Одговор: Крамеровиот метод се заснова на употреба на детерминанти при решавање системи линеарни равенки. Ова значително го забрзува процесот на решавање.
Дефиниција. Детерминанта составена од коефициенти за непознати се нарекува детерминанта на системот и се означува (делта).
Детерминанти
се добиваат со замена на коефициентите на соодветните непознати со слободни членови:
;
.
Крамерски формули за пронаоѓање непознати:
.
Пронаоѓањето на вредностите на и е можно само ако
Овој заклучок произлегува од следната теорема.
Крамерова теорема. Ако детерминантата на системот е ненула, тогаш системот на линеарни равенки има едно единствено решение, а непознатата е еднаква на односот на детерминантите. Именителот ја содржи детерминантата на системот, а броителот ја содржи детерминантата добиена од детерминантата на системот со замена на коефициентите на оваа непозната со слободни членови. Оваа теорема важи за систем од линеарни равенки од кој било ред.
Пример 1. Решете систем од линеарни равенки:
Според теоремата на Крамер имаме:
Значи, решението за системот (2):
9.операции на множества. Виенски дијаграми.
Ојлер-Веновите дијаграми се геометриски прикази на множества. Конструкцијата на дијаграмот се состои од цртање на голем правоаголник што го претставува универзалното множество U, а внатре во него - кругови (или некои други затворени фигури) што ги претставуваат множествата. Фигурите треба најмногу да се вкрстуваат општ случајпотребни во задачата и мора да бидат соодветно означени. Точките што се наоѓаат во различни области на дијаграмот може да се сметаат како елементи на соодветните множества. Со конструираниот дијаграм, можете да засенчите одредени области за да означите новоформирани множества.
Се смета дека операциите на множества се добиваат нови множества од постоечките.
Дефиниција. Унијата на множествата А и Б е множество кое се состои од сите оние елементи кои припаѓаат на барем едно од множествата А, Б (сл. 1):
Дефиниција. Пресекот на множествата А и Б е множество кое се состои од сите оние и само оние елементи кои припаѓаат истовремено и на множеството А и на множеството Б (сл. 2):
Дефиниција. Разликата помеѓу множествата А и Б е множеството на сите оние и само оние елементи на А кои не се содржани во Б (сл. 3):
Дефиниција. Симетричната разлика на множествата А и Б е множеството елементи од овие множества кои припаѓаат или само на множеството А или само на множеството Б (сл. 4):
11. пресликување (функција), домен на дефиниција, слики од множества при пресликување, збир на вредности на функција и нејзин график.
Одговор: Пресликувањето од множество E до множество F, или функција дефинирана на E со вредности во F, е правило или закон f, што на секој елемент му доделува одреден елемент.
Елементот се нарекува независен елемент, или аргумент на функцијата f, елементот се нарекува вредност на функцијата f, или слика; во овој случај, елементот се нарекува претслика на елементот.
Пресликувањето (функција) обично се означува со буквата f или симболот, што покажува дека f го пресликува множеството E на F. Се користи и ознаката, што покажува дека елементот x одговара на елементот f(x). Понекогаш е погодно да се дефинира функција преку еднаквост што содржи закон за кореспонденција. На пример, може да се каже дека „функцијата f е дефинирана со еднаквоста“. Ако „y“ е општото име на елементите од множеството F, т.е. F = (y), тогаш пресликувањето е напишано во форма на еднаквост y = f(x) и велиме дека ова пресликување е наведено експлицитно.
2. Слика и инверзна слика на множество под дадено пресликување
Нека се даде мапирање и множество.
Множеството елементи од F, од кои секоја е слика на барем еден елемент од D под пресликувањето f, се нарекува слика на множеството D и се означува со f(D).
Очигледно,.
Нека сега се даде комплетот.
Множеството елементи такви што , се нарекува инверзна слика на множеството Y под пресликувањето f и се означува со f -1 (Y).
Ако тогаш. Ако за секое множество f -1 (y) се состои од најмногу еден елемент, тогаш f се нарекува пресликување еден-на-еден од E до F. Сепак, можно е да се дефинира пресликување еден-на-еден f на множеството Е на Ф.
