СЕРУСКИ ФИНАНСИСКИ И ЕКОНОМСКИ ИНСТИТУТ ЗА КОРЕСПОНДЕНЦИЈА

КАТЕДРА ЗА ЕКОНОМСКИ И МАТЕМАТИЧКИ МЕТОДИ И МОДЕЛИ

ЕКОНОМЕТРИЈА

Производствени функции

(Материјали за предавањето)

Подготвено од вонреден професор на Катедрата

Филонова Е.С. (филијала во Орел)

Текст на предавањето на тема „Производни функции“

во дисциплината „Економетрија“

План:

Вовед

Концепт на една променлива производна функција

Производни функции на неколку променливи

Својства и главни карактеристики на производните функции

Примери за користење на производните функции во проблеми на економска анализа, предвидување и планирање

Главните заклучоци

Тестови за контрола на научениот материјал

Литература

Вовед

Во современото општество, ниту еден човек не може да го консумира само она што тој самиот го произведува. За најцелосно да ги задоволат своите потреби, луѓето се принудени да го разменат она што го произведуваат. Без постојано производство на стоки немаше да има потрошувачка. Затоа, од голем интерес е да се анализираат моделите кои функционираат во процесот на производство на стоки, кои последователно ја обликуваат нивната понуда на пазарот.

Процесот на производство е основен и оригинален концепт на економијата. Што се подразбира под производство?

Секој знае дека производството на стоки и услуги од нула е невозможно. За да се произведе мебел, храна, облека и друга стока, потребно е да има соодветни суровини, опрема, простории, парче земја и специјалисти кои го организираат производството. Сè што е потребно за организирање на производниот процес се нарекува фактори на производство. Традиционално, факторите на производство вклучуваат капитал, труд, земја и претприемништво.

За организирање на производниот процес, потребните фактори на производство мора да бидат присутни во одредена количина. Зависноста на максималниот волумен на произведениот производ од трошоците на употребените фактори се нарекува производна функција.

Концепт на една променлива производна функција

Разгледувањето на концептот на „производна функција“ ќе го започнеме со наједноставниот случај, кога производството се определува само од еден фактор. Во овој случај Ппроизводна функција -Ова е функција чија независна променлива ги зема вредностите на користениот ресурс (фактор на производство), а зависната променлива ги зема вредностите на обемот на излезот

Во оваа формула, y е функција од една променлива x. Во овој поглед, производната функција (ПФ) се нарекува едноресурс или еднофактор. Неговиот домен на дефиниција е множеството од ненегативни реални броеви. Симболот f е карактеристика на производствен систем кој го претвора ресурсот во излез. Во микроекономската теорија, општо е прифатено дека y е максималниот можен волумен на аутпут доколку ресурсот се троши или користи во износ од x единици. Во макроекономијата, ова разбирање не е сосема точно: можеби, со различна распределба на ресурсите меѓу структурните единици на економијата, аутпутот можеше да биде поголем. Во овој случај, PF е статистички стабилна врска помеѓу трошоците за ресурси и аутпутот. Симболиката е поточна

каде што a е векторот на параметрите на PF.

Пример 1. Да го земеме PF f во форма f(x)=ax b, каде што x е износот на потрошениот ресурс (на пример, работно време), f(x) е обемот на произведените производи (на пример, број на фрижидери подготвени за испорака). Вредностите a и b се параметри на PF f. Овде a и b се позитивни броеви и бројот b1, векторот на параметарот е дводимензионален вектор (a,b). PF у=ax b е типичен претставник на широка класа на PF со еден фактор.

Графиконот PF е прикажан на слика 1

Графиконот покажува дека како што се зголемува износот на потрошениот ресурс, y се зголемува. сепак, секоја дополнителна единица на ресурс дава сè помало зголемување на волуменот y на излезот. Забележаната околност (зголемување на волуменот y и намалување на зголемувањето на волуменот y со зголемување на x) ја одразува основната позиција на економската теорија (добро потврдена од практиката), наречена закон за намалување на ефикасноста (намалување на продуктивноста или намалување на приносот ).

Како едноставен пример, да земеме еднофакторна производна функција која го карактеризира производството на земјоделски производ на земјоделец. Нека сите фактори на производство, како што се големината на земјиштето, достапноста на земјоделецот на земјоделска механизација, семето и количината на труд вложена во производството на производот, остануваат константни од година во година. Се менува само еден фактор - количината на употребено ѓубриво. Во зависност од ова, големината на добиениот производ се менува. Отпрвин, со растот на променливиот фактор, тој се зголемува прилично брзо, потоа растот на вкупниот производ се забавува, а почнувајќи од одредени количини на ѓубрива што се користат, вредноста на добиениот производ почнува да се намалува. Понатамошното зголемување на променливиот фактор не го зголемува производот.

PF може да имаат различни области на употреба. Принципот влезно-аутпут може да се имплементира и на микро и на макроекономско ниво. Ајде прво да погледнеме на микроекономското ниво. PF y=ax b , дискутирано погоре, може да се користи за да се опише односот помеѓу износот на ресурси x потрошени или искористени во текот на годината во посебно претпријатие (фирма) и годишното производство на ова претпријатие (фирма). Улогата на производниот систем овде ја игра посебно претпријатие (фирма) - имаме микроекономски PF (MIPF). На микроекономско ниво, како производствен систем може да дејствува и индустрија или меѓусекторски производствен комплекс. MIPF се изградени и се користат главно за решавање на проблеми на анализа и планирање, како и проблеми за прогнозирање.

PF може да се користи за да се опише односот помеѓу годишниот придонес на трудот на регион или земја како целина и годишниот финален аутпут (или приход) на тој регион или земја како целина. Овде, регионот или земјата во целина ја игра улогата на производниот систем - имаме макроекономско ниво и макроекономска ПФ (МАПФ). MAPF се изградени и активно се користат за решавање на сите три типа проблеми (анализа, планирање и предвидување).

Точната интерпретација на концептите на потрошен или искористен ресурс и излез, како и изборот на мерни единици, зависат од природата и обемот на производниот систем, карактеристиките на проблемите што се решаваат и достапноста на првичните податоци. На микроекономско ниво, влезните и аутпутите може да се мерат и во природни и во парични единици (показатели). Годишните трошоци за работна сила може да се мерат во работни часови или во рубли од исплатените плати; Излезот на производот може да се претстави во парчиња или други природни единици или во форма на неговата вредност.

На макроекономско ниво, трошоците и аутпутот се мерат, по правило, во смисла на трошоци и претставуваат агрегати на трошоците, односно вкупните вредности на производите на обемот на потрошени ресурси и излезните производи и нивните цени.

Производни функции на неколку променливи

Сега да продолжиме да ги разгледуваме производните функции на неколку променливи.

Производна функција на неколку променливие функција чиишто независни променливи ги преземаат вредностите на волумените на потрошените или искористените ресурси (бројот на променливите n е еднаков на бројот на ресурси), а вредноста на функцијата има значење на вредностите на излезни волумени:

y=f(x)=f(x 1 ,…,x n). (2)

Во формулата (2), y (y0) е скаларна големина, а x е векторска количина, x 1 ,..., x n се координатите на векторот x, односно f(x 1,...,x n ) е нумеричка функција од неколку променливи x 1 ,…,x n. Во овој поглед, PF f(x 1,...,x n) се нарекува мулти-ресурс или мулти-фактор. Поточна е следната симболика: f(x 1,...,x n,a), каде што a е векторот на параметрите на PF.

Во економска смисла, сите променливи на оваа функција се не-негативни, затоа, доменот на дефиниција на мултифакториелен PF е збир од n-димензионални вектори x, од кои сите координати x 1,..., x n се ненегативни броеви.

