ការពឹងផ្អែកលីនេអ៊ែរនិងឯករាជ្យលីនេអ៊ែរនៃវ៉ិចទ័រ។
មូលដ្ឋាននៃវ៉ិចទ័រ។ ប្រព័ន្ធសំរបសំរួល Affine

មានរទេះមួយដែលមានសូកូឡានៅក្នុងសាលប្រជុំហើយអ្នកទស្សនាគ្រប់រូបនៅថ្ងៃនេះនឹងទទួលបានគូស្វាមីភរិយាដ៏ផ្អែមល្ហែម - ធរណីមាត្រវិភាគជាមួយពិជគណិតលីនេអ៊ែរ។ អត្ថបទនេះនឹងនិយាយអំពីផ្នែកចំនួនពីរនៃគណិតវិទ្យាកម្រិតខ្ពស់ក្នុងពេលតែមួយ ហើយយើងនឹងឃើញពីរបៀបដែលពួកវារួមរស់ជាមួយគ្នាក្នុងកញ្ចប់តែមួយ។ សម្រាក ញ៉ាំ Twix មួយ! ... យ៉ាប់! ទោះបីជាមិនអីទេ ខ្ញុំនឹងមិនបានពិន្ទុ ប៉ុន្តែនៅទីបញ្ចប់ អ្នកគួរតែមានអាកប្បកិរិយាវិជ្ជមានចំពោះការសិក្សា។

ការពឹងផ្អែកលីនេអ៊ែរនៃវ៉ិចទ័រ, ឯករាជ្យវ៉ិចទ័រលីនេអ៊ែរ, មូលដ្ឋាននៃវ៉ិចទ័រនិងពាក្យផ្សេងទៀតមិនត្រឹមតែមានការបកស្រាយធរណីមាត្រប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែលើសពីនេះទៀត អត្ថន័យពិជគណិត។ គោលគំនិតនៃ "វ៉ិចទ័រ" តាមទស្សនៈនៃពិជគណិតលីនេអ៊ែរ មិនមែនតែងតែជាវ៉ិចទ័រ "ធម្មតា" ដែលយើងអាចពណ៌នានៅលើយន្តហោះ ឬក្នុងលំហនោះទេ។ អ្នកមិនចាំបាច់រកមើលភស្តុតាងឆ្ងាយទេ សាកល្បងគូរវ៉ិចទ័រនៃលំហប្រាំវិមាត្រ . ឬវ៉ិចទ័រអាកាសធាតុ ដែលខ្ញុំទើបតែបានទៅ Gismeteo សម្រាប់៖ សីតុណ្ហភាព និងសម្ពាធបរិយាកាសរៀងៗខ្លួន។ ជា​ការ​ពិត​ណាស់​ឧទាហរណ៍​គឺ​មិន​ត្រឹម​ត្រូវ​តាម​ទស្សនៈ​នៃ​លក្ខណៈ​សម្បត្តិ​នៃ​ទំហំ​វ៉ិចទ័រ​ ប៉ុន្តែ​ទោះ​ជា​យ៉ាង​ណា​ក៏​ដោយ​ គ្មាន​នរណា​ម្នាក់​ហាម​ឃាត់​ការ​កំណត់​ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ​ទាំង​នេះ​ជា​វ៉ិចទ័រ​ទេ។ ដង្ហើមរដូវស្លឹកឈើជ្រុះ ...

ទេ ខ្ញុំនឹងមិនធុញអ្នកជាមួយនឹងទ្រឹស្តី ចន្លោះវ៉ិចទ័រលីនេអ៊ែរទេ ភារកិច្ចគឺដើម្បី យល់និយមន័យ និងទ្រឹស្តីបទ។ ពាក្យថ្មី (ការពឹងផ្អែកលីនេអ៊ែរ ឯករាជ្យ ការរួមបញ្ចូលលីនេអ៊ែរ មូលដ្ឋាន។ល។) អនុវត្តចំពោះវ៉ិចទ័រទាំងអស់តាមទស្សនៈពិជគណិត ប៉ុន្តែឧទាហរណ៍ធរណីមាត្រនឹងត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ ដូច្នេះ អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺសាមញ្ញ អាចចូលដំណើរការបាន និងច្បាស់លាស់។ បន្ថែមពីលើបញ្ហានៃធរណីមាត្រវិភាគ យើងក៏នឹងពិចារណាអំពីបញ្ហាពិជគណិតធម្មតាមួយចំនួនផងដែរ។ ដើម្បីធ្វើជាម្ចាស់លើសម្ភារៈ គួរតែស្វែងយល់ពីមេរៀនដោយខ្លួនឯង។ វ៉ិចទ័រសម្រាប់អត់ចេះសោះនិង តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីគណនាកត្តាកំណត់?

ការពឹងផ្អែកលីនេអ៊ែរ និងឯករាជ្យនៃវ៉ិចទ័រយន្តហោះ។
មូលដ្ឋានយន្តហោះ និងប្រព័ន្ធសំរបសំរួល affine

ចូរយើងពិចារណាលើយន្តហោះនៃតុកុំព្យូទ័ររបស់អ្នក (គ្រាន់តែជាតុ តុក្បែរគ្រែ ជាន់ ពិដាន អ្វីក៏ដោយដែលអ្នកចូលចិត្ត)។ ភារកិច្ចនឹងមានសកម្មភាពដូចខាងក្រោមៈ

1) ជ្រើសរើសមូលដ្ឋានយន្តហោះ. និយាយដោយប្រយោល កុំព្យូទ័របន្ទះមួយមានប្រវែង និងទទឹង ដូច្នេះវាមានលក្ខណៈវិចារណញាណដែលវ៉ិចទ័រពីរនឹងត្រូវបានទាមទារដើម្បីបង្កើតមូលដ្ឋាន។ វ៉ិចទ័រមួយច្បាស់មិនគ្រប់គ្រាន់ទេ វ៉ិចទ័របីគឺច្រើនពេក។

2) ផ្អែកលើមូលដ្ឋានដែលបានជ្រើសរើស កំណត់ប្រព័ន្ធកូអរដោនេ(សម្របសម្រួលក្រឡាចត្រង្គ) ដើម្បីផ្តល់កូអរដោនេទៅវត្ថុទាំងអស់នៅលើតុ។

កុំភ្ញាក់ផ្អើលឡើយ ដំបូងការពន្យល់នឹងមាននៅលើម្រាមដៃ។ លើសពីនេះទៀតនៅលើរបស់អ្នក។ សូមដាក់ ម្រាមដៃសន្ទស្សន៍ខាងឆ្វេងនៅលើគែមនៃកុំព្យូទ័របន្ទះ ដូច្នេះគាត់មើលម៉ូនីទ័រ។ នេះនឹងជាវ៉ិចទ័រ។ ឥឡូវនេះកន្លែង ម្រាមដៃតូចខាងស្តាំនៅលើគែមនៃតុតាមរបៀបដូចគ្នា - ដូច្នេះវាត្រូវបានតម្រង់ទៅអេក្រង់ម៉ូនីទ័រ។ នេះនឹងជាវ៉ិចទ័រ។ ញញឹម អ្នកមើលទៅអស្ចារ្យណាស់! តើយើងអាចនិយាយអ្វីខ្លះអំពីវ៉ិចទ័រ? វ៉ិចទ័រទិន្នន័យ collinear, ដែលមានន័យថា លីនេអ៊ែរបានបង្ហាញតាមរយៈគ្នាទៅវិញទៅមក៖
ល្អ ឬផ្ទុយមកវិញ៖ តើលេខខ្លះខុសពីសូន្យ។

អ្នកអាចឃើញរូបភាពនៃសកម្មភាពនេះនៅក្នុងថ្នាក់។ វ៉ិចទ័រសម្រាប់អត់ចេះសោះដែលជាកន្លែងដែលខ្ញុំបានពន្យល់ពីច្បាប់សម្រាប់គុណវ៉ិចទ័រដោយលេខមួយ។

តើម្រាមដៃរបស់អ្នកនឹងដាក់មូលដ្ឋានលើយន្តហោះនៃតុកុំព្យូទ័រទេ? ជាក់ស្តែងមិនមែនទេ។ វ៉ិចទ័រ Collinear ធ្វើដំណើរទៅមក ឆ្លងកាត់ តែម្នាក់ឯងទិសដៅ ហើយយន្តហោះមានប្រវែង និងទទឹង។

វ៉ិចទ័របែបនេះត្រូវបានគេហៅថា អាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ.

ឯកសារយោង៖ ពាក្យ "លីនេអ៊ែរ", "លីនេអ៊ែរ" បង្ហាញពីការពិតដែលថានៅក្នុងសមីការគណិតវិទ្យា និងកន្សោមមិនមានការេ គូប អំណាចផ្សេងទៀត លោការីត ស៊ីនុស ជាដើម។ មានតែកន្សោមលីនេអ៊ែរ (ដឺក្រេទី 1) និងភាពអាស្រ័យ។

វ៉ិចទ័រយន្តហោះពីរ អាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរប្រសិនបើ និង លុះត្រាតែពួកវាជាប់គ្នា។.

កាត់ម្រាមដៃរបស់អ្នកនៅលើតុដើម្បីឱ្យមានមុំណាមួយរវាងពួកវាក្រៅពី 0 ឬ 180 ដឺក្រេ។ វ៉ិចទ័រយន្តហោះពីរលីនេអ៊ែរ ទេ។អាស្រ័យប្រសិនបើ និងលុះត្រាតែពួកវាមិនជាប់គ្នា។. ដូច្នេះមូលដ្ឋានត្រូវបានទទួល។ វាមិនចាំបាច់ខ្មាស់អៀនទេដែលមូលដ្ឋានប្រែទៅជា "ខ្វាក់" ជាមួយនឹងវ៉ិចទ័រមិនកាត់កែងដែលមានប្រវែងខុសៗគ្នា។ មិនយូរប៉ុន្មានយើងនឹងឃើញថាមិនត្រឹមតែមុំ 90 ដឺក្រេទេដែលសមរម្យសម្រាប់ការសាងសង់របស់វាហើយមិនត្រឹមតែវ៉ិចទ័រឯកតាដែលមានប្រវែងស្មើគ្នាប៉ុណ្ណោះទេ

ណាមួយ។វ៉ិចទ័រយន្តហោះ ផ្លូវ​តែមួយគត់ត្រូវបានពង្រីកដោយផ្អែកលើមូលដ្ឋាន៖
តើលេខពិតនៅឯណា។ លេខត្រូវបានហៅ កូអរដោណេវ៉ិចទ័រនៅក្នុងមូលដ្ឋាននេះ។

វាត្រូវបានគេនិយាយផងដែរ។ វ៉ិចទ័របានបង្ហាញជា ការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរវ៉ិចទ័រមូលដ្ឋាន. នោះគឺការបញ្ចេញមតិត្រូវបានគេហៅថា ការបំបែកវ៉ិចទ័រដោយមូលដ្ឋានឬ ការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរវ៉ិចទ័រមូលដ្ឋាន។

ជាឧទាហរណ៍ យើងអាចនិយាយបានថាវ៉ិចទ័រត្រូវបាន decomposed នៅតាមបណ្តោយមូលដ្ឋាន orthonormal នៃយន្តហោះ ឬយើងអាចនិយាយបានថាវាត្រូវបានតំណាងថាជាការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរនៃវ៉ិចទ័រ។

ចូរយើងបង្កើត និយមន័យនៃមូលដ្ឋានជាផ្លូវការ៖ មូលដ្ឋាននៃយន្តហោះត្រូវបានគេហៅថាជាគូនៃវ៉ិចទ័រឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ (មិនជាប់ជួរ) , ម្ល៉ោះ ណាមួយ។វ៉ិចទ័រយន្តហោះគឺជាការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរនៃវ៉ិចទ័រមូលដ្ឋាន។

ចំណុចសំខាន់មួយនៃនិយមន័យគឺការពិតដែលវ៉ិចទ័រត្រូវបានគេយក នៅក្នុងលំដាប់ជាក់លាក់មួយ។. មូលដ្ឋាន - ទាំងនេះគឺជាមូលដ្ឋានខុសគ្នាទាំងស្រុង! ដូចដែលពួកគេនិយាយ អ្នកមិនអាចជំនួសម្រាមដៃតូចនៃដៃឆ្វេងរបស់អ្នកជំនួសម្រាមដៃតូចនៃដៃស្តាំរបស់អ្នកបានទេ។

យើង​បាន​រក​ឃើញ​មូលដ្ឋាន ប៉ុន្តែ​វា​មិន​គ្រប់​គ្រាន់​ក្នុង​ការ​កំណត់​ក្រឡា​ចត្រង្គ​កូអរដោណេ និង​កំណត់​កូអរដោនេ​ទៅ​ធាតុ​នីមួយៗ​នៅ​លើ​តុកុំព្យូទ័រ​របស់​អ្នក​ទេ។ ហេតុអ្វីបានជាវាមិនគ្រប់គ្រាន់? វ៉ិចទ័រ​មាន​សេរីភាព ហើយ​ដើរ​ពេញ​យន្តហោះ​ទាំងមូល។ ដូច្នេះតើអ្នកកំណត់កូអរដោនេទៅកន្លែងកខ្វក់តូចៗនៅលើតុដែលនៅសេសសល់ពីចុងសប្តាហ៍ដោយរបៀបណា? ត្រូវការចំណុចចាប់ផ្តើម។ ហើយទីតាំងសម្គាល់បែបនេះគឺជាចំណុចដែលស្គាល់គ្រប់គ្នា - ប្រភពដើមនៃកូអរដោនេ។ ចូរយើងយល់ពីប្រព័ន្ធកូអរដោនេ៖

ខ្ញុំនឹងចាប់ផ្តើមជាមួយប្រព័ន្ធ "សាលា" ។ រួចហើយនៅក្នុងមេរៀនណែនាំ វ៉ិចទ័រសម្រាប់អត់ចេះសោះខ្ញុំបានគូសបញ្ជាក់ពីភាពខុសគ្នាមួយចំនួនរវាងប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណ និងមូលដ្ឋានអ័រថូនិក។ នេះជារូបភាពស្តង់ដារ៖