Приказот се вика:
Инјективно (или инјектирање, или пресликување еден на еден на множеството E во F) ако, или ако равенката f(x) = y има најмногу едно решение;
Сурјектив (или сурјекција, или пресликување на множество E на F) ако f(E) = F и ако равенката f(x) = y има најмалку едно решение;
Бијективно (или бијекција, или пресликување еден на еден на множеството E на F) ако е инективно и сурјективно, или ако равенката f(x) = y има едно и само едно решение.
3. Суперпозиција на пресликувања. Инверзни, параметарски и имплицитни пресликувања
1) Нека и . Бидејќи , мапирањето g доделува специфичен елемент на секој елемент.
Така, секој елемент е доделен со помош на правило
Ова дефинира ново мапирање (или нова карактеристика), што го нарекуваме состав од пресликувања, или суперпозиција на пресликувања или сложено пресликување.
2) Нека е бијективно пресликување и F = (y). Поради бијективноста на f, секоја одговара на единица слика x, која ја означуваме со f -1 (y), и таква што f(x) = y. Така, се дефинира пресликување, кое се нарекува инверзна на пресликувањето f, или инверзна функција на функцијата f.
Очигледно, пресликувањето f е инверзна од пресликувањето f -1 . Затоа, пресликувањата f и f -1 се нарекуваат меѓусебно инверзни. За нив важат односите
и барем едно од овие пресликувања, на пример, е бијективно. Потоа, постои инверзно мапирање, што значи .
Вака дефинираното мапирање се вели дека е дефинирано параметарски користејќи пресликувања; а променливата од се нарекува параметар.
4) Нека се дефинира мапирање на множество, каде што множеството го содржи нултиот елемент. Да претпоставиме дека има множества такви што за секоја фиксна равенка има единствено решение. Потоа на множеството Е можно е да се дефинира пресликување кое на секој му ја доделува вредноста што за даден x е решение на равенката.
Во однос на така дефинираното мапирање
се вели дека е имплицитно дадена со равенката .
5) Пресликувањето се нарекува продолжение на пресликувањето , а g е ограничување на пресликувањето f ако и .
Ограничувањето на мапирањето на множество понекогаш се означува со симболот.
6) Графикот за прикажување е множество
Јасно е дека.
12. монотони функции. Инверзна функција, теорема за постоење. Функции y=arcsinx y=arcos x x својства и графикони.
Одговор: Монотона функција е функција чиј прираст не го менува знакот, односно е или секогаш ненегативна или секогаш непозитивна. Ако, дополнително, зголемувањето не е нула, тогаш функцијата се нарекува строго монотона.
Нека има функција f(x) дефинирана на интервалот
тогаш тие велат дека на сегментот
Забележете ја разликата помеѓу оваа дефиниција и дефиницијата за тоа дали сегментот е полн
Вообичаено, кога се зборува за инверзна функција, x го заменуваат со y и y со x(x "y) и пишуваат y=f (-1) (x). Очигледно е дека првобитната функција f(x) и инверзната функција f (-1) (x) ја задоволуваат релацијата
f (-1) (f(x))=f(f (-1) (x))=x.
Графиконите на оригиналната и инверзната функција се добиваат едни од други со огледална слика во однос на симетралата на првиот квадрант.
Теорема. Нека функцијата f(x) е дефинирана, континуирана и строго монотоно се зголемува (намалува) на интервалот. Тогаш на отсечката се дефинира инверзната функција f (-1) (x), која исто така е континуирана и строго монотоно се зголемува (опаѓа).
Доказ.
Да ја докажеме теоремата за случајот кога f(x) строго монотоно се зголемува.
1. Постоење на инверзна функција.
Бидејќи, според условите на теоремата, f(x) е континуиран, тогаш, според претходната теорема, сегментот е целосно пополнет. Тоа значи дека.