За поединечно претпријатие (фирма) што произведува хомоген производ, PF f(x 1,...,x n) може да го поврзе обемот на производството со трошоците за работното време за различни видови работна активност, разни видови суровини, компоненти, енергија и фиксен капитал. PF од овој тип ја карактеризираат моменталната технологија на претпријатието (фирмата).

Кога се конструира PF за регион или земја како целина, вкупниот производ (приход) на регионот или земјата, вообичаено пресметан во постојани, а не во тековни цени, често се зема како вредност на годишното производство Y; фиксен капитал (x 1 (= K) се смета за ресурси - обемот на фиксниот капитал што се користи во текот на годината) и живиот труд (x 2 (=L) - бројот на потрошени единици жив труд во текот на годината), обично пресметан во вредност. Така, се конструира двофактор PF Y=f(K,L). Од двофакторни PF тие се префрлаат на трифакторни. Дополнително, ако PF се конструира со користење на податоци од временски серии, тогаш техничкиот напредок може да се вклучи како посебен фактор во растот на производството.

Се повикува PF y=f(x 1 ,x 2). статични, ако неговите параметри и неговата карактеристика f не зависат од времето t, иако обемот на ресурсите и волуменот на излезот може да зависат од времето t, односно може да се претстават во форма на временски серии: x 1 (0) , x 1 (1),…, x 1 (T); x 2 (0), x 2 (1),…, x 2 (T); y(0), y(1),…,y(T); y(t)=f(x 1 (t), x 2 (t)). Овде t е бројот на годината, t=0,1,…,T; t= 0 – базна година на временскиот период кој ги опфаќа годините 1,2,…,T.

Пример 2.За моделирање на посебен регион или земја како целина (односно, за решавање проблеми на макроекономско, како и на микроекономско ниво), често се користи PF од формата y=, каде што 0, a 1 и 2 се параметрите на PF. Ова се позитивни константи (често a 1 и a 2 се такви што a 1 + a 2 = 1). ПФ од штотуку дадениот тип се нарекува Коб-Даглас ПФ (Коб-Даглас ПФ) според двајцата американски економисти кои ја предложија неговата употреба во 1929 година.

PFKD активно се користи за решавање на различни теоретски и применети проблеми поради неговата структурна едноставност. PFKD спаѓа во класата на таканаречените мултипликативни PF (MPF). Во апликациите PFKD x 1 = K е еднаков на обемот на користен фиксен капитал (обемот на користени основни средства - во домашна терминологија),
- трошоците за животна работна сила, тогаш PFKD ја добива формата што често се користи во литературата:

Y=
.

Историска референца

Во 1927 година, Пол Даглас, економист по обука, открил дека ако некој ги нацрта логаритмите на реалното производство во однос на времето (Y), капитални инвестиции (К) и трошоци за работна сила (Л), тогаш растојанијата од точките на графикот на показателите за аутпут до точките на графиконите на показателите за труд и инпути на капитал ќе бидат константна пропорција. Потоа се обратил до математичарот Чарлс Коб со барање да се најде математичка врска што ја има оваа карактеристика, а Коб ја предложил следнава функција:

.

Оваа функција била предложена околу 30 години порано од Филип Викстид, како што забележале К. Коб и П. Даглас во нивното класично дело (1929), но тие биле првите кои користеле емпириски податоци за да ја конструираат. Авторите не опишуваат како тие всушност ја вклопиле функцијата, но се претпоставува дека користеле форма на регресивна анализа бидејќи се однесувале на „теоријата на најмали квадрати“.

Пример 3.Линеарната PF (LPF) има форма:
(двофактор) и (мултифактор). LPF спаѓа во класата на таканаречените адитивни PF (APF). Преминот од мултипликативен PF во адитивен се врши со помош на операцијата логаритам. За двофакторски мултипликативен PF

оваа транзиција има форма: . Со воведување на соодветна замена, добиваме додаток PF.

Ако збирот на експонентите во Коб-Даглас PF е еднаков на еден, тогаш може да се напише во малку поинаква форма:

тие.
.

Дропки
соодветно се нарекуваат продуктивност на трудот и однос капитал-труд. Користејќи нови симболи, добиваме

,

тие. од двофакторниот PFCD добиваме формално еднофакторен PFCD. Поради фактот што 0 1

Забележете дека дропката наречена капитална продуктивност или продуктивност на капиталот, реципрочни фракции
соодветно се нарекуваат капитален интензитет и труд интензитет на аутпут.

ПФ се нарекува динамичен, Ако:

времето t се појавува како независна променлива (како независен фактор на производство) што влијае на обемот на производството;

Параметрите на PF и неговата карактеристика f зависат од времето t.

Забележете дека ако параметрите на PF се проценети со користење на податоци од временски серии (волумен на ресурси и излез) со времетраење години, тогаш пресметките за екстраполација за таков PF треба да се извршат не повеќе од 1/3 години однапред.

При конструирање на PF, научниот и технолошкиот напредок (STP) може да се земе предвид со воведување на STP мултипликатор, каде што параметарот p (p>0) ја карактеризира стапката на раст на производството под влијание на STP:

(t=0,1,…,T).

Овој PF е наједноставниот пример за динамичен PF; вклучува неутрален, односно технички напредок кој не е материјализиран во еден од факторите. Во посложени случаи, техничкиот напредок може директно да влијае на продуктивноста на трудот или продуктивноста на капиталот: Y(t)=f(A(t)×L(t),K(t)) или Y(t)=f(A(t) × K(t), L(t)). Тоа се нарекува, соодветно, научен и технолошки напредок што штеди труд или капитал.

Пример 4.Дозволете ни да претставиме верзија на PFKD земајќи го предвид NTP

Пресметката на нумеричките вредности на параметрите на таквата функција се врши со помош на корелација и регресивна анализа.

Избор на аналитичка форма на PF
е диктиран првенствено од теоретски размислувања, кои мора да ги земат предвид особеностите на односите помеѓу специфичните ресурси или економските обрасци. Проценката на параметрите на PF обично се врши со користење на методот на најмали квадрати.

Својства и главни карактеристики на производните функции

За да се произведе одреден производ, потребна е комбинација од различни фактори. И покрај ова, различни производствени функции имаат голем број заеднички својства.

За дефинитивно, ние се ограничуваме на производните функции на две променливи
. Пред сè, треба да се забележи дека таквата производна функција е дефинирана во ненегативна ортант на дводимензионална рамнина, односно во. PF ги задоволува следните серии на својства:

Слично на линијата на ниво на целната функција на проблемот со оптимизација, сличен концепт се применува и за PF. Линија за ниво на PFе збир на точки во кои PF зема константна вредност. Понекогаш се нарекуваат линии на ниво изоквантиПФ. Зголемување на еден фактор и намалување на друг може да се случи на таков начин што вкупниот обем на производство останува на исто ниво. Изоквантите прецизно ги одредуваат сите можни комбинации на производни фактори неопходни за постигнување на дадено ниво на производство.

Од Слика 2 е јасно дека долж изоквантот, излезот е константен, односно нема зголемување на излезот. Математички, тоа значи дека вкупниот диференцијал на PF на изоквантот е еднаков на нула:

Изоквантите го имаат следново својства:

Изоквантите не се сечат.

Колку е поголемо растојанието на изоквантот од потеклото на координатите, одговара на поголемо ниво на излез.

Изоквантите се намалувачки криви кои имаат негативен наклон.

Изоквантите се слични на кривите на рамнодушност со единствена разлика што ја одразуваат ситуацијата не во сферата на потрошувачката, туку во сферата на производството.

