ចម្ងាយពីចំណុចមួយទៅបន្ទាត់ត្រង់ ប៉ាស្កាល់។ បញ្ហាសាមញ្ញបំផុតជាមួយបន្ទាត់ត្រង់នៅលើយន្តហោះ។ ទីតាំងដែលទាក់ទងនៃបន្ទាត់។ មុំរវាងបន្ទាត់ត្រង់

១៥៥*។ កំណត់ទំហំធម្មជាតិនៃផ្នែក AB នៃបន្ទាត់ត្រង់មួយនៅក្នុងទីតាំងទូទៅ (រូបភាព 153, ក) ។

ដំណោះស្រាយ។ ដូចដែលគេដឹងស្រាប់ ការព្យាករនៃផ្នែកបន្ទាត់ត្រង់នៅលើយន្តហោះណាមួយគឺស្មើនឹងផ្នែកខ្លួនវា (គិតគូរពីមាត្រដ្ឋាននៃគំនូរ) ប្រសិនបើវាស្របទៅនឹងយន្តហោះនេះ

(រូបភាព 153, ខ) ។ វាធ្វើតាមពីនេះថាដោយការបំលែងគំនូរវាចាំបាច់ដើម្បីសម្រេចបានភាពស្របគ្នា។ នៃផ្នែកនេះ។ pl. V ឬការ៉េ H ឬបន្ថែមប្រព័ន្ធ V, H ជាមួយនឹងប្លង់មួយទៀតកាត់កែងទៅនឹងការ៉េ។ V ឬដើម្បី pl ។ H និងក្នុងពេលជាមួយគ្នាស្របទៅនឹងផ្នែកនេះ។

នៅក្នុងរូបភព។ 153, c បង្ហាញពីការណែនាំនៃយន្តហោះបន្ថែម S កាត់កែងទៅនឹងការ៉េ។ H និងស្របទៅនឹងផ្នែកដែលបានផ្តល់ឱ្យ AB ។

ការព្យាករ a s b s គឺស្មើនឹងតម្លៃធម្មជាតិនៃផ្នែក AB ។

នៅក្នុងរូបភព។ 153, d បង្ហាញពីបច្ចេកទេសមួយផ្សេងទៀត៖ ផ្នែក AB ត្រូវបានបង្វិលជុំវិញបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំណុច B និងកាត់កែងទៅការ៉េ។ H ទៅទីតាំងស្របគ្នា។

pl. V. ក្នុងករណីនេះ ចំនុច B នៅនឹងកន្លែង ហើយចំនុច A យកទីតាំងថ្មី A 1។ ជើងមេឃស្ថិតនៅក្នុងទីតាំងថ្មី។ ការព្យាករណ៍ a 1 b || x អ័ក្ស ការព្យាករ a "1 b" គឺស្មើនឹងទំហំធម្មជាតិនៃផ្នែក AB ។

156. ដែលបានផ្តល់ឱ្យពីរ៉ាមីត SABCD (រូបភាព 154) ។ កំណត់ទំហំពិតប្រាកដនៃគែមរបស់សាជីជ្រុង AS និង CS ដោយប្រើវិធីសាស្ត្រផ្លាស់ប្តូរប្លង់ព្យាករ និងគែម BS និង DS ដោយប្រើវិធីសាស្ត្របង្វិល ហើយយកអ័ក្សបង្វិលកាត់កែងទៅការ៉េ។ ហ.

១៥៧*។ កំណត់ចម្ងាយពីចំណុច A ទៅបន្ទាត់ត្រង់ BC (រូបភាព 155, ក) ។

ដំណោះស្រាយ។ ចម្ងាយពីចំណុចមួយទៅបន្ទាត់មួយត្រូវបានវាស់ដោយផ្នែកកាត់កែងដែលដកចេញពីចំណុចទៅបន្ទាត់។

ប្រសិនបើបន្ទាត់ត្រង់កាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះណាមួយ (រូបភាព 155.6) នោះចម្ងាយពីចំណុចទៅបន្ទាត់ត្រង់ត្រូវបានវាស់ដោយចំងាយរវាងការព្យាករនៃចំណុច និងចំណុច-ព្យាករនៃបន្ទាត់ត្រង់នៅលើយន្តហោះនេះ។ ប្រសិនបើបន្ទាត់ត្រង់កាន់កាប់ V, H នៅក្នុងប្រព័ន្ធ ទីតាំងទូទៅបន្ទាប់មកដើម្បីកំណត់ចម្ងាយពីចំណុចមួយទៅបន្ទាត់មួយដោយការផ្លាស់ប្តូរយន្តហោះព្យាករ ចាំបាច់ត្រូវណែនាំយន្តហោះពីរបន្ថែមទៀតចូលទៅក្នុងប្រព័ន្ធ V, H ។

ដំបូង (រូបភាព 155, គ) យើងបញ្ចូលការ៉េ។ ស ស្របទៅនឹងផ្នែក BC (អ័ក្ស S/H ថ្មីគឺស្របទៅនឹងការព្យាករ bс) ហើយយើងបង្កើតការព្យាករណ៍ b s c s និង a s ។ បន្ទាប់មក (រូបភាព 155, ឃ) យើងណែនាំការ៉េមួយទៀត។ T កាត់កែងទៅបន្ទាត់ត្រង់ BC (អ័ក្សថ្មី T/S កាត់កែងទៅ b s ជាមួយ s)។ យើងបង្កើតការព្យាករណ៍នៃបន្ទាត់ត្រង់និងចំណុចមួយ - ជាមួយ t (b t) និង t ។ ចំងាយរវាងចំនុច a t និង c t (b t) គឺស្មើនឹងចំងាយ l ពីចំនុច A ដល់បន្ទាត់ត្រង់ BC ។

នៅក្នុងរូបភព។ 155, ឃ, ភារកិច្ចដូចគ្នានេះត្រូវបានសម្រេចដោយប្រើវិធីសាស្រ្តបង្វិលក្នុងទម្រង់របស់វាដែលត្រូវបានគេហៅថាវិធីសាស្ត្រចលនាប៉ារ៉ាឡែល។ ទីមួយ បន្ទាត់ត្រង់ BC និងចំណុច A ដោយរក្សាទីតាំងទាក់ទងរបស់ពួកគេមិនផ្លាស់ប្តូរត្រូវបានបង្វិលជុំវិញមួយចំនួន (មិនបានបង្ហាញនៅក្នុងគំនូរ) បន្ទាត់ត្រង់កាត់កែងទៅការ៉េ។ H ដូច្នេះបន្ទាត់ត្រង់ BC គឺស្របទៅនឹងការ៉េ។ V. នេះគឺស្មើនឹងការផ្លាស់ប្តូរចំណុច A, B, C ក្នុងយន្តហោះស្របនឹងការ៉េ។ H. ក្នុងពេលជាមួយគ្នានេះផ្តេក។ ការព្យាករណ៍នៃប្រព័ន្ធដែលបានផ្តល់ឱ្យ (BC + A) មិនផ្លាស់ប្តូរទាំងទំហំឬការកំណត់ទេមានតែទីតាំងរបស់វាទាក់ទងទៅនឹងការផ្លាស់ប្តូរអ័ក្ស x ។ យើងដាក់ជើងមេឃ។ ការព្យាករនៃបន្ទាត់ត្រង់ BC ស្របទៅនឹងអ័ក្ស x (ទីតាំង b 1 c 1) និងកំណត់ការព្យាករ a 1 ដោយកំណត់ឡែក c 1 1 1 = c-1 និង a 1 1 1 = a-1 និង a 1 1 1 ⊥ គ 1 1 1 . ការគូរបន្ទាត់ត្រង់ b"b" 1 , a "a" 1 , c "c" 1 ស្របទៅនឹងអ័ក្ស x យើងរកឃើញផ្នែកខាងមុខនៅលើពួកវា។ ការព្យាករណ៍ b" 1, a" 1, c" 1. បន្ទាប់មក យើងផ្លាស់ទីចំណុច B 1, C 1 និង A 1 ក្នុងយន្តហោះស្របទៅនឹងតំបន់ V (ផងដែរដោយមិនផ្លាស់ប្តូរទីតាំងដែលទាក់ទងរបស់ពួកគេ) ដូច្នេះដើម្បីទទួលបាន B 2 C 2 ⊥ តំបន់ H. ក្នុងករណីនេះ ការព្យាករខាងមុខនៃបន្ទាត់ត្រង់នឹងកាត់កែងទៅ x,b អ័ក្ស 2 c" 2 = b" 1 c" 1 ហើយដើម្បីបង្កើតការព្យាករ a "2 អ្នកត្រូវយក b" 2 2" 2 = b" 1 2" 1 គូរ 2 "a" 2 ⊥ b" 2 c" 2 ហើយកំណត់ឡែក a" 2 2" 2 = a" 1 2" 1 ។ ឥឡូវនេះដោយបានចំណាយជាមួយ 1 ជាមួយ 2 និង 1 a 2 || x 1 យើងទទួលបានការព្យាករ b 2 ពី 2 និង a 2 និងចម្ងាយដែលចង់បាន l ពីចំណុច A ដល់បន្ទាត់ត្រង់ BC ។ ចម្ងាយពី A ដល់ BC អាចកំណត់បានដោយការបង្វិលយន្តហោះកំណត់ដោយចំណុច A និងបន្ទាត់ត្រង់ BC ជុំវិញផ្តេកនៃយន្តហោះនេះទៅទីតាំង T || pl. H (រូបភព 155, ច) ។

ក្នុង​ប្លង់​ដែល​កំណត់​ដោយ​ចំណុច A និង​បន្ទាត់​ត្រង់ BC សូម​គូស​បន្ទាត់​ផ្ដេក A-1 (រូបភាព 155, g) ហើយ​បង្វិល​ចំណុច B ជុំវិញ​វា ហើយ​ចំណុច B ផ្លាស់ទី​ទៅ​ការ៉េ។ R (បញ្ជាក់ក្នុងគំនូរនៅជាប់ R h) កាត់កែងទៅ A-1; នៅចំណុច O មានចំណុចកណ្តាលនៃការបង្វិលចំណុច B. ឥឡូវនេះយើងកំណត់តម្លៃធម្មជាតិនៃកាំនៃការបង្វិល VO (រូបភាព 155, គ) ។ នៅក្នុងទីតាំងដែលត្រូវការ, ឧ. នៅពេលដែល pl. T ដែលកំណត់ដោយចំណុច A និងបន្ទាត់ត្រង់ BC នឹងក្លាយជា || pl. H ចំណុច B នឹងស្ថិតនៅលើ R h នៅចម្ងាយ Ob 1 ពីចំណុច O (អាចមានទីតាំងផ្សេងទៀតនៅលើដានដូចគ្នា R h ប៉ុន្តែនៅម្ខាងទៀតនៃ O) ។ ចំណុច b 1 គឺជាជើងមេឃ។ ការព្យាករណ៍នៃចំណុច B បន្ទាប់ពីផ្លាស់ទីវាទៅទីតាំង B 1 ក្នុងលំហ នៅពេលដែលយន្តហោះកំណត់ដោយចំណុច A និងបន្ទាត់ត្រង់ BC បានយកទីតាំង T ។

