Употребата на равенки е широко распространета во нашите животи. Тие се користат во многу пресметки, изградба на структури, па дури и спорт. Човекот користел равенки во античко време, и оттогаш нивната употреба само се зголемува. Систем од три равенки со три непознати нема решение во сите случаи, и покрај голем број наравенки. Обично, од ваков видсистемите се решаваат со помош на методот на замена или методот на Крамер. Вториот метод овозможува во првите фази да се утврди дали системот има решение.
Да речеме дека ни е даден следниов систем од три равенки со три непознати:
\[\лево\(\почеток(матрица) x_1+x_2+2x_3=6\\ 2x_1+3x_2+7x_3=16\\ 5x_1+2x_2+x_3=16& \end(матрица)\десно.\]
Можете да го решите овој нехомоген систем на линеарни алгебарски равенки Ax = B користејќи го методот Крамер:
\[\Delta _A\begin(vmatrix) 1 & 1 & -2\\ 2 & 3 & -7\\ 5 & 2 & 1 \end(vmatrix)=2\]
Детерминантата на системот \ не е еднаква на нула. Ќе најдеме помошни квалификатори\ ако не се еднакви на нула, тогаш нема решенија, ако се еднакви, тогаш има бесконечен број решенија
\[\Delta _1\begin(vmatrix) 6 & 1 & -2\\ 16 & 3 & -7\\ 16 & 2 & 1 \end(vmatrix)=6\]
\[\Delta _2\begin(vmatrix) 1 & 6 & -2\\ 2 & 16 & -7\\ 5 & 16 & 1 \end(vmatrix)=2\]
\[\Делта _3\почеток(vmatrix) 1 и 1 и 6\\ 2 и 3 и 16\\ 5 и 2 и 16 \end(vmatrix)=-2\]
Систем 3 линеарни равенкисо 3 непознати, чија детерминанта не е нула, секогаш е конзистентна и има единствено решение, пресметано со формулите:
Одговор: добив решение
\[\лево\(\почеток(матрица) X_1=3\\ X_2=1\\ X_3=-1\\ \крај (матрица)\десно.\]
Каде можам да решам систем на равенки со три непознати онлајн?
Равенката можете да ја решите на нашата веб-страница https://site. Бесплатниот онлајн решавач ќе ви овозможи да решавате онлајн равенки од секаква сложеност за неколку секунди. Сè што треба да направите е едноставно да ги внесете вашите податоци во решавачот. Можете исто така да гледате видео инструкции и да научите како да ја решите равенката на нашата веб-страница. И ако сè уште имате прашања, можете да ги поставите во нашата група VKontakte http://vk.com/pocketteacher. Придружете се на нашата група, ние секогаш сме среќни да ви помогнеме.
Содржина на лекцијатаЛинеарни равенки во две променливи
Ученик има 200 рубли за ручек на училиште. Колачот чини 25 рубли, а шолја кафе чини 10 рубли. Колку колачи и шолји кафе можете да купите за 200 рубли?
Дозволете ни да го означиме бројот на колачи со x, и бројот на шолји кафе преку y. Тогаш цената на колачите ќе биде означена со изразот 25 x, а цената на шолјите кафе во 10 y .
25x-цена xколачи
10y -цена yшолји кафе
Вкупниот износ треба да биде 200 рубли. Потоа добиваме равенка со две променливи xИ y
25x+ 10y= 200
Колку корени има? дадена равенка?
Сè зависи од апетитот на ученикот. Ако купи 6 колачи и 5 шолји кафе, тогаш корените на равенката ќе бидат броевите 6 и 5.
Парот на вредности 6 и 5 се вели дека се корените на равенката 25 x+ 10y= 200 . Напишано како (6; 5), при што првиот број е вредноста на променливата x, а втората - вредноста на променливата y .
6 и 5 не се единствените корени што ја менуваат равенката 25 x+ 10y= 200 до идентитетот. Ако сакате, за истите 200 рубли студентот може да купи 4 колачи и 10 шолји кафе:
Во овој случај, корените на равенката 25 x+ 10y= 200 е пар вредности (4; 10).
Згора на тоа, ученик може воопшто да не купува кафе, туку да купи колачи за цели 200 рубли. Потоа корените на равенката 25 x+ 10y= 200 ќе бидат вредностите 8 и 0
Или обратно, не купувајте колачи, туку купувајте кафе за сите 200 рубли. Потоа корените на равенката 25 x+ 10y= 200 вредностите ќе бидат 0 и 20
Ајде да се обидеме да ги наведеме сите можни корени на равенката 25 x+ 10y= 200 . Да се согласиме дека вредностите xИ yприпаѓаат на множеството цели броеви. И нека овие вредности се поголеми или еднакви на нула:
x∈Z, y∈ Z;
x ≥ 0, y ≥ 0
Ова ќе биде погодно за самиот ученик. Попогодно е да се купат цели колачи отколку, на пример, неколку цели колачи и половина торта. Исто така, попогодно е да се пие кафе во цели шолји отколку, на пример, неколку цели шолји и половина шолја.
Забележете дека за непарни xпод никакви околности е невозможно да се постигне еднаквост y. Потоа вредностите xќе следните броеви 0, 2, 4, 6, 8. И знаејќи xможе лесно да се одреди y
Така, ги добивме следните парови на вредности (0; 20), (2; 15), (4; 10), (6; 5), (8; 0). Овие парови се решенија или корени на равенката 25 x+ 10y= 200. Тие ја претвораат оваа равенка во идентитет.