Да докажеме дека x е единствен. Навистина, ако земеме x’>x, тогаш f(x’)>f(x)=y и затоа f(x’)>y. Ако земеме x'' 2. Монотоност на инверзната функција. Да ја направиме вообичаената замена x «y и да напишеме y= f (-1) (x). Ова значи дека x=f(y). Нека x 1 >x 2 . Потоа: y 1 = f (-1) (x1); x 1 =f(y 1) y2 = f (-1) (x2); x 2 =f(y 2) Каква е врската помеѓу y 1 и y 2? Ајде да ги провериме можните опции. а) y 1 б) y 1 =y 2? Но, тогаш f(y 1)=f(y 2) и x 1 =x 2, и имавме x 1 >x 2. в) Единствената опција што останува е y 1 >y 2, т.е. Но, тогаш f (-1) (x 1)>f (-1) (x 2), а тоа значи дека f (-1) (...) строго монотоно се зголемува. 3. Континуитет на инверзната функција. Бидејќи вредностите на инверзната функција го исполнуваат целиот сегмент, а потоа според претходната теорема f (-1) (...) е континуирано.< <="" a="" style="color: rgb(255, 68, 0);"> <="" a="" style="color: rgb(0, 0, 0); font-family: Arial; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px; -webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: rgb(0, 171, 160);">
<="" a="" style="color: rgb(255, 68, 0); font-family: Arial; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px; -webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: rgb(0, 171, 160);"> 13.состав на функции. Елементарни функции. Функции y=arctg x, y = arcctg x, нивните својства и графикони. Одговор: Во математиката составот на функции (суперпозиција на функции) е примена на една функција на резултат на друга. Составот на функциите G и F обично се означува со G∘F, што ја означува примената на функцијата G на резултатот од функцијата F. Нека F:X→Y и G:F(X)⊂Y→Z се две функции. Тогаш нивниот состав е функцијата G∘F:X→Z, дефинирана со еднаквоста: (G∘F)(x)=G(F(x)),x∈X. Елементарните функции се функции кои можат да се добијат со користење на конечен број аритметички операции и состави од следните основни елементарни функции: Секоја елементарна функција може да се специфицира со формула, односно збир од конечен број симболи што одговараат на користените операции. Сите елементарни функции се континуирани во својот домен на дефиниција. Понекогаш основните елементарни функции вклучуваат и хиперболични и инверзни хиперболични функции, иако тие можат да се изразат преку основните елементарни функции наведени погоре. <="" a="" style="color: rgb(255, 68, 0); font-family: Arial; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px; -webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: rgb(0, 171, 160);"> 1.1. Системи од две линеарни равенки и детерминанти од втор ред Размислете за систем од две линеарни равенки со две непознати: Шансите Правило на Крамер:
Решението на системот се наоѓа со делење на помошните одредници со главната детерминанта на системот Забелешка 1.Користењето на Крамеровото правило е можно ако детерминантата на системот Забелешка 2.Формулите на Крамер се генерализирани на системи од повисок ред. Пример 1.Решете го системот: Решение. Испитување: Заклучок:Системот е решен правилно: Размислете за систем од три линеарни равенки со три непознати: Се нарекува детерминанта составена од коефициенти за непознати системска детерминанта или главна детерминанта: Ако каде се детерминантите Пример 2.Решете го системот Да ги формираме главните и помошните детерминанти: Останува да се разгледаат правилата за пресметување на детерминантите од трет ред. Има три од нив: правило за додавање колони, правило Сарус, правило за распаѓање. а) Правилото за додавање на првите две колони на главната детерминанта:
Пресметката се врши на следниов начин: производите на елементите на главната дијагонала и паралелите со него одат со нивниот знак; со спротивниот знак се земаат производите на елементите на секундарната дијагонала и паралелите со него. б) Правило на Сарус:
Со својот знак ги земаат производите на елементите на главната дијагонала и по паралели со неа, а третиот елемент што недостасува се зема од спротивниот агол. Со спротивен знак, земете ги производите на елементите на секундарната дијагонала и по паралелите со неа, третиот елемент се зема од спротивниот агол. в) Правило на распаѓање по елементи на ред или колона:
Ако Алгебарски комплементе детерминанта од понизок ред што се добива со вкрстување на соодветниот ред и колона и земање предвид на знакот На пример, Користејќи го ова правило, ги пресметуваме помошните детерминанти Откако ги пресметавме сите детерминанти, ги наоѓаме променливите користејќи го правилото на Крамер: Испитување: Заклучок:системот е правилно решен: . Основни својства на детерминантите
Мора да се запомни дека детерминантата е број, пронајден според некои правила. Неговата пресметка може да се поедностави ако користиме основни својства кои важат за детерминанти од кој било ред. Имотот 1.
Вредноста на детерминантата нема да се промени ако сите нејзини редови се заменат со колони што одговараат по број и обратно. Операцијата на замена на редови со колони се нарекува транспозиција. Од ова својство произлегува дека секоја изјава што е точна за редовите на детерминантата ќе биде вистинита и за нејзините колони. Имотот 2.
