Од училиште, сите го знаеме правилото за степенување: секој број со експонент N е еднаков на резултатот од множење на овој број со себе N број пати. Со други зборови, 7 на моќ од 3 е 7 помножено со себе три пати, односно 343. Друго правило е дека со подигање на која било количина на сила од 0 се добива едно, а подигањето негативна количина е резултат на обичното подигање на моќноста ако е парна, а истиот резултат со знак минус ако е непарен.

Правилата исто така даваат одговор како да се подигне број на негативна моќност. За да го направите ова, треба да ја подигнете потребната вредност за модулот на индикаторот на вообичаен начин, а потоа да ја поделите единицата со резултатот.

Од овие правила станува јасно дека извршувањето на вистински задачи кои вклучуваат големи количини ќе бара присуство на технички средства. Рачно можете сами да помножите максимален опсег на броеви до дваесет до триесет, а потоа не повеќе од три или четири пати. Ова не е да се спомене потоа делење на еден со резултатот. Затоа, за оние кои немаат при рака специјален инженерски калкулатор, ќе ви кажеме како да подигнете број на негативна моќност во Excel.

Решавање проблеми во Excel

За да ги решите проблемите кои вклучуваат степенување, Excel ви дозволува да користите една од двете опции.

Првата е употребата на формула со стандарден знак „капак“. Внесете ги следните податоци во ќелиите на работниот лист:

На ист начин, можете да ја подигнете саканата вредност на која било моќност - негативна, фракционална. Ајде да ги извршиме следните чекори и да одговориме на прашањето како да подигнеме број до негативна моќност. Пример:

Можете да поправите =B2^-C2 директно во формулата.

Втората опција е да се користи готовата функција „Степен“, која зема два потребни аргументи - број и експонент. За да започнете да го користите, само ставете го знакот за еднаквост (=) во која било слободна ќелија, што го означува почетокот на формулата и внесете ги горните зборови. Останува само да изберете две ќелии што ќе учествуваат во операцијата (или рачно да наведете одредени броеви) и притиснете го копчето Enter. Ајде да погледнеме неколку едноставни примери.

			Формула	Резултат
			СТЕПЕН (B2;C2)
			СТЕПЕН (B3;C3)	0,002915

Како што можете да видите, нема ништо комплицирано за тоа како да се подигне број на негативна моќност и до редовна моќност користејќи Excel. На крајот на краиштата, за да го решите овој проблем, можете да го користите и познатиот симбол „капак“ и вградената функција на програмата, што е лесно да се запомни. Ова е дефинитивен плус!

Да преминеме на посложени примери. Да се ​​потсетиме на правилото како да се подигне број на негативна фракциона моќност и ќе видиме дека овој проблем многу лесно се решава во Excel.

Дробни индикатори

Накратко, алгоритмот за пресметување на број со фракционен експонент е како што следува.

1. Претворете дропка во правилна или неправилна дропка.
2. Подигнете го нашиот број до броителот на добиената конвертирана дропка.
3. Од добиениот број во претходниот пасус, пресметајте го коренот, со услов експонентот на коренот да биде именителот на дропката добиена во првата фаза.

Согласете се дека дури и кога работите со мали броеви и правилни дропки, таквите пресметки може да потраат многу време. Добро е што на процесорот за табеларни пресметки Excel не му е гајле која бројка е подигната на која моќност. Обидете се да го решите следниов пример на работен лист во Excel:

Користејќи ги горенаведените правила, можете да проверите и да бидете сигурни дека пресметката е направена правилно.

На крајот од нашата статија, во форма на табела со формули и резултати ќе претставиме неколку примери како да се подигне број на негативна моќност, како и неколку примери за работа со дробни броеви и моќи.

Табела за пример

Проверете ги следните примери во вашиот работен лист во Excel. За сè да работи правилно, треба да користите мешана референца кога ја копирате формулата. Поправете го бројот на колоната што го содржи бројот што се подига и бројот на редот што го содржи индикаторот. Вашата формула треба да има приближно следен поглед: "=$B4^C$3".

Број/Степен

Забележете дека позитивните броеви (дури и нецели броеви) може да се пресметаат без проблеми за кој било експонент. Нема проблеми со подигање на кој било број до цели броеви. Но, изградбата негативен бројВ фракциона моќќе испадне дека е грешка за вас, бидејќи е невозможно да се следи правилото наведено на почетокот на нашата статија за конструкција на негативни броеви, бидејќи паритетот е карактеристика исклучиво на ЦЕЛ број.

Моќта се користи за да се поедностави операцијата за множење број сам по себе. На пример, наместо да пишувате, можете да пишувате 4 5 (\displaystyle 4^(5))(објаснување за оваа транзиција е дадено во првиот дел од овој член). Степените го олеснуваат пишувањето долго или сложени изразиили равенки; моќите исто така лесно се собираат и одземаат, што резултира со поедноставен израз или равенка (на пример, 4 2 ∗ 4 3 = 4 5 (\displaystyle 4^(2)*4^(3)=4^(5))).

Забелешка:ако треба да одлучите експоненцијална равенка(во таква равенка непознатата е во експонентот), прочитајте.

Чекори

Решавање едноставни проблеми со степени

Помножете ја основата на експонентот со себе неколку пати еднаков на експонентот.Ако треба рачно да решите проблем со моќноста, препишете ја моќноста како операција за множење, каде што основата на моќноста се множи сама по себе. На пример, дадена диплома 3 4 (\displaystyle 3^(4)). Во овој случај, основата на моќноста 3 мора да се помножи со себе 4 пати: 3 ∗ 3 ∗ 3 ∗ 3 (\displaystyle 3*3*3*3). Еве други примери:

Прво, помножете ги првите два броја.На пример, 4 5 (\displaystyle 4^(5)) = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\приказ стил 4*4*4*4*4). Не грижете се - процесот на пресметка не е толку комплициран како што изгледа на прв поглед. Прво помножете ги првите две четири, а потоа заменете ги со резултатот. Како ова:

• 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4)
  • 4 ∗ 4 = 16 (\displaystyle 4*4=16)

1. Помножете го резултатот (16 во нашиот пример) со следниот број. Секој следен резултат ќе се зголемува пропорционално. Во нашиот пример, помножете 16 со 4. Вака:

   • 4 5 = 16 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=16*4*4*4)
     • 16 ∗ 4 = 64 (\displaystyle 16*4=64)
   • 4 5 = 64 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=64*4*4)
     • 64 ∗ 4 = 256 (\displaystyle 64*4=256)
   • 4 5 = 256 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=256*4)
     • 256 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 256*4=1024)
   • Продолжете со множење на резултатот од првите два броја со следниот број додека не го добиете конечниот одговор. За да го направите ова, помножете ги првите два броја, а потоа помножете го добиениот резултат со следниот број во низата. Овој метод важи за кој било степен. Во нашиот пример треба да добиете: 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4=1024) .

2. Решете ги следните проблеми.Проверете го вашиот одговор користејќи калкулатор.

   • 8 2 (\displaystyle 8^(2))
   • 3 4 (\displaystyle 3^(4))
   • 10 7 (\displaystyle 10^(7))

3. На вашиот калкулатор, побарајте го клучот со ознака „exp“ или „ x n (\displaystyle x^(n))", или "^".Користејќи го овој клуч, ќе подигнете број на моќност. Речиси е невозможно рачно да се пресмета степенот со голем индикатор (на пример, степенот 9 15 (\displaystyle 9^(15))), но калкулаторот лесно може да се справи со оваа задача. Во Windows 7, стандардниот калкулатор може да се префрли во инженерски режим; За да го направите ова, кликнете на „Прикажи“ -> „Инженерство“. За да се префрлите во нормален режим, кликнете „Прикажи“ -> „Нормално“.