Негативниот наклон на изоквантите се објаснува со фактот дека зголемувањето на употребата на еден фактор за одреден волумен на излезот на производот секогаш ќе биде придружено со намалување на количината на друг фактор. Наклонот на изоквантот се карактеризира со маргиналната стапка на технолошка замена на производните фактори (МРТС) . Да ја разгледаме оваа вредност користејќи го примерот на двофакторна производна функција Q(y,x). Маргиналната стапка на технолошка замена се мери со односот на промената на факторот y кон промената на факторот x. Бидејќи замената на факторите се случува во спротивен сооднос, математичкото изразување на индикаторот MRTS се зема со знак минус:

.

Слика 3 покажува еден од PF изоквантите Q(y,x)

Ако земеме која било точка на оваа изокванта, на пример, точката А и нацртаме тангента CM на неа, тогаш тангентата на аголот ќе ни ја даде вредноста на MRTS:

Може да се забележи дека во горниот дел на изоквантот аголот ќе биде доста голем, што укажува дека се потребни значителни промени во факторот y за да се промени факторот x за еден. Според тоа, во овој дел од кривата вредноста на МРТС ќе биде висока. Како што се движите надолу по изоквантот, вредноста на маргиналната стапка на технолошка замена постепено ќе се намалува. Ова значи дека зголемувањето на факторот x за еден би барало мало намалување на факторот y. Со целосна заменливост на факторите, изоквантите од кривите се претвораат во прави линии.

Еден од најинтересните примери за употреба на PF изокванти е студијата економии на обем на производство (види имот 7).

Што е поефикасно за економијата: една голема фабрика или неколку мали претпријатија? Одговорот на ова прашање не е толку едноставен. Планираното стопанство недвосмислено одговори, давајќи им приоритет на индустриските гиганти. Со транзицијата кон пазарна економија, започна широко распространето расцепување на претходно создадените здруженија. Каде е златната средина? Демонстративен одговор на ова прашање може да се добие со испитување на ефектот на обемот во производството.

Да замислиме дека во една фабрика за чевли менаџментот одлучил значителен дел од добиената добивка да издвои за развој на производството со цел да се зголеми обемот на произведените производи. Да претпоставиме дека капиталот (опрема, машини, производствени области) е двојно зголемен. Во истиот сооднос се зголемил и бројот на вработени. Се поставува прашањето, што ќе се случи во овој случај со обемот на излезот?

Од анализата на Слика 5

Постојат три опции за одговор:

Количеството на производство ќе се удвои (постојано враќање на обемот);

Ќе повеќе од двојно (зголемување на приносите на скалата);

Ќе се зголеми, но помалку од двапати (се намалува повратот на скалата).

Постојаното враќање на обемот на производството се објаснува со хомогеноста на променливите фактори. Со пропорционално зголемување на капиталот и трудот во таквото производство, просечната и маргиналната продуктивност на овие фактори ќе останат непроменети. Во овој случај, нема разлика дали работи едно големо претпријатие или наместо тоа се создаваат две мали.

Со намалување на повратот на обемот, непрофитабилно е да се создаде големо производство. Причината за ниската ефикасност во овој случај, по правило, се дополнителните трошоци поврзани со управувањето со таквото производство и тешкотијата за координирање на производството од големи размери.

Зголемените приноси на обемот, по правило, се карактеристични за оние индустрии каде што е можно широко распространета автоматизација на производните процеси и употреба на производствени и транспортни линии. Но, треба да бидеме многу внимателни со трендот на зголемување на повратот на обемот. Порано или подоцна се претвора во константна, а потоа во намалена скала.

Да се ​​задржиме на некои карактеристики на производните функции кои се најважни за економската анализа. Да ги разгледаме користејќи го примерот на PF на формата
.

Како што е наведено погоре, соодносот
(i=1,2) се нарекува просечна продуктивност на i-тиот ресурс или просечен излез за i-тиот ресурс. Прв парцијален дериват на PF
(i=1,2) се нарекува маргинална продуктивност на i-тиот ресурс или маргинален излез на i-тиот ресурс. Оваа ограничувачка величина понекогаш се толкува со помош на приближно приближување на односот на мали конечни количини
. Приближно, покажува за колку единици излезниот волумен y ќе се зголеми ако волуменот на влезовите на i-тиот ресурс ќе се зголеми за една (доволно мала) единица со постојани волумени на другиот потрошен ресурс.

На пример, во PFKD, за просечна продуктивност на основниот капитал u/K и труд u/L, се користат термините продуктивност на капиталот и продуктивност на трудот, соодветно:

Дозволете ни да ја одредиме маргиналната продуктивност на факторите за оваа функција:

Така, ако
, Тоа
(i=1,2), односно маргиналната продуктивност на i-тиот ресурс не е поголема од просечната продуктивност на овој ресурс. Сооднос на маргинална продуктивност
i-ти фактор на неговата просечна продуктивност се нарекува еластичност на аутпутот во однос на i-тиот фактор на производство

или приближно

Така, еластичноста на аутпутот (производниот волумен) за одреден фактор (коефициентот на еластичност) приближно се дефинира како сооднос на стапката на раст y кон стапката на раст на овој фактор, односно покажува за колку проценти аутпутот y ќе се зголемуваат ако трошоците на i-тиот ресурс се зголемат за еден процент при постојани волумени на друг ресурс.

Збир +=Енаречена еластичност на производството. На пример, за PFKD = , И Е=.

Примери за користење на производните функции во проблеми на економска анализа, предвидување и планирање

Производните функции ни овозможуваат квантитативно да ги анализираме најважните економски зависности во сферата на производството. Тие овозможуваат да се оцени просечната и маргиналната ефикасност на различни производствени ресурси, еластичноста на аутпутот за различни ресурси, маргиналните стапки на замена на ресурсите, економиите на обем во производството и многу повеќе.

Пример 1.Да претпоставиме дека процесот на производство е опишан со користење на излезната функција

.

Да ги оцениме главните карактеристики на оваа функција за методот на производство во кој K = 400 и L = 200.

Решение.

Маргинална продуктивност на факторите.

За да ги пресметаме овие количини, ги одредуваме парцијалните изводи на функцијата за секој од факторите:

Така, маргиналната продуктивност на факторот труд е четири пати поголема од онаа на факторот капитал.

Еластичност на производството.

Еластичноста на производството се определува со збирот на еластичностите на аутпутот за секој фактор, т.е.

Маргинална стапка на замена на ресурсите.

Погоре во текстот оваа вредност беше означена
и се изедначија
. Така, во нашиот пример

односно четири единици капитални ресурси се потребни за замена на единица труд во овој момент.

Изоквантна равенка.

За да се одреди формата на изоквантот, неопходно е да се поправи вредноста на излезниот волумен (Y). Нека, на пример, Y=500. За погодност, го земаме L за функција од K, а потоа изоквантната равенка добива форма

.

Маргиналната стапка на замена на ресурсите ја одредува тангентата на аголот на наклонетост на тангентата на изоквантот во соодветната точка. Користејќи ги резултатите од чекор 3, можеме да кажеме дека точката на тангенција се наоѓа во горниот дел на изокванот, бидејќи аголот е доста голем.

Пример 2.Да ја разгледаме функцијата Коб-Даглас во општа форма

.

Да претпоставиме дека K и L се удвоени. Така, новото ниво на излез (Y) ќе биде напишано на следниов начин:

Дозволете ни да го одредиме ефектот на обемот на производството во случаи кога
>1, =1 и

Ако, на пример, =1,2, и
=2,3, тогаш Y се зголемува повеќе од двапати; ако =1, a =2, тогаш удвојувањето на K и L води до удвојување на Y; ако =0,8 и =1,74, тогаш Y се зголемува помалку од двапати.

