Стереометријата е гранка на геометријата која ги проучува фигурите кои не лежат во иста рамнина. Еден од предметите на проучување на стереометријата се призмите. Во написот ќе ја дефинираме призмата од геометриска гледна точка, а исто така накратко ќе ги наведеме својствата што се карактеристични за неа.

Геометриска фигура

Дефиницијата за призма во геометријата е следна: таа е просторна фигура која се состои од два идентични n-аголници лоцирани во паралелни рамнини, поврзани едни со други со нивните темиња.

Добивањето призма не е тешко. Да замислиме дека има два идентични n-аголници, каде n е бројот на страни или темиња. Да ги поставиме така што ќе бидат паралелни едни со други. По ова, темињата на едниот многуаголник треба да се поврзат со соодветните темиња на другиот. Добиената фигура ќе се состои од две n-аголни страни, кои се нарекуваат основи, и n четириаголни страни, кои генерално се паралелограми. Множеството паралелограми ја формира страничната површина на фигурата.

Постои уште еден начин геометриски да се добие предметната фигура. Значи, ако земеме n-аголник и го пренесеме на друга рамнина користејќи паралелни отсечки со еднаква должина, тогаш во новата рамнина ќе го добиеме оригиналниот многуаголник. И многуаголниците и сите паралелни отсечки извлечени од нивните темиња формираат призма.

Сликата погоре го покажува тоа.Така се нарекува затоа што нејзините основи се триаголници.

Елементи што ја сочинуваат фигурата

Погоре дадена е дефиниција за призма, од која јасно се гледа дека главни елементи на фигурата се нејзините рабови или страни, кои ги ограничуваат сите внатрешни точки на призмата од надворешниот простор. Секое лице на фигурата за која станува збор припаѓа на еден од двата вида:

• странични;
• основи.

Има n странични парчиња, а тоа се паралелограми или нивни посебни типови (правоаголници, квадрати). Во принцип, страничните лица се разликуваат едни од други. Има само две лица на основата; тие се n-аголници и се еднакви една со друга. Така, секоја призма има n+2 страни.

Покрај страните, фигурата се карактеризира и со нејзините темиња. Тие претставуваат точки каде три лица се допираат истовремено. Покрај тоа, две од трите лица секогаш припаѓаат на страничната површина, а едно на основата. Така, во призмата не постои посебно распределено едно теме, како што е, на пример, во пирамидата, сите тие се еднакви. Бројот на темиња на сликата е 2*n (n парчиња за секоја основа).

Конечно, третиот важен елемент на призмата се нејзините ребра. Тоа се сегменти со одредена должина кои се формираат како резултат на пресекот на страните на фигурата. Како и лицата, рабовите исто така имаат два различни типа:

• или формирани само од страните;
• или произлегуваат на спојот на паралелограмот и страната на n-гоналната основа.

Така, бројот на рабовите е еднаков на 3*n, а 2*n од нив припаѓаат на вториот од наведените типови.

Видови призми

Постојат неколку начини за класификација на призмите. Сепак, сите тие се засноваат на две карактеристики на фигурата:

• на типот на n-јаглеродна основа;
• на страничен тип.

Прво, да се свртиме кон втората карактеристика и да дадеме дефиниција за права линија. Ако барем едната страна е општ паралелограм, тогаш фигурата се нарекува коси или коси. Ако сите паралелограми се правоаголници или квадрати, тогаш призмата ќе биде права.

Дефиницијата може да се даде и малку поинаку: права фигура е призма чии странични рабови и лица се нормални на нејзините основи. На сликата се прикажани две четириаголни фигури. Левиот е исправен, десниот е наклонет.

Сега да преминеме на класификацијата според типот на n-гон што лежи на базите. Може да има исти страни и агли или различни. Во првиот случај, многуаголникот се нарекува правилен. Ако предметната фигура содржи во својата основа многуаголник со еднакви страни и агли и е права, тогаш таа се нарекува правилна. Според оваа дефиниција, правилната призма во својата основа може да има рамностран триаголник, квадрат, правилен петаголник или шестоаголник итн. Наведените редовни бројки се претставени на сликата.

Линеарни параметри на призмите

За да се опишат големини на фигурите за кои станува збор, се користат следните параметри:

• висина;
• страни на основата;
• должина на странични ребра;
• волуметриски дијагонали;
• дијагоналите на страните и основите.

За редовните призми, сите овие количини се поврзани една со друга. На пример, должините на страничните ребра се исти и еднакви на висината. За одредена n-гонална правилна фигура, постојат формули кои ви дозволуваат да ги одредите сите други користејќи кои било два линеарни параметри.

