Како да се реши равенка со променлива во именителот. „решавање фракциони рационални равенки“

Ја воведовме равенката погоре во § 7. Прво, да се потсетиме што е рационален израз. Ова е алгебарски израз составен од броеви и променливата x со помош на операциите собирање, одземање, множење, делење и степенување со природен експонент.

Ако r(x) е рационален израз, тогаш равенката r(x) = 0 се нарекува рационална равенка.

Меѓутоа, во пракса е попогодно да се користи малку пошироко толкување на терминот „рационална равенка“: ова е равенка од формата h(x) = q(x), каде што h(x) и q(x) се рационални изрази.

Досега не можевме да решиме ниту една рационална равенка, туку само една која како резултат на разни трансформации и расудувања се сведе на линеарна равенка. Сега нашите можности се многу поголеми: ќе можеме да решиме рационална равенка што се сведува не само на линеарна
mu, но и на квадратната равенка.

Да се потсетиме како претходно ги решававме рационалните равенки и да се обидеме да формулираме алгоритам за решение.

Пример 1.Решете ја равенката

Решение. Ајде да ја преработиме равенката во форма

Во овој случај, како и обично, го користиме фактот што еднаквостите A = B и A - B = 0 ја изразуваат истата врска помеѓу A и B. Ова ни овозможи да го преместиме терминот на левата страна од равенката со спротивен знак.

Ајде да ја трансформираме левата страна на равенката. Ние имаме

Да се потсетиме на условите на еднаквост дропкинула: ако и само ако две релации се истовремено задоволени:

1) броителот на дропката е нула (a = 0); 2) именителот на дропката е различен од нула).
Изедначувајќи го броителот на дропот од левата страна на равенката (1) на нула, добиваме

Останува да се провери исполнувањето на вториот услов наведен погоре. Релацијата значи за равенката (1) дека . Вредностите x 1 = 2 и x 2 = 0,6 ги задоволуваат наведените односи и затоа служат како корени на равенката (1), а во исто време и корени на дадената равенка.

1) Ајде да ја трансформираме равенката во форма

2) Да ја трансформираме левата страна на оваа равенка:

(истовремено ги смени знаците во броителот и
дропки).
Така, дадената равенка добива форма

3) Решете ја равенката x 2 - 6x + 8 = 0. Најдете

4) За пронајдените вредности проверете го исполнувањето на условот . Бројот 4 го задоволува овој услов, но бројот 2 не. Ова значи дека 4 е коренот на дадената равенка, а 2 е необичен корен.
ОДГОВОР: 4.

2. Решавање на рационални равенки со воведување нова променлива

Начинот на воведување нова променлива ви е познат, ние сме го користеле повеќе од еднаш. Да покажеме со примери како се користи при решавање на рационални равенки.

Пример 3.Решете ја равенката x 4 + x 2 - 20 = 0.

Решение. Да воведеме нова променлива y = x 2 . Бидејќи x 4 = (x 2) 2 = y 2, тогаш дадената равенка може да се препише како

y 2 + y - 20 = 0.

Ова е квадратна равенка, чии корени може да се најдат со користење на познати формули; добиваме y 1 = 4, y 2 = - 5.
Но, y = x 2, што значи дека проблемот е сведена на решавање на две равенки:
x 2 =4; x 2 = -5.

Од првата равенка откриваме дека втората равенка нема корени.
Одговор:.
Равенката од формата ax 4 + bx 2 +c = 0 се нарекува биквадратна равенка („bi“ е два, т.е. еден вид „двојна квадратна“ равенка). Штотуку решената равенка беше прецизно биквадратична. Секоја биквадратна равенка се решава на ист начин како равенката од Пример 3: воведете нова променлива y = x 2, решете ја добиената квадратна равенка во однос на променливата y, а потоа вратете се на променливата x.

Пример 4.Решете ја равенката

Решение. Забележете дека истиот израз x 2 + 3x се појавува двапати овде. Ова значи дека има смисла да се воведе нова променлива y = x 2 + 3x. Ова ќе ни овозможи да ја преработиме равенката во поедноставна и попријатна форма (што, всушност, е и целта за воведување нова променлива- и поедноставување на снимањето
станува појасна, а структурата на равенката станува појасна):

Сега да го искористиме алгоритмот за решавање на рационална равенка.

1) Да ги преместиме сите поими од равенката во еден дел:

= 0
2) Трансформирајте ја левата страна на равенката

Значи, дадената равенка ја трансформиравме во форма

3) Од равенката - 7y 2 + 29y -4 = 0 наоѓаме (вие и јас веќе решивме доста квадратни равенки, па веројатно не вреди секогаш да даваме детални пресметки во учебникот).

4) Ајде да ги провериме пронајдените корени користејќи го условот 5 (y - 3) (y + 1). Двата корени ја задоволуваат оваа состојба.
Значи, квадратната равенка за новата променлива y е решена:
Бидејќи y = x 2 + 3x, а y, како што утврдивме, зема две вредности: 4 и , сепак треба да решиме две равенки: x 2 + 3x = 4; x 2 + Zx = . Корените на првата равенка се броевите 1 и - 4, корените на втората равенка се броевите

Во разгледаните примери, методот на воведување нова променлива беше, како што сакаат да кажат математичарите, адекватен на ситуацијата, односно добро соодветствуваше со неа. Зошто? Да, бидејќи истиот израз јасно се појавуваше во равенката неколку пати и имаше причина овој израз да се означи со нова буква. Но, тоа не се случува секогаш; понекогаш нова променлива „се појавува“ само за време на процесот на трансформација. Токму тоа ќе се случи во следниот пример.

Пример 5.Решете ја равенката
x(x-1)(x-2)(x-3) = 24.
Решение. Ние имаме
x(x - 3) = x 2 - 3x;
(x - 1) (x - 2) = x 2 -Зx+2.

Тоа значи дека дадената равенка може да се препише во форма

(x 2 - 3x) (x 2 + 3x + 2) = 24

Сега „се појави“ нова променлива: y = x 2 - 3x.

Со негова помош, равенката може да се препише во форма y (y + 2) = 24 и потоа y 2 + 2y - 24 = 0. Корените на оваа равенка се броевите 4 и -6.

Враќајќи се на првобитната променлива x, добиваме две равенки x 2 - 3x = 4 и x 2 - 3x = - 6. Од првата равенка наоѓаме x 1 = 4, x 2 = - 1; втората равенка нема корени.