គំនូរ (រូបភាព 155, i) បន្ទាត់ត្រង់ b 1 1 យើងទទួលបានផ្តេក។ ការព្យាករណ៍នៃបន្ទាត់ត្រង់ BC ដែលមានទីតាំងនៅរួចហើយ || pl. H ស្ថិតនៅក្នុងប្លង់ដូចគ្នាជាមួយ A. ក្នុងទីតាំងនេះ ចំងាយពី a ទៅ b 1 1 ស្មើនឹងចម្ងាយដែលចង់បាន l ។ យន្តហោះ P ដែលធាតុដែលបានផ្តល់ឱ្យកុហកអាចត្រូវបានផ្សំជាមួយការ៉េ។ H (រូបភព 155, j) ការបង្វិលការ៉េ។ R នៅជុំវិញនាងគឺជាជើងមេឃ។ ដាន។ ការផ្លាស់ប្តូរពីការបញ្ជាក់ប្លង់ដោយចំណុច A និងបន្ទាត់ត្រង់ BC ទៅការបញ្ជាក់បន្ទាត់ត្រង់ BC និង A-1 (រូបភាព 155, l) យើងរកឃើញដាននៃបន្ទាត់ត្រង់ទាំងនេះ ហើយគូរដាន P ϑ និង P h តាមរយៈពួកគេ។ យើងកំពុងសាងសង់ (រូបភាព 155, m) រួមបញ្ចូលគ្នាជាមួយការ៉េ។ ទីតាំង H ខាងមុខ។ ដាន - P ϑ0 ។

តាមរយៈចំណុចមួយ យើងគូរផ្តេក។ ការព្យាករណ៍ផ្នែកខាងមុខ; ផ្នែកខាងមុខរួមបញ្ចូលគ្នាឆ្លងកាត់ចំណុច 2 នៅលើដាន P h ស្របទៅនឹង P ϑ0 ។ ចំណុច A 0 - រួមបញ្ចូលគ្នាជាមួយការ៉េ។ H គឺជាទីតាំងនៃចំនុច A. ដូចគ្នានេះដែរ យើងរកឃើញចំនុច B 0។ ព្រះអាទិត្យដោយផ្ទាល់រួមបញ្ចូលគ្នាជាមួយការ៉េ។ ទីតាំង H ឆ្លងកាត់ចំណុច B 0 និងចំណុច m (ដានផ្ដេកនៃបន្ទាត់ត្រង់) ។

ចម្ងាយពីចំណុច A 0 ទៅបន្ទាត់ត្រង់ B 0 C 0 គឺស្មើនឹងចម្ងាយដែលត្រូវការ l ។

អ្នកអាចអនុវត្តការសាងសង់ដែលបានចង្អុលបង្ហាញដោយស្វែងរកតែដានមួយនៃ P h (រូបភាព 155, n និង o) ។ សំណង់ទាំងមូលគឺស្រដៀងនឹងការបង្វិលជុំវិញផ្តេក (សូមមើលរូប 155, g, c, i): ដាន P h គឺជាផ្នែកមួយក្នុងចំនោមផ្ដេក pl ។ រ.

ក្នុងចំណោមវិធីសាស្រ្តដែលបានផ្តល់ឱ្យសម្រាប់ការដោះស្រាយបញ្ហានេះ វិធីសាស្រ្តដែលពេញចិត្តក្នុងការបំប្លែងគំនូរគឺជាវិធីសាស្ត្រនៃការបង្វិលជុំវិញផ្តេក ឬផ្នែកខាងមុខ។

158. ពីរ៉ាមីត SABC ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ (រូបភាព 156) ។ កំណត់ចម្ងាយ៖

ក) ពីកំពូល B នៃមូលដ្ឋានទៅចំហៀងរបស់វា AC ដោយវិធីសាស្រ្តនៃចលនាប៉ារ៉ាឡែល;

ខ) ពីកំពូល S នៃពីរ៉ាមីតទៅជ្រុង BC និង AB នៃមូលដ្ឋានដោយបង្វិលជុំវិញផ្តេក;

គ) ពីកំពូល S ទៅចំហៀង AC នៃមូលដ្ឋានដោយការផ្លាស់ប្តូរយន្តហោះព្យាករណ៍។

159. ព្រីសមួយត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ (រូបភាព 157) ។ កំណត់ចម្ងាយ៖

ក) រវាងឆ្អឹងជំនីរ AD និង CF ដោយការផ្លាស់ប្តូរការព្យាករ។

ខ) រវាងឆ្អឹងជំនីរ BE និង CF ដោយការបង្វិលជុំវិញផ្នែកខាងមុខ;

គ) រវាងគែម AD និង BE ដោយចលនាប៉ារ៉ាឡែល។

160. កំណត់ទំហំពិតប្រាកដនៃការ៉េ ABCD (រូបភាព 158) ដោយតម្រឹមវាជាមួយនឹងការ៉េ។ N. ប្រើតែដានផ្ដេកនៃយន្តហោះប៉ុណ្ណោះ។

១៦១*។ កំណត់ចម្ងាយរវាងបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ AB និងស៊ីឌី (រូបភាព 159, ក) និងបង្កើតការព្យាករណ៍នៃការកាត់កែងធម្មតាទៅពួកគេ។

ដំណោះស្រាយ។ ចម្ងាយរវាងបន្ទាត់ឆ្លងកាត់ត្រូវបានវាស់ដោយផ្នែកមួយ (MN) កាត់កែងទៅបន្ទាត់ទាំងពីរ (រូបភាព 159, ខ) ។ ជាក់ស្តែងប្រសិនបើបន្ទាត់ត្រង់មួយត្រូវបានដាក់កាត់កែងទៅនឹងការ៉េណាមួយ។ T បន្ទាប់មក

ផ្នែក MN កាត់កែងទៅបន្ទាត់ទាំងពីរនឹងស្របទៅនឹងការ៉េ។ ការព្យាករណ៍របស់វានៅលើយន្តហោះនេះនឹងបង្ហាញចម្ងាយដែលត្រូវការ។ ការព្យាករ មុំខាងស្តាំ Menad MN n AB នៅលើ pl ។ T ក៏ប្រែជាមុំខាងស្តាំរវាង m t n t និង a t b t ដែរ ដោយសារជ្រុងមួយនៃមុំខាងស្តាំគឺ AMN គឺ MN ។ ស្របទៅនឹងការ៉េ ធ.

នៅក្នុងរូបភព។ 159, c និង d, ចម្ងាយដែលត្រូវការ l ត្រូវបានកំណត់ដោយវិធីសាស្រ្តនៃការផ្លាស់ប្តូរការព្យាករណ៍។ ដំបូងយើងណែនាំការ៉េបន្ថែម។ ការព្យាករណ៍ S កាត់កែងទៅនឹងការ៉េ។ H និងស្របទៅនឹងស៊ីឌីបន្ទាត់ត្រង់ (រូបភាព 159, គ) ។ បន្ទាប់មកយើងណែនាំការ៉េបន្ថែមមួយទៀត។ T កាត់កែងទៅការ៉េ។ S និងកាត់កែងទៅនឹងស៊ីឌីបន្ទាត់ត្រង់ដូចគ្នា (រូបភាព 159, ឃ) ។ ឥឡូវ​នេះ អ្នក​អាច​បង្កើត​ការ​ព្យាករ​នៃ​ការ​កាត់​កែង​ទូទៅ​ដោយ​ការ​គូរ m t n t ពី​ចំណុច c t (d t) កាត់​កែង​ទៅ​នឹង​ការ​ព្យាករ a t b t ។ ចំនុច m t និង n t គឺជាការព្យាករនៃចំនុចប្រសព្វនៃកាត់កែងនេះជាមួយនឹងបន្ទាត់ត្រង់ AB និង CD ។ ដោយប្រើចំណុច m t (រូបភាព 159, e) យើងរកឃើញ m s នៅលើ s b s: ការព្យាករណ៍នៃ m s n s គួរតែស្របទៅនឹងអ័ក្ស T/S ។ បន្ទាប់មកពី m និង n s យើងរកឃើញ m និង n នៅលើ ab និង cd ហើយពីពួកគេ m" និង n" នៅលើ a "b" និង c"d" ។

នៅក្នុងរូបភព។ 159, c បង្ហាញដំណោះស្រាយចំពោះបញ្ហានេះដោយប្រើវិធីសាស្រ្តនៃចលនាប៉ារ៉ាឡែល។ ដំបូងយើងដាក់ស៊ីឌីបន្ទាត់ត្រង់ស្របទៅនឹងការ៉េ។ V: projection c 1 d 1 || X. បន្ទាប់មក យើងផ្លាស់ទីបន្ទាត់ត្រង់ CD និង AB ពីទីតាំង C 1 D 1 និង A 1 B 1 ទៅទីតាំង C 2 B 2 និង A 2 B 2 ដូច្នេះ C 2 D 2 កាត់កែងទៅ H: ការព្យាករ c" 2 d" 2 ⊥ x. ផ្នែកនៃកាត់កែងដែលត្រូវការមានទីតាំងនៅ || pl. H ហើយដូច្នេះ m 2 n 2 បង្ហាញចម្ងាយដែលចង់បាន l រវាង AB និង CD ។ យើងរកឃើញទីតាំងនៃការព្យាករ m" 2 និង n " 2 លើ a " 2 b " 2 និង c " 2 d " 2 បន្ទាប់មកការព្យាករណ៍ m 1 និង m " 1 , n 1 និង n " 1 ទីបំផុត ការព្យាករណ៍ m" និង n ", m និង n ។

162. ពីរ៉ាមីត SABC ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ (រូបភាព 160) ។ កំណត់ចម្ងាយរវាងគែម SB និងចំហៀង AC នៃមូលដ្ឋាននៃពីរ៉ាមីត និងសាងសង់ការព្យាករនៃកាត់កែងធម្មតាទៅ SB និង AC ដោយប្រើវិធីសាស្រ្តនៃការផ្លាស់ប្តូរប្លង់ព្យាករ។

163. ពីរ៉ាមីត SABC ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ (រូបភាព 161) ។ កំណត់ចម្ងាយរវាងគែម SH និងចំហៀង BC នៃមូលដ្ឋាននៃពីរ៉ាមីត និងសាងសង់ការព្យាករនៃកាត់កែងធម្មតាទៅ SX និង BC ដោយប្រើវិធីសាស្ត្រផ្លាស់ទីលំនៅស្របគ្នា។

