Косинусот на аголот помеѓу две рамнини. Наоѓање на аголот помеѓу рамнините (диедрален агол)

Мерката на аголот помеѓу рамнините е остриот агол формиран од две прави линии што лежат во овие рамнини и нацртани нормално на линијата на нивното вкрстување.

Алгоритам за изградба

1. Од произволна точка К се цртаат нормални на секоја од дадените рамнини.
2. Со ротирање околу линијата на линијата се одредува аголот γ° со темето во точката K.
3. Пресметајте го аголот помеѓу рамнините ϕ° = 180 – γ°, под услов γ° > 90°. Ако γ°< 90°, то ∠ϕ° = ∠γ°.

На сликата е прикажан случајот кога рамнините α и β се дадени со траги. Сите потребни конструкции беа изведени според алгоритмот и се опишани подолу.

Решение

1. На произволно место на цртежот, означете ја точката K. Од неа ги спуштаме перпендикулите m и n, соодветно, на рамнините α и β. Насоката на проекциите m и n е како што следува: m""⊥f 0α, m"⊥h 0α, n""⊥f 0β, n"⊥h 0β.
2. Ја одредуваме вистинската големина ∠γ° помеѓу правите m и n. За да го направите ова, околу фронталната f ја ротираме рамнината на аголот со темето K до позиција паралелна на фронталната рамнина на проекција. Радиусот на ротација R на точката K е еднаков на големината на хипотенузата на правоаголен триаголник O""K""K 0 , чија страна е K""K 0 = y K – y O .
3. Посакуваниот агол е ϕ° = ∠γ°, бидејќи ∠γ° е акутен.

На сликата подолу е прикажано решението на проблемот во кој се бара да се најде аголот γ° помеѓу рамнините α и β, даден со паралелни и пресечни права, соодветно.

Решение

1. Ја одредуваме насоката на проекциите на хоризонталите h 1, h 2 и фронтовите f 1, f 2 кои припаѓаат на рамнините α и β, по редоследот означен со стрелките. Од произволна точка К на квадратот. α и β ги испуштаме перпендикуларите e и k. Во овој случај, e""⊥f"" 1 , e"⊥h" 1 и k""⊥f"" 2 , k"⊥h" 2 .
2. Дефинираме ∠γ° помеѓу правите e и k. За да го направите ова, нацртајте хоризонтална линија h 3 и околу неа ја ротираме точката K во положбата K 1, на која △CKD ќе стане паралелна со хоризонталната рамнина и ќе се рефлектира на неа во природна големина - △C"K" 1 D ". Проекцијата на центарот на ротација O" се наоѓа на нацртаното на h" 3 нормално на K"O". Радиусот R се одредува од правоаголен триаголник O"K"K 0, чија страна K"K 0 = З О – З К.
3. Вредноста на саканата вредност е ∠ϕ° = ∠γ°, бидејќи аголот γ° е остар.

Видео курсот „Земи А“ ги вклучува сите теми неопходни за успех полагање на Единствен државен испитпо математика за 60-65 поени. Целосно сите задачи 1-13 од Профил унифициран државен испит по математика. Погоден е и за полагање на Основен унифициран државен испит по математика. Ако сакате да го положите обединетиот државен испит со 90-100 поени, првиот дел треба да го решите за 30 минути и без грешки!

Подготвителен курс за Единствен државен испит за 10-11 одделение, како и за наставници. Сè што ви треба за да го решите Дел 1 од Единствениот државен испит по математика (првите 12 задачи) и задача 13 (тригонометрија). И ова се повеќе од 70 поени на обединет државен испит и без нив не може ниту студент од 100, ниту студент на хуманитарни науки.

Целата потребна теорија. Брзи начинирешенија, замки и тајни на Единствениот државен испит. Анализирани се сите тековни задачи од дел 1 од FIPI Task Bank. Курсот целосно е во согласност со барањата на Единствениот државен испит 2018 година.

Курсот содржи 5 големи теми, по 2,5 часа. Секоја тема е дадена од нула, едноставно и јасно.