ОДГОВОР: 4, - 1.

Содржина на лекцијата белешки за лекцијатаподдршка на рамка лекција презентација методи забрзување интерактивни технологии Вежбајте задачи и вежби работилници за самотестирање, обуки, случаи, потраги прашања за дискусија за домашни задачи реторички прашања од ученици Илустрации аудио, видео клипови и мултимедијафотографии, слики, графики, табели, дијаграми, хумор, анегдоти, шеги, стрипови, параболи, изреки, крстозбори, цитати Додатоци апстрактистатии трикови за љубопитните креветчиња учебници основни и дополнителен речник на поими друго Подобрување на учебниците и лекциитекорекција на грешки во учебникотажурирање фрагмент во учебник, елементи на иновација во лекцијата, замена на застарените знаења со нови Само за наставници совршени лекциикалендарски план за година, методолошки препораки, програми за дискусија Интегрирани лекции

Цели на лекцијата:

Образовни:

формирање на концептот на дробни рационални равенки;
разгледајте различни начини за решавање на дробни рационални равенки;
разгледајте алгоритам за решавање на рационални равенки на дробни, вклучувајќи го условот дропот да е еднаков на нула;
учат решавање на дробни рационални равенки користејќи алгоритам;
проверка на степенот на владеење на темата со спроведување на тест.

Развојни:

развивање на способност за правилно работење со стекнатото знаење и логично размислување;
развој на интелектуални вештини и ментални операции - анализа, синтеза, споредба и генерализација;
развој на иницијатива, способност за донесување одлуки и не застанува тука;
развој на критичко размислување;
развој на истражувачки вештини.

Едукација:

негување когнитивен интерес за предметот;
негување независност во решавањето на образовните проблеми;
негување волја и истрајност за постигнување конечни резултати.

Тип на лекција: час - објаснување на нов материјал.

За време на часовите

1. Организациски момент.

Здраво дечки! На таблата има напишани равенки, погледнете ги внимателно. Можете ли да ги решите сите овие равенки? Кои не се и зошто?

Равенките во кои левата и десната страна се дробни рационални изрази се нарекуваат дробни рационални равенки. Што мислите дека ќе учиме денес на час? Формулирајте ја темата на лекцијата. Значи, отворете ги тетратките и запишете ја темата на лекцијата „Решавање фракциони рационални равенки“.

2. Ажурирање на знаењето. Фронтална анкета, усна работа со одделението.

И сега ќе го повториме главниот теоретски материјал што ќе ни треба за проучување на нова тема. Ве молиме одговорете на следниве прашања:

Што е равенка? ( Еднаквост со променлива или променливи.)
Како се вика равенката број 1? ( Линеарна.) Метод за решавање на линеарни равенки. ( Поместете сè со непознатото на левата страна од равенката, сите броеви надесно. Наведете слични термини. Најдете непознат фактор).
Како се вика равенката број 3? ( Плоштад.) Методи за решавање на квадратни равенки. ( Изолирање на целосен квадрат користејќи формули користејќи ја теоремата на Виета и нејзините последици.)
Што е пропорција? ( Еднаквост на два соодноси.) Главното својство на пропорцијата. ( Ако пропорцијата е точна, тогаш производот на неговите екстремни членови е еднаков на производот од средните членови.)
Кои својства се користат при решавање на равенки? ( 1. Ако поместите член во равенката од еден дел во друг, менувајќи го неговиот знак, ќе добиете равенка еквивалентна на дадената. 2. Ако двете страни на равенката се помножат или поделат со ист број што не е нула, се добива равенка еквивалентна на дадената.)
Кога дропка е еднаква на нула? ( Дропката е еднаква на нула кога броителот е нула, а именителот не е нула..)

3. Објаснување на нов материјал.

Решете ја равенката бр. 2 во вашите тетратки и на табла.

Одговори: 10.

Која фракциона рационална равенка можете да се обидете да ја решите користејќи го основното својство на пропорција? (бр. 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x 2 -4x-2x+8 = x 2 +3x+2x+6

x 2 -6x-x 2 -5x = 6-8

Решете ја равенката бр.4 во вашите тетратки и на табла.

Одговори: 1,5.

Која фракциона рационална равенка можете да се обидете да ја решите со множење на двете страни на равенката со именителот? (бр. 6).

x 2 -7x+12 = 0

D=1›0, x 1 =3, x 2 =4.

Одговори: 3;4.

Сега обидете се да ја решите равенката број 7 користејќи еден од следниве методи.


(x 2 -2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)
(x 2 -2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0			x 2 -2x-5=x+5
x(x-5) (x 2 -2x-5-(x+5))=0			x 2 -2x-5-x-5=0
x(x-5)(x 2 -3x-10)=0
x=0 x-5=0 x 2 -3x-10=0
x 1 =0 x 2 =5 D=49
x 3 =5 x 4 =-2			x 3 =5 x 4 =-2
Одговори: 0;5;-2.			Одговори: 5;-2.

Објасни зошто се случи ова? Зошто во едниот случај има три корени, а во другиот два? Кои броеви се корените на оваа фракциона рационална равенка?

Досега, студентите не се сретнале со концептот на надворешен корен; навистина им е многу тешко да разберат зошто тоа се случило. Ако никој во класот не може да даде јасно објаснување за оваа ситуација, тогаш наставникот поставува водечки прашања.

Како равенките бр.2 и 4 се разликуваат од равенките бр.5,6,7? ( Во равенките бр. 2 и 4 има броеви во именителот, бр. 5-7 се изрази со променлива.)
Кој е коренот на равенката? ( Вредноста на променливата при која равенката станува вистинита.)
Како да дознаете дали бројот е коренот на равенката? ( Направете проверка.)

При тестирањето, некои ученици забележуваат дека треба да се делат со нула. Тие заклучуваат дека броевите 0 и 5 не се корените на оваа равенка. Се поставува прашањето: дали постои начин да се решат фракционите рационални равенки што ни овозможува да ја елиминираме оваа грешка? Да, овој метод се заснова на условот фракцијата да е еднаква на нула.

x 2 -3x-10=0, D=49, x 1 =5, x 2 =-2.

Ако x=5, тогаш x(x-5)=0, што значи дека 5 е надворешен корен.

Ако x=-2, тогаш x(x-5)≠0.

Одговори: -2.