Равенка на формата секира + од = вповикани линеарна равенка со две променливи. Решението или корените на оваа равенка се пар вредности ( x; y), што го претвора во идентитет.
Забележете исто така дека ако линеарна равенка со две променливи е напишана во форма секира + b y = c,тогаш велат дека е напишано во канонски(нормална) форма.
Некои линеарни равенки во две променливи може да се сведат на канонска форма.
На пример, равенката 2(16x+ 3y − 4) = 2(12 + 8x − y) може да се донесе на ум секира + од = в. Ајде да ги отвориме заградите од двете страни на оваа равенка и да добиеме 32x + 6y − 8 = 24 + 16x − 2y . Ги групираме поимите што содржат непознати на левата страна од равенката, а термините без непознати - на десната. Потоа добиваме 32x− 16x+ 6y+ 2y = 24 + 8 . Прикажуваме слични поими од двете страни, ја добиваме равенката 16 x+ 8y= 32. Оваа равенка се сведува на формата секира + од = ви е канонски.
Равенката 25 дискутирана претходно x+ 10y= 200 е исто така линеарна равенка со две променливи во канонска форма. Во оваа равенка параметрите а , бИ все еднакви на вредностите 25, 10 и 200, соодветно.
Всушност равенката секира + од = вима безброј решенија. Решавање на равенката 25x+ 10y= 200, ги баравме неговите корени само на множеството цели броеви. Како резултат на тоа, добивме неколку пара вредности кои ја претворија оваа равенка во идентитет. Но, на многумина рационални броевиравенка 25 x+ 10y= 200 ќе има бесконечно многу решенија.
За да добиете нови парови на вредности, треба да земете произволна вредност за x, потоа изрази y. На пример, да ја земеме променливата xвредност 7. Тогаш добиваме равенка со една променлива 25×7 + 10y= 200 во која може да се изрази y
Нека x= 15. Потоа равенката 25x+ 10y= 200 станува 25 × 15 + 10y= 200. Од тука го откриваме тоа y = −17,5
Нека x= −3. Потоа равенката 25x+ 10y= 200 станува 25 × (−3) + 10y= 200. Од тука го откриваме тоа y = −27,5
Систем од две линеарни равенки со две променливи
За равенката секира + од = вможете да земате произволни вредности онолку пати колку што сакате xи најдете вредности за y. Земено посебно, ваквата равенка ќе има безброј решенија.
Но, се случува и променливите xИ yсе поврзани не со една, туку со две равенки. Во овој случај тие формираат т.н систем на линеарни равенки во две променливи. Таквиот систем на равенки може да има еден пар вредности (или со други зборови: „едно решение“).
Може да се случи и системот да нема никакви решенија. Систем од линеарни равенки може да има безброј решенија во ретки и исклучителни случаи.
Две линеарни равенки формираат систем кога вредностите xИ yвнесете во секоја од овие равенки.
Да се вратиме на првата равенка 25 x+ 10y= 200 . Еден од паровите вредности за оваа равенка беше парот (6; 5). Ова е случај кога за 200 рубли можете да купите 6 колачи и 5 шолји кафе.
Да ја формулираме задачата така што парот (6; 5) ќе стане единствено решение за равенката 25 x+ 10y= 200 . За да го направите ова, ајде да создадеме друга равенка што ќе го поврзе истото xколачи и yшолји кафе.
Да го искажеме текстот на проблемот на следниов начин:
„Студентот купи неколку колачи и неколку шолји кафе за 200 рубли. Колачот чини 25 рубли, а шолја кафе чини 10 рубли. Колку колачи и шолји кафе купил ученикот ако се знае дека бројот на колачи по единица поголема количинашолји кафе?
Веќе ја имаме првата равенка. Ова е равенката 25 x+ 10y= 200 . Сега да создадеме равенка за условот „Бројот на колачи е една единица поголем од бројот на шолји кафе“ .
Бројот на колачи е x, а бројот на шолји кафе е y. Можете да ја напишете оваа фраза користејќи ја равенката x−y= 1. Оваа равенка ќе значи дека разликата помеѓу колачите и кафето е 1.
x = y+ 1 . Оваа равенка значи дека бројот на колачи е еден повеќе од бројот на шолји кафе. Затоа, за да се добие еднаквост, една се додава на бројот на шолји кафе. Ова може лесно да се разбере ако го користиме моделот на скали што го разгледавме кога ги проучувавме наједноставните проблеми:
Добивме две равенки: 25 x+ 10y= 200 и x = y+ 1. Бидејќи вредностите xИ y, имено 6 и 5 се вклучени во секоја од овие равенки, потоа заедно формираат систем. Ајде да го запишеме овој систем. Ако равенките формираат систем, тогаш тие се врамени со знакот на системот. Симболот на системот е кадрава заграда:
Ајде да одлучиме овој систем. Ова ќе ни овозможи да видиме како доаѓаме до вредностите 6 и 5. Постојат многу методи за решавање на такви системи. Ајде да ги погледнеме најпопуларните од нив.
Метод на замена
Името на овој метод зборува сам за себе. Нејзината суштина е да се замени една равенка во друга, откако претходно изрази една од променливите.
