Висината на основата на правилна триаголна призма. Правилна четириаголна призма

Волумен на призмата. Решавање на проблем

Геометријата е најмоќното средство за изострување на нашите ментални способности и овозможување правилно да размислуваме и расудуваме.

Г. Галилео

Целта на лекцијата:

• учат решавање проблеми за пресметување на волуменот на призмите, сумираат и систематизираат информациите што ги имаат учениците за призмата и нејзините елементи, развиваат способност за решавање проблеми со зголемена сложеност;
• развиваат логично размислување, способност за самостојно работење, вештини за меѓусебна контрола и самоконтрола, способност за зборување и слушање;
• развиваат навика за постојано вработување, на некој начин корисна работа, едукација за одзивност, напорна работа, точност.

Тип на лекција: лекција за примена на знаења, вештини и способности.

Опрема: контролни картички, медиумски проектор, презентација „Лекција. Призма волумен“, компјутери.

За време на часовите

• Странични ребра на призмата (сл. 2).
• Страничната површина на призмата (слика 2, слика 5).
• Висината на призмата (слика 3, слика 4).
• Права призма (Слика 2,3,4).
• Наклонета призма (слика 5).
• Правилната призма (сл. 2, слика 3).
• Дијагонален пресек на призмата (Слика 2).
• Дијагонала на призмата (Слика 2).
• Нормален пресек на призмата (слика 3, слика 4).
• Страничната површина на призмата.
• Вкупната површина на призмата.
• Волумен на призмата.

1. ПРОВЕРКА НА ДОМАШНИ ЗАДАЧИ (8 мин.)

Разменете тетратки, проверете го решението на слајдовите и означете го (означете 10 ако проблемот е компајлиран)

Направете проблем врз основа на сликата и решете го. Ученикот го брани проблемот што го составил на табла. Слика 6 и слика 7.





Поглавје 2, §3
Проблем.2. Должините на сите рабови на правилна триаголна призма се еднакви една со друга. Пресметајте го волуменот на призмата ако нејзината површина е cm 2 (сл. 8)



Поглавје 2, §3
Задача 5. Основата на десната призма ABCA 1B 1C1 е правоаголен триаголник ABC (агол ABC=90°), AB=4cm. Пресметај го волуменот на призмата ако радиусот на кругот опфатен околу триаголникот ABC е 2,5 cm, а висината на призмата е 10 cm. (Слика 9).



Поглавје 2, §3
Задача 29. Должината на страната на основата на правилна четириаголна призма е 3 cm. Дијагоналата на призмата формира агол од 30° со рамнината на страничното лице. Пресметајте го волуменот на призмата (слика 10).



2. Соработканаставниците со часот (2-3 мин.).

Цел: сумирање на теоретското загревање (учениците даваат оценки едни со други), проучување начини за решавање проблеми на тема.

3. ФИЗИЧКА МИНУТА (3 мин.)
4. РЕШАВАЊЕ ПРОБЛЕМ (10 мин.)

На на оваа бинаНаставникот организира фронтална работа на повторување методи за решавање на планиметриски задачи и планиметриски формули. Часот е поделен во две групи, едни решаваат проблеми, други работат на компјутер. Потоа се менуваат. Од учениците се бара да ги решат сите бр. 8 (усно), бр. 9 (усно). Потоа се делат во групи и продолжуваат да ги решаваат проблемите бр.14, бр.30, бр.32.

Поглавје 2, §3, страници 66-67

Задача 8. Сите рабови се точни триаголна призмасе еднакви едни на други. Најдете го волуменот на призмата ако површината на пресекот на рамнината што минува низ работ на долната основа и средината на страната на горната основа е еднаква на cm (слика 11).



Поглавје 2,§3, страница 66-67
Задача 9. Основата на права призма е квадрат, а нејзините странични рабови се двојно поголеми од страната на основата. Пресметајте го волуменот на призмата ако радиусот на кругот опишан во близина на пресекот на призмата со рамнина што минува низ страната на основата и средината на спротивниот страничен раб е еднаков на cm (сл. 12)



Поглавје 2,§3, страница 66-67
Задача 14Основата на права призма е ромб, чија една од дијагоналите е еднаква на неговата страна. Пресметајте го периметарот на пресекот со рамнина што минува низ главната дијагонала на долната основа, ако волуменот на призмата е еднаков и сите странични страни се квадрати (сл. 13).



