គុណវុឌ្ឍិជំនួយ។ តំណាងម៉ាទ្រីសនៃប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ។ កត្តាកំណត់ម៉ាទ្រីស

១.១. ប្រព័ន្ធពីរ សមីការលីនេអ៊ែរនិងកត្តាកំណត់លំដាប់ទីពីរ

ពិចារណាប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរពីរដែលមានពីរមិនស្គាល់៖

ហាងឆេង ជាមួយនឹងការមិនស្គាល់ និង មានសន្ទស្សន៍ពីរ៖ ទីមួយបង្ហាញពីលេខសមីការ ទីពីរ - ចំនួនអថេរ។

ច្បាប់របស់ Cramer៖ ដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធត្រូវបានរកឃើញដោយការបែងចែកកត្តាកំណត់ជំនួយដោយកត្តាកំណត់សំខាន់នៃប្រព័ន្ធ

,

ចំណាំ ១.ការប្រើក្បួនរបស់ Cramer គឺអាចធ្វើទៅបានប្រសិនបើកត្តាកំណត់នៃប្រព័ន្ធ មិនស្មើនឹងសូន្យ។

ចំណាំ ២.រូបមន្តរបស់ Cramer ត្រូវបានដាក់បញ្ចូលទៅក្នុងប្រព័ន្ធដែលមានលំដាប់ខ្ពស់ជាង។

ឧទាហរណ៍ ១.ដោះស្រាយប្រព័ន្ធ៖
.

ដំណោះស្រាយ។

;
;

;

ការប្រឡង៖

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន៖ប្រព័ន្ធត្រូវបានដោះស្រាយយ៉ាងត្រឹមត្រូវ៖
.

១.២. ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរបី និងកត្តាកំណត់លំដាប់ទីបី

ពិចារណាប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរចំនួនបីដែលមិនស្គាល់ចំនួនបី៖

កត្តាកំណត់ដែលបង្កើតឡើងដោយមេគុណសម្រាប់មិនស្គាល់ត្រូវបានគេហៅថា កត្តាកំណត់ប្រព័ន្ធ ឬកត្តាកំណត់សំខាន់៖

.

ប្រសិនបើ
បន្ទាប់មកប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់ដែលត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្តរបស់ Cramer៖

តើកត្តាកំណត់នៅឯណា
- ត្រូវបានគេហៅថាជំនួយ និងទទួលបានពីកត្តាកំណត់ ដោយជំនួសជួរឈរទីមួយ ទីពីរ ឬទីបីរបស់វាជាមួយនឹងជួរឈរនៃសមាជិកឥតគិតថ្លៃនៃប្រព័ន្ធ។

ឧទាហរណ៍ ២.ដោះស្រាយប្រព័ន្ធ
.

ចូរបង្កើតកត្តាកំណត់សំខាន់ៗ និងជំនួយ៖

វានៅសល់ដើម្បីពិចារណាច្បាប់សម្រាប់ការគណនាកត្តាកំណត់លំដាប់ទីបី។ មាន​បី​យ៉ាង​គឺ ក្បួន​បន្ថែម​ជួរ ក្បួន​សសរ ក្បួន​នៃ​ការ​បំបែក។

ក) ច្បាប់សម្រាប់បន្ថែមជួរឈរពីរដំបូងទៅកត្តាកំណត់សំខាន់៖

ការគណនាត្រូវបានអនុវត្តដូចខាងក្រោម: ផលិតផលនៃធាតុនៃអង្កត់ទ្រូងសំខាន់និងស្របទៅនឹងវាទៅជាមួយសញ្ញារបស់ពួកគេ; ជាមួយនឹងសញ្ញាផ្ទុយផលិតផលនៃធាតុនៃអង្កត់ទ្រូងទីពីរនិងស្របទៅនឹងវាត្រូវបានយក។

ខ) ច្បាប់របស់ Sarrus៖

ជាមួយនឹងសញ្ញារបស់ពួកគេពួកគេយកផលិតផលនៃធាតុនៃអង្កត់ទ្រូងសំខាន់និងស្របទៅនឹងវាហើយធាតុទីបីដែលបាត់ត្រូវបានយកចេញពីជ្រុងផ្ទុយ។ ជាមួយនឹងសញ្ញាផ្ទុយយកផលិតផលនៃធាតុនៃអង្កត់ទ្រូងទីពីរនិងតាមបណ្តោយស្របទៅនឹងវាធាតុទីបីត្រូវបានយកចេញពីជ្រុងផ្ទុយ។

គ) វិធាននៃការបំបែកដោយធាតុនៃជួរដេក ឬជួរឈរ៖

ប្រសិនបើ
, បន្ទាប់មក។

ការបំពេញបន្ថែមពិជគណិតគឺជាកត្តាកំណត់លំដាប់ទាបជាង ដែលទទួលបានដោយការកាត់ជួរ និងជួរឈរដែលត្រូវគ្នា ហើយយកទៅក្នុងគណនីសញ្ញា
, កន្លែងណា - លេខ​បន្ទាត់​, - លេខជួរឈរ។

ឧទាហរណ៍,

,
,
ល។

ដោយប្រើច្បាប់នេះ យើងគណនាកត្តាកំណត់ជំនួយ និង ពង្រីកពួកវាយោងទៅតាមធាតុនៃជួរទីមួយ។

ដោយបានគណនាកត្តាកំណត់ទាំងអស់ យើងរកឃើញអថេរដោយប្រើក្បួនរបស់ Cramer៖

ការប្រឡង៖

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន៖ប្រព័ន្ធត្រូវបានដោះស្រាយយ៉ាងត្រឹមត្រូវ។

លក្ខណៈសម្បត្តិជាមូលដ្ឋាននៃកត្តាកំណត់

វាត្រូវតែចងចាំថាកត្តាកំណត់គឺ ចំនួនបានរកឃើញយោងទៅតាមច្បាប់មួយចំនួន។ ការគណនារបស់វាអាចត្រូវបានធ្វើឱ្យសាមញ្ញប្រសិនបើយើងប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិមូលដ្ឋានដែលមានសុពលភាពសម្រាប់ការកំណត់នៃលំដាប់ណាមួយ។

ទ្រព្យ ១. តម្លៃនៃកត្តាកំណត់នឹងមិនផ្លាស់ប្តូរទេ ប្រសិនបើជួរទាំងអស់របស់វាត្រូវបានជំនួសដោយជួរឈរដែលត្រូវគ្នាជាលេខ និងច្រាសមកវិញ។

ប្រតិបត្តិការនៃការជំនួសជួរដេកជាមួយជួរឈរត្រូវបានគេហៅថា transposition ។ ពីលក្ខណសម្បត្តិនេះ វាធ្វើតាមថាសេចក្តីថ្លែងការណ៍ណាមួយដែលពិតសម្រាប់ជួរដេកនៃកត្តាកំណត់ក៏នឹងជាការពិតសម្រាប់ជួរឈររបស់វាផងដែរ។

ទ្រព្យ ២. ប្រសិនបើជួរពីរ (ជួរ) ក្នុងកត្តាកំណត់ត្រូវបានប្តូរ នោះសញ្ញានៃកត្តាកំណត់នឹងប្តូរទៅផ្ទុយ។

ទ្រព្យ ៣. ប្រសិនបើធាតុទាំងអស់នៃជួរណាមួយនៃកត្តាកំណត់ស្មើនឹង 0 នោះកត្តាកំណត់គឺស្មើនឹង 0 ។

ទ្រព្យ ៤. ប្រសិនបើធាតុនៃខ្សែអក្សរកំណត់ត្រូវបានគុណ (បែងចែក) ដោយចំនួនមួយចំនួន បន្ទាប់មកតម្លៃនៃកត្តាកំណត់នឹងកើនឡើង (ថយចុះ) នៅក្នុង ម្តង។