Така, во примерот 1 може да има постојан ефект на обемот во производството.

Историска референца

Во нивната прва статија, К. Тие последователно ја олабавија оваа претпоставка, претпочитајќи да ги проценат приносите на скалата.

Главната задача на производните функции е сè уште да обезбедат изворен материјал за најефективните менаџерски одлуки. Дозволете ни да го илустрираме прашањето за донесување оптимални одлуки врз основа на употребата на производните функции.

Пример 3.Нека е дадена производна функција која го поврзува обемот на производството на претпријатието со бројот на работници , производствени средства и обемот на искористените часови на машината

од каде го добиваме решението?
, при што y=2. Бидејќи, на пример, точката (0,2,0) припаѓа на дозволената област и во неа y = 0, заклучуваме дека точката (1,1,1) е глобална максимална точка. Економските заклучоци од добиеното решение се очигледни.

Како заклучок, забележуваме дека производните функции може да се користат за екстраполирање на економскиот ефект на производството во даден период од иднината. Како и во случајот со конвенционалните економетриски модели, економското предвидување започнува со проценка на прогнозните вредности на производните фактори. Во овој случај, можете да го користите методот на економска прогноза што е најсоодветен во секој поединечен случај.

Главните заклучоци

Тестови за проверка на научениот материјал

Одбери го точниот одговор.

Што се карактеризира производната функција?

А) вкупниот обем на искористени производствени ресурси;

Б) најефективниот начин на технолошка организација на производството;

В) односот помеѓу трошоците и максималниот аутпут;

Г) метод за минимизирање на профитот при минимизирање на трошоците.

Која од следните равенки е равенката на производната функција на Коб-Даглас?

Г) y=
.

3. Што карактеризира производна функција со еден променлив фактор?

А) зависноста на обемот на производството од цените на факторите,

Б) зависност во која факторот x се менува, а сите останати остануваат константни,

В) врска во која сите фактори се менуваат, но факторот x останува константен,

Г) односот помеѓу факторите x и y.

4. Изоквантна карта е:

А) збир на изокванти кои покажуваат излез под одредена комбинација на фактори;

Б) произволно збир на изокванти што ја покажува маргиналната стапка на продуктивност на променливите фактори;

В) комбинации на линии кои ја карактеризираат маргиналната стапка на технолошка замена.

Дали изјавите се вистинити или лажни?

Производната функција ја одразува врската помеѓу користените фактори на производство и односот на маргиналната продуктивност на овие фактори.

Функцијата Коб-Даглас е производна функција која го покажува максималниот аутпут користејќи труд и капитал.

Нема ограничување за растот на производот произведен со еден променлив фактор на производство.

Изоквант е еднаков производ крива.

Изоквантот ги прикажува сите можни комбинации на користење на два променливи фактори за да се добие максималниот производ.

Литература

Dougherty K. Вовед во економетријата. – М.: Финансии и статистика, 2001 г.

Замков О.О., Толстопјатенко А.В., Черемних Ју.П. Математички методи по економија: Учебник. – М.: Издавачка куќа. „ДИС“, 1997 година.

Курс за економска теорија: учебник. – Киров: „АСА“, 1999 г.

Микроекономија / Ед. Проф. Јаковлева Е.Б. – М.: Санкт Петербург. Пребарување, 2002 година.

Светската економија. Опции за училница за наставници. – М.: ВЗФЕИ, 2001 г.

Овчиников Г.П. Микроекономија. – Санкт Петербург: Издавачка куќа по име. Володарски, 1997 година.

Политичка економија; економска енциклопедија. – М.: Издавачка куќа. „Був. Енциклопедија“, 1979 година.

Производна функција

Име на параметарот	Значење
Тема на статијата:	Производна функција
Рубрика (тематска категорија)	Економија

Производна функција - концепт и видови. Класификација и карактеристики на категоријата „Производна функција“ 2017, 2018 година.

- Фактори на производство и нивна интеракција. Производна функција

Во специфичните услови на производство на добра и услуги потребни се три фундаментални фактори: труд (жив труд), капитал (трошоци на материјализираниот труд) и природни ресурси. Техничка зависност помеѓу различни комбинации на употребени количини... .

- ПРОИЗВОДНА ФУНКЦИЈА. ЗАКОН ЗА ДИМИНИРАЊЕ ВРАЌАЊЕ. ЕФЕКТ НА СКАЛА

Производна функција е односот помеѓу збир на фактори на производство и максималниот можен аутпут произведен од тој збир на фактори. Производната функција е секогаш специфична, т.е. наменети за оваа технологија. Ново... .

- Производна функција. Закон за намалени приноси.

Претпријатието како стопански субјект. Организациски и правни форми на претпријатија. Фирмата (претпријатието) е главната деловна единица на пазарната економија, која: 1) создава побарувачка за ресурси, 2) произведува и нуди готови производи и услуги, 3) врши... .

- Производна функција.

Планирајте. Тема 5. Теорија на производство. Претпријатие (фирма) во пазарна економија. Производна функција. Економски трошоци. Трошоците за производство на краток рок. Долгорочни трошоци за производство. Четири пазарни модели. Чиста... .

- Производна функција.

Технологија на производство и технолошки ограничувања. Производството е процес на користење на работна сила и опрема во комбинација со природни ресурси и материјали за производство на потребните добра и услуги. Фактори во процесот на производство... .

- Производна функција како матрица.

Технички ефикасна област на производство Постојат два општи типа на технолошки напредок: неутрален и неутрален. Неутралниот технички напредок се изразува во промена на ефикасноста на технологијата и нивото на технолошки принос по единица скала... .

- Производна функција и продуцентска рамнотежа

Фактори во процесот на транзиција кон нови технологии Како заклучок, уште неколку зборови за односот помеѓу маргиналниот и просечниот производ. Маргиналниот производ за која било точка на агрегатната излезна крива е еднаков на тангентата на тангентата на кривата во таа точка. За...

I. ЕКОНОМСКА ТЕОРИЈА

10. Производна функција. Закон за намалени приноси. Економии на обем

Производна функција е односот помеѓу збир на фактори на производство и максималниот можен обем на произведен производ со користење на даден сет на фактори.

Производната функција е секогаш специфична, т.е. наменети за оваа технологија. Нова технологија - нова функција на продуктивност.

Со користење на функцијата за производство, се одредува минималната количина на влез потребна за производство на даден волумен на производ.

Производните функции, без оглед на тоа каков вид на производство изразуваат, ги имаат следните општи својства:

1) Зголемувањето на обемот на производството поради зголемување на трошоците за само еден ресурс има ограничување (не можете да ангажирате многу работници во една просторија - нема секој да има простор).

2) Факторите на производство можат да бидат комплементарни (работници и алатки) и заменливи (производна автоматизација).

Во својата најопшта форма, производната функција изгледа вака:

каде е волуменот на излезот;
К- капитал (опрема);
М - суровини, материјали;
Т – технологија;
N – претприемачки способности.

Наједноставен е моделот на производна функција со два фактори Коб-Даглас, кој ја открива врската помеѓу трудот (L) и капиталот (К). Овие фактори се заменливи и комплементарни

,

каде што А е коефициентот на производство, покажувајќи ја пропорционалноста на сите функции и промени кога се менува основната технологија (по 30-40 години);

К, Л - капитал и труд;

Коефициенти на еластичност на обемот на производството во однос на капиталните и трошоците за работна сила.