នៅពេលដែលពួកគេនិយាយអំពី ប្រព័ន្ធកូអរដោនេចតុកោណបន្ទាប់មក ភាគច្រើនពួកគេមានន័យថាប្រភពដើម អ័ក្សសំរបសំរួល និងមាត្រដ្ឋានតាមអ័ក្ស។ សាកល្បងវាយ “ប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណ” ទៅក្នុងម៉ាស៊ីនស្វែងរក ហើយអ្នកនឹងឃើញថាប្រភពជាច្រើននឹងប្រាប់អ្នកអំពីអ័ក្សកូអរដោនេដែលធ្លាប់ស្គាល់ពីថ្នាក់ទី 5 ដល់ទី 6 និងរបៀបគូសចំណុចនៅលើយន្តហោះ។

ម៉្យាងវិញទៀត វាហាក់បីដូចជាប្រព័ន្ធសំរបសំរួលរាងចតុកោណអាចកំណត់បានទាំងស្រុងក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃមូលដ្ឋានអ័រថូនិក។ ហើយវាស្ទើរតែជាការពិត។ ពាក្យមានដូចខាងក្រោម៖

ប្រភពដើម, និង ធម្មតាមូលដ្ឋានត្រូវបានកំណត់ ប្រព័ន្ធសំរបសំរួលយន្តហោះចតុកោណ Cartesian . នោះគឺប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណ ប្រាកដត្រូវ​បាន​កំណត់​ដោយ​ចំណុច​មួយ​និង​ពីរ​ឯកតា​វ៉ិចទ័រ orthogonal ។ នោះហើយជាមូលហេតុដែលអ្នកឃើញគំនូរដែលខ្ញុំបានផ្តល់ឱ្យខាងលើ - នៅក្នុងបញ្ហាធរណីមាត្រ ទាំងវ៉ិចទ័រ និងអ័ក្សកូអរដោនេត្រូវបានគូរជាញឹកញាប់ (ប៉ុន្តែមិនតែងតែ) ។

ខ្ញុំ​គិត​ថា​អ្នក​រាល់​គ្នា​យល់​ថា​ការ​ប្រើ​ចំណុច​មួយ (ដើម​) និង​មូលដ្ឋាន​អ័រថូនិក ចំណុចណាមួយនៅលើយន្តហោះ និងវ៉ិចទ័រណាមួយនៅលើយន្តហោះកូអរដោនេអាចត្រូវបានចាត់តាំង។ និយាយក្នុងន័យធៀប "អ្វីគ្រប់យ៉ាងនៅលើយន្តហោះអាចរាប់បាន"។

តើ​វ៉ិចទ័រ​កូអរដោណេ​តម្រូវ​ឱ្យ​មាន​ឯកតា​ឬ? ទេ ពួកវាអាចមានប្រវែងមិនស្មើសូន្យ។ ពិចារណាចំណុចមួយ និងវ៉ិចទ័ររាងពងក្រពើពីរនៃប្រវែងមិនស្មើសូន្យ៖

មូលដ្ឋានបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា រាងមូល. ប្រភពដើមនៃកូអរដោនេជាមួយវ៉ិចទ័រត្រូវបានកំណត់ដោយក្រឡាចត្រង្គកូអរដោនេ ហើយចំណុចណាមួយនៅលើយន្តហោះ វ៉ិចទ័រណាមួយមានកូអរដោនេរបស់វានៅក្នុងមូលដ្ឋានដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ឧទាហរណ៍ ឬ។ ភាពរអាក់រអួលជាក់ស្តែងគឺថាវ៉ិចទ័រកូអរដោនេ ជាទូទៅមានប្រវែងខុសគ្នាក្រៅពីការរួបរួម។ ប្រសិនបើប្រវែងស្មើនឹងការរួបរួម នោះមូលដ្ឋានអ័រថុនធម្មតាត្រូវបានទទួល។

! ចំណាំ ៖ នៅក្នុងមូលដ្ឋាន orthogonal ក៏ដូចជាខាងក្រោមនៅក្នុងមូលដ្ឋាន affine នៃយន្តហោះ និងលំហ ឯកតានៅតាមបណ្តោយអ័ក្សត្រូវបានពិចារណា លក្ខខណ្ឌ. ឧទាហរណ៍ ឯកតាមួយនៅតាមបណ្តោយអ័ក្ស x មាន 4 សង់ទីម៉ែត្រ ហើយឯកតាមួយនៅតាមបណ្តោយអ័ក្សតម្រៀបមាន 2 សង់ទីម៉ែត្រ។ ព័ត៌មាននេះគឺគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីបំប្លែងកូអរដោនេ "មិនស្តង់ដារ" ទៅជា "សង់ទីម៉ែត្រធម្មតារបស់យើង" ប្រសិនបើចាំបាច់។

ហើយ​សំណួរ​ទី​ពីរ​ដែល​ពិត​ជា​បាន​ឆ្លើយ​រួច​ហើយ​គឺ​ថា​តើ​មុំ​រវាង​វ៉ិចទ័រ​មូលដ្ឋាន​ត្រូវ​តែ​ស្មើ​នឹង ៩០ ដឺក្រេ​ឬ​ទេ? ទេ! ដូចដែលនិយមន័យបានបញ្ជាក់ វ៉ិចទ័រមូលដ្ឋានត្រូវតែជា មានតែ non-collinear. ដូច្នោះហើយមុំអាចជាអ្វីទាំងអស់លើកលែងតែ 0 និង 180 ដឺក្រេ។

ចំណុចមួយនៅលើយន្តហោះបានហៅ ប្រភពដើម, និង non-collinearវ៉ិចទ័រ , កំណត់ ប្រព័ន្ធសំរបសំរួលយន្តហោះ affine :

ជួនកាលប្រព័ន្ធកូអរដោនេបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា obliqueប្រព័ន្ធ។ ជាឧទាហរណ៍ គំនូរបង្ហាញចំណុច និងវ៉ិចទ័រ៖

ដូចដែលអ្នកយល់ ប្រព័ន្ធកូអរដោនេ affine គឺកាន់តែងាយស្រួល រូបមន្តសម្រាប់ប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រ និងផ្នែកដែលយើងបានពិភាក្សានៅក្នុងផ្នែកទីពីរនៃមេរៀន មិនដំណើរការនៅក្នុងវាទេ។ វ៉ិចទ័រសម្រាប់អត់ចេះសោះ, រូបមន្តឆ្ងាញ់ជាច្រើនដែលទាក់ទងនឹង ផលិតផលមាត្រដ្ឋាននៃវ៉ិចទ័រ. ប៉ុន្តែច្បាប់សម្រាប់ការបន្ថែមវ៉ិចទ័រ និងគុណវ៉ិចទ័រដោយលេខ រូបមន្តសម្រាប់ការបែងចែកផ្នែកក្នុងទំនាក់ទំនងនេះ ក៏ដូចជាប្រភេទបញ្ហាមួយចំនួនទៀតដែលយើងនឹងពិចារណាក្នុងពេលឆាប់ៗនេះគឺត្រឹមត្រូវ។

ហើយការសន្និដ្ឋានគឺថាករណីពិសេសដែលងាយស្រួលបំផុតនៃប្រព័ន្ធកូអរដោនេ affine គឺប្រព័ន្ធចតុកោណ Cartesian ។ នោះហើយជាមូលហេតុដែលអ្នកតែងតែឃើញនាង ជាទីស្រឡាញ់របស់ខ្ញុំ។ ...ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ អ្វីគ្រប់យ៉ាងនៅក្នុងជីវិតនេះគឺទាក់ទងគ្នា - មានស្ថានភាពជាច្រើនដែលមុំ oblique (ឬមួយផ្សេងទៀតឧទាហរណ៍។ ប៉ូល) ប្រព័ន្ធសំរបសំរួល។ ហើយមនុស្សអាចចូលចិត្តប្រព័ន្ធបែបនេះ =)

ចូរបន្តទៅផ្នែកជាក់ស្តែង។ បញ្ហាទាំងអស់នៅក្នុងមេរៀននេះមានសុពលភាពទាំងសម្រាប់ប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណ និងសម្រាប់ករណីទូទៅ។ មិនមានអ្វីស្មុគស្មាញនៅទីនេះទេ សម្ភារៈទាំងអស់អាចចូលប្រើបាន សូម្បីតែសិស្សសាលាក៏ដោយ។

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីកំណត់ភាពជាប់គ្នានៃវ៉ិចទ័រយន្តហោះ?

រឿងធម្មតា។ ដើម្បីឱ្យវ៉ិចទ័រយន្តហោះពីរ វាមានភាពចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់ដែលកូអរដោណេដែលត្រូវគ្នារបស់ពួកគេមានសមាមាត្រជាការសំខាន់ នេះគឺជាការសម្របសម្រួលដោយសំរបសំរួលលម្អិតនៃទំនាក់ទំនងជាក់ស្តែង។

ឧទាហរណ៍ ១

ក) ពិនិត្យមើលថាតើវ៉ិចទ័រមានលក្ខណៈជាប់គ្នា។ .
ខ) តើវ៉ិចទ័របង្កើតជាមូលដ្ឋានទេ? ?

ដំណោះស្រាយ៖
ក) អនុញ្ញាតឱ្យយើងរកមើលថាតើមានសម្រាប់វ៉ិចទ័រ មេគុណសមាមាត្រ ដែលសមភាពត្រូវបានពេញចិត្ត៖

ខ្ញុំពិតជានឹងប្រាប់អ្នកអំពីកំណែ "foppish" នៃការអនុវត្តច្បាប់នេះ ដែលដំណើរការល្អក្នុងការអនុវត្ត។ គំនិតគឺបង្កើតសមាមាត្រភ្លាមៗ ហើយមើលថាតើវាត្រឹមត្រូវដែរឬទេ៖

ចូរបង្កើតសមាមាត្រពីសមាមាត្រនៃកូអរដោនេដែលត្រូវគ្នានៃវ៉ិចទ័រ៖

តោះខ្លី៖
ដូច្នេះ កូអរដោនេដែលត្រូវគ្នាគឺសមាមាត្រ ដូច្នេះ

ទំនាក់ទំនងអាចត្រូវបានបង្កើតតាមរបៀបផ្សេងទៀត នេះគឺជាជម្រើសសមមូល៖

សម្រាប់ការធ្វើតេស្តដោយខ្លួនឯង អ្នកអាចប្រើការពិតដែលវ៉ិចទ័រ collinear ត្រូវបានបង្ហាញជាលីនេអ៊ែរតាមរយៈគ្នាទៅវិញទៅមក។ ក្នុងករណីនេះសមភាពកើតឡើង . សុពលភាពរបស់ពួកគេអាចត្រូវបានផ្ទៀងផ្ទាត់យ៉ាងងាយស្រួលតាមរយៈប្រតិបត្តិការបឋមជាមួយវ៉ិចទ័រ៖

ខ) វ៉ិចទ័រយន្តហោះពីរបង្កើតជាមូលដ្ឋាន ប្រសិនបើវាមិនជាប់គ្នា (ឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ)។ យើងពិនិត្យវ៉ិចទ័រសម្រាប់ភាពជាប់គ្នា។ . តោះបង្កើតប្រព័ន្ធ៖

ពីសមីការទីមួយ វាធ្វើតាមនោះ ពីសមីការទីពីរ វាធ្វើតាមនោះ ដែលមានន័យថា ប្រព័ន្ធមិនស៊ីសង្វាក់គ្នា។(គ្មានដំណោះស្រាយ)។ ដូច្នេះ​កូអរដោនេ​នៃ​វ៉ិចទ័រ​មិន​សមាមាត្រ​ទេ។

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន៖ វ៉ិចទ័រគឺឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ និងបង្កើតជាមូលដ្ឋាន។

កំណែសាមញ្ញនៃដំណោះស្រាយមើលទៅដូចនេះ៖

ចូរបង្កើតសមាមាត្រពីកូអរដោនេដែលត្រូវគ្នានៃវ៉ិចទ័រ :
ដែលមានន័យថាវ៉ិចទ័រទាំងនេះមានភាពឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ និងបង្កើតជាមូលដ្ឋាន។

ជា​ធម្មតា​ជម្រើស​នេះ​មិន​ត្រូវ​បាន​បដិសេធ​ដោយ​អ្នក​ពិនិត្យ​ទេ ប៉ុន្តែ​បញ្ហា​កើត​ឡើង​ក្នុង​ករណី​ដែល​កូអរដោនេ​ខ្លះ​ស្មើ​នឹង​សូន្យ។ ដូចនេះ៖ . ឬដូចនេះ៖ . ឬដូចនេះ៖ . តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីធ្វើការតាមរយៈសមាមាត្រនៅទីនេះ? (ជាការពិត អ្នកមិនអាចបែងចែកដោយសូន្យ)។ វាគឺសម្រាប់ហេតុផលនេះដែលខ្ញុំបានហៅដំណោះស្រាយសាមញ្ញថា "foppish" ។

ចម្លើយ៖ a) b) ទម្រង់។

ឧទាហរណ៍ច្នៃប្រឌិតតូចមួយសម្រាប់ដំណោះស្រាយផ្ទាល់ខ្លួនរបស់អ្នក៖

ឧទាហរណ៍ ២

តម្លៃនៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រគឺវ៉ិចទ័រ តើ​ពួក​គេ​នឹង​ត្រូវ​គ្នា​?

នៅក្នុងដំណោះស្រាយគំរូប៉ារ៉ាម៉ែត្រត្រូវបានរកឃើញតាមរយៈសមាមាត្រ។

មានវិធីពិជគណិតដ៏ប្រណិតមួយដើម្បីពិនិត្យមើលវ៉ិចទ័រសម្រាប់ភាពជាប់គ្នា។ ចូរយើងរៀបចំចំណេះដឹងរបស់យើងជាប្រព័ន្ធ ហើយបន្ថែមវាជាចំណុចទីប្រាំ៖

សម្រាប់វ៉ិចទ័រយន្តហោះពីរ សេចក្តីថ្លែងការណ៍ខាងក្រោមគឺសមមូល:

2) វ៉ិចទ័របង្កើតជាមូលដ្ឋាន;
3) វ៉ិចទ័រមិនជាប់គ្នា;

+ 5) កត្តាកំណត់ដែលផ្សំឡើងដោយកូអរដោណេនៃវ៉ិចទ័រទាំងនេះគឺមិនសូន្យ.