Во нашиот систем ништо не треба да се изразува. Во втората равенка x = y+ 1 променлива xвеќе изразена. Оваа променлива е еднаква на изразот y+ 1 . Потоа можете да го замените овој израз во првата равенка наместо променливата x
По замена на изразот yНаместо тоа, + 1 во првата равенка x, ја добиваме равенката 25(y+ 1) + 10y= 200 . Ова е линеарна равенка со една променлива. Оваа равенка е прилично лесно да се реши:
Ја најдовме вредноста на променливата y. Сега да ја замениме оваа вредност во една од равенките и да ја најдеме вредноста x. За ова е погодно да се користи втората равенка x = y+ 1 . Ајде да ја замениме вредноста во неа y
Ова значи дека парот (6; 5) е решение на системот на равенки, како што сакавме. Проверуваме и се уверуваме дека парот (6; 5) го задоволува системот:
Пример 2
Да ја замениме првата равенка x= 2 + yво втората равенка 3 x− 2y= 9. Во првата равенка променливата xеднакво на изразот 2 + y. Ајде да го замениме овој израз во втората равенка наместо x
Сега да ја најдеме вредноста x. За да го направите ова, ајде да ја замениме вредноста yво првата равенка x= 2 + y
Ова значи дека решението за системот е вредноста на парот (5; 3)
Пример 3. Решете го следниов систем на равенки користејќи го методот на замена:
Овде, за разлика од претходните примери, една од променливите не е експлицитно изразена.
За да замените една равенка со друга, прво ви треба .
Препорачливо е да се изрази променливата која има коефициент еден. Променливата има коефициент еден x, која е содржана во првата равенка x+ 2y= 11. Да ја изразиме оваа променлива.
По изразот на променливата x, нашиот систем ќе ја има следната форма:
Сега да ја замениме првата равенка во втората и да ја најдеме вредноста y
Ајде да замениме y x
Ова значи дека решението на системот е пар вредности (3; 4)
Се разбира, можете да изразите и променлива y. Корените нема да се променат. Но, ако изразите y,Резултатот не е многу едноставна равенка, за која ќе биде потребно повеќе време да се реши. Ќе изгледа вака:
Тоа го гледаме во во овој примерда се изразат xмногу поудобно отколку да се изразува y .
Пример 4. Решете го следниов систем на равенки користејќи го методот на замена:
Да се изразиме во првата равенка x. Тогаш системот ќе ја добие формата:
y
Ајде да замениме yво првата равенка и пронајдете x. Можете да ја користите оригиналната равенка 7 x+ 9y= 8, или користете ја равенката во која е изразена променливата x. Ќе ја користиме оваа равенка затоа што е погодно:
Ова значи дека решението на системот е пар вредности (5; -3)
Метод на додавање
Методот на собирање се состои од собирање на равенките вклучени во системот член по член. Ова собирање резултира со нова равенка со една променлива. И решавањето на таква равенка е прилично едноставно.
Да го решиме следниов систем на равенки:
Да ја додадеме левата страна од првата равенка со левата страна од втората равенка. И десната страна од првата равенка со десната страна од втората равенка. Ја добиваме следната еднаквост:
Ајде да погледнеме слични термини:
Како резултат на тоа, ја добивме наједноставната равенка 3 x= 27 чиј корен е 9. Знаејќи ја вредноста xможете да ја најдете вредноста y. Ајде да ја замениме вредноста xво втората равенка x−y= 3. Добиваме 9 − y= 3. Од тука y= 6 .
Ова значи дека решението на системот е пар вредности (9; 6)
Пример 2
Да ја додадеме левата страна од првата равенка со левата страна од втората равенка. И десната страна од првата равенка со десната страна од втората равенка. Во добиената еднаквост прикажуваме слични термини:
Како резултат на тоа, ја добивме наједноставната равенка 5 x= 20, чиј корен е 4. Знаејќи ја вредноста xможете да ја најдете вредноста y. Ајде да ја замениме вредноста xво првата равенка 2 x+y= 11. Ајде да добиеме 8+ y= 11. Од тука y= 3 .
Ова значи дека решението на системот е пар вредности (4;3)
Процесот на додавање не е детално опишан. Тоа мора да се направи ментално. Кога се собираат, двете равенки мора да се сведат на канонска форма. Тоа е, патем ac + од = в .
Од разгледаните примери, јасно е дека главната цел на додавање равенки е да се ослободиме од една од променливите. Но, не е секогаш можно веднаш да се реши систем на равенки користејќи го методот на собирање. Најчесто, системот прво се доведува до форма во која може да се додадат равенките вклучени во овој систем.
На пример, системот 
може да се реши веднаш со додавање. При собирање на двете равенки, поимите yИ −yќе исчезнат бидејќи нивниот збир е нула. Како резултат на тоа, се формира наједноставната равенка 11 x= 22, чиј корен е 2. Тогаш ќе може да се одреди yеднакво на 5.
И системот на равенки 
Методот на додавање не може да се реши веднаш, бидејќи тоа нема да доведе до исчезнување на една од променливите. Собирањето ќе резултира во равенката 8 x+ y= 28, кој има бесконечен број решенија.
Ако двете страни на равенката се помножат или поделат со ист број, не еднаков на нула, се добива равенка еквивалентна на дадената. Ова правило важи и за систем на линеарни равенки со две променливи. Една од равенките (или двете равенки) може да се помножи со кој било број. Резултатот ќе биде еквивалентен систем, чии корени ќе се совпаднат со претходниот.
Да се вратиме на првиот систем, кој опишуваше колку колачи и шолји кафе купил еден ученик. Решението за овој систем беше пар вредности (6; 5).