   • Проверете го вашиот одговор користејќи пребарувач(Гугл или Јандекс). Користејќи го копчето „^“ на тастатурата на вашиот компјутер, внесете го изразот во пребарувачот, кој веднаш ќе го прикаже точниот одговор (и можеби ќе ви предложи слични изрази за проучување).

   Собирање, одземање, множење на силите

   1. Можете да собирате и одземате степени само ако тие имаат исти основи.Ако треба да додадете моќи со исти основи и експоненти, тогаш операцијата за собирање можете да ја замените со операцијата за множење. На пример, со оглед на изразот 4 5 + 4 5 (\стил на приказ 4^(5)+4^(5)). Запомнете дека степенот 4 5 (\displaystyle 4^(5))може да се претстави во форма 1 ∗ 4 5 (\приказ стил 1*4^(5)); Така, 4 5 + 4 5 = 1 ∗ 4 5 + 1 ∗ 4 5 = 2 ∗ 4 5 (\приказ на стил 4^(5)+4^(5)=1*4^(5)+1*4^(5) =2*4^(5))(каде 1 +1 =2). Односно, брои го бројот на слични степени, а потоа помножи го тој степен и овој број. Во нашиот пример, подигнете го 4 до петтата моќност, а потоа добиениот резултат помножете го со 2. Запомнете дека операцијата за собирање може да се замени со операцијата за множење, на пример, 3 + 3 = 2 ∗ 3 (\приказ стил 3+3=2*3). Еве други примери:

      • 3 2 + 3 2 = 2 ∗ 3 2 (\приказ стил 3^(2)+3^(2)=2*3^(2))
      • 4 5 + 4 5 + 4 5 = 3 ∗ 4 5 (\приказ на стил 4^(5)+4^(5)+4^(5)=3*4^(5))
      • 4 5 − 4 5 + 2 = 2 (\displaystyle 4^(5)-4^(5)+2=2)
      • 4 x 2 − 2 x 2 = 2 x 2 (\приказ стил 4x^(2)-2x^(2)=2x^(2))

   2. При множење на силите со истата основанивните индикатори се собираат (основата не се менува).На пример, со оглед на изразот x 2 ∗ x 5 (\приказ на стил x^(2)*x^(5)). Во овој случај, само треба да ги додадете индикаторите, оставајќи ја основата непроменета. Така, x 2 ∗ x 5 = x 7 (\приказ на стил x^(2)*x^(5)=x^(7)). Еве визуелно објаснување на ова правило:

      При подигање на моќност на моќност, експонентите се множат.На пример, се дава диплома. Бидејќи експонентите се множат, тогаш (x 2) 5 = x 2 ∗ 5 = x 10 (\стил на приказ (x^(2))^(5)=x^(2*5)=x^(10)). Поентата на ова правило е дека се множите со моќи (x 2) (\displaystyle (x^(2)))на себе пет пати. Како ова:

      • (x 2) 5 (\приказ стил (x^(2))^(5))
      • (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 (\приказ на стил (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)*x^( 2)*x^(2)*x^(2))
      • Бидејќи основата е иста, експонентите едноставно се собираат: (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 = x 10 (\приказ (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)* x^(2)*x^(2)*x^(2)=x^(10))

   3. Моќта со негативен експонент треба да се претвори во дропка (обратна моќност).Не е важно ако не знаеш што е реципрочна диплома. Ако ви е даден степен со негативен експонент, на пр. 3 − 2 (\displaystyle 3^(-2)), запишете го овој степен во именителот на дропката (ставете 1 во броителот) и направете го експонентот позитивен. Во нашиот пример: 1 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(3^(2)))). Еве други примери:

      Кога се делат степени со иста основа, нивните експоненти се одземаат (основата не се менува).Операцијата на делење е спротивна на операцијата за множење. На пример, со оглед на изразот 4 4 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))). Одземете го експонентот во именителот од експонентот во броителот (не ја менувајте основата). Така, 4 4 4 2 = 4 4 − 2 = 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))=4^(4-2)=4^(2)) = 16 .

      • Моќта во именителот може да се запише на следниов начин: 1 4 2 (\displaystyle (\frac (1)(4^(2)))) = 4 − 2 (\displaystyle 4^(-2)). Запомнете дека дропка е број (моќ, израз) со негативен експонент.

   4. Подолу се дадени неколку изрази кои ќе ви помогнат да научите да решавате проблеми со експоненти.Дадените изрази го опфаќаат материјалот претставен во овој дел. За да го видите одговорот, едноставно изберете го празното место по знакот за еднаквост.

   Решавање задачи со дробни експоненти

   Моќта со фракционо експонент (на пример, ) се претвора во операција на коренот.Во нашиот пример: x 1 2 (\displaystyle x^(\frac (1)(2))) = x (\displaystyle (\sqrt (x))). Овде не е важно кој број е во именителот на дробниот експонент. На пример, x 1 4 (\displaystyle x^(\frac (1)(4)))- е четвртиот корен од „x“, т.е x 4 (\displaystyle (\sqrt[(4)](x))) .

   1. Ако експонентот е неправилна дропка, тогаш експонентот може да се разложи на две сили за да се поедностави решението на проблемот. Нема ништо комплицирано во ова - само запомнете го правилото за множење на силите. На пример, се дава диплома. Претворете ја таквата моќност во корен чија моќност е еднаква на именителот на дробниот показател, а потоа подигнете го овој корен на моќност еднаква на броителот на дробниот показател. За да го направите ова, запомнете го тоа 5 3 (\displaystyle (\frac (5)(3))) = (1 3) ∗ 5 (\displaystyle ((\frac (1)(3)))*5). Во нашиот пример:

      • x 5 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3)))
      • x 1 3 = x 3 (\displaystyle x^(\frac (1)(3))=(\sqrt[(3)](x)))
      • x 5 3 = x 5 ∗ x 1 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3))=x^(5)*x^(\frac (1)(3))) = (x 3) 5 (\displaystyle ((\sqrt[(3)](x)))^(5))
   2. Некои калкулатори имаат копче за пресметување на експоненти (прво мора да ја внесете основата, потоа да го притиснете копчето и потоа да го внесете експонентот). Се означува како ^ или x^y.
   3. Запомнете дека секој број со првата моќност е еднаков на себе, на пример, 4 1 = 4. (\displaystyle 4^(1)=4.)Згора на тоа, секој број помножен или поделен со еден е еднаков на самиот себе, на пр. 5 ∗ 1 = 5 (\displaystyle 5*1=5)И 5 / 1 = 5 (\displaystyle 5/1=5).
   4. Знајте дека моќноста 0 0 не постои (таква моќност нема решение). Ако се обидете да решите таков степен на калкулатор или на компјутер, ќе добиете грешка. Но запомнете дека било кој број во нула степене еднакво на 1, на пример, 4 0 = 1. (\displaystyle 4^(0)=1.)
   5. Во вишата математика, која работи со имагинарни броеви: e a i x = c o s a x + i s i n a x (\displaystyle e^(a)ix=cosax+isinax), Каде i = (− 1) (\displaystyle i=(\sqrt (())-1)); e е константа приближно еднаква на 2,7; a е произволна константа. Доказот за оваа еднаквост може да се најде во секој учебник по виша математика.

   Предупредувања

   • Како што се зголемува експонентот, неговата вредност значително се зголемува. Значи, ако одговорот ви изгледа погрешен, тој всушност е точен. Можете да го проверите ова со исцртување на кој било експоненцијална функцијана пример 2 x.

Прво ниво

Степен и неговите својства. Сеопфатен водич (2019)

Зошто се потребни дипломи? Каде ќе ви требаат? Зошто треба да одвоите време да ги проучувате?

За да научите сè за дипломите, за што се тие, како да го користите вашето знаење во Секојдневниот животпрочитајте ја оваа статија.