Стотици задачи за обединет државен испит. Проблеми со зборови и теорија на веројатност. Едноставни и лесни за паметење алгоритми за решавање проблеми. Геометрија. Теорија, референтен материјал, анализа на сите видови задачи за унифициран државен испит. Стереометрија. Слабо решенија, корисни мамечки листови, развој на просторна имагинација. Тригонометрија од почеток до проблем 13. Разбирање наместо набивање. Јасни објаснувања на сложените концепти. Алгебра. Корени, моќи и логаритми, функција и извод. Основа за решение сложени задачи 2 дела од Единствениот државен испит.

Размислете за два авиони Р 1 и Р 2 со нормални вектори n 1 и n 2. Агол φ помеѓу рамнините Р 1 и Р 2 се изразува преку аголот ψ = \(\widehat((n_1; n_2))\) на следниов начин: ако ψ < 90°, потоа φ = ψ (сл. 202, а); ако ψ > 90°, тогаш ψ = 180° - ψ (сл. 202.6).

Очигледно е дека во секој случај еднаквоста е вистина

cos φ = |cos ψ|

Бидејќи косинусот на аголот помеѓу вектори кои не се нула е еднаков на скаларен производод овие вектори поделени со производот на нивните должини, имаме

$$ cos\psi=cos\widehat((n_1; n_2))=\frac(n_1\cdot n_2)(|n_1|\cdot |n_2|) $$

и, според тоа, косинус на аголот φ помеѓу рамнините Р 1 и Р 2 може да се пресмета со формулата

$$ cos\phi=\frac(n_1\cdot n_2)(|n_1|\cdot |n_2|) (1)$$

Ако рамнините се дадени со општи равенки

А 1 X+ Б 1 y+ C 1 z+ D 1 = 0 и A 2 X+ Б 2 y+ C 2 z+ D 2 = 0,

тогаш за нивните нормални вектори можеме да ги земеме векторите n 1 = (A 1 ; B 1 ; C 1) и n 2 = (A 2; B 2; C 2).

Запишувајќи ја десната страна на формулата (1) во однос на координатите, добиваме

$$ cos\phi=\frac(|A_1 A_2 + B_1 B-2 + C_1 C_2|)(\sqrt((A_1)^2+(B_1)^2+(C_1)^2)\sqrt((A_2) ^2+(B_2)^2+(C_2)^2)) $$

Задача 1.Пресметајте го аголот помеѓу рамнините

X - √2 y + z- 2 = 0 и x+ √2 y - z + 13 = 0.

Во овој случај, A 1 .=1, B 1 = - √2, C 1 = 1, A 2 =1, B 2 = √2, C 2 = - 1.

Од формулата (2) добиваме

$$ cos\phi=\frac(|1\cdot 1 - \sqrt2 \cdot \sqrt2 - 1 \cdot 1|)(\sqrt(1^2+(-\sqrt2)^2+1^2)\sqrt (1^2+(\sqrt2)^2+(-1)^2))=\frac(1)(2) $$

Затоа, аголот помеѓу овие рамнини е 60°.

Рамнини со нормални вектори n 1 и n 2:

а) се паралелни ако и само ако векторите n 1 и n 2 се колинеарни;

б) нормално ако и само ако векторите n 1 и n 2 се нормални, т.е. кога n 1 n 2 = 0.

Од тука ги добиваме неопходните и доволни услови за паралелизам и нормалност на две рамнини дадени со општи равенки.

Во авион

А 1 X+ Б 1 y+ C 1 z+ D 1 = 0 и A 2 X+ Б 2 y+ C 2 z+ D 2 = 0

беа паралелни, неопходно е и доволно да се одржат еднаквостите

$$ \frac(A_1)(A_2)=\frac(B_1)(B_2)=\frac(C_1)(C_2) \;\; (3)$$

Ако некој од коефициентите A 2 , B 2 , C 2 е еднаков на нула, се претпоставува дека соодветниот коефициент A 1 , B 1 , C 1 е исто така еднаков на нула

Неуспехот на барем една од овие две еднаквости значи дека рамнините не се паралелни, односно се сечат.

За перпендикуларност на рамнините

А 1 X+ Б 1 y+ C 1 z+ D 1 = 0 и A 2 X+ Б 2 y+ C 2 z+ D 2 = 0

потребно е и доволно за да се одржи еднаквоста

A 1 A 2 + B 1 B 2 + C 1 C 2 = 0. (4)

Задача 2.Меѓу следниве парови авиони:

2X + 5на + 7z- 1 = 0 и 3 X - 4на + 2z = 0,

на - 3z+ 1 = 0 и 2 на - 6z + 5 = 0,

4X + 2на - 4z+ 1 = 0 и 2 X + на + 2z + 3 = 0

означува паралелно или нормално. За првиот пар авиони

A 1 A 2 + B 1 B 2 + C 1 C 2 = 2 3 + 5 (- 4) + 7 2 = 0,

т.е. условот за перпендикуларност е задоволен. Рамнините се нормални.