Ако = 0,25, тогаш зголемувањето на капиталните трошоци за 1% го зголемува обемот на производството за 0,25%.

Врз основа на анализата на коефициентите на еластичност во производната функција Коб-Даглас, можеме да разликуваме:
1) пропорционално зголемување на производната функција, кога ( ).
2) несразмерно – се зголемува);
3) се намалува.

Размислете за краток период на активност на фирмата во кој трудот е променлива на двата фактори. Во таква ситуација, фирмата може да го зголеми производството користејќи повеќе работни ресурси. Графикот на производната функција Коб-Даглас со една променлива е прикажан на сл. 10,1 (ТП n крива).

На краток рок, се применува законот за намалување на маргиналната продуктивност.

Законот за намалување на маргиналната продуктивност функционира на краток рок кога еден фактор на производство останува константен. Ефектот на законот ја претпоставува непроменетата состојба на технологијата и технологијата на производство; доколку се применат најновите пронајдоци и други технички подобрувања во производниот процес, тогаш може да се постигне зголемување на производството со користење на истите производни фактори. Односно, технолошкиот напредок може да го промени опсегот на законот.

Ако капиталот е фиксен фактор, а трудот е променлив фактор, тогаш фирмата може да го зголеми производството користејќи повеќе работни ресурси. Но на Според законот за намалување на маргиналната продуктивност, постојаното зголемување на променливиот ресурс додека другите остануваат непроменети доведува до намалени приноси за овој фактор, односно до намалување на маргиналниот производ или маргиналната продуктивност на трудот. Ако вработувањето на работници продолжи, тогаш на крајот тие ќе се мешаат едни со други (маргиналната продуктивност ќе стане негативна) и производството ќе се намали.

Маргинална продуктивност на трудот (маргинален производ на трудот - MP L) е зголемување на обемот на производството од секоја следна единица на трудот

тие. добивка на продуктивност на вкупниот производ (TP L)

На сличен начин се одредува маргиналниот производ на капиталот MP K.

Врз основа на законот за намалени приноси, да ја анализираме врската помеѓу вкупниот (TP L), просекот (AP L) и маргиналните производи (MP L) (сл. 10.1).

Движењето на кривата на вкупниот производ (ТП) може да се подели во три фази. Во фаза 1, тој се крева нагоре со забрзано темпо, бидејќи маргиналниот производ (MP) се зголемува (секој нов работник носи повеќе излез од претходниот) и достигнува максимум во точката А, односно стапката на раст на функцијата е максимум. По точката А (фаза 2), поради законот за намалени приноси, кривата MP паѓа, односно секој ангажиран работник дава помало зголемување на вкупниот производ во однос на претходниот, па затоа стапката на раст на ТР по ТС забавува. Но, се додека МР е позитивен, TP сепак ќе се зголемува и ќе достигне максимум на MR=0.

Ориз. 10.1. Динамика и однос помеѓу општиот просек и маргиналните производи

Во третата фаза, кога бројот на работници станува прекумерен во однос на основниот капитал (машини), MP станува негативен, па TR почнува да опаѓа.

Конфигурацијата на просечната крива на производот AP се определува и со динамиката на кривата MP. Во фаза 1, двете криви растат додека зголемувањето на аутпутот од нововработените работници не биде поголемо од просечната продуктивност (AP L) на претходно ангажираните работници. Но, по точката А (max MP), кога четвртиот работник додава помалку на вкупниот производ (TP) од третиот, MP се намалува, така што просечниот излез на четворицата работници исто така се намалува.

Економии на обем

1. Се манифестира во промени во долгорочните просечни трошоци за производство (LATC).

2. Кривата LATC е обвивка на минималната краткорочна просечна цена на фирмата по единица производ (Слика 10.2).

3. Долгорочниот период во активностите на компанијата се карактеризира со промена на количината на сите употребени производни фактори.

Ориз. 10.2. Долгорочна и просечна крива на трошоци на фирмата

Реакцијата на LATC на промените во параметрите (скалата) на компанијата може да биде различна (сл. 10.3).

Ориз. 10.3. Динамика на долгорочни просечни трошоци

Фаза I: економии на обем	Зголемувањето на производството е придружено со намалување на LATC, што се објаснува со ефектот на заштеди (на пример, поради зголемената специјализација на трудот, употребата на нови технологии, ефикасното користење на отпадот).
Фаза II: постојано се враќа на скалата	Кога се менува обемот, трошоците остануваат непроменети, односно зголемувањето на количината на искористените ресурси за 10% предизвика зголемување на обемот на производството за 10%.
Фаза III: дисекономии на обем	Зголемувањето на обемот на производството (на пример, за 7%) предизвикува зголемување на LATC (за 10%). Причината за штета од размер може да бидат технички фактори (неоправдана гигантска големина на претпријатието), организациски причини (раст и нефлексибилност на административниот и управувачкиот апарат).

Производството е главната област на активност на компанијата. Фирмите користат производни фактори, кои се нарекуваат и влезни фактори на производство.

Производна функција е односот помеѓу збир на фактори на производство и максималната можна количина на аутпут произведен од дадена група фактори.

Производната функција може да биде претставена со многу изокванти поврзани со различни нивоа на излез. Овој тип на функција, кога е воспоставена експлицитна зависност на обемот на производството од достапноста или потрошувачката на ресурси, се нарекува излезна функција.

Особено, излезните функции се широко користени во земјоделството, каде што се користат за проучување на влијанието врз приносот на фактори како што се, на пример, различни видови и состави на ѓубрива и методи за одгледување на почвата. Заедно со слични производни функции, се користат функциите на трошоците за производство инверзни на нив. Тие ја карактеризираат зависноста на трошоците за ресурси од обемот на излезот (строго кажано, тие се инверзни само на PF со заменливи ресурси). Посебни случаи на PF може да се сметаат за функцијата на трошоците (односот помеѓу обемот на производство и трошоците за производство), инвестициската функција: зависноста на потребните капитални инвестиции од производниот капацитет на идното претпријатие.

Постои широк спектар на алгебарски изрази кои можат да се користат за да се претстават производните функции. Наједноставниот модел е посебен случај на општиот модел на анализа на производството. Ако фирмата има на располагање само еден вид активност, тогаш производната функција може да биде претставена со правоаголни изокванти со постојани поврати на размер. Не постои можност за промена на односот на факторите на производство, а еластичноста на замена е, се разбира, нула. Ова е исклучително специјализирана производна функција, но нејзината едноставност ја објаснува неговата широка употреба во многу модели.

Математички, производните функции можат да се претстават во различни форми - од едноставни како линеарната зависност на производниот резултат од еден фактор што се проучува, до многу сложени системи на равенки, вклучувајќи рецидиви кои ги поврзуваат состојбите на предметот што се проучува во различни периоди. од време..

Производната функција е графички претставена со фамилија на изокванти. Колку подалеку се наоѓа изоквантот од потеклото, толку е поголем обемот на производство што го рефлектира. За разлика од кривата на рамнодушност, секој изоквант карактеризира квантитативно определен волумен на излез.

Слика 2 _ Изокванти кои одговараат на различни количини на производство

На сл. 1 прикажува три изокванти кои одговараат на производствени волумени од 200, 300 и 400 единици на производство. Можеме да кажеме дека за да се произведат 300 единици производ, потребни се K 1 единици капитал и L 1 единици труд или K 2 единици капитал и L 2 единици труд, или која било друга комбинација од нив од множеството претставено со изоквантот Y 2 = 300.

