Овој наставен материјал е само за референца и се однесува на широк спектар на теми. Статијата дава преглед на графиконите на основните елементарни функции и го разгледува најважното прашање - како правилно и БРЗО да се изгради графикон. Во текот на изучувањето на вишата математика без познавање на графиконите на основните елементарни функции ќе биде тешко, затоа е многу важно да се запамети како изгледаат графиконите на парабола, хипербола, синус, косинус и сл., а запомнете некои на значењата на функциите. Ќе зборуваме и за некои својства на главните функции.

Не тврдам комплетност и научна темелност на материјалите, акцентот ќе биде ставен, пред сè, на практиката - оние работи со кои се среќава буквално на секој чекор, во која било тема од вишата математика. Табели за кукли? Така може да се каже.

Поради многубројните барања на читателите табела со содржина што може да се кликне:

Во продолжение има ултракраток синопсис на темата
– совладајте 16 видови графикони со проучување на ШЕСТ страници!

Сериозно, шест, дури и јас бев изненаден. Ова резиме содржи подобрена графика и е достапно за номинална такса; може да се погледне демо верзија. Удобно е да се испечати датотеката така што графиконите се секогаш при рака. Ви благодариме за поддршката на проектот!

И да почнеме веднаш:

Како правилно да се конструираат координатни оски?

Во пракса, тестовите речиси секогаш ги пополнуваат учениците во посебни тетратки, наредени на квадрат. Зошто ви се потребни карирани ознаки? На крајот на краиштата, работата, во принцип, може да се направи на листови А4. А кафезот е неопходен само за висококвалитетен и прецизен дизајн на цртежи.

Секое цртање на функционален график започнува со координатни оски.

Цртежите можат да бидат дводимензионални или тридимензионални.

Ајде прво да го разгледаме дводимензионалниот случај Декартов правоаголен координатен систем:

1) Нацртајте координатни оски. Оската се нарекува x-оска , а оската е y-оска . Секогаш се трудиме да ги нацртаме уредно и не криво. Стрелките исто така не треба да личат на брадата на Папа Карло.

2) Ги потпишуваме оските со големи букви „X“ и „Y“. Не заборавајте да ги означите секирите.

3) Поставете ја скалата по оските: нацртајте нула и два. Кога правите цртеж, најзгодната и најчесто користена скала е: 1 единица = 2 ќелии (цртеж лево) - ако е можно, држете се до неа. Меѓутоа, одвреме-навреме се случува цртежот да не се вклопи на листот на тетратката - тогаш ја намалуваме скалата: 1 единица = 1 ќелија (цртеж од десната страна). Тоа е ретко, но се случува обемот на цртежот да се намали (или да се зголеми) уште повеќе

НЕМА ПОТРЕБА од „митралез“…-5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,….Зашто координатната рамнина не е споменик на Декарт, а ученикот не е гулаб. Ние ставивме нулаИ две единици долж оските. Понекогаш наместоединици, погодно е да се „означат“ други вредности, на пример, „два“ на оската на апсцисата и „три“ на оската на ординатите - и овој систем (0, 2 и 3) исто така уникатно ќе ја дефинира координатната мрежа.

Подобро е да се проценат проценетите димензии на цртежот ПРЕД да се конструира цртежот. Така, на пример, ако задачата бара цртање триаголник со темиња , , , тогаш е сосема јасно дека популарната скала од 1 единица = 2 ќелии нема да работи. Зошто? Ајде да ја погледнеме поентата - тука ќе треба да измерите петнаесет сантиметри надолу, и, очигледно, цртежот нема да се вклопи (или едвај се вклопува) на лист од тетратка. Затоа, веднаш избираме помала скала: 1 единица = 1 ќелија.

Патем, околу сантиметри и тетратки ќелии. Дали е вистина дека 30 ќелии за тетратки содржат 15 сантиметри? За забава измерете 15 сантиметри во тетратката со линијар. Во СССР ова можеби беше точно... Интересно е да се забележи дека ако ги измерите истите овие сантиметри хоризонтално и вертикално, резултатите (во ќелиите) ќе бидат различни! Строго кажано, модерните тетратки не се карирани, туку правоаголни. Ова може да изгледа бесмислено, но цртањето, на пример, круг со компас во такви ситуации е многу незгодно. Да бидам искрен, во такви моменти почнувате да размислувате за исправноста на другарот Сталин, кој беше испратен во кампови за хакерска работа во производството, а да не зборуваме за домашната автомобилска индустрија, паѓање авиони или експлозии на електрани.