Ако се заменат два реда (колони) во детерминантата, знакот на детерминантата ќе се смени на спротивен. Имотот 3.
Ако сите елементи од која било редица на детерминанта се еднакви на 0, тогаш детерминантата е еднаква на 0. Имотот 4.
Ако елементите на низата од детерминантите се помножат (поделат) со некој број Ако елементите на редот имаат заеднички фактор, тогаш тој може да се извади од знакот за детерминанта. Имотот 5.
Ако детерминантата има две идентични или пропорционални редови, тогаш таквата детерминанта е еднаква на 0. Имотот 6.
Ако елементите на која било редица на детерминанта се збир на два члена, тогаш детерминантата е еднаква на збирот на двете детерминанти. Имотот 7.
Вредноста на детерминантата нема да се промени ако елементите од редот се додадат на елементите од друга редица, помножени со истиот број. Во оваа одредница, прво третата редица беше додадена на вториот ред, помножена со 2, потоа втората беше одземена од третата колона, по што вториот ред беше додаден на првата и третата, како резултат добивме многу нули и ја поедностави пресметката. Основнотрансформации
детерминантата се нарекува нејзино поедноставување преку употреба на наведените својства. Пример 1.Пресметај детерминанта Директната пресметка според едно од правилата дискутирани погоре води до гломазни пресметки. Затоа, препорачливо е да се користат својствата: а) од линијата 1, одземете ја втората, помножена со 2; б) од линијата II одземе трета, помножена со 3. Како резултат добиваме: Дозволете ни да ја прошириме оваа детерминанта во елементите од првата колона, која содржи само еден елемент кој не е нула. Системи и детерминанти од повисоки редови
систем За овој случај, исто така е можно да се состават главните и помошните детерминанти и да се одредат непознатите користејќи го Крамеровото правило. Проблемот е што детерминантите од повисок ред можат да се пресметаат само со намалување на редоследот и нивно сведување на детерминанти од трет ред. Ова може да се направи со директно распаѓање на елементи од редови или колони, како и со користење на прелиминарни елементарни трансформации и понатамошно распаѓање. Пример 4.Пресметај ја детерминантата од четврти ред Решениеможеме да го најдеме на два начина: а) со директно проширување во елементите од првиот ред: б) преку прелиминарни трансформации и понатамошно разложување а) од правата I одземе III б) додадете алинеја II до IV Пример 5.Пресметајте ја детерминантата од петти ред, добивајќи нули во третиот ред користејќи ја четвртата колона од првата линија ја одземаме втората, од третата ја одземаме втората, од четвртата ја одземаме втората помножена со 2. одземете ја третата од втората колона: одземете го третиот од вториот ред: Пример 6.Решете го системот: Решение.Ајде да составиме детерминанта на системот и, користејќи ги својствата на детерминантите, да ја пресметаме: (од првиот ред ја одземаме третата, а потоа во добиената детерминанта од трет ред од третата колона ја одземаме првата, помножена со 2). Детерминанта Да ги пресметаме преостанатите детерминанти: Четвртата колона се множи со 2 и се одзема од останатите Четвртата колона беше одземена од првата, а потоа, помножена со 2, одземена од втората и третата колона. Овде ги извршивме истите трансформации како и за Кога ќе најдете Според правилото на Крамер имаме: Откако ги заменивме пронајдените вредности во равенките, убедени сме дека решението на системот е точно. 2. МАТРИЦИ И НИВНА УПОТРЕБА ВО РЕШАВАЊЕ НА СИСТЕМИ НА ЛИНЕАРНИ РАВЕНКИ При решавање на задачи по виша математика многу често се јавува потреба пресметај ја детерминантата на матрицата. Детерминантата на матрицата се појавува во линеарна алгебра, аналитичка геометрија, математичка анализа и други гранки на вишата математика. Така, едноставно е невозможно да се направи без вештината за решавање на детерминанти. Исто така, за само-тестирање, можете бесплатно да преземете калкулатор за детерминанти; тој нема да ве научи како да решавате детерминанти сам по себе, но е многу погодно, бидејќи секогаш е корисно однапред да го знаете точниот одговор! Нема да дадам строга математичка дефиниција