នៅក្នុងអត្ថបទនេះ យើងនឹងពិនិត្យមើលការដោះស្រាយសមីការ quadratic មិនពេញលេញ។

ប៉ុន្តែជាដំបូង ចូរយើងនិយាយឡើងវិញនូវអ្វីដែលសមីការត្រូវបានគេហៅថា quadratic ។ សមីការនៃទម្រង់ ax 2 + bx + c = 0 ដែល x ជាអថេរ ហើយមេគុណ a, b និង c គឺជាលេខមួយចំនួន ហើយ a ≠ 0 ត្រូវបានគេហៅថា ការ៉េ. ដូចដែលយើងឃើញ មេគុណសម្រាប់ x 2 មិនស្មើនឹងសូន្យទេ ដូច្នេះហើយ មេគុណសម្រាប់ x ឬពាក្យទំនេរអាចស្មើនឹងសូន្យ ក្នុងករណីនេះយើងទទួលបានមិនពេញលេញ សមីការ​ការ៉េ.

មានសមីការការ៉េមិនពេញលេញចំនួនបីប្រភេទ:

1) ប្រសិនបើ b = 0, c ≠ 0 បន្ទាប់មក ax 2 + c = 0;

2) ប្រសិនបើ b ≠ 0, c = 0, បន្ទាប់មក ax 2 + bx = 0;

3) ប្រសិនបើ b = 0, c = 0, បន្ទាប់មក ax 2 = 0 ។

• ចូរយើងស្វែងយល់ពីរបៀបដោះស្រាយ សមីការនៃទម្រង់ ax 2 + c = 0 ។

ដើម្បីដោះស្រាយសមីការ យើងផ្លាស់ទីពាក្យទំនេរ c ទៅខាងស្តាំនៃសមីការ យើងទទួលបាន

ax 2 = ‒s ។ ដោយសារ ≠ 0 យើងបែងចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការដោយ a បន្ទាប់មក x 2 = ‒c/a ។

ប្រសិនបើ ‒с/а > 0 នោះសមីការមានឫសពីរ

x = ±√(–c/a) ។

ប្រសិនបើ -c/a< 0, то это уравнение решений не имеет. Более наглядно решение данных уравнений представлено на схеме.

ចូរយើងព្យាយាមយល់ជាមួយនឹងឧទាហរណ៍អំពីរបៀបដោះស្រាយសមីការបែបនេះ។

ឧទាហរណ៍ ១. ដោះស្រាយសមីការ 2x 2 ‒ 32 = 0 ។

ចម្លើយ៖ x 1 = − 4, x 2 = 4 ។

ឧទាហរណ៍ ២. ដោះស្រាយសមីការ 2x 2 + 8 = 0 ។

ចម្លើយ៖ សមីការមិនមានដំណោះស្រាយទេ។

• ចូរយើងស្វែងយល់ពីរបៀបដោះស្រាយវា។ សមីការនៃទម្រង់ ax 2 + bx = 0 ។

ដើម្បីដោះស្រាយសមីការ ax 2 + bx = 0 ចូរយើងបែងចែកវា នោះគឺយក x ចេញពីតង្កៀប យើងទទួលបាន x(ax + b) = 0 ។ ផលិតផលស្មើនឹងសូន្យ បើយ៉ាងហោចណាស់កត្តាមួយក្នុងចំណោមកត្តាស្មើគ្នា ដល់សូន្យ។ បន្ទាប់មក x = 0 ឬ ax + b = 0 ។ ការដោះស្រាយសមីការ ax + b = 0 យើងទទួលបាន ax = − b, whence x = − b/a ។ សមីការនៃទម្រង់ ax 2 + bx = 0 តែងតែមានឫសពីរ x 1 = 0 និង x 2 = ‒ b/a ។ សូមមើលអ្វីដែលដំណោះស្រាយចំពោះសមីការនៃប្រភេទនេះមើលទៅដូចនៅក្នុងដ្យាក្រាម។