Поглавје 2,§3, страница 66-67
Задача 30 ABCA 1 B 1 C 1 е правилна триаголна призма, чиишто рабови се еднакви еден на друг, точката е средината на работ BB 1. Пресметајте го радиусот на кругот впишан во пресекот на призмата со рамнината AOS, ако волуменот на призмата е еднаков на (сл. 14).



Поглавје 2,§3, страница 66-67
Задача 32Во правилна четириаголна призма, збирот на плоштините на основите е еднаков на плоштината на страничната површина. Пресметајте го волуменот на призмата ако дијаметарот на кругот опишан во близина на пресекот на призмата со рамнина што минува низ двете темиња на долната основа и спротивното теме на горната основа е 6 cm (сл. 15).



Додека решаваат проблеми, учениците ги споредуваат нивните одговори со оние што ги покажува наставникот. Ова е пример за решение на проблемот со детални коментари... Индивидуална работанаставници со „јаки“ ученици (10 мин.).

5. Самостојна работаученици кои работат на тест на компјутер

1. Страната на основата на правилна триаголна призма е еднаква на , а висината е 5. Најдете го волуменот на призмата.

1) 152) 45 3) 104) 125) 18

2. Изберете ја точната изјава.

1) Волуменот на права призма чија основа е правоаголен триаголник е еднаков на производот од плоштината на основата и висината.

2) Волуменот на правилна триаголна призма се пресметува со формулата V = 0,25a 2 h - каде што a е страната на основата, h е висината на призмата.

3) Волуменот на права призма е еднаков на половина од производот од површината на основата и висината.

4) Волуменот на правилна четириаголна призма се пресметува со формулата V = a 2 h-каде a е страната на основата, h е висината на призмата.

5) Волуменот на правилна шестоаголна призма се пресметува со формулата V = 1,5a 2 h, каде што a е страната на основата, h е висината на призмата.

3. Страната на основата на правилна триаголна призма е еднаква на . Низ страната на долната основа и спротивното теме на горната основа се повлекува рамнина, која поминува под агол од 45° до основата. Најдете го волуменот на призмата.

1) 92) 9 3) 4,54) 2,255) 1,125

4. Основата на десната призма е ромб, чија страна е 13, а една од дијагоналите е 24. Најдете го волуменот на призмата ако дијагоналата на страничното лице е 14.

ДИРЕКТНА ПРИЗМА. ПОВРШИНА И ВОЛУМЕН НА ДИРЕКТНА ПРИЗМА.

§ 68. ВОЛУМ НА ДИРЕКТНА ПРИЗМА.

1. Волумен на правоаголна триаголна призма.

Да претпоставиме дека треба да го најдеме волуменот на правоаголната триаголна призма, чија основна површина е еднаква на S, а висината е еднаква на ч= AA" = = BB" = SS" (скица 306).

Посебно да ја нацртаме основата на призмата, т.е. триаголникот ABC (сл. 307, а) и да го изградиме до правоаголник, за кој повлекуваме права линија KM низ темето B || AC и од точките A и C ги спуштаме перпендикуларите AF и CE на оваа права. Добиваме правоаголник ACEF. Цртајќи ја висината ВД на триаголникот ABC, гледаме дека правоаголникот ACEF е поделен на 4 правоаголен триаголник. Згора на тоа /\ СИТЕ = /\ BCD и /\ VAF = /\ VAD. Ова значи дека површината на правоаголникот ACEF е двојно зголемена повеќе површинатриаголник ABC, односно еднаков на 2S.

На оваа призма со основа ABC ќе прикачиме призми со основи ALL и BAF и висина ч(Слика 307, б). Добиваме правоаголен паралелепипед со основа
ACEF.

Ако го сецираме овој паралелепипед со рамнина што минува низ прави линии BD и BB“, ќе видиме дека правоаголниот паралелепипед се состои од 4 призми со основи.
BCD, ALL, BAD и BAF.

Призмите со бази BCD и ALL може да се комбинираат, бидејќи нивните основи се еднакви ( /\ ВСД = /\ BSE) и нивните странични рабови се исто така еднакви, кои се нормални на истата рамнина. Ова значи дека волумените на овие призми се еднакви. Волуменот на призмите со основи BAD и BAF се исто така еднакви.