Површина на фигура

Ако се повикаме на дефиницијата за призма дадена погоре, тогаш нема да биде тешко да се разбере што претставува површината на фигурата. Површината е површината на сите лица. За права призма се пресметува со формулата:

S = 2*S o + P o *h

каде што S o е плоштината на основата, P o е периметарот на n-аголникот во основата, h е висината (растојанието помеѓу основите).

Волумен на фигурата

Заедно со површината за вежбање, важно е да се знае волуменот на призмата. Може да се одреди со следнава формула:

Овој израз важи за апсолутно секаков тип на призма, вклучувајќи ги и оние кои се наклонети и формирани од неправилни многуаголници.

За правилни, тоа е функција од должината на страната на основата и висината на фигурата. За соодветната n-гонална призма, формулата за V има специфична форма.

Предавање: Призма, нејзините основи, странични ребра, висина, странична површина; права призма; правилна призма

Призма

Ако со нас научивте рамни фигури од претходните прашања, тогаш сте целосно подготвени да ги проучувате тридимензионалните фигури. Првото солидно што ќе го научиме ќе биде призма.

Призмае тродимензионално тело кое има голем број лица.

Оваа фигура има два многуаголници на основите, кои се наоѓаат во паралелни рамнини, а сите странични лица имаат форма на паралелограм.

Сл. 1. Сл. 2

Значи, ајде да откриеме од што се состои призмата. За да го направите ова, обрнете внимание на слика 1

Како што споменавме порано, призмата има две бази кои се паралелни една со друга - тоа се пентагоните ABCEF и GMNJK. Покрај тоа, овие многуаголници се еднакви еден на друг.

Сите други лица на призмата се нарекуваат странични лица - тие се состојат од паралелограми. На пример BMNC, AGKF, FKJE, итн.

Вкупната површина на сите странични лица се нарекува странична површина.

Секој пар соседни лица има заедничка страна. Оваа заедничка страна се нарекува раб. На пример MV, SE, AB, итн.

Ако горната и долната основа на призмата се поврзани со нормална, тогаш таа ќе се нарече висина на призмата. На сликата, висината е означена како права линија ОО 1.

Постојат два главни типа на призма: коси и прави.

Ако страничните рабови на призмата не се нормални на основите, тогаш таквата призма се нарекува наклонет.

Ако сите рабови на призмата се нормални на основите, тогаш таквата призма се нарекува директно.

Ако основите на призмата содржат правилни многуаголници (оние со еднакви страни), тогаш таквата призма се нарекува точно.

Ако основите на призмата не се паралелни една со друга, тогаш ќе се нарече таква призма скратена.

Можете да го видите на слика 2

Формули за пронаоѓање на волуменот и плоштината на призмата

Постојат три основни формули за наоѓање волумен. Тие се разликуваат едни од други по примена:

Слични формули за пронаоѓање на површината на призмата:

Општи информации за права призма

Страничната површина на призмата (поточно, страничната површина) се нарекува сумаобласти на страничните лица. Вкупната површина на призмата е еднаква на збирот на страничната површина и површините на основите.

Теорема 19.1. Страничната површина на права призма е еднаква на производот на периметарот на основата и висината на призмата, т.е. должината на страничниот раб.

Доказ. Страничните лица на права призма се правоаголници. Основите на овие правоаголници се страните на многуаголникот што лежат во основата на призмата, а височините се еднакви на должината на страничните рабови. Следи дека страничната површина на призмата е еднаква на

S = a 1 l + a 2 l + ... + a n l = pl,

каде a 1 и n се должините на основните рабови, p е периметарот на основата на призмата, а I е должината на страничните рабови. Теоремата е докажана.

Практична задача

Проблем (22) . Во наклонета призма се изведува дел, нормално на страничните ребра и вкрстувајќи ги сите странични ребра. Најдете ја страничната површина на призмата ако периметарот на пресекот е еднаков на p, а страничните рабови се еднакви на l.

Решение. Рамнината на нацртаниот пресек ја дели призмата на два дела (сл. 411). Дозволете да подлежиме еден од нив на паралелен превод, комбинирајќи ги основите на призмата. Во овој случај, добиваме права призма, чија основа е пресекот на оригиналната призма, а страничните рабови се еднакви на l. Оваа призма ја има истата странична површина како и оригиналната. Така, страничната површина на првобитната призма е еднаква на pl.

Резиме на опфатената тема

Сега да се обидеме да ја сумираме темата што ја опфативме за призмите и да се потсетиме какви својства има призмата.