រៀងៗខ្លួន សេចក្តីថ្លែងការណ៍ផ្ទុយខាងក្រោមគឺសមមូល:
1) វ៉ិចទ័រគឺអាស្រ័យលើលីនេអ៊ែរ;
2) វ៉ិចទ័រមិនបង្កើតជាមូលដ្ឋាន;
3) វ៉ិចទ័រគឺជាប់គ្នា;
4) វ៉ិចទ័រអាចត្រូវបានបង្ហាញជាលីនេអ៊ែរតាមរយៈគ្នាទៅវិញទៅមក;
+ 5) កត្តាកំណត់ដែលផ្សំឡើងដោយកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រទាំងនេះគឺស្មើនឹងសូន្យ.

ខ្ញុំ​ពិត​ជា​សង្ឃឹម​ថា​មក​ដល់​ពេល​នេះ​អ្នក​បាន​យល់​ហើយ​នូវ​លក្ខខណ្ឌ និង​សេចក្តី​ថ្លែងការណ៍​ទាំងអស់​ដែល​អ្នក​បាន​ជួប​ប្រទះ។

តោះ​មើល​ចំណុច​ទី ៥ ថ្មី​ឲ្យ​កាន់តែ​ច្បាស់៖ វ៉ិចទ័រយន្តហោះពីរ គឺ collinear ប្រសិនបើ និងលុះត្រាតែកត្តាកំណត់ដែលផ្សំឡើងដោយកូអរដោណេនៃវ៉ិចទ័រដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺស្មើនឹងសូន្យ:. ដើម្បីអនុវត្តមុខងារនេះ ជាការពិត អ្នកត្រូវមានលទ្ធភាព ស្វែងរកកត្តាកំណត់.

តោះសម្រេចចិត្តឧទាហរណ៍ទី 1 នៅក្នុងវិធីទីពីរ:

ក) ចូរយើងគណនាកត្តាកំណត់ដែលបង្កើតឡើងដោយកូអរដោណេនៃវ៉ិចទ័រ :
ដែលមានន័យថាវ៉ិចទ័រទាំងនេះគឺជាប់គ្នា។

ខ) វ៉ិចទ័រយន្តហោះពីរបង្កើតជាមូលដ្ឋាន ប្រសិនបើវាមិនជាប់គ្នា (ឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ)។ ចូរយើងគណនាកត្តាកំណត់ដែលបង្កើតឡើងដោយកូអរដោណេវ៉ិចទ័រ :
ដែលមានន័យថា វ៉ិចទ័រមានភាពឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ និងបង្កើតជាមូលដ្ឋាន។

ចម្លើយ៖ a) b) ទម្រង់។

វាមើលទៅកាន់តែបង្រួម និងស្អាតជាងដំណោះស្រាយដែលមានសមាមាត្រ។

ដោយមានជំនួយពីសម្ភារៈដែលបានពិចារណាវាអាចធ្វើទៅបានមិនត្រឹមតែបង្កើតភាពជាប់គ្នានៃវ៉ិចទ័រប៉ុណ្ណោះទេប៉ុន្តែថែមទាំងដើម្បីបញ្ជាក់ពីភាពស្របគ្នានៃផ្នែកនិងបន្ទាត់ត្រង់ផងដែរ។ ចូរយើងពិចារណាបញ្ហាមួយចំនួនជាមួយនឹងរាងធរណីមាត្រជាក់លាក់។

ឧទាហរណ៍ ៣

ចំនុចកំពូលនៃបួនជ្រុងត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ បញ្ជាក់​ថា​បួនជ្រុង​គឺ​ជា​ប្រលេឡូក្រាម។

ភស្តុតាង៖ មិនចាំបាច់បង្កើតគំនូរក្នុងបញ្ហានោះទេ ព្រោះដំណោះស្រាយនឹងជាការវិភាគសុទ្ធសាធ។ ចូរយើងចងចាំនិយមន័យនៃប្រលេឡូក្រាម៖
ប៉ារ៉ាឡែល ចតុកោណ​ដែល​ភាគី​ទល់​មុខ​ស្រប​គ្នា​ជា​គូ​ត្រូវ​បាន​ហៅ។

ដូច្នេះវាចាំបាច់ដើម្បីបញ្ជាក់៖
1) ភាពស្របគ្នានៃភាគីផ្ទុយនិង;
2) ភាពស្របគ្នានៃភាគីផ្ទុយនិង។

យើង​បញ្ជាក់៖

១) ស្វែងរកវ៉ិចទ័រ៖

២) ស្វែងរកវ៉ិចទ័រ៖

លទ្ធផលគឺវ៉ិចទ័រដូចគ្នា ("យោងទៅតាមសាលារៀន" - វ៉ិចទ័រស្មើគ្នា) ។ Collinearity គឺច្បាស់ណាស់ ប៉ុន្តែវាជាការប្រសើរក្នុងការរៀបចំការសម្រេចចិត្តឱ្យបានច្បាស់លាស់ ដោយមានការរៀបចំ។ ចូរយើងគណនាកត្តាកំណត់ដែលបង្កើតឡើងដោយកូអរដោណេវ៉ិចទ័រ៖
ដែលមានន័យថា វ៉ិចទ័រទាំងនេះគឺជាប់គ្នា និង .

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន៖ ជ្រុងម្ខាងនៃចតុកោណគឺស្របគ្នាជាគូ ដែលមានន័យថាវាជាប្រលេឡូក្រាមតាមនិយមន័យ។ Q.E.D.

តួលេខ​ល្អ និង​ខុស​គ្នា​ច្រើន​ទៀត៖

ឧទាហរណ៍ 4

ចំនុចកំពូលនៃបួនជ្រុងត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ បញ្ជាក់​ថា​ចតុកោណ​ជា​ចតុកោណ។

សម្រាប់ការបង្កើតភ័ស្តុតាងយ៉ាងម៉ត់ចត់ជាងនេះ វាជាការប្រសើរជាងក្នុងការទទួលបាននិយមន័យនៃ trapezoid ប៉ុន្តែវាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីចងចាំយ៉ាងសាមញ្ញនូវអ្វីដែលវាមើលទៅ។

នេះ​ជា​កិច្ចការ​ដែល​អ្នក​ត្រូវ​ដោះស្រាយ​ដោយ​ខ្លួនឯង។ ដំណោះស្រាយពេញលេញនៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន។

ហើយ​ឥឡូវ​ដល់​ពេល​ផ្លាស់ទី​យឺតៗ​ពី​យន្តហោះ​ទៅ​ក្នុង​លំហ៖

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីកំណត់ភាពជាប់គ្នានៃវ៉ិចទ័រអវកាស?

ក្បួនគឺស្រដៀងគ្នាខ្លាំងណាស់។ ដើម្បីឱ្យវ៉ិចទ័រលំហរទាំងពីរមានលក្ខណៈជាប់គ្នា វាចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់ដែលកូអរដោនេដែលត្រូវគ្នារបស់វាសមាមាត្រ.

ឧទាហរណ៍ 5

រកមើលថាតើវ៉ិចទ័រលំហខាងក្រោមមានជាប់គ្នាឬអត់៖

ក) ;
ខ)
វី)

ដំណោះស្រាយ៖
ក) សូមពិនិត្យមើលថាតើមានមេគុណសមាមាត្រសម្រាប់កូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រដែលត្រូវគ្នាឬអត់៖

ប្រព័ន្ធមិនមានដំណោះស្រាយ ដែលមានន័យថា វ៉ិចទ័រមិនជាប់គ្នា។

"សាមញ្ញ" ត្រូវបានធ្វើជាផ្លូវការដោយពិនិត្យមើលសមាមាត្រ។ ក្នុងករណី​នេះ:
- កូអរដោនេដែលត្រូវគ្នាមិនសមាមាត្រ ដែលមានន័យថាវ៉ិចទ័រមិនជាប់គ្នា។

ចម្លើយ៖វ៉ិចទ័រមិនជាប់គ្នាទេ។

b-c) ទាំងនេះគឺជាចំណុចសម្រាប់ការសម្រេចចិត្តឯករាជ្យ។ សាកល្បងវាតាមពីរវិធី។

មានវិធីសាស្រ្តសម្រាប់ពិនិត្យមើលវ៉ិចទ័រលំហសម្រាប់ភាពជាប់គ្នាតាមរយៈកត្តាកំណត់លំដាប់ទីបី វិធីសាស្ត្រនេះត្រូវបានគ្របដណ្តប់នៅក្នុងអត្ថបទ ផលិតផលវ៉ិចទ័រនៃវ៉ិចទ័រ.

ស្រដៀងគ្នាទៅនឹងករណីយន្តហោះ ឧបករណ៍ដែលបានពិចារណាអាចត្រូវបានប្រើដើម្បីសិក្សាពីភាពស្របគ្នានៃផ្នែកលំហ និងបន្ទាត់ត្រង់។

សូមស្វាគមន៍មកកាន់ផ្នែកទីពីរ៖

ការពឹងផ្អែកលីនេអ៊ែរ និងឯករាជ្យនៃវ៉ិចទ័រក្នុងលំហបីវិមាត្រ។
មូលដ្ឋានលំហ និងប្រព័ន្ធសំរបសំរួល affine

គំរូជាច្រើនដែលយើងពិនិត្យលើយន្តហោះនឹងមានសុពលភាពសម្រាប់លំហ។ ខ្ញុំបានព្យាយាមកាត់បន្ថយកំណត់ចំណាំទ្រឹស្តី ចាប់តាំងពីចំណែករបស់សត្វតោនៃព័ត៌មានត្រូវបានទំពាររួចហើយ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ខ្ញុំសូមណែនាំឱ្យអ្នកអានផ្នែកណែនាំដោយប្រុងប្រយ័ត្ន ព្រោះពាក្យ និងគោលគំនិតថ្មីៗនឹងលេចឡើង។

ឥឡូវនេះជំនួសឱ្យយន្តហោះនៃតុកុំព្យូទ័រយើងរុករកអវកាសបីវិមាត្រ។ ដំបូងយើងបង្កើតមូលដ្ឋានរបស់វា។ ឥឡូវនេះ មាននរណាម្នាក់នៅក្នុងផ្ទះ នរណាម្នាក់នៅខាងក្រៅ ប៉ុន្តែក្នុងករណីណាក៏ដោយ យើងមិនអាចគេចផុតពីវិមាត្របីគឺ ទទឹង ប្រវែង និងកម្ពស់។ ដូច្នេះ ដើម្បីសាងសង់មូលដ្ឋាន វ៉ិចទ័រទំហំបីនឹងត្រូវបានទាមទារ។ វ៉ិចទ័រមួយឬពីរមិនគ្រប់គ្រាន់ទេ ទីបួនគឺនាំអោយ។

ហើយម្តងទៀតយើងឡើងកំដៅនៅលើម្រាមដៃរបស់យើង។ សូមលើកដៃរបស់អ្នកឡើង ហើយរាលដាលវាក្នុងទិសដៅផ្សេងៗ មេដៃ លិបិក្រម និងម្រាមដៃកណ្តាល. ទាំងនេះនឹងជាវ៉ិចទ័រ ពួកគេមើលទៅក្នុងទិសដៅផ្សេងៗគ្នា មានប្រវែងខុសៗគ្នា និងមានមុំខុសៗគ្នារវាងខ្លួនពួកគេ។ សូមអបអរសាទរ មូលដ្ឋាននៃលំហបីវិមាត្រគឺរួចរាល់ហើយ! និយាយអីញ្ចឹង មិនចាំបាច់ធ្វើបទបង្ហាញនេះដល់គ្រូទេ ទោះអ្នកបង្វិលម្រាមដៃរបស់អ្នកខ្លាំងប៉ុណ្ណាក៏ដោយ ប៉ុន្តែវាមិនគេចចេញពីនិយមន័យទេ =)

បន្ទាប់មក យើងសួរខ្លួនយើងនូវសំណួរសំខាន់មួយ៖ ធ្វើវ៉ិចទ័រទាំងបីបង្កើតជាមូលដ្ឋាននៃលំហបីវិមាត្រ? សូម​ចុច​ម្រាម​ដៃ​បី​យ៉ាង​តឹង​លើ​កំពូល​តុ​កុំព្យូទ័រ។ តើមានអ្វីកើតឡើង? វ៉ិចទ័រចំនួនបីមានទីតាំងនៅក្នុងយន្តហោះតែមួយ ហើយបើនិយាយប្រហែល យើងបានបាត់បង់វិមាត្រមួយ - កម្ពស់។ វ៉ិចទ័របែបនេះគឺ coplanarហើយវាច្បាស់ណាស់ថា មូលដ្ឋាននៃលំហបីវិមាត្រមិនត្រូវបានបង្កើតទេ។

វាគួរតែត្រូវបានកត់សម្គាល់ថាវ៉ិចទ័រ coplanar មិនចាំបាច់កុហកនៅក្នុងយន្តហោះតែមួយទេ ពួកវាអាចស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះស្របគ្នា (គ្រាន់តែកុំធ្វើបែបនេះដោយម្រាមដៃរបស់អ្នក មានតែ Salvador Dali ប៉ុណ្ណោះដែលបានធ្វើដូចនេះ =))។

និយមន័យ៖ វ៉ិចទ័រត្រូវបានគេហៅថា coplanarប្រសិនបើមានយន្តហោះដែលពួកវាស្របគ្នា។ វាជាឡូជីខលក្នុងការបន្ថែមនៅទីនេះថាប្រសិនបើយន្តហោះបែបនេះមិនមានទេនោះវ៉ិចទ័រនឹងមិនមែនជា coplanar ទេ។

