Ако го поставите кругот на единечниот број на координатната рамнина, тогаш можете да ги најдете координатите за неговите точки. Кругот со броеви е поставен така што неговиот центар се совпаѓа со потеклото на рамнината, т.е. точка O (0; 0).
Вообичаено на единечниот број круг се означени точките што одговараат на потеклото на кругот
- четвртини - 0 или 2π, π/2, π, (2π)/3,
- средни четвртини - π/4, (3π)/4, (5π)/4, (7π)/4,
- третини од четвртини - π/6, π/3, (2π)/3, (5π)/6, (7π)/6, (4π)/3, (5π)/3, (11π)/6.
На координатната рамнина, со горната локација на единечниот круг на неа, можете да ги најдете координатите што одговараат на овие точки на кругот.
Координатите на краевите на четвртини се многу лесно да се најдат. Во точката 0 од кругот, координатата x е 1, а координатата y е 0. Можеме да ја означиме како A (0) = A (1; 0).
Крајот на првиот квартал ќе биде лоциран на позитивната y-оска. Затоа, B (π/2) = B (0; 1).
Крајот на втората четвртина е на негативната полуоска: C (π) = C (-1; 0).
Крај на третата четвртина: D ((2π)/3) = D (0; -1).
Но, како да се најдат координатите на средните точки на четвртините? За ова градат правоаголен триаголник. Неговата хипотенуза е отсечка од центарот на кругот (или потеклото) до средината на четвртина круг. Ова е радиусот на кругот. Бидејќи кругот е единица, хипотенузата е еднаква на 1. Потоа нацртајте нормална од точка на кругот до која било оска. Нека биде кон оската x. Резултатот е правоаголен триаголник, чии должини се x и y координатите на точката на кругот.
Една четвртина круг е 90º. И половина четвртина е 45º. Бидејќи хипотенузата е нацртана до средната точка на квадрантот, аголот помеѓу хипотенузата и кракот што се протега од почетокот е 45º. Но, збирот на аглите на кој било триаголник е 180º. Следствено, аголот помеѓу хипотенузата и другиот крак исто така останува 45º. Ова резултира со рамнокрак правоаголен триаголник.
Од Питагоровата теорема ја добиваме равенката x 2 + y 2 = 1 2. Бидејќи x = y и 1 2 = 1, равенката се поедноставува на x 2 + x 2 = 1. Решавајќи ја, добиваме x = √½ = 1/√2 = √2/2.
Така, координатите на точката M 1 (π/4) = M 1 (√2/2; √2/2).
Во координатите на точките на средните точки на другите четвртини, само знаците ќе се променат, а модулите на вредностите ќе останат исти, бидејќи правоаголен триаголник само ќе се преврти. Добиваме:
M 2 ((3π)/4) = M 2 (-√2/2; √2/2)
M 3 ((5π)/4) = M 3 (-√2/2; -√2/2)
M 4 ((7π)/4) = M 4 (√2/2; -√2/2)
При определување на координатите на третите делови од четвртини од круг, се конструира и правоаголен триаголник. Ако ја земеме точката π/6 и нацртаме нормално на оската x, тогаш аголот помеѓу хипотенузата и кракот што лежи на оската x ќе биде 30º. Познато е дека ногата што лежи спроти агол од 30º е еднаква на половина од хипотенузата. Ова значи дека ја најдовме координатата y, таа е еднаква на ½.
Знаејќи ги должините на хипотенузата и едната катета, користејќи ја Питагоровата теорема ја наоѓаме другата катета:
x 2 + (½) 2 = 1 2
x 2 = 1 - ¼ = ¾
x = √3/2
Така T 1 (π/6) = T 1 (√3/2; ½).
За точката од втората третина од првата четвртина (π/3), подобро е да се нацрта нормално на оската до оската y. Тогаш аголот на потекло исто така ќе биде 30º. Овде x координатата ќе биде еднаква на ½, и y, соодветно, √3/2: T 2 (π/3) = T 2 (½; √3/2).
