стоејќие бран кој произлегува од суперпозиција (суперпозиција) на два контрапропагирани рамни бранови со иста амплитуда и поларизација. Стоечките бранови се појавуваат, на пример, кога се надредени два патувачки бранови, од кои едниот се рефлектира од интерфејсот помеѓу два медиума.
Да ја најдеме равенката на стоечкиот бран. За да го направите ова, да претпоставиме дека рамнина што патува бран = cDx, т)со амплитуда Аи фреквенција ко, пропагирање во позитивна насока на оската X,се собира на претстојниот бран?, 2 = O со иста амплитуда и фреквенција. Равенките на овие бранови ги пишуваме во тригонометриска форма на следниов начин:
каде што Cj и %2 поместувања на точките во медиумот предизвикани од бранови кои се шират во позитивни и негативни насоки на оската Осоодветно. Според принципот на суперпозиција на бранови во произволна точка во медиумот со координати Xво одреден момент од времето 1 поместувањето од ќе биде % + или % = А cos(co/ - kh) + + А cos (со т + kh).
Користејќи ја релацијата позната од тригонометријата 
, добиваме:
Во овој израз има два тригонометриски поими. Прво (cos(Atjc)) е функција само на координатата и може да се смета како амплитуда на постојан бран што варира од точка до точка, т.е.
Бидејќи амплитудата на осцилациите е значително позитивна големина, знакот на модулот е даден во последниот израз. Вториот фактор во (2.183) - (cos(k>0) зависи само од времето и го опишува хармониското осцилаторно движење на точка со фиксна координата X.Така, сите точки на медиумот вршат хармонски осцилации со различни (во зависност од координатите) амплитуди. Како што може да се види од формулата (2.184), амплитудата на стоечкиот бран во зависност од координатата Xсе менува од нула до 2А.Се нарекуваат точките во кои амплитудите на осцилацијата се максимални (24). антиноди на стоечкиот бран.Се нарекуваат точките во кои амплитудите на осцилацијата се нула јазли на стоечки бранови(Слика 2.25).
Ајде да ги најдеме координатите на јазлите на стоечкиот бран. За да го направите ова, ја запишуваме очигледната еднаквост |24cos(&x)| = 0, оттука и cos kh = 0. За да се случи последното еднаквост мора да се исполни условот
, Каде n = 0, 1, 2,.... Се заменува Досо изразување во однос на брановата должина добиваме Од тука ги наоѓаме координатите
Ориз. 2.25. Стоечките бранови „инстант фотографии“ во различни моменти во времето јас,распоредени за една четвртина период Тфлуктуации:
Лесни чаши
прикажуваат честички од медиум што осцилира во попречен стоечки бран. Стрелки со различни должини - насока и големина (должина на стрелката) на нивната брзина
Според тоа, може да се одредат координатите на антинодите на постојаниот бран. За да го направите ова, треба да земете 12 А cos (непријател) I = 24. Следи дека координатите на точките кои осцилираат со максимална амплитуда мора да го задоволуваат условот Замена До
на , добиваме израз за координатите на антинодите:
Се нарекуваат растојанијата помеѓу соседните јазли или соседните антиноди (тие се исти). должина на стоечкиот бран.Како што може да се види од изразите (2.185) и (2.186), ова растојание е еднакво на , т.е.
Антинодите и јазлите се поместуваат по оската Xрелативно едни на други за четвртина бранова должина.
На слика 2.25, Азад себе x = 0 се избира антинодната точка во П= 0 (2,186). Зад т= 0 е моментот кога осцилациите на сите точки на медиумот минуваат низ точката на рамнотежа, каде што поместувањата на сите точки % во постојан бран се еднакви на нула, графикот на бранот е права линија. Меѓутоа, во овој момент, секоја точка (освен точките лоцирани на јазли, каде што поместувањето и брзината се секогаш нула) има одредена брзина, прикажана на сликата со стрелки со различна должина и обвивка со точки. На т - Т/4(Сл. 2.25, б)поместувањата достигнуваат максимум, бранот е прикажан како континуиран синусоид, но брзината на секоја точка во медиумот ќе стане нула. Момент на време t= T/ 2 (Сл. 2.25, V)повторно одговара на преминот на рамнотежа, но брзините на сите точки се насочени во спротивна насока. И така натаму (сл. 2.25, водич,каде што се повторува случајот прикажан на сл. 2.25, а).