И, се разбира, познавањето на дипломите ќе ве приближи до успешно завршување OGE или обединет државен испит и прием на универзитетот од вашите соништа.

Ајде да одиме... (Ајде да одиме!)

Важна забелешка! Ако видите gobbledygook наместо формули, исчистете го кешот. За да го направите ова, притиснете CTRL + F5 (на Windows) или Cmd + R (на Mac).

ПРВО НИВО

Експоненцијата е математичка операција исто како собирање, одземање, множење или делење.

Сега ќе објаснам сè на човечки јазик користејќи многу едноставни примери. Внимавај. Примерите се елементарни, но објаснуваат важни работи.

Да почнеме со додавање.

Тука нема што да се објаснува. Веќе знаете сè: ние сме осуммина. Секој има две шишиња кола. Колку кола има? Така е - 16 шишиња.

Сега множење.

Истиот пример со кола може да се напише поинаку: . Математичарите се лукави и мрзливи луѓе. Тие прво забележуваат некои шаблони, а потоа смислуваат начин да ги „набројат“ побрзо. Во нашиот случај, забележаа дека секој од осумте луѓе има ист број шишиња кола и смислија техника наречена множење. Се согласувам, се смета дека е полесно и побрзо отколку.

Значи, за да броите побрзо, полесно и без грешки, само треба да запомните табела за множење. Секако, сè можете побавно, потешко и со грешки! Но…

Еве ја табелата за множење. Повторете.

И уште една поубава:

Кои други паметни трикови за броење смислиле мрзливите математичари? Десно - подигање на број на моќ.

Подигнување на број на моќ

Ако треба да помножите број сам по себе пет пати, тогаш математичарите велат дека треба да го подигнете тој број на петти степен. На пример,. Математичарите паметат дека два до петта сила е ... И тие ги решаваат таквите проблеми во нивните глави - побрзо, полесно и без грешки.

Сè што треба да направите е запомнете што е означено во боја во табелата со моќности на броеви. Верувај ми, ова ќе ти го олесни животот многу.

Патем, зошто се вика втор степен? квадратбројки, а третиот - коцка? Што значи тоа? Многу добро прашање. Сега ќе имате и квадрати и коцки.

Пример број 1 од реалниот живот

Да почнеме со квадратот или втората моќност на бројот.

Замислете квадрат базен со димензии еден метар на еден метар. Базенот е на вашата дача. Топло е и навистина сакам да пливам. Но... базенот нема дно! Треба да го покриете дното на базенот со плочки. Колку плочки ви требаат? За да го одредите ова, треба да ја знаете долната површина на базенот.

Можете едноставно да пресметате со покажување на прстот дека дното на базенот се состои од метар по метар коцки. Ако имате плочки еден метар по еден метар, ќе ви требаат парчиња. Лесно е... Ама каде сте виделе вакви плочки? Плочката најверојатно ќе биде цм по см. А потоа ќе ве измачуваат „броејќи со прст“. Потоа треба да се множите. Така, на едната страна од дното на базенот ќе поставиме плочки (парчиња), а од другата, исто така, плочки. Помножете се со и добивате плочки ().

Дали забележавте дека за да ја одредиме површината на дното на базенот го помноживме истиот број сам по себе? Што значи тоа? Бидејќи го множиме истиот број, можеме да ја користиме техниката „експоненција“. (Се разбира, кога имате само два броја, сепак треба да ги помножите или да ги подигнете на јачина. Но, ако имате многу од нив, тогаш нивното подигање на јачина е многу полесно и исто така има помалку грешки во пресметките За Единствениот државен испит, ова е многу важно).
Значи, триесет до втората моќ ќе биде (). Или можеме да кажеме дека ќе биде триесет квадрат. Со други зборови, вториот степен на број секогаш може да се претстави како квадрат. И обратно, ако видите квадрат, тој СЕКОГАШ е втор степен на некој број. Квадрат е слика на вториот степен на број.

Пример број 2 од реалниот живот

Еве една задача за вас: избројте колку квадрати има на шаховската табла користејќи го квадратот на бројот... На едната страна од ќелиите и на другата страна исто така. За да го пресметате нивниот број, треба да помножите осум со осум или... ако забележите дека шаховска табла е квадрат со страна, тогаш можете да квадратите осум. Ќе добиете клетки. () Значи?

Пример број 3 од реалниот живот

Сега коцката или третата сила на некој број. Истиот базен. Но, сега треба да откриете колку вода ќе треба да се истури во овој базен. Треба да ја пресметате јачината на звукот. (Волуменот и течностите, патем, се мерат во кубни метри. Неочекувано, нели?) Нацртајте базен: дно со мерење на метар и длабочина од метар и обидете се да изброите колку коцки со димензии метар на метар ќе се вклопат во вашиот базен.

Само покажете со прстот и избројте! Еден, два, три, четири...дваесет и два, дваесет и три...Колку добивте? Не е изгубено? Дали е тешко да се брои со прст? Па тоа! Земете пример од математичарите. Тие се мрзливи, па забележале дека за да се пресмета волуменот на базенот, треба да се помножат неговата должина, ширина и висина една со друга. Во нашиот случај, волуменот на базенот ќе биде еднаков на коцки... Полесно, нели?

Сега замислете колку се мрзливи и лукави математичарите ако го поедностават и ова. Сè сведовме на една акција. Забележале дека должината, ширината и висината се еднакви и дека истиот број се множи сам по себе... Што значи ова? Ова значи дека можете да ги искористите предностите на степенот. Значи, она што некогаш сте го избројале со прстот, тие го прават во една акција: три коцки се еднакви. Се пишува вака: .

Останува само запомнете ја табелата со степени. Освен, се разбира, ако не сте мрзливи и лукави како математичари. Ако сакате да работите напорно и да правите грешки, можете да продолжите да броите со прст.

Па, конечно да те убедам дека дипломите се измислени од откажувачи и итри луѓе за да си ги решат животни проблеми, а не да ви создавам проблеми, еве уште пар примери од животот.

Пример број 4 од реалниот живот

Имате милион рубли. На почетокот на секоја година, за секој милион што ќе го заработите, заработувате уште еден милион. Односно, на секој милион имате двојки на почетокот на секоја година. Колку пари ќе имате за години? Ако сега седите и „броите со прст“, тоа значи дека сте многу вреден човеки.. глупав. Но, најверојатно ќе дадете одговор за неколку секунди, бидејќи сте паметни! Значи, во првата година - два помножени со два... во втората година - што се случи, со уште две, во третата година... Стоп! Забележавте дека бројот се множи сам по себе пати. Значи два до петта сила е милион! Сега замислете дека имате натпревар и оној што може најбрзо да брои ќе ги добие овие милиони... Вреди да се потсетиме на моќта на бројките, не мислите?

Пример број 5 од реалниот живот

Имаш милион. На почетокот на секоја година, за секој милион што ќе го заработите, заработувате уште два. Одлично нели? Секој милион е тројно зголемен. Колку пари ќе имате за една година? Ајде да броиме. Првата година - помножете се со, потоа резултатот со друга... Веќе е досадно, бидејќи веќе сте разбрале сè: три се множат сами по себе пати. Значи на четвртата сила е еднаква на милион. Треба само да запомните дека три до четврта моќ е или.

Сега знаете дека со подигање број на моќ ќе си го олесните животот многу. Ајде дополнително да погледнеме што можете да направите со дипломите и што треба да знаете за нив.

Поими и поими... за да не се мешаме

Значи, прво, ајде да ги дефинираме концептите. Што мислиш, што е експонент? Тоа е многу едноставно - тоа е бројот што е „на врвот“ на моќта на бројот. Не научно, но јасно и лесно за паметење...

Па, во исто време, што таков степен основа? Уште поедноставно - ова е бројот што се наоѓа подолу, во основата.