За другите точки од третиот квартал, знаците и редоследот на вредностите на координатите ќе се променат. Сите точки што се поблиску до оската x ќе имаат вредност на модул x координати еднаква на √3/2. Оние точки кои се поблиску до оската y ќе имаат вредност на модулот y еднаква на √3/2.
T 3 ((2π)/3) = T 3 (-½; √3/2)
T 4 ((5π)/6) = T 4 (-√3/2; ½)
T 5 ((7π)/6) = T 5 (-√3/2; -½)
T 6 ((4π)/3) = T 6 (-½; -√3/2)
T 7 ((5π)/3) = T 7 (½; -√3/2)
T 8 ((11π)/6) = T 8 (√3/2; -½)
Дефиниција 1. бројна оска ( бројна линија, координатна линија) Ox е права линија на која се избира точката O потекло (потекло на координатите)(сл.1), насока
О → x
наведени како позитивна насокаи се означува отсечка чија должина се зема единица за должина.
Дефиниција 2. Отсечката чија должина се зема како единица должина се нарекува скала.
Секоја точка на бројната оска има координата што е реален број. Координатата на точката О е нула. Координатата на произволна точка А што лежи на зракот Ox е еднаква на должината на отсечката ОА. Координатата на произволна точка А од нумеричката оска која не лежи на зракот Ox е негативна, а во апсолутна вредност е еднаква на должината на отсечката ОА.
Дефиниција 3. Правоаголен Декартов координатен систем Окси на рамнинатаповикајте двајца меѓусебно нормалнонумерички оски Ox и Oy со истата скалаИ заеднички почетокодбројувањево точката O, и таква што ротацијата од зракот Ox под агол од 90° кон зракот Oy се врши во насока спротивно од стрелките на часовникот(сл. 2).
Забелешка. Се нарекува правоаголниот Декартов координатен систем Oxy, прикажан на слика 2 десен координатен систем, За разлика од леви координатни системи, во која ротацијата на гредата Ox под агол од 90° во однос на зракот Oy се врши во насока на стрелките на часовникот. Во овој водич ние ги разгледуваме само десничарските координатни системи, без конкретно да се прецизира.
Ако на рамнината воведеме некој систем на правоаголни Декартови координати Oxy, тогаш секоја точка од рамнината ќе добие две координати – апсцисаИ ординација, кои се пресметуваат на следниов начин. Нека А е произволна точка на рамнината. Да ги спуштиме нормалните точки од точката А А.А. 1 и А.А. 2 до прави линии Ox и Oy, соодветно (сл. 3).
Дефиниција 4. Апсцисата на точката А е координата на точката А 1 на бројната оска Ox, ординатата на точката А е координатата на точката А 2 на бројната оска Oy.
Означување Координати (апциса и ордината) на точката A во правоаголниот Декартов координатен систем Oxy (сл. 4) обично се означува А(x;y) или А = (x; y).
Забелешка. Точка О, повикана потекло, има координати О(0 ; 0) .
Дефиниција 5. Во правоаголниот Декартов координатен систем Oxy, нумеричката оска Ox се нарекува оска на апсцисата, а нумеричката оска Oy се нарекува ординатна оска (сл. 5).
Дефиниција 6. Секој правоаголен Декартов координатен систем ја дели рамнината на 4 четвртини (квадранти), чие нумерирање е прикажано на слика 5.
Дефиниција 7. Се вика рамнината на која е даден правоаголен Декартов координатен систем координатна рамнина.
Забелешка. Оската на апсцисата е наведена на координатната рамнина со равенката y= 0, ординатна оска е дадена на координатната рамнина со равенката x = 0.
Изјава 1. Растојание помеѓу две точкикоординатна рамнина
А 1 (x 1 ;y 1) И А 2 (x 2 ;y 2)
пресметан според формулата
Доказ . Размислете за слика 6.
| |А 1 А 2 | 2 = = (x 2 -x 1) 2 + (y 2 -y 1) 2 . | (1) |
Оттука,
Q.E.D.
Равенка на круг на координатната рамнина
Да разгледаме на координатната рамнина Oxy (сл. 7) круг со радиус R со центар во точката А 0 (x 0 ;y 0) .