Така, излегува дека волуменот на дадена триаголна призма со основа
ABC е половина од волуменот правоаголен паралелепипедсо ACEF база.

Знаеме дека волуменот на правоаголен паралелепипед е еднаков на производот од површината на неговата основа и неговата висина, односно во овој случај е еднаков на 2S ч. Оттука волуменот на оваа правоаголна триаголна призма е еднаков на S ч.

Волуменот на правоаголната триаголна призма е еднаков на производот на површината на нејзината основа и нејзината висина.

2. Волумен на десна полигонална призма.

Да се ​​најде волуменот на правилна полигонална призма, на пример петаголна, со плоштина на основата S и висина ч, да го поделиме на триаголни призми (сл. 308).

Означувајќи ги основните области на триаголните призми со S 1, S 2 и S 3, а волуменот на дадена полигонална призма со V, добиваме:

V = S 1 ч+ S 2 ч+ S 3 ч, или
V = (S 1 + S 2 + S 3) ч.

И конечно: V = S ч.

На ист начин, изведена е формулата за волумен на десна призма со кој било многуаголник во нејзината основа.

Средства, Волуменот на која било десна призма е еднаков на производот на површината на нејзината основа и нејзината висина.

Вежби.

1. Пресметајте го волуменот на права призма со паралелограм во нејзината основа користејќи ги следните податоци:

2. Пресметајте го волуменот на права призма со триаголник во нејзината основа користејќи ги следните податоци:

3. Пресметај го волуменот на права призма со основа рамностран триаголниксо страна од 12 cm (32 cm, 40 cm). Висина на призмата 60 см.

4. Пресметај го волуменот на права призма која има правоаголен триаголник во основата со катети од 12 cm и 8 cm (16 cm и 7 cm; 9 m и 6 m). Висината на призмата е 0,3 m.

5. Пресметај го волуменот на права призма која во основата има трапез со паралелни страни 18 cm и 14 cm и висина од 7,5 cm Висината на призмата е 40 cm.

6. Пресметајте го волуменот на вашата училница (сала за физичко образование, вашата соба).

7. Целосна површинакоцката е еднаква на 150 cm 2 (294 cm 2, 864 cm 2). Пресметајте го волуменот на оваа коцка.

8. Должина градење тули- 25,0 cm, неговата широчина е 12,0 cm, нејзината дебелина е 6,5 cm а) Пресметај го неговиот волумен, б) Одреди ја неговата тежина ако 1 кубен сантиметартула тежи 1,6 g.

9. Колку парчиња градежни тули ќе бидат потребни за да се изгради цврст ѕид од тули, кој има форма на правоаголен паралелепипед долг 12 m, широк 0,6 m и висок 10 m? (Димензии на тули од вежба 8.)

10. Должината на чисто исечената табла е 4,5 m, ширината - 35 cm, дебелината - 6 cm а) Пресметајте ја волуменот б) Одредете ја нејзината тежина ако еден кубен дециметар од таблата тежи 0,6 kg.

11. Колку тони сено може да се наредени во сено покриено со фронтон покрив (сл. 309), ако должината на сено е 12 m, ширината е 8 m, висината е 3,5 m и висината на гребенот на покривот е 1,5 m? ( Специфична гравитацијаземете го сеното како 0,2.)

12. Потребно е да се ископа ров долг 0,8 km; во пресек ровот треба да има форма на трапез со основи од 0,9 m и 0,4 m, а длабочината на ровот треба да биде 0,5 m (скица 310). Колку кубни метри земја ќе треба да се отстранат?

Учениците кои се подготвуваат за полагање на Единствен државен испитво математиката, дефинитивно треба да научите како да решавате проблеми за да ја пронајдете областа на права линија и правилна призма. Долгогодишната пракса го потврдува фактот дека многу студенти сметаат дека ваквите задачи по геометрија се доста тешки.

Во исто време, средношколците со кое било ниво на обука треба да можат да ја најдат плоштината и волуменот на правилна и права призма. Само во овој случај тие ќе можат да сметаат на добивање конкурентни оценки врз основа на резултатите од полагањето на Единствениот државен испит.

