Како да ги решите проблемите со негативен степен. Како да се подигне до негативна моќност - примери со користење на обични броеви. Подигнување на број до природна моќ

Формули за степенсе користи во процесот на намалување и поедноставување сложени изрази, при решавање равенки и неравенки.

Број ве n-та моќ на број аКога:

Операции со степени.

1. Множење на моќи на в истата основанивните индикатори се собираат:

м·a n = a m + n .

2. При делење на степени со иста основа, нивните експоненти се одземаат:

3. Моќност на производот од 2 или повеќефакторите се еднакви на производот на моќноста на овие фактори:

(abc…) n = a n · b n · c n…

4. Степенот на дропка е еднаков на односот на степените на дивидендата и делителот:

(a/b) n = a n /b n .

5. Подигнувајќи ја моќноста на моќност, експонентите се множат:

(a m) n = a m n .

Секоја формула погоре е точна во насоките од лево кон десно и обратно.

На пример. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Операции со корени.

1. Коренот на производот од неколку фактори е еднаков на производот од корените на овие фактори:

2. Коренот на соодносот е еднаков на односот на дивидендата и делителот на корените:

3. Кога се подига коренот до моќ, доволно е да се подигне радикалниот број на оваа моќност:

4. Ако го зголемите степенот на коренот во nеднаш и во исто време се изгради во nта моќ е радикален број, тогаш вредноста на коренот нема да се промени:

5. Ако го намалите степенот на коренот во nизвлечете го коренот во исто време n-та моќ на радикален број, тогаш вредноста на коренот нема да се промени:

Степен со негативен експонент.Моќта на одреден број со непозитивен (целоброј) експонент се дефинира како поделен со моќноста на истиот број со експонент еднаков на апсолутната вредност на непозитивниот експонент:

Формула м:a n =a m - nможе да се користи не само за м> n, но и со м< n.

На пример. а4:а 7 = а 4 - 7 = а -3.

До формула м:a n =a m - nстана фер кога m=n, потребно е присуство на нула степен.

Степен со нулта индекс.Моќта на кој било број што не е еднаков на нула со нула експонент е еднаква на еден.

На пример. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Степен со дробен експонент.Да се ​​подигне реален број Адо степен m/n, треба да го извлечете коренот nти степен на м-та моќ на овој број А.

Бројка подигната на моќТие повикуваат број кој се множи сам по себе неколку пати.

Моќност на број со негативна вредност (a - n) може да се определи на сличен начин како се одредува моќноста на ист број со позитивен експонент (а n) . Сепак, тоа бара и дополнителна дефиниција. Формулата е дефинирана како:

a-n = (1/а n)

Својствата на негативните сили на броевите се слични на силите со позитивен експонент. Презентирана равенка а m/a n= м-н може да биде фер како

« Никаде, како во математиката, јасноста и точноста на заклучокот не дозволуваат човекот да се извитка од одговорот зборувајќи околу прашањето».

А.Д.Александров

на n повеќе м , и со м повеќе n . Ајде да погледнеме на пример: 7 2 -7 5 =7 2-5 =7 -3 .

Прво треба да го одредите бројот што делува како дефиниција за степенот. b=a(-n) . Во овој пример -n е експонент б - саканата нумеричка вредност, а - основата на степенот во форма на природна нумеричка вредност. Потоа одреди го модулот, односно апсолутната вредност негативен број, кој делува како експонент. Пресметај го степенот на даден број во однос на апсолутен број, како индикатор. Вредноста на степенот се наоѓа со делење на еден со добиениот број.

Ориз. 1

Размислете за моќта на број со негативен фракционо експонент. Да замислиме дека бројот a е кој било позитивен број, броеви n И м - цели броеви. Според дефиницијата а , кој е подигнат на моќ - е еднакво на еден поделен со ист број со позитивен степен(Слика 1). Кога моќта на некој број е дропка, тогаш во такви случаи се користат само броеви со позитивни експоненти.

Вреди да се запаметитаа нула никогаш не може да биде експонент на број (правило за делење со нула).

