Апстракт за теоретска механика. Курс на предавања за теоретска механика. Динамика. Врски и реакции на врски

Предавања по теоретска механика

Динамика на точка

Предавање 1

Основни концепти на динамика

Во поглавјето Динамикасе проучува движењето на телата под влијание на силите што се применуваат на нив. Затоа, покрај оние концепти кои беа воведени во делот Кинематика,тука е неопходно да се користат нови концепти кои ги одразуваат спецификите на влијанието на силите врз различни тела и реакцијата на телата на овие влијанија. Ајде да ги разгледаме главните од овие концепти.

а) сила

Силата е квантитативен резултат на влијанието врз дадено тело од други тела.Силата е векторска величина (сл. 1).

Точка А на почетокот на векторот на силата Фповикани точка на примена на сила. Правата линија MN на која се наоѓа векторот на сила се нарекува линија на дејство на силата.Должината на векторот на силата, измерена на одредена скала, се нарекува нумеричка вредност или големина на векторот на силата. Модулот на сила се означува како или. Дејството на силата врз телото се манифестира или во неговата деформација, ако телото е неподвижно, или во придавањето на негово забрзување кога телото се движи. Дизајнот на различни уреди (мерачи на сила или динамометри) за мерење на силите се заснова на овие манифестации на сила.

б) систем на сили

Разгледуваниот сет на сили се формира систем на сили.Секој систем кој се состои од n сили може да се напише во следнава форма:

в) слободно тело

Тело кое може да се движи во вселената во која било насока без да доживее директна (механичка) интеракција со други тела се нарекува бесплатноили изолирани. Влијанието на одреден систем на сили врз телото може да се разјасни само ако ова тело е слободно.

г) резултантна сила

Ако некоја сила има ист ефект врз слободното тело како некој систем на сили, тогаш оваа сила се нарекува резултат на даден систем на сили. Ова е напишано на следниов начин:

,

што значи тоа еквивалентноствлијание врз истото слободно тело на резултантните и некој систем од n сили.

Сега да продолжиме да разгледуваме посложени концепти поврзани со квантитативното определување на ротационите ефекти на силите.

д) момент на сила во однос на точка (центар)

Ако тело под влијание на сила може да ротира околу некоја фиксна точка О (сл. 2), тогаш за да се измери овој ротационен ефект се воведува физичка големина, која се нарекува момент на сила во однос на точка (центар).

Се нарекува рамнината што минува низ одредена фиксна точка и линијата на дејство на силата рамнина на дејство на сила. На сл. 2 ова е рамнината OAB.

Моментот на сила во однос на точка (центар) е векторска големина еднаква на векторскиот производ на векторот на радиусот на точката на примена на силата од векторот на силата:

( 1)

Според правилото за векторско множење на два вектори, нивниот векторски производ е вектор нормален на рамнината на локацијата на факторските вектори (во овој случај, рамнината на триаголникот OAB), насочен во насока од која најкратката ротација на првиот фактор вектор до вториот фактор вектор видливо спротивно од стрелките на часовникот (сл. 2).Со овој редослед на векторите на факторите на векторскиот производ (1), ротацијата на телото под дејство на силата ќе биде видлива спротивно од стрелките на часовникот (сл. 2).Бидејќи векторот е нормален на рамнината на дејство на сила, нејзината локација во просторот ја одредува положбата на рамнината на дејство на силата.Нумеричката вредност на векторот на моментот на сила во однос на центарот е еднаква на двојно поголема површина од OAB и може да се определи со формулата:

, (2)

Каде магнитудач, еднакво на најкраткото растојание од дадена точка O до линијата на дејство на силата, се нарекува крак на силата.

Ако положбата на рамнината на дејство на силата во просторот не е суштинска за карактеризирање на ротационото дејство на силата, тогаш во овој случај, за да се карактеризира ротационото дејство на силата, наместо векторот на моментот на сила, користете алгебарски момент на сила:

(3)

Алгебарскиот момент на сила во однос на даден центар е еднаков на производот на модулот на силата и неговото рамо земено со знак плус или минус. Во овој случај, позитивниот момент одговара на ротацијата на телото под дејство на дадена сила спротивно од стрелките на часовникот, а негативниот момент одговара на ротацијата на телото во насока на стрелките на часовникот. Од формулите (1), (2) и (3) произлегува дека моментот на сила во однос на точка е нула само ако кракот на оваа силачеднаква на нула. Таквата сила не може да ротира тело околу дадена точка.

д) Момент на сила околу оската

Ако телото, под влијание на сила, може да ротира околу некоја фиксна оска (на пример, ротација на рамката на вратата или прозорецот во нејзините шарки при отворање или затворање), тогаш за да се измери овој ротационен ефект, физичката величина е воведена, која се нарекува момент на сила околу дадена оска.

z

 б Fxy

Слика 3 покажува дијаграм во согласност со кој се одредува моментот на сила во однос на оската z:

Аголот  е формиран од две нормални насоки z и на рамнините на триаголниците O abи OAV, соодветно. Бидејќи  О abе проекцијата на OAB на xy рамнината, тогаш според теоремата за стереометрија на проекцијата на рамнина фигура на дадена рамнина имаме:

каде што знакот плус одговара на позитивната вредност cos, т.е., акутните агли , а знакот минус одговара на негативната вредност на cos, т.е. тапите агли , што се одредува според насоката на векторот. За возврат, SO ab=1/2абх, Каде ч  ab . Големина на сегментот abе еднаква на проекцијата на силата на xy рамнината, т.е. . ab = Ф xy .

Врз основа на горенаведеното, како и еднаквостите (4) и (5), го одредуваме моментот на сила во однос на оската z на следниов начин:

Равенството (6) ни овозможува да ја формулираме следната дефиниција за моментот на сила во однос на која било оска: Моментот на сила во однос на дадена оска е еднаков на проекцијата на оваа оска на векторот на моментот на оваа сила во однос на која било оска. точка на оваа оска и се дефинира како производ на проекцијата на силата земена со знак плус или минус на рамнина нормална на дадената оска на рамото на оваа проекција во однос на точката на пресек на оската со проекциската рамнина . Во овој случај, знакот на моментот се смета за позитивен ако, гледајќи од позитивната насока на оската, ротацијата на телото околу оваа оска е видлива спротивно од стрелките на часовникот. Во спротивно, моментот на сила во однос на оската се зема негативен. Бидејќи оваа дефиниција за моментот на сила околу оската е доста тешко да се запомни, се препорачува да се запамети формулата (6) и сл. 3, која ја објаснува оваа формула.

Од формулата (6) произлегува дека моментот на сила околу оската е нула акотаа е паралелна со оската (во овој случај нејзината проекција на рамнината нормална на оската е нула), или линијата на дејство на силата ја пресекува оската (тогаш проекциската рака ч=0). Ова целосно одговара на физичкото значење на моментот на сила околу оската како квантитативна карактеристика на ротациониот ефект на силата врз тело кое има оска на ротација.

е) телесна тежина

Одамна е забележано дека под влијание на сила, телото постепено ја зголемува брзината и продолжува да се движи ако силата се отстрани. Ова својство на телата да се спротивстават на промените во нивното движење било наречено инерција или инерција на телата. Квантитативна мерка за инертноста на телото е неговата маса.Освен тоа, телесна маса е квантитативна мерка за влијанието на гравитационите сили врз дадено тело Колку е поголема масата на телото, толку е поголема гравитационата сила што дејствува на телото.Како што ќе биде прикажано подолу, ухОвие две дефиниции за телесната тежина се поврзани.

Останатите концепти и дефиниции за динамиката ќе бидат разгледани подоцна во деловите каде што првпат се појавуваат.

2. Врски и реакции на врски

Претходно, во делот 1, став (в), беше даден концептот на слободно тело, како тело што може да се движи во просторот во која било насока без да биде во директен контакт со други тела. Повеќето од вистинските тела околу нас се во директен контакт со други тела и не можат да се движат во една или друга насока. Така, на пример, телата лоцирани на површината на масата можат да се движат во која било насока, освен во насока нормална на површината на масата надолу. Вратите фиксирани на шарките можат да вршат ротационо движење, но не можат да се движат транслаторно итн. Телата кои не можат да се движат во просторот во една или друга насока се нарекуваат не е слободен.

Сè што го ограничува движењето на дадено тело во просторот се нарекува ограничувања.Тоа може да се некои други тела кои го спречуваат движењето на ова тело во некои правци ( физички врски); во поширока смисла, може да се некои услови наметнати на движењето на телото кои го ограничуваат тоа движење. Така, може да се постави услов движењето на материјалната точка да се случува по дадена крива. Во овој случај, врската е математички наведена во форма на равенката ( равенка за поврзување). Прашањето за типови на врски ќе биде разгледано подетално подолу.