за детерминантата и, генерално, ќе се обидам да ја минимизирам математичката терминологија; тоа нема да им олесни на повеќето читатели. Целта на оваа статија е да ве научи како да решавате детерминанти од втор, трет и четврти ред. Целиот материјал е претставен во едноставна и достапна форма, па дури и полн (празен) чајник по вишата математика, по внимателно проучување на материјалот, ќе може правилно да ги реши детерминантите. Во пракса, најчесто можете да најдете детерминанта од втор ред, на пример: и детерминанта од трет ред, на пример: Детерминанта од четврти ред Се надевам дека сите го разбираат следново:Броевите внатре во детерминантата живеат сами, и не станува збор за никакво одземање! Броевите не можат да се заменат! (Конкретно, можно е да се изврши парно преуредување на редови или колони на детерминанта со промена на нејзиниот знак, но често тоа не е неопходно - видете ја следната лекција Својства на детерминантата и намалување на нејзиниот редослед) Така, ако е дадена некоја детерминанта, тогаш Ние не допираме ништо во него! Ознаки: Ако е дадена матрица 1)Што значи да се реши (најде, открие) детерминанта?Да се пресмета детерминантата значи да се НАЈДЕ БРОЈОТ. Прашалниците во горните примери се сосема обични бројки. 2) Сега останува да дознаеме КАКО да го најдете овој број?За да го направите ова, треба да примените одредени правила, формули и алгоритми, за кои ќе се дискутира сега. Да почнеме со детерминантата „два“ по „два“: ОВА ТРЕБА ДА СЕ ЗАПОМНИ, барем додека студирате виша математика на универзитет. Ајде да погледнеме пример веднаш: Подготвени. Најважно е ДА НЕ СЕ ПОМЕСТУВАТЕ ВО ЗНАЦИТЕ. Детерминанта на матрица три-на-триможе да се отвори на 8 начини, 2 од нив се едноставни, а 6 се нормални. Да почнеме со два едноставни начини Слично на детерминантата два-на-два, детерминантата три-на-три може да се прошири со помош на формулата: Формулата е долга и лесно е да се направи грешка поради невнимание. Како да избегнете досадни грешки? За таа цел е измислен втор метод за пресметување на детерминантата, кој всушност се совпаѓа со првиот. Се нарекува метод на Сарус или метод на „паралелни ленти“. Пример: Споредете ги двете решенија. Лесно е да се види дека ова е истото, само во вториот случај факторите на формулата се малку преуредени, и што е најважно, веројатноста за правење грешка е многу помала. Сега да ги погледнеме шесте нормални начини за пресметување на детерминантата Зошто нормално? Бидејќи во огромното мнозинство на случаи, квалификациите треба да се обелоденат на овој начин. Како што забележавте, детерминантата три по три има три колони и три реда. Детерминантата на матрицата е еднаква на збирот на производите на елементите на редот (колоната) со соодветните алгебарски комплементи. Страшно? Сè е многу поедноставно, ние ќе користиме ненаучен, но разбирлив пристап, достапен дури и за човек далеку од математиката. Во следниот пример ќе ја прошириме детерминантата на првата линија. Внимание! Матрицата со знаци е мој сопствен изум. Овој концепт не е научен, не треба да се користи во финалниот дизајн на задачите, само ви помага да го разберете алгоритмот за пресметување на детерминантата. Прво ќе го дадам целосното решение. Повторно ја земаме нашата експериментална детерминанта и ги извршуваме пресметките: И главното прашање: КАКО да се добие ова од детерминантата „три по три“: Значи, детерминантата „три по три“ се сведува на решавање на три мали детерминанти, или како што уште се нарекуваат, МИНОРОВ. Препорачувам да го запомните терминот, особено затоа што е незаборавен: малолетно – мало. Откако ќе се избере методот на разложување на детерминантата на првата линија, очигледно е дека се се врти околу неа: Елементите обично се гледаат од лево кон десно (или од горе до долу ако е избрана колона) Ајде да одиме, прво се занимаваме со првиот елемент од линијата, односно со еден: 1) Од матрицата на знаци го запишуваме соодветниот знак: 2) Потоа го пишуваме самиот елемент: 3) МЕНТАЛНО пречкртајте ги редот и колоната во кои се појавува првиот елемент: Ајде да преминеме на вториот елемент од линијата. 