វ៉ិចទ័រ coplanar បីគឺតែងតែពឹងផ្អែកលើលីនេអ៊ែរនោះគឺពួកវាត្រូវបានបង្ហាញជាលីនេអ៊ែរតាមរយៈគ្នាទៅវិញទៅមក។ សម្រាប់ភាពសាមញ្ញ សូមឲ្យយើងស្រមៃម្តងទៀតថា ពួកគេដេកក្នុងយន្តហោះតែមួយ។ ទីមួយ វ៉ិចទ័រមិនត្រឹមតែជា coplanar ប៉ុណ្ណោះទេ វាក៏អាចជា collinear បន្ទាប់មកវ៉ិចទ័រណាមួយអាចត្រូវបានបង្ហាញតាមរយៈវ៉ិចទ័រណាមួយ។ ក្នុងករណីទីពីរ ប្រសិនបើឧទាហរណ៍ វ៉ិចទ័រមិនជាប់គ្នា នោះវ៉ិចទ័រទីបីត្រូវបានបង្ហាញតាមរយៈពួកវាតាមរបៀបពិសេសមួយ៖ (ហើយ​ហេតុ​អ្វី​បាន​ជា​ងាយ​ស្មាន​ពី​សម្ភារ​ក្នុង​ផ្នែក​មុន)។

ការសន្ទនាក៏ពិតដែរ៖ វ៉ិចទ័រមិនមែន coplanar បីគឺតែងតែឯករាជ្យលីនេអ៊ែរនោះគឺពួកគេមិនមានវិធីបង្ហាញគ្នាទៅវិញទៅមកទេ។ ហើយជាក់ស្តែង មានតែវ៉ិចទ័របែបនេះទេដែលអាចបង្កើតជាមូលដ្ឋាននៃលំហបីវិមាត្រ។

និយមន័យ: មូលដ្ឋាននៃលំហបីវិមាត្រត្រូវបានគេហៅថាជាបីនៃវ៉ិចទ័រឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ (មិនមែន coplanar) យកតាមលំដាប់ជាក់លាក់មួយ។និងវ៉ិចទ័រនៃលំហ ផ្លូវ​តែមួយគត់ត្រូវ​បាន​រំលាយ​នៅ​លើ​មូលដ្ឋាន​ដែល​បាន​ផ្ដល់​ឱ្យ​ ដែល​ជា​កន្លែង​ដែល​កូអរដោនេ​នៃ​វ៉ិចទ័រ​ក្នុង​មូលដ្ឋាន​នេះ។

ខ្ញុំសូមរំលឹកអ្នកថា យើងក៏អាចនិយាយបានថា វ៉ិចទ័រត្រូវបានតំណាងក្នុងទម្រង់ ការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរវ៉ិចទ័រមូលដ្ឋាន។

គោលគំនិតនៃប្រព័ន្ធកូអរដោណេត្រូវបានណែនាំតាមរបៀបដូចគ្នាទៅនឹងករណីយន្តហោះ ចំណុចមួយ និងវ៉ិចទ័រឯករាជ្យលីនេអ៊ែរទាំងបីគឺគ្រប់គ្រាន់ហើយ៖

ប្រភពដើម, និង មិនមែន coplanarវ៉ិចទ័រ យកតាមលំដាប់ជាក់លាក់មួយ។, កំណត់ ប្រព័ន្ធសំរបសំរួល affine នៃលំហរបីវិមាត្រ :

ជា​ការ​ពិត​ណាស់ ក្រឡា​ចត្រង្គ​កូអរដោណេ​គឺ​ជា “oblique” និង​មិន​ស្រួល ប៉ុន្តែ​យ៉ាង​ណា​ក៏​ដោយ ប្រព័ន្ធ​កូអរដោនេ​ដែល​បាន​សាងសង់​អនុញ្ញាត​ឱ្យ​យើង ប្រាកដកំណត់កូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រណាមួយ និងកូអរដោនេនៃចំណុចណាមួយក្នុងលំហ។ ស្រដៀងទៅនឹងយន្តហោះ រូបមន្តមួយចំនួនដែលខ្ញុំបានលើកឡើងរួចហើយ នឹងមិនដំណើរការនៅក្នុងប្រព័ន្ធ affine coordination នៃលំហ។

ករណីពិសេសដែលធ្លាប់ស្គាល់ និងងាយស្រួលបំផុតនៃប្រព័ន្ធសំរបសំរួល affine ដូចដែលអ្នកគ្រប់គ្នាទាយគឺ ប្រព័ន្ធសំរបសំរួលលំហរចតុកោណ:

ចំណុចមួយនៅក្នុងលំហដែលហៅថា ប្រភពដើម, និង ធម្មតាមូលដ្ឋានត្រូវបានកំណត់ ប្រព័ន្ធសំរបសំរួលលំហរាងចតុកោណ Cartesian . រូបភាពដែលធ្លាប់ស្គាល់៖

មុននឹងបន្តទៅកិច្ចការជាក់ស្តែង ចូរយើងរៀបចំព័ត៌មានជាប្រព័ន្ធម្តងទៀត៖

សម្រាប់វ៉ិចទ័រលំហចំនួនបី សេចក្តីថ្លែងខាងក្រោមគឺសមមូល:
1) វ៉ិចទ័រគឺឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ;
2) វ៉ិចទ័របង្កើតជាមូលដ្ឋាន;
3) វ៉ិចទ័រមិនមែនជា coplanar;
4) វ៉ិចទ័រមិនអាចត្រូវបានបង្ហាញជាលីនេអ៊ែរតាមរយៈគ្នាទៅវិញទៅមក។
5) កត្តាកំណត់ដែលផ្សំឡើងដោយកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រទាំងនេះគឺខុសពីសូន្យ។

ខ្ញុំ​គិត​ថា​សេចក្តីថ្លែងការណ៍​ផ្ទុយ​គឺ​អាច​យល់​បាន។

ការពឹងផ្អែកលីនេអ៊ែរ/ឯករាជ្យនៃវ៉ិចទ័រអវកាសត្រូវបានពិនិត្យតាមបែបប្រពៃណីដោយប្រើកត្តាកំណត់ (ចំណុចទី 5)។ កិច្ចការជាក់ស្តែងដែលនៅសល់នឹងមានលក្ខណៈពិជគណិតច្បាស់លាស់។ វាដល់ពេលហើយដើម្បីព្យួរដំបងធរណីមាត្រ ហើយកាន់ដំបងបេស្បលនៃពិជគណិតលីនេអ៊ែរ៖

បីវ៉ិចទ័រនៃលំហគឺ coplanar ប្រសិនបើ និងលុះត្រាតែកត្តាកំណត់ដែលផ្សំឡើងដោយកូអរដោណេនៃវ៉ិចទ័រដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺស្មើនឹងសូន្យ៖ .

ខ្ញុំចង់ទាក់ទាញការយកចិត្តទុកដាក់របស់អ្នកចំពោះភាពខុសប្លែកគ្នានៃបច្ចេកទេសតូចមួយ៖ កូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រអាចត្រូវបានសរសេរមិនត្រឹមតែក្នុងជួរឈរប៉ុណ្ណោះទេប៉ុន្តែថែមទាំងជាជួរផងដែរ (តម្លៃនៃកត្តាកំណត់នឹងមិនផ្លាស់ប្តូរដោយសារតែនេះ - មើលលក្ខណៈសម្បត្តិនៃកត្តាកំណត់) ។ ប៉ុន្តែវាល្អប្រសើរជាងនៅក្នុងជួរឈរព្រោះវាមានអត្ថប្រយោជន៍ជាងសម្រាប់ការដោះស្រាយបញ្ហាជាក់ស្តែងមួយចំនួន។

សម្រាប់អ្នកអានដែលភ្លេចបន្តិចអំពីវិធីសាស្រ្តនៃការគណនាកត្តាកំណត់ ឬប្រហែលជាមានការយល់ដឹងតិចតួចអំពីពួកវាទាំងអស់ ខ្ញុំសូមណែនាំមេរៀនចាស់បំផុតមួយរបស់ខ្ញុំ៖ តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីគណនាកត្តាកំណត់?

ឧទាហរណ៍ ៦

ពិនិត្យមើលថាតើវ៉ិចទ័រខាងក្រោមបង្កើតជាមូលដ្ឋាននៃលំហបីវិមាត្រ៖

ដំណោះស្រាយ៖ ជាការពិត ដំណោះស្រាយទាំងមូលមកលើការគណនាកត្តាកំណត់។

ក) ចូរយើងគណនាកត្តាកំណត់ដែលបង្កើតឡើងដោយកូអរដោណេវ៉ិចទ័រ (កត្តាកំណត់ត្រូវបានបង្ហាញក្នុងជួរទីមួយ)៖

ដែលមានន័យថា វ៉ិចទ័រមានភាពឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ (មិនមែន coplanar) និងបង្កើតជាមូលដ្ឋាននៃលំហបីវិមាត្រ។

ចម្លើយ៖ វ៉ិចទ័រទាំងនេះបង្កើតជាមូលដ្ឋាន

ខ) នេះគឺជាចំណុចសម្រាប់ការសម្រេចចិត្តឯករាជ្យ។ ដំណោះស្រាយពេញលេញ និងចម្លើយនៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន។

ក៏មានការងារច្នៃប្រឌិតផងដែរ៖

ឧទាហរណ៍ ៧

តើ​វ៉ិចទ័រ​នឹង​មាន​តម្លៃ​អ្វី​នៃ​ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ?

ដំណោះស្រាយ៖ វ៉ិចទ័រគឺជា coplanar ប្រសិនបើ និងលុះត្រាតែកត្តាកំណត់ដែលផ្សំឡើងដោយកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រទាំងនេះគឺស្មើនឹងសូន្យ៖

សំខាន់ អ្នកត្រូវដោះស្រាយសមីការជាមួយកត្តាកំណត់។ យើងចុះពីលើសូន្យដូចជាខ្លែងនៅលើ jerboas - វាជាការល្អបំផុតក្នុងការបើកកត្តាកំណត់នៅក្នុងជួរទីពីរ ហើយកម្ចាត់ minuses ភ្លាមៗ៖

យើងអនុវត្តភាពសាមញ្ញបន្ថែមទៀត និងកាត់បន្ថយបញ្ហាទៅជាសមីការលីនេអ៊ែរសាមញ្ញបំផុត៖

ចម្លើយ៖ នៅ

វាងាយស្រួលក្នុងការពិនិត្យនៅទីនេះ ដើម្បីធ្វើដូច្នេះ អ្នកត្រូវជំនួសតម្លៃលទ្ធផលទៅជាកត្តាកំណត់ដើម ហើយត្រូវប្រាកដថា បើកវាម្តងទៀត។

សរុបសេចក្តីមក យើងនឹងពិចារណាបញ្ហាធម្មតាមួយទៀត ដែលជាពិជគណិតនៅក្នុងធម្មជាតិ និងត្រូវបានរួមបញ្ចូលជាប្រពៃណីនៅក្នុងវគ្គសិក្សាពិជគណិតលីនេអ៊ែរ។ វាជារឿងធម្មតាដែលវាសមនឹងប្រធានបទផ្ទាល់ខ្លួនរបស់វា៖

បង្ហាញថាវ៉ិចទ័រ 3 បង្កើតបានជាមូលដ្ឋាននៃលំហបីវិមាត្រ
ហើយស្វែងរកកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រទី 4 នៅក្នុងមូលដ្ឋាននេះ។

ឧទាហរណ៍ ៨

វ៉ិចទ័រត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ បង្ហាញថាវ៉ិចទ័របង្កើតជាមូលដ្ឋានក្នុងលំហបីវិមាត្រ ហើយស្វែងរកកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រក្នុងមូលដ្ឋាននេះ។

ដំណោះស្រាយ៖ ជាដំបូង ចូរយើងដោះស្រាយលក្ខខណ្ឌ។ តាមលក្ខខណ្ឌ វ៉ិចទ័រចំនួនបួនត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ ហើយដូចដែលអ្នកអាចមើលឃើញ ពួកគេមានកូអរដោនេរួចហើយនៅក្នុងមូលដ្ឋានមួយចំនួន។ អ្វី​ដែល​ជា​មូលដ្ឋាន​នេះ​គឺ​មិន​មាន​ការ​ចាប់​អារម្មណ៍​សម្រាប់​យើង​។ ហើយរឿងខាងក្រោមគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍: វ៉ិចទ័របីអាចបង្កើតមូលដ្ឋានថ្មី។ ហើយដំណាក់កាលទី 1 ស្របគ្នាទាំងស្រុងជាមួយនឹងដំណោះស្រាយនៃឧទាហរណ៍ទី 6 វាចាំបាច់ត្រូវពិនិត្យមើលថាតើវ៉ិចទ័រមានភាពឯករាជ្យពិតប្រាកដឬអត់៖

ចូរយើងគណនាកត្តាកំណត់ដែលបង្កើតឡើងដោយកូអរដោណេវ៉ិចទ័រ៖

ដែលមានន័យថា វ៉ិចទ័រមានភាពឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ និងបង្កើតជាមូលដ្ឋាននៃលំហបីវិមាត្រ។

! សំខាន់ ៖ កូអរដោណេវ៉ិចទ័រ ចាំបាច់កត់ទុក ចូលទៅក្នុងជួរឈរកំណត់មិនមែននៅក្នុងខ្សែអក្សរទេ។ បើមិនដូច្នោះទេវានឹងមានការភ័ន្តច្រឡំនៅក្នុងក្បួនដោះស្រាយដំណោះស្រាយបន្ថែមទៀត។

៣.៣. ឯករាជ្យលីនេអ៊ែរនៃវ៉ិចទ័រ។ មូលដ្ឋាន។

លីនេអ៊ែរ ការរួមបញ្ចូលគ្នា ប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រ

ហៅថាវ៉ិចទ័រ

ដែល a 1, a 2, ..., a n - លេខបំពាន។

ប្រសិនបើទាំងអស់ a i = 0 បន្ទាប់មកបន្សំលីនេអ៊ែរត្រូវបានគេហៅថា តូចតាច . ក្នុងករណីនេះជាក់ស្តែង

និយមន័យ ៥.