Ајде да ги помножиме двете равенки вклучени во овој систем со некои броеви. Да речеме дека ја помножиме првата равенка со 2, а втората со 3
Како резултат, добивме систем 
Решението за овој систем сè уште е парот на вредности (6; 5)
Ова значи дека равенките вклучени во системот може да се сведат на форма погодна за примена на методот на собирање.
Да се вратиме на системот , што не можевме да го решиме со методот на собирање.
Помножете ја првата равенка со 6, а втората со −2
Потоа го добиваме следниот систем:
Ајде да ги собереме равенките вклучени во овој систем. Додавање компоненти 12 xи −12 xќе резултира со 0, додавање 18 yи 4 yќе даде 22 y, и со собирање 108 и −20 се добива 88. Тогаш се добива равенката 22 y= 88, од тука y = 4 .
Ако на почетокот ви е тешко да додадете равенки во вашата глава, тогаш можете да запишете како се собира лева странаод првата равенка со левата страна на втората равенка, а десната страна од првата равенка со десната страна од втората равенка:
Знаејќи дека вредноста на променливата yе еднакво на 4, можете да ја најдете вредноста x. Ајде да замениме yво една од равенките, на пример во првата равенка 2 x+ 3y= 18. Потоа добиваме равенка со една променлива 2 x+ 12 = 18. Ајде да поместиме 12 на десната страна, менувајќи го знакот, добиваме 2 x= 6, од тука x = 3 .
Пример 4. Решете го следниов систем на равенки користејќи го методот на собирање:
Ајде да ја помножиме втората равенка со −1. Тогаш системот ќе ја има следната форма:
Да ги додадеме двете равенки. Додавање компоненти xИ −xќе резултира со 0, додавање 5 yи 3 yќе даде 8 y, и со собирање на 7 и 1 се добива 8. Резултатот е равенката 8 y= 8 чиј корен е 1. Знаејќи дека вредноста yе еднакво на 1, можете да ја најдете вредноста x .
Ајде да замениме yво првата равенка, добиваме x+ 5 = 7, оттука x= 2
Пример 5. Решете го следниов систем на равенки користејќи го методот на собирање:
Пожелно е термините што ги содржат истите променливи да се наоѓаат еден под друг. Според тоа, во втората равенка членовите 5 yи −2 xАјде да ги замениме местата. Како резултат на тоа, системот ќе ја добие формата:
Ајде да ја помножиме втората равенка со 3. Тогаш системот ќе ја добие формата:
Сега да ги додадеме двете равенки. Како резултат на собирање ја добиваме равенката 8 y= 16, чиј корен е 2.
Ајде да замениме yво првата равенка, добиваме 6 x− 14 = 40. Да го преместиме поимот −14 на десната страна, менувајќи го знакот и да добиеме 6 x= 54 . Од тука x= 9.
Пример 6. Решете го следниов систем на равенки користејќи го методот на собирање:
Ајде да се ослободиме од дропките. Помножете ја првата равенка со 36, а втората со 12
Во добиениот систем 
првата равенка може да се помножи со −5, а втората со 8
Ајде да ги собереме равенките во добиениот систем. Тогаш ја добиваме наједноставната равенка −13 y= −156 . Од тука y= 12. Ајде да замениме yво првата равенка и пронајдете x
Пример 7. Решете го следниов систем на равенки користејќи го методот на собирање:
Да ги доведеме двете равенки во нормална форма. Тука е погодно да се примени правилото за пропорција во двете равенки. Ако во првата равенка десната страна е претставена како , а десната страна на втората равенка како , тогаш системот ќе ја добие формата:
Имаме пропорција. Да ги помножиме неговите екстремни и средни поими. Тогаш системот ќе ја добие формата:
Да ја помножиме првата равенка со −3, а во втората да ги отвориме заградите:
Сега да ги додадеме двете равенки. Како резултат на собирање на овие равенки, добиваме еднаквост со нула од двете страни:
Излегува дека системот има безброј решенија.
Но, не можеме само да земеме произволни вредности од небото xИ y. Можеме да наведеме една од вредностите, а другата ќе се определи во зависност од вредноста што ја одредуваме. На пример, нека x= 2. Ајде да ја замениме оваа вредност во системот:
Како резултат на решавање на една од равенките, вредноста за y, што ќе ги задоволи двете равенки:
Добиениот пар на вредности (2; −2) ќе го задоволи системот:
Ајде да најдеме уште еден пар вредности. Нека x= 4. Ајде да ја замениме оваа вредност во системот:
Со око може да се каже дека вредноста yе еднакво на нула. Потоа добиваме пар вредности (4; 0) што го задоволуваат нашиот систем:
Пример 8. Решете го следниов систем на равенки користејќи го методот на собирање:
Помножете ја првата равенка со 6, а втората со 12
Ајде да го преработиме она што остана:
Да ја помножиме првата равенка со −1. Тогаш системот ќе ја добие формата:
Сега да ги додадеме двете равенки. Како резултат на собирање, се формира равенката 6 б= 48, чиј корен е 8. Замена бво првата равенка и пронајдете а
Систем од линеарни равенки со три променливи
Линеарната равенка со три променливи вклучува три променливи со коефициенти, како и термин за пресек. Во канонска форма може да се напише на следниов начин:
секира + од + cz = г
Оваа равенка има безброј решенија. Давање две променливи различни значења, може да се најде трета вредност. Решението во овој случај е тројка од вредности ( x; y; z) што ја претвора равенката во идентитет.