Ајде да се обидеме да формулираме алгоритам за решавање на фракционите рационални равенки на овој начин. Децата сами го формулираат алгоритмот.

Алгоритам за решавање на фракциони рационални равенки:

Поместете сè на левата страна.
Намали ги дропките на заеднички именител.
Создадете систем: дропка е еднаква на нула кога броителот е еднаков на нула, а именителот не е еднаков на нула.
Решете ја равенката.
Проверете ја нееднаквоста за да ги исклучите надворешните корени.
Запишете го одговорот.

Дискусија: како да се формализира решението ако се користи основното својство на пропорција и множење на двете страни на равенката со заеднички именител. (Додади во решението: исклучи ги од своите корени оние што исчезнуваат заедничкиот именител).

4. Почетно разбирање на нов материјал.

Работа во парови. Учениците сами избираат како да ја решат равенката во зависност од видот на равенката. Задачи од учебникот „Алгебра 8“, Ју.Н. Макаричев, 2007: бр. 600(б, в, и); Бр. 601 (а, е, г). Наставникот го следи завршувањето на задачата, одговара на сите прашања што ќе се појават и им помага на учениците со слаби резултати. Самотестирање: одговорите се пишуваат на табла.

б) 2 – надворешен корен. Одговор: 3.

в) 2 – надворешен корен. Одговор: 1.5.

а) Одговор: -12.5.

е) Одговор: 1;1.5.

5. Поставување домашна задача.

Прочитајте го ставот 25 од учебникот, анализирајте ги примерите 1-3.
Научете алгоритам за решавање на фракциони рационални равенки.
Реши во тетратки бр.600 (а, г, е); Бр. 601 (g,h).
Обидете се да го решите бр. 696(а) (незадолжително).

6. Извршување на контролна задача на изучената тема.

Работата се врши на парчиња хартија.

Пример задача:

А) Кои од равенките се фракционо рационални?

Б) Дропката е еднаква на нула кога броителот е _____________________, а именителот _______________________.

П) Дали бројот -3 е коренот на равенката број 6?

Г) Решете ја равенката бр.7.

Критериуми за оценување на задачата:

„5“ се дава ако ученикот правилно завршил повеќе од 90% од задачата.
„4“ - 75%-89%
„3“ - 50%-74%
„2“ се дава на ученик кој завршил помалку од 50% од задачата.
Оценка од 2 не е дадена во списанието, 3 е изборна.

7. Рефлексија.

На независните работни листови запишете:

1 – ако лекцијата ви била интересна и разбирлива;
2 – интересно, но нејасно;
3 – не интересно, но разбирливо;
4 – не е интересно, не е јасно.

8. Сумирање на лекцијата.

Така, денес на часот се запознавме со фракционите рационални равенки, научивме да ги решаваме овие равенки на различни начини и го тестиравме нашето знаење со помош на самостојна едукативна работа. Резултатите од вашата самостојна работа ќе ги научите на следниот час, а дома ќе имате можност да го консолидирате вашето знаење.

Кој метод за решавање на фракционите рационални равенки, според вас, е полесен, попристапен и порационален? Без оглед на методот за решавање на фракциони рационални равенки, што треба да запомните? Која е „итрината“ на фракционите рационални равенки?

Фала на сите, лекцијата заврши.

Во оваа статија ќе ви покажам алгоритми за решавање на седум видови рационални равенки, кој може да се сведе на квадрат со менување на променливите. Во повеќето случаи, трансформациите што доведуваат до замена се многу нетривијални и тешко е самостојно да се погоди за нив.

За секој тип на равенка, ќе објаснам како да направите промена на променливата во неа, а потоа ќе прикажам детално решение во соодветниот видео туторијал.

Имате можност сами да продолжите да ги решавате равенките, а потоа да го проверите вашето решение со видео лекцијата.

Значи, да започнеме.

1 . (x-1)(x-7)(x-4)(x+2)=40

Забележете дека на левата страна од равенката има производ од четири загради, а на десната страна има број.

1. Да ги групираме заградите по две, така што збирот на слободните членови е ист.

2. Умножете ги.

3. Да воведеме промена на променливата.

Во нашата равенка, првата заграда ќе ја групираме со третата, а втората со четвртата, бидејќи (-1)+(-4)=(-7)+2:

Во овој момент, замената на променливата станува очигледна:

Ја добиваме равенката

Одговор:

2 .

Равенката од овој тип е слична на претходната со една разлика: на десната страна од равенката е производот од бројот и . И тоа е решено на сосема поинаков начин:

1. Заградите ги групираме по две така што производот на слободните членови е ист.

2. Помножете го секој пар загради.

3. Го вадиме x од секој фактор.

4. Поделете ги двете страни на равенката со .

5. Воведуваме промена на променлива.

Во оваа равенка, првата заграда ја групираме со четвртата, а втората со третата, бидејќи:

Забележете дека во секоја заграда коефициентот во и слободниот член се исти. Ајде да земеме фактор од секоја заграда:

Бидејќи x=0 не е корен од првобитната равенка, ги делиме двете страни на равенката со . Добиваме:

Ја добиваме равенката:

Одговор:

3 .

Забележете дека именители на двете дропки содржат квадратни триноми, во кои водечкиот коефициент и слободниот член се исти. Да го извадиме x од заградата, како во равенката од вториот тип. Добиваме:

Поделете ги броителите и именителот на секоја дропка со x:

Сега можеме да воведеме замена на променлива:

Добиваме равенка за променливата t:

4 .

Забележете дека коефициентите на равенката се симетрични во однос на централниот. Оваа равенка се нарекува повратен .

За да го решите,

1. Поделете ги двете страни на равенката со (Ова можеме да го направиме бидејќи x=0 не е корен од равенката.) Добиваме:

2. Да ги групираме поимите на овој начин:

3. Во секоја група, да го извадиме заедничкиот фактор од загради:

4. Да ја претставиме замената:

5. Изрази го преку т изразот:

Од тука

Ја добиваме равенката за t:

Одговор:

5. Хомогени равенки.

Равенки кои имаат хомогена структура може да се сретнат при решавање на експоненцијални, логаритамски и тригонометриски равенки, па затоа треба да бидете способни да ги препознаете.

Хомогените равенки ја имаат следната структура:

Во оваа еднаквост, A, B и C се броеви, а квадратот и кругот означуваат идентични изрази. Односно, на левата страна на хомогена равенка има збир на мономи со ист степен (во овој случај, степенот на мономи е 2), а нема слободен член.