ចូរយើងបង្រួបបង្រួមចំណេះដឹងរបស់យើងជាមួយនឹងឧទាហរណ៍ជាក់លាក់មួយ។

ឧទាហរណ៍ ៣. ដោះស្រាយសមីការ 3x 2 ‒ 12x = 0 ។

x(3x‒12) = 0

x = 0 ឬ 3x − 12 = 0

ចម្លើយ៖ x 1 = 0, x 2 = 4 ។

• សមីការនៃប្រភេទទីបី អ័ក្ស 2 = 0ត្រូវបានដោះស្រាយយ៉ាងសាមញ្ញ។

ប្រសិនបើ ax 2 = 0 នោះ x 2 = 0. សមីការមានឫសស្មើគ្នាពីរ x 1 = 0, x 2 = 0 ។

សម្រាប់ភាពច្បាស់លាស់សូមមើលដ្យាក្រាម។

ចូរយើងធ្វើឱ្យប្រាកដថានៅពេលដោះស្រាយឧទាហរណ៍ទី 4 សមីការនៃប្រភេទនេះអាចត្រូវបានដោះស្រាយយ៉ាងសាមញ្ញបំផុត។

ឧទាហរណ៍ 4 ។ដោះស្រាយសមីការ 7x 2 = 0 ។

ចម្លើយ៖ x 1, 2 = 0 ។

វាមិនតែងតែច្បាស់ភ្លាមៗថាប្រភេទសមីការការ៉េមិនពេញលេញដែលយើងត្រូវដោះស្រាយនោះទេ។ សូមពិចារណាឧទាហរណ៍ខាងក្រោម។

ឧទាហរណ៍ 5 ។ដោះស្រាយសមីការ

ចូរគុណភាគីទាំងពីរនៃសមីការដោយភាគបែងរួម នោះគឺដោយ 30

ចូរ​កាត់​វា​ចុះ

5(5x 2 + 9) – 6(4x 2 – 9) = 90 ។

តោះបើកតង្កៀប

25x 2 + 45 − 24x 2 + 54 = 90 ។

ចូរផ្តល់ឱ្យស្រដៀងគ្នា

ចូរផ្លាស់ទីលេខ 99 ពីផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការទៅខាងស្តាំ ដោយប្តូរសញ្ញាទៅផ្ទុយ

ចម្លើយ៖ គ្មានឫស។

យើងបានមើលពីរបៀបដែលសមីការ quadratic មិនពេញលេញត្រូវបានដោះស្រាយ។ ខ្ញុំសង្ឃឹមថាឥឡូវនេះអ្នកនឹងមិនមានការលំបាកណាមួយជាមួយភារកិច្ចបែបនេះ។ សូមប្រយ័ត្នពេលកំណត់ប្រភេទនៃសមីការការ៉េមិនពេញលេញ នោះអ្នកនឹងជោគជ័យ។

ប្រសិនបើអ្នកមានសំណួរលើប្រធានបទនេះ ចុះឈ្មោះសម្រាប់មេរៀនរបស់ខ្ញុំ យើងនឹងដោះស្រាយបញ្ហាដែលកើតឡើងជាមួយគ្នា។

គេហទំព័រ នៅពេលចម្លងសម្ភារៈទាំងស្រុង ឬមួយផ្នែក តំណភ្ជាប់ទៅកាន់ប្រភពគឺត្រូវបានទាមទារ។

គោលដៅ៖

• ណែនាំគំនិតនៃសមីការបួនជ្រុងដែលកាត់បន្ថយ;
• "ស្វែងយល់" ទំនាក់ទំនងរវាងឫស និងមេគុណនៃសមីការការ៉េដែលបានផ្តល់ឱ្យ;
• បង្កើតចំណាប់អារម្មណ៍លើគណិតវិទ្យា ដោយបង្ហាញតាមរយៈឧទាហរណ៍នៃជីវិតរបស់វៀតថា គណិតវិទ្យាអាចជាចំណង់ចំណូលចិត្ត។

ក្នុងអំឡុងពេលថ្នាក់

1. ពិនិត្យកិច្ចការផ្ទះ

លេខ 309(g) x 1 = 7, x 2 =

លេខ 311(g) x 1 =2, x 2 =-1

លេខ ៣១២ (ឃ) គ្មានឫស

2. ពាក្យដដែលៗនៃសម្ភារៈសិក្សា

មនុស្សគ្រប់រូបមានតុនៅលើតុរបស់ពួកគេ។ ស្វែងរកការឆ្លើយឆ្លងរវាងជួរឈរខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំនៃតារាង។