За вториот пар авиони

\(\frac(B_1)(B_2)=\frac(C_1)(C_2)\), бидејќи \(\frac(1)(2)=\frac(-3)(-6)\)

а коефициентите A 1 и A 2 се еднакви на нула. Затоа, рамнините на вториот пар се паралелни. За третиот пар

\(\frac(B_1)(B_2)\neq\frac(C_1)(C_2)\), бидејќи \(\frac(2)(1)\neq\frac(-4)(2)\)

и A 1 A 2 + B 1 B 2 + C 1 C 2 = 4 2 + 2 1 - 4 2 =/= 0, односно рамнините на третиот пар не се ниту паралелни, ниту нормални.

Оваа статија е за аголот помеѓу авионите и како да го пронајдете. Прво, дадена е дефиниција на аголот помеѓу две рамнини и дадена е графичка илустрација. По ова, беше анализиран принципот на наоѓање на аголот помеѓу две пресечни рамнини со помош на методот на координати и беше добиена формула која ви овозможува да го пресметате аголот помеѓу рамнините што се сечат користејќи ги познатите координати на нормалните вектори на овие рамнини. Во заклучок е прикажано детални решенијакарактеристични задачи.

Навигација на страницата.

Агол помеѓу рамнините - дефиниција.

Да претставиме аргументи кои ќе ни овозможат постепено да пристапиме кон одредување на аголот помеѓу две рамнини што се сечат.

Да ни бидат дадени две рамнини што се сечат и . Овие рамнини се сечат по права линија, која ја означуваме со буквата c. Да конструираме рамнина што минува низ точката М од правата c и нормална на правата c. Во овој случај, авионот ќе ги пресече рамнините и. Правата по која се сечат рамнините да ја означиме како a, а правата по која се сечат рамнините како b. Очигледно, правите a и b се сечат во точката M.

Лесно е да се покаже дека аголот помеѓу правата a и b кои се вкрстуваат не зависи од локацијата на точката M на правата c низ која минува рамнината.

Да конструираме рамнина нормална на правата c и различна од рамнината. Рамнината е пресечена со рамнини и по прави линии, кои ги означуваме како 1 и b 1, соодветно.

Од методот на конструирање рамнини произлегува дека правите a и b се нормални на правата c, а правата a 1 и b 1 се нормални на правата c. Бидејќи правите a и a 1 лежат во иста рамнина и се нормални на правата c, тогаш тие се паралелни. Слично на тоа, правите b и b 1 лежат во иста рамнина и се нормални на правата c, затоа, тие се паралелни. Така, можно е да се изврши паралелно пренесување на рамнината на рамнината, во која права линија a 1 се совпаѓа со права линија a, и права линија b со права линија b 1. Според тоа, аголот помеѓу две пресечни прави a 1 и b 1 еднаков на аголотпомеѓу линиите што се вкрстуваат a и b.

Ова докажува дека аголот помеѓу правата a и b кои се вкрстуваат во рамнините што се сечат и не зависи од изборот на точката M низ која минува рамнината. Затоа, логично е овој агол да се земе како агол помеѓу две рамнини што се сечат.

Сега можете да ја искажете дефиницијата на аголот помеѓу две рамнини што се сечат и.

Дефиниција.

Аголот помеѓу две рамнини што се сечат во права линија и- ова е аголот помеѓу две пресечни прави a и b, по кои рамнините и се сечат со рамнината нормална на правата c.

Дефиницијата на аголот помеѓу две рамнини може да се даде малку поинаку. Ако на правата c по која рамнините и се сечат, означете точка M и повлечете прави а и b низ неа, нормално на правата c и лежат во рамнините и, соодветно, тогаш аголот помеѓу правите а и b е аголот помеѓу рамнините и. Вообичаено во пракса се изведуваат токму такви конструкции за да се добие аголот помеѓу рамнините.