Зборувајќи за квалитет, или кратка препорака за канцелариски материјал. Денес, повеќето од тетратките што се во продажба се, во најмала рака, целосна глупост. Од причина што се навлажнуваат, и тоа не само од гел пенкала, туку и од хемиско пенкала! Заштедуваат пари на хартија. За да ги завршите тестовите, препорачувам да користите тетратки од мелницата за пулпа и хартија Архангелск (18 листови, квадрат) или „Пјатерочка“, иако е поскапо. Препорачливо е да изберете гел пенкало; дури и најевтиниот кинески гел за полнење е многу подобар од хемиско пенкало, кое или ја размачка или кине хартијата. Единственото „конкурентно“ хемиско пенкало на кое можам да се сетам е Ерих Краузе. Таа пишува јасно, убаво и доследно – дали со полно јадро или со речиси празно.

дополнително: Визијата за правоаголен координатен систем низ очите на аналитичката геометрија е опфатена во статијата Линеарна (не) зависност на вектори. Основа на вектори, детални информации за координатни четвртини може да се најдат во вториот пасус од лекцијата Линеарни неравенки.

3D куќиште

Овде е скоро исто.

1) Нацртајте координатни оски. Стандард: оската се применуваат – насочена нагоре, оска – насочена надесно, оска – насочена надолу кон лево строгопод агол од 45 степени.

2) Обележете ги оските.

3) Поставете ја скалата долж оските. Скалата долж оската е два пати помала од скалата долж другите оски. Исто така, забележете дека во десниот цртеж користев нестандарден "засек" по должината на оската (оваа можност е веќе спомената погоре). Од моја гледна точка, ова е попрецизно, побрзо и естетски попријатно - нема потреба да се бара средината на клетката под микроскоп и да се „изваја“ единица блиску до потеклото на координатите.

Кога правите 3D цртеж, повторно, дајте приоритет на размерот
1 единица = 2 ќелии (цртеж лево).

За што се сите овие правила? Правилата се направени за да се прекршат. Тоа е она што ќе го направам сега. Факт е дека следните цртежи на статијата ќе бидат направени од мене во Excel, а координатните оски ќе изгледаат неточни од гледна точка на правилен дизајн. Би можел да ги нацртам сите графикони со рака, но всушност е страшно да ги нацртам бидејќи Excel не сака да ги нацрта многу попрецизно.

Графикони и основни својства на елементарните функции

Линеарна функција е дадена со равенката. Графикот на линеарни функции е директно. За да се изгради права линија, доволно е да се знаат две точки.

Пример 1

Конструирај график на функцијата. Ајде да најдеме две точки. Поволно е да се избере нула како една од точките.

Ако тогаш

Да земеме уште една точка, на пример, 1.

Ако тогаш

При завршување на задачите, координатите на точките обично се сумираат во табела:

И самите вредности се пресметуваат усно или на нацрт, калкулатор.

Пронајдени се две точки, ајде да го направиме цртежот:

Кога подготвуваме цртеж, секогаш ја потпишуваме графиката.

Би било корисно да се потсетиме на посебни случаи на линеарна функција:

Забележете како ги ставив потписите, потписите не треба да дозволуваат несогласувања при проучување на цртежот. Во овој случај, беше крајно непожелно да се стави потпис до точката на вкрстување на линиите или долу десно помеѓу графиконите.

1) Линеарна функција од формата () се нарекува директна пропорционалност. На пример,. Графикот на директна пропорционалност секогаш поминува низ потеклото. Така, конструирањето права линија е поедноставено - доволно е да се најде само една точка.

2) Равенката на формата одредува права линија паралелна на оската, особено, самата оска е дадена со равенката. Графикот на функцијата се исцртува веднаш, без да се најдат точки. Односно, записот треба да се разбере на следниов начин: „y е секогаш еднаков на –4, за која било вредност на x“.

3) Равенката на формата одредува права линија паралелна на оската, особено самата оска е дадена со равенката. Веднаш се исцртува и графикот на функцијата. Влезот треба да се разбере на следниов начин: „x е секогаш, за која било вредност на y, еднаква на 1“.

Некои ќе прашаат, зошто се сеќавате на 6-то одделение?! Така е, можеби е така, но со текот на годините на пракса запознав десетина студенти кои беа збунети од задачата да направат график како или.

Конструирањето права линија е најчестото дејство при изработка на цртежи.

Правата линија е детално дискутирана во текот на аналитичката геометрија, а заинтересираните можат да се повикаат на статијата Равенка на права линија на рамнина.

График на квадратна, кубна функција, график на полином

Парабола. График на квадратна функција () претставува парабола. Размислете за познатиот случај:

Да се ​​потсетиме на некои својства на функцијата.