ប្រសិនបើសម្រាប់ប្រព័ន្ធនៃវ៉ិចទ័រ មានការរួមបញ្ចូលលីនេអ៊ែរដែលមិនមែនជារឿងតូចតាច (យ៉ាងហោចណាស់មួយ។ អាយ¹ 0) ស្មើនឹងសូន្យវ៉ិចទ័រ៖ បន្ទាប់មកប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រត្រូវបានគេហៅថា លីនេអ៊ែរ ពឹងផ្អែក. ប្រសិនបើសមភាព (1) អាចធ្វើទៅបានតែក្នុងករណីទាំងអស់ប៉ុណ្ណោះ។ មួយ ខ្ញុំ =0បន្ទាប់មកប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រត្រូវបានគេហៅថា លីនេអ៊ែរ ឯករាជ្យ .

ទ្រឹស្តីបទ ២ (លក្ខខណ្ឌនៃការពឹងផ្អែកលីនេអ៊ែរ) ។

និយមន័យ ៦.

ពីទ្រឹស្តីបទ ៣ វាធ្វើតាមថា ប្រសិនបើមូលដ្ឋានមួយត្រូវបានផ្តល់ឱ្យក្នុងលំហ បន្ទាប់មកដោយការបន្ថែមវ៉ិចទ័របំពានទៅវា យើងទទួលបានប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រអាស្រ័យលីនេអ៊ែរ។ នៅ​ក្នុង​ការ​អនុលោម​តាមទ្រឹស្តីបទ ២ (១) មួយក្នុងចំណោមពួកគេ (វាអាចត្រូវបានបង្ហាញថាវ៉ិចទ័រ) អាចត្រូវបានតំណាងជាការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរនៃផ្សេងទៀត:

.

និយមន័យ ៧.

លេខ ត្រូវបានហៅ កូអរដោនេ វ៉ិចទ័រនៅក្នុងមូលដ្ឋាន (បញ្ជាក់

ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រត្រូវបានគេពិចារណានៅលើយន្តហោះ នោះមូលដ្ឋាននឹងជាវ៉ិចទ័រដែលមិនជាប់ជួរ

ហើយកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រក្នុងមូលដ្ឋាននេះគឺជាលេខគូ៖

ចំណាំ ៣. វាអាចត្រូវបានបង្ហាញថា សម្រាប់មូលដ្ឋានដែលបានផ្តល់ឱ្យ កូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រត្រូវបានកំណត់តែមួយគត់ . ពីនេះជាពិសេសវាធ្វើតាមនោះ។ ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រស្មើគ្នា នោះកូអរដោណេដែលត្រូវគ្នារបស់ពួកគេគឺស្មើគ្នា ហើយច្រាសមកវិញ .

ដូច្នេះប្រសិនបើមូលដ្ឋានត្រូវបានផ្តល់ឱ្យក្នុងលំហ នោះវ៉ិចទ័រនីមួយៗនៃលំហត្រូវគ្នានឹងលេខបីលំដាប់ (កូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រក្នុងមូលដ្ឋាននេះ) និងច្រាសមកវិញ៖ លេខបីនីមួយៗត្រូវគ្នានឹងវ៉ិចទ័រ។

នៅលើយន្តហោះ ការឆ្លើយឆ្លងស្រដៀងគ្នាត្រូវបានបង្កើតឡើងរវាងវ៉ិចទ័រ និងគូនៃលេខ។

ទ្រឹស្តីបទ ៤ (ប្រតិបត្តិការលីនេអ៊ែរតាមរយៈកូអរដោនេវ៉ិចទ័រ) ។

ប្រសិនបើនៅក្នុងមូលដ្ឋានមួយចំនួន និង ក គឺជាលេខដែលបំពាន បន្ទាប់មកនៅក្នុងមូលដ្ឋាននេះ។

ក្នុង​ន័យ​ផ្សេងទៀត:

នៅពេលដែលវ៉ិចទ័រត្រូវបានគុណនឹងលេខ កូអរដោនេរបស់វាត្រូវបានគុណនឹងលេខនោះ។ ;

នៅពេលបន្ថែមវ៉ិចទ័រ កូអរដោនេដែលត្រូវគ្នារបស់វាត្រូវបានបន្ថែម .

ឧទាហរណ៍ ១ . នៅក្នុងមូលដ្ឋានខ្លះវ៉ិចទ័រមានកូអរដោនេ

បង្ហាញថាវ៉ិចទ័របង្កើតជាមូលដ្ឋាន និងស្វែងរកកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រក្នុងមូលដ្ឋាននេះ។

វ៉ិចទ័របង្កើតជាមូលដ្ឋានមួយ ប្រសិនបើពួកវាមិនមែនជា coplanar ដូច្នេះ (ស្របតាមដោយទ្រឹស្តីបទ ៣(២) ) គឺឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ។

តាមនិយមន័យ ៥ នេះមានន័យថាសមភាព

អាចធ្វើទៅបានតែប្រសិនបើx = y = z = 0.

គំនិតវ៉ិចទ័រ

និយមន័យ ១.វ៉ិចទ័រហៅថាផ្នែកដែលដឹកនាំ (ឬអ្វីដែលដូចគ្នា ចំណុចដែលបានបញ្ជាទិញ)។

បានកំណត់៖ (ចំណុច A ជាការចាប់ផ្តើមនៃវ៉ិចទ័រ) ចំណុច B ជាចុងបញ្ចប់នៃវ៉ិចទ័រ) ឬដោយអក្សរមួយ - ។

និយមន័យ ២.ប្រវែងវ៉ិចទ័រ (ម៉ូឌុល)គឺជាចម្ងាយរវាងការចាប់ផ្តើម និងចុងបញ្ចប់នៃវ៉ិចទ័រ។ ប្រវែងវ៉ិចទ័រត្រូវបានតាងដោយ ឬ។

និយមន័យ ៣.សូន្យវ៉ិចទ័រវ៉ិចទ័រត្រូវបានគេហៅថាដែលការចាប់ផ្តើមនិងចុងបញ្ចប់ស្របគ្នា។ ចាត់តាំង៖

និយមន័យ ៤.ឯកតាវ៉ិចទ័រគឺជាវ៉ិចទ័រដែលប្រវែងស្មើនឹងមួយ។

វ៉ិចទ័រឯកតាដែលមានទិសដៅដូចគ្នានឹងវ៉ិចទ័រដែលបានផ្តល់ឱ្យត្រូវបានគេហៅថាវ៉ិចទ័រឯកតានៃវ៉ិចទ័រហើយត្រូវបានតាងដោយនិមិត្តសញ្ញា។

និយមន័យ ៥.វ៉ិចទ័រត្រូវបានគេហៅថា collinear,ប្រសិនបើពួកវាស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ត្រង់ដូចគ្នា ឬនៅលើបន្ទាត់ត្រង់ស្របគ្នា។ វ៉ិចទ័រ​ទទេ​ត្រូវ​បាន​ចាត់​ទុក​ថា​ជាប់​នឹង​វ៉ិចទ័រ​ណាមួយ។

និយមន័យ ៦.វ៉ិចទ័រត្រូវបានគេហៅថា ស្មើប្រសិនបើពួកវាជា collinear មានប្រវែងដូចគ្នា និងទិសដៅដូចគ្នា។

ប្រតិបត្តិការលីនេអ៊ែរលើវ៉ិចទ័រ

និយមន័យ ៧.ប្រតិបត្តិការលីនេអ៊ែរលើវ៉ិចទ័រត្រូវបានគេហៅថាការបន្ថែមវ៉ិចទ័រ និងការគុណវ៉ិចទ័រដោយលេខ។

និយមន័យ ៨.ផលបូកនៃវ៉ិចទ័រពីរគឺ​ជា​វ៉ិចទ័រ​ដែល​ទៅ​ពី​ដើម​វ៉ិចទ័រ​ទៅ​ចុង​វ៉ិចទ័រ ដោយ​ផ្តល់​ថា​វ៉ិចទ័រ​ត្រូវ​បាន​ភ្ជាប់​ទៅ​ខាង​ចុង​វ៉ិចទ័រ (ច្បាប់​ត្រីកោណ)។ ក្នុងករណីវ៉ិចទ័រដែលមិនមែនជាសញ្ញារួម ជំនួសឱ្យច្បាប់ត្រីកោណ គេអាចប្រើក្បួនប្រលេឡូក្រាមបាន៖ ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រត្រូវបានកំណត់ឡែកពីប្រភពដើមធម្មតា ហើយប្រលេឡូក្រាមត្រូវបានបង្កើតឡើងនៅលើពួកវា នោះផលបូកគឺជាវ៉ិចទ័រដែលស្របគ្នា។ ជាមួយនឹងអង្កត់ទ្រូងនៃប្រលេឡូក្រាមនេះមកពីប្រភពដើមទូទៅ។

និយមន័យ ៩.ភាពខុសគ្នានៃវ៉ិចទ័រពីរត្រូវបានគេហៅថាវ៉ិចទ័រ ដែលនៅពេលបន្ថែមទៅវ៉ិចទ័រ បង្កើតជាវ៉ិចទ័រ។ ប្រសិនបើ​វ៉ិចទ័រ​ពីរ​ត្រូវ​បាន​កំណត់​ដោយឡែក​ពី​ប្រភព​ទូទៅ នោះ​ភាព​ខុស​គ្នា​របស់​វា​គឺ​ជា​វ៉ិចទ័រ​ដែល​បន្ត​ពី​ចុង​វ៉ិចទ័រ ("ដក") ទៅ​ចុង​វ៉ិចទ័រ ("កាត់បន្ថយ")។

និយមន័យ ១០.វ៉ិចទ័រ collinear ពីរដែលមានប្រវែងស្មើគ្នាដឹកនាំក្នុងទិសដៅផ្ទុយត្រូវបានគេហៅថា ទល់មុខ។វ៉ិចទ័រទល់នឹងវ៉ិចទ័រត្រូវបានតំណាង។

ផលិតផលនៃវ៉ិចទ័រ និងលេខមួយត្រូវបានតាងដោយ α ។

លក្ខណៈសម្បត្តិមួយចំនួននៃប្រតិបត្តិការលីនេអ៊ែរ

7) ;

ទ្រឹស្តីបទ ១.(អំពីវ៉ិចទ័រ collinear) ។ប្រសិន​បើ​អ្នក​ជា​វ៉ិចទ័រ​ជាប់​គ្នា​ពីរ ហើយ​វ៉ិចទ័រ​គឺ​មិន​សូន្យ នោះ​មាន​លេខ​តែ​មួយ​គត់ x នោះ​គឺ = x

ជាពិសេស វ៉ិចទ័រមិនសូន្យ ហើយវាត្រូវបានភ្ជាប់ដោយសមភាព៖ =·។

លក្ខណៈសម្បត្តិដែលបានបង្កើតនៃប្រតិបត្តិការលីនេអ៊ែរធ្វើឱ្យវាអាចបំប្លែងកន្សោមដែលផ្សំពីវ៉ិចទ័រដោយយោងទៅតាមច្បាប់ធម្មតានៃពិជគណិតៈ អ្នកអាចបើកតង្កៀប នាំយកពាក្យស្រដៀងគ្នា ផ្ទេរពាក្យមួយចំនួនទៅផ្នែកផ្សេងទៀតនៃសមភាពដែលមានសញ្ញាផ្ទុយ។ល។

ឧទាហរណ៍ ១.

បញ្ជាក់ភាពស្មើគ្នា៖

ហើយស្វែងយល់ថាតើអត្ថន័យធរណីមាត្ររបស់ពួកគេគឺជាអ្វី។

ដំណោះស្រាយ។ក) នៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមភាព បើកតង្កៀប បន្ថែមពាក្យស្រដៀងគ្នា និងទទួលបានវ៉ិចទ័រនៅជ្រុងខាងស្តាំ។ ចូរយើងពន្យល់អំពីសមភាពនេះតាមធរណីមាត្រ។ អនុញ្ញាតឱ្យវ៉ិចទ័រពីរត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ ដាក់វាឡែកពីប្រភពដើមទូទៅ ហើយមើលប៉ារ៉ាឡែល និងអង្កត់ទ្រូងរបស់វា យើងទទួលបាន៖

§2 ការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរនៃវ៉ិចទ័រ

មូលដ្ឋានវ៉ិចទ័រនៅលើយន្តហោះ និងក្នុងលំហ។

និយមន័យ ១.ការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរនៃវ៉ិចទ័រ,ត្រូវបានគេហៅថាផលបូកនៃផលិតផលនៃវ៉ិចទ័រទាំងនេះដោយលេខមួយចំនួន,: ++ ។

និយមន័យ ២.មូលដ្ឋានវ៉ិចទ័រនៅក្នុងយន្តហោះដែលបានផ្តល់ឱ្យគូណាមួយនៃវ៉ិចទ័រមិនជាប់គ្នានៅក្នុងយន្តហោះនេះត្រូវបានគេហៅថា។

វ៉ិចទ័រត្រូវបានគេហៅថាវ៉ិចទ័រមូលដ្ឋានទីមួយវ៉ិចទ័រទីពីរ។

ទ្រឹស្តីបទខាងក្រោមគឺពិត។

ទ្រឹស្តីបទ ១.ប្រសិនបើមូលដ្ឋាន ,– មូលដ្ឋានវ៉ិចទ័រនៅក្នុងយន្តហោះមួយ បន្ទាប់មកវ៉ិចទ័រណាមួយនៃយន្តហោះនេះអាចត្រូវបានតំណាង ហើយនៅក្នុងវិធីតែមួយគត់ក្នុងទម្រង់នៃការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរនៃវ៉ិចទ័រមូលដ្ឋាន: = x + y ។ (*)

និយមន័យ ៣.សមភាព (*) ត្រូវបានគេហៅថា និងលេខ x និង y - កូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រនៅក្នុងមូលដ្ឋាន,(ឬ ទាក់ទងទៅនឹងមូលដ្ឋាន,). ប្រសិនបើវាច្បាស់ជាមុនថាតើយើងកំពុងនិយាយអំពីមូលដ្ឋានអ្វីនោះ ចូរសរសេរដោយសង្ខេប៖ = (x,y)។ ពីនិយមន័យនៃកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រដែលទាក់ទងទៅនឹងមូលដ្ឋានវាដូចខាងក្រោមថាវ៉ិចទ័រស្មើគ្នាមានកូអរដោនេស្មើគ្នារៀងៗខ្លួន។

វ៉ិចទ័រពីរឬច្រើននៅក្នុងលំហត្រូវបានគេហៅថា coplanar,ប្រសិនបើពួកវាស្របទៅនឹងយន្តហោះដូចគ្នា ឬស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះនេះ។

និយមន័យ ៤.មូលដ្ឋានវ៉ិចទ័រនៅក្នុងលំហ វ៉ិចទ័រទាំងបីត្រូវបានគេហៅថា , ,.