Круг со броеви- Ова единица круг, чии точки одговараат на одредени реални броеви.
Единица круг е круг со радиус 1.
Општ приказ на кругот со броеви.
1) Неговиот радиус се зема како мерна единица.
2) Хоризонталните и вертикалните дијаметри го делат кругот на броеви на четири четвртини (види слика). Тие соодветно се нарекуваат прва, втора, трета и четврта четвртина.
3) Хоризонталниот дијаметар се означува со AC, при што A е крајната десна точка.
Вертикалниот дијаметар е означен BD, при што B е највисоката точка.
Соодветно:
првата четвртина е лакот AB
втор квартал – лак п.н.е
трета четвртина – лак ЦД
четврти квартал – лак DA
4) Почетната точка на кругот со броеви е точката А.
Броењето по кругот на броеви може да се направи или во насока на стрелките на часовникот или спротивно од стрелките на часовникот.
Се вика броење од точката А спротивно од стрелките на часовникот позитивна насока.
Се вика броењето од точката А во насока на стрелките на часовникот негативна насока.
Круг на броеви на координатната рамнина.
Центарот на радиусот на кругот на броеви одговара на потеклото (број 0).
Хоризонталниот дијаметар одговара на оската x, вертикални – оски y.
Почетната точка А на кругот со броеви е на оската xи има координати (1; 0).
ВредностиxИyво четвртини од круг со број:
Основни вредности на кругот со броеви:
Имиња и локации на главните точки на кругот со броеви:
Како да запомните имиња на кругови со броеви.
Постојат неколку едноставни обрасци кои ќе ви помогнат лесно да ги запомните основните имиња на кругот со броеви.
Пред да започнеме, да ве потсетиме: броењето се врши во позитивна насока, односно од точката А (2π) спротивно од стрелките на часовникот.
1) Да почнеме со екстремните точки на координатните оски.
Почетната точка е 2π (најдесната точка на оската X, еднакво на 1).
Како што знаете, 2π е обемот на кругот. Ова значи дека половина круг е 1π или π. Оска Xго дели кругот точно на половина. Според тоа, најлевата точка на оската Xеднакво на -1 се нарекува π.
Највисоката точка на оската на, еднакво на 1, го дели горниот полукруг на половина. Ова значи дека ако полукругот е π, тогаш половина полукруг е π/2.
Во исто време, π/2 е исто така четвртина од кругот. Да изброиме три такви четвртини од првата до третата - и ќе дојдеме до крајност најниска точкана оската на, еднакво на -1. Но, ако вклучува три четвртини, тогаш неговото име е 3π/2.
2) Сега да преминеме на преостанатите точки. Ве молиме имајте предвид: сите спротивни точки имаат истиот броител– а тоа се спротивни точки и во однос на оската на, и во однос на центарот на оските и во однос на оската X. Ова ќе ни помогне да ги знаеме нивните точни вредности без набивање.
Треба само да го запомните значењето на точките од првата четвртина: π/6, π/4 и π/3. И тогаш ќе „видиме“ некои обрасци:
- Во однос на оската yво точките од вториот квартал, наспроти точките од првиот квартал, броевите во броителите се за 1 помали од големината на именителот. На пример, земете ја точката π/6. Точката спротивна на неа во однос на оската наима и 6 во именителот и 5 во броителот (1 помалку). Односно, името на оваа точка е: 5π/6. Точката спроти π/4, исто така, има 4 во именителот и 3 во броителот (1 помалку од 4) - односно таа е точка 3π/4.
Точката спроти π/3 има и 3 во именителот, а 1 помалку во броителот: 2π/3.
- Во однос на центарот на координатните оскисè е обратно: броевите во броителите на спротивните точки (во третата четвртина) се за 1 поголеми од вредноста на именителот. Да ја земеме точката π/6 повторно. Точката спротивна на неа во однос на центарот исто така има 6 во именителот, а во броителот бројот е 1 поголем - односно е 7π/6.
Точката спроти точката π/4 исто така има 4 во именителот, а во броителот бројот е 1 повеќе: 5π/4.
Точката спроти точката π/3 има и 3 во именителот, а во броителот бројот е 1 повеќе: 4π/3.