Ширењето на таков концепт како број стана такви манипулации како мерни пресметки, како и развој на математиката како наука. Воведувањето на негативни вредности се должи на развојот на алгебрата, што даде општи решенијааритметички проблеми, без оглед на нивното специфично значење и почетните нумерички податоци. Во Индија, уште во 6-11 век, негативните бројки биле систематски користени при решавање на проблеми и се толкувале на ист начин како и денес. Во европската наука, негативните броеви почнаа да се широко користени благодарение на Р. Декарт, кој даде геометриска интерпретација на негативните броеви како насоки на отсечките. Декарт беше тој што предложи означување на број подигнат до моќ да се прикаже како формула со два спрата a n .

Во овој материјал ќе погледнеме што е моќ на број. Покрај основните дефиниции, ќе формулираме кои се моќи со природни, целобројни, рационални и ирационални експоненти. Како и секогаш, сите концепти ќе бидат илустрирани со примери на проблеми.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Прво, да ја формулираме основната дефиниција за степен со природен експонент. За да го направите ова, треба да ги запомниме основните правила на множење. Однапред да разјасниме дека за сега ќе земеме реален број како основа (означен со буквата а), а природен број како индикатор (означен со буквата n).

Дефиниција 1

Моќта на бројот a со природен експонент n е производ на n-тиот број на фактори, од кои секој е еднаков на бројот a. Степенот е напишан вака: a n, а во форма на формула неговиот состав може да се претстави на следниов начин:

На пример, ако експонентот е 1, а основата е a, тогаш првата моќност на a се запишува како а 1. Со оглед на тоа што a е вредноста на факторот, а 1 е бројот на фактори, можеме да заклучиме дека a 1 = a.

Во принцип, можеме да кажеме дека диплома е пригодна форма на снимање големо количествоеднакви фактори. Значи, запис на формата 8 8 8 8може да се скрати на 8 4 . На ист начин, едно дело ни помага да избегнеме снимање голем бројтермини (8 + 8 + 8 + 8 = 8 4); Веќе разговаравме за ова во написот посветен на множењето на природните броеви.

Како правилно да го прочитате записот за диплома? Општо прифатената опција е „а до јачината на n“. Или можете да кажете „n-та сила на a“ или „anth моќта“. Ако, да речеме, во примерот наидовме на записот 8 12 , можеме да прочитаме „8 до 12-ти степен“, „8 до сила од 12“ или „12-ти степен од 8“.

Втората и третата сила на броевите имаат свои воспоставени имиња: квадрат и коцка. Ако ја видиме втората моќност, на пример, бројот 7 (7 2), тогаш можеме да кажеме „7 квадрат“ или „квадрат од бројот 7“. Слично на тоа, третиот степен се чита вака: 5 3 - ова е „коцка од бројот 5“ или „5 коцки“. Сепак, можете да ја користите и стандардната формулација „до втора/трета сила“; ова нема да биде грешка.

Пример 1

Ајде да погледнеме пример за степен со природен експонент: за 5 7 пет ќе биде основата, а седум ќе биде експонент.

Основата не мора да биде цел број: за степенот (4 , 32) 9 основата ќе биде дропот 4, 32, а експонентот ќе биде девет. Обрнете внимание на заградите: оваа ознака е направена за сите сили чии основи се разликуваат од природните броеви.

На пример: 1 2 3, (- 3) 12, - 2 3 5 2, 2, 4 35 5, 7 3.

За што служат заградите? Тие помагаат да се избегнат грешките во пресметките. Да речеме дека имаме два записи: (− 2) 3 И − 2 3 . Првиот од нив значи негативен број минус два подигнат до моќ со природен експонент три; вториот е бројот што одговара на спротивната вредност на степенот 2 3 .

Понекогаш во книгите можете да најдете малку поинаков правопис на моќта на бројот - a^n(каде што a е основа, а n е експонент). Тоа е, 4^9 е исто како 4 9 . Ако n е повеќецифрен број, тој се става во загради. На пример, 15 ^ (21) , (− 3 , 1) ^ (156) . Но, ние ќе ја користиме ознаката a nкако почести.