За да решите хомогена равенка, поделете ги двете страни со

Внимание! Кога ја делите десната и левата страна на равенката со израз што содржи непозната, може да изгубите корени. Затоа, потребно е да се провери дали корените на изразот со кој ги делиме двете страни на равенката се корени на првобитната равенка.

Ајде да одиме на првиот пат. Ја добиваме равенката:

Сега воведуваме замена на променлива:

Да го поедноставиме изразот и да добиеме двоквадратна равенка за t:

Одговор:или

7 .

Оваа равенка ја има следната структура:

За да го решите, треба да изберете целосен квадрат на левата страна од равенката.

За да изберете полн квадрат, треба да додадете или одземете двапати од производот. Потоа го добиваме квадратот на збирот или разликата. Ова е клучно за успешна замена на променливата.

Ајде да започнеме со наоѓање двојно поголем производ. Ова ќе биде клучот за замена на променливата. Во нашата равенка, двојно производот е еднаков на

Сега да откриеме што е позгодно за нас - квадратот на збирот или разликата. Ајде прво да го разгледаме збирот на изрази:

Одлично! Овој израз е точно еднаков на двојно поголем производ. Потоа, за да го добиете квадратот на збирот во загради, треба да го соберете и одземете двојниот производ:

Смирнова Анастасија Јуриевна

Тип на лекција:лекција за учење нов материјал.

Форма на организација на едукативни активности: фронтален, индивидуален.

Целта на часот: да се воведе нов тип равенки - фракциони рационални равенки, да се даде идеја за алгоритмот за решавање на фракциони рационални равенки.

Цели на часот.

Образовни:

формирање на концептот на фракциона рационална равенка;
разгледајте алгоритам за решавање на рационални равенки на дробни, вклучувајќи го условот дропот да е еднаков на нула;
учат решавање на дробни рационални равенки користејќи алгоритам.

Развојни:

создаваат услови за развивање на вештини за примена на стекнатото знаење;
промовирање на развојот на когнитивниот интерес на учениците за предметот;
развивање на способноста на учениците да анализираат, споредуваат и извлекуваат заклучоци;
развој на вештини за меѓусебна контрола и самоконтрола, внимание, меморија, устен и писмен говор, независност.

Едукација:

негување когнитивен интерес за предметот;
негување независност во решавањето на образовните проблеми;
негување волја и истрајност за постигнување конечни резултати.

Опрема:учебник, табла, боички.

Учебник „Алгебра 8“. Ју.Н.Макаричев, Н.Г. Миндјук, К.И.Нешков, С.Б.Суворова, уредена од С.А.Телјаковски. Московско „просветителство“. 2010 година

За оваа тема се одвоени пет часа. Ова е првата лекција. Главната работа е да го проучите алгоритмот за решавање на фракциони рационални равенки и да го вежбате овој алгоритам во вежби.

За време на часовите

1. Организациски момент.

Здраво дечки! Денес би сакал да ја започнам нашата лекција со катраин:
За да им го олесниме животот на сите,
Што би се решило, што би било возможно,
Насмевнете се, со среќа на сите,
За да нема проблеми,
Си се насмевнавме, создадовме добро расположение и почнавме да работиме.

На таблата има напишани равенки, погледнете ги внимателно. Можете ли да ги решите сите овие равенки? Кои не се и зошто?

2. Ажурирање на знаењето. Фронтална анкета, усна работа со одделението.

Што е равенка? ( Еднаквост со променлива или променливи.)
Како се вика равенката број 1? ( Линеарна.) Метод за решавање на линеарни равенки. ( Поместете сè со непознатото на левата страна од равенката, сите броеви надесно. Наведете слични термини. Најдете непознат фактор).
Како се вика равенката број 3? ( Плоштад.) Методи за решавање на квадратни равенки. (П за формулите)
Што е пропорција? ( Еднаквост на два соодноси.) Главното својство на пропорцијата. ( Ако пропорцијата е точна, тогаш производот на неговите екстремни членови е еднаков на производот од средните членови.)
Кои својства се користат при решавање на равенки? ( 1. Ако поместите член во равенката од еден дел во друг, менувајќи го неговиот знак, ќе добиете равенка еквивалентна на дадената. 2. Ако двете страни на равенката се помножат или поделат со ист број што не е нула, се добива равенка еквивалентна на дадената.)
Кога дропка е еднаква на нула? ( Дропката е еднаква на нула кога броителот е нула, а именителот не е нула..)

3. Објаснување на нов материјал.

Решете ја равенката бр. 2 во вашите тетратки и на табла.

Одговори: 10.

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x 2 -4x-2x+8 = x 2 +3x+2x+6

x 2 -6x-x 2 -5x = 6-8

Решете ја равенката бр.4 во вашите тетратки и на табла.

Одговори: 1,5.

x 2 -7x+12 = 0

D=1›0, x 1 =3, x 2 =4.

Одговори: 3;4.

Ќе разгледаме решавање на равенки како равенката бр. 7 во следните лекции.

Како равенките бр. 2 и 4 се разликуваат од равенките бр. 5 и 6? ( Во равенките бр. 2 и 4 има броеви во именителот, бр. 5-6 - изрази со променлива.)
Кој е коренот на равенката? ( Вредноста на променливата при која равенката станува вистинита.)
Како да дознаете дали бројот е коренот на равенката? ( Направете проверка.)

Алгоритам за решавање на фракциони рационални равенки:

Поместете сè на левата страна.
Намали ги дропките на заеднички именител.
Создадете систем: дропка е еднаква на нула кога броителот е еднаков на нула, а именителот не е еднаков на нула.
Решете ја равенката.
Проверете ја нееднаквоста за да ги исклучите надворешните корени.
Запишете го одговорот.

4. Почетно разбирање на нов материјал.

Работа во парови. Учениците сами избираат како да ја решат равенката во зависност од видот на равенката. Задачи од учебникот „Алгебра 8“, Ју.Н. Макаричев, 2007: бр. 600(б, в); Бр. 601 (а, е). Наставникот го следи завршувањето на задачата, одговара на сите прашања што ќе се појават и им помага на учениците со слаби резултати. Самотестирање: одговорите се пишуваат на табла.

б) 2 - надворешен корен. Одговор: 3.

в) 2 - надворешен корен. Одговор: 1.5.