Еве еден цртеж за добра мерка.

Па внатре општ поглед, за да се генерализира и подобро да се запамети... Степен со основа „ ” и експонент „ ” се чита како „до степен“ и се запишува на следниов начин:

Моќност на број со природен експонент

Веројатно веќе погодивте: затоа што експонентот е природен број. Да, но што е тоа природен број? Основно! Природни броеви се оние броеви што се користат при броењето при наведување на предмети: еден, два, три... Кога броиме предмети, не велиме: „минус пет“, „минус шест“, „минус седум“. Исто така, не велиме: „една третина“ или „нула точка пет“. Ова не се природни броеви. Кои бројки мислите дека се овие?

Се однесуваат на броеви како „минус пет“, „минус шест“, „минус седум“. цели броеви.Општо земено, цели броеви ги вклучуваат сите природни броеви, броеви спротивни на природните броеви (односно земени со знак минус) и бројот. Нулата е лесно да се разбере - тоа е кога нема ништо. Што значат негативни („минус“) броеви? Но, тие беа измислени првенствено за да се наведат долгови: ако имате салдо на телефонот во рубли, тоа значи дека му должите на операторот рубли.

Сите дропки се рационални броеви. Како се појавија, мислиш? Многу едноставно. Пред неколку илјади години, нашите предци открија дека им недостасуваат природни броеви за мерење на должина, тежина, површина итн. И тие дојдоа до рационални броеви... Интересно, нели?

Има и ирационални броеви. Кои се овие бројки? Накратко, тоа е бесконечна децимална дропка. На пример, ако го поделите обемот на кругот со неговиот дијаметар, ќе добиете ирационален број.

Резиме:

Дозволете ни да го дефинираме концептот на степен чиј експонент е природен број (т.е. цел број и позитивен).

1. Секој број до првата моќност е еднаков на самиот себе:
2. Да се ​​квадрира број значи да се помножи сам со себе:
3. Да се ​​коцка број значи да се помножи со себе три пати:

Дефиниција.Подигнувањето на број до природна моќ значи множење на бројот сам по себе:
.

Својства на степени

Од каде потекнуваат овие имоти? Сега ќе ти покажам.

Ајде да видиме: што е тоа И ?

А-приоритет:

Колку множители има вкупно?

Многу е едноставно: додадовме множители на факторите, а резултатот е множители.

Но, по дефиниција, ова е моќ на број со експонент, односно: , што требаше да се докаже.

Пример: Поедноставете го изразот.

Решение:

Пример:Поедноставете го изразот.

Решение:Важно е да се напомене дека во нашето владеење Задолжителномора да има исти причини!
Затоа, ги комбинираме моќите со основата, но таа останува посебен фактор:

само за производ на моќите!

Во никој случај не можете да го напишете тоа.

2. тоа е тоа та моќ на број

Исто како и со претходното својство, да се свртиме кон дефиницијата за степен:

Излегува дека изразот се множи сам по себе пати, односно, според дефиницијата, ова е та сила на бројот:

Во суштина, ова може да се нарече „вадење на индикаторот од загради“. Но, никогаш не можете да го направите ова во целост:

Да се ​​потсетиме на скратените формули за множење: колку пати сакавме да пишуваме?

Но, сепак, ова не е вистина.

Моќ со негативна основа

До овој момент разговаравме само каков треба да биде експонентот.

Но, што треба да биде основата?

Во овластувањата на природен индикаторосновата може да биде кој било број. Навистина, можеме да ги помножиме сите броеви еден со друг, без разлика дали се позитивни, негативни или парни.

Ајде да размислиме кои знаци ("" или "") ќе имаат степени на позитивни и негативни броеви?

На пример, дали бројот е позитивен или негативен? А? ? Со првиот, сè е јасно: без разлика колку позитивни броеви ќе помножиме еден со друг, резултатот ќе биде позитивен.

Но, негативните се малку поинтересни. Се сеќаваме на едноставното правило од 6-то одделение: „минус за минус дава плус“. Тоа е, или. Но, ако се помножиме со, тоа функционира.

Определете сами каков знак ќе имаат следните изрази:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Дали се снајде?

Еве ги одговорите: Во првите четири примери, се надевам дека сè е јасно? Едноставно ги гледаме основата и експонентот и го применуваме соодветното правило.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Во примерот 5) сè исто така не е толку страшно како што изгледа: на крајот на краиштата, не е важно на што е еднаква основата - степенот е рамномерен, што значи дека резултатот секогаш ќе биде позитивен.

Па, освен кога основата е нула. Основата не е еднаква, нели? Очигледно не, бидејќи (бидејќи).

Пример 6) веќе не е толку едноставен!

6 примери за вежбање

Анализа на решението 6 примери

Ако ја игнорираме осмата сила, што гледаме овде? Да се ​​потсетиме на програмата за 7 одделение. Па, се сеќаваш ли? Ова е формулата за скратено множење, имено разликата на квадратите! Добиваме:

Ајде внимателно да го разгледаме именителот. Изгледа многу како еден од факторите за броење, но што не е во ред? Редоследот на термините е погрешен. Ако тие беа обратни, правилото може да важи.

Но, како да се направи тоа? Излегува дека е многу лесно: парниот степен на именителот ни помага овде.

Магично термините ги сменија местата. Овој „феномен“ се однесува на кој било израз до рамномерен степен: лесно можеме да ги смениме знаците во загради.

Но, важно е да се запамети: сите знаци се менуваат во исто време!

Да се ​​вратиме на примерот:

И повторно формулата:

Целиги нарекуваме природните броеви, нивните спротивности (односно земени со знакот „“) и бројот.

позитивен цел број, и не се разликува од природното, тогаш сè изгледа токму како во претходниот дел.

Сега да ги погледнеме новите случаи. Да почнеме со индикатор еднаков на.

Секој број со нулта моќност е еднаков на еден:

Како и секогаш, да се запрашаме: зошто е тоа така?

Ајде да разгледаме одреден степен со основа. Земете, на пример, и множете се со:

Значи, го помноживме бројот со, и го добивме истото како што беше - . Со кој број треба да се помножи за ништо да не се промени? Така е, на. Средства.

Можеме да го сториме истото со произволен број:

Да го повториме правилото:

Секој број со нулта моќност е еднаков на еден.

Но, постојат исклучоци од многу правила. И тука е исто така - ова е број (како основа).

Од една страна, мора да биде еднаков на кој било степен - колку и да помножите нула само по себе, сепак ќе добиете нула, ова е јасно. Но, од друга страна, како и секој број со нулта моќност, тој мора да биде еднаков. Значи, колку од ова е вистина? Математичарите решија да не се мешаат и одбија да ја подигнат нулата на нулта моќност. Тоа е, сега не само што не можеме да делиме со нула, туку и да ја подигнеме на нулта моќност.

Ајде да продолжиме. Покрај природните броеви и броеви, цели броеви вклучуваат и негативни броеви. За да разбереме што е негативен степен, да сториме како минатиот пат: помножете некој нормален број со истиот негативен степен:

Оттука е лесно да се изрази она што го барате:

Сега да го прошириме добиеното правило до произволен степен:

Значи, ајде да формулираме правило:

Број на негативна моќност е реципроцитет на истиот број до позитивен степен. Но во исто време Основата не може да биде нула:(бидејќи не можете да делите со).

Да резимираме:

I. Изразот не е дефиниран во случајот. Ако тогаш.

II. Секој број со нулта моќност е еднаков на еден: .

III. Број кој не е еднаков на нула на негативна моќност е инверзна на истиот број на позитивна моќност: .

Задачи за независно решение:

Па, како и обично, примери за независни решенија:

Анализа на проблеми за независно решение:

Знам, знам, бројките се страшни, но на обединет државен испит треба да бидете подготвени на се! Решете ги овие примери или анализирајте ги нивните решенија ако не сте можеле да ги решите и ќе научите лесно да се справувате со нив на испитот!