Со оглед на тоа што аголот помеѓу правата што се пресекуваат не надминува , од наведената дефиниција произлегува дека степенот на мерката на аголот помеѓу две рамнини што се сечат е изразена реален бројод интервалот. Во овој случај, се нарекуваат пресечни рамнини нормално, ако аголот меѓу нив е деведесет степени. Агол помеѓу паралелни рамниниили воопшто не го одредуваат, или го сметаат за еднаков на нула.

Наоѓање на аголот помеѓу две рамнини што се сечат.

Вообичаено, кога наоѓате агол помеѓу две пресечни рамнини, прво треба да извршите дополнителни конструкции за да ги видите пресечните прави, чиј агол е еднаков на саканиот агол, а потоа да го поврзете овој агол со оригиналните податоци користејќи тестови за еднаквост, сличност тестови, косинусова теорема или дефиниции за синус, косинус и тангента на аголот. Во текот на геометријата средно школосе јавуваат слични проблеми.

Како пример, да го дадеме решението на задачата В2 од Единствениот државен испит по математика за 2012 година (условот е намерно променет, но тоа не влијае на принципот на решението). Во него, само требаше да го пронајдете аголот помеѓу две рамнини што се пресекуваат.

Пример.

Решение.

Прво, ајде да направиме цртеж.

Ајде да извршиме дополнителни конструкции за да го „видиме“ аголот помеѓу рамнините.

Прво, да дефинираме права линија по која се сечат рамнините ABC и BED 1. Точката Б е една од нивните заеднички точки. Ајде да ја најдеме втората заедничка точка на овие рамнини. Правите DA и D 1 E лежат во иста рамнина ADD 1, и тие не се паралелни, па затоа се сечат. Од друга страна, правата DA лежи во рамнината ABC, а правата D 1 E лежи во рамнината BED 1, затоа, пресечната точка на линиите DA и D 1 E ќе биде заедничка точка на рамнините ABC и BED 1. Значи, да ги продолжиме линиите DA и D 1 E до нивното пресекување, означувајќи ја точката на нивното пресекување со буквата F. Тогаш BF е права линија по која се сечат рамнините ABC и BED 1.

Останува да се конструираат две линии кои лежат во рамнините ABC и BED 1, соодветно, поминувајќи низ една точка на правата BF и нормално на правата BF - аголот помеѓу овие линии, по дефиниција, ќе биде еднаков на саканиот агол помеѓу авиони ABC и BED 1. Ајде да го направиме тоа.

Точка A е проекцијата на точката E на рамнината ABC. Да нацртаме права линија што ја пресекува правата BF под прав агол во точката М. Тогаш правата AM е проекција на правата линија EM на рамнината ABC, и според теоремата за три нормални.

Така, потребниот агол помеѓу рамнините ABC и BED 1 е еднаков на .

Можеме да го одредиме синусот, косинусот или тангентата на овој агол (а со тоа и самиот агол) од правоаголниот триаголник AEM ако ги знаеме должините на неговите две страни. Од условот лесно е да се најде должината AE: бидејќи точката E ја дели страната AA 1 во однос 4 спрема 3, сметајќи од точката A, а должината на страната AA 1 е 7, тогаш AE = 4. Ајде да ја најдеме должината AM.

За да го направите ова, размислете правоаголен триаголник ABF со прав агол A, каде што AM е висината. Според условот AB = 2. Можеме да ја најдеме должината на страната AF од сличноста на правоаголните триаголници DD 1 F и AEF:

Користејќи ја Питагоровата теорема, наоѓаме од триаголникот ABF. Ја наоѓаме должината AM низ областа на триаголникот ABF: од едната страна плоштината на триаголникот ABF е еднаква на , на другата страна , каде .

Така, од правоаголен триаголник AEM имаме .

Тогаш потребниот агол помеѓу рамнините ABC и BED 1 е еднаков (забележете дека ).

Одговор:

Во некои случаи, за да се најде аголот помеѓу две пресечни рамнини, погодно е да се постави Oxyz и да се користи методот на координати. Ајде да застанеме таму.

Дозволете ни да ја поставиме задачата: да го пронајдеме аголот помеѓу две рамнини што се сечат и . Дозволете ни да го означиме саканиот агол како .