а) Одговор: -12.5.

5. Поставување домашна задача.

Прочитајте го ставот 25 од учебникот, анализирајте ги примерите 1-3.
Научете алгоритам за решавање на фракциони рационални равенки.
Реши во тетратки бр.600 (г, г); Бр. 601 (g,h).

6. Сумирање на лекцијата.

Така, денес на лекцијата се запознавме со фракционите рационални равенки и научивме да ги решаваме овие равенки на различни начини. Без оглед на тоа како решавате дробни рационални равенки, што треба да имате на ум? Која е „итрината“ на фракционите рационални равенки?

Фала на сите, лекцијата заврши.

Ајде да продолжиме да зборуваме за решавање равенки. Во оваа статија ќе одиме во детали за рационални равенкии принципи на решавање на рационални равенки со една променлива. Прво, да откриеме кој тип на равенки се нарекуваат рационални, да дадеме дефиниција за цели рационални и фракциони рационални равенки и да дадеме примери. Следно, ќе добиеме алгоритми за решавање на рационални равенки и, се разбира, ќе разгледаме решенија за типични примери со сите потребни објаснувања.

Навигација на страницата.

Врз основа на наведените дефиниции, даваме неколку примери на рационални равенки. На пример, x=1, 2·x−12·x 2 ·y·z 3 =0, , сите се рационални равенки.

Од прикажаните примери, јасно е дека рационалните равенки, како и равенките од други видови, можат да бидат со една променлива или со две, три итн. променливи. Во следните параграфи ќе зборуваме за решавање на рационални равенки со една променлива. Решавање равенки во две променливиа нивниот голем број заслужуваат посебно внимание.

Покрај делењето на рационалните равенки со бројот на непознати променливи, тие се делат и на целобројни и фракциони. Да ги дадеме соодветните дефиниции.

Дефиниција.

Се нарекува рационалната равенка целина, ако и неговата лева и десна страна се целобројни рационални изрази.

Дефиниција.

Ако барем еден од деловите на рационална равенка е фракционо изразување, тогаш таквата равенка се нарекува фракционо рационално(или фракционо рационално).

Јасно е дека цели равенки не содржат делење со променлива, напротив, фракционите рационални равенки нужно содржат делење со променлива (или променлива во именителот). Значи 3 x+2=0 и (x+y)·(3·x 2 −1)+x=−y+0,5– тоа се цели рационални равенки, двата нивни дела се цели изрази. A и x:(5 x 3 +y 2)=3:(x−1):5 се примери на дробни рационални равенки.

Заклучувајќи ја оваа точка, да обрнеме внимание на фактот дека линеарните равенки и квадратните равенки познати до оваа точка се цели рационални равенки.

Решавање на цели равенки

Еден од главните пристапи за решавање на цели равенки е да се сведат на еквивалентни алгебарски равенки. Ова секогаш може да се направи со извршување на следните еквивалентни трансформации на равенката:

прво, изразот од десната страна на оригиналната цел бројна равенка се пренесува на левата страна со спротивен знак за да се добие нула на десната страна;
после ова, на левата страна од равенката добиената стандардна форма.

Резултатот е алгебарска равенка која е еквивалентна на оригиналната равенка со цел број. Така, во наједноставните случаи, решавањето на цели равенки се сведува на решавање на линеарни или квадратни равенки, а во општиот случај, на решавање на алгебарска равенка од степен n. За јасност, да го погледнеме решението на примерот.

Пример.

Најдете ги корените на целата равенка 3·(x+1)·(x−3)=x·(2·x−1)-3.

Решение.

Да го намалиме решението на целата оваа равенка на решение на еквивалентна алгебарска равенка. За да го направите ова, прво, го пренесуваме изразот од десната страна налево, како резултат на тоа доаѓаме до равенката 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3=0. И, второ, го трансформираме изразот формиран од левата страна во стандарден полином со пополнување на потребното: 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3= (3 x+3) (x−3)−2 x 2 +x+3= 3 x 2 −9 x+3 x−9−2 x 2 +x+3=x 2 −5 x−6. Така, решавањето на првобитната цел бројна равенка се сведува на решавање на квадратната равенка x 2 −5·x−6=0.

Ја пресметуваме неговата дискриминантност D=(−5) 2 −4·1·(−6)=25+24=49, таа е позитивна, што значи дека равенката има два реални корени, кои ги наоѓаме користејќи ја формулата за корените на квадратна равенка:

За да бидеме целосно сигурни, ајде да го направиме тоа проверка на пронајдените корени на равенката. Прво го проверуваме коренот 6, го заменуваме наместо променливата x во оригиналната цел бројна равенка: 3·(6+1)·(6−3)=6·(2·6−1)-3, што е исто, 63=63. Ова е валидна нумеричка равенка, затоа x=6 е навистина коренот на равенката. Сега го проверуваме коренот −1, имаме 3·(−1+1)·(−1−3)=(−1)·(2·(−1)−1)−3, од каде, 0=0 . Кога x=−1, првобитната равенка исто така се претвора во правилна нумеричка еднаквост, затоа, x=−1 е исто така корен на равенката.

Одговор:

6 , −1 .

Овде, исто така, треба да се забележи дека терминот „степен на целата равенка“ се поврзува со претставување на цела равенка во форма на алгебарска равенка. Да ја дадеме соодветната дефиниција:

Дефиниција.

Моќта на целата равенкасе нарекува степен на еквивалентна алгебарска равенка.

Според оваа дефиниција, целата равенка од претходниот пример има втор степен.

Ова можеше да биде крај на решавање на цели рационални равенки, ако не за една работа…. Како што е познато, решавањето на алгебарски равенки со степен над вториот е поврзано со значителни тешкотии, а за равенките од степен над четвртиот воопшто нема општи коренски формули. Затоа, за да се решат цели равенки од третиот, четвртиот и повисокиот степен, често е неопходно да се прибегне кон други методи за решавање.

Во такви случаи, пристап кон решавање на цели рационални равенки врз основа на метод на факторизација. Во овој случај, се почитува следниов алгоритам:

прво, тие обезбедуваат дека има нула на десната страна на равенката; за да го направат тоа, тие го пренесуваат изразот од десната страна на целата равенка налево;
потоа, добиениот израз на левата страна е претставен како производ на неколку фактори, што ни овозможува да преминеме на множество од неколку поедноставни равенки.