១៦៤*។ កំណត់ចម្ងាយពីចំណុច A ទៅយន្តហោះ ក្នុងករណីដែលយន្តហោះត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយ៖ ក) ត្រីកោណ BCD (រូបភាព 162, a); ខ) ដាន (រូបភាព 162, ខ) ។

ដំណោះស្រាយ។ ដូចដែលអ្នកបានដឹងហើយថាចម្ងាយពីចំណុចមួយទៅយន្តហោះត្រូវបានវាស់ដោយតម្លៃនៃកាត់កែងដែលដកចេញពីចំណុចទៅយន្តហោះ។ ចម្ងាយនេះត្រូវបានព្យាករលើតំបន់ណាមួយ។ ការព្យាករណ៍ក្នុងទំហំពេញ ប្រសិនបើយន្តហោះនេះកាត់កែងទៅនឹងការ៉េ។ ការព្យាករណ៍ (រូបភាព 162, គ) ។ ស្ថានភាពនេះអាចត្រូវបានសម្រេចដោយការផ្លាស់ប្តូរគំនូរឧទាហរណ៍ដោយការផ្លាស់ប្តូរតំបន់។ ការព្យាករណ៍។ សូមណែនាំ pl ។ S (រូបទី 16c, ឃ) កាត់កែងទៅនឹងការ៉េ។ ត្រីកោណ BCD ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងចំណាយក្នុងការ៉េ។ ត្រីកោណផ្ដេក B-1 ហើយដាក់អ័ក្សព្យាករ S កាត់កែងទៅនឹងការព្យាករ b-1 ផ្ដេក។ យើងបង្កើតការព្យាករណ៍នៃចំណុចមួយ និងយន្តហោះ - a s និង segment c s d s ។ ចម្ងាយពី s ទៅ c s d s គឺស្មើនឹងចម្ងាយដែលចង់បាន l នៃចំណុចទៅយន្តហោះ។

ទៅ Rio ។ 162, ឃ វិធីសាស្រ្តនៃចលនាប៉ារ៉ាឡែលត្រូវបានប្រើ។ យើងផ្លាស់ទីប្រព័ន្ធទាំងមូលរហូតដល់យន្តហោះផ្តេក B-1 កាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះ V: ការព្យាករ b 1 1 1 គួរតែកាត់កែងទៅនឹងអ័ក្ស x ។ ក្នុង​ទីតាំង​នេះ ប្លង់​នៃ​ត្រីកោណ​នឹង​ក្លាយ​ជា​ការ​ព្យាករ​ពី​ខាង​មុខ ហើយ​ចម្ងាយ l ពី​ចំណុច A ទៅ​នឹង​ជា pl ។ V ដោយគ្មានការបង្ខូចទ្រង់ទ្រាយ។

នៅក្នុងរូបភព។ 162, ខ យន្តហោះត្រូវបានកំណត់ដោយដាន។ យើងណែនាំ (រូបភាព 162, ង) ការ៉េបន្ថែមមួយ។ S កាត់កែងទៅការ៉េ។ P: អ័ក្ស S/H កាត់កែងទៅ P h ។ នៅសល់គឺច្បាស់ពីគំនូរ។ នៅក្នុងរូបភព។ ១៦២, g បញ្ហាត្រូវបានដោះស្រាយដោយប្រើចលនាតែមួយ៖ pl ។ P ចូលទៅក្នុងទីតាំង P 1 ពោលគឺ វាក្លាយជាការបញ្ចាំងខាងមុខ។ បទ. P 1h កាត់កែងទៅនឹងអ័ក្ស x ។ យើងសាងសង់ផ្នែកខាងមុខនៅក្នុងទីតាំងនៃយន្តហោះនេះ។ ដានផ្ដេកគឺជាចំនុច n" 1,n 1. ដាន P 1ϑ នឹងឆ្លងកាត់ P 1x និង n 1. ចម្ងាយពី a" 1 ដល់ P 1ϑ គឺស្មើនឹងចម្ងាយដែលត្រូវការ l ។

165. ពីរ៉ាមីត SABC ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ (សូមមើលរូបភាព 160) ។ កំណត់ចម្ងាយពីចំណុច A ទៅគែមនៃសាជីជ្រុង SBC ដោយប្រើវិធីសាស្ត្រចលនាប៉ារ៉ាឡែល។

166. សាជីជ្រុង SABC ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ (សូមមើលរូបភាព 161) ។ កំណត់កម្ពស់នៃពីរ៉ាមីតដោយប្រើវិធីសាស្ត្រផ្លាស់ទីលំនៅស្របគ្នា។

១៦៧*។ កំណត់ចម្ងាយរវាងបន្ទាត់កាត់ AB និង CD (សូមមើលរូប 159,a) ជាចំងាយរវាងប្លង់ប៉ារ៉ាឡែលដែលគូសតាមបន្ទាត់ទាំងនេះ។

ដំណោះស្រាយ។ នៅក្នុងរូបភព។ 163 ហើយយន្តហោះ P និង Q គឺស្របគ្នាទៅវិញទៅមក ដែលក្នុងនោះ pl ។ Q ត្រូវបានគូរតាម CD ស្របទៅនឹង AB ហើយ pl ។ P - តាមរយៈ AB ស្របទៅនឹងការ៉េ។ Q. ចម្ងាយរវាងយន្តហោះបែបនេះត្រូវបានចាត់ទុកថាជាចំងាយរវាងការឆ្លងកាត់បន្ទាត់ត្រង់ AB និង CD ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ អ្នកអាចដាក់កម្រិតខ្លួនឯងក្នុងការសាងសង់យន្តហោះតែមួយប៉ុណ្ណោះ ឧទាហរណ៍ Q ស្របទៅនឹង AB ហើយបន្ទាប់មកកំណត់ចម្ងាយយ៉ាងហោចណាស់ពីចំណុច A ទៅយន្តហោះនេះ។

នៅក្នុងរូបភព។ 163, c បង្ហាញយន្តហោះ Q ដែលគូរតាម CD ស្របទៅនឹង AB; នៅក្នុងការព្យាករដែលបានអនុវត្តជាមួយ "e" || a"b" និង ce || ab ដោយប្រើវិធីសាស្រ្តនៃការផ្លាស់ប្តូរ pl ។ ការព្យាករណ៍ (រូបភាព 163, គ) យើងណែនាំការ៉េបន្ថែម។ S កាត់កែងទៅការ៉េ។ V និងក្នុងពេលតែមួយ

កាត់កែងទៅការ៉េ សំណួរដើម្បីគូរអ័ក្ស S/V សូមយកផ្នែកខាងមុខ D-1 នៅក្នុងយន្តហោះនេះ។ ឥឡូវនេះយើងគូរ S/V កាត់កែងទៅ d"1" (រូបភាព 163, គ)។ Pl. Q នឹងត្រូវបានបង្ហាញនៅលើការ៉េ។ S ជាបន្ទាត់ត្រង់ជាមួយ s d s ។ នៅសល់គឺច្បាស់ពីគំនូរ។

168. សាជីជ្រុង SABC ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ (សូមមើលរូបភាព 160) ។ កំណត់ចម្ងាយរវាងឆ្អឹងជំនីរ SC និង AB អនុវត្ត៖ 1) វិធីសាស្ត្រផ្លាស់ប្តូរផ្ទៃ។ ការព្យាករណ៍ 2) វិធីសាស្រ្តនៃចលនាប៉ារ៉ាឡែល។

១៦៩*។ កំណត់ចម្ងាយរវាងយន្តហោះប៉ារ៉ាឡែល ដែលមួយត្រូវបានកំណត់ដោយបន្ទាត់ត្រង់ AB និង AC និងមួយទៀតដោយបន្ទាត់ត្រង់ DE និង DF (រូបភាព 164, ក) ។ អនុវត្តការសាងសង់ផងដែរសម្រាប់ករណីនៅពេលដែលយន្តហោះត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយដាន (រូបភាព 164, ខ) ។

ដំណោះស្រាយ។ ចម្ងាយ (រូបភាព 164, គ) រវាងយន្តហោះប៉ារ៉ាឡែលអាចត្រូវបានកំណត់ដោយការគូរកាត់កែងពីចំណុចណាមួយនៃយន្តហោះមួយទៅយន្តហោះមួយទៀត។ នៅក្នុងរូបភព។ 164, g មួយការ៉េបន្ថែមត្រូវបានណែនាំ។ S កាត់កែងទៅការ៉េ។ H និងសម្រាប់យន្តហោះទាំងពីរ។ អ័ក្ស S.H កាត់កែងទៅផ្ដេក។ ការ​ព្យាករ​ផ្ដេក​ដែល​បាន​គូរ​ក្នុង​យន្តហោះ​មួយ​។ យើងសាងសង់ការព្យាករនៃយន្តហោះនេះ និងចំណុចមួយនៅក្នុងយន្តហោះមួយផ្សេងទៀតនៅលើការ៉េ។ 5. ចម្ងាយនៃចំណុច d s ទៅបន្ទាត់ត្រង់ l s a s គឺស្មើនឹងចម្ងាយដែលត្រូវការរវាងយន្តហោះប៉ារ៉ាឡែល។

នៅក្នុងរូបភព។ 164, ឃ សំណង់មួយទៀតត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ (យោងទៅតាមវិធីសាស្រ្តនៃចលនាប៉ារ៉ាឡែល) ។ ដើម្បីឱ្យយន្តហោះដែលបង្ហាញដោយបន្ទាត់ប្រសព្វ AB និង AC កាត់កែងទៅនឹងការ៉េ។ V, ផ្តេក។ យើងកំណត់ការព្យាករផ្តេកនៃយន្តហោះនេះកាត់កែងទៅនឹងអ័ក្ស x៖ 1 1 2 1 ⊥ x ។ ចម្ងាយរវាងផ្នែកខាងមុខ ការព្យាករ ឃ" 1 នៃចំណុច D និងបន្ទាត់ត្រង់ a" 1 2" 1 (ការព្យាករខាងមុខនៃយន្តហោះ) គឺស្មើនឹងចម្ងាយដែលត្រូវការរវាងយន្តហោះ។

នៅក្នុងរូបភព។ 164, អ៊ី បង្ហាញពីការណែនាំនៃការ៉េបន្ថែម។ S កាត់កែងទៅនឹងផ្ទៃ H និងទៅប្លង់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ P និង Q (អ័ក្ស S/H កាត់កែងទៅនឹងដាន P h និង Q h) ។ យើងបង្កើតដាននៃ P s និង Q s ។ ចម្ងាយរវាងពួកវា (សូមមើលរូបទី 164, គ) គឺស្មើនឹងចម្ងាយដែលចង់បាន l រវាងយន្តហោះ P និង Q ។

នៅក្នុងរូបភព។ 164, g បង្ហាញពីចលនារបស់យន្តហោះ P 1 n Q 1 ទៅទីតាំង P 1 និង Q 1 នៅពេលផ្តេក។ ដានប្រែទៅជាកាត់កែងទៅនឹងអ័ក្ស x ។ ចម្ងាយរវាងផ្នែកខាងមុខថ្មី។ ដាន P 1ϑ និង Q 1ϑ ស្មើនឹងចម្ងាយដែលត្រូវការ l ។

170. បានផ្តល់ឱ្យ parallelepiped ABCDEFGH (រូបភាព 165) ។ កំណត់ចម្ងាយ: ក) រវាងមូលដ្ឋាននៃ parallelepiped - l 1; ខ) រវាងមុខ ABFE និង DCGH - l 2; គ) រវាងមុខ ADHE និង BCGF-l ៣.