Ориз. 2.26. Рефлексија на бранови од интерфејсот помеѓу различни медиуми: А- повеќе густа;
6 - помалку густа
Ајде да ги споредиме патувачките и стоечките бранови. Во бран кој патува со рамнина, осцилации на сите точки на медиумот со различни координати X,се јавуваат со иста амплитуда, но фазите на осцилации се различни и се повторуваат низ Секира = Xили На - Т.Во стоечкиот бран, сите точки (од јазол до јазол) осцилираат во иста фаза, но амплитудите на нивните осцилации се различни. Точките на медиумот разделени со јазол осцилираат во антифаза. Така, стоечки брановиенергија долж насоката Xне може да издржи.
Како модел на стоечки бран, можеме да ги земеме предвид попречните вибрации на мекото јаже прикачено на едниот крај. Моделот на густа граница на овој крај на јажето (сл. 2.26, Аод десната страна) е фиксацијата на јазолот на стоечкиот бран. Моделот на подвижна (помалку густа) граница е тенок бестежински кабел што го поврзува крајот на јажето со прицврстувањето (сл. 2.26, бисто така од десната страна). Анализата на условите за рефлексија на брановите во овие два случаи покажува дека кога се рефлектира од погуста средина (види Сл. 2.26, А)бранот „губи“ половина од брановата должина, т.е. со таква рефлексија се јавува промена во фазата на осцилации на l. Рефлексијата од помалку густа средина не е придружена со промена на фазата, затоа, на интерфејсите на два медиума (на Сл. 2.26, бна спојот на ременот со чипка) секогаш ќе има антинода.
§4 Интерференција на бранови.
Принцип на суперпозиција. Концептот на кохерентност на брановите
Ако неколку бранови се шират во медиум истовремено, тогаш вибрациите на честичките на медиумот се еднакви на геометрискиот збир на вибрациите што би ги направиле честичките доколку секој од брановите се шири посебно. Следствено, брановите едноставно се наддаваат без да се вознемируваат еден со друг - принципот на суперпозиција (суперпозиција) на брановите.
Два брана се нарекуваат кохерентни ако нивната фазна разлика не зависи од времето
-
услов на кохерентност.
Изворите на кохерентни бранови се нарекуваат кохерентни извори.
бидејќи за кохерентни извори, разликата во почетната фаза, потоа амплитудата А ресво различни точки зависи од вредноста, наречена разлика на патеката. Ако
тогаш се забележува максимум.
На
се почитува минимум.
Кога брановите од кохерентни извори се надредени, се забележуваат минимум и максимум на добиената амплитуда, т.е. меѓусебно засилување во некои точки во просторот и слабеење во други, во зависност од односот помеѓу фазите на овие бранови - суштината на феноменот на пречки.
§5 Стоечки бранови
Посебен случај на пречки се стоечките бранови - бранови формирани со суперпозиција на два патувачки бранови, бранови кои се шират еден кон друг со идентични амплитуди и фреквенции.
За да се изведе равенката на стоечкиот бран, претпоставуваме: 1) брановите се шират во средина без слабеење; 2) А 1 = А 2 = А- имаат еднакви амплитуди; 3) ω 1 = ω 2 = ω - еднакви фреквенции; 4) φ 10 = φ 20 = 0.
Равенката за патувачки бран што се шири по позитивната насока на оската x (т.е. равенката за инцидентен бран):
(1)
Равенката за патувачки бран што се шири во негативна насока на оската x (т.е. равенката за рефлектираниот бран):
(2)
Додавајќи ги (1) и (2) ја добиваме равенката на постојан бран:
Посебна карактеристика на стоечкиот бран е тоа што амплитудата зависи од координатата X. Кога се движите од една до друга точка, амплитудата се менува според законот:
Амплитуда на стоечки бран.