Дадениот алгоритам за решавање на цела равенка преку факторизација бара детално објаснување со помош на пример.

Пример.

Решете ја целата равенка (x 2 −1)·(x 2 −10·x+13)= 2 x (x 2 −10 x+13) .

Решение.

Прво, како и обично, го пренесуваме изразот од десната страна на левата страна на равенката, не заборавајќи да го смениме знакот, добиваме (x 2 −1)·(x 2 −10·x+13)− 2 x (x 2 −10 x+13)=0. Овде е сосема очигледно дека не е препорачливо да се трансформира левата страна на добиената равенка во полином на стандардната форма, бидејќи тоа ќе даде алгебарска равенка од четвртиот степен на формата. x 4 −12 x 3 +32 x 2 −16 x−13=0, чие решение е тешко.

Од друга страна, очигледно е дека на левата страна од добиената равенка можеме да x 2 −10 x+13 , притоа да ја прикажеме како производ. Ние имаме (x 2 −10 x+13) (x 2 −2 x−1)=0. Добиената равенка е еквивалентна на првобитната цела равенка, а таа, пак, може да се замени со множество од две квадратни равенки x 2 −10·x+13=0 и x 2 −2·x−1=0. Не е тешко да се најдат нивните корени користејќи познати коренски формули преку дискриминатор; корените се еднакви. Тие се посакуваните корени на првобитната равенка.

Одговор:

Исто така корисен за решавање на цели рационални равенки метод за воведување нова променлива. Во некои случаи, ви овозможува да се префрлите на равенки чиј степен е понизок од степенот на оригиналната целата равенка.

Пример.

Најдете ги вистинските корени на рационална равенка (x 2 +3 x+1) 2 +10=−2 (x 2 +3 x−4).

Решение.

Целата оваа рационална равенка да се сведе на алгебарска равенка, најблаго речено, не е баш добра идеја, бидејќи во овој случај ќе дојдеме до потребата да се реши равенка од четврти степен што нема рационални корени. Затоа, ќе мора да барате друго решение.

Овде лесно може да се види дека можете да воведете нова променлива y и да го замените изразот x 2 +3·x со неа. Оваа замена нè води до целата равенка (y+1) 2 +10=−2·(y−4) , која по поместување на изразот −2·(y−4) на левата страна и последователна трансформација на изразот формирана таму, се сведува на квадратна равенка y 2 +4·y+3=0. Корените на оваа равенка y=−1 и y=−3 се лесно да се најдат, на пример, тие можат да се изберат врз основа на теоремата инверзна на теоремата на Виета.

Сега преминуваме на вториот дел од методот на воведување нова променлива, односно на извршување на обратна замена. По извршувањето на обратната замена, добиваме две равенки x 2 +3 x=−1 и x 2 +3 x=−3, кои може да се препишат како x 2 +3 x+1=0 и x 2 +3 x+3 =0. Користејќи ја формулата за корените на квадратна равенка, ги наоѓаме корените на првата равенка. А втората квадратна равенка нема вистински корени, бидејќи нејзината дискриминантна е негативна (D=3 2 −4·3=9−12=−3 ).

Одговор:

Општо земено, кога се работи за цели равенки од високи степени, секогаш мора да бидеме подготвени да бараме нестандарден метод или вештачка техника за нивно решавање.

Решавање на дробни рационални равенки

Прво, ќе биде корисно да се разбере како да се решат фракционите рационални равенки од формата, каде што p(x) и q(x) се рационални изрази со цел број. И тогаш ќе покажеме како да го намалиме решението на другите фракционо рационални равенки на решението на равенките од наведениот тип.

Еден пристап за решавање на равенката се заснова на следнава изјава: бројната дропка u/v, каде што v е број кој не е нула (во спротивно ќе наидеме на , кој е недефиниран), е еднаков на нула ако и само ако неговиот броител е еднакво на нула, тогаш е, ако и само ако u=0 . Врз основа на ова тврдење, решавањето на равенката се сведува на исполнување на два услова p(x)=0 и q(x)≠0.

Овој заклучок одговара на следново алгоритам за решавање на фракциона рационална равенка. За да решите фракциона рационална равенка на формата, ви треба

реши ја целата рационална равенка p(x)=0 ;
и проверете дали условот q(x)≠0 е задоволен за секој пронајден корен, додека

ако е точно, тогаш овој корен е коренот на првобитната равенка;
ако не е задоволен, тогаш овој корен е вонреден, односно не е коренот на првобитната равенка.

Ајде да погледнеме пример за користење на најавениот алгоритам при решавање на фракциона рационална равенка.

Пример.

Најдете ги корените на равенката.

Решение.

Ова е фракциона рационална равенка, и од формата , каде што p(x)=3·x−2, q(x)=5·x 2 −2=0.

Според алгоритмот за решавање на фракциони рационални равенки од овој тип, прво треба да ја решиме равенката 3 x−2=0. Ова е линеарна равенка чиј корен е x=2/3.

Останува да се провери овој корен, односно да се провери дали го задоволува условот 5 x 2 −2≠0. Го заменуваме бројот 2/3 во изразот 5 x 2 −2 наместо x, и добиваме . Условот е исполнет, па x=2/3 е коренот на првобитната равенка.

Одговор:

2/3 .

Можете да пристапите кон решавање на фракциона рационална равенка од малку поинаква позиција. Оваа равенка е еквивалентна на целобројната равенка p(x)=0 на променливата x од првобитната равенка. Тоа е, можете да се држите до ова алгоритам за решавање на фракциона рационална равенка :

реши ја равенката p(x)=0 ;
најдете ODZ на променливата x;
земаат корени кои припаѓаат на регионот на прифатливи вредности - тие се посакуваните корени на оригиналната фракциона рационална равенка.

На пример, да решиме фракциона рационална равенка користејќи го овој алгоритам.

Пример.

Решете ја равенката.

Решение.

Прво ја решаваме квадратната равенка x 2 −2·x−11=0. Неговите корени може да се пресметаат со користење на коренската формула за дури вториот коефициент, што го имаме D 1 =(−1) 2 −1·(−11)=12, И.

Второ, го наоѓаме ODZ на променливата x за првобитната равенка. Се состои од сите броеви за кои x 2 +3·x≠0, што е исто како x·(x+3)≠0, од каде x≠0, x≠−3.

Останува да се провери дали корените пронајдени во првиот чекор се вклучени во ODZ. Очигледно да. Според тоа, оригиналната фракциона рационална равенка има два корени.