ចម្ងាយពីចំណុចមួយទៅបន្ទាត់គឺជាប្រវែងនៃកាត់កែងដែលទាញពីចំណុចទៅបន្ទាត់។ នៅក្នុងធរណីមាត្រពិពណ៌នា វាត្រូវបានកំណត់ជាក្រាហ្វិកដោយប្រើក្បួនដោះស្រាយដែលបានផ្តល់ឱ្យខាងក្រោម។

ក្បួនដោះស្រាយ

1. បន្ទាត់ត្រង់ត្រូវបានផ្លាស់ទីទៅទីតាំងមួយដែលវានឹងស្របទៅនឹងយន្តហោះព្យាករណាមួយ។ ចំពោះគោលបំណងនេះវិធីសាស្រ្តនៃការផ្លាស់ប្តូរការព្យាករ orthogonal ត្រូវបានប្រើ។
2. ពីចំណុចមួយ កាត់កែងមួយទៅបន្ទាត់មួយ។ នៅស្នូល នៃសំណង់នេះ។ទ្រឹស្ដីទ្រឹស្ដីនៅលើការព្យាករនៃមុំខាងស្តាំ។
3. ប្រវែងកាត់កែងត្រូវបានកំណត់ដោយការបំប្លែងការព្យាករណ៍របស់វា ឬប្រើវិធីសាស្ត្រត្រីកោណកែង។

រូបខាងក្រោមបង្ហាញពីគំនូរស្មុគស្មាញនៃចំណុច M និងបន្ទាត់ b ដែលកំណត់ដោយផ្នែកស៊ីឌី។ អ្នកត្រូវស្វែងរកចម្ងាយរវាងពួកគេ។

យោងទៅតាមក្បួនដោះស្រាយរបស់យើងរឿងដំបូងដែលត្រូវធ្វើគឺផ្លាស់ទីបន្ទាត់ត្រង់ទៅទីតាំង ស្របទៅនឹងយន្តហោះការព្យាករណ៍។ វាជាការសំខាន់ណាស់ដែលត្រូវយល់ថាបន្ទាប់ពីការបំលែងត្រូវបានអនុវត្ត ចម្ងាយជាក់ស្តែងរវាងចំណុច និងបន្ទាត់មិនគួរផ្លាស់ប្តូរទេ។ នោះហើយជាមូលហេតុដែលវាមានភាពងាយស្រួលនៅទីនេះក្នុងការប្រើវិធីសាស្ត្រជំនួសយន្តហោះ ដែលមិនពាក់ព័ន្ធនឹងការផ្លាស់ទីតួរលេខក្នុងលំហ។

លទ្ធផលនៃដំណាក់កាលដំបូងនៃការសាងសង់ត្រូវបានបង្ហាញដូចខាងក្រោម។ តួលេខបង្ហាញពីរបៀបដែលយន្តហោះខាងមុខបន្ថែម P 4 ត្រូវបានណែនាំស្របទៅនឹង ខ។ IN ប្រព័ន្ធថ្មី។(P 1, P 4) ចំនុច C""1,D""1,M""1 នៅចំងាយដូចគ្នាពីអ័ក្ស X 1 ជា C"",D"",M"" ពីអ័ក្ស X។

អនុវត្តផ្នែកទីពីរនៃក្បួនដោះស្រាយចាប់ពី M""1 យើងបន្ថយកាត់កែង M""1 N""1 ទៅបន្ទាត់ត្រង់ b""1 ចាប់តាំងពីមុំខាងស្តាំ MND រវាង b និង MN ត្រូវបានព្យាករលើយន្តហោះ P 4 ក្នុងទំហំពេញ។ ដោយប្រើខ្សែទំនាក់ទំនងយើងកំណត់ទីតាំងនៃចំណុច N" និងអនុវត្តការព្យាករ M "N" នៃផ្នែក MN ។

នៅដំណាក់កាលចុងក្រោយ អ្នកត្រូវកំណត់ទំហំនៃផ្នែក MN ពីការព្យាករណ៍របស់វា M"N" និង M""1 N"" 1 ។ សម្រាប់រឿងនេះយើងកំពុងសាងសង់ ត្រីកោណកែង M" "1 N" "1 N 0 ដែលមានចំហៀង N"" 1 N 0 ស្មើនឹងភាពខុសគ្នា(Y M 1 – Y N 1) ការដកចំនុច M” និង N” ចេញពីអ័ក្ស X 1 ។ ប្រវែងនៃអ៊ីប៉ូតេនុស M"" 1 N 0 នៃត្រីកោណ M "" 1 N "" 1 N 0 ត្រូវគ្នាទៅនឹងចម្ងាយដែលចង់បានពី M ទៅ ខ។

ដំណោះស្រាយទីពីរ

• ស្របទៅនឹងស៊ីឌី យើងណែនាំយន្តហោះខាងមុខថ្មី P 4 ។ វាកាត់ P 1 តាមអ័ក្ស X 1 និង X 1 ∥C "D" ។ ដោយអនុលោមតាមវិធីសាស្រ្តនៃការជំនួសយន្តហោះយើងកំណត់ការព្យាករណ៍នៃចំណុច C""1, D""1 និង M""1 ដូចបង្ហាញក្នុងរូប។
• កាត់កែងទៅ C"" 1 D"" 1 យើងបង្កើតយន្តហោះផ្តេកបន្ថែម P 5 ដែលបន្ទាត់ត្រង់ b ត្រូវបានព្យាករទៅចំណុច C" 2 = b" 2 ។
• ចម្ងាយរវាងចំណុច M និងបន្ទាត់ b ត្រូវបានកំណត់ដោយប្រវែងនៃផ្នែក M "2 C" 2 ដែលបង្ហាញជាពណ៌ក្រហម។

កិច្ចការស្រដៀងគ្នា៖

រូបមន្តសម្រាប់គណនាចម្ងាយពីចំណុចមួយទៅបន្ទាត់នៅលើយន្តហោះ

ប្រសិនបើសមីការនៃបន្ទាត់ Ax + By + C = 0 ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ នោះចម្ងាយពីចំណុច M (M x , M y) ដល់បន្ទាត់អាចត្រូវបានរកឃើញដោយប្រើរូបមន្តខាងក្រោម។

ឧទាហរណ៍នៃបញ្ហាសម្រាប់ការគណនាចម្ងាយពីចំណុចមួយទៅបន្ទាត់នៅលើយន្តហោះ

ឧទាហរណ៍ ១.

រកចំងាយរវាងបន្ទាត់ 3x + 4y - 6 = 0 និងចំនុច M(-1, 3)។

ដំណោះស្រាយ។ចូរជំនួសមេគុណនៃបន្ទាត់ និងកូអរដោណេនៃចំណុចទៅក្នុងរូបមន្ត

ចម្លើយ៖ចម្ងាយពីចំណុចទៅបន្ទាត់គឺ 0.6 ។

សមីការនៃយន្តហោះឆ្លងកាត់ចំនុចកាត់កែងទៅនឹងវ៉ិចទ័រ សមីការទូទៅនៃយន្តហោះ

វ៉ិចទ័រមិនសូន្យដែលកាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះដែលបានផ្តល់ឱ្យត្រូវបានគេហៅថា វ៉ិចទ័រធម្មតា។ (ឬនិយាយឱ្យខ្លី ធម្មតា។ ) សម្រាប់យន្តហោះនេះ។

អនុញ្ញាតឱ្យមានចន្លោះសំរបសំរួល (ក្នុង ប្រព័ន្ធចតុកោណកូអរដោណេ) ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ៖

ចំណុច​មួយ ;

b) វ៉ិចទ័រមិនសូន្យ (រូបភាព 4.8, ក) ។

អ្នកត្រូវបង្កើតសមីការសម្រាប់យន្តហោះឆ្លងកាត់ចំណុចមួយ។ កាត់កែងទៅនឹងវ៉ិចទ័រ ការបញ្ចប់ភស្តុតាង។

ឥឡូវ​សូម​ពិចារណា ប្រភេទផ្សេងៗសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់នៅលើយន្តហោះ។

1) សមីការទូទៅនៃយន្តហោះទំ .

ពីប្រភពនៃសមីការវាធ្វើតាមនោះក្នុងពេលតែមួយ ក, ខនិង គមិនស្មើនឹង 0 (ពន្យល់ពីមូលហេតុ)។

ចំនុចនោះជារបស់យន្តហោះ ទំលុះត្រាតែកូអរដោនេរបស់វាបំពេញសមីការនៃយន្តហោះ។ អាស្រ័យលើហាងឆេង ក, ខ, គនិង ឃយន្តហោះ ទំកាន់កាប់ទីតាំងមួយឬមួយផ្សេងទៀត៖

- យន្តហោះឆ្លងកាត់ប្រភពដើមនៃប្រព័ន្ធកូអរដោនេ, - យន្តហោះមិនឆ្លងកាត់ប្រភពដើមនៃប្រព័ន្ធកូអរដោនេ,

- យន្តហោះស្របទៅនឹងអ័ក្ស X,

X,

- យន្តហោះស្របទៅនឹងអ័ក្ស យ,

- យន្តហោះមិនស្របនឹងអ័ក្ស យ,

- យន្តហោះស្របទៅនឹងអ័ក្ស Z,

- យន្តហោះមិនស្របនឹងអ័ក្ស Z.