Лесно е да се погоди како да се пресмета вредноста на експонентот со природен експонент од неговата дефиниција: само треба да помножите n-ти број пати. Напишавме повеќе за ова во друга статија.

Концептот на степен е инверзна на друг математички концепт - коренот на број. Ако ја знаеме вредноста на моќноста и експонентот, можеме да ја пресметаме неговата основа. Степенот има некои специфични својства, корисни за решавање на проблеми за кои разговаравме во посебен материјал.

Експонентите можат да вклучуваат не само природни броеви, туку и сите цели броеви воопшто, вклучително и негативни и нули, бидејќи тие исто така припаѓаат на множеството цели броеви.

Дефиниција 2

Моќта на број со позитивен цел број експонент може да се претстави како формула: .

Во овој случај, n е кој било позитивен цел број.

Ајде да го разбереме концептот на нула степен. За да го направиме ова, користиме пристап кој го зема предвид својството количник за моќи со еднакви основи. Формулиран е вака:

Дефиниција 3

Еднаквост a m: a n = a m − nќе биде точно под следните услови: m и n се природни броеви, m< n , a ≠ 0 .

Последниот услов е важен бидејќи избегнува делење со нула. Ако вредностите на m и n се еднакви, тогаш го добиваме следниот резултат: a n: a n = a n − n = a 0

Но, во исто време a n: a n = 1 е количник на еднакви броеви a nи а. Излегува дека нултата моќност на кој било број што не е нула е еднаква на еден.

Сепак, таквиот доказ не важи за нула до нулта моќност. За да го направите ова, ни треба уште едно својство на моќта - својство на производи на моќи со еднакви основи. Изгледа вака: a m · a n = a m + n .

Ако n е еднакво на 0, тогаш a m · a 0 = a m(ова еднаквост ни го докажува и тоа а 0 = 1). Но, ако и е исто така еднакво на нула, нашата еднаквост добива форма 0 m · 0 0 = 0 m, Тоа ќе биде точно за секоја природна вредност на n, и не е важно колку точно вредноста на степенот е еднаква на 0 0 , односно може да биде еднаков на кој било број, а тоа нема да влијае на точноста на еднаквоста. Затоа, нотација на формата 0 0 нема свое посебно значење и нема да му го припишеме.

Ако сакате, лесно е да се провери тоа а 0 = 1конвергира со својството степен (a m) n = a m nпод услов основата на степенот да не е нула. Така, моќта на кој било ненулта број со експонент нула е еден.

Пример 2

Ајде да погледнеме пример со конкретни бројки: Значи, 5 0 - единица, (33 , 3) 0 = 1 , - 4 5 9 0 = 1 , и вредноста 0 0 недефинирано.

По нултата степен, само треба да откриеме што е негативен степен. За да го направите ова, ни треба истото својство на производот на моќи со еднакви основи што веќе ги користевме погоре: a m · a n = a m + n.

Да го воведеме условот: m = − n, тогаш a не треба да биде еднаков на нула. Го следи тоа a − n · a n = a − n + n = a 0 = 1. Излегува дека n и a−nимаме меѓусебни реципрочни броеви.

Како резултат на тоа, a до негативната цела моќност не е ништо повеќе од дропот 1 a n.

Оваа формулација потврдува дека за степен со цел број негативен експонент важат сите исти својства што ги има степенот со природен експонент (под услов основата да не е еднаква на нула).

Пример 3

Моќта a со негативен цел број експонент n може да се претстави како дропка 1 a n . Така, a - n = 1 a n предмет на a ≠ 0и n – било кој природен број.

Дозволете ни да ја илустрираме нашата идеја со конкретни примери:

Пример 4

3 - 2 = 1 3 2 , (- 4 . 2) - 5 = 1 (- 4 . 2) 5 , 11 37 - 1 = 1 11 37 1

Во последниот дел од параграфот, ќе се обидеме да прикажеме сè што е јасно кажано во една формула:

Дефиниција 4

Моќта на број со природен експонент z е: a z = a z, e со l и z - позитивен цел број 1, z = 0 и a ≠ 0, (за z = 0 и a = 0 резултатот е 0 0, вредностите на изразот 0 0 не се дефинирани) 1 a z, ако и z е негативен цел број и a ≠ 0 (ако z е негативен цел број и a = 0 добивате 0 z, egoz вредноста е неодредена)

Што се моќи со рационален експонент?