Клучни точки за паметење

• Ако страничните рабови на призмата се нормални на основата, тоа се нарекува права линија. Сите странични лица на оваа фигура се правоаголници. Висината на права призма се совпаѓа со нејзиниот раб.
• Правилна призма е онаа чии странични рабови се нормални на основата во која се наоѓа правилниот многуаголник. Странични лицаод оваа бројка се еднакви правоаголници. Правилната призма е секогаш права.

Подготовката за обединет државен испит заедно со Школково е клучот за вашиот успех!

За да ги направите вашите часови лесни и што поефективни, изберете го нашиот математички портал. Овде ќе ги најдете сите потребни материјали што ќе ви помогнат да се подготвите за полагање на тестот за сертификација.

Специјалисти едукативен проект„Школково“ предлага да се премине од едноставно во сложено: прво даваме теорија, основни формули, теореми и елементарни проблеми со решенија, а потоа постепено преминуваме на задачи на експертско ниво.

Основните информации се систематизирани и јасно претставени во делот „Теоретски информации“. Ако веќе сте успеале да го повторите потребниот материјал, ви препорачуваме да вежбате да ги решавате проблемите за наоѓање на плоштината и волуменот на вистинската призма. Во делот „Каталог“ е претставен голем изборвежби различни степенитешкотии.

Обидете се да ја пресметате плоштината на права и правилна призма или токму сега. Анализирајте која било задача. Ако не предизвикува никакви тешкотии, можете безбедно да преминете на вежби на стручно ниво. И ако се појават одредени потешкотии, ви препорачуваме редовно да се подготвувате за Единствениот државен испит онлајн заедно со математичкиот портал Школково, а задачите на тема „Права и редовна призма“ ќе ви бидат лесни.

Да претпоставиме дека треба да го најдеме волуменот на правоаголната триаголна призма, чија основна површина е еднаква на S, а висината е еднаква на ч= AA’ = BB’ = CC’ (сл. 306).

Посебно да ја нацртаме основата на призмата, т.е. триаголникот ABC (сл. 307, а) и да го изградиме до правоаголник, за кој повлекуваме права линија KM низ темето B || AC и од точките A и C ги спуштаме перпендикуларите AF и CE на оваа права. Добиваме правоаголник ACEF. Цртајќи ја висината ВD на триаголникот ABC, гледаме дека правоаголникот ACEF е поделен на 4 правоаголни триаголници. Покрај тоа, \(\Delta\)ALL = \(\Delta\)BCD и \(\Delta\)BAF = \(\Delta\)BAD. Ова значи дека плоштината на правоаголникот ACEF е двојно поголема од плоштината на триаголникот ABC, односно еднаква на 2S.

На оваа призма со основа ABC ќе прикачиме призми со основи ALL и BAF и висина ч(Сл. 307, б). Добиваме правоаголен паралелепипед со ACEF основа.

Ако го сецираме овој паралелепипед со рамнина што минува низ прави линии BD и BB’, ќе видиме дека правоаголниот паралелепипед се состои од 4 призми со основи BCD, ALL, BAD и BAF.

Призмите со основите BCD и BC можат да се комбинираат, бидејќи нивните основи се еднакви (\(\Delta\)BCD = \(\Delta\)BCE) и нивните странични рабови, кои се нормални на истата рамнина, исто така се еднакви. Ова значи дека волумените на овие призми се еднакви. Волуменот на призмите со основи BAD и BAF се исто така еднакви.

Така, излегува дека волуменот на дадена триаголна призма со основа ABC е половина од волуменот на правоаголен паралелепипед со основа ACEF.

Знаеме дека волуменот на правоаголен паралелепипед е еднаков на производот од површината на неговата основа и неговата висина, односно во овој случај е еднаков на 2S ч. Оттука волуменот на оваа правоаголна триаголна призма е еднаков на S ч.

Волуменот на правоаголната триаголна призма е еднаков на производот на површината на нејзината основа и нејзината висина.

2. Волумен на десна полигонална призма.

Да се ​​најде волуменот на правилна полигонална призма, на пример петаголна, со плоштина на основата S и висина ч, да го поделиме на триаголни призми (сл. 308).

Означувајќи ги основните области на триаголните призми со S 1, S 2 и S 3, а волуменот на дадена полигонална призма со V, добиваме:

V = S 1 ч+ S 2 ч+ S 3 ч, или

V = (S 1 + S 2 + S 3) ч.