Ќе претпоставиме дека во даден правоаголен координатен систем Oxyz ги знаеме координатите на нормалните вектори на рамнините што се сечат и или имаме можност да ги најдеме. Нека е нормалниот вектор на рамнината, и е нормалниот вектор на рамнината. Ќе покажеме како да го најдеме аголот помеѓу рамнините што се сечат и преку координатите на нормалните вектори на овие рамнини.

Да ја означиме правата линија по која рамнините и се сечат како c. Низ точката М на правата c повлекуваме рамнина нормална на правата c. Рамнината ги пресекува рамнините и по правата a и b, соодветно, правата a и b се сечат во точката М. По дефиниција, аголот помеѓу пресечните рамнини и е еднаков на аголот помеѓу правата a и b.

Да ги нацртаме нормалните вектори и рамнини и од точката М во рамнината. Во овој случај, векторот лежи на права која е нормална на правата a, а векторот лежи на права која е нормална на правата b. Така, во рамнината векторот е нормален вектор на правата a, е нормалниот вектор на правата b.

Во написот за наоѓање на аголот помеѓу линиите што се пресекуваат, добивме формула која ни овозможува да го пресметаме косинус на аголот помеѓу линиите што се сечат користејќи ги координатите на нормалните вектори. Така, косинус на аголот помеѓу правите a и b, и, следствено, косинус на аголот помеѓу рамнините што се сечати се наоѓа по формулата, каде И се нормалните вектори на рамнините и соодветно. Потоа се пресметува како .

Да го решиме претходниот пример користејќи го методот на координати.

Пример.

Дан кубоид ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, во која AB=2, AD=3, AA 1 =7 и точката E ја дели страната AA 1 во однос 4 спрема 3, сметајќи од точката A. Најдете го аголот помеѓу рамнините ABC и BED 1.

Решение.

Бидејќи страните на правоаголниот паралелепипед на едно теме се парно нормални, погодно е да се воведе правоаголен системго координира Oxyz вака: порамнете го почетокот со темето C и насочете ги координатните оски Ox, Oy и Oz по страните CD, CB и CC 1, соодветно.

Аголот помеѓу рамнините ABC и BED 1 може да се најде преку координатите на нормалните вектори на овие рамнини користејќи ја формулата , каде и се нормалните вектори на рамнините ABC и BED 1, соодветно. Да ги одредиме координатите на нормалните вектори.

Написот зборува за наоѓање на аголот помеѓу авионите. Откако ќе ја дадеме дефиницијата, да дадеме графичка илустрација и да размислиме детален методнаоѓање по координатен метод. Добиваме формула за пресечни рамнини, која ги вклучува координатите на нормалните вектори.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Материјалот ќе користи податоци и концепти кои претходно биле проучувани во написите за рамнината и линијата во вселената. Прво, неопходно е да се премине на расудување кое ни овозможува да имаме одреден пристап за одредување на аголот помеѓу две рамнини што се сечат.

Дадени се две рамнини што се сечат γ 1 и γ 2. Нивното вкрстување ќе ја земе ознаката в. Конструкцијата на χ рамнината е поврзана со пресекот на овие рамнини. Рамнината χ минува низ точката M како права права c. Пресекот на рамнините γ 1 и γ 2 ќе се направи со помош на рамнината χ. Ознаката на правата што ги пресекува γ 1 и χ ја земаме како права a, а правата што ги пресекува γ 2 и χ како права b. Откриваме дека пресекот на правите a и b ја дава точката M.

Локацијата на точката М не влијае на аголот помеѓу правата a и b кои се вкрстуваат, а точката M се наоѓа на правата c, низ која минува рамнината χ.

Потребно е да се конструира рамнина χ 1 нормална на правата c и различна од рамнината χ. Пресекот на рамнините γ 1 и γ 2 со помош на χ 1 ќе ја земе ознаката на правите a 1 и b 1.

Може да се види дека кога се конструираат χ и χ 1, правите a и b се нормални на правата c, а потоа a 1, b 1 се наоѓаат нормално на правата c. Наоѓање на прави a и a 1 во рамнината γ 1 со нормалност на права c, тогаш тие може да се сметаат за паралелни. На ист начин, локацијата на b и b 1 во рамнината γ 2 со нормалност на права линија c укажува на нивната паралелност. Тоа значи дека е потребно да се изврши паралелно пренесување на рамнината χ 1 на χ, каде што добиваме две совпаѓачки прави а и a 1, b и b 1. Откриваме дека аголот помеѓу правата a и b 1 што се сечат е еднаков на аголот на правата a и b.