Повеќето од врските наметнати на телата се практично физички врски. Затоа, се поставува прашањето за интеракцијата на дадено тело и поврзаноста наметната на ова тело. На ова прашање одговара аксиомата за заемното дејство на телата: Две тела дејствуваат едно врз друго со сили еднакви по големина, спротивни во насока и лоцирани на иста права линија. Овие сили се нарекуваат сили на интеракција. Силите на интеракција се применуваат на различни тела кои содејствуваат. Така, на пример, при интеракцијата на дадено тело и врска, едната од силите на интеракцијата се применува од страната на телото на врската, а другата сила на заемно дејство се применува од страната на врската кон ова тело. Оваа последна сила се нарекува сила на реакција на врскатаили едноставно, реакција на комуникација.

При решавање на практични проблеми на динамиката, неопходно е да се знае насоката на реакциите на различни видови врски. За ова понекогаш може да помогне општо правило за одредување на насоката на реакцијата на врската: Реакцијата на врската е секогаш насочена спротивно од насоката во која оваа врска го спречува движењето на дадено тело. Ако оваа насока може дефинитивно да се определи, тогаш реакцијата на врската ќе биде одредена од насоката. Во спротивно, насоката на реакцијата на спојување е неизвесна и може да се најде само од соодветните равенки на движење или рамнотежа на телото. Прашањето за видовите врски и насоката на нивните реакции треба подетално да се проучи со помош на учебникот: С.М. Тарг Краток курс по теоретска механика „Виша школа“, М., 1986 г. Поглавје 1, §3.

Во делот 1, став (в), беше речено дека влијанието на кој било систем на сили може целосно да се одреди само ако овој систем на сили се применува на слободно тело. Бидејќи повеќето тела, во реалноста, не се слободни, тогаш, за да се проучи движењето на овие тела, се поставува прашањето како да се направат овие тела слободни. Ова прашање е одговорено аксиома на врските на предавањата Од страна нафилозофија дома. Предавањабеа... социјална психологија и етнопсихологија. 3. Теоретскирезултати Во социјалниот дарвинизам имаше ...

Теоретски Механика

Водич за студирање >> Физика

Апстракт предавања Од страна напредмет ТЕОРЕТСКИ МЕХАНИКАЗа студенти од специјалитетот: 260501.65 ... - редовни Белешки предавањасоставена врз основа на: Буторин Л.В., Бусигина Е.Б. Теоретски Механика. Едукативен и практичен прирачник...

Како дел од кој било образовен курс, изучувањето на физиката започнува со механика. Не од теоретска, не од применета или пресметковна, туку од стара добра класична механика. Оваа механика се нарекува уште и Њутнова механика. Според легендата, еден научник шетал во градината и видел како паѓа јаболко, а токму оваа појава го поттикнала да го открие законот за универзална гравитација. Се разбира, законот отсекогаш постоел, а Њутн му дал само форма разбирлива за луѓето, но неговата заслуга е бесценета. Во оваа статија нема да ги опишуваме законите на Њутновата механика колку што е можно подетално, но ќе ги наведеме основите, основните знаења, дефинициите и формулите кои секогаш можат да ви играат.

Механиката е гранка на физиката, наука која го проучува движењето на материјалните тела и интеракциите меѓу нив.

Самиот збор е од грчко потекло и е преведен како „уметност на градење машини“. Но, пред да изградиме машини, сè уште сме како Месечината, па да ги следиме стапките на нашите предци и да го проучуваме движењето на камењата фрлени под агол на хоризонтот и јаболката што паѓаат врз нашите глави од висина h.

Зошто изучувањето на физиката започнува со механика? Бидејќи ова е сосема природно, зарем не треба да почнеме со термодинамичка рамнотежа?!

Механиката е една од најстарите науки, а историски изучувањето на физиката започна токму со основите на механиката. Поставени во рамките на времето и просторот, луѓето, всушност, не можеа да започнат со нешто друго, колку и да сакаа. Телата што се движат се првото нешто на кое обрнуваме внимание.

Што е движење?

Механичкото движење е промена на положбата на телата во просторот едни на други со текот на времето.

По оваа дефиниција сосема природно доаѓаме до концептот на референтна рамка. Промена на положбата на телата во просторот едни на други.Клучни зборови овде: релативно едни на други . На крајот на краиштата, патникот во автомобил се движи во однос на лицето што стои на страната на патот со одредена брзина и мирува во однос на неговиот сосед на седиштето до него и се движи со некоја друга брзина во однос на патникот. во автомобилот што ги претекнува.

Затоа, за нормално да ги измериме параметрите на предметите што се движат и да не се збуниме, ни треба референтен систем - цврсто меѓусебно поврзано референтно тело, координатен систем и часовник. На пример, Земјата се движи околу Сонцето во хелиоцентрична референтна рамка. Во секојдневниот живот, речиси сите наши мерења ги извршуваме во геоцентричен референтен систем поврзан со Земјата. Земјата е референтно тело во однос на кое се движат автомобили, авиони, луѓе и животни.

Механиката како наука има своја задача. Задачата на механиката е да ја знае положбата на телото во вселената во секое време. Со други зборови, механиката гради математички опис на движењето и наоѓа врски помеѓу физичките величини што го карактеризираат.

За да продолжиме понатаму, ни треба концептот „ материјална точка " Тие велат дека физиката е егзактна наука, но физичарите знаат колку приближувања и претпоставки треба да се направат за да се договорат токму за оваа точност. Никој никогаш не видел материјална точка или мирисал идеален гас, но тие постојат! Едноставно е многу полесно да се живее со нив.

Материјална точка е тело чија големина и форма може да се занемарат во контекст на овој проблем.

Делови од класичната механика

Механиката се состои од неколку делови

• Кинематика
• Динамика
• Статика

Кинематикаод физичка гледна точка, таа точно проучува како се движи телото. Со други зборови, овој дел се занимава со квантитативните карактеристики на движењето. Најдете брзина, патека - типични кинематички проблеми

Динамикаго решава прашањето зошто се движи така како што се движи. Тоа е, ги зема предвид силите што дејствуваат на телото.

Статикаја проучува рамнотежата на телата под влијание на силите, односно одговара на прашањето: зошто воопшто не паѓа?

Граници на применливост на класичната механика

Класичната механика повеќе не тврди дека е наука која објаснува сè (на почетокот на минатиот век сè беше сосема поинаку), и има јасна рамка на применливост. Генерално, законите на класичната механика важат во светот на кој сме навикнати по големина (макросвет). Тие престануваат да работат во случајот со светот на честичките, кога квантната механика ја заменува класичната механика. Исто така, класичната механика не е применлива за случаи кога движењето на телата се случува со брзина блиска до брзината на светлината. Во такви случаи, релативистичките ефекти стануваат изразени. Грубо кажано, во рамките на квантната и релативистичката механика - класичната механика, ова е посебен случај кога димензиите на телото се големи, а брзината е мала.

Општо земено, квантните и релативистичките ефекти никогаш не исчезнуваат; тие исто така се случуваат при обично движење на макроскопските тела со брзина многу помала од брзината на светлината. Друга работа е што ефектот на овие ефекти е толку мал што не оди подалеку од најточните мерења. Така, класичната механика никогаш нема да ја изгуби својата основна важност.

Ќе продолжиме да ги проучуваме физичките основи на механиката во идните статии. За подобро разбирање на механиката, секогаш можете да се повикате на на нашите автори , што поединечно ќе фрли светлина на темната точка на најтешката задача.

1 слајд

Курс на предавања за теоретска механика Динамика (I дел) Бондаренко А.Н. Москва - 2007 година Електронскиот курс за обука е напишан врз основа на предавања од авторот за студенти кои студираат во специјалитетите на SZhD, PGS и SDM на NIIZhT и MIIT (1974-2006). Едукативниот материјал одговара на календарските планови за три семестри. За целосно да ги имплементирате ефектите на анимацијата за време на презентацијата, мора да користите Power Point прегледувач не понизок од оној вграден во Microsoft Office на оперативниот систем Windows XP Professional. Коментарите и предлозите може да се испратат по е-пошта: [заштитена е-пошта]. Московскиот државен транспортен универзитет (МИИТ) Оддел за теоретска механика Научен и технички центар за транспортни технологии