វ៉ិចទ័រត្រូវបានគេហៅថាវ៉ិចទ័រមូលដ្ឋានទីមួយ ទីពីរ និងទីបី។

មតិយោបល់។ ១. វ៉ិចទ័របី = (), = () និង = () បង្កើតជាមូលដ្ឋាននៃលំហ ប្រសិនបើកត្តាកំណត់ដែលផ្សំឡើងដោយកូអរដោណេរបស់វាមិនសូន្យ៖

.

2. គោលការណ៍ជាមូលដ្ឋាននៃទ្រឹស្តីនៃកត្តាកំណត់ និងវិធីសាស្រ្តសម្រាប់ការគណនាពួកវាត្រូវបានពិភាក្សានៅក្នុងម៉ូឌុលទី 1 “ពិជគណិតលីនេអ៊ែរ”។

ទ្រឹស្តីបទ ២.អនុញ្ញាតឱ្យ , គឺជាមូលដ្ឋានវ៉ិចទ័រនៅក្នុងលំហ។ បន្ទាប់មកវ៉ិចទ័រណាមួយនៅក្នុងលំហអាចត្រូវបានតំណាង ហើយតាមរបៀបតែមួយគត់ដែលជាការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរនៃវ៉ិចទ័រមូលដ្ឋាន , និង៖

X+y+z។ (**)

និយមន័យ ៥.សមភាព (**) ហៅថា ការពង្រីកវ៉ិចទ័រយោងទៅតាមមូលដ្ឋាន, និងលេខ x, y, z គឺជាកូអរដោណេ (សមាសធាតុ) នៃវ៉ិចទ័រក្នុងមូលដ្ឋាន , ,.

ប្រសិនបើវាច្បាស់ជាមុនថាតើយើងកំពុងនិយាយអំពីមូលដ្ឋានអ្វីនោះ ចូរសរសេរដោយសង្ខេប៖ = (x,y,z)។

និយមន័យ ៦.មូលដ្ឋាន , ហៅ ធម្មតា,ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រ , កាត់កែងជាគូ និងមានប្រវែងឯកតា។ ក្នុងករណីនេះសញ្ញាណ ,, ត្រូវបានអនុម័ត។

សកម្មភាពលើវ៉ិចទ័រដែលបានបញ្ជាក់ដោយកូអរដោនេរបស់វា។

ទ្រឹស្តីបទ ៣.សូម​ជ្រើសរើស​មូលដ្ឋាន​វ៉ិចទ័រ​នៅលើ​យន្តហោះ , ហើយទាក់ទងទៅនឹងវា វ៉ិចទ័រត្រូវបានផ្តល់ដោយកូអរដោនេរបស់វា៖ = (), = () ។

បន្ទាប់មក =(),=( ), i.e. នៅពេលបន្ថែមឬដកវ៉ិចទ័រ កូអរដោនេរបស់ពួកគេនៃឈ្មោះដូចគ្នាត្រូវបានបន្ថែមឬដក;= (·;), i.e. នៅពេលដែលវ៉ិចទ័រត្រូវបានគុណនឹងលេខ កូអរដោនេរបស់វាត្រូវបានគុណនឹងលេខនោះ។

លក្ខខណ្ឌសម្រាប់ភាពជាប់គ្នានៃវ៉ិចទ័រពីរ

ទ្រឹស្តីបទ ៤.វ៉ិចទ័រ​គឺ​ជាប់​នឹង​វ៉ិចទ័រ​មិន​សូន្យ​ប្រសិន​បើ​កូអរដោណេ​វ៉ិចទ័រ​សមាមាត្រ​នឹង​កូអរដោណេ​ដែល​ត្រូវ​គ្នា​នៃ​វ៉ិចទ័រ ឧ។

ប្រតិបត្តិការលីនេអ៊ែរលើវ៉ិចទ័រដែលបានបញ្ជាក់ដោយកូអរដោនេរបស់វាក្នុងលំហ ត្រូវបានអនុវត្តតាមរបៀបស្រដៀងគ្នា។

ឧទាហរណ៍ ១.សូមឲ្យវ៉ិចទ័រ = (1;2;-1),= (3;2;1), = (1;0;1) ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យក្នុងមូលដ្ឋានវ៉ិចទ័រមួយចំនួន , ,. ស្វែងរកកូអរដោនេនៃបន្សំលីនេអ៊ែរ 2+3-4 ។

ដំណោះស្រាយ។ចូរយើងណែនាំសញ្ញាណសម្រាប់បន្សំលីនេអ៊ែរ = 2+3+(-4) ។

មេគុណបន្សំលីនេអ៊ែរ =2,=3,=-4 ។ ចូរសរសេរសមភាពវ៉ិចទ័រនេះក្នុងទម្រង់កូអរដោណេ = (x,y,z)=៖

2

វាច្បាស់ណាស់ថាកូអរដោនេនីមួយៗនៃបន្សំលីនេអ៊ែរនៃវ៉ិចទ័រគឺស្មើនឹងការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរដូចគ្នានៃកូអរដោនេនៃឈ្មោះដូចគ្នា i.e.

x = 2·1+3·3+(-4)·1=7,

y = 2·2+3·2+(-4)·0=10,

z= 2·(-1)+3·1+(-4)·0=-3។

សំរបសំរួលវ៉ិចទ័រនៅក្នុងមូលដ្ឋាន , , នឹងមានៈ

ចម្លើយ៖= {7,10,-3}.

ប្រព័ន្ធសំរបសំរួល Cartesian ទូទៅ (affine)

និយមន័យ ៧.សូមឱ្យ O ជាចំណុចថេរមួយចំនួនដែលយើងនឹងហៅ ការចាប់ផ្តើម។

ប្រសិនបើ M ជាចំណុចបំពាន នោះវ៉ិចទ័រត្រូវបានគេហៅថា វ៉ិចទ័រកាំចំណុច M ទាក់ទងនឹងការចាប់ផ្តើម និយាយឱ្យខ្លី វ៉ិចទ័រកាំនៃចំណុច M ។

កូអរដោណេ Cartesian (affine) នៅលើបន្ទាត់មួយ។

សូមឱ្យបន្ទាត់ត្រង់ខ្លះត្រូវបានផ្តល់ឱ្យក្នុងលំហ លីត្រ. ចូរយើងជ្រើសរើសប្រភពដើម O ដើម្បីកុហកនៅលើបន្ទាត់នេះ។ លើសពីនេះទៀតយើងជ្រើសរើសនៅលើបន្ទាត់ត្រង់ លីត្រ វ៉ិចទ័រមិនសូន្យ ដែលយើងនឹងហៅជាមូលដ្ឋាន។

និយមន័យ ៨.ឲ្យ​ចំណុច M ដេក​លើ​បន្ទាត់។ ដោយសារវ៉ិចទ័រមានបន្ទាត់ជាប់ ដូច្នេះ = x ដែល x ជាចំនួនជាក់លាក់។ តោះហៅលេខនេះ។ សំរបសំរួលចំណុច M នៅលើបន្ទាត់ត្រង់។

ប្រភពដើមនៃ O មានកូអរដោណេវិជ្ជមាន ឬអវិជ្ជមាន អាស្រ័យលើថាតើទិសដៅនៃវ៉ិចទ័រស្របគ្នា ឬផ្ទុយគ្នា។ បន្ទាត់​ត្រង់​ដែល​កូអរដោនេ​នឹង​ត្រូវ​ហៅ​ថា​អ័ក្ស​កូអរដោណេ ឬ​អ័ក្ស OX ។

ការណែនាំនៃកូអរដោណេនៅលើបន្ទាត់មួយត្រូវគ្នាទៅនឹងលេខតែមួយ x ហើយផ្ទុយទៅវិញមានចំណុច M តែមួយដែលលេខនេះគឺជាកូអរដោណេ។

កូអរដោណេ Cartesian (affine) នៅលើយន្តហោះ។

អនុញ្ញាតឱ្យយើងជ្រើសរើសវ៉ិចទ័រមិនជាប់ជួរពីរ ហើយនៅលើយន្តហោះ O បង្កើតជាមូលដ្ឋានជាក់លាក់មួយ។ ជាក់ស្តែងប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រអាចខុសគ្នា។

និយមន័យ ៩.សំណុំនៃ (0;;) ចំណុច O និងមូលដ្ឋានវ៉ិចទ័រ , ហៅ ប្រព័ន្ធ Cartesian (affine)លើផ្ទៃ។

បន្ទាត់ពីរឆ្លងកាត់ O និងស្របទៅនឹងវ៉ិចទ័ររៀងគ្នា។ , ត្រូវបានគេហៅថាអ័ក្សកូអរដោនេ។ ទីមួយនៃពួកវាត្រូវបានគេហៅថាអ័ក្ស abscissa ហើយត្រូវបានកំណត់ថា Ox ទីពីរគឺជាអ័ក្ស ordinate និងត្រូវបានកំណត់ Oy ។

យើងតែងតែពណ៌នាពួកគេថាកំពុងដេកនៅលើអ័ក្សកូអរដោនេដែលត្រូវគ្នា។

និយមន័យ ១០.កូអរដោនេចំណុច M នៅលើយន្តហោះដែលទាក់ទងទៅនឹងប្រព័ន្ធកូអរដោនេ Cartesian (affine) (0;;) ត្រូវបានគេហៅថាកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រកាំរបស់វាតាមមូលដ្ឋាន៖

X+y បន្ទាប់មកលេខ x និង y នឹងជាកូអរដោណេរបស់ M ដែលទាក់ទងទៅនឹងប្រព័ន្ធកូអរដោនេ Cartesian (affine) (0;;)។ កូអរដោនេ x ត្រូវបានគេហៅថា abscissaចំណុច M, សំរបសំរួល y- ចាត់តាំងពិន្ទុ M.

ដូច្នេះប្រសិនបើប្រព័ន្ធកូអរដោណេត្រូវបានជ្រើសរើស (0;;) នៅលើយន្តហោះ នោះចំនុច M នីមួយៗនៃយន្តហោះត្រូវគ្នានឹងចំណុចតែមួយ M នៅលើយន្តហោះ៖ ចំនុចនេះគឺជាចុងបញ្ចប់នៃវ៉ិចទ័រ

ការដាក់ឱ្យប្រើប្រាស់ប្រព័ន្ធកូអរដោណេផ្អែកលើវិធីសាស្ត្រនៃធរណីមាត្រវិភាគ ខ្លឹមសារសំខាន់គឺដើម្បីអាចកាត់បន្ថយបញ្ហាធរណីមាត្រណាមួយចំពោះបញ្ហានព្វន្ធ ឬពិជគណិត។

និយមន័យ ១១.កូអរដោណេវ៉ិចទ័រនៅលើយន្តហោះដែលទាក់ទងទៅនឹងប្រព័ន្ធកូអរដោនេ Cartesian (0;;) កូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រនេះនៅក្នុងមូលដ្ឋានត្រូវបានគេហៅថា។

ដើម្បីស្វែងរកកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រ អ្នកត្រូវពង្រីកវាតាមមូលដ្ឋាន៖

X+y ដែលមេគុណ x,y និងជាកូអរដោណេនៃវ៉ិចទ័រដែលទាក់ទងទៅនឹងប្រព័ន្ធ Cartesian (0;;)។

ប្រព័ន្ធសំរបសំរួល Cartesian (affine) នៅក្នុងលំហ។

សូមឱ្យចំណុចជាក់លាក់មួយ O (ការចាប់ផ្តើម) ត្រូវបានជួសជុលក្នុងលំហ ហើយមូលដ្ឋានវ៉ិចទ័រត្រូវបានជ្រើសរើស

និយមន័យ ១២.ការប្រមូល (0;;;) ត្រូវបានគេហៅថា ប្រព័ន្ធសំរបសំរួល Cartesianនៅក្នុងលំហ។

និយមន័យ ១៣.បន្ទាត់បីឆ្លងកាត់ O និងស្របទៅនឹងវ៉ិចទ័ររៀងគ្នា។ , , ហៅ សំរបសំរួលអ័ក្សហើយបញ្ជាក់តាមលំដាប់ Oz, Oy, Oz។ យើងតែងតែពណ៌នាវ៉ិចទ័រ , ដេកលើអ័ក្សដែលត្រូវគ្នា។

និយមន័យ ១៤.កូអរដោនេចំណុច M ក្នុងលំហដែលទាក់ទងទៅនឹងប្រព័ន្ធកូអរដោនេ Cartesian (0;;;) ត្រូវបានគេហៅថាកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រកាំរបស់វានៅក្នុងប្រព័ន្ធនេះ។

នៅក្នុងពាក្យផ្សេងទៀតកូអរដោនេនៃចំណុច M គឺជាលេខបី x, y, z រៀងគ្នា abscissa និង ordinate នៃចំណុច M; កូអរដោនេទីបី z ត្រូវបានគេហៅថាកម្មវិធីនៃចំណុច M ។

ការណែនាំនៃប្រព័ន្ធសំរបសំរួល Cartesian នៅក្នុងលំហអនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្កើតការឆ្លើយឆ្លងមួយទល់មួយរវាងចំនុច M នៃលំហ និងលំដាប់បីនៃលេខ x, y, z ។

និយមន័យ ១៥.កូអរដោណេវ៉ិចទ័រនៅក្នុងលំហដែលទាក់ទងទៅនឹងប្រព័ន្ធកូអរដោណេ Cartesian (0;;;) កូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រនេះនៅក្នុងមូលដ្ឋាន; ត្រូវបានហៅ។

ឧទាហរណ៍ ២.