Ајде да продолжиме да го шириме опсегот на броеви „погодни“ како експонент.

Сега да размислиме рационални броеви.Кои броеви се нарекуваат рационални?

Одговор: се што може да се претстави како дропка, каде и се цели броеви, и.

Да се ​​разбере што е тоа "фракционо степен", разгледајте ја дропката:

Ајде да ги подигнеме двете страни на равенката на моќност:

Сега да се потсетиме на правилото за "степен до степен":

Која бројка мора да се подигне на моќ за да се добие?

Оваа формулација е дефиниција за коренот на тиот степен.

Дозволете ми да ве потсетам: коренот на та сила на број () е број што, кога ќе се подигне на моќ, е еднаков на.

Односно, коренот на та моќ е инверзната операција на подигање до моќност: .

Излегува дека. Очигледно ова посебен случајможе да се прошири: .

Сега го додаваме броителот: што е тоа? Одговорот е лесно да се добие користејќи го правилото моќ-на-моќ:

Но, дали основата може да биде кој било број? На крајот на краиштата, коренот не може да се извлече од сите броеви.

Никој!

Да се ​​потсетиме на правилото: секој број подигнат до парен број е позитивен број. Тоа е, невозможно е да се извлечат дури и корени од негативни броеви!

Тоа значи дека таквите броеви не можат да се подигнат на фракциона сила со парен именител, односно изразот нема смисла.

Што е со изразот?

Но, тука се појавува проблем.

Бројот може да се претстави во форма на други, скратливи фракции, на пример, или.

И излегува дека постои, но не постои, но ова се само два различни записи со ист број.

Или друг пример: еднаш, тогаш можете да го запишете. Но, ако го запишеме индикаторот поинаку, повторно ќе влеземе во неволја: (односно, добивме сосема поинаков резултат!).

За да избегнеме такви парадокси, размислуваме само позитивен базен експонент со дробен експонент.

Па ако:

• - природен број;
• - цел број;

Примери:

Рационалните експоненти се многу корисни за трансформација на изрази со корени, на пример:

5 примери за вежбање

Анализа на 5 примери за обука

Па, сега доаѓа најтешкиот дел. Сега ќе го сфатиме степен со ирационален експонент.

Сите правила и својства на степените овде се сосема исти како за степен со рационален експонент, со исклучок

На крајот на краиштата, по дефиниција, ирационалните броеви се броеви кои не можат да се претстават како дропка, каде што и се цели броеви (односно, ирационалните броеви се сите реални броеви освен рационалните).

Кога студиравме степени со природни, целобројни и рационални експоненти, секој пат кога создававме одредена „слика“, „аналогија“ или опис со попознати термини.

На пример, степен со природен експонент е број помножен со себе неколку пати;

...број до нултата моќност- ова е, како што беше, број помножен сам по себе еднаш, односно тие сè уште не почнале да го множат, што значи дека самиот број сè уште не се ни појавил - затоа резултатот е само одреден „празен број“ , имено број;

...негативен цел број- како да се случил некој „обратен процес“, односно бројот не се множел сам по себе, туку се делел.

Патем, во науката често се користи диплома со сложен индикатор, односно индикатор не е рамномерен реален број.

Но, на училиште не размислуваме за такви тешкотии; ќе имате можност да ги разберете овие нови концепти на институтот.

КАДЕ СМЕ СИГУРНИ ДЕКА ЌЕ ОДИШ! (ако научиш да решаваш вакви примери :))

На пример:

Одлучете сами:

Анализа на решенија:

1. Да почнеме со вообичаеното правило за подигање на моќ на моќ:

Сега погледнете го индикаторот. Не те потсетува на ништо? Да се ​​потсетиме на формулата за скратено множење на разликата на квадратите:

Во овој случај,

Излегува дека:

Одговор: .

2. Ги намалуваме дропките во експоненти на истиот изглед: или двете децимали или обете правилни. Добиваме, на пример:

Одговор: 16

3. Ништо посебно, ајде да го искористиме нормални својствастепени:

НАПРЕДНО НИВО

Одредување на степен

Степенот е израз на формата: , каде што:

• — степен база;
• - експонент.

Степен со природен индикатор (n = 1, 2, 3,...)

Подигнувањето на број до природната моќност n значи множење на бројот сам по себе пати:

Степен со цел број експонент (0, ±1, ±2,...)

Ако експонентот е позитивен цел бројброј:

Градба до нулта степен:

Изразот е неопределен, затоа што, од една страна, до кој било степен е ова, а од друга страна, кој било број до ти степен е ова.

Ако експонентот е негативен цел бројброј:

(бидејќи не можете да делите со).

Уште еднаш за нули: изразот не е дефиниран во случајот. Ако тогаш.

Примери:

Моќ со рационален експонент

• - природен број;
• - цел број;

Примери:

Својства на степени

За да го олесниме решавањето на проблемите, ајде да се обидеме да разбереме: од каде потекнуваат овие својства? Да ги докажеме.

Ајде да видиме: што е и?

А-приоритет:

Значи, на десната страна на овој израз го добиваме следниот производ:

Но по дефиниција тоа е моќ на број со експонент, односно:

Q.E.D.

Пример : Поедноставете го изразот.

Решение : .

Пример : Поедноставете го изразот.

Решение : Важно е да се напомене дека во нашето владеење Задолжителномора да има исти причини. Затоа, ги комбинираме моќите со основата, но таа останува посебен фактор:

Друга важна забелешка: ова правило - само за производ на моќи!

Во никој случај не можете да го напишете тоа.

Исто како и со претходното својство, да се свртиме кон дефиницијата за степен:

Ајде да ја прегрупираме оваа работа вака:

Излегува дека изразот се множи сам по себе пати, односно, според дефиницијата, ова е та сила на бројот:

Во суштина, ова може да се нарече „вадење на индикаторот од загради“. Но, никогаш не можете да го направите ова вкупно: !

Да се ​​потсетиме на скратените формули за множење: колку пати сакавме да пишуваме? Но, сепак, ова не е вистина.

Моќ со негативна основа.

До овој момент разговаравме само како треба да биде индексстепени. Но, што треба да биде основата? Во овластувањата на природно индикатор основата може да биде кој било број .

Навистина, можеме да ги помножиме сите броеви еден со друг, без разлика дали се позитивни, негативни или парни. Ајде да размислиме кои знаци ("" или "") ќе имаат степени на позитивни и негативни броеви?

На пример, дали бројот е позитивен или негативен? А? ?

Со првиот, сè е јасно: без разлика колку позитивни броеви ќе помножиме еден со друг, резултатот ќе биде позитивен.

Но, негативните се малку поинтересни. Се сеќаваме на едноставното правило од 6-то одделение: „минус за минус дава плус“. Тоа е, или. Но, ако се помножиме со (), добиваме - .

И така натаму бесконечно: со секое следно множење знакот ќе се менува. Можеме да го формулираме следново едноставни правила:

1. дуристепен, - број позитивен.
2. Негативниот број е зголемен на чудностепен, - број негативен.
3. Позитивен број до кој било степен е позитивен број.
4. Нула на која било моќност е еднаква на нула.

Определете сами каков знак ќе имаат следните изрази:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Дали се снајде? Еве ги одговорите:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Во првите четири примери, се надевам дека сè е јасно? Едноставно ги гледаме основата и експонентот и го применуваме соодветното правило.

Во примерот 5) сè исто така не е толку страшно како што изгледа: на крајот на краиштата, не е важно на што е еднаква основата - степенот е рамномерен, што значи дека резултатот секогаш ќе биде позитивен. Па, освен кога основата е нула. Основата не е еднаква, нели? Очигледно не, бидејќи (бидејќи).