2 слајд

Содржина Предавање 1. Вовед во динамика. Закони и аксиоми на динамиката на материјална точка. Основна равенка на динамиката. Диференцијални и природни равенки на движење. Два главни проблеми на динамиката. Примери за решавање на директен проблем на динамика Предавање 2. Решение на инверзен проблем на динамика. Општи упатства за решавање на инверзниот проблем на динамиката. Примери за решавање на инверзниот проблем на динамиката. Движење на тело фрлено под агол во однос на хоризонталата, без да се земе предвид отпорот на воздухот. Предавање 3. Праволиниски осцилации на материјална точка. Услов за појава на осцилации. Класификација на вибрации. Слободни вибрации без да се земат предвид силите на отпор. Придушени осцилации. Намалување на осцилациите. Предавање 4. Принудени осцилации на материјална точка. Резонанца. Влијанието на отпорот на движење при принудни вибрации. Предавање 5. Релативно движење на материјална точка. Сили на инерција. Специјални случаи на движење за различни видови преносни движења. Влијанието на ротацијата на Земјата врз рамнотежата и движењето на телата. Предавање 6. Динамика на механички систем. Механички систем. Надворешни и внатрешни сили. Центар на маса на системот. Теорема за движењето на центарот на масата. Закони за заштита. Пример за решавање на проблем со помош на теоремата за движење на центарот на масата. Предавање 7. Силен импулс. Количина на движење. Теорема за промена на моментумот. Закони за заштита. Ојлерова теорема. Пример за решавање на проблем со помош на теоремата за промена на импулсот. Моментум. Теорема за промената на аголниот моментум.Предавање 8. Закони за зачувување. Елементи на теоријата на моменти на инерција. Кинетички момент на круто тело. Диференцијална равенка за ротација на круто тело. Пример за решавање на проблем со помош на теоремата за промена на аголниот момент на систем. Елементарна теорија на жироскопот. Препорачана литература 1. Yablonsky A.A. Курс теоретска механика. Дел 2. М.: Високо училиште. 1977 368 стр. 2. Мешчерски И.В. Збирка проблеми за теоретска механика. М.: Наука. 1986 416 стр. 3. Збирка задачи за термински трудови / Ред. А.А. Јаблонски. М.: Високо училиште. 1985 366 стр. 4. Бондаренко А.Н. „Теоретска механика во примери и проблеми. Динамика“ (електронски прирачник www.miit.ru/institut/ipss/faculties/trm/main.htm), 2004 г.

3 слајд

Предавање 1 Динамика е дел од теоретската механика што го проучува механичкото движење од најопшта гледна точка. Движењето се смета во врска со силите што дејствуваат на објектот. Делот се состои од три дела: Динамика на материјална точка Динамика Динамика на механички систем Аналитичка механика ■ Динамика на точка – го проучува движењето на материјалната точка, земајќи ги предвид силите што го предизвикуваат ова движење. Главниот објект е материјална точка - материјално тело со маса, чии димензии може да се занемарат. Основни претпоставки: – постои апсолутен простор (има чисто геометриски својства кои не зависат од материјата и нејзиното движење. – постои апсолутно време (независно од материјата и нејзиното движење). Од ова произлегува: – постои апсолутно неподвижна рамка на референца - времето не зависи од движењето на референтниот систем - масите на подвижните точки не зависат од движењето на референтната рамка. Овие претпоставки се користат во класичната механика, создадена од Галилео и Њутн. Сè уште има прилично широк опсег на примена, бидејќи механичките системи кои се разгледуваат во применетите науки немаат толку големи маси и брзини на движење, за што е неопходно да се земе предвид нивното влијание врз геометријата на просторот, времето, движењето, како што се прави во релативистички механика (теорија на релативност).■ Основни закони на динамиката - првпат откриени од Галилео и формулирани од Њутн ја формираат основата на сите методи за опишување и анализа на движењето на механичките системи и нивната динамичка интеракција под влијание на различни сили. ■ Закон за инерција (закон за Галилео-Њутн) – Изолирана материјална точка, тело, ја одржува својата состојба на мирување или рамномерно линеарно движење додека применетите сили не го принудат да ја промени оваа состојба. Ова имплицира еквивалентност на состојбата на мирување и движење по инерција (Галилеоовиот закон за релативност). Референтниот систем во однос на кој важи законот за инерција се нарекува инерцијален. Својството на материјалната точка да се стреми да ја одржува константна брзината на нејзиното движење (нејзината кинематска состојба) се нарекува инерција. ■ Закон за пропорционалност на силата и забрзувањето (Основна равенка на динамиката - Њутнов II закон) – Забрзувањето дадено на материјална точка со сила е директно пропорционално на силата и обратно пропорционално на масата на оваа точка: или овде m е масата на точката (мерка за инерција), измерена во kg, нумерички еднаква тежина поделена со забрзувањето поради гравитацијата: F е делувачка сила, измерена во N (1 N дава забрзување од 1 m/s2 на точка со тежина 1 кг, 1 N = 1/9. 81 kg-s). ■ Динамика на механички систем - го проучува движењето на збир на материјални точки и цврсти тела, обединети со општи закони на заемно дејство, земајќи ги предвид силите што го предизвикуваат ова движење. ■ Аналитичка механика – го проучува движењето на ограничените механички системи користејќи општи аналитички методи. 1

4 слајд

Предавање 1 (продолжение – 1.2) Диференцијални равенки на движење на материјална точка: - диференцијална равенка на движење на точка во векторска форма. - диференцијални равенки на движење на точка во координатна форма. Овој резултат може да се добие со формално проектирање на векторската диференцијална равенка (1). По групирањето, векторската врска се распаѓа на три скаларни равенки: Во координатна форма: Ја користиме врската помеѓу векторот на радиус со координати и векторот на сила со проекции: или: Забрзувањето на точката го заменуваме со векторско движење наведено во основна равенка на динамиката: Природни равенки на движење на материјална точка се добиваат со проектирање на векторската диференцијална равенка на движење на природни (подвижни) координатни оски: или: - природни равенки на движење на точка. ■ Основна равенка на динамиката: - одговара на векторскиот метод за одредување на движење на точка. ■ Закон за независност на дејството на силите - Забрзувањето на материјална точка под дејство на неколку сили е еднакво на геометрискиот збир на забрзувањата на точката од дејството на секоја од силите посебно: или Законот важи за секоја кинематска состојба на телата. Силите на интеракција, кои се применуваат на различни точки (тела), не се избалансирани. ■ Закон за еднаквост на дејство и реакција (Њутнов III закон) - Секое дејство одговара на еднаква по големина и спротивно насочена реакција: 2

5 слајд

Два главни проблеми на динамиката: 1. Директна задача: Дадено е движење (равенки на движење, траекторија). Потребно е да се одредат силите под чие влијание се случува дадено движење. 2. Инверзна задача: Дадени се силите под чие влијание настанува движењето. Потребно е да се најдат параметрите на движење (равенки на движење, траекторија на движење). Двата проблема се решаваат со користење на основната равенка на динамиката и нејзината проекција на координатните оски. Ако се земе предвид движењето на неслободна точка, тогаш, како и во статиката, се користи принципот на ослободување од ограничувања. Како резултат на тоа, реакциите на врските се вклучени во силите што делуваат на материјалната точка. Решението на првиот проблем е поврзано со операциите на диференцијација. Решавањето на инверзната задача бара интегрирање на соодветните диференцијални равенки и тоа е многу потешко од диференцијацијата. Инверзниот проблем е потежок од директниот проблем. Да го погледнеме решението на директниот проблем на динамиката користејќи примери: Пример 1. Кабина на лифт со тежина G се крева со кабел со забрзување a. Одредете го затегнатоста на кабелот. 1. Изберете објект (кабината на лифтот се движи преводно и може да се смета како материјална точка). 2. Го отфрламе приклучокот (кабелот) и го заменуваме со реакцијата R. 3. Ја составуваме основната равенка на динамиката: Одреди ја реакцијата на кабелот: Одреди го затегнатоста на кабелот: Со еднообразно движење на кабината, ay = 0 и затегнатоста на кабелот е еднаква на тежината: T = G. Ако кабелот се скине, T = 0 и забрзувањето на кабината е еднакво на забрзувањето на гравитацијата: ay = -g. 3 4. Основната равенка на динамиката ја проектираме на y-оската: y Пример 2. Точка со маса m се движи по хоризонтална површина (Oxy рамнина) според равенките: x = a coskt, y = b coskt. Одреди ја силата што делува на точката. 1. Изберете објект (материјална точка). 2. Ја отфрламе врската (рамнината) и ја заменуваме со реакција N. 3. На системот на сили додаваме непозната сила F 4. Ја составуваме основната равенка на динамиката: 5. Основната равенка на динамиката ја проектираме на оските x, y: Ги определуваме проекциите на силата: Модул на сила: Косинуси на насока : Така, големината на силата е пропорционална на растојанието од точката до центарот на координатите и е насочена кон центарот по линијата што поврзува точката кон центарот. Траекторијата на точката е елипса со центар на почетокот: O r Предавање 1 (продолжение – 1.3)

6 слајд

Предавање 1 (продолжение 1.4) Пример 3: Оптоварување со тежина G е обесено на кабел со должина l и се движи по кружна патека во хоризонтална рамнина со одредена брзина. Аголот на отстапување на кабелот од вертикалата е еднаков. Определете ја затегнатоста на кабелот и брзината на товарот. 1. Изберете објект (товар). 2. Го отфрламе приклучокот (кабелот) и го заменуваме со реакција R. 3. Ја составуваме основната равенка на динамиката: Од третата равенка ја одредуваме реакцијата на кабелот: Го одредуваме затегнатоста на кабелот: Ја заменуваме вредноста на реакцијата на кабелот, нормалното забрзување во втората равенка и одредување на брзината на оптоварувањето: 4. Ја проектираме динамиката на главната равенка на оската,n,b: Пример 4: Автомобил со тежина G се движи по конвексен мост (радиус на закривеност еднаков на R) со брзина V. Да се ​​определи притисокот на автомобилот на мостот. 1. Изберете објект (автомобил, занемарете ги димензиите и сметајте го како точка). 2. Ја отфрламе врската (груба површина) и ја заменуваме со реакции N и сила на триење Ftr. 3. Ја составуваме основната равенка на динамиката: 4. Основната равенка на динамиката ја проектираме на n оската: Од тука ја одредуваме нормалната реакција: Го одредуваме притисокот на автомобилот на мостот: Од тука можеме да ја одредиме брзината што одговара на нулта притисок на мостот (Q = 0): 4