Оние точки на медиумот во кои амплитудата на стоечкиот бран е максимална и еднаква на 2 А, се нарекуваат антиноди. Координатите на антинодите може да се најдат од условот дека
од тука
Растојанието помеѓу два соседни антиноди е.
Точките во кои амплитудата на стоечкиот бран е минимална и еднаква на 0 се нарекуваат јазли. Координатите на јазлите може да се најдат од условот
од тука
Растојанието помеѓу два соседни јазли е.
За разлика од патувачкиот бран, чии сите точки осцилираат со иста амплитуда, но со различни фази во зависност од координатата Xточки (
), точката на стоечкиот бран помеѓу два јазли осцилира со различни амплитуди, но со исти фази (
). При минување низ јазол, мултипликаторотго менува својот знак, па фазата на осцилации на спротивните страни на јазолот се разликува за π, т.е. точките што лежат на спротивните страни на јазолот осцилираат во антифаза.
Стоечкиот бран произлегува од мешањето на инцидентите и рефлектираните бранови. На природата на рефлексијата влијае интерфејсот помеѓу двата медиума од кои се јавува рефлексијата. Ако бранот се рефлектира од помалку густа средина (сл. а), тогаш фазата на бранот на интерфејсот не се менува и ќе има антинода на интерфејсот помеѓу двата медиума. Ако бранот се рефлектира од погуста средина, тогаш неговата фаза се менува во спротивното, т.е. рефлексијата од погуста средина се јавува со губење на половина од брановата должина (λ/2). Патувачкиот бран ја пренесува енергијата на вибрационото движење во насока на ширење на бранот. Стоечкиот бран не пренесува енергија, затоа што инцидентите и рефлектираните бранови со иста амплитуда носат иста енергија во спротивни насоки. Затоа, вкупната енергија на добиениот стоечки бран ограничен помеѓу јазлите останува константна. Само на растојанија еднакви на λ/2 се случува конверзија на кинетичката енергија во потенцијална енергија.
Стоечки бранови
Бранови формирани од суперпозиција на два патувачки бранови кои се шират еден кон друг со исти фреквенции и амплитуди.
Равенка на стоечки бранови
Собирање на брановите
(земи предвид дека k = 2π/λ) - равенка на постојан бран.
Антиноди на стоечки бранови
Точки во кои амплитудата е максимална (A st = 2Аcos(2πx/λ)) .Тоа се точките на околината за кои
2πx/λ= (m=0,1,2,….)
Антинодни координати
(m = 0,1, 2,: ..).
Јазли на стоечки бранови
Точки во кои амплитудата на осцилациите е нула (A st = 0). Тоа се точките на околината за кои
(m = 0,1, 2,: ..).
Координати на јазли
(m = 0,1, 2,...).
Растојанието антинод-антинода и јазол-јазол се λ/2, а растојанието антинод-јазол е λ /4.
Формирањето на стоечки бранови се забележува кога
мешање на патувачките и рефлектираните бранови. На пример, ако крајот на јажето е фиксиран неподвижен, тогаш бранот што се рефлектира на местото каде што е прицврстено јажето ќе се меша со патувачкиот бран и ќе формира стоечки бран. На границата каде што се рефлектира бранот, во овој случај се добива јазол. Дали ќе има јазол или антинод на границата на рефлексијата зависи од односот на густината на медиумот. Ако медиумот од кој настанува рефлексијата е помалку густа, тогаш на местото на рефлексија се добива антинода, ако е погуста, се добива јазол; Формирањето на јазол се должи на фактот што бранот, рефлектиран од погуста средина, ја менува фазата во спротивната и на границата се јавува додавање на осцилации во спротивни насоки, што резултира со јазол. Ако бранот се рефлектира од помалку густа средина, тогаш фазата не се менува, а на границата осцилациите се собираат со истите фази - се добива антинод.
Равенка на стоечки бранови и нејзина анализа
Посебен случај на бранова интерференција се стоечките бранови.
Стоечкиот бран е бран формиран како резултат на суперпозиција на два патувачки синусоидни бранови кои се шират еден кон друг и имаат исти фреквенции и амплитуди, а во случај на попречни бранови исто така иста поларизација.