Ајде да ја погледнеме сликата подолу.

Овој предлог се докажува со фактот дека помеѓу правите што се вкрстуваат a и b постои агол кој не зависи од локацијата на точката М, односно од точката на пресек. Овие линии се наоѓаат во рамнините γ 1 и γ 2. Всушност, добиениот агол може да се смета за агол помеѓу две пресечни рамнини.

Ајде да продолжиме со одредување на аголот помеѓу постоечките рамнини што се пресекуваат γ 1 и γ 2.

Дефиниција 1

Аголот помеѓу две пресечни рамнини γ 1 и γ 2наречен агол формиран од пресекот на правите a и b, каде што рамнините γ 1 и γ 2 се сечат со рамнината χ нормална на правата c.

Размислете за сликата подолу.

Решението може да се поднесе во друга форма. Кога рамнините γ 1 и γ 2 се сечат, каде што c е правата на која се пресекле, означете ја точката M низ која повлечете прави a и b нормални на правата c и лежат во рамнините γ 1 и γ 2, тогаш аголот помеѓу линиите a и b ќе бидат аголот помеѓу рамнините. Во пракса, ова е применливо за конструирање на аголот помеѓу рамнините.

При вкрстување се формира агол кој има вредност помала од 90 степени, односно степенската мерка на аголот важи на интервал од овој тип (0, 90]. Во исто време, овие рамнини се нарекуваат нормални ако на пресекот се формира прав агол.Аголот меѓу паралелните рамнини се смета за еднаков на нула.

Вообичаен начин за наоѓање на аголот помеѓу рамнините што се вкрстуваат е да се изведат дополнителни конструкции. Ова помага да се одреди со точност, а тоа може да се направи со помош на знаци на еднаквост или сличност на триаголник, синуси и косинуси на агол.

Ајде да размислиме за решавање на проблемите користејќи пример од проблемите на Обединетиот државен испит од блокот C 2.

Пример 1

Даден е правоаголен паралелепипед A B C D A 1 B 1 C 1 D 1, каде што страната A B = 2, A D = 3, A A 1 = 7, точката E ја дели страната A A 1 во однос 4: 3. Најдете го аголот помеѓу рамнините A B C и B E D 1.

Решение

За јасност, неопходно е да се направи цртеж. Го добиваме тоа

Неопходно е визуелно претставување за да биде поудобно да се работи со аголот помеѓу рамнините.

Ја одредуваме правата по која се јавува пресекот на рамнините A B C и B E D 1. Точката Б е заедничка точка. Треба да се најде уште една заедничка точка на вкрстување. Да ги разгледаме правите D A и D 1 E, кои се наоѓаат во иста рамнина A D D 1. Нивната локација не укажува на паралелизам, тоа значи дека тие имаат заедничка точка на вкрстување.

Меѓутоа, правата линија D A се наоѓа во рамнината A B C, а D 1 E во B E D 1. Од ова добиваме дека правите линии Д АИ Д 1 Димаат заедничка пресечна точка, која е заедничка за рамнините A B C и B E D 1. Ја означува точката на пресек на правите Д Аи Д 1 Е буквата Ф. Од ова добиваме дека B F е права линија по која се сечат рамнините A B C и B E D 1.

Ајде да ја погледнеме сликата подолу.

За да се добие одговорот, потребно е да се конструираат прави лоцирани во рамнините A B C и B E D 1 кои минуваат низ точка лоцирана на правата B F и нормална на неа. Тогаш добиениот агол помеѓу овие прави линии се смета за саканиот агол помеѓу рамнините A B C и B E D 1.

Од ова можеме да видиме дека точката А е проекција на точката Е на рамнината A B C. Неопходно е да се нацрта права линија што ја пресекува правата B F под прав агол во точката M. Може да се види дека правата линија A M е проекција од права линија E M на рамнината A B C, врз основа на теоремата за тие нормални A M ⊥ B F . Размислете за сликата подолу.