Значи, решението на нашата равенка: – токму во оваа точка се наоѓа темето на параболата. Зошто е тоа така може да се дознае од теоретскиот напис за изводот и лекцијата за екстреми на функцијата. Во меѓувреме, да ја пресметаме соодветната вредност „Y“:

Така, темето е во точката

Сега наоѓаме други точки, додека дрско ја користиме симетријата на параболата. Треба да се напомене дека функцијата – не е дури, но, сепак, никој не ја откажал симетријата на параболата.

По кој редослед да се најдат преостанатите бодови, мислам дека ќе биде јасно од конечната табела:

Овој конструктивен алгоритам фигуративно може да се нарече „шатл“ или принцип „напред и назад“ со Анфиса Чехова.

Ајде да го направиме цртежот:

Од испитаните графикони, на ум ми доаѓа уште една корисна карактеристика:

За квадратна функција () точно е следново:

Ако , тогаш гранките на параболата се насочени нагоре.

Ако , тогаш гранките на параболата се насочени надолу.

Продлабочено знаење за кривата може да се добие на часот Хипербола и парабола.

Со функцијата е дадена кубна парабола. Еве еден цртеж познат од училиштето:

Да ги наведеме главните својства на функцијата

График на функција

Претставува една од гранките на параболата. Ајде да го направиме цртежот:

Главните својства на функцијата:

Во овој случај, оската е вертикална асимптота за графикот на хипербола кај .

Би било ГРУМА грешка ако при изготвувањето на цртежот безгрижно дозволите графикот да се вкрсти со асимптота.

Исто така, едностраните граници ни кажуваат дека хиперболата не е ограничен одозгораИ не е ограничен одоздола.

Да ја испитаме функцијата во бесконечност: , односно, ако почнеме да се движиме по оската лево (или десно) до бесконечност, тогаш „игрите“ ќе бидат во уреден чекор бескрајно блискупристап до нула, и, соодветно, гранките на хиперболата бескрајно блискусе приближи до оската.

Значи, оската е хоризонтална асимптота за графикот на функцијата, ако „x“ се стреми кон плус или минус бесконечност.

Функцијата е чудно, и, според тоа, хиперболата е симетрична во однос на потеклото. Овој факт е очигледен од цртежот, покрај тоа, лесно се проверува аналитички: .

Графикот на функција од формата () претставува две гранки на хипербола.

Ако , тогаш хиперболата се наоѓа во првата и третата координатна четвртина(види слика погоре).

Ако , тогаш хиперболата се наоѓа во втората и четвртата координатна четвртина.

Посочената шема на престој на хипербола е лесно да се анализира од гледна точка на геометриските трансформации на графиконите.

Пример 3

Конструирај ја десната гранка на хиперболата

Ние го користиме методот на градење по точка, и поволно е да се изберат вредностите така што тие се деливи со целина:

Ајде да го направиме цртежот:

Нема да биде тешко да се конструира левата гранка на хиперболата; тука ќе помогне необичноста на функцијата. Грубо кажано, во табелата за конструкција на точка, ментално додаваме минус на секој број, ги ставаме соодветните точки и ја цртаме втората гранка.

Детални геометриски информации за разгледуваната линија може да се најдат во статијата Хипербола и парабола.

График на експоненцијална функција

Во овој дел, веднаш ќе ја разгледам експоненцијалната функција, бидејќи во проблемите на вишата математика во 95% од случаите се појавува експоненцијалната.

Дозволете ми да ве потсетам дека ова е ирационален број: , ова ќе биде потребно при конструирање график, кој, всушност, ќе го изградам без церемонија. Три бода се веројатно доволни:

Ајде да го оставиме графикот на функцијата сам за сега, повеќе за него подоцна.

Главните својства на функцијата:

Графиконите на функции, итн., изгледаат фундаментално исто.

Морам да кажам дека вториот случај се јавува поретко во пракса, но се случува, па затоа сметав дека е неопходно да го вклучам во оваа статија.

График на логаритамска функција

Размислете за функција со природен логаритам.
Ајде да направиме цртеж точка-по-точка:

Ако сте заборавиле што е логаритам, ве молиме погледнете ги вашите училишни учебници.

Главните својства на функцијата:

Домен:

Опсег на вредности: .

Функцијата не е ограничена одозгора: , иако бавно, но гранката на логаритмот оди до бесконечност.
Да го испитаме однесувањето на функцијата близу нула десно: . Значи, оската е вертикална асимптота за графикот на функција како „x“ се стреми кон нула од десно.

Императив е да се знае и да се запамети типичната вредност на логаритамот: .

Во принцип, графикот на логаритамот до основата изгледа исто: , , (децимален логаритам до основата 10) итн. Згора на тоа, колку е поголема основата, графикот ќе биде порамен.