7 слајд

Предавање 2 По замена на пронајдените вредности на константите, добиваме: Така, под влијание на истиот систем на сили, материјална точка може да изврши цела класа на движења утврдени со почетните услови. Почетните координати ја земаат предвид почетната положба на точката. Почетната брзина одредена со проекциите го зема предвид влијанието на неговото движење по разгледуваниот дел од траекторијата на силите што дејствуваат на точката пред да пристигне на овој дел, т.е. почетна кинематска состојба. Решение на инверзниот проблем на динамиката - Во општ случај на движење на точка, силите што дејствуваат на точката се променливи во зависност од времето, координатите и брзината. Движењето на точката е опишано со систем од три диференцијални равенки од втор ред: По интегрирањето на секоја од нив ќе има шест константи C1, C2,…., C6: Вредностите на константите C1, C2,…. , C6 се најдени од шест почетни услови при t = 0: Пример 1 решение инверзна задача: Слободна материјална точка со маса m се движи под дејство на сила F, константна по модул и големина. . Во почетниот момент, брзината на точката беше v0 и се совпадна во насока со силата. Одреди ја равенката на движење на точка. 1. Ја составуваме основната равенка на динамиката: 3. Го намалуваме редоследот на изводот: 2. Избираме декартовска референтна рамка, насочувајќи ја оската x по правецот на силата и ја проектираме основната равенка на динамиката на оваа оска : или x y z 4. Ги издвојуваме променливите: 5. Ги пресметуваме интегралите на двете страни на равенката : 6. Да ја замислиме проекцијата на брзината како извод на координатата во однос на времето: 8. Ги пресметуваме интегралите на двете страни на равенката: 7. Ги издвојуваме променливите: 9. За да ги одредиме вредностите на константите C1 и C2, ги користиме почетните услови t = 0, vx = v0, x = x0: Како резултат, добиваме равенката на рамномерно наизменично движење (по оската x): 5

8 слајд

Општи упатства за решавање на директни и инверзни проблеми. Постапка за решавање: 1. Изработка на диференцијална равенка на движење: 1.1. Изберете координатен систем - правоаголен (фиксен) за непозната траекторија, природен (подвижен) за позната траекторија, на пример, круг или права линија. Во вториот случај, можете да користите една праволиниска координата. Референтната точка треба да биде усогласена со почетната позиција на точката (на t = 0) или со положбата на рамнотежа на точката, ако постои, на пример, кога точката осцилира. 6 1.2. Нацртајте точка во позиција што одговара на произволен момент во времето (на t > 0), така што координатите се позитивни (s > 0, x > 0). Во исто време, ние исто така веруваме дека проекцијата на брзината во оваа позиција е исто така позитивна. Во случај на осцилации, проекцијата на брзината го менува знакот, на пример, кога се враќа во положбата на рамнотежа. Овде треба да се претпостави дека во моментот што се разгледува точката се оддалечува од позицијата на рамнотежа. Следењето на оваа препорака е важно во иднина кога се работи со отпорни сили кои зависат од брзината. 1.3. Ослободете ја материјалната точка од врски, заменете ги нивните дејства со реакции, додајте активни сили. 1.4. Запишете го основниот закон за динамика во векторска форма, проектирајте го на избраните оски, изразете ги наведените или реактивните сили преку променливите време, координати или брзини, доколку тие зависат од нив. 2. Решавање диференцијални равенки: 2.1. Намалете го изводот ако равенката не се сведе на канонска (стандардна) форма. на пример: или 2.2. Одделете ги променливите, на пример: или 2.4. Пресметај ги неопределените интеграли на левата и десната страна на равенката, на пример: 2.3. Ако има три променливи во равенката, тогаш направете промена на променливите, на пример: и потоа поделете ги променливите. Коментар. Наместо да оценувате неопределени интеграли, можете да оцените дефинитивни интеграли со променлива горна граница. Долните граници ги претставуваат почетните вредности на променливите (почетни услови). Тогаш нема потреба посебно да се наоѓа константа, која автоматски се вклучува во решението, на пример: Користење на почетните услови, на пример, t = 0 , vx = vx0, определи ја константата на интеграција: 2.5. Изразете ја брзината преку изводот на координатата во однос на времето, на пример, и повторете ги параграфите 2.2 -2.4 Забелешка. Ако равенката се сведе на канонска форма која има стандардно решение, тогаш се користи ова готово решение. Константите на интеграција сè уште се наоѓаат од почетните услови. Видете, на пример, осцилации (Предавање 4, стр. 8). Предавање 2 (продолжение 2.2)

Слајд 9

Предавање 2 (продолжение 2.3) Пример 2 за решавање на инверзната задача: Силата зависи од времето. Товарот со тежина P почнува да се движи по мазна хоризонтална површина под влијание на сила F, чија големина е пропорционална на времето (F = kt). Да се ​​определи растојанието поминато од товарот во времето t. 3. Ја составуваме основната равенка на динамиката: 5. Го намалуваме редот на изводот: 4. Основната равенка на динамиката ја проектираме на оската x: или 7 6. Ги издвојуваме променливите: 7. Ги пресметуваме интегралите од двете страни на равенката: 9. Проекцијата на брзината ја замислуваме како извод на координатата во однос на времето: 10. Интегралите ги пресметуваме од двете страни на равенката: 9. Ги издвојуваме променливите: 8. Определуваме вредноста на константата C1 од почетната состојба t = 0, vx = v0=0: Како резултат, ја добиваме равенката на движење (по оската x), која ја дава вредноста на поминатото растојание во времето t: 1 Избираме референтен систем (декартови координати) така што телото има позитивна координата: 2. Го земаме предметот на движење како материјална точка (телото се движи транслаторно), го ослободуваме од врската (референтната рамнина) и го заменуваме тоа со реакција (нормална реакција на мазна површина) : 11. Определи ја вредноста на константата C2 од почетната состојба t = 0, x = x0=0: Пример 3 за решавање на инверзната задача: Силата зависи од координираат. Материјална точка со маса m се фрла нагоре од површината на Земјата со брзина v0. Силата на гравитација на Земјата е обратно пропорционална на квадратот на растојанието од точка до центарот на гравитација (центарот на Земјата). Одреди ја зависноста на брзината од растојанието y до центарот на Земјата. 1. Избираме референтен систем (декартови координати) така што телото има позитивна координата: 2. Ја составуваме основната равенка на динамиката: 3. Основната равенка на динамиката ја проектираме на y-оската: или Коефициентот на пропорционалност може да се најде со помош на тежината на точка на површината на Земјата: R Оттука диференцијалот равенката има форма: или 4. Го намалуваме редот на изводот: 5. Правиме промена на променливата: 6. Ги издвојуваме променливите : 7. Ги пресметуваме интегралите на двете страни на равенката: 8. Ги заменуваме границите: Како резултат на тоа добиваме израз за брзината во функција на y координатата: Максималната висина на летот може да се најде со изедначување на брзината до нула: Максимална висина на летот кога именителот оди на нула: Оттука, при поставување на радиусот на Земјата и забрзувањето на гравитацијата, се добива брзина на бегство II:

10 слајд

Предавање 2 (продолжение 2.4) Пример 2 за решавање на инверзна задача: Силата зависи од брзината. Сад со маса m имал брзина v0. Отпорот на водата на движењето на садот е пропорционален на брзината. Определете го времето во кое брзината на бродот ќе се намали за половина по исклучувањето на моторот, како и растојанието што го поминал бродот додека не запре целосно. 8 1. Избираме референтен систем (декартови координати) така што телото има позитивна координата: 2. Го земаме предметот на движење како материјална точка (бродот се движи транслативно), го ослободуваме од врски (вода) и го заменуваме. со реакција (пловечка сила - силата на Архимед), а исто така и силата на отпорност на движење. 3. Додадете активна сила (гравитација). 4. Ја составуваме основната равенка на динамиката: 5. Основната равенка на динамиката ја проектираме на оската x: или 6. Го намалуваме редот на изводот: 7. Ги издвојуваме променливите: 8. Ги пресметуваме интегралите на двете страни на равенката: 9. Ги заменуваме границите: Се добива израз кој ги поврзува брзината и времето t, од кој може да се определи времето на движење: Време на движење при кое брзината ќе се намали за половина: Интересно е да се забележете дека како што брзината се приближува до нула, времето на движење се стреми кон бесконечност, т.е. крајната брзина не може да биде нула. Зошто не „вечно движење“? Меѓутоа, поминатото растојание до постојката е конечна вредност. За да го одредиме поминатото растојание, се свртуваме кон изразот добиен по намалувањето на редот на изводот и правиме промена на променливата: По интеграција и замена на границите, добиваме: Поминато растојание до застанување: ■ Движењето на точка фрлена во агол на хоризонтот во еднообразно поле на гравитација без да се земе предвид отпорот на воздухот Елиминирајќи го времето од равенките на движење, ја добиваме равенката на траекторијата: Времето на летот се одредува со изедначување на координатата y на нула: Опсегот на летот се одредува со замена време на летот:

11 слајд

Предавање 3 Праволиниски осцилации на материјална точка - Осцилаторно движење на материјална точка се јавува под услов: постои сила на враќање која има тенденција да ја врати точката во положба на рамнотежа за секое отстапување од оваа позиција. 9 Постои сила за враќање, рамнотежата е стабилна Нема сила за враќање, положбата на рамнотежа е нестабилна Нема сила за враќање, положбата на рамнотежа е рамнодушна Има сила за враќање, положбата на рамнотежа е стабилна Неопходна е анализа Еластик силата на пружината е пример за линеарна сила на враќање. Секогаш насочена кон положбата на рамнотежа, вредноста е директно пропорционална на линеарното издолжување (скратување) на пружината, еднаква на отстапувањето на телото од рамнотежната положба: c е коефициентот на вкочанетост на пружината, нумерички еднаков на силата под влијание од кои пружината ја менува својата должина за еден, мерена во N/m во системот SI. x y O Видови вибрации на материјална точка: 1. Слободни вибрации (без да се води сметка за отпорноста на медиумот). 2. Слободни осцилации земајќи го предвид отпорот на медиумот (придушени осцилации). 3. Принудени вибрации. 4. Принудени вибрации земајќи го предвид отпорот на медиумот. ■ Слободни вибрации – се појавуваат само под влијание на силата за враќање. Да го запишеме основниот закон за динамика: Да избереме координатен систем со центар на рамнотежна позиција (точка O) и да ја проектираме равенката на оската x: Да ја доведеме добиената равенка во стандардната (канонска) форма: Оваа равенка е хомогена линеарна диференцијална равенка од втор ред, чиј тип на решение се одредува со корените на карактеристичната равенка добиена со универзална замена: Корените на карактеристичната равенка се имагинарни и еднакви: Општото решение на диференцијалната равенка има форма: Брзина на точката: Почетни услови: Дефинирајте ги константите: Значи, равенката на слободните осцилации има форма: Равенката може да се претстави со едночлен израз: каде што a е амплитудата, - почетна фаза . Новите константи a и - се поврзани со односите на константата C1 и C2: Да ги дефинираме a и: Причината за слободните осцилации е почетното поместување x0 и/или почетната брзина v0.

12 слајд

10 Предавање 3 (продолжение 3.2) Придушени осцилации на материјална точка – Осцилаторното движење на материјалната точка се јавува во присуство на сила на враќање и сила на отпор на движење. Зависноста на силата на отпорот на движење од поместувањето или брзината е одредена од физичката природа на медиумот или врската што го попречува движењето. Наједноставната зависност е линеарна зависност од брзината (вискозен отпор): - коефициент на вискозност x y O Основна равенка на динамиката: Проекција на равенката на динамиката на оската: Да ја доведеме равенката во стандардна форма: каде што Карактеристичната равенка има корени : Општото решение на оваа диференцијална равенка има различна форма во зависност од вредностите на корените: 1. n< k – случай малого вязкого сопротивления: - корни комплексные, различные. или x = ae-nt x = -ae-nt Частота затухающих колебаний: Период: T* Декремент колебаний: ai ai+1 Логарифмический декремент колебаний: Затухание колебаний происходит очень быстро. Основное влияние силы вязкого сопротивления – уменьшение амплитуды колебаний с течением времени. 2. n >k – случај на висока вискозна отпорност: - корените се реални, различни. или - овие функции се апериодични: 3. n = k: - корените се реални, повеќекратни. овие функции се исто така периодични:

Слајд 13

Предавање 3 (продолжение 3.3) Класификација на решенија на слободни вибрации. Методи за поврзување на пружини. Еквивалентна цврстина. y y 11 Разлика. Равенка на знаци. равенка Корени на карактерот. равенки Решение на диференцијална равенка График nk n=k

Слајд 14

Предавање 4 Принудени осцилации на материјална точка - Заедно со силата на враќање, дејствува периодично променлива сила, наречена вознемирувачка сила. Вознемирувачката сила може да биде од различна природа. На пример, во одреден случај, инерцијалното дејство на неурамнотежената маса m1 на ротирачкиот ротор предизвикува хармонично различни проекции на силата: Основна равенка на динамиката: Проекција на равенката на динамиката на оската: Да ја намалиме равенката на стандардна форма : 12 Решението на оваа нехомогена диференцијална равенка се состои од два дела x = x1 + x2: x1 е општото решение на соодветната хомогена равенка и x2 е посебното решение на нехомогената равенка: Избираме одредено решение во форма на десна страна: Добиената еднаквост мора да биде исполнета за која било т. Тогаш: или Така, со истовремено дејство на силите за враќање и вознемирување, материјална точка врши сложено осцилаторно движење, кое е резултат на собирање (суперпозиција) на слободни (x1) и принудени (x2) осцилации. Ако стр< k (вынужденные колебания малой частоты), то фаза колебаний совпадает с фазой возмущающей силы: В итоге полное решение: или Общее решение: Постоянные С1 и С2, или a и определяются из начальных условий с использованием полного решения (!): Таким образом, частное решение: Если p >k (принудени осцилации со висока фреквенција), тогаш фазата на осцилации е спротивна на фазата на вознемирувачката сила:

15 слајд

Предавање 4 (продолжение 4.2) 13 Динамички коефициент - односот на амплитудата на принудните осцилации до статичкото отклонување на точка под влијание на константна сила H = const: Амплитуда на принудени осцилации: Статичко отстапување може да се најде од равенката на рамнотежа : Еве: Од тука: Така, на стр< k (малая частота вынужденных колебаний) коэффициент динамичности: При p >k (висока фреквенција на принудени осцилации) динамичен коефициент: Резонанца - се јавува кога фреквенцијата на принудните осцилации се совпаѓа со фреквенцијата на природните осцилации (p = k). Ова најчесто се случува при стартување и запирање на ротацијата на лошо избалансираните ротори монтирани на еластични суспензии. Диференцијална равенка на осцилации со еднакви фреквенции: Не може да се земе одредено решение во форма на десната страна, бидејќи добивате линеарно зависно решение (види општо решение). Општо решение: Заменете во диференцијалната равенка: Земете одредено решение во форма и пресметајте ги изводите: Така, решението се добива: или Присилните осцилации за време на резонанца имаат амплитуда што се зголемува неодредено пропорционално со времето. Влијанието на отпорот на движење при принудни вибрации. Диференцијалната равенка во присуство на вискозен отпор има форма: Општото решение се избира од табелата (Предавање 3, страница 11) во зависност од односот n и k (види). Делумното решение го земаме во форма и ги пресметуваме изводите: Заменете го во диференцијалната равенка: Изедначувајќи ги коефициентите за исти тригонометриски функции, добиваме систем на равенки: Со подигање на двете равенки на моќност и нивно собирање, се добива амплитуда на принудни осцилации: Со делење на втората равенка со првата го добиваме фазното поместување на принудните осцилации: Така, равенката на движење за присилните осцилации земајќи го во предвид отпорот на движење, на пример за n< k (малое сопротивление): Вынужденные колебания при сопротивлении движению не затухают. Частота и период вынужденных колебаний равны частоте и периоду изменения возмущающей силы. Коэффициент динамичности при резонансе имеет конечную величину и зависит от соотношения n и к.