បញ្ជាក់សេចក្តីថ្លែងការណ៍ទាំងនេះដោយខ្លួនឯង។

សមីការ (៦) ងាយកើតចេញពីសមីការ (៥)។ ជាការពិត ទុកចំណុចនៅលើយន្តហោះ ទំ. បន្ទាប់មក កូអរដោនេរបស់វាបំពេញសមីការ។ ការដកសមីការ (7) ពីសមីការ (5) ហើយដាក់ជាក្រុមនៃលក្ខខណ្ឌ យើងទទួលបានសមីការ (6) ។ ឥឡូវនេះ ចូរយើងពិចារណាវ៉ិចទ័រពីរដែលមានកូអរដោណេរៀងគ្នា។ ពីរូបមន្ត (6) វាដូចខាងក្រោមថាផលិតផលមាត្រដ្ឋានរបស់ពួកគេស្មើនឹងសូន្យ។ ដូច្នេះ វ៉ិចទ័រគឺកាត់កែងទៅនឹងវ៉ិចទ័រ។ ការចាប់ផ្តើម និងចុងបញ្ចប់នៃវ៉ិចទ័រចុងក្រោយគឺស្ថិតនៅរៀងគ្នា នៅចំណុចដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់យន្តហោះ។ ទំ. ដូច្នេះវ៉ិចទ័រគឺកាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះ ទំ. ចម្ងាយពីចំណុចទៅយន្តហោះ ទំដែលសមីការទូទៅ កំណត់ដោយរូបមន្ត ភស្តុតាងនៃរូបមន្តនេះគឺស្រដៀងគ្នាទាំងស្រុងទៅនឹងភស្តុតាងនៃរូបមន្តសម្រាប់ចម្ងាយរវាងចំណុចមួយនិងបន្ទាត់មួយ (សូមមើលរូបភាពទី 2) ។
អង្ករ។ 2. ដើម្បីទាញយករូបមន្តសម្រាប់ចម្ងាយរវាងយន្តហោះនិងបន្ទាត់ត្រង់មួយ។

ជាការពិតចម្ងាយ ឃរវាងបន្ទាត់ត្រង់និងយន្តហោះគឺស្មើគ្នា

តើចំណុចណាដែលស្ថិតនៅលើយន្តហោះ។ ពីទីនេះដូចនៅក្នុងមេរៀនលេខ 11 រូបមន្តខាងលើត្រូវបានទទួល។ ប្លង់ពីរគឺស្របគ្នា ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រធម្មតារបស់វាស្របគ្នា។ ពីទីនេះយើងទទួលបានលក្ខខណ្ឌសម្រាប់ភាពស្របគ្នានៃយន្តហោះពីរ - មេគុណនៃសមីការទូទៅនៃយន្តហោះ។ ប្លង់ពីរគឺកាត់កែង ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រធម្មតារបស់ពួកគេកាត់កែង ដូច្នេះយើងទទួលបានលក្ខខណ្ឌសម្រាប់ភាពកាត់កែងនៃយន្តហោះទាំងពីរ ប្រសិនបើសមីការទូទៅរបស់ពួកគេត្រូវបានគេស្គាល់។

ជ្រុង fរវាងយន្តហោះពីរ ស្មើនឹងមុំរវាងវ៉ិចទ័រធម្មតារបស់ពួកគេ (សូមមើលរូបទី 3) ហើយដូច្នេះអាចត្រូវបានគណនាដោយប្រើរូបមន្ត
កំណត់មុំរវាងយន្តហោះ។

(11)

ចម្ងាយពីចំណុចមួយទៅយន្តហោះ និងវិធីសាស្រ្តក្នុងការស្វែងរកវា។

ចម្ងាយពីចំណុចទៅ យន្តហោះ- ប្រវែងនៃកាត់កែងបានធ្លាក់ចុះពីចំណុចមួយមកលើយន្តហោះនេះ។ យ៉ាងហោចណាស់មានវិធីពីរយ៉ាងក្នុងការស្វែងរកចម្ងាយពីចំណុចមួយទៅយន្តហោះ៖ ធរណីមាត្រនិង ពិជគណិត.

ជាមួយនឹងវិធីសាស្រ្តធរណីមាត្រជាដំបូងអ្នកត្រូវតែយល់ពីរបៀបដែលកាត់កែងពីចំណុចមួយទៅយន្តហោះស្ថិតនៅ៖ ប្រហែលជាវាស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះដែលងាយស្រួលខ្លះ ជាកម្ពស់នៅក្នុងត្រីកោណដែលងាយស្រួល (ឬមិនសូវស្រួល) ឬប្រហែលជាកាត់កែងនេះជាទូទៅជាកម្ពស់នៅក្នុងសាជីជ្រុងមួយចំនួន។

បន្ទាប់ពីដំណាក់កាលដំបូង និងស្មុគស្មាញបំផុតនេះ បញ្ហាបានបំបែកទៅជាបញ្ហាប្លង់មេទ្រីជាក់លាក់មួយចំនួន (ប្រហែលជានៅក្នុងយន្តហោះផ្សេងគ្នា)។

ជាមួយនឹងវិធីសាស្រ្តពិជគណិតដើម្បីស្វែងរកចម្ងាយពីចំណុចមួយទៅយន្តហោះ អ្នកត្រូវបញ្ចូលប្រព័ន្ធកូអរដោណេ ស្វែងរកកូអរដោនេនៃចំណុច និងសមីការនៃយន្តហោះ ហើយបន្ទាប់មកអនុវត្តរូបមន្តសម្រាប់ចម្ងាយពីចំណុចមួយទៅយន្តហោះ។

អត្ថបទនេះនិយាយអំពីប្រធានបទ « ចម្ងាយពីចំណុចមួយទៅបន្ទាត់មួយ។ », ពិភាក្សាអំពីនិយមន័យនៃចម្ងាយពីចំណុចមួយទៅបន្ទាត់មួយជាមួយនឹងឧទាហរណ៍ដែលបានបង្ហាញដោយប្រើវិធីសាស្ត្រកូអរដោនេ។ ប្លុកទ្រឹស្តីនីមួយៗនៅចុងបញ្ចប់បានបង្ហាញឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយបញ្ហាស្រដៀងគ្នា។

Yandex.RTB R-A-339285-1

ចម្ងាយពីចំណុចមួយទៅបន្ទាត់មួយត្រូវបានរកឃើញដោយកំណត់ចម្ងាយពីចំណុចមួយទៅចំណុចមួយ។ ចូរយើងពិនិត្យមើលឱ្យកាន់តែច្បាស់។

សូមឱ្យមានបន្ទាត់ a និងចំណុច M 1 ដែលមិនមែនជារបស់បន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ តាមរយៈវាយើងគូរបន្ទាត់ត្រង់ b ដែលមានទីតាំងនៅកាត់កែងទៅនឹងបន្ទាត់ត្រង់ a ។ ចូរយកចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ជា H 1 ។ យើងទទួលបានថា M 1 H 1 គឺជាបន្ទាត់កាត់កែងដែលត្រូវបានបន្ទាបពីចំណុច M 1 ទៅបន្ទាត់ត្រង់ a ។

និយមន័យ ១

ចម្ងាយពីចំណុច M 1 ទៅបន្ទាត់ត្រង់ aត្រូវបានគេហៅថាចម្ងាយរវាងចំណុច M 1 និង H 1 ។

មាននិយមន័យដែលរួមបញ្ចូលប្រវែងកាត់កែង។

និយមន័យ ២

ចម្ងាយពីចំណុចមួយទៅបន្ទាត់គឺ​ជា​ប្រវែង​នៃ​ការ​កាត់​កែង​ពី​ចំណុច​មួយ​ទៅ​បន្ទាត់​ដែល​បាន​ផ្ដល់។

និយមន័យគឺសមមូល។ ពិចារណារូបភាពខាងក្រោម។

វាត្រូវបានគេដឹងថាចម្ងាយពីចំណុចមួយទៅបន្ទាត់មួយគឺតូចបំផុតដែលអាចធ្វើទៅបាន។ សូមក្រឡេកមើលរឿងនេះជាមួយឧទាហរណ៍មួយ។

ប្រសិនបើយើងយកចំនុច Q ដែលស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ត្រង់ a ដែលមិនស្របគ្នានឹងចំនុច M 1 នោះយើងទទួលបានថាផ្នែក M 1 Q ត្រូវបានគេហៅថាផ្នែក inclined ដែលទម្លាក់ពី M 1 ទៅបន្ទាត់ត្រង់ a ។ វាចាំបាច់ក្នុងការបង្ហាញថាបន្ទាត់កាត់កែងពីចំណុច M 1 គឺតិចជាងបន្ទាត់ទំនោរផ្សេងទៀតដែលត្រូវបានដកចេញពីចំណុចទៅបន្ទាត់ត្រង់។

ដើម្បីបញ្ជាក់រឿងនេះ សូមពិចារណាត្រីកោណ M 1 Q 1 H 1 ដែល M 1 Q 1 គឺជាអ៊ីប៉ូតេនុស។ វាត្រូវបានគេដឹងថាប្រវែងរបស់វាតែងតែ យូរជាងនេះ។ជើងណាមួយ។ នេះមានន័យថាយើងមាន M 1 H 1< M 1 Q . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

ទិន្នន័យដំបូងសម្រាប់ការស្វែងរកពីចំណុចមួយទៅបន្ទាត់មួយអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកប្រើវិធីសាស្រ្តដំណោះស្រាយជាច្រើន: តាមរយៈទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គោរ ការកំណត់ស៊ីនុស កូស៊ីនុស តង់សង់នៃមុំ និងផ្សេងទៀត។ ភារកិច្ចភាគច្រើននៃប្រភេទនេះត្រូវបានដោះស្រាយនៅសាលារៀនក្នុងអំឡុងពេលមេរៀនធរណីមាត្រ។

នៅពេលដែលនៅពេលស្វែងរកចម្ងាយពីចំណុចមួយទៅបន្ទាត់មួយ វាគឺអាចធ្វើទៅបានដើម្បីណែនាំប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណ បន្ទាប់មកវិធីសាស្ត្រកូអរដោនេត្រូវបានប្រើ។ នៅក្នុងកថាខណ្ឌនេះ យើងនឹងពិចារណាវិធីសាស្រ្តសំខាន់ពីរក្នុងការស្វែងរកចម្ងាយដែលត្រូវការពីចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

វិធីសាស្រ្តទីមួយពាក់ព័ន្ធនឹងការស្វែងរកចំងាយដែលកាត់កែងពី M 1 ទៅបន្ទាត់ត្រង់ a ។ វិធីសាស្រ្តទីពីរប្រើសមីការធម្មតានៃបន្ទាត់ត្រង់ a ដើម្បីស្វែងរកចម្ងាយដែលត្រូវការ។

ប្រសិនបើមានចំណុចនៅលើយន្តហោះដែលមានកូអរដោណេ M 1 (x 1 , y 1) ដែលមានទីតាំងនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណ បន្ទាត់ត្រង់ a ហើយអ្នកត្រូវរកចម្ងាយ M 1 H 1 អ្នកអាចធ្វើការគណនាជាពីរ។ វិធី។ សូមក្រឡេកមើលពួកគេ។

វិធីទីមួយ

ប្រសិនបើមានកូអរដោនេនៃចំណុច H 1 ស្មើនឹង x 2, y 2 នោះចម្ងាយពីចំណុចទៅបន្ទាត់ត្រូវបានគណនាដោយប្រើកូអរដោនេពីរូបមន្ត M 1 H 1 = (x 2 − x 1) 2 + (y 2 - y ១) ២.