Доколку променливите x, y, zмеѓусебно се поврзани со три равенки, тогаш се формира систем од три линеарни равенки со три променливи. За да решите таков систем, можете да ги користите истите методи што важат за линеарни равенки со две променливи: методот на замена и методот на собирање.
Пример 1. Решете го следниов систем на равенки користејќи го методот на замена:
Да се изразиме во третата равенка x. Тогаш системот ќе ја добие формата:
Сега ајде да ја направиме замената. Променлива xе еднаков на изразот 3 − 2y − 2z . Ајде да го замениме овој израз во првата и втората равенка:
Да ги отвориме заградите во двете равенки и да претставиме слични поими:
Стигнавме до систем на линеарни равенки со две променливи. Во овој случај, погодно е да се користи методот на додавање. Како резултат на тоа, променливата yќе исчезне и можеме да ја најдеме вредноста на променливата z
Сега да ја најдеме вредноста y. За да го направите ова, погодно е да се користи равенката − y+ z= 4. Заменете ја вредноста во неа z
Сега да ја најдеме вредноста x. За да го направите ова, погодно е да се користи равенката x= 3 − 2y − 2z . Ајде да ги замениме вредностите во него yИ z
Така, тројката на вредности (3; −2; 2) е решение за нашиот систем. Со проверка, се уверуваме дека овие вредности го задоволуваат системот:
Пример 2. Решете го системот користејќи го методот на собирање
Да ја додадеме првата равенка со втората, помножена со −2.
Ако втората равенка се помножи со −2, таа добива форма −6x+ 6y − 4z = −4 . Сега да го додадеме на првата равенка:
Тоа го гледаме како резултат елементарни трансформации, се одредува вредноста на променливата x. Тоа е еднакво на еден.
Да се вратиме на главен систем. Да ја додадеме втората равенка со третата, помножена со −1. Ако третата равенка се помножи со −1, таа добива форма −4x + 5y − 2z = −1 . Сега да го додадеме на втората равенка:
Ја добивме равенката x− 2y= −1. Ајде да ја замениме вредноста во неа xшто го најдовме претходно. Потоа можеме да ја одредиме вредноста y
Сега ги знаеме значењата xИ y. Ова ви овозможува да ја одредите вредноста z. Ајде да користиме една од равенките вклучени во системот:
Така, тројката на вредности (1; 1; 1) е решение за нашиот систем. Со проверка, се уверуваме дека овие вредности го задоволуваат системот:
Задачи за составување системи на линеарни равенки
Задачата за составување системи на равенки се решава со внесување на неколку променливи. Следно, равенките се составуваат врз основа на условите на проблемот. Од составените равенки формираат систем и го решаваат. Откако ќе го решите системот, неопходно е да се провери дали неговото решение ги задоволува условите на проблемот.
Проблем 1. Автомобил Волга излета од градот до колективната фарма. Таа се вратила по друг пат, кој бил 5 километри пократок од првиот. Севкупно, автомобилот помина 35 километри повратен пат. Колку километри е должината на секој пат?
Решение
Нека x-должина на првиот пат, y- должина на вториот. Ако автомобилот патувал 35 km кружен пат, тогаш првата равенка може да се запише како x+ y= 35. Оваа равенка го опишува збирот на должините на двата патишта.
Се вели дека автомобилот се вратил по пат кој бил 5 километри пократок од првиот. Тогаш втората равенка може да се запише како x− y= 5. Оваа равенка покажува дека разликата помеѓу должината на патот е 5 km.
Или втората равенка може да се запише како x= y+ 5. Ќе ја користиме оваа равенка.
Бидејќи променливите xИ yво двете равенки означуваат ист број, тогаш можеме да формираме систем од нив:
Ајде да го решиме овој систем користејќи некои од претходно проучуваните методи. Во овој случај, погодно е да се користи методот на замена, бидејќи во втората равенка променливата xвеќе изразена.
Заменете ја втората равенка со првата и пронајдете y
Да ја замениме пронајдената вредност yво втората равенка x= y+ 5 и ќе најдеме x
Должината на првиот пат беше означена преку променливата x. Сега го најдовме неговото значење. Променлива xе еднакво на 20. Тоа значи дека должината на првиот пат е 20 km.
И должината на вториот пат беше означена со y. Вредноста на оваа променлива е 15. Тоа значи дека должината на вториот пат е 15 km.
Ајде да провериме. Прво, да се увериме дека системот е решен правилно:
Сега да провериме дали решението (20; 15) ги задоволува условите на проблемот.
Беше кажано дека автомобилот поминал вкупно 35 километри повратен пат. Ги додаваме должините на двата патишта и се уверуваме дека решението (20; 15) го задоволува овој услов: 20 km + 15 km = 35 km
Следниот услов: автомобилот се вратил по друг пат, кој бил 5 километри пократок од првиот . Гледаме дека решението (20; 15) исто така ја задоволува оваа состојба, бидејќи 15 km е пократко од 20 km на 5 km: 20 km − 15 km = 5 km
Кога се составува систем, важно е променливите да претставуваат исти броеви во сите равенки вклучени во овој систем.
Значи нашиот систем содржи две равенки. Овие равенки за возврат содржат променливи xИ y, кои претставуваат исти бројки во двете равенки, имено должина на патишта од 20 km и 15 km.
Проблем 2. На платформата беа натоварени прагови од даб и бор, вкупно 300 прагови. Познато е дека сите дабови прагови тежеле 1 тон помалку од сите борови прагови. Определете колку дабови и борови прагови имало одделно, ако секој даб праг тежел 46 кг, а секоја борова прагови 28 кг.