Ние нема да го разгледаме случајот; не се сеќавам кога последен пат направив графикон со таква основа. А логаритамот се чини дека е многу редок гостин во проблемите од вишата математика.

На крајот од овој став ќе кажам уште еден факт: Експоненцијална функција и логаритамска функција– ова се две меѓусебно инверзни функции. Ако внимателно го погледнете графикот на логаритмот, можете да видите дека ова е истиот експонент, само што се наоѓа малку поинаку.

Графикони на тригонометриски функции

Каде започнува тригонометриското мачење на училиште? Во право. Од синус

Ајде да ја нацртаме функцијата

Оваа линија се нарекува синусоид.

Да те потсетам дека „пи“ е ирационален број: , а во тригонометријата ти ги заслепува очите.

Главните својства на функцијата:

Оваа функција е периодичнисо период . Што значи тоа? Да го погледнеме сегментот. Лево и десно од него, точно истото парче од графиконот се повторува бескрајно.

Домен: , односно за која било вредност на „x“ има синусна вредност.

Опсег на вредности: . Функцијата е ограничен: , односно, сите „игри“ се строго во сегментот .
Ова не се случува: или, поточно, се случува, но овие равенки немаат решение.

- — [] квадратна функција Функција од формата y= ax2 + bx + c (a ? 0). Графикон К.ф. - парабола, чие теме има координати [ b/ 2a, (b2 4ac) / 4a], со a>0 гранки на параболата ... ...

КВАДРАТСКА ФУНКЦИЈА, математичка ФУНКЦИЈА чија вредност зависи од квадратот на независната променлива, x, и е дадена, соодветно, со квадратен ПОЛИНОМ, на пример: f(x) = 4x2 + 17 или f(x) = x2 + 3x + 2. види исто така РАВЕНКАТА НА КАВАРАТИ ... Научно-технички енциклопедиски речник

Квадратна функција- Квадратна функција - функција од формата y= ax2 + bx + c (a ≠ 0). Графикон К.ф. - парабола, чие теме има координати [ b/ 2a, (b2 4ac) / 4a], за a> 0 гранките на параболата се насочени нагоре, за a< 0 –вниз… …

- (квадратни) Функција што ја има следната форма: y=ax2+bx+c, каде a≠0, а највисокиот степен на x е квадрат. Квадратната равенка y=ax2 +bx+c=0 може да се реши и со следнава формула: x= –b+ √ (b2–4ac) /2a. Овие корени се вистински... Економски речник

Афина квадратна функција на афин простор S е која било функција Q: S→K која има форма Q(x)=q(x)+l(x)+c во векторизирана форма, каде што q е квадратна функција, l е линеарна функција, c е константа. Содржина 1 Поместување на референтната точка 2 ... ... Википедија

Афина квадратна функција на афин простор е секоја функција која има форма во векторизирана форма, каде што е симетрична матрица, линеарна функција, константа. Содржина... Википедија

Функција на векторски простор дефиниран со хомоген полином од втор степен во координатите на векторот. Содржина 1 Дефиниција 2 Поврзани дефиниции... Википедија

- е функција која во теоријата на статистичките одлуки ги карактеризира загубите поради неправилно одлучување врз основа на набљудуваните податоци. Ако се реши проблемот со проценка на параметар на сигналот на позадината на бучава, тогаш функцијата за загуба е мерка за несовпаѓање... ... Википедија

целна функција- - [Ya.N.Luginsky, M.S.Fezi Zhilinskaya, Yu.S.Kabirov. Англиско-руски речник на електротехниката и енергетското инженерство, Москва, 1999] целна функција Кај екстремните проблеми, функцијата чиј минимум или максимум се бара да се најде. Ова…… Водич за технички преведувач

Објективна функција- во екстремни проблеми, функција чиј минимум или максимум треба да се најде. Ова е клучен концепт во оптималното програмирање. Откако го пронашол екстремумот на Ц.ф. и, според тоа, со одредување на вредностите на контролираните променливи што одат до него... ... Економски и математички речник

Книги

• Комплет маси. Математика. Графикони на функции (10 табели), . Едукативен албум од 10 листови. Линеарна функција. Графичко и аналитичко доделување на функции. Квадратна функција. Трансформирање на графикот на квадратна функција. Функција y=sinx. Функција y=cosx.…
• Најважната функција на училишната математика е квадратната - во задачи и решенија, Петров Н.Н.. Квадратната функција е главната функција на училишниот предмет по математика. Не е ни чудо. Од една страна, едноставноста на оваа функција, а од друга, длабокото значење. Многу училишни задачи...