Попречен стоечки бран се формира, на пример, на испружена еластична нишка, чиј крај е фиксиран, а другиот е поставен во осцилаторно движење.
Кога два кохерентни патувачки рамни бранови на формата се надредени
И каде α е фазната разлика на брановите во точките на рамнината x=0, се формира рамнински синусоидален стоечки бран, опишан со равенката
Амплитудата на стоечкиот бран, за разлика од амплитудата на патувачките бранови, е периодична функција на координатата x.
Аст.=2А
Точките во кои амплитудата на постојан бран е еднаква на 0 се нарекуваат јазли, а точките каде што амплитудата е двојна се нарекуваат антиноди.
Положбата на јазлите и антинодите се наоѓа од условите
k*x+α/2=(2m+1)π/2 (јазли)
k*x+α/2=m*n (антиноди), каде m=0,1,2…
Растојанието помеѓу два соседни јазли и помеѓу два соседни антиноди се исти и еднакви на половина од брановата должина λ на патувачките бранови.
Во патувачки бран, фазата на осцилации зависи од координатата x на точката што се разгледува. Во постојан бран, сите точки меѓу два јазли осцилираат со различни амплитуди, но со исти фази (во фаза), бидејќи аргументот на синусот во равенката на постојаниот бран не зависи од координатата x. Кога минува низ јазол, фазата на осцилација нагло се менува за π, бидејќи во овој случај cos(k*x+α/2) го менува својот знак на спротивен.
Стоечките бранови се формираат како резултат на мешање на два контрапропагирани рамни бранови со иста фреквенција ω и амплитуда А.
Да замислиме дека во точката S (сл. 7.4) има вибратор од кој се шири рамнински бран по зракот SO. Откако стигна до пречката во точката О, бранот ќе се рефлектира и ќе оди во спротивна насока, т.е. Два патувачки рамни бранови се шират долж зракот: напред и назад. Овие два бранови се кохерентни, бидејќи се генерирани од ист извор и, надредени еден на друг, ќе се мешаат еден со друг.
Осцилаторната состојба на медиумот што произлегува од пречки се нарекува стоечки бран.
Да ја напишеме равенката на брановите кои патуваат напред и назад:
директно - 
; обратно - 
каде што S 1 и S 2 се поместување на произволна точка на SO зракот. Земајќи ја предвид формулата за синусот на збирот, добиеното поместување е еднакво на
Така, равенката на стоечкиот бран ја има формата
(7.17)
Умножувачот cosωt покажува дека сите точки на медиумот на зракот SO вршат едноставни хармонични осцилации со фреквенција. Изразот се нарекува амплитуда на стоечки бран. Како што можете да видите, амплитудата се одредува според положбата на точката на зракот SO (x).
Максимална вредностамплитудите ќе имаат точки за кои
Или (n = 0, 1, 2,….)
од каде, или 
(7.18)
антиноди на стоечки бранови .
Минимална вредност, еднаква на нула, ќе ги имаат оние точки за кои
Или 
(n = 0, 1, 2,….)
од каде или 
(7.19)
Точките со такви координати се нарекуваат јазли на стоечки бранови . Споредувајќи ги изразите (7.18) и (7.19), гледаме дека растојанието помеѓу соседните антиноди и соседните јазли е еднакво на λ/2.
На сликата, цврстата линија го покажува поместувањето на осцилирачките точки на медиумот во одреден момент во времето, испрекината крива ја покажува положбата на истите точки низ Т/2. Секоја точка вибрира со амплитуда одредена од нејзиното растојание од вибраторот (x).
За разлика од патувачкиот бран, не се случува пренос на енергија во стоечкиот бран. Енергијата едноставно преминува од потенцијал (при максимално поместување на точките во медиумот од положбата на рамнотежа) во кинетичка (како точките минуваат низ рамнотежната положба) во границите помеѓу јазлите кои остануваат неподвижни.
Сите точки на стоечкиот бран во границите помеѓу јазлите осцилираат во истата фаза, а на спротивните страни на јазолот - во антифаза.
Стоечките бранови се појавуваат, на пример, во затегнатата низа фиксирана на двата краја кога во неа се возбудуваат попречни вибрации. Покрај тоа, во местата на прицврстување има јазли на стоечки бран.