ប្រសិនបើធាតុនៃជួរដេកមានកត្តារួម នោះវាអាចត្រូវបានដកចេញពីសញ្ញាកំណត់។

ទ្រព្យ ៥. ប្រសិនបើកត្តាកំណត់មានជួរដូចគ្នា ឬសមាមាត្រពីរ នោះកត្តាកំណត់នេះគឺស្មើនឹង 0 ។

ទ្រព្យ ៦. ប្រសិនបើធាតុនៃជួរណាមួយនៃកត្តាកំណត់គឺជាផលបូកនៃពាក្យពីរ នោះកត្តាកំណត់គឺស្មើនឹងផលបូកនៃកត្តាកំណត់ទាំងពីរ។

ទ្រព្យ ៧. តម្លៃនៃកត្តាកំណត់នឹងមិនផ្លាស់ប្តូរទេ ប្រសិនបើធាតុនៃជួរដេកមួយត្រូវបានបន្ថែមទៅធាតុនៃជួរដេកផ្សេងទៀត គុណនឹងចំនួនដូចគ្នា។

នៅក្នុងកត្តាកំណត់នេះ ទីមួយជួរទីបីត្រូវបានបន្ថែមទៅជួរទីពីរ គុណនឹង 2 បន្ទាប់មកទីពីរត្រូវបានដកចេញពីជួរទីបី បន្ទាប់មកជួរទីពីរត្រូវបានបន្ថែមទៅជួរទីមួយ និងទីបី ជាលទ្ធផលយើងទទួលបានច្រើន សូន្យ និង​សម្រួល​ការ​គណនា។

បឋមសិក្សាការផ្លាស់ប្តូរ កត្តាកំណត់ត្រូវបានគេហៅថាភាពសាមញ្ញរបស់វាតាមរយៈការប្រើប្រាស់លក្ខណៈសម្បត្តិដែលបានបញ្ជាក់។

ឧទាហរណ៍ ១.កត្តាកំណត់គណនា

ការគណនាដោយផ្ទាល់យោងទៅតាមច្បាប់មួយក្នុងចំណោមច្បាប់ដែលបានពិភាក្សាខាងលើនាំឱ្យមានការគណនាដ៏ស្មុគស្មាញ។ ដូច្នេះគួរប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិ៖

ក) ពីជួរទី 1 ដកទីពីរ គុណនឹង 2;

ខ) ពីជួរទី II ដកទីបី គុណនឹង 3 ។

ជាលទ្ធផលយើងទទួលបាន៖

ចូរយើងពង្រីកកត្តាកំណត់នេះទៅក្នុងធាតុនៃជួរឈរទីមួយ ដែលមានធាតុមិនសូន្យតែមួយប៉ុណ្ណោះ។

.

ប្រព័ន្ធ និងកត្តាកំណត់នៃការបញ្ជាទិញខ្ពស់។

ប្រព័ន្ធ សមីការលីនេអ៊ែរជាមួយ មិនស្គាល់អាចត្រូវបានសរសេរដូចខាងក្រោមៈ

ចំពោះករណីនេះ វាក៏អាចបង្កើតកត្តាកំណត់សំខាន់ៗ និងជំនួយ និងកំណត់ការមិនស្គាល់ដោយប្រើច្បាប់របស់ Cramer ។ បញ្ហាគឺថា ការកំណត់លំដាប់ខ្ពស់ជាងអាចត្រូវបានគណនាបានតែដោយការបន្ថយលំដាប់ និងកាត់បន្ថយវាទៅជាការកំណត់លំដាប់ទីបីប៉ុណ្ណោះ។ នេះអាចត្រូវបានធ្វើដោយការបំបែកដោយផ្ទាល់ទៅក្នុងធាតុនៃជួរដេក ឬជួរឈរ ក៏ដូចជាការប្រើបំលែងបឋមបឋម និងការបំបែកបន្ថែមទៀត។

ឧទាហរណ៍ 4 ។គណនាកត្តាកំណត់លំដាប់ទីបួន

ដំណោះស្រាយយើងអាចរកវាតាមពីរវិធី៖

ក) ដោយការពង្រីកដោយផ្ទាល់ទៅក្នុងធាតុនៃជួរទីមួយ៖

ខ) តាមរយៈការបំប្លែងបឋម និងការរលួយបន្ថែមទៀត

	ក) ពីបន្ទាត់ I ដក III
	ខ) បន្ថែមបន្ទាត់ II ទៅ IV

ឧទាហរណ៍ 5 ។គណនាកត្តាកំណត់លំដាប់ទីប្រាំ ដោយទទួលបានសូន្យនៅជួរទីបីដោយប្រើជួរទីបួន

ពីជួរទីមួយ យើងដកទីពីរ ពីទីបី យើងដកទីពីរ ពីជួរទីបួន យើងដកទីពីរ គុណនឹង 2។

ដកទីបីចេញពីជួរទីពីរ៖

ដកទីបីចេញពីជួរទីពីរ៖

ឧទាហរណ៍ ៦.ដោះស្រាយប្រព័ន្ធ៖

ដំណោះស្រាយ។ចូរយើងបង្កើតកត្តាកំណត់នៃប្រព័ន្ធ ហើយដោយប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃកត្តាកំណត់ ចូរគណនាវា៖

(ពីជួរទីមួយយើងដកលេខទីបី ហើយបន្ទាប់មកនៅក្នុងលទ្ធផលនៃកត្តាកំណត់លំដាប់ទីបីពីជួរទីបី យើងដកទីមួយគុណនឹង 2)។ កំណត់
ដូច្នេះ រូបមន្តរបស់ Cramer គឺអាចអនុវត្តបាន។

ចូរយើងគណនាកត្តាកំណត់ដែលនៅសល់៖

ជួរទីបួនត្រូវបានគុណនឹង 2 ហើយដកពីសល់

ជួរទីបួនត្រូវបានដកចេញពីជួរទីមួយ ហើយបន្ទាប់មកគុណនឹង 2 ដកពីជួរទីពីរ និងទីបី។

.

នៅទីនេះយើងបានអនុវត្តការបំប្លែងដូចគ្នានឹងសម្រាប់
.

.

នៅពេលដែលអ្នករកឃើញ ជួរទីមួយត្រូវបានគុណនឹង 2 ហើយដកពីសល់។

យោងតាមច្បាប់របស់ Cramer យើងមាន:

បន្ទាប់ពីការជំនួសតម្លៃដែលបានរកឃើញទៅក្នុងសមីការ យើងជឿជាក់ថាដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធគឺត្រឹមត្រូវ។

2. ម៉ាទ្រីស និងការប្រើប្រាស់របស់ពួកគេ។

នៅក្នុងប្រព័ន្ធដោះស្រាយសមីការលីនេអ៊ែរ

បាឋកថា ១.១.ម៉ាទ្រីសជាលេខ និងប្រតិបត្តិការលើពួកវា។

សង្ខេប៖កន្លែងពិជគណិតលីនេអ៊ែរ និងធរណីមាត្រវិភាគក្នុងវិទ្យាសាស្ត្រធម្មជាតិ។ តួនាទីរបស់អ្នកវិទ្យាសាស្ត្រក្នុងស្រុកក្នុងការអភិវឌ្ឍន៍វិទ្យាសាស្ត្រទាំងនេះ។ គំនិតនៃម៉ាទ្រីស។ ប្រតិបត្តិការលើម៉ាទ្រីស និងលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់វា។