4) Од матрицата на знаци го запишуваме соодветниот знак: 5) Потоа напишете го вториот елемент: 6) МЕНТАЛНО прецртај ги редот и колоната во кои се појавува вториот елемент: Па, третиот елемент од првата линија. Без оригиналност: 7) Од матрицата на знаци го запишуваме соодветниот знак: 8) Запишете го третиот елемент: 9) МЕНТАЛНО прецртај ги редот и колоната што го содржат третиот елемент: Останатите дејства не претставуваат никакви тешкотии, бидејќи веќе знаеме како да ги броиме одредниците два по два. НЕ СЕ ЗБУНЕТЕ ВО ЗНАЦИТЕ! Слично на тоа, детерминантата може да се прошири преку кој било ред или во која било колона.Нормално, во сите шест случаи одговорот е ист. Детерминантата четири по четири може да се пресмета со користење на истиот алгоритам. Во следниот пример ја проширив детерминантата според четвртата колона: Како се случи тоа, обидете се сами да го сфатите. Повеќе информации ќе дојдат подоцна. Ако некој сака да ја реши детерминантата до крај, точниот одговор е: 18. За вежбање, подобро е да се реши детерминантата со некоја друга колона или друга редица. Вежбањето, откривањето, правењето пресметки е многу добро и корисно. Но, колку време ќе потрошите на големите квалификации? Зарем нема побрз и посигурен начин? Ви предлагам да се запознаете со ефективни методи за пресметување детерминанти во втората лекција - Својства на детерминанта. Намалување на редоследот на детерминантата. ВНИМАВАЈ! Матрицата е правоаголна табела составена од броеви. Нека биде дадена квадратна матрица од ред 2: Детерминантата (или детерминантата) од редот 2 што одговара на дадена матрица е бројот Детерминанта (или детерминанта) од 3 ред што одговара на матрица е број Пример 1: Најдете детерминанти на матрици и Систем на линеарни алгебарски равенки Нека е даден систем од 3 линеарни равенки со 3 непознати Системот (1) може да се запише во матрица-векторска форма каде А е матрицата на коефициентите Б - продолжена матрица X е потребниот вектор на компонента; Нека е даден систем од линеарни равенки со две непознати: Да разгледаме решавање на системи на линеарни равенки со две и три непознати користејќи ги формулите на Крамер. Теорема 1. Ако главната детерминанта на системот е различна од нула, тогаш системот има решение и единствено. Решението на системот се одредува со формулите: каде што x1, x2 се корените на системот на равенки, Главната детерминанта на системот, x1, x2 се помошни детерминанти. Помошни квалификации: Решавање системи на линеарни равенки со три непознати со помош на Крамеровиот метод. Нека е даден систем од линеарни равенки со три непознати: Теорема 2. Ако главната детерминанта на системот е различна од нула, тогаш системот има решение и единствено. Решението на системот се одредува со формулите: каде што x1, x2, x3 се корените на системот на равенки, Главната детерминанта на системот, x1, x2, x3 се помошни детерминанти. Главната детерминанта на системот се определува со: Помошни квалификации: Страница 1 Главната детерминанта е составена така што првата колона содржи коефициенти за параметарот што е нацртан на хоризонталната оска. Во овој случај, се претпоставува дека klK е нацртан по вертикалната оска, a & 2it - по хоризонталната оска. Главната детерминанта е еднаква на нула, а најмалку една помошна детерминанта не е еднаква на нула. Главната детерминанта - Хурвиц е составена на следниов начин. Главната детерминанта на матрицата P (или Q) е од редот m, а изразот соодветните главни детерминанти значи дека колоните од матрицата P вклучени во предметната детерминанта имаат исти броеви и ист ред како и редовите на матрицата Q вклучена во другата детерминанта. Главната детерминанта D (p), наречена карактеристика, не зависи ниту од саканата променлива ниту од локацијата на примена на вознемирувачката сила. Ја составуваме главната детерминанта А. Ја составуваме главната детерминанта на системот и ја изедначуваме на нула. Стабилноста ја оценуваме според природата на корените. Степенот на карактеристичната равенка се определува со бројот на енергетски интензивни елементи кои независно акумулираат енергија, земајќи ги предвид половите на секој од контролираните