ឥឡូវ​យើង​បន្ត​ទៅ​រក​កូអរដោណេ​នៃ​ចំណុច H 1 ។

វាត្រូវបានគេដឹងថាបន្ទាត់ត្រង់មួយនៅក្នុង O x y ត្រូវគ្នាទៅនឹងសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់មួយនៅលើយន្តហោះ។ ចូរយើងយកវិធីសាស្រ្តនៃការកំណត់បន្ទាត់ត្រង់ a ដោយសរសេរសមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ត្រង់ ឬសមីការដែលមានមេគុណមុំ។ យើងបង្កើតសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ដែលឆ្លងកាត់ចំណុច M 1 កាត់កែងទៅនឹងបន្ទាត់ត្រង់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ a ។ ចូរសម្គាល់បន្ទាត់ត្រង់ដោយអក្សរ ខ។ H 1 គឺជាចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ a និង b ដែលមានន័យថាដើម្បីកំណត់កូអរដោណេដែលអ្នកត្រូវប្រើអត្ថបទដែល យើងកំពុងនិយាយអំពីអំពីកូអរដោនេនៃចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ពីរ។

វាអាចត្រូវបានគេមើលឃើញថាក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការស្វែងរកចម្ងាយពីចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ M 1 (x 1, y 1) ទៅបន្ទាត់ត្រង់ a ត្រូវបានអនុវត្តតាមចំនុច:

និយមន័យ ៣

• ការស្វែងរកសមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ត្រង់ a ដែលមានទម្រង់ A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ឬសមីការដែលមានមេគុណមុំដែលមានទម្រង់ y = k 1 x + b 1;
• ការទទួលបានសមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ b ដែលមានទម្រង់ A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 ឬសមីការដែលមានមេគុណមុំ y = k 2 x + b 2 ប្រសិនបើបន្ទាត់ b ប្រសព្វចំនុច M 1 ហើយកាត់កែងទៅ បន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ a;
• ការកំណត់កូអរដោនេ x 2, y 2 នៃចំណុច H 1 ដែលជាចំណុចប្រសព្វនៃ a និង b សម្រាប់គោលបំណងនេះប្រព័ន្ធត្រូវបានដោះស្រាយ សមីការលីនេអ៊ែរ A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 ឬ y = k 1 x + b 1 y = k 2 x + b 2 ;
• ការគណនាចម្ងាយដែលត្រូវការពីចំណុចមួយទៅបន្ទាត់មួយដោយប្រើរូបមន្ត M 1 H 1 = (x 2 − x 1) 2 + ( y 2 − y 1 ) ២.

វិធីទីពីរ

ទ្រឹស្តីបទអាចជួយឆ្លើយសំណួរនៃការស្វែងរកចម្ងាយពីចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យទៅបន្ទាត់ត្រង់ដែលបានផ្តល់ឱ្យនៅលើយន្តហោះមួយ។

ទ្រឹស្តីបទ

ប្រព័ន្ធសំរបសំរួលរាងចតុកោណមាន O x y មានចំនុច M 1 (x 1, y 1) ដែលបន្ទាត់ត្រង់មួយត្រូវបានគូរទៅកាន់យន្តហោះ ដែលផ្តល់ដោយសមីការធម្មតានៃយន្តហោះដែលមានទម្រង់ cos α x + cos β y - p = 0 ស្មើនឹងតម្លៃដាច់ខាតដែលទទួលបាននៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការធម្មតានៃបន្ទាត់គណនា x = x 1, y = y 1 មានន័យថា M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - ទំ។

ភស្តុតាង

បន្ទាត់ a ត្រូវគ្នាទៅនឹងសមីការធម្មតានៃយន្តហោះដែលមានទម្រង់ cos α x + cos β y - p = 0 បន្ទាប់មក n → = (cos α, cos β) ត្រូវបានគេចាត់ទុកថាជាវ៉ិចទ័រធម្មតានៃបន្ទាត់ a នៅចម្ងាយពី ប្រភពដើមនៃបន្ទាត់ a ជាមួយ p ឯកតា។ វាចាំបាច់ក្នុងការបង្ហាញទិន្នន័យទាំងអស់នៅក្នុងរូបភាពបន្ថែមចំណុចមួយដែលមានកូអរដោនេ M 1 (x 1, y 1) ដែលវ៉ិចទ័រកាំនៃចំណុច M 1 - O M 1 → = (x 1, y 1) ។ វាចាំបាច់ក្នុងការគូសបន្ទាត់ត្រង់ពីចំណុចមួយទៅបន្ទាត់ត្រង់មួយ ដែលយើងសម្គាល់ថា M 1 H 1 ។ វាចាំបាច់ក្នុងការបង្ហាញការព្យាករ M 2 និង H 2 នៃចំណុច M 1 និង H 2 លើបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំណុច O ជាមួយនឹងវ៉ិចទ័រទិសដៅនៃទម្រង់ n → = (cos α, cos β) ហើយបញ្ជាក់ ការព្យាករជាលេខនៃវ៉ិចទ័រជា O M 1 → = (x 1, y 1) ទៅទិសដៅ n → = (cos α , cos β) ជា n p n → O M 1 → ។

ការប្រែប្រួលអាស្រ័យលើទីតាំងនៃចំណុច M1 ខ្លួនវាផ្ទាល់។ តោះមើលរូបខាងក្រោម។

យើងជួសជុលលទ្ធផលដោយប្រើរូបមន្ត M 1 H 1 = n p n → O M → 1 - ទំ។ បនា្ទាប់មកយើងនាំយកសមភាពមកទម្រង់នេះ M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p ក្នុងគោលបំណងដើម្បីទទួលបាន n p n → O M → 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 ។

ផលិតផល Scalarវ៉ិចទ័រជាលទ្ធផលផ្តល់នូវរូបមន្តបំប្លែងនៃទម្រង់ n → , O M → 1 = n → · n p n → O M 1 → = 1 · n p n → O M 1 → = n p n → O M 1 → ដែលជាផលិតផលនៅក្នុងទម្រង់សំរបសំរួលនៃ ទម្រង់ n → , O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 ។ នេះមានន័យថាយើងទទួលបាននោះ n p n → O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 ។ វាធ្វើតាមថា M 1 H 1 = n p n → O M 1 → - p = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p ។ ទ្រឹស្តីបទត្រូវបានបញ្ជាក់។

យើងរកឃើញថាដើម្បីរកចម្ងាយពីចំណុច M 1 (x 1, y 1) ទៅបន្ទាត់ត្រង់ a នៅលើយន្តហោះ អ្នកត្រូវអនុវត្តសកម្មភាពជាច្រើន៖

និយមន័យ ៤

• ការទទួលបានសមីការធម្មតានៃបន្ទាត់ត្រង់ a cos α · x + cos β · y - p = 0, ផ្តល់ថាវាមិននៅក្នុងភារកិច្ច;
• ការគណនានៃកន្សោម cos α · x 1 + cos β · y 1 - p ដែលតម្លៃលទ្ធផលត្រូវចំណាយពេល M 1 H 1 ។

ចូរយើងអនុវត្តវិធីសាស្រ្តទាំងនេះ ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាជាមួយនឹងការស្វែងរកចម្ងាយពីចំណុចមួយទៅយន្តហោះ។

ឧទាហរណ៍ ១

រកចំងាយពីចំនុចដែលមានកូអរដោនេ M 1 (- 1, 2) ទៅបន្ទាត់ត្រង់ 4 x − 3 y + 35 = 0 ។

ដំណោះស្រាយ

ចូរយើងប្រើវិធីដំបូងដើម្បីដោះស្រាយ។

ដើម្បីធ្វើដូចនេះត្រូវស្វែងរកសមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ b ដែលឆ្លងកាត់ចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ M 1 (- 1, 2) កាត់កែងទៅបន្ទាត់ 4 x − 3 y + 35 = 0 ។ តាមលក្ខខណ្ឌវាច្បាស់ណាស់ថាបន្ទាត់ b កាត់កែងទៅបន្ទាត់ a បន្ទាប់មកវ៉ិចទ័រទិសដៅរបស់វាមានកូអរដោនេស្មើនឹង (4, - 3) ។ ដូច្នេះហើយ យើងមានឱកាសសរសេរសមីការ Canonical នៃបន្ទាត់ b នៅលើយន្តហោះ ព្រោះមានកូអរដោណេនៃចំនុច M 1 ដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់បន្ទាត់ ខ។ ចូរកំណត់កូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រដឹកនាំនៃបន្ទាត់ត្រង់ ខ។ យើងទទួលបានថា x − ( − 1 ) 4 = y − 2 − 3 ⇔ x + 1 4 = y − 2 − 3 ។ សមីការ Canonical លទ្ធផលត្រូវតែត្រូវបានបំប្លែងទៅជាទូទៅមួយ។ បន្ទាប់មកយើងទទួលបានវា។

x + 1 4 = y − 2 − 3 ⇔ − 3 · ( x + 1 ) = 4 · ( y − 2) ⇔ 3 x + 4 y − 5 = 0

ចូរយើងស្វែងរកកូអរដោនេនៃចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ ដែលយើងនឹងយកជាការរចនា H 1 ។ ការផ្លាស់ប្តូរមើលទៅដូចនេះ៖

4 x − 3 y + 35 = 0 3 x + 4 y − 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y − 35 4 3 x + 4 y − 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y − 35 4 3 3 4 y - 35 4 + 4 y − 5 = 0 ⇔ ⇔ x = 3 4 y − 35 4 y = 5 ⇔ x = 3 4 5 − 35 4 y = 5 ⇔ x = − 5 y = 5

ពីអ្វីដែលបានសរសេរខាងលើយើងមានថាកូអរដោនេនៃចំណុច H 1 គឺស្មើនឹង (- 5; 5) ។

វាចាំបាច់ក្នុងការគណនាចម្ងាយពីចំណុច M 1 ទៅបន្ទាត់ត្រង់ a ។ យើងមានថាកូអរដោនេនៃចំនុច M 1 (- 1, 2) និង H 1 (- 5, 5) បន្ទាប់មកយើងជំនួសពួកវាទៅក្នុងរូបមន្តដើម្បីរកចម្ងាយ និងទទួលបាននោះ។

M 1 H 1 = ( − 5 − ( − 1 ) 2 + ( 5 − 2 ) 2 = 25 = 5

ដំណោះស្រាយទីពីរ។

ដើម្បីដោះស្រាយតាមវិធីមួយផ្សេងទៀត វាចាំបាច់ក្នុងការទទួលបានសមីការធម្មតានៃបន្ទាត់។ យើងគណនាតម្លៃនៃកត្តាធម្មតា ហើយគុណភាគីទាំងពីរនៃសមីការ 4 x − 3 y + 35 = 0 ។ ពីនេះយើងទទួលបានថាកត្តាធម្មតាគឺស្មើនឹង - 1 4 2 + (- 3) 2 = − 1 5 ហើយសមីការធម្មតានឹងមានទម្រង់ - 1 5 4 x − 3 y + 35 = - 1 5 0 ⇔ − 4 5 x + 3 5 y − 7 = 0 ។

យោងទៅតាមក្បួនដោះស្រាយការគណនាវាចាំបាច់ក្នុងការទទួលបានសមីការធម្មតានៃបន្ទាត់ហើយគណនាវាជាមួយនឹងតម្លៃ x = - 1, y = 2 ។ បន្ទាប់មកយើងទទួលបានវា។

4 5 · − 1 + 3 5 · 2 − 7 = − 5

ពីនេះយើងទទួលបានថាចម្ងាយពីចំណុច M 1 (- 1, 2) ទៅបន្ទាត់ត្រង់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ 4 x - 3 y + 35 = 0 មានតម្លៃ - 5 = 5 ។

ចម្លើយ៖ 5 .