ទម្រង់ពាក្យសំដី	ការបញ្ចេញមតិតាមព្យញ្ជនៈ
1. ត្រីកោណការ៉េ	A. ah 2 = 0
2. រើសអើង	B. ax 2 +c=0, s< 0
3. សមីការការ៉េមិនពេញលេញដែលមានឫសមួយស្មើនឹង 0 ។	IN ឃ > 0
4. សមីការ quadratic មិនពេញលេញ ឫសមួយគឺ 0 និងមួយទៀតមិនស្មើនឹង 0 ។	ជី ឃ< 0
5. មិនមែនជាសមីការបួនជ្រុងពេញលេញទេ ឫសនៃទំហំស្មើគ្នា ប៉ុន្តែផ្ទុយពីសញ្ញា។	ឃ. akh 2 +in + c=0
6. មិនមែនជាសមីការការ៉េពេញលេញដែលមិនមានឫសគល់ពិតប្រាកដនោះទេ។	អ៊ី. D=v 2 +4ac
7. ទិដ្ឋភាពទូទៅនៃសមីការការ៉េ។	និង។ x 2 +px+q=0
8. លក្ខខណ្ឌដែលសមីការបួនជ្រុងមានឫសពីរ	Z. ah 2 + in + s
9. លក្ខខណ្ឌ​ដែល​សមីការ​បួន​ជ្រុង​គ្មាន​ឫស	និង។ ax 2 +c=0, c> 0
10. លក្ខខណ្ឌដែលសមីការបួនជ្រុងមានឫសស្មើគ្នាពីរ	TO akh 2 + in = 0
11. កាត់បន្ថយសមីការ quadratic ។	អិល ឃ = 0

បញ្ចូលចម្លើយត្រឹមត្រូវក្នុងតារាង។

1-Z; 2-អ៊ី; 3-A; 4-K; 5 ខ; ៦-ខ្ញុំ; 7-D; 8-B; 9-G; 10-L; ១១-ច.

3. ការបង្រួបបង្រួមនៃសម្ភារៈដែលបានសិក្សា

ដោះស្រាយសមីការ៖

ក) −5x 2 + 8x −3=0;

ដំណោះស្រាយ:

D=64–4(-5)(-3)=4,

x 1 = x 2 = = a + b + c = −5+8-3=0

ខ) 2 x 2 +6x − 8 = 0;

ដំណោះស្រាយ:

D=36–4 2 (−8)=100,

x 1 = = x 2 = a + b + c = 2+6-8=0

គ) ឆ្នាំ ២០០៩ x ២ + x – ២០១០ = ០

ដំណោះស្រាយ:

a + b + c = 2009 + 1 + (-2010) = 0 បន្ទាប់មក x 1 = 1 x 2 =

4. ការពង្រីកវគ្គសិក្សារបស់សាលា

ax 2 +in+c=0 ប្រសិនបើ a+b+c=0 បន្ទាប់មក x 1 = 1 x 2 =

ចូរយើងពិចារណាការដោះស្រាយសមីការ

ក) 2x 2 + 5x +3 = 0

ដំណោះស្រាយ:

ឃ = 25 −24 = 1 x 1 = x 2 = a – b + c = 2–5 + 3 = 0

ខ) −4x 2 −5x −1 = 0

ដំណោះស្រាយ:

ឃ = 25 − 16 = 9 x 1 = – 1 x 2 = a – b + c = -4-(-5) – 1 = 0

គ) 1150x 2 +1135x −15 = 0

ដំណោះស្រាយ:

a – b+c = 1150–1135 +(−15) = 0 x 1 = – 1 x 2 =

ax 2 +in+c=0 ប្រសិនបើ a-b+c=0 បន្ទាប់មក x 1 = – 1 x 2 =

5. ប្រធានបទថ្មី។

ចូរយើងពិនិត្យមើលការបញ្ចប់កិច្ចការដំបូងរបស់អ្នក។ តើអ្នកបានជួបប្រទះគំនិតថ្មីអ្វីខ្លះ? 11 – f, i.e.