Испитавме случаи кога експонентот содржи цел број. Сепак, можете да подигнете број на моќ дури и кога неговиот експонент содржи дробен број. Ова се нарекува степен в рационален индикатор. Во овој дел ќе докажеме дека ги има истите својства како и другите моќи.

Што се случи рационални броеви? Нивната разновидност вклучува и цели и дробни броеви, додека дробните броеви можат да се претстават како обични дропки (и позитивни и негативни). Дозволете ни да ја формулираме дефиницијата за моќноста на бројот a со фракционо експонент m / n, каде што n е природен број, а m е цел број.

Имаме одреден степен со дробен експонент a m n . За да може својството за моќ за напојување да важи, еднаквоста a m n n = a m n · n = a m мора да биде вистинита.

Со оглед на дефиницијата за n-тиот корен и дека m n n = a m, можеме да го прифатиме условот a m n = a m n ако m n има смисла за дадените вредности на m, n и a.

Горенаведените својства на степен со цел број експонент ќе бидат вистинити под услов a m n = a m n .

Главниот заклучок од нашето размислување е ова: моќта на одреден број a со фракционо експонент m / n е n-тиот корен од бројот a до моќноста m. Ова е точно ако, за дадени вредности на m, n и a, изразот a m n останува значаен.

1. Можеме да ја ограничиме вредноста на основата на степенот: да земеме a, која за позитивни вредности на m ќе биде поголема или еднаква на 0, а за негативни вредности - строго помала (бидејќи за m ≤ 0 добиваме 0 m, но таков степен не е дефиниран). Во овој случај, дефиницијата за степен со фракционен експонент ќе изгледа вака:

Моќта со дробен експонент m/n за некој позитивен број a е n-тиот корен на a подигнат на моќноста m. Ова може да се изрази како формула:

За моќност со нулта основа, оваа одредба е исто така погодна, но само ако нејзиниот експонент е позитивен број.

Моќта со основна нула и фракционо позитивен експонент m/n може да се изрази како

0 m n = 0 m n = 0 под услов m е позитивен цел број, а n е природен број.

За негативен сооднос m n< 0 степень не определяется, т.е. такая запись смысла не имеет.

Да забележиме една точка. Бидејќи го воведовме условот дека a е поголемо или еднакво на нула, на крајот отфрливме некои случаи.

Изразот a m n понекогаш сè уште има смисла за некои негативни вредности на a и некои m. Така, точните записи се (- 5) 2 3, (- 1, 2) 5 7, - 1 2 - 8 4, во кои основата е негативна.

2. Вториот пристап е да се разгледа одделно коренот a m n со парни и непарни експоненти. Потоа ќе треба да воведеме уште еден услов: степенот a, во чијшто експонент има редуцирана обична дропка, се смета дека е степенот a, во чиј експонент има соодветната нередуцирана дропка. Подоцна ќе објасниме зошто ни е потребна оваа состојба и зошто е толку важна. Така, ако ја имаме ознаката a m · k n · k , тогаш можеме да ја намалиме на m n и да ги поедноставиме пресметките.

Ако n е непарен број, а вредноста на m е позитивна, а a е кој било ненегативен број, тогаш a m n има смисла. Условот a да биде ненегативен е неопходен бидејќи корен со парен степен не може да се извлече од негативен број. Ако вредноста на m е позитивна, тогаш a може да биде и негативна и нула, бидејќи непарен корен може да се земе од било кој реален број.

Ајде да ги комбинираме сите горенаведени дефиниции во еден запис:

Овде m/n значи нередуцирана дропка, m е кој било цел број, а n е кој било природен број.

Дефиниција 5

За секоја обична редуцирана дропка m · k n · k степенот може да се замени со m n .