Во општиот случај, во множеството X од дозволени множества производни фактори, се идентификува подмножество X c, наречено изоквант на производната функција, што се карактеризира со тоа што за кој било вектор еднаквоста

Така, за сите групи ресурси што одговараат на изоквантот, волумените на излезот се еднакви. Во суштина, изоквантот е опис на можноста за взаемна замена на факторите во процесот на производство на производи кои обезбедуваат постојан обем на производство. Во овој поглед, се покажува дека е можно да се одреди коефициентот на взаемна замена на ресурсите користејќи го диференцијалниот сооднос по која било изокванта

Оттука, коефициентот на еквивалентна замена на пар фактори j и k е еднаков на:

Резултирачкиот однос покажува дека ако производствените ресурси се заменат во сооднос еднаков на односот на зголемената продуктивност, тогаш количината на производство останува непроменета. Мора да се каже дека знаењето за производната функција ни овозможува да го карактеризираме обемот на можноста за взаемна замена на ресурсите на ефективни технолошки начини. За да се постигне оваа цел, се користи коефициентот на еластичност на замена на ресурсите за производите

кој се пресметува долж изоквантот на константно ниво на трошоци на другите производни фактори. Вредноста sjk е карактеристика на релативната промена на коефициентот на меѓусебна замена на ресурсите кога се менува односот меѓу нив. Ако односот на заменливите ресурси се промени за sjk проценти, тогаш коефициентот на замена sjk ќе се промени за еден процент. Во случај на линеарна производна функција, коефициентот на меѓусебна замена останува непроменет за кој било однос на искористените ресурси и затоа можеме да претпоставиме дека еластичноста s jk = 1. Според тоа, големите вредности на sjk покажуваат дека е можна поголема слобода во замената на производните фактори долж изоквантот и, во исто време, главните карактеристики производната функција (продуктивност, коефициент на размена) ќе се промени многу малку.

За функциите за производство на моќ-закон, за кој било пар на заменливи ресурси, еднаквоста s jk = 1 е точно.

Претставувањето на ефективен технолошки сет со користење на скаларна производна функција е недоволно во случаи кога е невозможно да се постигне со еден показател што ги опишува резултатите од активностите на производниот погон, но неопходно е да се користат неколку (M) излезни индикатори (Слика 3). .

Слика 3 _ Различни случаи на изоквантно однесување

Под овие услови, може да се користи функцијата за производство на вектор

Важниот концепт на маргинална (диференцијална) продуктивност е воведен со релацијата

Слична генерализација овозможува сите други главни карактеристики на скаларните PF.

Како и кривите на рамнодушност, изоквантите исто така се класифицираат во различни типови.

За линеарна производна функција на формата

каде што Y е обемот на производство; A, b 1, b 2 параметри; K, L трошоци за капитал и работна сила, и целосна замена на еден ресурс со друг, изоквантот ќе има линеарна форма (слика 4, а).

За производствена функција на законот за моќ

Тогаш изоквантите ќе изгледаат како криви (слика 4, б).

Ако изоквантот одразува само еден технолошки метод за производство на даден производ, тогаш трудот и капиталот се комбинираат во единствената можна комбинација (Слика 4, в).

г) Скршени изокванти

Слика 4 - Различни опции за изокванти

Таквите изокванти понекогаш се нарекуваат изокванти од типот Леонтиев по американскиот економист В.В. Леонтиев, кој го користел овој тип на изоквант како основа за методот на влезно излез што го развил.

Скршениот изоквант претпоставува присуство на ограничен број технологии F (Слика 4, г).

Изоквантите со слична конфигурација се користат во линеарното програмирање за да се поткрепи теоријата за оптимална распределба на ресурсите. Скршените изокванти најреално ги претставуваат технолошките можности на многу производствени капацитети. Меѓутоа, во економската теорија, тие традиционално користат главно изоквантни криви, кои се добиваат од скршените линии кога се зголемува бројот на технологии и соодветно се зголемуваат точките на прекин.

Најшироко користени се формите на мултипликативна моќ за претставување на производните функции. Нивната особеност е како што следува: ако еден од факторите е еднаков на нула, тогаш резултатот станува нула. Лесно е да се види дека ова реално го одразува фактот дека во повеќето случаи сите анализирани примарни ресурси се вклучени во производството и без ниту еден од нив, производството е невозможно. Во својата најопшта форма (наречена канонска), оваа функција е напишана на следниов начин:

Овде, коефициентот А пред знакот за множење ја зема предвид димензијата, зависи од избраната мерна единица на влезови и излезни. Факторите од првиот до n-тиот може да имаат различна содржина во зависност од тоа кои фактори влијаат на вкупниот резултат (излез). На пример, во PF, кој се користи за проучување на економијата во целина, можно е да се земе обемот на финалниот производ како ефективен индикатор, а фактори се бројот на вработено население x1, збирот на фиксни и обртни средства x2, површина на искористено земјиште x3. Во функцијата Коб-Даглас има само два фактори, со чија помош се направи обид да се процени односот на факторите како трудот и капиталот со растот на националниот доход на САД во 20-30-тите години. XX век:

N = A Lb Kv,

каде N е национален доход; L и K се волумените на применет труд и капитал, соодветно (за повеќе детали, видете ја функцијата Коб-Даглас).

Коефициентите на моќноста (параметрите) на функцијата за производство на мултипликативна моќност го покажуваат учеството во процентуалното зголемување на финалниот производ што го придонесува секој од факторите (или за колку проценти производот ќе се зголеми ако трошоците за соодветниот ресурс се зголемат за еден проценти); тие се коефициенти на еластичност на производството во однос на трошоците на соодветниот ресурс. Ако збирот на коефициентите е 1, тоа значи дека функцијата е хомогена: таа се зголемува пропорционално со зголемувањето на бројот на ресурси. Но, можни се и случаи кога збирот на параметрите е поголем или помал од еден; ова покажува дека зголемувањето на инпутите доведува до несразмерно поголемо или несразмерно помало зголемување на аутпутот - економии на обем.

Во динамичната верзија се користат различни форми на производната функција. На пример, во случајот со 2 фактори: Y(t) = A(t) Lb(t) Kв(t), каде што факторот A(t) обично се зголемува со текот на времето, како одраз на општото зголемување на ефикасноста на производните фактори прекувремено.

Со земање логаритам и потоа диференцирање на одредената функција во однос на t, може да се добие врската помеѓу стапката на раст на финалниот производ (национален доход) и растот на производните фактори (стапката на раст на променливите овде обично се опишува како процент).

Понатамошната „динамизација“ на PF може да вклучи употреба на променливи коефициенти на еластичност.

Односите опишани од PF се од статистичка природа, односно, тие се појавуваат само во просек, во голема маса на набљудувања, бидејќи во реалноста врз производниот резултат влијаат не само анализираните фактори, туку и многу неоткриени. Дополнително, применетите показатели и за трошоците и за резултатите се неизбежно производи на сложена агрегација (на пример, генерализираниот показател за трошоците за работна сила во макроекономска функција ги вклучува трошоците за работна сила со различна продуктивност, интензитет, квалификации итн.).

Посебен проблем е земањето предвид на факторот технички напредок во макроекономските ПФ (за повеќе детали, видете ја статијата „Научен и технолошки напредок“). Со помош на PF, исто така се проучува еквивалентната заменливост на производните фактори (види Еластичност на замена на ресурсите), која може да биде или константна или променлива (т.е. зависи од обемот на ресурсите). Според тоа, функциите се поделени на два вида: со постојана еластичност на супституција (CES - Константна еластичност на супституција) и со променлива (VES - Променлива еластичност на супституција) (види подолу).