Решение
Нека xдаб и yборови прагови беа натоварени на платформата. Ако имало вкупно 300 прагови, тогаш првата равенка може да се запише како x+y = 300 .
Сите дабови прагови тежеа 46 xкг, а боровите тежеле 28 yкилограм. Бидејќи дабовите прагови тежеле 1 тон помалку од боровите прагови, втората равенка може да се запише како 28y − 46x= 1000 . Оваа равенка покажува дека разликата во масата помеѓу дабови и борови прагови е 1000 kg.
Тоните беа претворени во килограми бидејќи масата на дабови и борови прагови беше измерена во килограми.
Како резултат на тоа, добиваме две равенки кои го формираат системот
Ајде да го решиме овој систем. Да се изразиме во првата равенка x. Тогаш системот ќе ја добие формата:
Заменете ја првата равенка со втората и пронајдете y
Ајде да замениме yво равенката x= 300 − yи дознајте што е тоа x
Тоа значи дека на платформата биле натоварени 100 дабови и 200 борови прагови.
Да провериме дали решението (100; 200) ги задоволува условите на проблемот. Прво, да се увериме дека системот е решен правилно:
Се зборуваше дека имало вкупно 300 спијачи. Го собираме бројот на прагови од даб и бор и се уверуваме дека решението (100; 200) го задоволува овој услов: 100 + 200 = 300.
Следниот услов: сите дабови прагови тежеа 1 тон помалку од сите борови прагови . Гледаме дека решението (100; 200) исто така ја задоволува оваа состојба, бидејќи 46 × 100 kg дабови прагови се полесни од 28 × 200 kg борови прагови: 5600 kg − 4600 kg = 1000 kg.
Проблем 3. Зедовме три парчиња легура на бакар-никел во сооднос 2: 1, 3: 1 и 5: 1 по тежина. Од нив беше споено парче со тежина од 12 кг со сооднос на содржина на бакар и никел од 4: 1. Најдете ја масата на секое оригинално парче ако масата на првото е двојно поголема од масата на второто.
Систем на линеарни равенки е збир од неколку линеарни равенки разгледани заедно.
Системот може да има кој било број равенки со кој било број на непознати.
Решението за систем на равенки е збир на вредности на непознати што ги задоволуваат сите равенки на системот, односно претворајќи ги во идентитети.
Системот што има решение се нарекува конзистентен, во спротивно, тој се нарекува неконзистентен.
За решавање на системот се користат различни методи.
Нека 
(бројот на равенките е еднаков на бројот на непознати).
Крамер метод
Размислете за решавање на систем од три линеарни равенки со три непознати:
(7)
Да се најдат непознати 
Ајде да ја примениме формулата на Крамер:
(8)
Каде 
- детерминанта на системот, чии елементи се коефициентите на непознатите:
.
добиени со замена на првата колона од детерминантата 
колона на слободни членови:
.
Исто така:
;
.
Пример 1.Решете го системот користејќи ја формулата на Крамер:
.
Решение: Да ги користиме формулите (8):
;
;
;
;
Одговор: 
.
За секој систем 
линеарни равенки со 
може да се наведат непознатите:
Матрично решение
Да го разгледаме решавањето на системот (7) од три линеарни равенки со три непознати со помош на матричен метод.
Користејќи ги правилата за множење на матрицата, овој систем на равенки може да се запише како: 
, Каде
.
Нека матрицата 
недегенериран, т.е. 
. Множење на двете страни на равенката на матрицата лево со матрицата 
, инверзна на матрицата 
, добиваме: 
.
Со оглед на тоа 
, ние имаме
(9)
Пример 2.Решете го системот користејќи го методот на матрица:
.
Решение: Да ги претставиме матриците:
- од коефициентите на непознатите;
- колона слободни членови.
Тогаш системот може да се запише како матрична равенка: 
.
Да ја користиме формулата (9). Ајде да ја најдеме инверзната матрица 
според формулата (6):
;
.
Оттука,
Добив:
.
Одговор: 
.
Метод на последователна елиминација на непознати (Метод Гаус)
Главната идеја на користениот метод е последователно да се елиминираат непознатите. Дозволете ни да го објасниме значењето на овој метод користејќи систем од три равенки со три непознати:
.
Да претпоставиме дека 
(Ако 
, потоа го менуваме редоследот на равенките, избирајќи ја како прва равенка онаа во која коефициентот на 
не е еднакво на нула).
Прв чекор: а) поделете ја равенката 
на 
; б) помножете ја добиената равенка со 
и одзема од 
; в) потоа помножете го резултатот со 
и одзема од 
. Како резултат на првиот чекор ќе го имаме системот:
,
Втор чекор: се занимаваме со равенката 
И 
точно исто како и со равенките 
.
Како резултат на тоа, оригиналниот систем се трансформира во таканаречената постапна форма:
Од трансформираниот систем, сите непознати се одредуваат последователно без тешкотии.
Коментар. Во пракса, попогодно е да се сведе на чекор по форма не самиот систем на равенки, туку матрица од коефициенти, непознати и слободни членови.
Пример 3.Решете го системот користејќи го Гаусовиот метод:
.
Преминот од една во друга матрица ќе го напишеме користејќи го знакот за еквивалентност ~.
~
~
~
~
~
.
Користејќи ја добиената матрица, го запишуваме трансформираниот систем:
.