- Во однос на оската X(четврта четвртина)работата е посложена. Овде треба да додадете на вредноста на именителот број што е 1 помалку - оваа сума ќе биде еднаква на нумеричкиот дел од броителот на спротивната точка. Да почнеме повторно со π/6. Да додадеме на вредноста на именителот еднаква на 6 број што е за 1 помал од овој број - односно 5. Добиваме: 6 + 5 = 11. Тоа значи дека е спротивен на оската Xточката ќе има 6 во именителот и 11 во броителот - односно 11π/6.
Точка π/4. На вредноста на именителот додаваме број 1 помалку: 4 + 3 = 7. Тоа значи дека е спротивен на оската Xточката има 4 во именителот и 7 во броителот - односно 7π/4.
Точка π/3. Именителот е 3. На 3 додаваме помал број за еден - односно 2. Добиваме 5. Тоа значи дека точката спроти него има 5 во броителот - а ова е точката 5π/3.
3) Друга шема за точките на средните точки на четвртините. Јасно е дека нивниот именител е 4. Да обрнеме внимание на броителите. Бројачот на средината на првата четвртина е 1π (но не е вообичаено да се пишува 1). Броителот на средината на втората четвртина е 3π. Броителот на средината на третата четвртина е 5π. Броителот на средината на четвртиот квартал е 7π. Излегува дека броителите на средните четвртини ги содржат првите четири непарни броеви во растечки редослед:
(1)π, 3π, 5π, 7π.
Ова е исто така многу едноставно. Бидејќи средните точки на сите четвртини имаат 4 во именителот, веќе ги знаеме целосни имиња: π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4.
Карактеристики на кругот со броеви. Споредба со бројната права.
Како што знаете, на бројната линија, секоја точка одговара на еднина. На пример, ако точката А на правата е еднаква на 3, тогаш таа повеќе не може да биде еднаква на кој било друг број.
Различно е на кругот со броеви бидејќи е круг. На пример, за да дојдете од точката А на кругот до точката М, можете да го направите тоа како на права линија (само поминувајќи лак), или можете да заобиколите цел круг, а потоа да дојдете до точката М. Заклучок:
Нека точката М е еднаква на некој број t. Како што знаеме, обемот на кругот е 2π. Тоа значи дека можеме да запишеме точка на кружница t на два начина: t или t + 2π. Ова се еквивалентни вредности.
Тоа е, t = t + 2π. Единствената разлика е во тоа што во првиот случај сте дошле до точка М веднаш без да направите круг, а во вториот случај сте направиле круг, но завршивте во истата точка М. Можете да направите две, три или двесте такви кругови . Ако бројот на кругови го означиме со буквата к, тогаш добиваме нов израз:
t = t + 2π к.
Оттука и формулата:
Равенка за кругови на броеви
(втората равенка е во делот „Синус, косинус, тангента, котангента“):
x 2 + y 2 = 1 |
Круг со броевие единична кружница чии точки одговараат на одредени реални броеви.
Единица круг е круг со радиус 1.
Општ приказ на кругот со броеви.
1) Неговиот радиус се зема како мерна единица.
2) Хоризонталните и вертикалните дијаметри го делат бројниот круг на четири четвртини. Тие соодветно се нарекуваат прва, втора, трета и четврта четвртина.
3) Хоризонталниот дијаметар се означува со AC, при што А е екстремниот правоточка.
Вертикалниот дијаметар е означен BD, при што B е највисоката точка.
Соодветно:
првата четвртина е лакот AB
втор квартал - лак п.н.е
трета четвртина - лак ЦД
четврти квартал - лак DA
4) Почетната точка на кругот со броеви е точката А.
Броењето по кругот на броеви може да се направи или во насока на стрелките на часовникот или спротивно од стрелките на часовникот.
Броење од точка А противво насока на стрелките на часовникот се нарекува позитивна насока.
Броење од точка А Од страна нанаречен во насока на стрелките на часовникот негативна насока.
Круг на броеви на координатната рамнина.
Центарот на радиусот на кругот на броеви одговара на потеклото (број 0).
