косинусот на аголот на ротација α е апсциса на точката A 1 (x, y). cos α = x
Тангента (tg) на аголот на ротација
Тангентата на аголот на вртење α е односот на ординатата на точката A 1 (x, y) до нејзината апсциса. t g α = y x
Котангенс (ctg) на аголот на ротација
Котангенсот на аголот на ротација α е односот на апсцисата на точката A 1 (x, y) до нејзината ордината. c t g α = x y
Синус и косинус се дефинирани за секој агол на ротација. Ова е логично, бидејќи апсцисата и ординатата на точка по ротација може да се одредат под кој било агол. Поинаква е ситуацијата со тангентата и котангентата. Тангентата е недефинирана кога точка по ротација оди во точка со нулта апсциса (0, 1) и (0, - 1). Во такви случаи, изразот за тангента t g α = y x едноставно нема смисла, бидејќи содржи делење со нула. Слична е ситуацијата и со котангенсот. Разликата е во тоа што котангенсот не е дефиниран во случаи кога ординатата на точка оди на нула.
Важно е да се запамети!
Синус и косинус се дефинирани за сите агли α.
Тангентата е дефинирана за сите агли освен α = 90° + 180° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z)
Котангенсот е дефиниран за сите агли освен α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)
Кога решавате практични примери, не кажувајте „синус на аголот на ротација α“. Зборовите „агол на ротација“ се едноставно изоставени, што значи дека веќе е јасно од контекстот што се дискутира.
Броеви
Што е со дефиницијата за синус, косинус, тангента и котангента на број, а не за аголот на ротација?
Синус, косинус, тангента, котангента на број
Синус, косинус, тангента и котангента на број те број што е соодветно еднаков на синус, косинус, тангента и котангента во традијан.
На пример, синусот на бројот 10 π е еднаков на синусот на аголот на ротација од 10 π rad.
Постои уште еден пристап за одредување на синус, косинус, тангента и котангента на број. Ајде да го разгледаме подетално.
Било кој реален број тточка на единечниот круг е поврзана со центарот на потеклото на правоаголниот Декартов координатен систем. Синус, косинус, тангента и котангента се одредуваат преку координатите на оваа точка.
Почетна точка на кругот е точката А со координати (1, 0).
Позитивен број т
Негативен број тодговара на точката до која ќе оди почетната точка ако се движи околу кругот спротивно од стрелките на часовникот и ја помине патеката т.
Сега кога е воспоставена врската помеѓу број и точка на круг, преминуваме на дефиницијата на синус, косинус, тангента и котангента.
Синус (грев) на т
Синус на број т- ордината на точка на единечната кружница што одговара на бројот т. sin t = y
Косинусот (cos) на т
Косинусот на број т- апсциса на точката на единечниот круг што одговара на бројот т. cos t = x
Тангента (tg) на т
Тангента на број т- односот на ординатата и апсцисата на точка на единечната кружница што одговара на бројот т. t g t = y x = грев t cos t
Најновите дефиниции се во согласност и не се во спротивност со дефиницијата дадена на почетокот на овој став. Точка на кругот што одговара на бројот т, се совпаѓа со точката до која оди почетната точка по вртење за агол традијан.
Тригонометриски функции на аголен и нумерички аргумент
Секоја вредност на аголот α одговара на одредена вредност на синусот и косинусот на овој агол. Исто како и сите агли α освен α = 90 ° + 180 ° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z) одговараат на одредена тангента вредност. Котангента, како што е наведено погоре, е дефинирана за сите α, освен α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z).
Можеме да кажеме дека sin α, cos α, t g α, c t g α се функции на аголот алфа, или функции на аголниот аргумент.
Слично на тоа, можеме да зборуваме за синус, косинус, тангента и котангента како функции на нумерички аргумент. Секој реален број тодговара на одредена вредност на синусот или косинусот на некој број т. Сите броеви освен π 2 + π · k, k ∈ Z, одговараат на тангента вредност. Котангента, слично, е дефинирана за сите броеви освен π · k, k ∈ Z.
Основни функции на тригонометријата
Синус, косинус, тангента и котангента се основните тригонометриски функции.
Обично од контекстот е јасно со кој аргумент на тригонометриската функција (аголен аргумент или нумерички аргумент) имаме работа.
Да се вратиме на дефинициите дадени на самиот почеток и на алфа аголот, кој се наоѓа во опсег од 0 до 90 степени. Тригонометриските дефиниции за синус, косинус, тангента и котангенс се целосно конзистентни со геометриските дефиниции дадени со односот на страничниот агол на правоаголен триаголник. Ајде да го покажеме.
Да земеме единична кружница со центар во правоаголен Декартов координатен систем. Ајде да ја ротираме почетната точка A (1, 0) за агол до 90 степени и да нацртаме нормална на оската на апсцисата од добиената точка A 1 (x, y). Во добиениот правоаголен триаголник, аголот A 1 O H е еднаков на аголот на ротација α, должината на кракот O H е еднаква на апсцисата на точката A 1 (x, y). Должината на кракот спроти аголот е еднаква на ординатата на точката A 1 (x, y), а должината на хипотенузата е еднаква на еден, бидејќи е радиус на единечната кружница.
Во согласност со дефиницијата од геометријата, синусот на аголот α е еднаков на односот на спротивната страна со хипотенузата.
sin α = A 1 H O A 1 = y 1 = y
Ова значи дека одредувањето на синусот на остар агол во правоаголен триаголник низ односот на аспект е еквивалентно на одредување на синусот на аголот на ротација α, при што алфата лежи во опсег од 0 до 90 степени.
Слично на тоа, кореспонденцијата на дефинициите може да се прикаже за косинус, тангента и котангента.
Доколку забележите грешка во текстот, означете ја и притиснете Ctrl+Enter
Се вчитува...