Одговор: 
.
Забелешка: Ако системот има единствено решение, тогаш чекор системот се сведува на триаголен, односно на таков во кој последната равенка ќе содржи една непозната. Во случај на неизвесен систем, односно оној во кој бројот на непознати повеќе бројлинеарно независни равенки, нема да има триаголен систем, бидејќи последната равенка ќе содржи повеќе од една непозната (системот има бесконечен број решенија). Кога системот е неконзистентен, тогаш, откако ќе го сведете во постепена форма, ќе содржи најмалку еден 
вредноста на формата 
, односно равенка во која сите непознати имаат нула коефициенти, а десната страна е ненула (системот нема решенија). Гаусовиот метод е применлив за произволен систем на линеарни равенки (за кој било 
И 
).
Теорема за егзистенција за решение на систем од линеарни равенки
При решавање на систем од линеарни равенки со помош на Гаусовиот метод, одговорот на прашањето дали овој систем е компатибилен или неконзистентен може да се даде само на крајот од пресметките. Меѓутоа, често е важно да се реши прашањето за компатибилност или некомпатибилност на систем од равенки без да се најдат самите решенија. Одговорот на ова прашање го дава следната теорема Кронекер-Капели.
Нека се даде системот 
линеарни равенки со 
непознато:
(10)
За да може системот (10) да биде конзистентен, потребно е и доволно рангот на системската матрица
.
беше еднаков на рангот на неговата продолжена матрица
.
Покрај тоа, ако 
, тогаш системот (10) има единствено решение; ако 
, тогаш системот има бесконечен број решенија.
Размислете за хомоген систем (сите слободни членови се еднакви на нула) од линеарни равенки:
.
Овој систем е секогаш конзистентен бидејќи има нула решение.
Следната теорема дава услови под кои системот има и решенија различни од нула.
Терема. За да може хомоген систем од линиски равенки да има нула решение, потребно е и доволно неговата детерминанта 
беше еднаква на нула:
.
Така, ако 
, тогаш решението е единствено. Ако 
, тогаш има бесконечен број други решенија кои не се нула. Дозволете ни да посочиме еден од начините за наоѓање решенија за хомоген систем од три линеарни равенки со три непознати во случајот 
.
Може да се докаже дека ако 
, а првата и втората равенка се непропорционални (линеарно независни), тогаш третата равенка е последица на првите две. Решението на хомоген систем од три равенки со три непознати се сведува на решение на две равенки со три непознати. Се појавува таканаречена бесплатна непозната, на која може да се доделат произволни вредности.
Пример 4.Најдете ги сите решенија на системот:
.
Решение. Детерминанта на овој систем
.
Според тоа, системот има нула решенија. Можете да забележите дека првите две равенки, на пример, не се пропорционални, затоа, тие се линеарно независни. Третото е последица на првите две (излегува ако на првата равенка се додаде двапати од втората). Отфрлајќи го, добиваме систем од две равенки со три непознати:
.
Претпоставувајќи, на пример, 
, добиваме
.
Решавајќи систем од две линеарни равенки, изразуваме 
И 
преку 
:
. Затоа, решението на системот може да се запише како: 
, Каде 
- произволен број.
Пример 5.Најдете ги сите решенија на системот:
.
Решение. Лесно е да се види дека во овој систем постои само една независна равенка (другите две се пропорционални со неа). Систем од три равенки со три непознати е намален на една равенка со три непознати. Се појавуваат две бесплатни непознати. Наоѓање, на пример, од првата равенка 
за произволни 
И 
, добиваме решенија за овој систем. Општата форма на решението може да се напише, каде 
И 
- произволни броеви.
Прашања за самотестирање
Формулирајте го Крамеровото правило за решавање на системот 
линеарни равенки со 
непознат.
Која е суштината на матричниот метод на решавање системи?
Кој е методот на Гаус за решавање на систем од линеарни равенки?
Наведете ја теоремата Кронекер-Капели.
Формулирајте неопходен и доволен услов за постоење на ненула решенија на хомоген систем на линеарни равенки.
Примери за самостојно решавање
Најдете ги сите решенија на системите:
1.
; 2.
;
3.
; 4.
;
5.
; 6.
;
7.
; 8.
;
9.
; 10.
;
11.
; 12.
;
13.
;
14.
;
15.
.
Определи на кои вредности 
И 
систем на равенки
а) има единствено решение;
б) нема решение;
в) има бесконечно многу решенија.
16.
; 17.
;
Најдете ги сите решенија на следните хомогени системи:
18.
; 19.
;
20.
; 21.
;
22.
; 23.
;
Одговори на примери
1.
; 2.
; 3. Ǿ; 4. Ǿ;
5.
- произволен број.
6.
, Каде 
- произволен број.
7.
; 8.
; 9. Ǿ; 10. Ǿ;
11.
, Каде 
- произволен број.
12. , каде 
И 
- произволни броеви.
13.
; 14.
Каде 
И 
- произволни броеви.
15. Ǿ; 16. а) 
; б) 
; V) 
.
17. а) 
; б) 
; V) 
;
18.
; 19.
; 20., каде 
- произволен број.
21. , каде 
- произволен број.
22. , каде 
- произволен број.
23. , каде 
И 
- произволни броеви.
Линеарни равенки (равенки од прв степен) со две непознати
Дефиниција 1. Линеарна равенка (равенка од прв степен) со две непознати x и y именуваат равенка на формата
Решение . Да ја изразиме од еднаквост (2) променливата y преку променливата x:
Од формулата (3) следува дека решенијата на равенката (2) се сите парови на броеви од формата
каде x е кој било број.