តារាងលេខនៃទម្រង់ត្រូវបានគេហៅថាចតុកោណ ម៉ាទ្រីស វិមាត្រ។ Matrices ត្រូវបានតំណាងដោយអក្សរធំឡាតាំង A, B, C, ...លេខដែលបង្កើតជាតារាងត្រូវបានគេហៅថា ធាតុ ម៉ាទ្រីស។ ធាតុនីមួយៗមានសន្ទស្សន៍ពីរ និង ចង្អុលបង្ហាញរៀងៗខ្លួន លេខជួរដេក () និងលេខជួរ () ដែលធាតុស្ថិតនៅ។ សញ្ញាណម៉ាទ្រីសខាងក្រោមត្រូវបានប្រើ។

ម៉ាទ្រីសទាំងពីរត្រូវបានគេហៅថា ស្មើ ប្រសិនបើពួកគេមានវិមាត្រដូចគ្នា (ឧ. ចំនួនជួរដេក និងជួរឈរដូចគ្នា) ហើយប្រសិនបើលេខនៅក្នុងកន្លែងដែលត្រូវគ្នានៃម៉ាទ្រីសទាំងនេះគឺស្មើគ្នា។

ប្រសិនបើចំនួនជួរដេកនៃម៉ាទ្រីសស្មើនឹងចំនួនជួរឈររបស់វា នោះម៉ាទ្រីសត្រូវបានគេហៅថា ការ៉េ . នៅក្នុងម៉ាទ្រីសការ៉េ ចំនួនជួរដេក (ឬជួរឈរ) ត្រូវបានគេហៅថាលំដាប់នៃម៉ាទ្រីស។ ជាពិសេសម៉ាទ្រីសការ៉េលំដាប់ទីមួយគឺសាមញ្ញ ចំនួនពិត. តាម​នោះ​គេ​និយាយ​អ៊ីចឹង បន្ទាត់វ៉ិចទ័រ គឺជាម៉ាទ្រីសនៃវិមាត្រ និង វ៉ិចទ័រជួរឈរ មានវិមាត្រ។

ធាតុដែលស្ថិតនៅលើអង្កត់ទ្រូងសំខាន់នៃម៉ាទ្រីសការ៉េ (ពីខាងឆ្វេងខាងលើទៅជ្រុងខាងស្តាំខាងក្រោម) ត្រូវបានគេហៅថា អង្កត់ទ្រូង .

ម៉ាទ្រីស​ការ៉េ​ដែល​ធាតុ​មិន​នៅ​លើ​អង្កត់ទ្រូង​មេ​គឺ​ជា 0 ទាំងអស់​ត្រូវ​បាន​ហៅ អង្កត់ទ្រូង .

ម៉ាទ្រីសអង្កត់ទ្រូងដែលធាតុអង្កត់ទ្រូងគឺ 1 ហើយធាតុអង្កត់ទ្រូងទាំងអស់គឺ 0 ត្រូវបានគេហៅថា នៅលីវ ហើយត្រូវបានតាងដោយ ឬ ដែល n ជាលំដាប់របស់វា។

ប្រតិបត្តិការជាមូលដ្ឋានលើម៉ាទ្រីសគឺការបន្ថែមម៉ាទ្រីស និងគុណម៉ាទ្រីសដោយលេខមួយ។

ការងារម៉ាទ្រីស ក លេខគឺជាម៉ាទ្រីសដែលមានវិមាត្រដូចគ្នានឹងម៉ាទ្រីស ក ធាតុនីមួយៗត្រូវបានគុណនឹងលេខនេះ។

ឧទាហរណ៍: ; .

លក្ខណសម្បត្តិនៃប្រតិបត្តិការគុណម៉ាទ្រីសដោយលេខ៖

1.l(ម ក )=(ម) ក (សមាគម)

2.l( ក +IN ) = អិល ក +l IN (ការចែកចាយទាក់ទងនឹងការបន្ថែមម៉ាទ្រីស)

3. (l+m) ក =)=l ក + ម ក (ការចែកចាយទាក់ទងនឹងការបន្ថែមលេខ)

ការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរនៃម៉ាទ្រីស ក និង IN ដែលមានទំហំដូចគ្នាត្រូវបានគេហៅថាកន្សោមនៃទម្រង់៖ ក ក + ខ IN ដែល a,b ជាលេខបំពាន

ម៉ាទ្រីសបូកនិង IN (សកម្មភាពនេះអាចអនុវត្តបានតែចំពោះម៉ាទ្រីសដែលមានវិមាត្រដូចគ្នា) ត្រូវបានគេហៅថាម៉ាទ្រីស ជាមួយ នៃវិមាត្រដូចគ្នា ធាតុដែលស្មើនឹងផលបូកនៃធាតុម៉ាទ្រីសដែលត្រូវគ្នា។ ក និង IN .

លក្ខណៈសម្បត្តិនៃការបន្ថែមម៉ាទ្រីស៖

1)ក +IN =IN +ក (ភាពប្រែប្រួល)

2)(ក +IN )+ជាមួយ =ក +(IN +ជាមួយ )=ក +IN +ជាមួយ (សមាគម)

ម៉ាទ្រីសភាពខុសគ្នានិង IN (សកម្មភាពនេះអាចអនុវត្តបានតែចំពោះម៉ាទ្រីសនៃវិមាត្រដូចគ្នា) ត្រូវបានគេហៅថាម៉ាទ្រីស C ដែលមានវិមាត្រដូចគ្នា ធាតុដែលស្មើនឹងភាពខុសគ្នានៃធាតុម៉ាទ្រីសដែលត្រូវគ្នា។ ក និង IN .

ផ្ទេរ. ប្រសិនបើធាតុនៃជួរនីមួយៗនៃម៉ាទ្រីសនៃវិមាត្រត្រូវបានសរសេរក្នុងលំដាប់ដូចគ្នាទៅក្នុងជួរឈរនៃម៉ាទ្រីសថ្មី ហើយចំនួនជួរឈរគឺស្មើនឹងលេខជួរដេក នោះម៉ាទ្រីសថ្មីត្រូវបានគេហៅថា transposed ដោយគោរព និងជា តំណាង។ វិមាត្រគឺការផ្លាស់ប្តូរពីទៅត្រូវបានគេហៅថាការផ្លាស់ប្តូរ។ វាក៏ច្បាស់ដែរថា។ ,

គុណម៉ាទ្រីស. ប្រតិបត្តិការនៃការគុណម៉ាទ្រីសគឺអាចធ្វើទៅបានលុះត្រាតែចំនួនជួរឈរនៃកត្តាទីមួយគឺស្មើនឹងចំនួនជួរដេកនៃទីពីរ។ ជាលទ្ធផលនៃការគុណ យើងទទួលបានម៉ាទ្រីសដែលចំនួនជួរដេកត្រូវគ្នានឹងចំនួនជួរដេកនៃកត្តាទីមួយ និងចំនួនជួរឈរជាមួយនឹងចំនួនជួរឈរទីពីរ៖

ច្បាប់នៃការគុណម៉ាទ្រីស៖ ដើម្បីទទួលបានធាតុនៅក្នុងជួរទី និងជួរទី 1 នៃផលិតផលនៃម៉ាទ្រីសពីរ អ្នកត្រូវគុណធាតុនៃជួរទី 1 នៃម៉ាទ្រីសទីមួយដោយធាតុនៃជួរឈរទី នៃម៉ាទ្រីសទីពីរ ហើយបន្ថែម ផលិតផលលទ្ធផល។ នៅក្នុងភាសាគណិតវិទ្យា ពេលខ្លះពួកគេនិយាយថា៖ អ្នកត្រូវគុណជួរទី នៃម៉ាទ្រីស ដោយជួរទី នៃម៉ាទ្រីស។ វាច្បាស់ណាស់ថាជួរដេកនៃទីមួយ និងជួរឈរនៃម៉ាទ្រីសទីពីរត្រូវតែមានចំនួនធាតុដូចគ្នា។

ផ្ទុយ​ទៅ​នឹង​ប្រតិបត្តិការ​ទាំង​នេះ ប្រតិបត្តិការ​នៃ​ការ​គុណ​ម៉ាទ្រីស​គឺ​ពិបាក​កំណត់​ជាង។ អនុញ្ញាតឱ្យម៉ាទ្រីសពីរត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ ក និង IN ហើយចំនួនជួរឈរនៃទីមួយគឺស្មើនឹងចំនួនជួរដេកនៃទីពីរ៖ ឧទាហរណ៍ ម៉ាទ្រីស ក មានវិមាត្រ និងម៉ាទ្រីស IN - វិមាត្រ។ ប្រសិនបើ

, បន្ទាប់មកម៉ាទ្រីសនៃវិមាត្រ

ដែលជាកន្លែងដែល (i=1,…,m;j=1,…,k)

ហៅថាផលិតផលម៉ាទ្រីស ក ទៅម៉ាទ្រីស IN និងត្រូវបានកំណត់ AB .