Одговор:

Забележете дека овој пристап е попрофитабилен од првиот ако ODZ е лесно да се најде, и е особено корисен ако корените на равенката p(x) = 0 се ирационални, на пример, или рационални, но со прилично голем броител и / или именител, на пример, 127/1101 и −31/59. Ова се должи на фактот дека во такви случаи, проверката на условот q(x)≠0 ќе бара значителен пресметковен напор и полесно е да се исклучат надворешните корени со помош на ODZ.

Во други случаи, при решавање на равенката, особено кога корените на равенката p(x) = 0 се цели броеви, поисплатливо е да се користи првиот од дадените алгоритми. Односно, препорачливо е веднаш да се најдат корените на целата равенка p(x)=0, а потоа да се провери дали условот q(x)≠0 е задоволен за нив, наместо да се најде ODZ, а потоа да се реши равенката p(x)=0 на овој ODZ . Ова се должи на фактот дека во такви случаи обично е полесно да се провери отколку да се најде ДЗ.

Да го разгледаме решението на два примери за да ги илустрираме наведените нијанси.

Пример.

Најдете ги корените на равенката.

Решение.

Прво, да ги најдеме корените на целата равенка (2 x−1) (x−6) (x 2 −5 x+14) (x+1)=0, составена со помош на броителот на дропката. Левата страна на оваа равенка е производ, а десната страна е нула, затоа, според методот на решавање равенки преку факторизација, оваа равенка е еквивалентна на множество од четири равенки 2 x−1=0 , x−6= 0 , x 2 −5 x+ 14=0 , x+1=0. Три од овие равенки се линеарни, а една е квадратна; можеме да ги решиме. Од првата равенка наоѓаме x=1/2, од втората - x=6, од третата - x=7, x=−2, од четвртата - x=−1.

Со пронајдените корени, сосема е лесно да се провери дали именителот на дропот од левата страна на првобитната равенка исчезнува, но одредувањето на ODZ, напротив, не е толку едноставно, бидејќи за ова ќе треба да решите алгебарска равенка од петти степен. Затоа, ќе го напуштиме наоѓањето на ОДЗ во корист на проверка на корените. За да го направите ова, ги заменуваме еден по еден наместо променливата x во изразот x 5 −15 x 4 +57 x 3 −13 x 2 +26 x+112, добиени по замена и споредете ги со нула: (1/2) 5 −15·(1/2) 4 + 57·(1/2) 3 −13·(1/2) 2 +26·(1/2)+112= 1/32−15/16+57/8−13/4+13+112= 122+1/32≠0 ;
6 5 −15·6 4 +57·6 3 −13·6 2 +26·6+112= 448≠0 ;
7 5 −15·7 4 +57·7 3 −13·7 2 +26·7+112=0;
(−2) 5 −15·(−2) 4 +57·(−2) 3 −13·(−2) 2 + 26·(−2)+112=−720≠0 ;
(−1) 5 −15·(−1) 4 +57·(−1) 3 −13·(−1) 2 + 26·(−1)+112=0 .

Така, 1/2, 6 и −2 се саканите корени на првобитната фракциона рационална равенка, а 7 и −1 се надворешни корени.

Одговор:

1/2 , 6 , −2 .

Пример.

Најдете ги корените на фракционата рационална равенка.

Решение.

Прво, да ги најдеме корените на равенката (5 x 2 −7 x−1) (x−2)=0. Оваа равенка е еквивалентна на множество од две равенки: квадрат 5 x 2 −7 x−1=0 и линеарна x−2=0. Користејќи ја формулата за корените на квадратна равенка, наоѓаме два корени, а од втората равенка имаме x=2.

Проверката дали именителот оди на нула при пронајдените вредности на x е доста непријатно. И одредувањето на опсегот на дозволените вредности на променливата x во оригиналната равенка е прилично едноставно. Затоа ќе дејствуваме преку ОДЗ.

Во нашиот случај, ODZ на променливата x од првобитната фракциона рационална равенка се состои од сите броеви освен оние за кои условот x 2 +5·x−14=0 е задоволен. Корените на оваа квадратна равенка се x=−7 и x=2, од кои извлекуваме заклучок за ODZ: тој се состои од сите x такви што .

Останува да се провери дали пронајдените корени и x=2 припаѓаат на опсегот на прифатливи вредности. Корените припаѓаат, значи, тие се корени на првобитната равенка, а x=2 не припаѓа, значи, тоа е надворешен корен.

Одговор:

Исто така, ќе биде корисно одделно да се задржиме на случаите кога во фракционата рационална равенка на формата има број во броителот, односно кога p(x) е претставено со некој број. При што

ако овој број не е нула, тогаш равенката нема корени, бидејќи дропка е еднаква на нула ако и само ако нејзиниот броител е еднаков на нула;
ако овој број е нула, тогаш коренот на равенката е кој било број од ODZ.

Пример.

Решение.

Бидејќи броителот на дропката од левата страна на равенката содржи број што не е нула, тогаш за кој било x вредноста на оваа дропка не може да биде еднаква на нула. Затоа, оваа равенка нема корени.

Одговор:

без корени.

Пример.

Решете ја равенката.

Решение.

Броителот на дропката од левата страна на оваа фракциона рационална равенка содржи нула, така што вредноста на оваа дропка е нула за кој било x за кој има смисла. Со други зборови, решението на оваа равенка е која било вредност на x од ODZ на оваа променлива.

Останува да се одреди овој опсег на прифатливи вредности. Ги вклучува сите вредности на x за кои x 4 +5 x 3 ≠0. Решенијата на равенката x 4 +5 x 3 =0 се 0 и −5, бидејќи оваа равенка е еквивалентна на равенката x 3 (x+5)=0, а таа пак е еквивалентна на комбинацијата на две равенки x 3 =0 и x +5=0, од каде се видливи овие корени. Затоа, саканиот опсег на прифатливи вредности е кој било x освен x=0 и x=−5.

Така, фракционата рационална равенка има бесконечно многу решенија, кои се сите броеви освен нула и минус пет.

Одговор:

Конечно, време е да зборуваме за решавање на фракциони рационални равенки со произволна форма. Тие можат да се напишат како r(x)=s(x), каде што r(x) и s(x) се рационални изрази, а барем еден од нив е дробен. Гледајќи напред, да речеме дека нивното решение се сведува на решавање на равенки од формата што веќе ни е позната.