Карактеристики на призмата

Прво, призмата ги има сите свои основи како еднакви многуаголници;
Второ, во призма сите нејзини странични лица се паралелограми;
Трето, во таква повеќеслојна фигура како призма, сите странични рабови се еднакви;

Исто така, треба да се запомни дека полиедрите, како што се призмите, можат да бидат прави или наклонети.

Која призма се нарекува права призма?

Ако страничниот раб на призмата се наоѓа нормално на рамнината на нејзината основа, тогаш таквата призма се нарекува права.

Не би било излишно да се потсетиме дека страничните лица на права призма се правоаголници.

Кој тип на призма се нарекува коси?

Но, ако страничниот раб на призмата не е лоциран нормално на рамнината на нејзината основа, тогаш можеме со сигурност да кажеме дека тоа е наклонета призма.

Која призма се нарекува точна?

Ако правилен многуаголник лежи во основата на права призма, тогаш таквата призма е правилна.

Сега да се потсетиме на својствата што ги има една обична призма.

Својства на правилна призма

Прво, правилните многуаголници секогаш служат како основа на правилна призма;
Второ, ако ги земеме предвид страничните страни на правилна призма, тие се секогаш еднакви правоаголници;
Трето, ако ги споредите големините на страничните ребра, тогаш во редовна призма тие се секогаш еднакви.
Четврто, правилната призма е секогаш права;
Петто, ако во правилна призма страничните лица имаат облик на квадрати, тогаш таквата фигура обично се нарекува полуправилен многуаголник.

Пресек на призма

Сега да го погледнеме пресекот на призмата:

Домашна работа

Сега да се обидеме да ја консолидираме темата што ја научивме со решавање на проблеми.

Ајде да нацртаме наклонета триаголна призма, растојанието помеѓу нејзините рабови ќе биде еднакво на: 3 cm, 4 cm и 5 cm, а страничната површина на оваа призма ќе биде еднаква на 60 cm2. Имајќи ги овие параметри, пронајдете го страничниот раб на оваа призма.

Дали знаете дека геометриските фигури постојано не опкружуваат, не само на часовите по геометрија, туку и во секојдневниот живот има предмети што личат на една или друга геометриска фигура.

Секој дом, училиште или работа има компјутер чија системска единица е обликувана како права призма.

Ако земете едноставен молив, ќе видите дека главниот дел од моливот е призма.

Одејќи по централната улица на градот, гледаме дека под нашите нозе лежи плочка која има облик на шестоаголна призма.

А. В. Погорелов, Геометрија за 7-11 одделение, Учебник за образовни институции

Основата на призмата може да биде кој било многуаголник - триаголник, четириаголник итн. Двете основи се апсолутно идентични, и соодветно на тоа, со кои аглите на паралелните рабови се поврзани едни со други, секогаш се паралелни. Во основата на правилната призма лежи правилен многуаголник, односно оној во кој сите страни се еднакви. Во права призма, ребрата помеѓу страничните лица се нормални на основата. Во овој случај, основата на права призма може да содржи многуаголник со кој било број на агли. Призма чија основа е паралелограм се нарекува паралелепипед. Правоаголник е посебен случај на паралелограм. Ако оваа бројка лежи во основата, а страничните лица се наоѓаат под прав агол на основата, паралелепипедот се нарекува правоаголен. Второто име за ова геометриско тело е правоаголно.

Како изгледа таа

Во околината на современиот човек има доста правоаголни призми. Ова е, на пример, обичен картон за чевли, компјутерски компоненти итн. Гледај наоколу. Дури и во соба веројатно ќе видите многу правоаголни призми. Ова вклучува футрола за компјутер, полица за книги, фрижидер, гардероба и многу други предмети. Обликот е исклучително популарен главно затоа што ви овозможува да го искористите максимумот од вашиот простор, без разлика дали го украсувате вашиот ентериер или пакувате работи во картон пред да се преселите.

Својства на правоаголна призма

Правоаголна призма има голем број специфични својства. Секој пар на лица може да послужи како него, бидејќи сите соседни лица се наоѓаат под ист агол едни на други, а овој агол е 90 °. Волуменот и површината на правоаголната призма се полесно да се пресметаат од која било друга. Земете кој било предмет што има форма на правоаголна призма. Измерете ја неговата должина, ширина и висина. За да ја пронајдете јачината на звукот, само помножете ги овие мерења. Односно, формулата изгледа вака: V=a*b*h, каде што V е волуменот, a и b се страните на основата, h е висината што се совпаѓа со страничниот раб на ова геометриско тело. Основната површина се пресметува со формулата S1=a*b. За страничната површина, прво мора да го пресметате периметарот на основата со формулата P=2(a+b), а потоа да ја помножите со висината. Резултирачката формула е S2=P*h=2(a+b)*h. За да ја пресметате вкупната површина на правоаголна призма, додадете двапати од основната и од страничната површина. Формулата е S=2S1+S2=2*a*b+2*(a+b)*h=2

Дефиниција.