∠ A M E е саканиот агол формиран од рамнините A B C и B E D 1. Од добиениот триаголник A E M можеме да ги најдеме синусот, косинусот или тангентата на аголот, а потоа и самиот агол, само ако му се познати двете страни. По услов, имаме должината A E да се најде на овој начин: права линија A A 1 се дели со точка E во однос 4: 3, што значи вкупната должина на правата е 7 дела, а потоа A E = 4 дела. Го наоѓаме А М.

Неопходно е да се разгледа правоаголен триаголник A B F. Имаме прав агол A со висина A M. Од условот A B = 2, тогаш можеме да ја најдеме должината A F според сличноста на триаголниците D D 1 F и A E F. Добиваме дека A E D D 1 = A F D F ⇔ A E D D 1 = A F D A + A F ⇒ 4 7 = A F 3 + A F ⇔ A F = 4

Потребно е да се најде должината на страната B F на триаголникот A B F со помош на Питагоровата теорема. Добиваме дека B F  = A B 2 + A F 2 = 2 2 + 4 2 = 2 5 . Должината на страната A M се наоѓа низ плоштината на триаголникот A B F. Имаме дека плоштината може да биде еднаква и на S A B C = 1 2 · A B · A F и S A B C = 1 2 · B F · A M .

Добиваме дека A M = A B A F B F = 2 4 2 5 = 4 5 5

Тогаш можеме да ја најдеме вредноста на тангентата на аголот на триаголникот A E M. Добиваме:

t g ∠ A M E = A E A M = 4 4 5 5 = 5

Посакуваниот агол добиен со пресекот на рамнините A B C и B E D 1 е еднаков на r c t g 5, а потоа при поедноставување добиваме rc t g 5 = a r c sin 30 6 = a r c cos 6 6.

Одговор: a r c t g 5 = a r c sin 30 6 = a r c cos 6 6 .

Некои случаи на пронаоѓање на аголот помеѓу линиите што се вкрстуваат се наведени со користење координатна рамнина O x y z и методот на координати. Ајде да погледнеме подетално.

Ако е даден проблем каде што е потребно да се најде аголот помеѓу рамнините што се сечат γ 1 и γ 2, саканиот агол го означуваме како α.

Тогаш дадениот координатен систем покажува дека ги имаме координатите на нормалните вектори на рамнините што се сечат γ 1 и γ 2. Тогаш означуваме дека n 1 → = n 1 x, n 1 y, n 1 z е нормалниот вектор на рамнината γ 1, а n 2 → = (n 2 x, n 2 y, n 2 z) - за рамнина γ 2. Да го разгледаме деталното определување на аголот лоциран помеѓу овие рамнини според координатите на векторите.

Потребно е да се означи правата линија по која рамнините γ 1 и γ 2 се сечат со буквата c. На правата c имаме точка М низ која цртаме рамнина χ нормална на c. Рамнината χ долж правите a и b ги сече рамнините γ 1 и γ 2 во точката М. од дефиницијата произлегува дека аголот помеѓу пресечните рамнини γ 1 и γ 2 е еднаков на аголот на правата што се вкрстуваат a и b кои припаѓаат на овие рамнини, соодветно.

Во χ рамнината цртаме нормални вектори од точката M и ги означуваме n 1 → и n 2 → . Векторот n 1 → се наоѓа на права нормална на правата a, а векторот n 2 → се наоѓа на права нормална на правата b. Од тука го добиваме тоа даден авионχ има нормален вектор на правата a еднаков на n 1 → и за правата b еднаква на n 2 →. Размислете за сликата подолу.

Од тука добиваме формула со која можеме да го пресметаме синусот на аголот на правата што се вкрстуваат користејќи ги координатите на векторите. Откривме дека косинусот на аголот помеѓу правите a и b е ист како косинусот помеѓу рамнините што се сечат γ 1 и γ 2, што е изведено од cos формулиα = cos n 1 → , n 2 → ^ = n 1 x n 2 x + n 1 y n 2 y + n 1 z n 2 z n 1 x 2 + n 1 y 2 + n 1 z 2 n 2 x 2 + n 2 y 2 + n 2 z 2, каде што имаме дека n 1 → = (n 1 x, n 1 y, n 1 z) и n 2 → = (n 2 x, n 2 y, n 2 z) се координатите на векторите на претставените рамнини.