លក្ខណៈសម្បត្តិនៃប្រតិបត្តិការគុណម៉ាទ្រីស៖

1. (AB)C=A(BC)=ABC (សមាគម)

2. (A+B)C=AC+BC (ការចែកចាយ)

3. A(B+C)=AB+A (ការចែកចាយ)

4. ការគុណម៉ាទ្រីសគឺមិនមានការផ្លាស់ប្តូរទេ៖ AB មិនស្មើគ្នា VA ប្រសិនបើស្មើគ្នា នោះម៉ាទ្រីសទាំងនេះត្រូវបានគេហៅថា commutative ។

ការផ្លាស់ប្តូរបឋមលើសពីម៉ាទ្រីស:

1. ប្តូរជួរដេកពីរ (ជួរឈរ)

2. គុណជួរ (ជួរ) ដោយលេខផ្សេងក្រៅពីសូន្យ

3. ការបន្ថែមទៅធាតុនៃជួរដេកមួយ (ជួរឈរ) ធាតុនៃជួរដេកមួយទៀត (ជួរឈរ) គុណនឹងចំនួនណាមួយ

ការបង្រៀន 1.2 ។កត្តាកំណត់ជាមួយមេគុណពិតប្រាកដ។ ការស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស។

សង្ខេប៖កត្តាកំណត់និងលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់វា។ វិធីសាស្រ្តគណនាកត្តាកំណត់ជាមួយមេគុណពិត។ ស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសសម្រាប់ម៉ាទ្រីសលំដាប់ទីបី។

គោលគំនិតនៃកត្តាកំណត់ត្រូវបានណែនាំសម្រាប់តែម៉ាទ្រីសការ៉េប៉ុណ្ណោះ។ កំណត់ - នេះ។ ចំនួនដែល​ត្រូវ​បាន​រក​ឃើញ​ដោយ​យោង​តាម​ច្បាប់​ដែល​បាន​កំណត់​យ៉ាង​ល្អ​និង​ត្រូវ​បាន​តំណាង​ដោយ ឬ det ក .

កំណត់ម៉ាទ្រីស លំដាប់ទីពីរ គឺដូចនេះ៖ ឬ

កត្តាកំណត់លំដាប់ទីបីលេខត្រូវបានគេហៅថា:

.

ដើម្បីចងចាំរូបមន្តដ៏លំបាកនេះមាន "ច្បាប់នៃត្រីកោណ"៖

អ្នកក៏អាចគណនាដោយប្រើវិធីសាស្រ្តមួយផ្សេងទៀត - វិធីសាស្រ្តនៃការបំបែកដោយជួរដេកឬជួរឈរ។ សូមណែនាំនិយមន័យមួយចំនួន៖

អនីតិជនម៉ាទ្រីសការ៉េ ក ត្រូវបានគេហៅថាកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីស ក ដែលត្រូវបានទទួលដោយការកាត់ជួរទី និងជួរទី៖ ឧទាហរណ៍ សម្រាប់អនីតិជន - .

ការបំពេញបន្ថែមពិជគណិតធាតុនៃកត្តាកំណត់ត្រូវបានគេហៅថាអនីតិជន ដោយយកដោយសញ្ញាផ្ទាល់របស់វា ប្រសិនបើផលបូកនៃលេខនៃជួរដេក និងជួរឈរដែលធាតុស្ថិតនៅគឺស្មើ ហើយជាមួយនឹងសញ្ញាផ្ទុយ ប្រសិនបើផលបូកនៃលេខគឺសេស៖ .

បន្ទាប់មក៖ កត្តាកំណត់លំដាប់ទីបី ស្មើនឹងផលបូកផលិតផលនៃធាតុនៃជួរឈរណាមួយ (ជួរដេក) ដោយការបំពេញបន្ថែមពិជគណិតរបស់ពួកគេ។

PR៖ ចូរយើងគណនាកត្តាកំណត់៖ ដោយពង្រីកវាទៅក្នុងធាតុនៃជួរទីមួយ។

លក្ខណៈសម្បត្តិនៃកត្តាកំណត់៖

1. កត្តាកំណត់គឺស្មើនឹង 0 ប្រសិនបើវាមានជួរពីរដូចគ្នាបេះបិទ (ជួរឈរ) ឬជួរសូន្យ (ជួរឈរ)។

2. កត្តាកំណត់ផ្លាស់ប្តូរសញ្ញារបស់វានៅពេលដែលជួរដេកពីរ (ជួរឈរ) ត្រូវបានតម្រៀបឡើងវិញ។

3.មេគុណសរុបនៅក្នុងជួរដេកមួយ (ក្នុងជួរឈរ) អាចត្រូវបានយកចេញជាសញ្ញាកំណត់។

4. កត្តាកំណត់មិនផ្លាស់ប្តូរទេ ប្រសិនបើជួរផ្សេងទៀត (ជួរឈរផ្សេងទៀត) គុណនឹងចំនួនបំពានត្រូវបានបន្ថែមទៅជួរដេក (ជួរឈរ)។

5. កត្តាកំណត់មិនផ្លាស់ប្តូរនៅពេលដែលម៉ាទ្រីសត្រូវបានបញ្ជូន។

6. កត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសអត្តសញ្ញាណគឺ 1:

7. កត្តាកំណត់នៃផលិតផលនៃម៉ាទ្រីសគឺស្មើនឹងផលិតផលនៃកត្តាកំណត់

ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស.

ម៉ាទ្រីសការ៉េត្រូវបានគេហៅថា មិន degenerateប្រសិនបើកត្តាកំណត់របស់វាខុសពីសូន្យ។

ប្រសិនបើនៅពេលគុណម៉ាទ្រីសការ៉េ ក និង IN នៅក្នុងលំដាប់ណាមួយម៉ាទ្រីសអត្តសញ្ញាណត្រូវបានទទួល ( AB=BA=E ) បន្ទាប់មកម៉ាទ្រីស IN ត្រូវបានគេហៅថាម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសនៃម៉ាទ្រីស ក ហើយត្រូវបានតំណាងដោយ , i.e. .

ទ្រឹស្តីបទ។រាល់ម៉ាទ្រីសដែលមិនមែនជាឯកវចនៈមានលេខបញ្ច្រាស.

ក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស៖

ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស។ម៉ាទ្រីស​ការ៉េ​ត្រូវ​បាន​គេ​និយាយ​ថា​មិន​ឯកវចនៈ ប្រសិនបើ​កត្តា​កំណត់​របស់​វា​មិន​សូន្យ។ បើមិនដូច្នោះទេវាត្រូវបានគេហៅថា degenerate .