Моќта на бројот a со нередуциран дробен експонент m / n - може да се изрази како m n во следниве случаи: - за секој реален a, позитивни цели броеви m и непарни природни вредности n. Пример: 2 5 3 = 2 5 3, (- 5, 1) 2 7 = (- 5, 1) - 2 7, 0 5 19 = 0 5 19.

За кое било реално a не-нула, негативни целобројни вредности на m и непарни вредности на n, на пример, 2 - 5 3 = 2 - 5 3, (- 5, 1) - 2 7 = (- 5, 1) - 2 7

За секој ненегативен a, позитивен цел број m и парен n, на пример, 2 1 4 = 2 1 4, (5, 1) 3 2 = (5, 1) 3, 0 7 18 = 0 7 18.

За секој позитивен a, негативен цел број m и парен n, на пример, 2 - 1 4 = 2 - 1 4, (5, 1) - 3 2 = (5, 1) - 3, .

Во случај на други вредности, степенот со фракционен експонент не е одреден. Примери за такви степени: - 2 11 6, - 2 1 2 3 2, 0 - 2 5.

Сега да ја објасниме важноста на условот дискутиран погоре: зошто да се замени дропка со редуциран експонент со дропка со несмалувачки експонент. Ако не го направивме ова, ќе ги имавме следните ситуации, да речеме, 6/10 = 3/5. Тогаш треба да биде точно (- 1) 6 10 = - 1 3 5 , но - 1 6 10 = (- 1) 6 10 = 1 10 = 1 10 10 = 1 и (- 1) 3 5 = (- 1 ) 3 5 = - 1 5 = - 1 5 5 = - 1 .

Дефиницијата за степен со фракционо експонент, која ја претставивме прво, е попогодна за употреба во пракса од втората, па затоа ќе продолжиме да ја користиме.

Дефиниција 6

Така, моќта на позитивен број a со фракционо експонент m/n се дефинира како 0 m n = 0 m n = 0. Во случај на негативно аознаката a m n нема смисла. Сила на нула за позитивни фракциони експоненти m/nсе дефинира како 0 m n = 0 m n = 0 , за негативни фракциони експоненти не го дефинираме степенот на нула.

Во заклучоците, забележуваме дека секој фракционо индикатор може да се напише и во форма на мешан број и во форма децимална: 5 1 , 7 , 3 2 5 - 2 3 7 .

Кога се пресметува, подобро е да се замени експонентот со обична дропка, а потоа да се користи дефиницијата за експонент со фракционен експонент. За горните примери добиваме:

5 1 , 7 = 5 17 10 = 5 7 10 3 2 5 - 2 3 7 = 3 2 5 - 17 7 = 3 2 5 - 17 7

Што се моќи со ирационални и реални експоненти?

Кои се реалните броеви? Нивниот сет вклучува и рационални и ирационални броеви. Затоа, за да разбереме што е степен со реален експонент, треба да дефинираме степени со рационални и ирационални експоненти. Погоре веќе спомнавме рационални. Ајде да се справиме со ирационалните индикатори чекор по чекор.

Пример 5

Да претпоставиме дека имаме ирационален број a и низа од неговите децимални приближувања a 0 , a 1 , a 2 , . . . . На пример, да ја земеме вредноста a = 1,67175331. . . , Потоа

a 0 = 1, 6, a 1 = 1, 67, a 2 = 1, 671, . . . , a 0 = 1,67, a 1 = 1,6717, a 2 = 1,671753, . . .

Можеме да ги поврземе низите од приближувања со низа од степени a a 0 , a a 1 , a a 2 , . . . . Ако се потсетиме на она што го кажавме претходно за подигање на бројките до рационални сили, тогаш можеме сами да ги пресметаме вредностите на овие моќи.

Да земеме на пример a = 3, потоа a 0 = 3 1, 67, a a 1 = 3 1, 6717, a a 2 = 3 1, 671753, . . . итн.

Низата моќи може да се сведе на број, кој ќе биде вредноста на моќта со основа a и ирационален експонент a. Како резултат на тоа: степен со ирационален експонент на формата 3 1, 67175331. . може да се намали на бројот 6, 27.