Аголот помеѓу линиите што се вкрстуваат се пресметува со формулата

α = a r c cos n 1 x n 2 x + n 1 y n 2 y + n 1 z n 2 z n 1 x 2 + n 1 y 2 + n 1 z 2 n 2 x 2 + n 2 y 2 + n 2 z 2

Пример 2

Според условот е даден паралелепипедот A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 , каде A B = 2, A D = 3, A A 1 = 7, а точката E ја дели страната A A 1 4: 3. Најдете го аголот помеѓу рамнините A B C и B E D 1.

Решение

Од условот е јасно дека неговите страни се парно нормални. Тоа значи дека е неопходно да се воведе координатен систем O x y z со темето во точката C и со координатни оски O x, O y, O z. Неопходно е да се постави насоката на соодветните страни. Размислете за сликата подолу.

Пресечни рамнини А Б ВИ Б Е Д 1формирајте агол што може да се најде со помош на формулата α = a r c cos n 1 x n 2 x + n 1 y n 2 y + n 1 z n 2 z n 1 x 2 + n 1 y 2 + n 1 z 2 n 2 x 2 + n 2 y 2 + n 2 z 2, во кој n 1 → = (n 1 x, n 1 y, n 1 z) и n 2 → = (n 2 x, n 2 y, n 2 z ) се нормални вектори на овие авиони. Неопходно е да се одредат координатите. Од сликата гледаме дека координатната оска O x y се совпаѓа со рамнината A B C, тоа значи дека координатите на нормалниот вектор k → се еднакви на вредноста n 1 → = k → = (0, 0, 1).

Нормален вектор на рамнината B E D 1 се зема како векторски производ B E → и B D 1 →, каде нивните координати се наоѓаат со координатите на екстремните точки B, E, D 1, кои се одредуваат врз основа на условите на проблем.

Добиваме дека B (0, 3, 0), D 1 (2, 0, 7). Бидејќи A E E A 1 = 4 3, од координатите на точките A 2, 3, 0, A 1 2, 3, 7 наоѓаме E 2, 3, 4. Откриваме дека B E → = (2 , 0 , 4) , B D 1 → = 2 , - 3 , 7 n 2 → = B E → × B D 1 = i → j → k → 2 0 4 2 - 3 7 = 12 · i → - 6 j → - 6 k → ⇔ n 2 → = (12 , - 6 , - 6)

Неопходно е да се заменат пронајдените координати во формулата за пресметување на аголот низ лачниот косинус. Добиваме

α = a r c cos 0 12 + 0 (- 6) + 1 (- 6) 0 2 + 0 2 + 1 2 12 2 + (- 6) 2 + (- 6) 2 = a r c cos 6 6 6 = a r c cos 6 6

Координатниот метод дава сличен резултат.

Одговор: a r c cos 6 6 .

Конечниот проблем се разгледува со цел да се најде аголот помеѓу рамнините што се сечат со постоечките познати равенки на рамнините.

Пример 3

Пресметај го синусот, косинусот на аголот и вредноста на аголот формиран од две линии кои се пресекуваат, кои се дефинирани во координатниот систем O x y z и дадени со равенките 2 x - 4 y + z + 1 = 0 и 3 y - z - 1 = 0.

Решение

При проучување на темата за општата равенка на права линија од формата A x + B y + C z + D = 0, беше откриено дека A, B, C се коефициенти еднакви на координатите на нормалниот вектор. Тоа значи дека n 1 → = 2, - 4, 1 и n 2 → = 0, 3, - 1 се нормални вектори на дадените линии.

Потребно е да се заменат координатите на нормалните вектори на рамнините во формулата за пресметување на саканиот агол на рамнините што се сечат. Тогаш го добиваме тоа

α = a r c cos 2 0 + - 4 3 + 1 (- 1) 2 2 + - 4 2 + 1 2 = a r c cos 13 210

Оттука имаме дека косинусот на аголот добива форма cos α = 13 210. Тогаш аголот на линиите што се пресекуваат не е тап. Замена во тригонометриски идентитет, откриваме дека вредноста на синусот на аголот е еднаква на изразот. Ајде да пресметаме и да го најдеме тоа

грев α = 1 - cos 2 α = 1 - 13.210 = 41.210

Одговор: sin α = 41,210, cos α = 13,210, α = a r c cos 13,210 = a r c sin 41,210.

Доколку забележите грешка во текстот, означете ја и притиснете Ctrl+Enter