បញ្ច្រាសនៃម៉ាទ្រីសមួយត្រូវបានសម្គាល់ដោយ . ប្រសិនបើម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសមាន នោះវាមានតែមួយ និង

តើផ្នែកបន្ថែម (សហជីព) នៅឯណាដែលផ្សំឡើងដោយការបន្ថែមពិជគណិត j:

បន្ទាប់មកកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសគឺទាក់ទងទៅនឹងកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសនេះដោយទំនាក់ទំនងដូចខាងក្រោម៖ . ជា​ការ​ពិត, ដែលសមភាពនេះធ្វើតាម។

លក្ខណៈសម្បត្តិនៃម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស៖

1. ដែលជាកន្លែងដែលម៉ាទ្រីសការ៉េដែលមិនមែនជាឯកវចនៈនៃលំដាប់ដូចគ្នា។

3. .

4.

ការបង្រៀន 1.3 ។ការដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Cramer វិធីសាស្ត្រ Gauss និងការគណនាម៉ាទ្រីស។

សង្ខេប៖វិធីសាស្រ្តរបស់ Cramer និងវិធីសាស្ត្ររបស់ Gauss សម្រាប់ដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរ។ វិធីសាស្រ្តម៉ាទ្រីសសម្រាប់ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ។ ចំណាត់ថ្នាក់ម៉ាទ្រីស។ ទ្រឹស្តីបទ Kronecker-Capelli ។ ប្រព័ន្ធមូលដ្ឋាននៃដំណោះស្រាយ។ ប្រព័ន្ធដូចគ្នានិងតំណពូជ។

ប្រព័ន្ធសមីការ ប្រភេទខាងក្រោម:

(*) ដែល , - coefficients , - variables ត្រូវបានគេហៅថា ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ។ដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរមានន័យថាចង្អុលបង្ហាញដំណោះស្រាយទាំងអស់នៃប្រព័ន្ធ i.e. សំណុំនៃតម្លៃនៃអថេរបែបនេះ ដែលបង្វែរសមីការនៃប្រព័ន្ធទៅជាអត្តសញ្ញាណ។ ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរត្រូវបានគេហៅថា។

សាខា KOSTROMA នៃសាកលវិទ្យាល័យយោធានៃ RCB ការពារ

នាយកដ្ឋានស្វ័យប្រវត្តិកម្មនៃការគ្រប់គ្រងកងទ័ព

សម្រាប់តែគ្រូបង្រៀនប៉ុណ្ណោះ។

"ខ្ញុំ​យល់ព្រម"

ប្រធាននាយកដ្ឋានលេខ ៩

វរសេនីយ៍ឯក YAKOVLEV A.B.

"____" ______________ ឆ្នាំ ២០០៤

សាស្ត្រាចារ្យរង A.I. SMIRNOVA

"វគ្គជម្រុះ។

ដំណោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ"

ធម្មទេសនា លេខ ២/១

បាន​ពិភាក្សា​នៅ​ក្នុង​កិច្ច​ប្រជុំ​នាយកដ្ឋាន​លេខ​៩

"____" ___________ ឆ្នាំ ២០០៤

ពិធីសារលេខ ___________

Kostroma, ឆ្នាំ 2004 ។

សេចក្តីផ្តើម

1. កត្តាកំណត់លំដាប់ទីពីរ និងទីបី។

2. លក្ខណៈសម្បត្តិនៃកត្តាកំណត់។ ទ្រឹស្តីបទនៃការបំបែក។

3. ទ្រឹស្ដីរបស់ Cramer ។

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន

អក្សរសាស្ត្រ

1. V.E. Schneider et al ។ វគ្គខ្លីគណិតវិទ្យា​កម្រិត​ខ្ពស់ ភាគ I, Ch ។ 2 កថាខ័ណ្ឌ 1 ។

2. V.S. Shchipachev, Higher Mathematics, ជំពូកទី 10 វគ្គ 2 ។

ការណែនាំ

ការបង្រៀនពិភាក្សាអំពីការកំណត់នៃលំដាប់ទីពីរ និងទីបី និងលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់វា។ និងទ្រឹស្តីបទរបស់ Cramer ដែលអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរដោយប្រើកត្តាកំណត់។ កត្តាកំណត់ក៏ត្រូវបានគេប្រើនៅពេលក្រោយនៅក្នុងប្រធានបទ "ពិជគណិតវ៉ិចទ័រ" នៅពេលគណនាផលិតផលវ៉ិចទ័រនៃវ៉ិចទ័រ។

សំណួរសិក្សាទី 1 ការកំណត់នៃទីពីរ និងទីបី

បញ្ជាទិញ

ពិចារណាតារាងនៃចំនួនបួននៃទម្រង់

លេខនៅក្នុងតារាងត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញដោយអក្សរដែលមានសន្ទស្សន៍ពីរ។ លិបិក្រមទីមួយបង្ហាញលេខជួរដេក ទីពីរលេខជួរ។

និយមន័យ ១. កត្តាកំណត់លំដាប់ទីពីរ ហៅ កន្សោម ប្រភេទ :

(1)

លេខ ក 11, …, ក 22 ត្រូវបានគេហៅថាធាតុនៃកត្តាកំណត់។

អង្កត់ទ្រូងបង្កើតឡើងដោយធាតុ ក 11 ; ក 22 ត្រូវបានគេហៅថាមេ ហើយអង្កត់ទ្រូងដែលបង្កើតឡើងដោយធាតុ ក 12 ; ក 21 - ចំហៀង។

ដូច្នេះកត្តាកំណត់លំដាប់ទីពីរ ស្មើនឹងភាពខុសគ្នាផលិតផលនៃធាតុនៃអង្កត់ទ្រូងសំខាន់និងបន្ទាប់បន្សំ។

ចំណាំថាចម្លើយគឺជាលេខ។

ឧទាហរណ៍។គណនា៖

ឥឡូវពិចារណាតារាងនៃលេខប្រាំបួន ដែលសរសេរជាបីជួរ និងបីជួរ៖

និយមន័យ ២. កត្តាកំណត់លំដាប់ទីបី ហៅថាទម្រង់បែបបទ :

ធាតុ ក 11; ក 22 ; ក 33 - បង្កើតជាអង្កត់ទ្រូងសំខាន់។

លេខ ក 13; ក 22 ; ក 31 - បង្កើតជាអង្កត់ទ្រូងចំហៀង។

ចូរយើងពណ៌នាតាមគ្រោងការណ៍ពីរបៀបដែលពាក្យបូក និងដកត្រូវបានបង្កើតឡើង៖

" + " " – "

បូករួមមានៈ ផលិតផលនៃធាតុនៅលើអង្កត់ទ្រូងមេ លក្ខខណ្ឌពីរដែលនៅសល់គឺជាផលិតផលនៃធាតុដែលមានទីតាំងនៅចំនុចកំពូលនៃត្រីកោណដែលមានមូលដ្ឋានស្របទៅនឹងអង្កត់ទ្រូងមេ។

លក្ខខណ្ឌដកត្រូវបានបង្កើតឡើងតាមគ្រោងការណ៍ដូចគ្នាដោយគោរពតាមអង្កត់ទ្រូងបន្ទាប់បន្សំ។

ច្បាប់សម្រាប់គណនាកត្តាកំណត់លំដាប់ទីបីត្រូវបានគេហៅថា

ច្បាប់ T reugolnikov ។

ឧទាហរណ៍។គណនាដោយប្រើក្បួនត្រីកោណ៖

មតិ។ កត្តាកំណត់ក៏ត្រូវបានគេហៅថាកត្តាកំណត់ផងដែរ។

សំណួរសិក្សាទី ២ លក្ខណៈសម្បត្តិនៃសារធាតុកំណត់។

ទ្រឹស្តីបទពង្រីក

ទ្រព្យ ១. តម្លៃនៃកត្តាកំណត់នឹងមិនផ្លាស់ប្តូរទេ ប្រសិនបើជួរដេករបស់វាត្រូវបានប្តូរជាមួយជួរឈរដែលត្រូវគ្នា។

.