វាច្បាស់ណាស់ថានៅក្នុង វិធីសាស្រ្តនេះ។វាមានសារៈសំខាន់ណាស់ក្នុងការប្រើសមីការធម្មតានៃបន្ទាត់មួយ ដោយហេតុថាវិធីសាស្ត្រនេះគឺខ្លីបំផុត។ ប៉ុន្តែវិធីសាស្រ្តដំបូងគឺមានភាពងាយស្រួលព្រោះវាមានភាពស៊ីសង្វាក់គ្នានិងឡូជីខលទោះបីជាវាមានក៏ដោយ។ ពិន្ទុបន្ថែមទៀតការគណនា។

ឧទាហរណ៍ ២

នៅលើយន្តហោះមានប្រព័ន្ធកូអរដោនេរាងចតុកោណ O x y ដែលមានចំនុច M 1 (8, 0) និងបន្ទាត់ត្រង់ y = 1 2 x + 1 ។ ស្វែងរកចម្ងាយពីចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យទៅបន្ទាត់ត្រង់មួយ។

ដំណោះស្រាយ

ការដោះស្រាយតាមវិធីទី 1 ពាក់ព័ន្ធនឹងការកាត់បន្ថយសមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យជាមួយនឹងជម្រាលទៅនឹងសមីការ ទិដ្ឋភាពទូទៅ. ដើម្បីធ្វើឱ្យសាមញ្ញ អ្នកអាចធ្វើបានខុសគ្នា។

ប្រសិនបើផលគុណនៃមេគុណមុំនៃបន្ទាត់កាត់កែងមានតម្លៃ -1 នោះមេគុណមុំនៃបន្ទាត់កាត់កែងទៅមួយ y = 1 2 x + 1 មានតម្លៃ 2 ។ ឥឡូវនេះយើងទទួលបានសមីការនៃបន្ទាត់ឆ្លងកាត់ចំណុចមួយដែលមានកូអរដោនេ M 1 (8, 0) ។ េយងមន y − 0 = − 2 · (x − 8) ⇔ y = − 2 x + 16 ។

យើងបន្តស្វែងរកកូអរដោនេនៃចំណុច H 1 នោះគឺចំនុចប្រសព្វ y = − 2 x + 16 និង y = 1 2 x + 1 ។ យើងបង្កើតប្រព័ន្ធសមីការ និងទទួលបាន៖

y = 1 2 x + 1 y = − 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 1 2 x + 1 = − 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 x = 6 ⇔ ⇔ y = 1 2 · 6 + 1 x = 6 = y = 4 x = 6 ⇒ H 1 (6, 4)

វាធ្វើតាមថាចម្ងាយពីចំណុចដែលមានកូអរដោនេ M 1 (8, 0) ទៅបន្ទាត់ត្រង់ y = 1 2 x + 1 គឺស្មើនឹងចម្ងាយពីចំណុចចាប់ផ្តើមនិងចំណុចបញ្ចប់ជាមួយនឹងកូអរដោនេ M 1 (8, 0) និង H 1 (6, 4) ។ ចូរគណនាហើយរកថា M 1 H 1 = 6 − 8 2 + (4 − 0) 2 20 = 2 5 .

ដំណោះស្រាយក្នុងវិធីទីពីរគឺត្រូវផ្លាស់ទីពីសមីការដែលមានមេគុណទៅជាទម្រង់ធម្មតារបស់វា។ នោះគឺយើងទទួលបាន y = 1 2 x + 1 ⇔ 1 2 x − y + 1 = 0 បន្ទាប់មកតម្លៃនៃកត្តាធម្មតានឹងជា − 1 1 2 2 + ( − 1 ) 2 = − 2 5 ។ វាដូចខាងក្រោមថាសមីការធម្មតានៃបន្ទាត់យកទម្រង់ - 2 ​​5 1 2 x - y + 1 = − 2 5 0 ⇔ − 1 5 x + 2 5 y − 2 5 = 0 ។ ចូរយើងអនុវត្តការគណនាពីចំណុច M 1 8, 0 ទៅបន្ទាត់នៃទម្រង់ - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0 ។ យើង​ទទួល​បាន:

M 1 H 1 = − 1 5 8 + 2 5 0 − 2 5 = − 10 5 = 2 5

ចម្លើយ៖ 2 5 .

ឧទាហរណ៍ ៣

វាចាំបាច់ក្នុងការគណនាចម្ងាយពីចំណុចដែលមានកូអរដោនេ M 1 (- 2, 4) ទៅបន្ទាត់ 2 x − 3 = 0 និង y + 1 = 0 ។

ដំណោះស្រាយ

យើងទទួលបានសមីការនៃទម្រង់ធម្មតានៃបន្ទាត់ត្រង់ 2 x − 3 = 0:

2 x − 3 = 0 ⇔ 1 2 2 x − 3 = 1 2 0 ⇔ x − 3 2 = 0

បន្ទាប់មកយើងបន្តគណនាចម្ងាយពីចំណុច M 1 - 2, 4 ទៅបន្ទាត់ត្រង់ x - 3 2 = 0 ។ យើង​ទទួល​បាន:

M 1 H 1 = − 2 − 3 2 = 3 1 2

សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ y + 1 = 0 មានកត្តាធម្មតាដែលមានតម្លៃស្មើនឹង -1 ។ នេះមានន័យថាសមីការនឹងយកទម្រង់ - y - 1 = 0 ។ យើងបន្តទៅការគណនាចម្ងាយពីចំណុច M 1 (- 2, 4) ទៅបន្ទាត់ត្រង់ - y - 1 = 0 ។ យើងឃើញថាវាស្មើនឹង − 4 − 1 = 5 ។

ចម្លើយ៖ 3 1 2 និង 5 ។

សូមក្រឡេកមើលកាន់តែដិតដល់ក្នុងការស្វែងរកចម្ងាយពីចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យនៅលើយន្តហោះទៅអ័ក្សកូអរដោនេ O x និង O y ។

នៅក្នុងប្រព័ន្ធសំរបសំរួលរាងចតុកោណ អ័ក្ស O y មានសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់មួយដែលមិនពេញលេញ និងមានទម្រង់ x = 0 និង O x − y = 0 ។ សមីការ​គឺ​ធម្មតា​សម្រាប់​អ័ក្ស​កូអរដោណេ បន្ទាប់មក​វា​ចាំបាច់​ត្រូវ​រក​ចម្ងាយ​ពី​ចំណុច​ជាមួយ​កូអរដោនេ M 1 x 1, y 1 ទៅ​បន្ទាត់។ នេះត្រូវបានធ្វើដោយផ្អែកលើរូបមន្ត M 1 H 1 = x 1 និង M 1 H 1 = y 1 ។ តោះមើលរូបខាងក្រោម។

ឧទាហរណ៍ 4

រកចំងាយពីចំនុច M 1 (6, - 7) ទៅបន្ទាត់កូអរដោណេដែលស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះ O x y ។

ដំណោះស្រាយ

ដោយសារសមីការ y = 0 សំដៅលើបន្ទាត់ត្រង់ O x អ្នកអាចស្វែងរកចម្ងាយពី M 1 ជាមួយនឹងកូអរដោនេដែលបានផ្តល់ឱ្យទៅបន្ទាត់ត្រង់នេះដោយប្រើរូបមន្ត។ យើងទទួលបាន 6 = 6 ។

ដោយសារសមីការ x = 0 សំដៅលើបន្ទាត់ត្រង់ O y អ្នកអាចស្វែងរកចម្ងាយពី M 1 ទៅបន្ទាត់ត្រង់នេះដោយប្រើរូបមន្ត។ បន្ទាប់មកយើងទទួលបានថា - 7 = 7 ។

ចម្លើយ៖ចម្ងាយពី M 1 ដល់ O x មានតម្លៃ 6 ហើយពី M 1 ដល់ O y មានតម្លៃ 7 ។

ពេលចូល ចន្លោះបីវិមាត្រយើងមានចំនុចដែលមានកូអរដោនេ M 1 (x 1, y 1, z 1) វាចាំបាច់ត្រូវរកចំងាយពីចំណុច A ដល់បន្ទាត់ត្រង់ a ។

ចូរយើងពិចារណាវិធីសាស្រ្តពីរដែលអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកគណនាចម្ងាយពីចំណុចមួយទៅបន្ទាត់ត្រង់មួយដែលមានទីតាំងនៅក្នុងលំហ។ ករណីទី 1 ពិចារណាពីចម្ងាយពីចំណុច M 1 ទៅបន្ទាត់ដែលចំណុចនៅលើបន្ទាត់ត្រូវបានគេហៅថា H 1 និងជាមូលដ្ឋាននៃកាត់កែងដែលដកចេញពីចំណុច M 1 ទៅបន្ទាត់ a ។ ករណីទី 2 ណែនាំថាចំណុចនៃយន្តហោះនេះត្រូវតែស្វែងរកជាកម្ពស់នៃប៉ារ៉ាឡែល។

វិធីទីមួយ

តាមនិយមន័យយើងមានថាចម្ងាយពីចំណុច M 1 ដែលស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ត្រង់ a គឺជាប្រវែងនៃកាត់កែង M 1 H 1 បន្ទាប់មកយើងទទួលបានវាជាមួយនឹងកូអរដោនេដែលបានរកឃើញនៃចំណុច H 1 បន្ទាប់មកយើងរកឃើញចម្ងាយរវាង M 1 ( x 1, y 1, z 1 ) និង H 1 (x 1 , y 1 , z 1) ដោយផ្អែកលើរូបមន្ត M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z ១២.