បាន​ផ្តល់​ឱ្យ​បី​បញ្ឈរ​ជាប់​គ្នា​នៃ​ប៉ារ៉ាឡែល A(-2;1), B(1;3), C(4;0) ។ ស្វែងរកកូអរដោនេទីបួនរបស់វា D. ប្រព័ន្ធកូអរដោនេគឺ affine ។

ដំណោះស្រាយ។

វ៉ិចទ័រគឺស្មើគ្នា ដែលមានន័យថាកូអរដោនេរបស់វាស្មើគ្នា (មេគុណនៃការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរ)៖

=(3;2), =(4-x;-y); . ដូច្នេះ D(1;-2) ។

ចម្លើយ៖ឃ(១;-២)។

ការពឹងផ្អែកលីនេអ៊ែរ។ គោលគំនិតនៃមូលដ្ឋាន

និយមន័យ ១៦.វ៉ិចទ័រត្រូវបានគេហៅថា អាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ,ប្រសិនបើមានលេខ,

និយមន័យនៃការពឹងផ្អែកលីនេអ៊ែរនៃវ៉ិចទ័រគឺស្មើនឹងនេះ៖ វ៉ិចទ័រពឹងផ្អែកលើលីនេអ៊ែរ ប្រសិនបើមួយក្នុងចំណោមពួកវាអាចត្រូវបានតំណាងថាជាការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរនៃផ្សេងទៀត (ឬពង្រីកលើផ្សេងទៀត)។

វ៉ិចទ័រត្រូវបានគេហៅថាអាស្រ័យលីនេអ៊ែរប្រសិនបើសមភាព (***) អាចធ្វើទៅបានក្នុងករណីតែមួយគត់នៅពេលដែល

គោលគំនិតនៃការពឹងផ្អែកលីនេអ៊ែរដើរតួនាទីយ៉ាងធំនៅក្នុងពិជគណិតលីនេអ៊ែរ។ នៅក្នុងពិជគណិតវ៉ិចទ័រ ការពឹងផ្អែកលីនេអ៊ែរមានអត្ថន័យធរណីមាត្រសាមញ្ញ។

វ៉ិចទ័រដែលមិនមែនជាកូលីនេអ៊ែរទាំងពីរគឺអាស្រ័យលីនេអ៊ែរ ហើយផ្ទុយទៅវិញ វ៉ិចទ័រមិនជាប់ជួរទាំងពីរគឺឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ។

វ៉ិចទ័រ coplanar បីគឺអាស្រ័យលីនេអ៊ែរ ហើយផ្ទុយមកវិញ វ៉ិចទ័រមិនមែន coplanar បីគឺឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ។

រាល់វ៉ិចទ័រទាំងបួនគឺអាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ។

និយមន័យ ១៧.វ៉ិចទ័រឯករាជ្យចំនួនបីត្រូវបានគេហៅថា មូលដ្ឋាននៃលំហ,ទាំងនោះ។ វ៉ិចទ័រណាមួយអាចត្រូវបានតំណាងថាជាមួយចំនួន។

និយមន័យ ១៨.វ៉ិចទ័រឯករាជ្យពីរដែលដេកក្នុងយន្តហោះត្រូវបានគេហៅថា មូលដ្ឋាននៃយន្តហោះ,ទាំងនោះ។ វ៉ិចទ័រណាមួយដែលដេកនៅក្នុងយន្តហោះនេះអាចត្រូវបានតំណាងថាជាការរួមបញ្ចូលគ្នានៃវ៉ិចទ័រលីនេអ៊ែរ។

ភារកិច្ចសម្រាប់ដំណោះស្រាយឯករាជ្យ។

វ៉ិចទ័រស្វែងរកកូអរដោនេនៅក្នុងមូលដ្ឋាននេះ។

នៅក្នុងអត្ថបទនេះយើងនឹងគ្របដណ្តប់:

• តើអ្វីជាវ៉ិចទ័រ collinear;
• តើអ្វីជាលក្ខខណ្ឌសម្រាប់ភាពជាប់គ្នានៃវ៉ិចទ័រ;
• តើមានលក្ខណៈសម្បត្តិអ្វីខ្លះនៃវ៉ិចទ័រ collinear;
• តើអ្វីជាការពឹងផ្អែកលីនេអ៊ែរនៃវ៉ិចទ័រ collinear ។

និយមន័យ ១

វ៉ិចទ័រ Collinear គឺជាវ៉ិចទ័រដែលស្របនឹងបន្ទាត់មួយ ឬស្ថិតនៅលើបន្ទាត់មួយ។

ឧទាហរណ៍ ១

លក្ខខណ្ឌសម្រាប់ភាពជាប់គ្នានៃវ៉ិចទ័រ

វ៉ិចទ័រពីរគឺជាប់គ្នា ប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌខាងក្រោមណាមួយជាការពិត៖

• លក្ខខណ្ឌ ១ . វ៉ិចទ័រ a និង b គឺជាប់គ្នាប្រសិនបើមានលេខ λ នោះ a = λ b;
• លក្ខខណ្ឌ ២ . វ៉ិចទ័រ a និង b គឺជាប់គ្នាជាមួយសមាមាត្រកូអរដោនេស្មើគ្នា៖

a = (a 1; a 2), b = (b 1 ; b 2) ⇒ a ∥ b ⇔ a 1 b 1 = a 2 b 2

• លក្ខខណ្ឌ ៣ . វ៉ិចទ័រ a និង b គឺជាប់គ្នាដែលផ្តល់ថាផលិតផលឆ្លងកាត់ និងវ៉ិចទ័រសូន្យគឺស្មើគ្នា៖

a ∥ b ⇔ a, b = 0

ចំណាំ ១

លក្ខខណ្ឌ ២ មិនអាចអនុវត្តបានទេ ប្រសិនបើកូអរដោណេវ៉ិចទ័រមួយគឺសូន្យ។

ចំណាំ ២

លក្ខខណ្ឌ ៣ អនុវត្តតែចំពោះវ៉ិចទ័រទាំងនោះដែលត្រូវបានបញ្ជាក់ក្នុងលំហ។

ឧទាហរណ៍នៃបញ្ហាដើម្បីសិក្សាពីភាពជាប់គ្នានៃវ៉ិចទ័រ

ឧទាហរណ៍ ១

យើងពិនិត្យមើលវ៉ិចទ័រ a = (1; 3) និង b = (2; 1) សម្រាប់ភាពជាប់គ្នា។

តើត្រូវដោះស្រាយយ៉ាងដូចម្តេច?

ក្នុងករណីនេះ ចាំបាច់ត្រូវប្រើលក្ខខណ្ឌ 2nd collinearity ។ សម្រាប់វ៉ិចទ័រដែលបានផ្តល់ឱ្យវាមើលទៅដូចនេះ:

សមភាពគឺមិនពិត។ ពីនេះយើងអាចសន្និដ្ឋានថាវ៉ិចទ័រ a និង b គឺមិនមែនជាបន្ទាត់ជាប់គ្នា។

ចម្លើយ ៖ ក | | ខ

ឧទាហរណ៍ ២

តើតម្លៃណាដែល m នៃវ៉ិចទ័រ a = (1; 2) និង b = (-1; m) ចាំបាច់សម្រាប់វ៉ិចទ័រជាគូ?

តើត្រូវដោះស្រាយយ៉ាងដូចម្តេច?

ដោយ​ប្រើ​លក្ខខណ្ឌ​រួម​ទីពីរ វ៉ិចទ័រ​នឹង​ត្រូវ​ជាប់​គ្នា ប្រសិនបើ​កូអរដោណេ​របស់​វា​សមាមាត្រ៖

នេះបង្ហាញថា m = −2 ។

ចម្លើយ៖ m = − ២ .

លក្ខណៈវិនិច្ឆ័យសម្រាប់ការពឹងផ្អែកលីនេអ៊ែរ និងឯករាជ្យលីនេអ៊ែរនៃប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រ

ទ្រឹស្តីបទ

ប្រព័ន្ធនៃវ៉ិចទ័រក្នុងចន្លោះវ៉ិចទ័រគឺពឹងផ្អែកជាលីនេអ៊ែរលុះត្រាតែវ៉ិចទ័រមួយក្នុងចំណោមវ៉ិចទ័រនៃប្រព័ន្ធនេះអាចត្រូវបានបញ្ជាក់នៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃវ៉ិចទ័រដែលនៅសល់នៃប្រព័ន្ធនេះ។

ភស្តុតាង

អនុញ្ញាតឱ្យប្រព័ន្ធ e 1 , e 2 , ។ . . , e n គឺអាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងសរសេរការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរនៃប្រព័ន្ធនេះស្មើនឹងសូន្យវ៉ិចទ័រ:

a 1 e 1 + a 2 e 2 + ។ . . + a n e n = 0

ដែលយ៉ាងហោចណាស់មេគុណបន្សំមួយមិនស្មើនឹងសូន្យ។

អនុញ្ញាតឱ្យ k ≠ 0 k ∈ 1 , 2 , ។ . . , ន.

យើងបែងចែកភាគីទាំងពីរនៃសមភាពដោយមេគុណមិនសូន្យ៖

a k − 1 (a k − 1 a 1) e 1 + (a k − 1 a k) e k + . . . + (a k − 1 a n) e n = 0

ចូរយើងសម្គាល់៖

A k - 1 a m ដែល m ∈ 1 , 2 , ។ . . , k - 1 , k + 1 , ន

ក្នុងករណី​នេះ:

β 1 អ៊ី 1 + ។ . . + β k − 1 e k − 1 + β k + 1 e k + 1 + . . . + β n e n = 0

ឬ e k = (- β 1) e 1 + ។ . . + (- β k − 1) e k − 1 + (- β k + 1) e k + 1 + . . . + (- β n) e n

វាដូចខាងក្រោមថាវ៉ិចទ័រមួយក្នុងចំណោមវ៉ិចទ័រនៃប្រព័ន្ធត្រូវបានបង្ហាញតាមរយៈវ៉ិចទ័រផ្សេងទៀតទាំងអស់នៃប្រព័ន្ធ។ ដែល​ជា​អ្វី​ដែល​ត្រូវ​បញ្ជាក់ (ល.)។

ភាពគ្រប់គ្រាន់

អនុញ្ញាតឱ្យវ៉ិចទ័រមួយក្នុងចំណោមវ៉ិចទ័រត្រូវបានបង្ហាញជាលីនេអ៊ែរតាមរយៈវ៉ិចទ័រផ្សេងទៀតទាំងអស់នៃប្រព័ន្ធ៖

e k = γ 1 e 1 + ។ . . + γ k − 1 e k − 1 + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

យើងផ្លាស់ទីវ៉ិចទ័រ e k ទៅផ្នែកខាងស្តាំនៃសមភាពនេះ៖

0 = γ 1 អ៊ី 1 + ។ . . + γ k - 1 e k - 1 - e k + γ k + 1 e k + 1 + ។ . . + γ n e n

ដោយសារមេគុណនៃវ៉ិចទ័រ e k គឺស្មើនឹង - 1 ≠ 0 យើងទទួលបានតំណាងមិនសំខាន់នៃសូន្យដោយប្រព័ន្ធនៃវ៉ិចទ័រ e 1, e 2, ។ . . , e n, ហើយនេះ, នៅក្នុងវេន, មានន័យថាប្រព័ន្ធនៃវ៉ិចទ័រនេះគឺអាស្រ័យលីនេអ៊ែរ។ ដែល​ជា​អ្វី​ដែល​ត្រូវ​បញ្ជាក់ (ល.)។

លទ្ធផល៖

• ប្រព័ន្ធនៃវ៉ិចទ័រមានភាពឯករាជ្យជាលីនេអ៊ែរ នៅពេលដែលគ្មានវ៉ិចទ័ររបស់វាអាចត្រូវបានបង្ហាញក្នុងន័យនៃវ៉ិចទ័រផ្សេងទៀតទាំងអស់នៃប្រព័ន្ធ។
• ប្រព័ន្ធនៃវ៉ិចទ័រដែលមានវ៉ិចទ័រសូន្យ ឬវ៉ិចទ័រស្មើគ្នាពីរគឺអាស្រ័យលីនេអ៊ែរ។

លក្ខណៈសម្បត្តិនៃវ៉ិចទ័រអាស្រ័យលីនេអ៊ែរ

1. សម្រាប់វ៉ិចទ័រ 2 និង 3 វិមាត្រ លក្ខខណ្ឌខាងក្រោមត្រូវបានបំពេញ៖ វ៉ិចទ័រអាស្រ័យលីនេអ៊ែរពីរគឺជាប់គ្នា។ វ៉ិចទ័រ collinear ពីរគឺអាស្រ័យលីនេអ៊ែរ។
2. សម្រាប់វ៉ិចទ័រ 3 វិមាត្រ លក្ខខណ្ឌខាងក្រោមត្រូវបានពេញចិត្ត៖ វ៉ិចទ័រដែលពឹងផ្អែកលីនេអ៊ែរចំនួនបីគឺ coplanar ។ (វ៉ិចទ័រ coplanar 3 គឺអាស្រ័យលីនេអ៊ែរ) ។
3. សម្រាប់វ៉ិចទ័រ n-dimensional លក្ខខណ្ឌខាងក្រោមគឺពេញចិត្ត៖ វ៉ិចទ័រ n + 1 តែងតែពឹងផ្អែកលើលីនេអ៊ែរ។

ឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយបញ្ហាពាក់ព័ន្ធនឹងការពឹងផ្អែកលីនេអ៊ែរ ឬឯករាជ្យលីនេអ៊ែរនៃវ៉ិចទ័រ

ឧទាហរណ៍ ៣

សូមពិនិត្យមើលវ៉ិចទ័រ a = 3, 4, 5, b = − 3, 0, 5, c = 4, 4, 4, d = 3, 4, 0 សម្រាប់ឯករាជភាពលីនេអ៊ែរ។