Ова е шестоаголник, чии основи се два еднакви квадрати, а страничните лица се еднакви правоаголници

Странично ребро- е заедничката страна на две соседни странични лица

Висина на призмата- ова е отсечка нормална на основите на призмата

Дијагонала на призма- отсечка што поврзува две темиња на основите кои не припаѓаат на истото лице

Дијагонална рамнина- рамнина што минува низ дијагоналата на призмата и нејзините странични рабови

Дијагонален пресек- границите на пресекот на призмата и дијагоналната рамнина. Дијагоналниот пресек на правилна четириаголна призма е правоаголник

Нормален пресек (ортогонален пресек)- ова е пресек на призма и рамнина нацртана нормално на неговите странични рабови

Елементи на правилна четириаголна призма

На сликата се прикажани две правилни четириаголни призми, кои се означени со соодветните букви:

• Основите ABCD и A 1 B 1 C 1 D 1 се еднакви и паралелни една со друга
• Странични лица AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C и CC 1 D 1 D, од кои секоја е правоаголник
• Странична површина - збир на површините на сите странични лица на призмата
• Вкупна површина - збир на површините на сите основи и странични лица (збир на површината на страничната површина и основите)
• Странични ребра AA 1, BB 1, CC 1 и DD 1.
• Дијагонала B 1 D
• Основна дијагонала BD
• Дијагонален пресек BB 1 D 1 D
• Нормален пресек A 2 B 2 C 2 D 2.

Својства на правилна четириаголна призма

• Основите се два еднакви квадрати
• Основите се паралелни една со друга
• Страничните лица се правоаголници
• Страничните рабови се еднакви еден на друг
• Страничните лица се нормални на основите
• Страничните ребра се паралелни едни со други и еднакви
• Нормален пресек нормален на сите странични ребра и паралелен со основите
• Агли на нормален пресек - прави
• Дијагоналниот пресек на правилна четириаголна призма е правоаголник
• Нормален (ортогонален пресек) паралелен со основите

Формули за правилна четириаголна призма

Инструкции за решавање проблеми

Кога решавате проблеми на темата " правилна четириаголна призма" значи дека:

Правилна призма- призма во чија основа лежи правилен многуаголник, а страничните рабови се нормални на рамнините на основата. Односно, правилна четириаголна призма содржи во својата основа квадрат. (види својства на правилна четириаголна призма погоре) Забелешка. Ова е дел од лекцијата со геометриски проблеми (секција стереометрија - призма). Еве проблеми кои тешко се решаваат. Ако треба да решите геометриски проблем што го нема, пишете за тоа на форумот. За означување на дејството на извлекување на квадратен корен при решавање проблеми, се користи симболот√ .

Задача.

Во правилна четириаголна призма, основната плоштина е 144 cm 2, а висината е 14 cm. Најдете ја дијагоналата на призмата и вкупната површина.

Решение.
Правилен четириаголник е квадрат.
Според тоа, страната на основата ќе биде еднаква

√144 = 12 см.
Од каде дијагоналата на основата на правилна правоаголна призма ќе биде еднаква на
√(12 2 + 12 2 ) = √288 = 12√2

Дијагоналата на правилна призма формира правоаголен триаголник со дијагоналата на основата и висината на призмата. Според тоа, според Питагоровата теорема, дијагоналата на дадена правилна четириаголна призма ќе биде еднаква на:
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 см

Одговори: 22 см

Задача

Одреди ја вкупната површина на правилна четириаголна призма ако нејзината дијагонала е 5 cm, а дијагоналата на страничната страна е 4 cm.

Решение.
Бидејќи основата на правилната четириаголна призма е квадрат, ја наоѓаме страната на основата (означена како а) користејќи ја Питагоровата теорема:

A 2 + a 2 = 5 2
2а 2 = 25
a = √12,5

Висината на страничното лице (означена како h) тогаш ќе биде еднаква на:

H 2 + 12,5 = 4 2
ч 2 + 12,5 = 16
ч 2 = 3,5
h = √3,5

Вкупната површина ќе биде еднаква на збирот на страничната површина и двапати на основната површина

S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12,5 * √3,5
S = 25 + 4√43,75
S = 25 + 4√(175/4)
S = 25 + 4√(7*25/4)
S = 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

Одговор: 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.