16 слајд

Предавање 5 Релативно движење на материјална точка – Да претпоставиме дека подвижниот (неинерцијален) координатен систем Oxyz се движи според одреден закон во однос на фиксниот (инерцијален) координатен систем O1x1y1z1. Движењето на материјалната точка M (x, y, z) во однос на подвижниот систем Oxyz е релативно, во однос на фиксниот систем O1x1y1z1 е апсолутно. Движењето на мобилниот систем Oxyz во однос на фиксниот систем O1x1y1z1 е преносливо движење. 14 z x1 y1 z1 O1 x y M x y z O Основна равенка на динамиката: Апсолутно забрзување на точка: Да го замениме апсолутното забрзување на точка во основната равенка на динамиката: Да ги преместиме членовите со преносливо и Кориолисово забрзување на десната страна: Пренесените членови имаат димензија на сили и се сметаат како соодветни инерцијални сили, еднакви: Тогаш релативното движење на точката може да се смета за апсолутно ако на дејствувачките сили ги додадеме преносните и Кориолисовата инерција сили: Во проекции на оската на подвижниот координатен систем имаме: Посебни случаи на релативно движење на точка за различни видови преносни движења: 1. Ротација околу фиксна оска: Ако ротацијата е рамномерна, тогаш εe = 0: 2. Преводно кривилинеарно движење: Ако движењето е праволиниско, тогаш =: Ако движењето е праволиниско и рамномерно, тогаш подвижниот систем е инерцијален и релативното движење може да се смета за апсолутно: Ниту еден механички феномен не може да открие праволиниско еднообразно движење (принцип на релативност на класичната механика). Влијанието на ротацијата на Земјата врз рамнотежата на телата - Да претпоставиме дека телото е во рамнотежа на површината на Земјата на произволна географска ширина φ (паралелна). Земјата ротира околу својата оска од запад кон исток со аголна брзина: Радиусот на Земјата е околу 6370 km. S R – целосна реакција на немазна површина. G е силата на привлекување на Земјата кон центарот. F – центрифугална сила на инерција. Состојба на релативна рамнотежа: Резултатот од силите на привлекување и инерција е силата на гравитацијата (тежина): Големината на силата на гравитацијата (тежината) на површината на Земјата е P = mg. Центрифугалната сила на инерција е мал дел од силата на гравитацијата: отстапувањето на силата на гравитацијата од насоката на силата на привлекување е исто така мало: Така, влијанието на ротацијата на Земјата врз рамнотежата на телата е исклучително мал и не се зема предвид при практичните пресметки. Максималната вредност на силата на инерција (на φ = 0 - на екваторот) е само 0,00343 од силата на гравитацијата

Слајд 17

Предавање 5 (продолжение 5.2) 15 Влијанието на ротацијата на Земјата врз движењето на телата во Земјиното гравитационо поле – Да претпоставиме дека тело паѓа на Земјата од одредена висина H над површината на Земјата на географска ширина φ. Дозволете ни да избереме движечки референтен систем цврсто поврзан со Земјата, насочувајќи ги оските x, y тангенцијално на паралелата и на меридијанот: Равенка на релативното движење: Малиноста на центрифугалната сила на инерција во споредба со силата на гравитацијата е земена во сметка овде. Така, силата на гравитацијата се поистоветува со силата на гравитацијата. Дополнително, веруваме дека силата на гравитацијата е насочена нормално на површината на Земјата поради малата отстапување, како што беше дискутирано погоре. Кориолисовото забрзување е еднакво и насочено паралелно со y-оската на запад. Кориолисовата инерцијална сила е насочена во спротивна насока. Да ја проектираме равенката на релативното движење на оската: Решението на првата равенка дава: Почетни услови: Решението на третата равенка дава: Почетни услови: Третата равенка има форма: Почетни услови: Неговото решение дава: Резултираното решение покажува дека телото при паѓање отстапува на исток. Да ја пресметаме големината на ова отстапување, на пример, при паѓање од височина од 100 m Времето на паѓање ќе го најдеме од решението на втората равенка: Така, влијанието на ротацијата на Земјата врз движењето на телата е исклучително мало за практични висини и брзини и не се зема предвид при техничките пресметки. Од решението на втората равенка следи и постоењето на брзина долж оската y, која исто така треба да предизвика и предизвикува соодветно забрзување и Кориолисова инерцијална сила. Влијанието на оваа брзина и инерцијалната сила поврзана со неа врз промената на движењето ќе биде уште помало од разгледуваната Кориолисова инерцијална сила поврзана со вертикалната брзина.

18 слајд

Предавање 6 Динамика на механички систем. Систем на материјални точки или механички систем - збир на материјални точки или материјални, обединети со општи закони на интеракција (положбата или движењето на секоја точка или тело зависи од положбата и движењето на сите други) Систем на слободни точки - чие движење не е ограничено со никакви врски (на пример, планетарен систем , во кој планетите се сметаат за материјални точки). Систем на неслободни точки или неслободен механички систем - движењето на материјалните точки или тела е ограничено со врски наметнати на системот (на пример, механизам, машина итн.). 16 Сили кои дејствуваат на системот. Покрај претходно постоечката класификација на силите (активни и реактивни сили) се воведува нова класификација на силите: 1. Надворешни сили (д) - дејствуваат на точки и тела на системот од точки или тела кои не се дел од овој систем. 2. Внатрешни сили (i) – сили на интеракција помеѓу материјалните точки или тела вклучени во даден систем. Истата сила може да биде и надворешна и внатрешна сила. Сè зависи од тоа каков вид механички систем се разгледува. На пример: Во системот на Сонцето, Земјата и Месечината, сите гравитациони сили меѓу нив се внатрешни. Кога се разгледуваат системот на Земјата и Месечината, гравитационите сили што се применуваат од Сонцето се надворешни: C Z L Врз основа на законот на дејство и реакција, секоја внатрешна сила Fk одговара на друга внатрешна сила Fk’, еднаква по големина и спротивна по насока. Од ова произлегуваат две извонредни својства на внатрешните сили: Главниот вектор на сите внатрешни сили на системот е еднаков на нула: Главниот момент на сите внатрешни сили на системот во однос на кој било центар е еднаков на нула: Или во проекции на координатата оски: Забелешка. Иако овие равенки се слични на равенките за рамнотежа, тие не се равенки за рамнотежа, бидејќи внатрешните сили се применуваат на различни точки или тела на системот и можат да предизвикаат овие точки (тела) да се движат релативно едни на други. Од овие равенки произлегува дека внатрешните сили не влијаат на движењето на системот што се разгледува како целина. Центар на маса на систем од материјални точки. За да се опише движењето на системот како целина, се воведува геометриска точка, наречена центар на маса, чиј вектор на радиус се одредува со изразот, каде што М е масата на целиот систем: Или во проекции на координатата оски: Формулите за центар на маса се слични на формулите за центар на гравитација. Сепак, концептот центар на маса е поопшт бидејќи не е поврзан со гравитационите сили или гравитационите сили.

Слајд 19

Предавање 6 (продолжение 6.2) 17 Теорема за движењето на центарот на масата на системот – Да се ​​разгледа систем од n материјални точки. Силите кои се применуваат на секоја точка ги делиме на надворешни и внатрешни и ги заменуваме со соодветните резултати Fke и Fki. Да ја запишеме основната равенка на динамиката за секоја точка: или Да ги сумираме овие равенки на сите точки: На левата страна од равенката, внесете ги масите под знакот на изводот и заменете го збирот на изводите со изводот на збир: Од дефиницијата за центар на маса: Замена во добиената равенка: По вадењето на масата на системот од знакот на изводот се добива или: Производот на масата на системот и забрзувањето на неговата централна маса е еднаков на главниот вектор на надворешни сили. Во проекции на координатни оски: Центарот на масата на системот се движи како материјална точка со маса еднаква на масата на целиот систем, на која се применуваат сите надворешни сили кои делуваат на системот. Последици од теоремата за движењето на центарот на масата на системот (закони за зачувување): 1. Ако во временскиот интервал главниот вектор на надворешните сили на системот е нула, Re = 0, тогаш брзината на центарот масата е константна, vC = const (центарот на масата се движи рамномерно праволиниско - законот за зачувување на центарот на масата на движење). 2. Ако во временскиот интервал проекцијата на главниот вектор на надворешните сили на системот на оската x е нула, Rxe = 0, тогаш брзината на центарот на масата долж оската x е константна, vCx = const ( центарот на масата се движи рамномерно по оската). Слични изјави се точни за оските y и z. Пример: Двајца луѓе со маса m1 и m2 се во чамец со маса m3. Во почетниот момент, чамецот со луѓе мируваше. Определете го поместувањето на чамецот ако лице со маса m2 се преселило до лакот на чамецот на растојание a. 3. Ако во временскиот интервал главниот вектор на надворешните сили на системот е нула, Re = 0, а во почетниот момент брзината на центарот на маса е нула, vC = 0, тогаш векторот на радиусот на центарот масата останува константна, rC = const (центарот на маса е во мирување – закон за зачувување на положбата на центарот на масата). 4. Ако во временскиот интервал проекцијата на главниот вектор на надворешните сили на системот на оската x е нула, Rxe = 0, а во почетниот момент брзината на центарот на маса долж оваа оска е нула, vCx = 0, тогаш координатата на центарот на масата долж оската x останува константна, xC = const (центарот на масата не се движи по оваа оска). Слични изјави се точни за оските y и z. 1. Објект на движење (брод со луѓе): 2. Отфрлете ги врските (вода): 3. Заменете ја врската со реакција: 4. Додадете активни сили: 5. Напишете ја теоремата за центарот на масата: Проект на оската x: O Одредете колку далеку треба да се движите до лице со маса m1, така што чамецот ќе остане на своето место: Бродот ќе се движи растојание l во спротивна насока.