សមីការ​ការ៉េ​ដែល​បាន​ផ្តល់​គឺ x 2 + px + q = 0 ។

ប្រធានបទនៃមេរៀនរបស់យើង។
ចូរយើងបំពេញតារាងខាងក្រោម។
ជួរឈរខាងឆ្វេងស្ថិតនៅក្នុងសៀវភៅកត់ត្រា ហើយសិស្សម្នាក់នៅក្តារខៀន។
ការដោះស្រាយសមីការ akh 2 +in + c=0
ជួរ​ឈរ​ខាង​ស្ដាំ សិស្ស​ដែល​បាន​ត្រៀម​ខ្លួន​ច្រើន​នៅ​ក្ដារខៀន
ការដោះស្រាយសមីការ x 2 + px + q = 0, ជាមួយ a = 1, b = p, c = q

គ្រូ (បើចាំបាច់) ជួយ, នៅសល់គឺនៅក្នុងសៀវភៅកត់ត្រា។

6. ផ្នែកជាក់ស្តែង

X ២–៦ X + 8 = 0,	ឃ = 9 – 8 = 1,	x 1 = 3 − 1 = 2	x 2 = 3 + 1 = 4
X 2 + 6 X + 8 = 0,	ឃ = 9 - 8 = 0,	x 1 = −3 − 1 = −4	x 2 = −3 + 1 = −2
X 2 + 20 X + 51 = 0,	ឃ = 100 – 51 = 49	x 1 = 10 − 7 = 3	x 2 = 10 + 7 = 17
X 2 ដល់ 20 X – 69 = 0,	ឃ = 100 – 69 = 31

ដោយផ្អែកលើលទ្ធផលនៃការគណនារបស់យើងយើងនឹងបំពេញតារាង។

សមីការលេខ	រ	x 1+ x 2	q	x 1 x 2
1	-6	6	8	8

ចូរយើងប្រៀបធៀបលទ្ធផលដែលទទួលបានជាមួយនឹងមេគុណនៃសមីការការ៉េ។
តើការសន្និដ្ឋានបែបណាដែលអាចទាញបាន?

7. ប្រវត្តិ​សា​ស្រ្ត​

ទំនាក់ទំនងរវាងឫស និងមេគុណនៃសមីការការ៉េត្រូវបានបង្កើតឡើងដំបូងដោយអ្នកវិទ្យាសាស្ត្របារាំងដ៏ល្បីល្បាញ Francois Viète (1540-1603) ។

លោក François Viète ជាមេធាវីតាមវិជ្ជាជីវៈ ហើយបានធ្វើការជាទីប្រឹក្សារបស់ព្រះមហាក្សត្រអស់ជាច្រើនឆ្នាំ។ ហើយទោះបីជាគណិតវិទ្យាគឺជាចំណង់ចំណូលចិត្តរបស់គាត់ ឬដូចដែលពួកគេនិយាយថាជាចំណង់ចំណូលចិត្តក៏ដោយ ដោយសារការខិតខំប្រឹងប្រែង គាត់ទទួលបានលទ្ធផលដ៏អស្ចារ្យនៅក្នុងវា។ វៀត​ណាម​ក្នុង​ឆ្នាំ ១៥៩១ បាន​ណែនាំ​អក្សរ​សម្រាប់​មិនស្គាល់ និង​មេគុណ​សមីការ។ នេះធ្វើឱ្យវាអាចសរសេរឫស និងលក្ខណៈសម្បត្តិផ្សេងទៀតនៃសមីការដោយប្រើរូបមន្តទូទៅ។

គុណវិបត្តិនៃពិជគណិតរបស់ Vieta គឺវាទទួលស្គាល់តែលេខវិជ្ជមានប៉ុណ្ណោះ។ ដើម្បីជៀសវាងដំណោះស្រាយអវិជ្ជមាន គាត់បានជំនួសសមីការ ឬស្វែងរកដំណោះស្រាយសិប្បនិម្មិត ដែលចំណាយពេលច្រើន ធ្វើអោយស្មុគស្មាញដល់ដំណោះស្រាយ ហើយជារឿយៗនាំឱ្យមានកំហុស។

Viète បានបង្កើតរបកគំហើញផ្សេងៗគ្នាជាច្រើន ប៉ុន្តែលោកផ្ទាល់បានវាយតម្លៃខ្ពស់ចំពោះការបង្កើតទំនាក់ទំនងរវាងឫស និងមេគុណនៃសមីការបួនជ្រុង ពោលគឺទំនាក់ទំនងហៅថា “ទ្រឹស្តីបទរបស់ Viète”។