Познато е дека префрлањето член од еден дел од равенката во друг со спротивен знак доведува до еквивалентна равенка, затоа равенката r(x)=s(x) е еквивалентна на равенката r(x)−s(x )=0.

Исто така, знаеме дека секој , идентично еднаков на овој израз, е можен. Така, секогаш можеме да го трансформираме рационалниот израз од левата страна на равенката r(x)−s(x)=0 во идентично еднаква рационална дропка од формата .

Така, се префрламе од првобитната фракциона рационална равенка r(x)=s(x) на равенката, а нејзиното решение, како што дознавме погоре, се сведува на решавање на равенката p(x)=0.

Но, тука е неопходно да се земе предвид фактот дека кога се заменува r(x)−s(x)=0 со , а потоа со p(x)=0, опсегот на дозволените вредности на променливата x може да се прошири .

Следствено, првобитната равенка r(x)=s(x) и равенката p(x)=0 до која стигнавме може да испаднат нееднакви и со решавање на равенката p(x)=0 можеме да добиеме корени тоа ќе бидат надворешни корени на првобитната равенка r(x)=s(x) . Можете да идентификувате и да не вклучите надворешни корени во одговорот или со проверка или со проверка дали припаѓаат на ODZ на првобитната равенка.

Ајде да ги сумираме овие информации во алгоритам за решавање на дробна рационална равенка r(x)=s(x). За да ја решите дробната рационална равенка r(x)=s(x) ви треба

Добијте нула десно со поместување на изразот од десната страна со спротивен знак.
Изведете операции со дропки и полиноми на левата страна на равенката, со што ќе ја трансформирате во рационална дропка од формата.
Решете ја равенката p(x)=0.
Идентификувајте и елиминирајте ги надворешните корени, што се прави со нивна замена во првобитната равенка или со проверка на нивната припадност кон ODZ на првобитната равенка.

За поголема јасност, ќе го прикажеме целиот синџир на решавање на фракциони рационални равенки:
.

Да ги погледнеме решенијата на неколку примери со детално објаснување на процесот на решавање со цел да се разјасни дадениот блок на информации.

Пример.

Реши фракциона рационална равенка.

Решение.

Ќе дејствуваме во согласност со штотуку добиениот алгоритам за решение. И прво ги поместуваме поимите од десната страна на равенката налево, како резултат на тоа преминуваме на равенката.

Во вториот чекор, треба да го претвориме фракциониот рационален израз од левата страна на добиената равенка во форма на дропка. За да го направите ова, ги намалуваме рационалните дропки на заеднички именител и го поедноставуваме добиениот израз: . Значи доаѓаме до равенката.

Во следниот чекор треба да ја решиме равенката −2·x−1=0. Наоѓаме x=−1/2.

Останува да се провери дали пронајдениот број −1/2 не е надворешен корен од првобитната равенка. За да го направите ова, можете да ја проверите или пронајдете VA на променливата x од оригиналната равенка. Ајде да ги демонстрираме двата пристапи.

Да почнеме со проверка. Бројот −1/2 го заменуваме во првобитната равенка наместо променливата x и го добиваме истото, −1=−1. Замената ја дава точната бројна еднаквост, па x=−1/2 е коренот на првобитната равенка.

Сега ќе покажеме како се изведува последната точка од алгоритмот преку ODZ. Опсегот на дозволени вредности на првобитната равенка е множеството на сите броеви освен −1 и 0 (при x=−1 и x=0 именителот на дропките исчезнуваат). Коренот x=−1/2 пронајден во претходниот чекор припаѓа на ODZ, затоа, x=−1/2 е коренот на првобитната равенка.

Одговор:

−1/2 .

Ајде да погледнеме друг пример.

Пример.

Најдете ги корените на равенката.

Решение.

Треба да решиме фракциона рационална равенка, ајде да ги поминеме сите чекори на алгоритмот.

Прво, го поместуваме терминот од десната страна налево, добиваме .

Второ, го трансформираме изразот формиран од левата страна: . Како резултат на тоа, доаѓаме до равенката x=0.

Неговиот корен е очигледен - тој е нула.

На четвртиот чекор, останува да дознаеме дали пронајдениот корен е необичен за првобитната фракциона рационална равенка. Кога ќе се замени во првобитната равенка, се добива изразот. Очигледно, нема смисла бидејќи содржи делење со нула. Оттука заклучуваме дека 0 е надворешен корен. Затоа, првобитната равенка нема корени.

7, што води до равенка. Од ова можеме да заклучиме дека изразот во именителот на левата страна мора да биде еднаков на оној на десната страна, односно . Сега од двете страни на тројката одземаме: . По аналогија, од каде и понатаму.

Проверката покажува дека двата пронајдени корени се корени на оригиналната фракциона рационална равенка.

Одговор:

Библиографија.

Алгебра:тетратка за 8 одделение. општо образование институции / [Ју. Н. Макаричев, Н. Г. Миндјук, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; Изменето од С.А. Телјаковски. - 16-ти изд. - М.: Образование, 2008. - 271 стр. : болен. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Мордкович А.Г.Алгебра. 8-мо одделение. За 2 часа.Дел 1. Учебник за студенти на општообразовни институции / А.Г. Мордкович. - 11-то издание, избришано. - М.: Мнемозина, 2009. - 215 стр.: илуст. ISBN 978-5-346-01155-2.
Алгебра: 9-то одделение: воспитно. за општо образование институции / [Ју. Н. Макаричев, Н. Г. Миндјук, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; Изменето од С.А. Телјаковски. - 16-ти изд. - М.: Образование, 2009. - 271 стр. : болен. - ISBN 978-5-09-021134-5.

Популарни

„Атомски духови“: како изгледаат напуштените нуклеарни централи на поранешниот Советски Сојуз

« Кримската нуклеарна централа е најскапиот недовршен нуклеарен реактор во светот. За сервисирање на електраната, на полуостровот Керч е изграден цел град -.... »

Подземна електрана во Севастопол

« Во ноември 1941 година, за време на првиот напад на Севастопол, градскиот комитет за одбрана организираше преместување на одбранбените индустрии во ... »

Рок Ифигенија - легенда во камена форма

« Време на читање: 2 минути Карпата Ифигенија, чиј преглед наликува на тврдина, се наоѓа на брегот на Крим. Таа претставува ... »