И конечно: V = S ч.

На ист начин, изведена е формулата за волумен на десна призма со кој било многуаголник во нејзината основа.

Средства, Волуменот на која било десна призма е еднаков на производот на површината на нејзината основа и нејзината висина.

Волумен на призмата

Теорема. Волуменот на призмата е еднаков на производот на површината на основата и висината.

Прво ја докажуваме оваа теорема за триаголна призма, а потоа за полигонална.

1) Дозволете ни да нацртаме (слика 95) низ работ AA 1 на триаголната призма ABCA 1 B 1 C 1 рамнина паралелна со лицето BB 1 C 1 C, а преку работ CC 1 рамнина паралелна со лицето AA 1 B 1 B ; тогаш ќе ги продолжиме рамнините на двете основи на призмата додека не се вкрстат со нацртаните рамнини.

Потоа добиваме паралелепипед BD 1, кој е поделен со дијагоналната рамнина AA 1 C 1 C на две триаголни призми (од кои едната е оваа). Да докажеме дека овие призми се еднакви по големина. За да го направите ова, цртаме нормален пресек а бе це де. Напречниот пресек ќе произведе паралелограм чија дијагонала аксе дели на два еднакви триаголници. Оваа призма е еднаква по големина на права призма чија основа е \(\Делта\) abc, а висината е работ АА 1. Друга триаголна призма е еднаква по површина на права линија чија основа е \(\Делта\) adc, а висината е работ АА 1. Но, две прави призми со еднакви основи и еднакви висини се еднакви (бидејќи кога се вметнуваат се комбинираат), што значи дека призмите ABCA 1 B 1 C 1 и ADCA 1 D 1 C 1 се еднакви по големина. Од ова произлегува дека волуменот на оваа призма е половина од волуменот на паралелепипедот BD 1; затоа, означувајќи ја висината на призмата со H, добиваме:

$$ V_(\Delta ex.) = \frac(S_(ABCD)\cdot H)(2) = \frac(S_(ABCD))(2)\cdot H = S_(ABC)\cdot H $$

2) Да нацртаме дијагонални рамнини AA 1 C 1 C и AA 1 D 1 D низ работ AA 1 на полигоналната призма (сл. 96).

Потоа оваа призма ќе се пресече на неколку триаголни призми. Збирот на волумените на овие призми го сочинува потребниот волумен. Ако површините на нивните основи ги означиме со б 1 , б 2 , б 3, а вкупната висина преку H, добиваме:

волумен на полигонална призма = б 1H+ б 2H+ б 3 H =( б 1 + б 2 + б 3) H =

= (област ABCDE) H.

Последица. Ако V, B и H се броеви кои во соодветните единици го изразуваат волуменот, основната површина и висината на призмата, тогаш, според докажаното, можеме да напишеме:

Други материјали

Тип на работа: 8
Тема: Призма

Состојба

Во правилна триаголна призма ABCA_1B_1C_1, страните на основата се 4, а страничните рабови 10. Најдете ја пресечната површина на призмата со рамнината што минува низ средните точки на рабовите AB, AC, A_1B_1 и A_1C_1.

Прикажи решение

Решение

Размислете за следната слика.

Отсечката MN е средната линијаспоред тоа, триаголникот A_1B_1C_1 MN = \frac12 B_1C_1=2.Исто така, KL=\frac12BC=2.Дополнително, MK = NL = 10. Следи дека четириаголникот MNLK е паралелограм. Бидејќи MK\паралелно AA_1, тогаш MK\perp ABC и MK\perp KL. Според тоа, четириаголникот MNLK е правоаголник. S_(MNLK) = MK\cdot KL = 10\cточка 2 = 20.

Одговори

Тип на работа: 8
Тема: Призма

Состојба

Волуменот на правилна четириаголна призма ABCDA_1B_1C_1D_1 е 24 . Точката К е средината на работ CC_1. Најдете го волуменот на пирамидата KBCD.

Прикажи решение

Решение

Според условот, KC е висината на пирамидата KBCD. CC_1 е висината на призмата ABCDA_1B_1C_1D_1.