Во пракса, се користат три главни методи за одредување на параметрите на макроекономските ПФ: врз основа на обработка на временски серии, врз основа на податоци за структурните елементи на агрегатите и за распределбата на националниот доход. Последниот метод се нарекува дистрибутивен.

Кога се конструира производна функција, неопходно е да се ослободиме од појавите на мултиколинеарност на параметрите и автокорелација - во спротивно, грубите грешки се неизбежни.

Еве неколку важни производни функции.

Линеарна производна функција:

P = a1x1 + ... + anxn,

каде што a1, ..., an се проценетите параметри на моделот: овде факторите на производство се заменливи во какви било пропорции.

CES функција:

P = A [(1 - б) K-b + bL-b]-c/b,

во овој случај, еластичноста на замена на ресурсите не зависи ниту од K ниту од L и затоа е константна:

Оттука доаѓа името на функцијата.

Функцијата CES, како и функцијата Коб-Даглас, се заснова на претпоставката за постојано намалување на маргиналната стапка на замена на искористените ресурси. Во меѓувреме, еластичноста на замена на капиталот за труд и, обратно, трудот за капиталот во функцијата Коб-Даглас, еднаква на еден, овде може да заземе различни вредности кои не се еднакви на една, иако е константна. Конечно, за разлика од функцијата Коб-Даглас, земањето на логаритам на функцијата CES не ја води до линеарна форма, што ја принудува употребата на посложени методи на нелинеарна регресивна анализа за проценка на параметрите.

Производната функција е секогаш специфична, т.е. наменети за оваа технологија. Нова технологија - нова продуктивна функција. Со користење на функцијата за производство, се одредува минималната количина на влез потребна за производство на даден волумен на производ.

Производните функции, без оглед на тоа каков вид на производство изразуваат, ги имаат следните општи својства:

• 1) Зголемувањето на обемот на производството поради зголемување на трошоците за само еден ресурс има ограничување (не можете да ангажирате многу работници во една просторија - нема секој да има простор).
• 2) Факторите на производство можат да бидат комплементарни (работници и алатки) и заменливи (производна автоматизација).

Во својата најопшта форма, производната функција изгледа вака:

каде е волуменот на излезот;

К- капитал (опрема);

М - суровини, материјали;

Т - технологија;

N - претприемачки способности.

Наједноставен е моделот на производна функција со два фактори Коб-Даглас, кој ја открива врската помеѓу трудот (L) и капиталот (К).

Овие фактори се заменливи и комплементарни. Во далечната 1928 година, американските научници - економистот П. Даглас и математичарот Ц. Оваа функција изгледа вака:

каде што А е коефициентот на производство, покажувајќи ја пропорционалноста на сите функции и промени кога се менува основната технологија (по 30-40 години);

К, Л - капитал и труд;

б, в - коефициенти на еластичност на обемот на производството во однос на капиталните и трошоците за работна сила.

Ако b = 0,25, тогаш зголемувањето на капиталните трошоци за 1% го зголемува обемот на производството за 0,25%.

Врз основа на анализата на коефициентите на еластичност во производната функција Коб-Даглас, можеме да разликуваме:

1) пропорционално зголемување на производната функција, кога

2) несразмерно - зголемување

3) се намалува

Размислете за краток период на активност на фирмата во кој трудот е променлива на двата фактори. Во таква ситуација, фирмата може да го зголеми производството користејќи повеќе работни ресурси (Слика 5).

Слика 5_ Динамика и однос помеѓу општиот просек и маргиналните производи

Слика 5 покажува график на производната функција Коб-Даглас со прикажана една променлива - кривата Trn.

Функцијата Коб-Даглас имаше долг и успешен живот без сериозни ривали, но неодамна доби силна конкуренција од новата функција на Arrow, Chenery, Minhas и Solow, која накратко ќе ја наречеме SMAC. (Браун и Де Кани, исто така, ја развија оваа карактеристика независно). Главната разлика на функцијата SMAC е во тоа што е воведена еластичноста на заменската константа y, која е различна од една (како во функцијата Коб-Даглас) и нула: како во влезно-излезниот модел.

Разновидноста на пазарни и технолошки услови кои се наоѓаат во современите економии сугерираат дека е невозможно да се задоволат основните барања за разумна агрегација, освен можеби меѓу поединечни фирми во истата индустрија или ограничени сектори на економијата.

Така, во економските и математичките модели на производство, секоја технологија може графички да биде претставена со точка, чии координати ги рефлектираат минималните потребни трошоци на ресурсите K и L за производство на даден волумен на излез. Збир од такви точки формира линија со еднаков излез, или изоквант. Односно, производната функција е графички претставена со фамилија на изокванти. Колку подалеку се наоѓа изоквантот од потеклото, толку е поголем обемот на производство што го рефлектира. За разлика од кривата на рамнодушност, секој изоквант карактеризира квантитативно определен волумен на излез. Вообичаено во микроекономијата, се анализира производната функција со два фактори, што ја одразува зависноста на аутпутот од количината на труд и капитал што се користи.

Да ги разгледаме наједноставните модели на производство и потрошувачка. Производните модели се градат со користење на производствени функции, а моделите на потрошувачка се засноваат на функцијата на целта на потрошувачката.

Производните функции и нивните карактеристики

Наједноставниот модел на производство може да се претстави како систем кој обработува различни видови ресурси во готови производи.

Ресурсите може да вклучуваат:

1. суровини;
2. трошоци за работна сила;
3. потрошувачка на енергија;
4. истражувачки ресурси;
5. технолошки ресурси;
6. транспортни ресурси итн.

Производна функцијасе нарекува однос помеѓу обемот на производството y,и трошоците за различни видови ресурси неопходни за производство на овие производи:
.
Во пракса, за да се поедностави моделот, тие често користат двофакторпроизводна функција, која вклучува два вида ресурси:
1. материјал, вклучувајќи ги трошоците за суровини, енергија, транспорт и други ресурси;
2. трудови ресурси.
Производната функција мора да задоволува голем број на барања :
1. Без трошење ресурси нема ослободување: ѓ(0,0)=0.
2. Со зголемување на трошоците на некој од ресурсите се зголемува аутпутот, т.е. производната функција мора да се зголемува за кој било од факторите.
3. Закон за намалување на ефикасноста: со истите апсолутни зголемувања на трошоците на кој било од ресурсите Δ Xзголемување на обемот на производство Δ наколку помалку, толку е поголем излезот. Со други зборови, производната функција мора да биде конвексна во секој аргумент.
Знаејќи ја производната функција, можеме да ја пресметаме серијата нумерички карактеристики . Ајде да ги погледнеме главните.
1. Просечни перформанси
, ,
кои имаат значење на просечен аутпут врз основа на единечните трошоци на даден ресурс.
Ако - материјални трошоци, и - трошоци за работна сила, тогаш А 1 се нарекува враќање на капиталотА А 2 - повикан продуктивноста на трудот.
2. Маргинална или маргинална продуктивност За секој ресурс се нарекуваат следните количини:
, .
Овие вредности покажуваат приближно колку единици ќе се променат ако трошоците за одреден ресурс се променат за една единица: .
3. Приватен еластичност За секој ресурс се нарекуваат следните количини:

Еластичностите приближно покажуваат со колкав процент ќе се промени ако трошоците за одреден ресурс се променат за еден процент: .
Вредноста се нарекува вкупна еластичност или еластичноста на производството.
4. Стандард за технолошка замена е величина која приближно покажува како ќе се промени излезот ако единица од еден ресурс се замени со единица на друг.
ПРИМЕР.Производната функција има форма . Најдете ја просечната и маргиналната продуктивност, еластичност и стапка на технолошка замена.
Решение.
Просечната продуктивност е:

Маргиналната продуктивност е еднаква на:

Еластичностите се еднакви на:

Постои технолошки стандард за замена
.