Дефиниција 7

Моќта на позитивен број a со ирационален експонент a се пишува како a . Неговата вредност е граница на низата a a 0 , a a 1 , a a 2 , . . . , каде што 0 , a 1 , a 2 , . . . се последователни децимални апроксимации на ирационалниот број a. Степен со нулта основа може да се дефинира и за позитивни ирационални експоненти, со 0 a = 0 Значи, 0 6 = 0, 0 21 3 3 = 0. Но, ова не може да се направи за негативни, бидејќи, на пример, вредноста 0 - 5, 0 - 2 π не е дефинирана. Единицата подигната на која било ирационална моќ останува единица, на пример, и 1 2, 1 5 во 2 и 1 - 5 ќе биде еднаква на 1.

Доколку забележите грешка во текстот, означете ја и притиснете Ctrl+Enter

Во една од претходните написи веќе ја споменавме моќта на бројот. Денес ќе се обидеме да се движиме низ процесот на наоѓање на неговото значење. Научно гледано, ќе сфатиме како правилно да се подигнеме до моќ. Ќе сфатиме како се спроведува овој процес, а во исто време ќе ги допреме сите можни експоненти: природни, ирационални, рационални, цел број.

Значи, ајде внимателно да ги разгледаме решенијата на примерите и да дознаеме што значи тоа:

1. Дефиниција на концептот.
2. Подигнување до негативна уметност.
3. Цел показател.
4. Подигнување на број до ирационална моќ.

Еве дефиниција што точно го одразува значењето: „Експоненција е дефиниција на вредноста на моќта на број“.

Соодветно на тоа, подигање на бројот а во чл. r и процесот на пронаоѓање на вредноста на степенот a со експонентот r се идентични поими. На пример, ако задачата е да се пресмета вредноста на моќноста (0,6)6″, тогаш може да се поедностави со изразот „Подигнете го бројот 0,6 на моќност од 6“.

По ова, можете да продолжите директно до правилата за изградба.

Подигнување до негативна моќ

За јасност, треба да обрнете внимание на следниот синџир на изрази:

110=0,1=1* 10 минус 1 лажица,

1100=0,01=1*10 во минус 2 степени,

11000=0,0001=1*10 во минус 3 ст.,

110000=0,00001=1*10 до минус 4 степени.

Благодарение на овие примери, можете јасно да ја видите можноста за моментално пресметување на 10 до која било минус моќност. За таа цел, доволно е едноставно да се префрли децималната компонента:

• 10 до -1 степен - пред еден има 1 нула;
• во -3 - три нули пред еден;
• во -9 има 9 нули и така натаму.

Лесно е да се разбере и од овој дијаграм колку ќе бидат 10 минус 5 лажици. -

1100000=0,000001=(1*10)-5.

Како да подигнете број до природна моќност

Сеќавајќи се на дефиницијата, земаме предвид дека природниот број а во чл. n е еднаков на производот на n фактори, од кои секој е еднаков на a. Да илустрираме: (a*a*…a)n, каде n е бројот на броеви кои се множат. Според тоа, за да се подигне a до n, потребно е да се пресмета производот следниот тип: a*a*…a поделено со n пати.

Од ова станува очигледно дека подигање на природен ул. се потпира на способноста да се изврши множење(овој материјал е опфатен во делот за множење реални броеви). Да го погледнеме проблемот:

Подигнете -2 до 4-ти ул.

Имаме работа со природен индикатор. Според тоа, текот на одлуката ќе биде како што следува: (-2) во чл. 4 = (-2)*(-2)*(-2)*(-2). Сега останува само да се помножат цели броеви: (-2)*(-2)*(-2)*(-2). Добиваме 16.

Одговор на проблемот:

(-2) во чл. 4=16.

Пример:

Пресметајте ја вредноста: три точки две седми на квадрат.