Хоризонталниот дијаметар одговара на оската x, вертикална оска y.
Почетна точка Круг со бројмаичката е на оскатаxи има координати (1; 0).
Имиња и локации на главните точки на кругот со броеви:
Како да запомните имиња на кругови со броеви.
Постојат неколку едноставни обрасци кои ќе ви помогнат лесно да ги запомните основните имиња на кругот со броеви.
Пред да започнеме, да ве потсетиме: броењето се врши во позитивна насока, односно од точката А (2π) спротивно од стрелките на часовникот.
1) Да почнеме со екстремните точки на координатните оски.
Почетната точка е 2π (најдесната точка на оската X, еднакво на 1).
Како што знаете, 2π е обемот на кругот. Ова значи дека половина круг е 1π или π. Оска Xго дели кругот точно на половина. Според тоа, најлевата точка на оската Xеднакво на -1 се нарекува π.
Највисоката точка на оската на, еднакво на 1, го дели горниот полукруг на половина. Ова значи дека ако полукругот е π, тогаш половина полукруг е π/2.
Во исто време, π/2 е исто така четвртина од кругот. Да изброиме три такви четвртини од првата до третата - и ќе дојдеме до најниската точка на оската на, еднакво на -1. Но, ако вклучува три четвртини, тогаш неговото име е 3π/2.
2) Сега да преминеме на преостанатите точки. Ве молиме запомнете: сите спротивни точки имаат ист именител - и тоа се спротивни точки во однос на оската на, и во однос на центарот на оските и во однос на оската X. Ова ќе ни помогне да ги знаеме нивните точни вредности без набивање.
Треба само да го запомните значењето на точките од првата четвртина: π/6, π/4 и π/3. И тогаш ќе „видиме“ некои обрасци:
- Во однос на оската на
во точките од вториот квартал, наспроти точките од првиот квартал, броевите во броителите се за 1 помали од големината на именителот. На пример, земете ја точката π/6. Точката спротивна на неа во однос на оската наима и 6 во именителот и 5 во броителот (1 помалку). Односно, името на оваа точка е: 5π/6. Точката спроти π/4 има и 4 во именителот, а 3 во броителот (1 помалку од 4) - односно е 3π/4 точка.
Точката спроти π/3 има и 3 во именителот, а 1 помалку во броителот: 2π/3.
- Во однос на центарот на координатните оскисè е обратно: броевите во броителите на спротивните точки (во третата четвртина) се за 1 поголеми од вредноста на именителот. Да ја земеме точката π/6 повторно. Точката спротивна на неа во однос на центарот има и 6 во именителот, а во броителот бројот е 1 повеќе - односно е 7π/6.
Точката спроти точката π/4 исто така има 4 во именителот, а во броителот бројот е 1 повеќе: 5π/4.
Точката спроти точката π/3 има и 3 во именителот, а во броителот бројот е 1 повеќе: 4π/3.
- Во однос на оската X(четврта четвртина)работата е посложена. Овде треба да додадете на вредноста на именителот број што е 1 помалку - оваа сума ќе биде еднаква на нумеричкиот дел од броителот на спротивната точка. Да почнеме повторно со π/6. Да додадеме на вредноста на именителот еднаква на 6 број што е за 1 помал од овој број - односно 5. Добиваме: 6 + 5 = 11. Тоа значи дека е спротивен на оската Xточката ќе има 6 во именителот и 11 во броителот - односно 11π/6.
Точка π/4. На вредноста на именителот додаваме број 1 помалку: 4 + 3 = 7. Тоа значи дека е спротивен на оската Xточката има 4 во именителот и 7 во броителот - односно 7π/4.
Точка π/3. Именителот е 3. На 3 додаваме помал број за еден - односно 2. Добиваме 5. Тоа значи дека точката спроти него има 5 во броителот - а ова е точката 5π/3.
3) Друга шема за точките на средните точки на четвртините. Јасно е дека нивниот именител е 4. Да обрнеме внимание на броителите. Бројачот на средината на првата четвртина е 1π (но не е вообичаено да се пишува 1). Броителот на средината на втората четвртина е 3π. Броителот на средината на третата четвртина е 5π. Броителот на средината на четвртиот квартал е 7π. Излегува дека броителите на средните четвртини ги содржат првите четири непарни броеви во растечки редослед:
(1)π, 3π, 5π, 7π.