យើងនឹងពិចារណាទ្រឹស្តីបទនេះនៅក្នុងមេរៀនបន្ទាប់។

8. ចំណេះដឹងទូទៅ

សំណួរ:

1. សមីការ​មួយ​ណា​ដែល​គេ​ហៅ​ថា​សមីការ​ចតុកោណ​កាត់​បន្ថយ?
2. តើ​រូបមន្ត​អ្វី​ដែល​អាច​ត្រូវ​បាន​ប្រើ​ដើម្បី​រក​ឫស​នៃ​សមីការ​ការ៉េ​ដែល​បាន​ផ្តល់​ឱ្យ​?
3. តើអ្វីកំណត់ចំនួនឫសនៃសមីការការ៉េដែលបានផ្តល់ឱ្យ?
4. តើអ្វីទៅជាការរើសអើងនៃសមីការ quadratic កាត់បន្ថយ?
5. តើឫសនៃសមីការការ៉េខាងលើ និងមេគុណរបស់វាទាក់ទងគ្នាយ៉ាងដូចម្តេច?
6. តើអ្នកណាជាអ្នកបង្កើតទំនាក់ទំនងនេះ?

9. កិច្ចការផ្ទះ

ប្រការ 4.5 លេខ 321(b,f) No.322(a,d,g,h)

បំពេញតារាង។

សមីការ	ឫស	ផលបូកនៃឫស	ផលិតផលឫស
X 2 − 8x + 7 = 0	1 និង 7	8	7

អក្សរសាស្ត្រ

សង់​ទី​ម៉ែ​ត។ នីកូលស្គីនិងអ្នកផ្សេងទៀត សៀវភៅសិក្សា "ពិជគណិត 8" នៃស៊េរី "MSU-School" - M.: Prosveshchenie, 2007 ។

ជាមួយនេះ។ កម្មវិធីគណិតវិទ្យាអ្នក​អាច ដោះស្រាយសមីការការ៉េ.

កម្មវិធីនេះមិនត្រឹមតែផ្តល់ចម្លើយចំពោះបញ្ហាប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែថែមទាំងបង្ហាញដំណើរការដំណោះស្រាយតាមពីរវិធី៖
- ប្រើអ្នករើសអើង
- ដោយប្រើទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta (ប្រសិនបើអាចធ្វើទៅបាន) ។

ជាងនេះទៅទៀត ចម្លើយត្រូវបានបង្ហាញថាពិតប្រាកដ មិនមែនប្រហាក់ប្រហែល
ឧទាហរណ៍ សម្រាប់សមីការ \(81x^2-16x-1=0\) ចម្លើយត្រូវបានបង្ហាញក្នុងទម្រង់ខាងក្រោម៖

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81), \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) $$ ហើយមិនដូចនេះទេ៖ \(x_1 = 0.247; \quad x_2 = -0.05\)

កម្មវិធីនេះអាចមានប្រយោជន៍សម្រាប់សិស្សវិទ្យាល័យ អនុវិទ្យាល័យក្នុងការរៀបចំសម្រាប់ ការធ្វើតេស្តនិងការប្រឡងនៅពេលធ្វើតេស្តចំណេះដឹងមុនការប្រលងរដ្ឋបង្រួបបង្រួមសម្រាប់ឪពុកម្តាយដើម្បីគ្រប់គ្រងដំណោះស្រាយនៃបញ្ហាជាច្រើននៅក្នុងគណិតវិទ្យានិងពិជគណិត។ ឬប្រហែលជាវាថ្លៃពេកសម្រាប់អ្នកក្នុងការជួលគ្រូ ឬទិញសៀវភៅសិក្សាថ្មី? ឬអ្នកគ្រាន់តែចង់ធ្វើវាឱ្យបានលឿនតាមដែលអាចធ្វើទៅបាន? កិច្ចការ​ផ្ទះនៅក្នុងគណិតវិទ្យា ឬពិជគណិត? ក្នុងករណីនេះ អ្នកក៏អាចប្រើកម្មវិធីរបស់យើងជាមួយនឹងដំណោះស្រាយលម្អិតផងដែរ។