Овој примере еднаков на следниот производ: три точки две седми помножени со три точки две седми. Потсетувајќи како се множат мешаните броеви, ја завршуваме конструкцијата:

• 3 поени 2 седми помножени сами по себе;
• е еднакво на 23 седми помножени со 23 седми;
• е еднакво на 529 четириесет и деветти;
• намалуваме и добиваме 10 триесет и девет четириесет и деветти.

Одговор: 10 39/49

Во однос на прашањето за подигање до ирационален експонент, треба да се забележи дека пресметките почнуваат да се вршат по завршувањето на прелиминарното заокружување на основата на степенот до која било цифра што би овозможила да се добие вредноста со дадена точност. На пример, треба да го квадратиме бројот P (pi).

Почнуваме со заокружување на P на стотинки и добиваме:

P квадрат = (3,14)2=9,8596. Меѓутоа, ако го намалиме P на десет илјадити дел, ќе добиеме P = 3,14159. Тогаш квадратирањето дава сосема поинаков број: 9,8695877281.

Овде треба да се забележи дека во многу проблеми нема потреба да се подигаат ирационални бројки на моќи. Како по правило, одговорот се внесува или во форма на вистинскиот степен, на пример, коренот од 6 до моќта од 3, или, ако изразот дозволува, се врши негова трансформација: корен од 5 до 7 степени = 125 корен од 5.

Како да подигнете број до цел број

Оваа алгебарска манипулација е соодветна земете ги предвид следниве случаи:

• за цели броеви;
• за нула индикатор;
• за позитивен цел број експонент.

Бидејќи скоро сите се недопрени позитивни бројкисе совпаѓа со масата на природните броеви, тогаш поставувањето на позитивна цел број е ист процес како и поставувањето во чл. природно. Овој процес го опишавме во претходниот пасус.

Сега да зборуваме за пресметување на ул. нула. Погоре веќе дознавме нула степенброевите a може да се одредат за која било не-нула a (реално), додека a во чл. 0 ќе биде еднакво на 1.

Според тоа, подигање на кој било реален број на нула ул. ќе даде еден.

На пример, 10 во ул.0=1, (-3,65)0=1 и 0 во ул. 0 не може да се одреди.

За да се заврши подигањето до цел број, останува да се одлучиме за опциите за негативни цели броеви. Се сеќаваме дека чл. од a со цел број експонент -z ќе се дефинира како дропка. Именителот на дропката е ул. со целината позитивна вредност, чие значење веќе научивме да го наоѓаме. Сега останува само да се разгледа пример за градба.

Пример:

Пресметајте ја вредноста на бројот 2 во коцка со негативен цел број експонент.

Процес на решение:

Според дефиницијата за степен со негативен експонент означуваме: два минус 3 степени. е еднакво на еден до два до третата моќност.

Именителот се пресметува едноставно: две коцки;

3 = 2*2*2=8.

Одговор: два до минус 3-та уметност. = една осмина.

Очигледно е дека броевите со моќност може да се додаваат како и другите количини , со додавање на нив еден по друг со нивните знаци.

Значи, збирот на a 3 и b 2 е 3 + b 2.
Збирот на 3 - b n и h 5 -d 4 е 3 - b n + h 5 - d 4.

Шансите еднакви моќи на идентични променливиможе да се додаде или одземе.

Значи, збирот на 2a 2 и 3a 2 е еднаков на 5a 2.

Исто така, очигледно е дека ако земете два квадрати a, или три квадрати a, или пет квадрати a.

Но, степени различни променливиИ различни степени идентични променливи, мора да се состави со нивно додавање со нивните знаци.

Значи, збирот на 2 и 3 е збир на 2 + а 3.

Очигледно е дека квадратот на a, и коцката на a, не е еднаков на двапати од квадратот на a, туку на двојно поголема од коцката на a.

Збирот на a 3 b n и 3a 5 b 6 е a 3 b n + 3a 5 b 6.

Одземањеовластувањата се извршуваат на ист начин како и собирањето, со исклучок на тоа што знаците на подземјето мора да се менуваат соодветно.

Или:
2а 4 - (-6а 4) = 8а 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5 (а - ч) 6 - 2 (а - ч) 6 = 3 (а - ч) 6

Умножување на моќи

Броевите со сили може да се множат, како и другите величини, со пишување еден по друг, со или без знак за множење меѓу нив.