យើងរកឃើញថាដំណោះស្រាយទាំងមូលឆ្ពោះទៅរកការស្វែងរកកូអរដោនេនៃមូលដ្ឋានកាត់កែងដែលដកចេញពី M 1 ទៅបន្ទាត់ត្រង់ a ។ នេះត្រូវបានធ្វើដូចខាងក្រោម: H 1 គឺជាចំណុចដែលបន្ទាត់ត្រង់មួយប្រសព្វជាមួយយន្តហោះដែលឆ្លងកាត់ចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

នេះមានន័យថា ក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់កំណត់ចម្ងាយពីចំណុច M 1 (x 1, y 1, z 1) ទៅបន្ទាត់ a ក្នុងលំហ បង្កប់ន័យចំណុចជាច្រើន៖

និយមន័យ ៥

• គូរសមីការនៃយន្តហោះ χ ជាសមីការនៃយន្តហោះឆ្លងកាត់ចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យដែលមានទីតាំងនៅកាត់កែងទៅនឹងបន្ទាត់;
• ការកំណត់នៃកូអរដោនេ (x 2, y 2, z 2) ជាកម្មសិទ្ធិរបស់ចំណុច H 1 ដែលជាចំណុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ត្រង់ a និងយន្តហោះ χ;
• ការគណនាចំងាយពីចំនុចមួយទៅបន្ទាត់មួយដោយប្រើរូបមន្ត M 1 H 1 = x 2 − x 1 2 + y 2 − y 1 2 + z 2 − z 1 2 ។

វិធីទីពីរ

ពីលក្ខខណ្ឌយើងមានបន្ទាត់ត្រង់ a បន្ទាប់មកយើងអាចកំណត់វ៉ិចទ័រទិសដៅ a → = a x, a y, a z ដែលមានកូអរដោនេ x 3, y 3, z 3 និងចំណុចជាក់លាក់មួយ M 3 ជាកម្មសិទ្ធិរបស់ត្រង់ a ។ ប្រសិនបើអ្នកមានកូអរដោនេនៃចំណុច M 1 (x 1, y 1) និង M 3 x 3, y 3, z 3 អ្នកអាចគណនា M 3 M 1 →:

M 3 M 1 → = (x 1 − x 3, y 1 − y 3, z 1 − z 3)

យើងគួរតែដាក់វ៉ិចទ័រ a → = a x , a y , a z និង M 3 M 1 → = x 1 – x 3 , y 1 – y 3 , z 1 – z 3 ពីចំណុច M 3 ភ្ជាប់ពួកវា និងទទួលបានតួលេខប៉ារ៉ាឡែល . M 1 H 1 គឺជាកម្ពស់នៃប្រលេឡូក្រាម។

តោះមើលរូបខាងក្រោម។

យើងមានថាកម្ពស់ M 1 H 1 គឺជាចម្ងាយដែលត្រូវការបន្ទាប់មកវាចាំបាច់ក្នុងការស្វែងរកវាដោយប្រើរូបមន្ត។ នោះគឺយើងកំពុងស្វែងរក M 1 H 1 ។

ចូរយើងកំណត់ផ្ទៃនៃប្រលេឡូក្រាមដោយអក្សរ S រកឃើញដោយរូបមន្តដោយប្រើវ៉ិចទ័រ a → = (a x, a y, a z) និង M 3 M 1 → = x 1 − x 3 ។ y 1 − y 3 , z 1 − z 3 ។ រូបមន្តផ្ទៃគឺ S = a → × M 3 M 1 → ។ ផងដែរ ផ្ទៃនៃរូបគឺស្មើនឹងផលគុណនៃប្រវែងនៃជ្រុងរបស់វា និងកំពស់ យើងទទួលបានថា S = a → · M 1 H 1 ជាមួយ a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 ដែល គឺជាប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រ a → = (a x, a y, a z) be ផ្នែកស្មើគ្នាប្រលេឡូក្រាម។ នេះមានន័យថា M 1 H 1 គឺជាចម្ងាយពីចំណុចទៅបន្ទាត់។ គេរកឃើញដោយប្រើរូបមន្ត M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → ។

ដើម្បីស្វែងរកចម្ងាយពីចំណុចដែលមានកូអរដោនេ M 1 (x 1, y 1, z 1) ទៅបន្ទាត់ត្រង់ a ក្នុងលំហ អ្នកត្រូវអនុវត្តជំហានជាច្រើននៃក្បួនដោះស្រាយ៖

និយមន័យ ៦

• ការកំណត់វ៉ិចទ័រទិសដៅនៃបន្ទាត់ត្រង់ a - a → = (a x, a y, a z);
• ការគណនាប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រទិសដៅ a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 ;
• ការទទួលបានកូអរដោនេ x 3 , y 3 , z 3 ជាកម្មសិទ្ធិរបស់ចំណុច M 3 ដែលស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ត្រង់ a;
• ការគណនាកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រ M 3 M 1 → ;
• ការស្វែងរកផលិតផលវ៉ិចទ័រនៃវ៉ិចទ័រ a → (a x , a y , a z ) និង M 3 M 1 → = x 1 − x 3 , y 1 – y 3 , z 1 – z 3 as a → × M 3 M 1 → = i → j → k → a x a y a z x 1 − x 3 y 1 − y 3 z 1 − z 3 ដើម្បីទទួលបានប្រវែងដោយប្រើរូបមន្ត a → × M 3 M 1 → ;
• ការគណនាចំងាយពីចំនុចមួយទៅបន្ទាត់ M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .

ការដោះស្រាយបញ្ហានៃការស្វែងរកចម្ងាយពីចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យទៅបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យក្នុងលំហ

ឧទាហរណ៍ 5

រកចំងាយពីចំនុចដែលមានកូអរដោនេ M 1 2, − 4, − 1 ទៅបន្ទាត់ x + 1 2 = y − 1 = z + 5 5 ។

ដំណោះស្រាយ

វិធីសាស្រ្តដំបូងចាប់ផ្តើមដោយការសរសេរសមីការនៃយន្តហោះ χ ឆ្លងកាត់ M 1 និងកាត់កែងទៅ ចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ. យើងទទួលបានការបញ្ចេញមតិដូចជា៖

2 (x − 2) − 1 ( y − ( − 4 )) + 5 (z − (− 1)) = 0 ⇔ 2 x − y + 5 z − 3 = 0

វាចាំបាច់ក្នុងការស្វែងរកកូអរដោនេនៃចំនុច H 1 ដែលជាចំនុចប្រសព្វជាមួយយន្តហោះ χ ទៅកាន់បន្ទាត់ដែលបានបញ្ជាក់ដោយលក្ខខណ្ឌ។ អ្នកគួរតែផ្លាស់ទីពីទិដ្ឋភាព Canonical ទៅកាន់ចំនុចប្រសព្វ។ បន្ទាប់មកយើងទទួលបានប្រព័ន្ធសមីការនៃទម្រង់៖

x + 1 2 = y − 1 = z + 5 5 ⇔ − 1 · (x + 1) = 2 · y 5 · ( x + 1) = 2 · (z + 5) 5 · y = − 1 · (z + 5) ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x − 2 z − 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x − 2 z − 5 = 0

ចាំបាច់ត្រូវគណនាប្រព័ន្ធ x + 2 y + 1 = 0 5 x − 2 z − 5 = 0 2 x − y + 5 z − 3 = 0 ⇔ x + 2 y = − 1 5 x − 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3 ដោយវិធីសាស្ត្ររបស់ Cramer បន្ទាប់មកយើងទទួលបានវា៖

∆ = 1 2 0 5 0 − 2 2 − 1 5 = − 60 ∆ x = − 1 2 0 5 0 − 2 3 − 1 5 = − 60 ⇔ x = ∆ x ∆ = − 60 − 60 = 1 ∆ y = 1 − 1 0 5 5 2 2 3 5 = 60 ⇒ y = ∆ y ∆ = 60 − 60 = − 1 ∆ z = 1 2 − 1 5 0 5 2 − 1 3 = 0 ⇒ z = ∆ z ∆ = ∆ 0 60 = 0

ពីទីនេះយើងមានថា H 1 (1, - 1, 0) ។

M 1 H 1 = 1 − 2 2 + − 1 − − 4 2 + 0 − 1 2 = 11

វិធីសាស្រ្តទីពីរត្រូវតែចាប់ផ្តើមដោយការស្វែងរកកូអរដោនេនៅក្នុងសមីការ Canonical ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះអ្នកត្រូវយកចិត្តទុកដាក់លើភាគបែងនៃប្រភាគ។ បន្ទាប់មក a → = 2, − 1, 5 គឺជាវ៉ិចទ័រទិសដៅនៃបន្ទាត់ x + 1 2 = y − 1 = z + 5 5 ។ ចាំបាច់ត្រូវគណនាប្រវែងដោយប្រើរូបមន្ត a → = 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 30 ។

វាច្បាស់ណាស់ថាបន្ទាត់ត្រង់ x + 1 2 = y − 1 = z + 5 5 ប្រសព្វចំនុច M 3 (- 1 , 0 , - 5) ដូច្នេះយើងមានវ៉ិចទ័រដែលមានប្រភពដើម M 3 (- 1 , 0 , - 5) និងចុងបញ្ចប់របស់វានៅចំណុច M 1 2, - 4, - 1 គឺ M 3 M 1 → = 3, - 4, 4 ។ រកផលិតផលវ៉ិចទ័រ a → = (2, − 1, 5) និង M 3 M 1 → = (3, − 4, 4) ។

យើងទទួលបានកន្សោមនៃទម្រង់ a → × M 3 M 1 → = i → j → k → 2 − 1 5 3 − 4 4 = − 4 i → + 15 j → − 8 k → + 20 i → - 8 · j → = 16 · i → + 7 · j → − 5 · k →

យើងរកឃើញថាប្រវែងនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រគឺស្មើនឹង a → × M 3 M 1 → = 16 2 + 7 2 + − 5 2 = 330 ។

យើង​មាន​ទិន្នន័យ​ទាំងអស់​ដើម្បី​ប្រើ​រូបមន្ត​សម្រាប់​គណនា​ចម្ងាយ​ពី​ចំណុច​សម្រាប់​បន្ទាត់​ត្រង់ ដូច្នេះ​យើង​អនុវត្ត​វា​ហើយ​ទទួល​បាន៖

M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → = 330 30 = 11

ចម្លើយ៖ 11 .

ប្រសិនបើអ្នកសម្គាល់ឃើញកំហុសនៅក្នុងអត្ថបទ សូមរំលេចវា ហើយចុច Ctrl+Enter