Пример 6) веќе не е толку едноставен. Овде треба да откриете што е помалку: или? Ако се потсетиме на тоа, станува јасно дека, а со тоа и основата помалку од нула. Тоа е, го применуваме правилото 2: резултатот ќе биде негативен.

И повторно ја користиме дефиницијата за степен:

Сè е како и обично - ја запишуваме дефиницијата за степени и ги делиме еден со друг, ги делиме во парови и добиваме:

Пред да го разгледаме последното правило, да решиме неколку примери.

Пресметајте ги изразите:

Решенија :

Ако ја игнорираме осмата сила, што гледаме овде? Да се ​​потсетиме на програмата за 7 одделение. Па, се сеќаваш ли? Ова е формулата за скратено множење, имено разликата на квадратите!

Добиваме:

Ајде внимателно да го разгледаме именителот. Изгледа многу како еден од факторите за броење, но што не е во ред? Редоследот на термините е погрешен. Ако тие беа обратни, може да се примени правилото 3. Но, како? Излегува дека е многу лесно: парниот степен на именителот ни помага овде.

Ако го помножиш со, ништо не се менува, нели? Но, сега излегува вака:

Магично термините ги сменија местата. Овој „феномен“ се однесува на кој било израз до рамномерен степен: лесно можеме да ги смениме знаците во загради. Но, важно е да се запамети: Сите знаци се менуваат во исто време!Не можете да го замените со менување само на еден недостаток што не ни се допаѓа!

Да се ​​вратиме на примерот:

И повторно формулата:

Па сега последното правило:

Како ќе докажеме? Се разбира, како и обично: да го прошириме концептот на степен и да го поедноставиме:

Па, сега да ги отвориме заградите. Колку букви има вкупно? пати по множители - на што ве потсетува ова? Ова не е ништо повеќе од дефиниција за операција множење: Таму имаше само множители. Тоа е, ова, по дефиниција, е моќ на број со експонент:

Пример:

Степен со ирационален експонент

Покрај информациите за степените за просечното ниво, степенот ќе го анализираме со ирационален експонент. Сите правила и својства на степените овде се сосема исти како и за степен со рационален експонент, со исклучок - на крајот на краиштата, по дефиниција, ирационалните броеви се броеви што не можат да се претстават како дропка, каде што и се цели броеви (т.е. , ирационалните броеви се сите реални броеви освен рационалните броеви).

Кога студиравме степени со природни, целобројни и рационални експоненти, секој пат кога создававме одредена „слика“, „аналогија“ или опис со попознати термини. На пример, степен со природен експонент е број помножен со себе неколку пати; број до нулта моќ е, како што беше, број помножен сам по себе еднаш, односно сè уште не почнале да го множат, што значи дека самиот број сè уште не се ни појавил - затоа резултатот е само одреден „празен број“, имено број; степен со цел број негативен експонент - како да се случил некој „обратен процес“, односно бројот не се множел сам по себе, туку се делел.

Исклучително е тешко да се замисли степен со ирационален експонент (исто како што е тешко да се замисли 4-димензионален простор). Тоа е прилично чисто математички објект што математичарите го создадоа за да го прошират концептот на степен на целиот простор на броеви.

Патем, во науката често се користи степен со сложен експонент, односно експонентот не е ни реален број. Но, на училиште не размислуваме за такви тешкотии; ќе имате можност да ги разберете овие нови концепти на институтот.

Значи, што правиме ако видиме ирационален експонент? Се трудиме да се ослободиме од него! :)

На пример:

Одлучете сами:

1)

2)

3)

Одговори:

1. Да се ​​потсетиме на формулата за разлика во квадратите. Одговор:.
2. Ги сведуваме дропките на иста форма: или двете децимали или обичните. Добиваме, на пример: .
3. Ништо посебно, ги користиме вообичаените својства на степените:

РЕЗИМЕ НА ДЕЛ И ОСНОВНИ ФОРМУЛИ

Степеннаречен израз на формата: , каде што:

Степен со цел број експонент

степен чиј експонент е природен број (т.е. цел број и позитивен).

Моќ со рационален експонент

степен, чиј експонент е негативни и дробни броеви.

Степен со ирационален експонент

степен чиј експонент е бесконечна децимална дропка или корен.

Својства на степени

Карактеристики на степени.

• Негативниот број е зголемен на дуристепен, - број позитивен.
• Негативниот број е зголемен на чудностепен, - број негативен.
• Позитивен број до кој било степен е позитивен број.
• Нулата е еднаква на која било моќност.
• Секој број на нулта моќност е еднаков.

СЕГА ГО ИМАШ ЗБОРОТ...

Како ви се допаѓа статијата? Напишете подолу во коментар дали ви се допадна или не.

Кажете ни за вашето искуство со користење на својствата на степенот.

Можеби имате прашања. Или предлози.

Напишете во коментарите.

И со среќа на вашите испити!

Во овој материјал ќе погледнеме што е моќ на број. Покрај основните дефиниции, ќе формулираме кои се моќи со природни, целобројни, рационални и ирационални експоненти. Како и секогаш, сите концепти ќе бидат илустрирани со примери на проблеми.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Прво, да ја формулираме основната дефиниција за степен со природен експонент. За да го направите ова, треба да ги запомниме основните правила на множење. Однапред да разјасниме дека засега ќе земеме реален број како основа (означен со буквата а), а природен број како индикатор (означен со буквата n).

Дефиниција 1

Моќта на бројот a со природен експонент n е производ на n-тиот број на фактори, од кои секој е еднаков на бројот a. Степенот е напишан вака: a n, а во форма на формула неговиот состав може да се претстави на следниов начин:

На пример, ако експонентот е 1, а основата е a, тогаш првата моќност на a се запишува како а 1. Со оглед на тоа што a е вредноста на факторот, а 1 е бројот на фактори, можеме да заклучиме дека a 1 = a.

Во принцип, можеме да кажеме дека диплома е пригодна форма на снимање големо количествоеднакви фактори. Значи, запис на формата 8 8 8 8може да се скрати на 8 4 . На ист начин, едно дело ни помага да избегнеме снимање голем бројтермини (8 + 8 + 8 + 8 = 8 4); Веќе разговаравме за ова во написот посветен на множењето на природните броеви.

Како правилно да го прочитате записот за диплома? Општо прифатената опција е „а до јачината на n“. Или можете да кажете „n-та сила на a“ или „anth моќта“. Ако, да речеме, во примерот наидовме на записот 8 12 , можеме да прочитаме „8 до 12-ти степен“, „8 до сила од 12“ или „12-ти степен од 8“.

Втората и третата сила на броевите имаат свои воспоставени имиња: квадрат и коцка. Ако ја видиме втората моќност, на пример, бројот 7 (7 2), тогаш можеме да кажеме „7 квадрат“ или „квадрат од бројот 7“. Слично на тоа, третиот степен се чита вака: 5 3 - ова е „коцка од бројот 5“ или „5 коцки“. Сепак, можете да ја користите и стандардната формулација „до втора/трета сила“; ова нема да биде грешка.

Пример 1

Ајде да погледнеме пример за степен со природен експонент: за 5 7 пет ќе биде основата, а седум ќе биде експонент.

Основата не мора да биде цел број: за степенот (4 , 32) 9 основата ќе биде дропот 4, 32, а експонентот ќе биде девет. Обрнете внимание на заградите: оваа ознака е направена за сите сили чии основи се разликуваат од природните броеви.

На пример: 1 2 3, (- 3) 12, - 2 3 5 2, 2, 4 35 5, 7 3.

За што служат заградите? Тие помагаат да се избегнат грешките во пресметките. Да речеме дека имаме два записи: (− 2) 3 И − 2 3 . Првиот од нив значи негативен број минус два подигнат до моќ со природен експонент три; вториот е бројот што одговара на спротивната вредност на степенот 2 3 .