Така, резултатот од множење на a 3 со b 2 е a 3 b 2 или aaabb.

Или:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Резултатот во последниот пример може да се подреди со додавање идентични променливи.
Изразот ќе има форма: a 5 b 5 y 3.

Со споредување на неколку броеви (променливи) со моќности, можеме да видиме дека ако било кои два од нив се помножат, тогаш резултатот е број (променлива) со моќност еднаква на износстепени на поими.

Значи, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Овде 5 е моќта на резултатот од множењето, еднаков на 2 + 3, збирот на силите на членовите.

Значи, a n .a m = a m+n .

За a n, a се зема како фактор онолку пати колку што е моќта на n;

А m се зема како фактор онолку пати колку што степенот m е еднаков на;

Затоа, моќи со исти основи може да се множат со собирање на експонентите на моќите.

Значи, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . И x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6.

Или:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Множете се (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Одговор: x 4 - y 4.
Множете се (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Ова правило важи и за броеви чии експоненти се негативен.

1. Значи, a -2 .a -3 = a -5 . Ова може да се напише како (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y -n .y -m = y -n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Ако a + b се помножат со a - b, резултатот ќе биде a 2 - b 2: т.е

Резултат од множење на збирот или разликата на два броја еднаков на збиротили разликата на нивните квадрати.

Ако ги помножите збирот и разликата на два броја подигнати на квадрат, резултатот ќе биде еднаков на збирот или разликата на овие броеви во четвртистепени.

Значи, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2.
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8.

Поделба на степени

Броевите со моќност може да се поделат како и другите броеви, со одземање од дивидендата или со ставање во форма на дропка.

Така, a 3 b 2 поделено со b 2 е еднакво на a 3.

Или:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

Пишувањето 5 поделено со 3 изгледа како $\frac(a^5)(a^3)$. Но, ова е еднакво на 2. Во низа бројки
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
кој било број може да се подели со друг, а експонентот ќе биде еднаков на разликаиндикатори за деливи броеви.

Кога се делат степени со иста основа, нивните експоненти се одземаат..

Значи, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1. Тоа е, $\frac(yyy)(yy) = y$.

И a n+1:a = a n+1-1 = a n. Тоа е, $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

Или:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12 (b + y) n: 3 (b + y) 3 = 4 (b + y) n-3

Правилото важи и за броевите со негативенвредности на степени.
Резултатот од делењето на -5 со -3 е -2.
Исто така, $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1) (аа) $.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 или $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

Неопходно е многу добро да се совлада множењето и делењето на силите, бидејќи таквите операции се многу широко користени во алгебрата.

Примери за решавање на примери со дропки кои содржат броеви со моќи

1. Намали ги експонентите за $\frac(5a^4)(3a^2)$ Одговор: $\frac(5a^2)(3)$.

2. Намалете ги експонентите за $\frac(6x^6)(3x^5)$. Одговор: $\frac(2x)(1)$ или 2x.

3. Намалете ги експонентите a 2 /a 3 и a -3 /a -4 и доведете до заеднички именител.
a 2 .a -4 е a -2 првиот броител.
a 3 .a -3 е 0 = 1, вториот броител.
a 3 .a -4 е -1, заеднички броител.
По поедноставувањето: a -2 /a -1 и 1/a -1 .

4. Намалете ги показателите 2a 4 /5a 3 и 2 /a 4 и доведете до заеднички именител.
Одговор: 2a 3 /5a 7 и 5a 5 /5a 7 или 2a 3 /5a 2 и 5/5a 2.

5. Помножете (a 3 + b)/b 4 со (a - b)/3.

6. Помножете (a 5 + 1)/x 2 со (b 2 - 1)/(x + a).

7. Помножете b 4 /a -2 со h -3 /x и a n /y -3 .

8. Поделете 4 /y 3 со 3 /y 2 . Одговор: а/г.

9. Поделете (h 3 - 1)/d 4 со (d n + 1)/h.