извори зависни од фреквенцијата достапни во колото. Во некои случаи, при проучување на стабилноста, неопходно е да се земе предвид не само првиот доминантен пол на оп-засилувач или транзистор, туку и останатите полови. Бидејќи главната детерминанта на системот (3.50) е еднаква на нула, сопствените вектори не се одредуваат единствено, туку во рамките на константен фактор. Да ја изразиме главната детерминанта D [формула (8.35)] преку параметрите на колото. Ако главната детерминанта на систем од n линеарни равенки со n непознати не е еднаква на нула, тогаш системот има единствено решение, но ако оваа детерминанта е еднаква на нула, тогаш системот е или неизвесен или неконзистентен. Ако главната детерминанта на хомоген систем (9) не е еднаква на нула, тогаш, според претходната теорема, системот има единствено решение. Ова решение е тривијално. Ако главната детерминанта е еднаква на нула, тогаш системот, во согласност со теорема 2, може да биде или неконзистентен или неопределен. Сепак, системот на равенки (9) не може да биде неконзистентен, бидејќи постои тривијално решение. Ако главната детерминанта на хомоген систем (9) не е еднаква на нула, тогаш, според претходната теорема, системот има единствено решение. Ова решение е тривијално. Ако главната детерминанта е еднаква на нула, тогаш системот. Сепак, системот на равенки (9) не може да биде неконзистентен, бидејќи постои тривијално решение. Ако главната детерминанта на хомоген систем (9) не е еднаква на нула, тогаш, според претходната теорема, системот има единствено решение. Ова решение е тривијално. Ако главната детерминанта е еднаква на нула, тогаш системот, во согласност со теорема 2, може да биде или неконзистентен или неопределен. Сепак, системот на равенки (9) не може да биде неконзистентен, бидејќи постои тривијално решение.y = arcsin x y = arccos x
инверзна функција на функцијата y = sin x, - / 2 x / 2 инверзна функција на функцијата y = cos x, 0 x
y = арктан x y = arcctg x
инверзна функција на функцијата y = tan x, - / 2< x < / 2
инверзна функција на функцијата y = креветче x, 0< x <
y > 0 на x R
ЕКСТРЕМ: бр бр
ПЕРСПЕКТИВИ НА МОНОТОНИЈАТА: се зголемува со x R се намалува како x R
со непознати 
И 
имаат два индекса: првиот го означува бројот на равенката, вториот - бројот на променливата.
,
не е еднаква на нула.
.
;
;
;
.1.2. Системи од три линеарни равенки и детерминанти од трет ред
.
тогаш системот има единствено решение, кое се одредува со формулите на Крамер:
– се нарекуваат помошни и се добиваат од детерминантата 
со замена на нејзината прва, втора или трета колона со колона од слободни членови на системот.
.
, Потоа.
, Каде 
- број на линија, 
– број на колона.
,
,
итн.
И 
, проширувајќи ги според елементите од првиот ред.
, тогаш вредноста на детерминантата ќе се зголеми (намали) во 
еднаш.
.
линеарни равенки со 
непознатите може да се напишат на следниов начин:
, затоа, формулите на Крамер се применливи.
.
.
.
првата колона се множи со 2 и се одзема од останатите.
.
Исто така, не е антиквитет, и ќе дојдеме до него на крајот од лекцијата.
, тогаш се означува нејзината детерминанта . Исто така многу често детерминантата се означува со латиница или грчка буква.
Во крајна линија е дека десно од детерминантата, доделете ја првата и втората колона и внимателно нацртајте линии со молив:
Мултипликаторите лоцирани на „црвените“ дијагонали се вклучени во формулата со знак „плус“.
Мултипликаторите лоцирани на „сините“ дијагонали се вклучени во формулата со знак минус:
Може да ја решите детерминантата со отворање по кој било ред или по која било колона.
Така, постојат 6 методи, во сите случаи се користат ист типалгоритам.
За ова ни треба матрица од знаци: . Лесно е да се забележи дека знаците се распоредени во шаховска табла.
?
Останатите четири броеви ја формираат детерминантата „два по два“, која се нарекува МАЛЕТНИна даден елемент (единица).
Преостанатите четири броеви ги запишуваме во мала детерминанта.
Во овој случај, нашата матрица на знаци ќе се зголеми:
Решавање системи на равенки со помош на Крамеровиот метод
Графикон /C4 - x и неговите скелети.
Се вчитува...