Понекогаш во книгите можете да најдете малку поинаков правопис на моќта на бројот - a^n(каде што a е основа, а n е експонент). Тоа е, 4^9 е исто како 4 9 . Ако n е повеќецифрен број, тој се става во загради. На пример, 15 ^ (21) , (− 3 , 1) ^ (156) . Но, ние ќе ја користиме ознаката a nкако почести.

Лесно е да се погоди како да се пресмета вредноста на експонент со природен експонент од неговата дефиниција: само треба да помножите n-ти број пати. Напишавме повеќе за ова во друга статија.

Концептот на степен е инверзна на друг математички концепт - коренот на број. Ако ја знаеме вредноста на моќноста и експонентот, можеме да ја пресметаме неговата основа. Степенот има некои специфични својства, корисни за решавање на проблеми за кои разговаравме во посебен материјал.

Експонентите можат да вклучуваат не само природни броеви, туку и сите цели броеви воопшто, вклучително и негативни и нули, бидејќи тие исто така припаѓаат на множеството цели броеви.

Дефиниција 2

Моќта на број со позитивен цел број експонент може да се претстави како формула: .

Во овој случај, n е кој било позитивен цел број.

Ајде да го разбереме концептот на нула степен. За да го направиме ова, користиме пристап кој го зема предвид својството количник за моќи со еднакви основи. Формулиран е вака:

Дефиниција 3

Еднаквост a m: a n = a m − nќе биде точно под следните услови: m и n се природни броеви, m< n , a ≠ 0 .

Последниот услов е важен бидејќи избегнува делење со нула. Ако вредностите на m и n се еднакви, тогаш го добиваме следниот резултат: a n: a n = a n − n = a 0

Но, во исто време a n: a n = 1 е количник на еднакви броеви a nи а. Излегува дека нултата моќност на кој било број што не е нула е еднаква на еден.

Сепак, таквиот доказ не важи за нула до нулта моќност. За да го направите ова, ни треба уште едно својство на моќта - својство на производи на моќи со еднакви основи. Изгледа вака: a m · a n = a m + n .

Ако n е еднакво на 0, тогаш a m · a 0 = a m(ова еднаквост ни го докажува и тоа а 0 = 1). Но, ако и е исто така еднакво на нула, нашата еднаквост добива форма 0 m · 0 0 = 0 m, Тоа ќе биде точно за секоја природна вредност на n, и не е важно колку точно вредноста на степенот е еднаква на 0 0 , односно може да биде еднаков на кој било број, а тоа нема да влијае на точноста на еднаквоста. Затоа, нотација на формата 0 0 нема свое посебно значење и нема да му го припишеме.

Ако сакате, лесно е да се провери тоа а 0 = 1конвергира со својството степен (a m) n = a m nпод услов основата на степенот да не е нула. Така, моќта на кој било ненулта број со експонент нула е еден.

Пример 2

Ајде да погледнеме пример со конкретни бројки: Значи, 5 0 - единица, (33 , 3) 0 = 1 , - 4 5 9 0 = 1 , и вредноста 0 0 недефинирано.

По нултата степен, само треба да откриеме што е негативен степен. За да го направите ова, ни треба истото својство на производот на моќи со еднакви основи што веќе ги користевме погоре: a m · a n = a m + n.

Да го воведеме условот: m = − n, тогаш a не треба да биде еднаков на нула. Го следи тоа a − n · a n = a − n + n = a 0 = 1. Излегува дека n и a−nимаме меѓусебни реципрочни броеви.

Како резултат на тоа, a до негативната цела моќност не е ништо повеќе од дропот 1 a n.

Оваа формулација потврдува дека за степен со цел број негативен експонент важат сите исти својства што ги има степенот со природен експонент (под услов основата да не е еднаква на нула).

Пример 3

Моќта a со негативен цел број експонент n може да се претстави како дропка 1 a n . Така, a - n = 1 a n предмет на a ≠ 0а n е секој природен број.

Дозволете ни да ја илустрираме нашата идеја со конкретни примери:

Пример 4

3 - 2 = 1 3 2 , (- 4 . 2) - 5 = 1 (- 4 . 2) 5 , 11 37 - 1 = 1 11 37 1

Во последниот дел од параграфот, ќе се обидеме да прикажеме сè што е јасно кажано во една формула:

Дефиниција 4

Моќта на број со природен експонент z е: a z = a z, e со l и z - позитивен цел број 1, z = 0 и a ≠ 0, (за z = 0 и a = 0 резултатот е 0 0, вредностите на изразот 0 0 не се дефинирани) 1 a z, ако и z е негативен цел број и a ≠ 0 (ако z е негативен цел број и a = 0 добивате 0 z, egoz вредноста е неодредена)

Што се моќи со рационален експонент?

Испитавме случаи кога експонентот содржи цел број. Сепак, можете да подигнете број на моќ дури и кога неговиот експонент содржи дробен број. Ова се нарекува моќ со рационален експонент. Во овој дел ќе докажеме дека ги има истите својства како и другите моќи.

Што се рационални броеви? Нивното множество вклучува и цели и дробни броеви, а дробните броеви може да се претстават како обични дропки (и позитивни и негативни). Дозволете ни да ја формулираме дефиницијата за моќноста на бројот a со фракционо експонент m / n, каде што n е природен број, а m е цел број.

Имаме одреден степен со дробен експонент a m n . За да може својството за моќ за напојување да важи, еднаквоста a m n n = a m n · n = a m мора да биде вистинита.

Со оглед на дефиницијата за n-тиот корен и дека m n n = a m, можеме да го прифатиме условот a m n = a m n ако m n има смисла за дадените вредности на m, n и a.

Горенаведените својства на степен со цел број експонент ќе бидат вистинити под услов a m n = a m n .

Главниот заклучок од нашето размислување е ова: моќноста на одреден број a со фракционо експонент m / n е n-тиот корен од бројот a до моќноста m. Ова е точно ако, за дадени вредности на m, n и a, изразот a m n останува значаен.

1. Можеме да ја ограничиме вредноста на основата на степенот: да земеме a, која за позитивни вредности на m ќе биде поголема или еднаква на 0, а за негативни вредности - строго помала (бидејќи за m ≤ 0 добиваме 0 m, но таков степен не е дефиниран). Во овој случај, дефиницијата за степен со фракционен експонент ќе изгледа вака:

Моќност со дробен експонент m/n за некои позитивен број a е n-ти корен на a подигнат до моќноста m. Ова може да се изрази како формула:

За моќност со нулта основа, оваа одредба е исто така погодна, но само ако нејзиниот експонент е позитивен број.

Моќта со основна нула и фракционо позитивен експонент m/n може да се изрази како

0 m n = 0 m n = 0 под услов m е позитивен цел број, а n е природен број.

За негативен сооднос m n< 0 степень не определяется, т.е. такая запись смысла не имеет.

Да забележиме една точка. Бидејќи го воведовме условот дека a е поголемо или еднакво на нула, на крајот отфрливме некои случаи.

Изразот a m n понекогаш сè уште има смисла за некои негативни вредности на a и некои m. Така, точните записи се (- 5) 2 3, (- 1, 2) 5 7, - 1 2 - 8 4, во кои основата е негативна.

2. Вториот пристап е да се разгледа одделно коренот a m n со парни и непарни експоненти. Тогаш ќе треба да воведеме уште еден услов: степенот a, во чијшто експонент има редуцирана обична дропка, се смета дека е степенот a, во чијшто експонент има соодветната нередуцирана дропка. Подоцна ќе објасниме зошто ни е потребна оваа состојба и зошто е толку важна. Така, ако ја имаме ознаката a m · k n · k , тогаш можеме да ја намалиме на m n и да ги поедноставиме пресметките.