Ако се воспостави стоечки бран во воздушна колона што е отворена на едниот крај (звучен бран), тогаш на отворениот крај се формира антинод, а на спротивниот крај се формира јазол.
Да го разгледаме подетално рефлексијата на брановите, особено рефлексијата на брановите од медиум со висока отпорност на бранови. Во суштина, втората средина е пречка. На пример, воздухот и ѕидот на зградата.
Дозволете ни да ги напишеме равенките на инцидентот и рефлектираните бранови во форма
| с 1 = А cos( wт - kx), и 2 = А cos( wt + kx + ј 0 ) . |
(7.47) |
Во рефлектираниот бран y 2снимена почетна фаза ј 0 , еднаква на фазната разлика на осцилациите што се разгледуваат, што може да потрае 0 илистр, бидејќи при рефлексија, фазата на добиениот бран може да се промени.
Инцидентите и рефлектираните бранови се разликуваат во насоката на брзината на ширење, затоа, знакот „+“ се зема пред бројот на бранот во равенката (7.47), кога се рефлектираат од пречка, брановите се додаваат (феноменот на пречки). ) и се појавува стоечки бран чија равенка ја има формата
Од равенката (7.48) заклучуваме дека во секоја точка на постојан бран има осцилација со иста фреквенција и период, но амплитудата на бранот зависи од координатата x.
Да ја анализираме равенката (7.49).
1. Максимална состојба
Фазата на амплитудата на стоечкиот бран е цел број стр, т.е.
Каде што m =0, 1, 2, ...или 
.
Ајде да ја најдеме координатата на максимумот ( антиноди ):
|
(7.50) |
За едноставност, ја поставивме вредноста на почетната фаза на нула. Во такви услови, амплитудата на стоечкиот бран е максимална: , бидејќи cos (mстр) =1.
2. Минимална состојба
Фазата на амплитудата на стоечкиот бран е непарен број стр/2:
или 
.
Со оглед на тоа j 0/2=0, за минималната координата ( јазол) ние имаме
 ;
|
(7.51) |
Својства на стоечките бранови
1. Растојанието помеѓу јазолот и антинодот е l /4: x пакет - x јазол = l/4.
2. Растојание помеѓу соседните јазли или антиноди - л /2, т.е. стоечка бранова должина l st = l/2.
Читателот е поканет самостојно да ги провери резултатите од заклучоците според ставовите 1 и 2.
3. Во патувачки бран, фазата на осцилации зависи од X координатата на осцилирачката честичка на медиумот што се разгледува. Во постојан бран, сите честички на медиумот помеѓу два јазли осцилираат со различни амплитуди, но со исти фази (сифазен), бидејќи аргументот cos (w t + j 0 /2) во равенката на стоечкиот бран (7.48) не зависи од координатата X При минување низ јазол, фазата на осцилација (. j = w t + j 0 /2) нагло се менува одстр , бидејќи во овој случај амплитудата на стоечкиот бран има фактор cos (kx + j 0/2) го менува својот знак во спротивен.
4. Ако бранот се рефлектира од медиум со висока импеданса (не е точно да се каже „кога се рефлектира од погуст медиум“, како што понекогаш пишува), фазата се менува во спротивно. Во овој случај, половина од брановата должина се губи, бидејќи на растојание еднакво на половина од брановата должина, фазата се менува за ± стр. Затоа, по замена во равенката на постојан бран (7.48), на пример, со вредноста j = - стрќе имаме
с=2 И грев (kx) грев (wт).
Можете да ги најдете координатите на јазлите и антинодите. Оставаме на читателот да го направи тоа сам.
Бидејќи механичките бранови се последица на појавата на деформации во медиумот предизвикани од извор на еластични бранови, релативната деформација на медиумот се менува според законот
| д = = - 2Аксин(kx+ј/2) Соos(wt+ј/2), |
(7.52) |
Каде с- поместување на брановите; д- релативна деформација на медиумот.