ដំណោះស្រាយ។ វ៉ិចទ័រគឺអាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ ដោយសារវិមាត្រនៃវ៉ិចទ័រមានតិចជាងចំនួនវ៉ិចទ័រ។

ឧទាហរណ៍ 4

ចូរយើងពិនិត្យមើលវ៉ិចទ័រ a = 1, 1, 1, b = 1, 2, 0, c = 0, − 1, 1 សម្រាប់ឯករាជភាពលីនេអ៊ែរ។

ដំណោះស្រាយ។ យើងរកឃើញតម្លៃនៃមេគុណដែលការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរនឹងស្មើនឹងវ៉ិចទ័រសូន្យ៖

x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0

យើងសរសេរសមីការវ៉ិចទ័រក្នុងទម្រង់លីនេអ៊ែរ៖

x 1 + x 2 = 0 x 1 + 2 x 2 − x 3 = 0 x 1 + x 3 = 0

យើងដោះស្រាយប្រព័ន្ធនេះដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Gauss៖

1 1 0 | 0 1 2 - 1 | 0 1 0 1 | 0 ~

ពីជួរទី 2 យើងដកលេខ 1 ពីទី 3 - ទី 1៖

~ 1 1 0 | 0 1 - 1 2 - 1 - 1 - 0 | 0 - 0 1 - 1 0 - 1 1 - 0 | 0 - 0 ~ 1 1 0 | 0 0 1 - 1 | 0 0 - 1 1 | 0 ~

ពីជួរទី 1 យើងដកលេខ 2 ទៅទី 3 យើងបន្ថែមលេខ 2៖

~ 1 - 0 1 - 1 0 - (- 1) | 0 - 0 0 1 - 1 | 0 0 + 0 - 1 + 1 1 + (- 1) | 0 + 0 ~ 0 1 0 | 1 0 1 - 1 | 0 0 0 0 | 0

ពីដំណោះស្រាយវាដូចខាងក្រោមថាប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយជាច្រើន។ នេះមានន័យថាមានបន្សំមិនមែនសូន្យនៃតម្លៃនៃលេខបែបនេះ x 1, x 2, x 3 ដែលការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរនៃ a, b, c ស្មើនឹងវ៉ិចទ័រសូន្យ។ ដូច្នេះ វ៉ិចទ័រ a, b, c គឺ អាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ។ ​​​​​​​

ប្រសិនបើអ្នកសម្គាល់ឃើញកំហុសនៅក្នុងអត្ថបទ សូមរំលេចវា ហើយចុច Ctrl+Enter

បន្សំលីនេអ៊ែរនៃវ៉ិចទ័រពី ត្រូវបានគេហៅថាវ៉ិចទ័រនៅ . វាច្បាស់ណាស់ថាការរួមបញ្ចូលគ្នានៃវ៉ិចទ័រលីនេអ៊ែរគឺជាការរួមផ្សំលីនេអ៊ែរម្តងទៀតនៃវ៉ិចទ័រទាំងនេះ។

សំណុំនៃវ៉ិចទ័រត្រូវបានគេហៅថាឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ ប្រសិនបើសមភាពគឺអាចធ្វើទៅបានសម្រាប់តែ . ប្រសិនបើមានមិនមែនសូន្យ ហើយពួកវាស្មើនឹង - 0 នោះសំណុំនៃវ៉ិចទ័រត្រូវបានគេហៅថាអាស្រ័យលីនេអ៊ែរ។ និយមន័យទាំងនេះស្របគ្នានឹងនិយមន័យដែលមាននៅលើទំព័រ 108 ដូចដែលបានអនុវត្តចំពោះខ្សែអក្សរ។

សំណើរ 1. សំណុំនៃវ៉ិចទ័រគឺអាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រមួយគឺជាបន្សំលីនេអ៊ែរនៃផ្សេងទៀត។

សំណើ 2. ប្រសិនបើសំណុំនៃវ៉ិចទ័រគឺឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ ហើយសំណុំគឺអាស្រ័យលីនេអ៊ែរ នោះវ៉ិចទ័រគឺជាបន្សំលីនេអ៊ែរនៃវ៉ិចទ័រ

សំណើ 3. ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រគឺជាបន្សំលីនេអ៊ែរនៃវ៉ិចទ័រ នោះការប្រមូលផ្តុំគឺអាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ។

ភស្តុតាងនៃប្រយោគទាំងនេះមិនខុសពីភស្តុតាងនៃប្រយោគស្រដៀងគ្នាសម្រាប់ខ្សែអក្សរ (ទំព័រ 108-110)។

សំណុំនៃវ៉ិចទ័រត្រូវបានគេហៅថាការបង្កើត ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រទាំងអស់នៅក្នុងលំហគឺជាបន្សំលីនេអ៊ែរនៃពួកវា។ ប្រសិនបើសម្រាប់លំហ S មានប្រព័ន្ធបង្កើតកំណត់ នោះលំហត្រូវបានគេហៅថា វិមាត្រកំណត់ បើមិនដូច្នេះទេ វាត្រូវបានគេហៅថា វិមាត្រគ្មានកំណត់។ នៅក្នុងចន្លោះវិមាត្រកំណត់ ការប្រមូលវ៉ិចទ័រឯករាជ្យលីនេអ៊ែរដែលមានទំហំធំតាមអំពើចិត្ត (ក្នុងចំនួនវ៉ិចទ័រ) ការប្រមូលវ៉ិចទ័រឯករាជ្យមិនអាចមានបានទេ ពីព្រោះយោងទៅតាមសំណើទី 3 ការប្រមូលវ៉ិចទ័រណាមួយដែលលើសពីការប្រមូលបង្កើតក្នុងចំនួនវ៉ិចទ័រគឺអាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ។

លំហនៃម៉ាទ្រីសនៃទំហំថេរ និងជាពិសេស លំហនៃជួរដេកនៃប្រវែងថេរគឺវិមាត្រកំណត់; ម៉ាទ្រីសដែលមានទីតាំងមួយក្នុងទីតាំងមួយ និងសូន្យនៅសេសសល់អាចត្រូវបានយកជាប្រព័ន្ធបង្កើត។

ចន្លោះនៃពហុនាមទាំងអស់ពីគឺគ្មានដែនកំណត់រួចទៅហើយ ពីព្រោះសំណុំនៃពហុនាមគឺឯករាជ្យលីនេអ៊ែរសម្រាប់ណាមួយ។

នៅ​ក្នុង​អ្វី​ខាង​ក្រោម​នេះ យើង​នឹង​ពិចារណា​លើ​លំហ​ដែល​មាន​វិមាត្រ​កំណត់។

សំណើ 4. តិចតួចបំផុតណាមួយ (ក្នុងន័យនៃចំនួនវ៉ិចទ័រ) សំណុំនៃវ៉ិចទ័រគឺឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ។

ជាការពិត ទុកជាសំណុំវ៉ិចទ័រដែលបង្កើតតិចតួចបំផុត។ ប្រសិនបើវាអាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ នោះវ៉ិចទ័រមួយក្នុងចំណោមវ៉ិចទ័រ គឺជាការរួមផ្សំលីនេអ៊ែរនៃធាតុផ្សេងទៀត ហើយរាល់ការរួមផ្សំលីនេអ៊ែរ គឺជាការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរនៃសំណុំវ៉ិចទ័រតូចជាង ដែលវាប្រែថាបង្កើត។

សំណើ 5. អតិបរិមាណាមួយ (គិតជាចំនួនវ៉ិចទ័រ) ការប្រមូលវ៉ិចទ័រឯករាជ្យលីនេអ៊ែរកំពុងបង្កើត។

ជាការពិត អនុញ្ញាតឱ្យមានការប្រមូលផ្តុំឯករាជ្យលីនេអ៊ែរអតិបរមា ហើយអ្នកជាវ៉ិចទ័រនៃលំហ។ បន្ទាប់មកសំណុំនឹងមិនឯករាជ្យលីនេអ៊ែរទេ ហើយដោយគុណធម៌នៃសំណើទី 2 វ៉ិចទ័រគឺជាបន្សំលីនេអ៊ែរ

សំណើ 6. សំណុំបង្កើតឯករាជ្យលីនេអ៊ែរគឺតិចតួចបំផុតក្នុងចំណោមម៉ាស៊ីនភ្លើង និងអតិបរមាក្នុងចំណោមអ្នកបង្កើតឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ។

ពិតហើយ ទុកជាសំណុំវ៉ិចទ័រដែលបង្កើតដោយឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ។ ប្រសិនបើជាសំណុំបង្កើតផ្សេងទៀត នោះពួកវាជាបន្សំលីនេអ៊ែរ ហើយពីទីនេះយើងសន្និដ្ឋានថា ពីព្រោះប្រសិនបើមាននោះ ដោយសារសំណើនោះ វានឹងជាសំណុំអាស្រ័យលីនេអ៊ែរ។ ឥឡូវ​នេះ​គឺ​ជា​បណ្តុំ​ឯករាជ្យ​លីនេអ៊ែរ។ វ៉ិចទ័រគឺជាបន្សំលីនេអ៊ែរនៃវ៉ិចទ័រ ហើយដូច្នេះដោយគុណធម៌នៃសំណើដូចគ្នា ពួកវានឹងបង្កើតសំណុំអាស្រ័យលីនេអ៊ែរ។

ដូច្នេះនៅក្នុង Propositions 4, 5, 6 អត្តសញ្ញាណនៃគោលគំនិតចំនួនបីត្រូវបានបង្កើតឡើង - សំណុំវ៉ិចទ័រដែលបង្កើតតិចតួច សំណុំវ៉ិចទ័រឯករាជ្យលីនេអ៊ែរអតិបរមា និងសំណុំបង្កើតវ៉ិចទ័រឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ។

សំណុំនៃវ៉ិចទ័រដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌទាំងនេះត្រូវបានគេហៅថា មូលដ្ឋាននៃលំហ ហើយចំនួនវ៉ិចទ័រដែលបង្កើតជាមូលដ្ឋានត្រូវបានគេហៅថា វិមាត្រនៃលំហ។ វិមាត្រនៃលំហ S ត្រូវបានតំណាងដោយ . ដូច្នេះ វិមាត្រគឺស្មើនឹងចំនួនអតិបរមានៃវ៉ិចទ័រឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ (នៅពេលអនាគត យើងនឹងនិយាយជាញឹកញាប់ពាក្យថា "ឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ" និង "វ៉ិចទ័រអាស្រ័យលីនេអ៊ែរ" ជំនួសឱ្យការនិយាយថា "វ៉ិចទ័រដែលបង្កើតជាសំណុំអាស្រ័យលីនេអ៊ែរ" និង - រៀងគ្នា។ សម្រាប់សំណុំឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ) និងចំនួនអប្បបរមានៃវ៉ិចទ័រ។

សំណើ 7. ទុកជាបណ្តុំវ៉ិចទ័រឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ ហើយចំនួនរបស់វាតិចជាងវិមាត្រនៃលំហ។ បន្ទាប់មក វ៉ិចទ័រមួយអាចត្រូវបានបន្ថែមទៅពួកវា ដូច្នេះសំណុំនៅតែជាលីនេអ៊ែរឯករាជ្យ។

ភស្តុតាង។ ចូរយើងពិចារណាបន្សំលីនេអ៊ែរជាច្រើន។ វា​មិន​អស់​ទំហំ​ទាំង​មូល​ទេ ព្រោះ​វា​មិន​បង្កើត​សំណុំ​វ៉ិចទ័រ។ ចូរយកវ៉ិចទ័រដែលមិនមែនជាការរួមផ្សំលីនេអ៊ែរ

បន្ទាប់មកគឺជាការប្រមូលផ្តុំឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ ព្រោះបើមិនដូច្នេះទេ វានឹងក្លាយជាការរួមបញ្ចូលគ្នានៃវ៉ិចទ័រដោយគុណធម៌នៃសំណើ 2 ។

ពី Proposition 7 វាដូចខាងក្រោមថាការប្រមូលវ៉ិចទ័រឯករាជ្យលីនេអ៊ែរអាចត្រូវបានបំពេញបន្ថែមទៅនឹងមូលដ្ឋានមួយ។

សំណើដូចគ្នានេះ និងភ័ស្តុតាងរបស់វាបង្ហាញពីលក្ខណៈនៃសិទ្ធិអំណាចក្នុងជម្រើសនៃមូលដ្ឋាន។ ជាការពិតណាស់ ប្រសិនបើអ្នកយកវ៉ិចទ័រមិនសូន្យតាមអំពើចិត្ត នោះអ្នកអាចបង្កើតវាឡើងជាមូលដ្ឋានដោយយកវ៉ិចទ័រទីពីរតាមមធ្យោបាយណាមួយ ប៉ុន្តែមិនមែនជាការរួមផ្សំលីនេអ៊ែរនៃទីមួយ ទីបីតាមវិធីណាក៏ដោយ ប៉ុន្តែមិនមែនជាការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរទេ។ នៃពីរដំបូង។ល។

មនុស្សម្នាក់អាច "ចុះក្រោម" ទៅមូលដ្ឋានដែលចាប់ផ្តើមពីសំណុំបង្កើតដោយបំពាន។

សំណើ 8. រាល់ការបង្កើតវ៉ិចទ័រមានមូលដ្ឋាន។

ជាការពិត ទុកជាសំណុំនៃវ៉ិចទ័រ។ ប្រសិនបើវាអាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ នោះវ៉ិចទ័រមួយក្នុងចំណោមវ៉ិចទ័ររបស់វាគឺជាការរួមបញ្ចូលគ្នានៃលីនេអ៊ែរផ្សេងទៀត ហើយវាអាចត្រូវបានដកចេញពីសំណុំបង្កើត។ ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រដែលនៅសេសសល់គឺអាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ នោះវ៉ិចទ័រមួយបន្ថែមទៀតអាចត្រូវបានលុបចោល ហើយបន្តបន្ទាប់ទៀត រហូតដល់សំណុំបង្កើតឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ ពោលគឺ មូលដ្ឋាននៅសល់។