Ако n е непарен број, а вредноста на m е позитивна, а a е кој било ненегативен број, тогаш a m n има смисла. Условот a да биде ненегативен е неопходен бидејќи корен со парен степен не може да се извлече од негативен број. Ако вредноста на m е позитивна, тогаш a може да биде и негативна и нула, бидејќи Непарниот корен може да се земе од кој било реален број.

Ајде да ги комбинираме сите горенаведени дефиниции во еден запис:

Овде m/n значи нередуцирана дропка, m е кој било цел број, а n е кој било природен број.

Дефиниција 5

За секоја обична редуцирана дропка m · k n · k степенот може да се замени со m n .

Моќта на број a со нередуциран дробен експонент m / n – може да се изрази како m n во следниве случаи: - за кое било реално a, цели броеви позитивни вредности m и непарни природни вредности n. Пример: 2 5 3 = 2 5 3, (- 5, 1) 2 7 = (- 5, 1) - 2 7, 0 5 19 = 0 5 19.

За сите не-нула реални a, цели броеви негативни вредности m и непарни вредности на n, на пример, 2 - 5 3 = 2 - 5 3, (- 5, 1) - 2 7 = (- 5, 1) - 2 7

За секој ненегативен a, позитивен цел број m и парен n, на пример, 2 1 4 = 2 1 4, (5, 1) 3 2 = (5, 1) 3, 0 7 18 = 0 7 18.

За секој позитивен a, негативен цел број m и парен n, на пример, 2 - 1 4 = 2 - 1 4, (5, 1) - 3 2 = (5, 1) - 3, .

Во случај на други вредности, степенот со фракционен експонент не е одреден. Примери за такви степени: - 2 11 6, - 2 1 2 3 2, 0 - 2 5.

Сега да ја објасниме важноста на условот дискутиран погоре: зошто да се замени дропка со редуциран експонент со дропка со несмалувачки експонент. Ако не го направивме ова, ќе ги имавме следните ситуации, да речеме, 6/10 = 3/5. Тогаш треба да биде точно (- 1) 6 10 = - 1 3 5 , но - 1 6 10 = (- 1) 6 10 = 1 10 = 1 10 10 = 1 и (- 1) 3 5 = (- 1 ) 3 5 = - 1 5 = - 1 5 5 = - 1 .

Дефиницијата за степен со фракционо експонент, која ја претставивме прво, е попогодна за употреба во пракса од втората, па затоа ќе продолжиме да ја користиме.

Дефиниција 6

Така, моќта на позитивен број a со фракционо експонент m/n се дефинира како 0 m n = 0 m n = 0. Во случај на негативно аознаката a m n нема смисла. Сила на нула за позитивни фракциони експоненти m/nсе дефинира како 0 m n = 0 m n = 0 , за негативни фракциони експоненти не го дефинираме степенот на нула.

Во заклучоците, забележуваме дека секој фракционо индикатор може да се напише и во форма на мешан број и во форма децимална: 5 1 , 7 , 3 2 5 - 2 3 7 .

Кога се пресметува, подобро е да се замени експонентот обична дропкаи продолжи да ја користи дефиницијата за степен со фракционен експонент. За горните примери добиваме:

5 1 , 7 = 5 17 10 = 5 7 10 3 2 5 - 2 3 7 = 3 2 5 - 17 7 = 3 2 5 - 17 7

Што се моќи со ирационални и реални експоненти?

Кои се реалните броеви? Нивниот сет вклучува и рационални и ирационални броеви. Затоа, за да разбереме што е степен со реален експонент, треба да дефинираме степени со рационални и ирационални експоненти. Погоре веќе спомнавме рационални. Ајде да се справиме со ирационалните индикатори чекор по чекор.

Пример 5

Да претпоставиме дека имаме ирационален број a и низа од неговите децимални приближувања a 0 , a 1 , a 2 , . . . . На пример, да ја земеме вредноста a = 1,67175331. . . , Потоа

a 0 = 1, 6, a 1 = 1, 67, a 2 = 1, 671, . . . , a 0 = 1,67, a 1 = 1,6717, a 2 = 1,671753, . . .

Можеме да ги поврземе низите од приближувања со низа од степени a a 0 , a a 1 , a a 2 , . . . . Ако се сеќавате на она што го кажавме претходно за зголемувањето на бројките на рационален степен, тогаш самите можеме да ги пресметаме вредностите на овие моќи.

Да земеме на пример a = 3, потоа a 0 = 3 1, 67, a a 1 = 3 1, 6717, a a 2 = 3 1, 671753, . . . итн.

Низата моќи може да се сведе на број, кој ќе биде вредноста на моќта со основа a и ирационален експонент a. Како резултат на тоа: степен со ирационален експонент на формата 3 1, 67175331. . може да се намали на бројот 6, 27.

Дефиниција 7

Моќта на позитивен број a со ирационален експонент a се пишува како a . Неговата вредност е граница на низата a a 0 , a a 1 , a a 2 , . . . , каде што 0 , a 1 , a 2 , . . . се последователни децимални апроксимации на ирационалниот број a. Степен со нулта основа може да се дефинира и за позитивни ирационални експоненти, со 0 a = 0 Значи, 0 6 = 0, 0 21 3 3 = 0. Но, ова не може да се направи за негативни, бидејќи, на пример, вредноста 0 - 5, 0 - 2 π не е дефинирана. Единицата подигната на која било ирационална моќ останува единица, на пример, и 1 2, 1 5 во 2 и 1 - 5 ќе биде еднаква на 1.

Доколку забележите грешка во текстот, означете ја и притиснете Ctrl+Enter

Формули за степенсе користи во процесот на намалување и поедноставување сложени изрази, при решавање равенки и неравенки.

Број ве n-та моќ на број аКога:

Операции со степени.

1. Со множење на степени со иста основа се додаваат нивните показатели:

м·a n = a m + n .

2. При делење на степени со иста основа, нивните експоненти се одземаат:

3. Моќност на производот од 2 или повеќефакторите се еднакви на производот на моќноста на овие фактори:

(abc…) n = a n · b n · c n…

4. Степенот на дропка е еднаков на односот на степените на дивидендата и делителот:

(a/b) n = a n /b n .

5. Подигнувајќи ја моќноста на моќност, експонентите се множат:

(a m) n = a m n .

Секоја формула погоре е точна во насоките од лево кон десно и обратно.

На пример. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Операции со корени.

1. Коренот на производот од неколку фактори е еднаков на производот од корените на овие фактори:

2. Коренот на соодносот е еднаков на односот на дивидендата и делителот на корените:

3. Кога се подига коренот до моќ, доволно е да се подигне радикалниот број на оваа моќност:

4. Ако го зголемите степенот на коренот во nеднаш и во исто време се изгради во nта моќ е радикален број, тогаш вредноста на коренот нема да се промени:

5. Ако го намалите степенот на коренот во nизвлечете го коренот во исто време n-та моќ на радикален број, тогаш вредноста на коренот нема да се промени:

Степен со негативен експонент.Моќта на одреден број со непозитивен (целоброј) експонент се дефинира како поделен со моќноста на истиот број со експонент еднаков на апсолутната вредност на непозитивниот експонент:

Формула м:a n =a m - nможе да се користи не само за м> n, но и со м< n.

На пример. а4:а 7 = а 4 - 7 = а -3.

До формула м:a n =a m - nстана фер кога m=n, потребно е присуство на нула степен.

Степен со нула индекс.Моќта на кој било број што не е еднаков на нула со нула експонент е еднаква на еден.

На пример. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Степен со дробен експонент.Да се ​​подигне реален број Адо степен m/n, треба да го извлечете коренот nти степен на м-та моќ на овој број А.