Во овој случај, брзината на осцилација на честичките на медиумот во стоечки бран
| v == - 2Аwcos(kx+ј/2)грев(wt+ј/2). |
(7.53) |
Затоа, во постојан бран д ја унапредува брзината во фаза застр /2. Затоа, кога брзината го достигнува својот максимум, релативната деформацијад оди на нула, и обратно, кога брзината оди на нула, релативната деформацијадго достигнува максимумот.
Покрај тоа, амплитудата на брзината v a= ½ 2 Аwcos( kx+ ј 0 /2) ½
и амплитуда на деформација на релативно поместување д а = ½ 2 Аксин( kx+ ј 0 /2) ½
зависат од x координатата на различни начини, т.е. во антиноди на стоечки бран има брзински антиноди и јазли на деформација на медиумот, а во јазли на стоечки бран има јазли на брзински и деформациски антиноди.
Во еластичен стоечки бран, енергијата периодично се пренесува од потенцијалната енергија, која е локализирана во близина на антиноди на деформација, во кинетичка енергија, локализирана во близина на брзинските антиноди и обратно.
Така, енергијата периодично се движи од антиноди до јазли и, обратно, од јазли до антиноди. Но, во самите јазли и антиноди, густината на енергетскиот флукс е нула. Според тоа, просечната вредност на густината на енергетскиот флукс во периодот е нула во која било точка од постојаниот бран, бидејќи два бранови кои патуваат еден кон друг формираат стоечки бран и пренесуваат еднаква енергија во спротивни насоки во текот на одреден период.
Природни (резонантни) фреквенции на стоечки бранови
Во пракса, во случај на слободни вибрации на некои физички системи, на пример, жици, столбови од гас и сл., се воспоставуваат стоечки бранови, чии фреквенции задоволуваат одредени услови, т.е. може да земе само одредени дискретни вредности, наречени природни фреквенциина овој осцилаторен систем.
На пример, на местата на прицврстување на жици или прачки, се поставуваат јазли за поместување (антиноди на деформација), а на слободните краеви на шипките се наоѓаат антиноди за поместување (јазли на деформација). Кога воздушната колона осцилира во цилиндрична цевка, антинод на притисок се наоѓа на затворениот крај на цевката, а јазол на притисок се наоѓа на отворениот крај.
Како пример, разгледајте ја појавата на стоечки бранови кога се менува затегнатоста на вибрирачката низа (параметриска резонанца).
Фреквенциите на стоечките бранови се нарекуваат сопствени или резонантни, бидејќи таквите осцилации се придружени со резонантни појави.
За разлика од пружината, математичкото или физичкото нишало, кое кога осцилира има една природна резонантна фреквенција (еден степен на слобода), истегнатата низа има многу резонантни фреквенции. Овие фреквенции за возврат се множители на најниската фреквенција. Оние бранови кои одговараат на резонантните фреквенции траат подолго. На местата каде што е фиксирана низата се појавуваат јазли (сл. 7.12).
Ориз. 7.12
За да најдеме резонантни фреквенции, го користиме фактот дека должината на стоечкиот бран е поврзана со должината на самата низа:
каде m = 1, 2, 3, ... и го одредува бројот на хармоници.
На пример, основниот тон (режим) - првиот хармоник одговара на антинодот, а должината на низата ,(m = 1; л 1- бранова должина на првиот хармоник). 2 = л 2 ( m = 2; л 2- бранова должина на вториот хармоник), за третиот - 3 = 2 l 3 /3 (m =3; л 3 - бранова должина на третиот хармоник) итн.
Фреквенциите на осцилација на стоечкиот бран може да се најдат со помош на формулата
Коментар: Стоечкиот бран може да постои само на строго дефинирани фреквенции на осцилации.
Важи според условот во отсуство на вибрации на десниот крај на фиксната низа, каде што координатата X=, а амплитудата станува нула и фазата е еднаква на ј = стр,
А ул=2
А½
cos(kx-стр/2)
½
Општ заклучок :
Добиениот резултат е невообичаен за класичната физика, бидејќи k и w
, .
Набљудуваниот аномален феномен имаше многу значајно влијание врз решавањето на квантните феномени.
Според заклучоците на квантната теорија, произлегува дека сите микро-објекти имаат корпускуларни и брановидни својства.
Се вчитува...