Забелешка. Како што може да се види од решението на Пример 1, равенката (2) има бесконечно многу решенија. Сепак, важно е да се напомене дека не било кој пар броеви (x; y) е решение за оваа равенка. За да се добие кое било решение на равенката (2), бројот x може да се земе како кој било, а бројот y потоа може да се пресмета со формулата (3).
Системи од две линеарни равенки во две непознати
Дефиниција 3. Систем од две линеарни равенки со две непознати x и y повикуваат систем на равенки на формата
Каде а 1 , б 1 , в 1 , а 2 , б 2 , в 2 – дадени бројки.
Дефиниција 4. Во системот равенки (4) броевите а 1 , б 1 , а 2 , б 2 се нарекуваат и броеви в 1 , в 2 – слободни членови.
Дефиниција 5. Со решавање на системот равенки (4)повикајте пар броеви ( x; y) , што е решение и за едната и за другата равенка на системот (4).
Дефиниција 6. Се нарекуваат двата системи на равенки еквивалент (еквивалент), ако сите решенија од првиот систем на равенки се решенија на вториот систем, а сите решенија од вториот систем се решенија на првиот систем.
Еквивалентноста на системите на равенки е означена со симболот „“
Системите на линеарни равенки се решаваат со помош на , што ќе го илустрираме со примери.
Пример 2. Решава систем на равенки
Решение . Со цел да се реши системот (5) ја елиминира непознатата од втората равенка на системот X .
За таа цел, прво го трансформираме системот (5) во форма во која коефициентите за непозната x во првата и втората равенка на системот стануваат исти.
Ако првата равенка на системот (5) се помножи со коефициентот x во втората равенка (број 7), а втората равенка се помножи со коефициентот x во првата равенка (број 2), тогаш системот (5) ќе ја земе формата
Сега да ги извршиме следните трансформации на системот (6):
- од втората равенка ја одземаме првата равенка и втората равенка на системот ја заменуваме со добиената разлика.
Како резултат на тоа, системот (6) се трансформира во еквивалентен систем
Од втората равенка наоѓаме y= 3, и заменувајќи ја оваа вредност во првата равенка, добиваме
Одговори . (-2; 3) .
Пример 3. Најдете ги сите вредности на параметарот p за кој е системот на равенки
А) има уникатно решение;
б) има бесконечно многу решенија;
В) нема решенија.
Решение . Изразувајќи x преку y од втората равенка на системот (7) и заменувајќи го добиениот израз наместо x во првата равенка на системот (7), добиваме
Дозволете ни да ги проучуваме решенијата за системот (8) во зависност од вредностите на параметарот стр. За да го направите ова, прво разгледајте ја првата равенка на системот (8):
| y (2 - стр) (2 + стр) = 2 + стр | (9) |
Ако 
, тогаш равенката (9) има единствено решение
Така, во случај кога , систем (7) има уникатно решение
Ако стр= - 2, тогаш равенката (9) добива форма
а неговото решение е кој било број 
. Според тоа, решението за системот (7) е бесконечно множествосите парови на броеви
,
каде y е кој било број.
Ако стр= 2, тогаш равенката (9) добива форма
и нема решенија, што подразбира дека системот (7) нема решенија.
Системи од три линеарни равенки во три непознати
Дефиниција 7. Систем од три линеарни равенки со три непознати x, y и z повикуваат систем на равенки со форма
Каде а 1 , б 1 , в 1 , г 1 , а 2 , б 2 , в 2 , г 2 , а 3 , б 3 , в 3 , г 3 – дадени бројки.
Дефиниција 8. Во системот равенки (10) броевите а 1 , б 1 , в 1 , а 2 , б 2 , в 2 , а 3 , б 3 , в 3 повикани коефициенти за непознати, и бројките г 1 , г 2 , г 3 – слободни членови.
Дефиниција 9. Со решавање на системот равенки (10)именувајте три броја (x; y ; z) , при нивна замена во секоја од трите равенки на системот (10), се добива точната еднаквост.
Пример 4. Решава систем на равенки
Решение . Ќе го решиме системот (11) користејќи метод на секвенцијална елиминација на непознати.
За да го направите ова прво ја исклучуваме непознатата од втората и третата равенка на системот y со извршување на следните трансформации на системот (11):
- Првата равенка на системот ќе ја оставиме непроменета;
- на втората равенка ја додаваме првата равенка и ја заменуваме втората равенка на системот со добиениот збир;
- од третата равенка ја одземаме првата равенка и третата равенка на системот ја заменуваме со добиената разлика.
Како резултат на тоа, системот (11) се трансформира во еквивалентен систем
Сега ја елиминира непознатата од третата равенка на системот x со извршување на следните трансформации на системот (12):
- Првата и втората равенка на системот ќе ги оставиме непроменети;
- од третата равенка ја одземаме втората равенка и третата равенка на системот ја заменуваме со добиената разлика.
Како резултат на тоа, системот (12) се трансформира во еквивалентен систем
Од системот (13) постојано наоѓаме
z = - 2 ; x = 1 ; y = 2 .
Одговори . (1; 2; -2) .
Пример 5. Решава систем на равенки
Решение . Имајте на ум дека од овој систем може да се добие удобен последица, собирајќи ги сите три равенки на системот:
Се вчитува...