Бидејќи K е средната точка на CC_1, тогаш KC=\frac12CC_1.Нека CC_1=H, тогаш KC=\frac12H. Забележете го и тоа S_(BCD)=\frac12S_(ABCD).Потоа, V_(KBCD)= \frac13S_(BCD)\cdot\frac(H)(2)= \frac13\cdot\frac12S_(ABCD)\cdot\frac(H)(2)= \frac(1)(12)\cdot S_(ABCD)\cdot H= \frac(1)(12)V_(ABCDA_1B_1C_1D_1).Оттука, V_(KBCD)=\frac(1)(12)\cdot24=2.

Одговори

Извор: „Математика. Подготовка за Единствен државен испит 2017 година. Ниво на профил." Ед. Ф. Ф. Лисенко, С. Ју.

Тип на работа: 8
Тема: Призма

Состојба

Најдете ја страничната површина на правилна шестоаголна призма чија основна страна е 6 и висина 8.

Прикажи решение

Решение

Областа на страничната површина на призмата се наоѓа со формулата S страна. = P основен · h = 6a\cdot h, каде што P основно. и h се, соодветно, периметарот на основата и висината на призмата, еднакви на 8, а a е страната на правилен шестоаголник, еднаква на 6. Затоа, S страна. = 6\cточка 6\cточка 8 = 288.

Одговори

Извор: „Математика. Подготовка за Единствен државен испит 2017 година. Ниво на профил." Ед. Ф. Ф. Лисенко, С. Ју.

Тип на работа: 8
Тема: Призма

Состојба

Вода се истураше во сад во облик на правилна триаголна призма. Нивото на водата достигнува 40 см На која висина ќе биде нивото на водата ако се истури во друг сад со иста форма, чија страна од основата е двојно поголема од првата? Изразете го вашиот одговор во сантиметри.

Прикажи решение

Решение

Нека a е страната на основата на првиот сад, а потоа 2 a е страната на основата на вториот сад. По услов, волуменот на течност V во првиот и вториот сад е ист. Да го означиме со H нивото до кое течноста се искачила во вториот сад. Потоа V= \frac12\cdot a^2\cdot\sin60^(\circ)\cdot40= \frac(a^2\sqrt3)(4)\cdot40,И, V=\frac((2a)^2\sqrt3)(4)\cdot H.Од тука \frac(a^2\sqrt3)(4)\cdot40=\frac((2a)^2\sqrt3)(4)\cточка H, 40=4ч, H=10.

Одговори

Извор: „Математика. Подготовка за Единствен државен испит 2017 година. Ниво на профил." Ед. Ф. Ф. Лисенко, С. Ју.

Тип на работа: 8
Тема: Призма

Состојба

Во правилна шестоаголна призма ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1 сите рабови се еднакви на 2. Најдете го растојанието помеѓу точките A и E_1.

Прикажи решение

Решение

Триаголникот AEE_1 е правоаголен, бидејќи работ EE_1 е нормален на рамнината на основата на призмата, аголот AEE_1 ќе биде прав агол.

Потоа, според Питагоровата теорема, AE_1^2 = AE^2 + EE_1^2. Ајде да најдеме AE од триаголникот AFE користејќи ја косинусната теорема. Секој внатрешен агол на правилен шестоаголник е 120^(\circ). Потоа AE^2= AF^2+FE^2-2\cdot AF\cdot FE\cdot\cos120^(\circ)= 2^2+2^2-2\cdot2\cdot2\cdot\лево (-\frac12 \десно).

Оттука, AE^2=4+4+4=12,

AE_1^2=12+4=16,

AE_1=4.

Одговори

Извор: „Математика. Подготовка за Единствен државен испит 2017 година. Ниво на профил." Ед. Ф. Ф. Лисенко, С. Ју.

Тип на работа: 8
Тема: Призма

Состојба

Најдете ја страничната површина на права призма, во чија основа лежи ромб со дијагонали еднакви на 4\sqrt5и 8, и страничен раб еднаков на 5.

Прикажи решение

Решение

Областа на страничната површина на права призма се наоѓа со помош на формулата S страна. = P основен · h = 4a\cdot h, каде што P основно. и h, соодветно, периметарот на основата и висината на призмата, еднакви на 5, а a е страната на ромбот. Да ја најдеме страната на ромбот користејќи го фактот дека дијагоналите на ромбот ABCD се меѓусебно нормални и пресечени со точката на пресек.