តាមរយៈការបង្ហាញកត្តាកំណត់ទាំងពីរ យើងជឿជាក់លើសុពលភាពនៃសមភាព។

ទ្រព្យសម្បត្តិ 1 បង្កើតសមភាពនៃជួរដេក និងជួរឈរនៃកត្តាកំណត់។ ដូច្នេះ យើងនឹងបង្កើតលក្ខណៈសម្បត្តិបន្ថែមទៀតទាំងអស់នៃកត្តាកំណត់សម្រាប់ទាំងជួរដេក និងជួរឈរ។

ទ្រព្យ ២. នៅពេលរៀបចំជួរដេកពីរ (ឬជួរឈរ) ឡើងវិញ កត្តាកំណត់ផ្លាស់ប្តូរសញ្ញារបស់វាទៅមួយទល់មុខ ដោយរក្សាតម្លៃដាច់ខាតរបស់វា .

.

ទ្រព្យ ៣. កត្តាទូទៅនៃធាតុជួរ (ឬជួរឈរ)អាចត្រូវបានដកចេញជាសញ្ញាកំណត់។

.

ទ្រព្យ ៤. ប្រសិនបើកត្តាកំណត់មានជួរពីរដូចគ្នា (ឬជួរឈរ) នោះវាស្មើនឹងសូន្យ។

ទ្រព្យសម្បត្តិនេះអាចត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយការផ្ទៀងផ្ទាត់ដោយផ្ទាល់ ឬអ្នកអាចប្រើទ្រព្យសម្បត្តិ 2 ។

អនុញ្ញាតឱ្យយើងកំណត់កត្តាកំណត់ដោយ D. នៅពេលដែលជួរទីមួយនិងទីពីរដូចគ្នាបេះបិទត្រូវបានរៀបចំឡើងវិញ វានឹងមិនផ្លាស់ប្តូរទេ ប៉ុន្តែយោងទៅតាមលក្ខណៈសម្បត្តិទីពីរ វាត្រូវតែផ្លាស់ប្តូរសញ្ញា ពោលគឺឧ។

D = − DÞ 2 D = 0 ÞD = 0 ។

ទ្រព្យ ៥. ប្រសិនបើធាតុទាំងអស់នៃខ្សែអក្សរ (ឬជួរឈរ)គឺស្មើនឹងសូន្យ បន្ទាប់មកកត្តាកំណត់គឺស្មើនឹងសូន្យ។

ទ្រព្យសម្បត្តិនេះអាចត្រូវបានចាត់ទុកថាជា ករណីពិសេសលក្ខណៈសម្បត្តិ 3 នៅ

ទ្រព្យ ៦. ប្រសិនបើធាតុនៃបន្ទាត់ពីរ (ឬជួរឈរ)កត្តាកំណត់គឺសមាមាត្រ បន្ទាប់មកកត្តាកំណត់គឺស្មើនឹងសូន្យ។

.

អាចត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយការផ្ទៀងផ្ទាត់ដោយផ្ទាល់ឬដោយប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិ 3 និង 4 ។

ទ្រព្យ ៧. តម្លៃនៃកត្តាកំណត់នឹងមិនផ្លាស់ប្តូរទេ ប្រសិនបើធាតុដែលត្រូវគ្នានៃជួរដេកផ្សេងទៀត (ឬជួរឈរ) ត្រូវបានបន្ថែមទៅធាតុនៃជួរដេកមួយ (ឬជួរឈរ) គុណនឹងចំនួនដូចគ្នា។

.

បញ្ជាក់ដោយការផ្ទៀងផ្ទាត់ដោយផ្ទាល់។

ការប្រើប្រាស់លក្ខណៈសម្បត្តិទាំងនេះក្នុងករណីខ្លះអាចជួយសម្រួលដល់ដំណើរការនៃការគណនាកត្តាកំណត់ ជាពិសេសនៃលំដាប់ទីបី។

សម្រាប់​អ្វី​ដែល​បន្ទាប់​មក យើង​នឹង​ត្រូវ​ការ​គោល​គំនិត​នៃ​ការ​បំពេញ​បន្ថែម​ពី​អនីតិជន និង​ពិជគណិត។ ចូរយើងពិចារណាគំនិតទាំងនេះដើម្បីកំណត់លំដាប់ទីបី។

និយមន័យ ៣. អនីតិជន នៃធាតុដែលបានផ្តល់ឱ្យនៃកត្តាកំណត់លំដាប់ទីបីត្រូវបានគេហៅថា កត្តាកំណត់លំដាប់ទីពីរដែលទទួលបានពីធាតុដែលបានផ្តល់ឱ្យដោយកាត់ចេញពីជួរដេកនិងជួរឈរនៅចំនុចប្រសព្វនៃធាតុដែលបានផ្តល់ឱ្យឈរ។

ធាតុអនីតិជន ក ខ្ញុំ jតំណាងដោយ ម ខ្ញុំ j. ដូច្នេះសម្រាប់ធាតុ ក 11 អនីតិជន

វាត្រូវបានទទួលដោយការកាត់ចេញពីជួរទីមួយ និងជួរទីមួយនៅក្នុងកត្តាកំណត់លំដាប់ទីបី។

និយមន័យ ៤. ការបំពេញបន្ថែមពិជគណិតនៃធាតុនៃកត្តាកំណត់ ពួកគេហៅវាថាអនីតិជនគុណនឹង (-1)k , កន្លែងណា k - ផលបូកនៃលេខជួរដេក និងជួរនៅចំនុចប្រសព្វដែលធាតុនេះឈរ។

ការបំពេញបន្ថែមពិជគណិតនៃធាតុមួយ។ ក ខ្ញុំ jតំណាងដោយ ក ខ្ញុំ j .

ដូច្នេះ ក ខ្ញុំ j =

.

ចូរយើងសរសេរការបន្ថែមពិជគណិតសម្រាប់ធាតុ ក១១ និង ក 12.

. .

វាមានប្រយោជន៍ក្នុងការចងចាំក្បួន៖ ការបំពេញបន្ថែមពិជគណិតនៃធាតុនៃកត្តាកំណត់គឺស្មើនឹងអនីតិជនដែលបានចុះហត្ថលេខារបស់វា។ បូកប្រសិនបើផលបូកនៃលេខជួរដេក និងជួរឈរដែលធាតុលេចឡើង សូម្បីតែ,និងដោយសញ្ញាមួយ។ ដកប្រសិនបើចំនួននេះ។ សេស .

នៅពេលដោះស្រាយបញ្ហាក្នុងគណិតវិទ្យាខ្ពស់ តម្រូវការកើតឡើងជាញឹកញាប់ គណនាកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីស. កត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសមួយលេចឡើងក្នុងពិជគណិតលីនេអ៊ែរ ធរណីមាត្រវិភាគ ការវិភាគគណិតវិទ្យានិងសាខាផ្សេងទៀតនៃគណិតវិទ្យាខ្ពស់។ ដូច្នេះវាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការធ្វើដោយគ្មានជំនាញនៃការដោះស្រាយកត្តាកំណត់។ ដូចគ្នានេះផងដែរ សម្រាប់ការធ្វើតេស្តដោយខ្លួនឯង អ្នកអាចទាញយកម៉ាស៊ីនគិតលេខកំណត់ដោយមិនគិតថ្លៃ វានឹងមិនបង្រៀនអ្នកពីរបៀបដោះស្រាយកត្តាកំណត់ដោយខ្លួនឯងនោះទេ ប៉ុន្តែវាងាយស្រួលណាស់ ព្រោះវាតែងតែមានប្រយោជន៍ក្នុងការដឹងចម្លើយត្រឹមត្រូវជាមុន!