20 слајд

Предавање 7 Силен импулс е мерка за механичка интеракција која го карактеризира преносот на механичкото движење од силите што дејствуваат на точка за даден временски период: 18 Во проекции на координатните оски: Во случај на постојана сила: Во проекции врз координатните оски: Резултантниот импулс е еднаков на геометрискиот збир на применетите импулси до точката на силите во истиот временски период: Помножете се со dt: Интегрирајте во даден временски период: Импулсот на точката е мерка за механичко движење, определено со вектор еднаков на производот на масата на точката и векторот на нејзината брзина: Теорема за промената на импулсот на системот - Да се ​​разгледа систем n материјални точки. Силите кои се применуваат на секоја точка ги делиме на надворешни и внатрешни и ги заменуваме со соодветните резултати Fke и Fki. Да ја запишеме за секоја точка основната равенка на динамиката: или Импулсот на систем од материјални точки е геометриски збир од количините на движење на материјалните точки: По дефиниција на центарот на масата: Векторот на импулсот на системот е еднаков на производот од масата на целиот систем со векторот на брзината на центарот на масата на системот. Тогаш: Во проекции на координатни оски: Временскиот извод на векторот на импулсот на системот е еднаков на главниот вектор на надворешните сили на системот. Да ги сумираме овие равенки на сите точки: На левата страна од равенката, внесете ги масите под знакот на изводот и збирот на изводите заменете го со изводот на збирот: Од дефиницијата за импулсот на системот: Во проекциите на координатните оски:

21 слајдови

Ојлерова теорема - Примена на теоремата за промена на импулсот на системот при движење на континуиран медиум (вода). 1. Како предмет на движење го избираме волуменот на вода што се наоѓа во кривилинеарниот канал на турбината: 2. Ги отфрламе врските и нивното дејство го заменуваме со реакции (Rsur е резултат на површинските сили) 3. Додаваме активни сили ( Роб е резултант на волуметриските сили): 4. Ја пишуваме теоремата за промена на моментумот на системот: Импулсот на водата во моментите t0 и t1 го прикажуваме како збирови: Промена на моментумот на водата во временскиот интервал: Промена во моментумот на водата над бесконечно мал временски интервал dt: , каде што F1 F2 Земајќи го производот од густината, површината на напречниот пресек и брзината за втората маса добиваме: Заменувајќи го диференцијалот на моментумот на системот во теоремата за промена, добиваме: Последици од теоремата за промената на моментумот на системот (закони за зачувување): 1. Ако во временскиот интервал главниот вектор на надворешните сили на системот е нула, Re = 0, тогаш квантитетот на векторското движење е константно, Q = const – закон за зачувување на моментумот на системот). 2. Ако во временскиот интервал проекцијата на главниот вектор на надворешните сили на системот на оската x е нула, Rxe = 0, тогаш проекцијата на моментумот на системот на оската x е константна, Qx = const . Слични изјави се точни за оските y и z. Предавање 7 (продолжение од 7.2) Пример: Граната со маса М, која летала со брзина v, експлодирала на два дела. Брзината на еден од фрагментите со маса m1 се зголеми во насока на движење до вредност v1. Одреди ја брзината на вториот фрагмент. 1. Објект на движење (граната): 2. Објектот е слободен систем, нема врски и нивни реакции. 3. Додај активни сили: 4. Напиши ја теоремата за промената на импулсот: Проектирај на оската: β Оддели ги променливите и интегрирај: Десниот интеграл е практично еднаков на нула, бидејќи време на експлозија т

22 слајд

Предавање 7 (продолжение 7.3) 20 Аголниот моментум на точка или аголниот моментум на точка во однос на одреден центар е мерка за механичко движење определено со вектор еднаков на векторскиот производ на векторот на радиусот на материјалната точка и векторот на неговиот импулс: Аголниот моментум на систем од материјални точки во однос на одреден центар е геометриски збирот на аголниот моментум на сите материјални точки во однос на истиот центар: Во проекции на оската: Во проекции на оската: Теорема за менување аголниот момент на системот – Размислете за систем од n материјални точки. Силите кои се применуваат на секоја точка ги делиме на надворешни и внатрешни и ги заменуваме со соодветните резултати Fke и Fki. Да ја запишеме основната равенка на динамиката за секоја точка: или Да ги сумираме овие равенки на сите точки: Да го замениме збирот на изводите со изводот на збирот: Изразот во загради е аголниот моментум на системот. Оттука: Ајде векторски да го помножиме секое од равенките со векторот на радиус лево: Да видиме дали е можно да се помести знакот на изводот надвор од векторскиот производ: Така, добиваме: Изводот на векторот на аголниот момент на системот во однос на некој центар е временски еднаков на главниот момент на надворешните сили на системот во однос на истиот центар. Во проекции на координатни оски: Дериватот на моментот на импулсот на системот во однос на одредена оска во времето е еднаков на главниот момент на надворешните сили на системот во однос на истата оска.

Слајд 23

Предавање 8 21 ■ Последици од теоремата за промената на аголниот импулс на системот (закони за зачувување): 1. Ако во временски интервал векторот на главниот момент на надворешните сили на системот во однос на некој центар е нула, MOe = 0, тогаш векторот на аголниот моментум на системот во однос на истата централна константа, KO = const – закон за зачувување на аголниот моментум на системот). 2. Ако во временскиот интервал главниот момент на надворешните сили на системот во однос на оската x е еднаков на нула, Mxe = 0, тогаш аголниот моментум на системот во однос на оската x е константен, Kx = const. Слични изјави се точни за оските y и z. 2. Момент на инерција на круто тело во однос на оската: Моментот на инерција на материјална точка во однос на оската е еднаков на производот од масата на точката со квадратот на растојанието на точката до оската. Моментот на инерција на круто тело во однос на оската е еднаков на збирот на производите од масата на секоја точка и квадратот на растојанието од оваа точка до оската. ■ Елементи на теоријата на моменти на инерција – Во ротационото движење на круто тело, мерката за инерција (отпорност на промена во движењето) е моментот на инерција во однос на оската на ротација. Да ги разгледаме основните концепти на дефиниција и методи за пресметување моменти на инерција. 1. Момент на инерција на материјална точка во однос на оската: При поминување од дискретна мала маса на бесконечно мала маса на точка, границата на таквата сума се определува со интегралот: аксијален момент на инерција на круто тело. Покрај аксијалниот момент на инерција на цврсто тело, постојат и други видови моменти на инерција: центрифугалниот момент на инерција на цврсто тело. поларен момент на инерција на круто тело. 3. Теоремата за моментите на инерција на круто тело во однос на паралелни оски - формулата за премин кон паралелни оски: Момент на инерција во однос на референтната оска Статични моменти на инерција во однос на референтните оски Телесна маса Растојание помеѓу оските z1 и z2 Така: Ако оската z1 минува низ центарот на масата, тогаш статичките моменти се нула:

24 слајд

Предавање 8 (продолжение 8.2) 22 Момент на инерција на хомогена прачка со постојан пресек во однос на оската: x z L Изберете го елементарниот волумен dV = Adx на растојание x: x dx Елементарна маса: За да се пресмета моментот на инерција релативна до централната оска (поминувајќи низ центарот на гравитација), доволно е да се смени локацијата на оската и да се постават граници на интеграција (-L/2, L/2). Овде ја демонстрираме формулата за премин кон паралелни оски: zC 5. Моментот на инерција на хомоген цврст цилиндар во однос на оската на симетријата: H dr r Да го избереме елементарниот волумен dV = 2πrdrH (тенок цилиндар со радиус r) : Елементарна маса: Овде се користи формулата за волуменот на цилиндерот V = πR2H. За да се пресмета моментот на инерција на шуплив (дебел) цилиндар, доволно е да се постават границите на интеграција од R1 до R2 (R2> R1): 6. Момент на инерција на тенок цилиндар во однос на оската на симетрија (t

25 слајд

Предавање 8 (продолжение 8.3) 23 ■ Диференцијална равенка за ротација на круто тело околу оска: Да напишеме теорема за промената на кинетичкиот момент на круто тело што ротира околу фиксна оска: Кинетичкиот момент на ротирачка крута телото е еднакво на: Моментот на надворешните сили во однос на оската на ротација е еднаков на вртежниот момент (моментите на гравитација на реакција и сила не создаваат): Кинетичкиот момент и вртежниот момент ги заменуваме во теоремата Пример: Две лица со иста тежина G1 = G2 висат на јаже фрлено преку цврст блок со тежина G3 = G1/4. Во одреден момент, еден од нив почна да се качува на јажето со релативна брзина u. Определете ја стапката на пораст на секоја личност. 1. Изберете го објектот на движење (блок со луѓе): 2. Отфрлете ги врските (потпорен уред на блокот): 3. Заменете ја врската со реакции (лого): 4. Додадете активни сили (сили на гравитација): 5. Запишете теоремата за промената на кинетичкиот момент на системот во однос на оската на ротација на блокот: R Бидејќи моментот на надворешните сили е нула, кинетичкиот момент мора да остане константен: Во почетниот момент на времето t = 0 имало рамнотежа и Kz0 = 0. Откако започна движењето на едно лице во однос на јажето, целиот систем почна да се движи, но системот на кинетички момент мора да остане еднаков на нула: Kz = 0. Кинетичкиот момент на системот се состои од кинетичките моменти и на луѓето и на блокот: Овде v2 е брзината на второто лице, еднаква на брзината на кабелот Пример: Определете го периодот на мали слободни осцилации на хомогена прачка со маса M и должина l, обесена со едниот крај до фиксната оска на ротација. Или: Во случај на мали осцилации sinφ φ: Период на осцилација: Момент на инерција на шипката:

26 слајд

Предавање 8 (продолжение од 8.4 - дополнителен материјал) 24 ■ Елементарна теорија на жироскопот: Жироскопот е круто тело кое ротира околу оската на симетрија на материјалот, чија една од точките е неподвижна. Слободен жироскоп - фиксиран така што неговиот центар на маса останува неподвижен, а оската на ротација минува низ центарот на масата и може да заземе која било позиција во просторот, т.е. оската на ротација ја менува својата положба како оската на сопствената ротација на телото за време на сферичното движење. Главната претпоставка на приближната (елементарна) теорија на жироскопот е дека векторот на аголниот импулс (кинетичкиот момент) на роторот се смета дека е насочен долж сопствената оска на ротација. Така, и покрај тоа што во општиот случај роторот учествува во три ротации, се зема предвид само аголната брзина на сопствената ротација ω = dφ/dt. Причината за ова е што во модерната технологија роторот на жироскопот ротира со аголна брзина од редот од 5000-8000 rad/s (околу 50000-80000 вртежи во минута), додека другите две аголни брзини се поврзани со прецесијата и нутацијата на сопствената оската на ротација десетици илјади пати помала од оваа брзина. Главното својство на слободниот жироскоп е дека оската на роторот одржува постојана насока во просторот во однос на инерцијалната (ѕвездена) референтна рамка (демонстрирана со нишалото на Фуко, кое ја одржува рамнината на замавнување непроменета во однос на ѕвездите, 1852 година) . Ова произлегува од законот за зачувување на кинетичкиот момент во однос на центарот на масата на роторот, под услов триењето во лежиштата на оските на потпирањето на роторот, надворешните и внатрешните рамки да се занемари: Дејството на силата на оската на слободниот жироскоп . Во случај на сила применета на оската на роторот, моментот на надворешните сили во однос на центарот на масата не е еднаков на нула: ω ω C Дериватот на кинетичкиот момент во однос на времето е еднаков на брзината на крајот на овој вектор (теорема на Ресал): Тоа значи дека оската на роторот ќе отстапува во насока различна од акционата сила, и кон векторот на моментот на оваа сила, т.е. нема да ротира околу оската x (внатрешна суспензија), туку околу оската y (надворешна суспензија). Кога силата ќе престане, оската на роторот ќе остане во непроменета положба што одговара на последниот момент на силата, бидејќи од овој момент во времето моментот на надворешните сили повторно станува еднаков на нула. Во случај на краткотрајна сила (удар), оската на жироскопот практично не ја менува својата позиција. Така, брзата ротација на роторот му дава на жироскопот способност да се спротивстави на случајните влијанија кои имаат тенденција да ја променат положбата на оската на ротација на роторот, а со постојана сила ја одржува положбата на рамнината нормална на дејствувачката сила во која роторот оската лежи. Овие својства се користат во работата на инерцијалните навигациски системи.

Прикажи:оваа статија е прочитана 32852 пати

Pdf Изберете јазик... Руски украински англиски

Краток преглед

Целиот материјал се презема погоре, откако ќе се избере јазикот

• Статика
  • Основни концепти на статика
  • Видови сили
  • Аксиоми на статиката
  • Врските и нивните реакции
  • Систем на конвергирани сили
    • Методи за определување на резултантниот систем на конвергирачки сили
    • Услови на рамнотежа за систем на конвергирани сили
  • Момент на сила околу центарот како вектор
    • Алгебарска вредност на моментот на сила
    • Својства на моментот на сила во однос на центарот (точка)
  • Теорија за парови на сила
    • Собирање на две паралелни сили насочени во иста насока
    • Собирање на две паралелни сили насочени во различни насоки
    • Сила парови
    • Теореми за двојна сила
    • Услови на рамнотежа за систем на парови на сили
  • Рачка на рачката
  • Произволен рамен систем на сили
    • Случаи на редуцирање на рамнински систем на сили во поедноставна форма
    • Аналитички услови на рамнотежа
  • Центар на паралелни сили. Центар на гравитација
    • Центар на паралелни сили
    • Центарот на гравитација на круто тело и неговите координати
    • Тежиште на волумен, рамнина и линија
    • Методи за одредување на положбата на центарот на гравитација
• Основи на тркачи за сила
  • Цели и методи на јачина на материјалите
  • Класификација на оптоварување
  • Класификација на структурни елементи
  • Деформација на прачка
  • Основни хипотези и принципи
  • Внатрешни сили. Метод на пресек
  • Напони
  • Напнатост и компресија
  • Механички карактеристики на материјалот
  • Дозволени стресови
  • Цврстина на материјалите
  • Дијаграми на надолжни сили и напрегања
  • Смена
  • Геометриски карактеристики на пресеците
  • Торзија
  • Свиткајте
    • Диференцијални зависности при свиткување
    • Јачина на свиткување
    • Нормални напони. Пресметка на јачина
    • Напрегање на смолкнување за време на свиткување
    • Флексурална ригидност
  • Елементи на општата теорија на стресната состојба
  • Теории на сила
  • Свиткување со торзија
• Кинематика
  • Кинематика на точка
    • Траекторија на движење на точка
    • Методи за одредување на движење на точката
    • Точка брзина
    • Точка забрзување
  • Кинематика на круто тело
    • Преводно движење на круто тело
    • Ротационо движење на круто тело
    • Кинематика на механизми за запчаници
    • Рамнинско-паралелно движење на круто тело
  • Комплексно движење на точката
• Динамика
  • Основни закони на динамиката
  • Динамика на точка
    • Диференцијални равенки на слободна материјална точка
    • Проблеми со динамика на две точки
  • Цврста динамика на телото
    • Класификација на силите кои делуваат на механички систем
    • Диференцијални равенки на движење на механички систем
  • Општи теореми на динамиката
    • Теорема за движењето на центарот на масата на механички систем
    • Теорема за промена на моментумот
    • Теорема за промена на аголниот моментум
    • Теорема за промена на кинетичката енергија
• Сили кои дејствуваат во машините
  • Сили во зафаќањето на запчаник
  • Триење во механизми и машини
    • Лизгачко триење
    • Триење на тркалање
  • Ефикасност
• Машински делови
  • Механички запчаници
    • Видови механички запчаници
    • Основни и изведени параметри на механички запчаници
    • Запчаници
    • Запчаници со флексибилни врски
  • Шахти
    • Цел и класификација
    • Дизајн пресметка
    • Проверете ја пресметката на шахтите
  • Лежишта
    • Обични лежишта
    • Тркалачки лежишта
  • Поврзување машински делови
    • Видови на монтажни и постојани врски
    • Врски со клучеви
• Стандардизација на нормите, заменливост
  • Толеранции и слетувања
  • Унифициран систем на приеми и слетувања (USDP)
  • Отстапување на обликот и локацијата

Формат: pdf

Големина: 4 MB

руски јазик

Пример за пресметка на запчаник
Пример за пресметување на запчаник. Извршен е избор на материјал, пресметка на дозволените напрегања, пресметка на контакт и јакост на свиткување.

Пример за решавање на проблем со свиткување на гредата
Во примерот беа конструирани дијаграми на попречни сили и моменти на свиткување, пронајден е опасен пресек и избран е I-зрак. Проблемот ја анализираше конструкцијата на дијаграмите користејќи диференцијални зависности и спроведе компаративна анализа на различни пресеци на зракот.

Пример за решавање на проблем со торзија на вратило
Задачата е да се тестира цврстината на челичното вратило при даден дијаметар, материјал и дозволен напон. Во текот на растворот се конструираат дијаграми на вртежни моменти, напрегања на смолкнување и агли на вртење. Сопствената тежина на вратилото не се зема предвид

Пример за решавање на проблем на затегнување-компресија на прачка
Задачата е да се тестира цврстината на челичната шипка при одредени дозволени напрегања. При решавањето се конструираат дијаграми на надолжни сили, нормални напрегања и поместувања. Сопствената тежина на прачката не се зема предвид

Примена на теоремата за зачувување на кинетичката енергија
Пример за решавање на проблем со помош на теоремата за зачувување на кинетичката енергија на механички систем

Одредување на брзината и забрзувањето на точка со помош на дадени равенки на движење
Пример за решавање на проблем за одредување на брзината и забрзувањето на точка со помош на дадени равенки на движење

Определување на брзини и забрзувања на точки на круто тело при рамнинско-паралелно движење
Пример за решавање на проблем за одредување на брзините и забрзувањата на точките на круто тело за време на рамнинско-паралелно движење

Определување на силите во шипките на рамна бандаж
Пример за решавање на проблемот со одредување на силите во прачките на рамна бандаж со помош на методот Ритер и методот на сечење јазли