Ова е исто така многу едноставно. Бидејќи средните точки на сите четвртини имаат 4 во именителот, веќе ги знаеме нивните целосни имиња: π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4.
Карактеристики на кругот со броеви. Споредба со бројната права.
Како што знаете, на нумеричката линија, секоја точка одговара на еден број. На пример, ако точката А на правата е еднаква на 3, тогаш таа повеќе не може да биде еднаква на кој било друг број.
Различно е на кругот со броеви бидејќи е круг. На пример, за да дојдете од точката А на кругот до точката М, можете да го направите тоа како на права линија (само поминувајќи лак), или можете да заобиколите цел круг, а потоа да дојдете до точката М. Заклучок:
Нека точката М е еднаква на некој број t. Како што знаеме, обемот на кругот е 2π. Тоа значи дека можеме да запишеме точка на кружница t на два начина: t или t + 2π. Ова се еквивалентни вредности.
Тоа е, t = t + 2π. Единствената разлика е во тоа што во првиот случај сте дошле до точка М веднаш без да направите круг, а во вториот случај сте направиле круг, но завршивте во истата точка М. Можете да направите две, три или двесте такви кругови . Ако бројот на кругови го означиме со буквата n, тогаш добиваме нов израз:
t = t + 2π n.
Оттука и формулата:
Одржувањето на вашата приватност е важно за нас. Поради оваа причина, развивме Политика за приватност која опишува како ги користиме и складираме вашите информации. Ве молиме прегледајте ги нашите практики за приватност и кажете ни ако имате какви било прашања.
Собирање и користење на лични информации
Личните информации се однесуваат на податоци што може да се користат за идентификација одредена личностили врска со него.
Може да биде побарано од вас да ги дадете вашите лични податоци во секое време кога ќе не контактирате.
Подолу се дадени неколку примери за типовите на лични информации што можеме да ги собираме и како можеме да ги користиме тие информации.
Кои лични податоци ги собираме:
- Кога поднесувате апликација на страницата, може да собереме различни информации, вклучувајќи го вашето име, телефонски број, адреса Е-поштаитн.
Како ги користиме вашите лични податоци:
- Собрани од нас лични податоцини овозможува да ве контактираме и да ве информираме за уникатни понуди, промоции и други настани и претстојни настани.
- Од време на време, може да ги користиме вашите лични податоци за да испраќаме важни известувања и комуникации.
- Може да користиме и лични информации за внатрешни цели како што се ревизија, анализа на податоци и различни студиисо цел да ги подобриме услугите што ги нудиме и да ви дадеме препораки во врска со нашите услуги.
- Ако учествувате во наградно извлекување, натпревар или слична промоција, ние може да ги користиме информациите што ги давате за администрирање на такви програми.
Откривање на информации на трети страни
Ние не ги откриваме информациите добиени од вас на трети страни.
Исклучоци:
- Доколку е потребно - во согласност со закон, судска постапка, правни постапки и/или врз основа на јавни барања или барања од владини агенциина територијата на Руската Федерација - обелоденете ги вашите лични податоци. Ние, исто така, може да откриеме информации за вас ако утврдиме дека таквото откривање е неопходно или соодветно за безбедност, спроведување на законот или други цели од јавна важност.
- Во случај на реорганизација, спојување или продажба, можеме да ги пренесеме личните информации што ги собираме на соодветната трета страна наследник.
Заштита на лични информации
Преземаме мерки на претпазливост - вклучувајќи административни, технички и физички - за да ги заштитиме вашите лични информации од губење, кражба и злоупотреба, како и од неовластен пристап, откривање, менување и уништување.
Почитување на вашата приватност на ниво на компанија
За да се осигураме дека вашите лични информации се безбедни, ние ги пренесуваме стандардите за приватност и безбедност на нашите вработени и строго ги спроведуваме практиките за приватност.
Се вчитува...