ខ្ញុំនឹងមិនផ្តល់និយមន័យគណិតវិទ្យាដ៏តឹងរឹងនៃកត្តាកំណត់ទេ ហើយជាទូទៅ ខ្ញុំនឹងព្យាយាមកាត់បន្ថយវាក្យស័ព្ទគណិតវិទ្យា នេះនឹងមិនធ្វើឱ្យអ្នកអានភាគច្រើនងាយស្រួលនោះទេ។ គោលបំណងនៃអត្ថបទនេះគឺដើម្បីបង្រៀនអ្នកពីរបៀបដោះស្រាយកត្តាកំណត់លំដាប់ទីពីរ ទីបី និងទីបួន។ សម្ភារៈទាំងអស់ត្រូវបានបង្ហាញក្នុងទម្រង់សាមញ្ញ និងអាចចូលប្រើបាន ហើយសូម្បីតែចានពេញ (ទទេ) នៅក្នុងគណិតវិទ្យាកម្រិតខ្ពស់ បន្ទាប់ពីសិក្សាសម្ភារៈយ៉ាងយកចិត្តទុកដាក់នឹងអាចដោះស្រាយកត្តាកំណត់បានត្រឹមត្រូវ។

នៅក្នុងការអនុវត្ត អ្នកច្រើនតែអាចរកឃើញកត្តាកំណត់លំដាប់ទីពីរ ឧទាហរណ៍៖ និងកត្តាកំណត់លំដាប់ទីបី ឧទាហរណ៍៖ .

ការកំណត់លំដាប់ទីបួន វាក៏មិនមែនជាវត្ថុបុរាណដែរ ហើយយើងនឹងទៅដល់វានៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន។

ខ្ញុំសង្ឃឹមថាអ្នកទាំងអស់គ្នាយល់ដូចខាងក្រោម៖លេខនៅក្នុងកត្តាកំណត់រស់នៅដោយខ្លួនឯង ហើយមិនមានសំណួរនៃការដកណាមួយឡើយ! លេខមិនអាចប្តូរបានទេ!

(ជាពិសេស វាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីអនុវត្តការផ្លាស់ប្តូរជាគូនៃជួរដេក ឬជួរឈរនៃកត្តាកំណត់ដោយការផ្លាស់ប្តូរសញ្ញារបស់វា ប៉ុន្តែជារឿយៗវាមិនចាំបាច់ទេ - មើលមេរៀនបន្ទាប់ ទ្រព្យសម្បត្តិនៃកត្តាកំណត់និងការកាត់បន្ថយនៃលំដាប់របស់វា។)

ដូច្នេះប្រសិនបើការកំណត់ណាមួយត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ យើងមិនប៉ះពាល់អ្វីនៅខាងក្នុងទេ!

ការរចនា៖ ប្រសិនបើបានផ្តល់ម៉ាទ្រីស បន្ទាប់មក កត្តាកំណត់របស់វាត្រូវបានបញ្ជាក់។ ជាញឹកញាប់ផងដែរ កត្តាកំណត់ត្រូវបានបញ្ជាក់ អក្សរឡាតាំងឬក្រិក។

1)តើវាមានន័យយ៉ាងណាក្នុងការដោះស្រាយ (ស្វែងរក បង្ហាញ) កត្តាកំណត់?ដើម្បីគណនាកត្តាកំណត់មានន័យថាស្វែងរកលេខ។ សញ្ញាសួរនៅក្នុងឧទាហរណ៍ខាងលើគឺជាលេខធម្មតាទាំងស្រុង។

2) ឥឡូវនេះវានៅសល់ដើម្បីស្វែងយល់ តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីរកលេខនេះ?ដើម្បីធ្វើដូចនេះអ្នកត្រូវអនុវត្តច្បាប់មួយចំនួន រូបមន្ត និងក្បួនដោះស្រាយ ដែលនឹងត្រូវបានពិភាក្សាឥឡូវនេះ។

ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយកត្តាកំណត់ "ពីរ" ដោយ "ពីរ":

នេះ​ត្រូវ​ចងចាំ​យ៉ាង​ហោច​ណាស់​ពេល​កំពុង​សិក្សា​គណិតវិទ្យា​ថ្នាក់​ខ្ពស់​នៅ​សាកលវិទ្យាល័យ។

សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍ភ្លាមៗ៖

រួចរាល់។ អ្វីដែលសំខាន់បំផុតគឺមិនត្រូវច្រឡំនៅក្នុងសញ្ញានោះទេ។

កត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសបីគុណនឹងបីអាចត្រូវបានបើកក្នុង 8 វិធី 2 នៃពួកគេគឺសាមញ្ញនិង 6 គឺធម្មតា។

ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយពីរ វិធីសាមញ្ញ

ស្រដៀងគ្នាទៅនឹងកត្តាកំណត់ពីរគុណនឹងពីរ កត្តាកំណត់បីគុណនឹងបីអាចត្រូវបានពង្រីកដោយប្រើរូបមន្ត៖

រូបមន្ត​នេះ​មាន​រយៈពេល​វែង ហើយ​វា​ងាយ​ស្រួល​ក្នុង​ការ​ធ្វើ​ខុស​ដោយ​សារ​តែ​ការ​ធ្វេសប្រហែស។ តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីជៀសវាងកំហុសរំខាន? ចំពោះគោលបំណងនេះ វិធីសាស្ត្រទីពីរនៃការគណនាកត្តាកំណត់ត្រូវបានបង្កើតឡើង ដែលពិតជាស្របគ្នាជាមួយនឹងទីមួយ។ វាត្រូវបានគេហៅថាវិធីសាស្រ្ត Sarrus ឬវិធីសាស្ត្រ "បន្ទះប៉ារ៉ាឡែល" ។
ចំណុចសំខាន់គឺនៅខាងស្តាំនៃកត្តាកំណត់ កំណត់ជួរទីមួយ និងទីពីរ ហើយគូរបន្ទាត់ដោយប្រុងប្រយ័ត្នដោយប្រើខ្មៅដៃ៖

មេគុណដែលមានទីតាំងនៅលើអង្កត់ទ្រូង "ក្រហម" ត្រូវបានបញ្ចូលក្នុងរូបមន្តដែលមានសញ្ញា "បូក" ។
មេគុណដែលស្ថិតនៅលើអង្កត់ទ្រូង "ខៀវ" ត្រូវបានបញ្ចូលក្នុងរូបមន្តដែលមានសញ្ញាដក៖

ឧទាហរណ៍៖

ប្រៀបធៀបដំណោះស្រាយទាំងពីរ។ វាងាយមើលឃើញថានេះគឺជារឿងដូចគ្នា គ្រាន់តែនៅក្នុងករណីទីពីរ កត្តារូបមន្តត្រូវបានរៀបចំឡើងវិញបន្តិច ហើយសំខាន់បំផុត លទ្ធភាពនៃកំហុសគឺតិចជាងច្រើន។

ឥឡូវនេះសូមក្រឡេកមើលវិធីធម្មតាចំនួនប្រាំមួយដើម្បីគណនាកត្តាកំណត់

ហេតុអ្វីធម្មតា? ដោយសារតែនៅក្នុងករណីភាគច្រើន វគ្គជម្រុះត្រូវតែបង្ហាញឱ្យឃើញតាមវិធីនេះ។

ដូចដែលអ្នកបានកត់សម្គាល់ កត្តាកំណត់បីគុណនឹងបីមានជួរឈរបី និងជួរបី។
អ្នកអាចដោះស្រាយកត្តាកំណត់ដោយបើកវា។ ដោយជួរណាមួយឬដោយជួរឈរណាមួយ។.
ដូច្នេះមានវិធីសាស្រ្តចំនួន 6 ក្នុងគ្រប់ករណីប្រើប្រាស់ ប្រភេទដូចគ្នា។ក្បួនដោះស្រាយ។