Линеарни и Коб-Даглас производствени функции

Во пракса, при моделирање на реалното производство, најчесто се користат два вида производствени функции: линеарни и Коб-Даглас.
Линеарна производна функција има форма:
.
Се гради во случаи кога обемот на аутпут е пропорционален на трошоците. Сепак, оваа функција не задоволува првиот и третиот барања за производните функции, така што може да се користи за приближување на реалните функции во мали локални области на промени во нивните аргументи (види слика). За да се исполни второто барање, мора да се исполнат условите.
Функција за производство на Коб-Даглас има форма:
.
За да се исполнат сите барања за производствени функции, мора да се исполнат следниве услови:
Да ја најдеме просечната и маргиналната продуктивност, еластичност и технолошка стапка на замена за линеарните и Коб-Даглас производствените функции.
За линеарна функција ќе:



Така, коефициентите А 1 и А 2 линеарни производствени функции имаат значење на маргинална продуктивност и може да се пресметаат со помош на формулите:
. (6.1)
Производната функција на Коб-Даглас би била:




Така, коефициентите А 1 и А 2 производни функции Коб-Даглас имаат значење на делумна еластичност и може да се пресметаат со помош на формулите:
(6.2)
Пример.Одредено претпријатие, трошејќи 65 единици материјални трошоци и 17 работна сила за производство, произведе 120 единици производ. Како резултат на проширувањето и зголемувањето на трошоците за материјали до 68 единици, производството се зголеми на 124 единици, а со зголемувањето на трошоците за работна сила на 19 единици, производството се зголеми на 127 единици. Конструирајте ја линеарната производна функција и функцијата Коб-Даглас.
Решение.

Линеарна функција . За да најдете параметри А 1 и А 2 ја користиме формулата (8.1):

Добиваме . Да најде б реши ја равенката за б, добиваме . Како резултат на тоа, добиваме линеарна производна функција .
Производната функција на Коб-Даглас има форма . Користејќи ја формулата (8.2) ги наоѓаме коефициентите на равенката:
.
Добиваме равенка на формата. Да најде бПрвичните податоци од втората колона од табелата ги заменуваме во равенката: . Пресметувајќи, добиваме . Како резултат на тоа, производната функција изгледа вака:

Целна функција на потрошувачката

Во услови на пазарен систем за управување со производните и продажните активности на претпријатијата и фирмите, основата за донесување деловни одлуки се пазарните информации, а валидноста на одлуките ја проверува пазарот при продажба на стоки и услуги. Со овој пристап, почетна точка на целиот циклус на претприемничка активност е проучувањето на побарувачката на потрошувачите. Ајде да разгледаме некои прашања за моделирање на побарувачката и потрошувачката.
Размислете за потрошувач кој, како резултат на неговото постоење, троши некоја стока. Нивото на задоволување на потребите на потрошувачите ќе се означи со У. Да претпоставиме дека има nвидови на стоки B 1, B 2,…, B n. Придобивките може да вклучуваат:
- прехранбени производи;
- основните добра;
- основните добра;
- луксуз;
- платени услуги итн.
Нека количината на потрошувачка на секое добро е еднаква X 1 , X 2 ,…, xn. Функција за целна потрошувачкасе нарекува однос помеѓу степенот (нивото) на задоволување на потребите Уи количината на потрошена стока: X 1 , X 2 ,…,x n. Оваа функција изгледа вака: .
Во просторот на стоките за широка потрошувачка, секоја равенка одговара на одредена површина на еквивалентни, или рамнодушни, множества на стоки, што се нарекува површина на рамнодушност. Хиперповршината на таквата крива, наречена повеќедимензионална индиферентна површина, може да се претстави како: , Каде СО- постојана. За јасност, да го разгледаме просторот на две стоки, на пример, во форма на две збирни групи на стоки: прехранбени производи Б 1 и непрехранбени производи, вклучувајќи платени услуги Б 2. Потоа, нивоата на функцијата на целта на потрошувачката може да се прикажат на рамнината во форма на криви на рамнодушност што одговараат на различни вредности на константата СО. За да го направите ова, изразете ја количината на потрошувачка на едно добро X 1 преку друг X 2. Ајде да погледнеме на пример.
Пример. . Најдете криви на рамнодушност.
Решение.Облините на рамнодушноста изгледаат како , или или (треба да се забележи дека треба да се изврши).
Секој потрошувач се стреми да го максимизира нивото на задоволување на потребите, т.е. Сепак, максимизирањето на степенот на задоволување на потребите ќе биде попречено од можностите на потрошувачот. Дозволете ни да ја означиме цената по единица на секое добро со Р 1 , Р 2 ,…, р n, и приходот на потрошувачите преку Д. Тогаш тоа треба да се направи буџетско ограничување , што го има значењето на законот, според кој трошоците на потрошувачите не треба да го надминуваат износот на приходот:
.
Како резултат на тоа, за да се најде оптималниот сет на стоки, неопходно е да се реши оптималниот програмски проблем:
(6.3)
Размислете за функцијата за потрошувачка со два фактори, каде X 1 – обем на потрошувачка на храна и X 2. – потрошувачка на непрехранбени стоки и платени услуги. Дополнително, да претпоставиме дека потрошувачот го користи целиот свој приход за да ги задоволи своите потреби. Во овој случај, буџетското ограничување ќе содржи само два поими и нееднаквоста ќе се претвори во еднаквост. Оптималниот програмски проблем тогаш добива форма:
(6.4)
Геометриски, оптималното решение го има значењето на тангентната точка на кривата на рамнодушност на линијата што одговара на буџетското ограничување.
Од буџетското ограничување на системот (8.4), можеме да ја изразиме променливата . Заменувајќи го овој израз во функцијата цел, добиваме функција од една променлива , чиј максимум може да се најде од равенката со изедначување на изводот на нула: .
Пример.Целната функција за потрошувачка има форма: . Цената за доброто Б 1 е 20, цената за доброто Б 2 е 50. Приходот на потрошувачот е 1800 единици. Најдете криви на рамнодушност, оптимален сет на стоки за широка потрошувачка, функција на побарувачка за првото добро по цена, функција на побарувачка за првото добро по приход.
Решение.Кривите на рамнодушност изгледаат вака:
.
Добиваме множество хиперболи лоцирани во првиот координатен квадрант и лоцирани на различни растојанија од потеклото на координатите во зависност од вредноста на константата СО.
Го наоѓаме оптималниот сет на стоки. Оптималниот програмски проблем има форма:

За да го решиме, го изразуваме нивното буџетско ограничување една променлива преку друга:


Добиваме.
Така, оптималниот сет на стоки е 30,5 и 23,8 единици. Сега ја наоѓаме функцијата на побарувачка за првото добро врз основа на неговата цена. За да го направите ова, во буџетското ограничување, наместо фиксна вредност, ја воведуваме цената на првото добро, добивајќи ја равенката: . Изразуваме . Заменете во целната функција:

Го наоѓаме изводот и го изедначуваме на нула:

или , од каде ја наоѓаме функцијата на побарувачка за првото добро по цена: .
Сега ја наоѓаме функцијата на побарувачка за првото добро во однос на приходот. За да го направите ова, ние изразуваме една променлива од буџетското ограничување во однос на друга: . Заменете во целната функција:

Го наоѓаме изводот и го изедначуваме на нула:

Оттука ја наоѓаме функцијата на побарувачка за првото добро по приход:
.