កត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសគឺស្មើនឹងផលបូកនៃផលិតផលនៃធាតុនៃជួរដេក (ជួរឈរ) ដោយការបំពេញបន្ថែមពិជគណិតដែលត្រូវគ្នា។ គួរឱ្យខ្លាច? អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺសាមញ្ញជាងនេះទៅទៀត យើងនឹងប្រើវិធីសាស្រ្តដែលមិនមានលក្ខណៈវិទ្យាសាស្ត្រ ប៉ុន្តែអាចយល់បាន ដែលអាចចូលប្រើបានសូម្បីតែមនុស្សនៅឆ្ងាយពីគណិតវិទ្យាក៏ដោយ។

ក្នុងឧទាហរណ៍បន្ទាប់យើងនឹងពង្រីកកត្តាកំណត់ នៅលើបន្ទាត់ទីមួយ.
សម្រាប់នេះយើងត្រូវការម៉ាទ្រីសនៃសញ្ញា: . វាងាយស្រួលក្នុងការកត់សំគាល់ថាសញ្ញាត្រូវបានរៀបចំជាគំរូក្តារបន្ទះ។

យកចិត្តទុកដាក់! ម៉ាទ្រីសសញ្ញាគឺជាការច្នៃប្រឌិតរបស់ខ្ញុំផ្ទាល់។ គំនិតនេះ។មិនមែនជាវិទ្យាសាស្ត្រទេ វាមិនចាំបាច់ប្រើក្នុងការរចនាចុងក្រោយនៃកិច្ចការនោះទេ វាគ្រាន់តែជួយអ្នកឱ្យយល់អំពីក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការគណនាកត្តាកំណត់ប៉ុណ្ណោះ។

ខ្ញុំនឹងផ្តល់ដំណោះស្រាយពេញលេញជាមុនសិន។ យើងយកកត្តាកំណត់ពិសោធន៍របស់យើងម្តងទៀត ហើយអនុវត្តការគណនា៖

និង សំណួរចម្បង៖ តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីទទួលបានវាពីកត្តាកំណត់ "បីដោយបី"៖
?

ដូច្នេះ កត្តាកំណត់ “បី គុណ បី” មកដើម្បីដោះស្រាយកត្តាកំណត់តូចៗបី ឬដូចដែលគេហៅផងដែរថា MINOROV. ខ្ញុំសូមណែនាំឱ្យចងចាំពាក្យនេះ ជាពិសេសព្រោះវាអាចបំភ្លេចបាន៖ តូច-តូច។

នៅពេលដែលវិធីសាស្រ្តនៃការ decomposition នៃកត្តាកំណត់ត្រូវបានជ្រើសរើស នៅលើបន្ទាត់ទីមួយវាច្បាស់ណាស់ថាអ្វីគ្រប់យ៉ាងនៅជុំវិញនាង:

ធាតុត្រូវបានមើលជាធម្មតាពីឆ្វេងទៅស្តាំ (ឬពីលើចុះក្រោម ប្រសិនបើជួរឈរមួយត្រូវបានជ្រើសរើស)

ចូរយើងទៅ ជាដំបូងយើងដោះស្រាយជាមួយនឹងធាតុដំបូងនៃបន្ទាត់ នោះគឺជាមួយនឹងមួយ:

1) ពីម៉ាទ្រីសនៃសញ្ញាយើងសរសេរចេញសញ្ញាដែលត្រូវគ្នា:

2) បន្ទាប់មកយើងសរសេរធាតុដោយខ្លួនឯង:

3) ឆ្លងកាត់ជួរដេក និងជួរឈរដោយបញ្ញាស្មារតី ដែលធាតុទីមួយលេចឡើង៖

លេខបួនដែលនៅសល់បង្កើតជាកត្តាកំណត់ "ពីរដោយពីរ" ដែលត្រូវបានគេហៅថា អនីតិជននៃធាតុដែលបានផ្តល់ឱ្យ (ឯកតា) ។

ចូរបន្តទៅធាតុទីពីរនៃបន្ទាត់។

៤) ពីម៉ាទ្រីសនៃសញ្ញា យើងសរសេរសញ្ញាដែលត្រូវគ្នា៖

5) បន្ទាប់មកសរសេរធាតុទីពីរ៖

6) ឆ្លងកាត់ជួរដេក និងជួរឈរដោយបញ្ញា ដែលធាតុទីពីរលេចឡើង:

មែនហើយធាតុទីបីនៃជួរទីមួយ។ គ្មានប្រភពដើម៖

៧) ពីម៉ាទ្រីសនៃសញ្ញា យើងសរសេរសញ្ញាដែលត្រូវគ្នា៖

៨) សរសេរធាតុទី៣៖

9) ឆ្លងកាត់​ជួរដេក និង​ជួរ​ឈរ​ដែល​មាន​ធាតុ​ទី​បី​ដោយ​បញ្ញា៖

យើងសរសេរលេខបួនដែលនៅសល់ក្នុងការកំណត់តូចមួយ។

សកម្មភាពដែលនៅសេសសល់មិនបង្ហាញពីការលំបាកណាមួយឡើយ ព្រោះយើងដឹងរួចមកហើយពីរបៀបរាប់កត្តាកំណត់ពីរគុណនឹងពីរ។ កុំច្រឡំក្នុងសញ្ញា!

ស្រដៀងគ្នានេះដែរ កត្តាកំណត់អាចត្រូវបានពង្រីកលើជួរណាមួយ ឬចូលទៅក្នុងជួរឈរណាមួយ។តាមធម្មជាតិ ក្នុងករណីទាំងប្រាំមួយ ចម្លើយគឺដូចគ្នា។

កត្តាកំណត់បួនគុណនឹងបួនអាចត្រូវបានគណនាដោយប្រើក្បួនដោះស្រាយដូចគ្នា។
ក្នុងករណីនេះម៉ាទ្រីសនៃសញ្ញារបស់យើងនឹងកើនឡើង:

ក្នុងឧទាហរណ៍ខាងក្រោមខ្ញុំបានពង្រីកកត្តាកំណត់ នេះបើយោងតាមជួរទីបួន:

តើ​វា​កើត​ឡើង​ដោយ​របៀប​ណា សូម​ព្យាយាម​ដោះស្រាយ​ដោយ​ខ្លួន​ឯង។ ព័​ត៍​មាន​បន្ថែមនឹងមានពេលក្រោយ។ ប្រសិនបើអ្នកណាម្នាក់ចង់ដោះស្រាយកត្តាកំណត់ដល់ទីបញ្ចប់ ចម្លើយដែលត្រឹមត្រូវគឺ៖ 18. សម្រាប់ការអនុវត្ត វាជាការប្រសើរក្នុងការដោះស្រាយកត្តាកំណត់ដោយជួរឈរ ឬជួរផ្សេងទៀត។

ការអនុវត្ត បើកបង្ហាញ ធ្វើការគណនាគឺល្អណាស់ និងមានប្រយោជន៍។ ប៉ុន្តែតើអ្នកនឹងចំណាយពេលប៉ុន្មានសម្រាប់ការប្រកួតជម្រុះដ៏ធំ? តើ​មិន​មាន​វិធី​លឿន​ជាង​និង​អាច​ទុក​ចិត្ត​បាន​ទេ? ខ្ញុំស្នើឱ្យអ្នកស្គាល់ខ្លួនឯង វិធីសាស្រ្តមានប្រសិទ្ធភាពការគណនាកត្តាកំណត់ក្នុងមេរៀនទីពីរ - លក្ខណៈសម្បត្តិនៃកត្តាកំណត់។ ការកាត់បន្ថយលំដាប់នៃកត្តាកំណត់.

ត្រូវ​ប្រុងប្រយ័ត្ន!