វិធីនេះអ្នកអាចធ្វើការបណ្តុះបណ្តាល និង/ឬការបណ្តុះបណ្តាលផ្ទាល់ខ្លួនរបស់អ្នក។ ប្អូនប្រុសឬបងប្អូនស្រី ខណៈពេលដែលកម្រិតនៃការអប់រំនៅក្នុងវិស័យនៃបញ្ហាដែលកំពុងត្រូវបានដោះស្រាយកើនឡើង។

ប្រសិនបើអ្នកមិនស៊ាំនឹងច្បាប់សម្រាប់ការបញ្ចូលពហុនាមរាងចតុកោណទេ យើងសូមណែនាំឱ្យអ្នកស្គាល់ខ្លួនអ្នកជាមួយពួកវា។

ច្បាប់សម្រាប់ការបញ្ចូលពហុធាចតុកោណ

អក្សរឡាតាំងណាមួយអាចដើរតួជាអថេរ។
ឧទាហរណ៍៖ \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\) ។ល។

លេខអាចត្រូវបានបញ្ចូលជាលេខទាំងមូល ឬប្រភាគ។
លើសពីនេះទៅទៀត លេខប្រភាគអាចត្រូវបានបញ្ចូលមិនត្រឹមតែជាទសភាគប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែក៏ជាប្រភាគធម្មតាផងដែរ។

ច្បាប់សម្រាប់ការបញ្ចូលប្រភាគទសភាគ។
នៅក្នុងប្រភាគទសភាគ ផ្នែកប្រភាគអាចត្រូវបានបំបែកចេញពីផ្នែកទាំងមូលដោយសញ្ញាចុច ឬសញ្ញាក្បៀស។
ឧទាហរណ៍អ្នកអាចចូលបាន។ ទសភាគដូចនេះ៖ 2.5x - 3.5x^2

ច្បាប់សម្រាប់ការបញ្ចូលប្រភាគធម្មតា។
មានតែចំនួនទាំងមូលប៉ុណ្ណោះដែលអាចដើរតួជាភាគបែង ភាគបែង និងចំនួនគត់នៃប្រភាគ។

ភាគបែងមិនអាចអវិជ្ជមានបានទេ។

នៅពេលបញ្ចូលប្រភាគលេខ ភាគយកត្រូវបានបំបែកចេញពីភាគបែងដោយសញ្ញាចែក៖ /
ផ្នែកទាំងមូលបំបែកចេញពីប្រភាគដោយ ampersand: &
បញ្ចូល៖ 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
លទ្ធផល៖ \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5)z + \frac(1)(7)z^2\)

នៅពេលបញ្ចូលកន្សោម អ្នកអាចប្រើវង់ក្រចក. ក្នុងករណីនេះ នៅពេលដោះស្រាយសមីការបួនជ្រុង កន្សោមដែលបានណែនាំត្រូវបានធ្វើឱ្យសាមញ្ញជាលើកដំបូង។
ឧទាហរណ៍៖ 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

=0

សម្រេចចិត្ត

វាត្រូវបានគេរកឃើញថាស្គ្រីបមួយចំនួនដែលចាំបាច់ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហានេះមិនត្រូវបានផ្ទុកទេ ហើយកម្មវិធីប្រហែលជាមិនដំណើរការទេ។
អ្នកប្រហែលជាបានបើក AdBlock ។
ក្នុងករណីនេះ សូមបិទវា ហើយធ្វើឱ្យទំព័រឡើងវិញ។

JavaScript ត្រូវបានបិទនៅក្នុងកម្មវិធីរុករករបស់អ្នក។
ដើម្បីឱ្យដំណោះស្រាយលេចឡើង អ្នកត្រូវបើក ​​JavaScript ។
នេះជាការណែនាំអំពីរបៀបបើក JavaScript នៅក្នុងកម្មវិធីរុករករបស់អ្នក។

ដោយសារតែ មានមនុស្សជាច្រើនមានឆន្ទៈក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហា សំណើរបស់អ្នកត្រូវបានតម្រង់ជួរ។
ក្នុងរយៈពេលពីរបីវិនាទីដំណោះស្រាយនឹងលេចឡើងខាងក្រោម។
សូមរង់ចាំ វិ...

ប្រសិនបើ​អ្នក បានកត់សម្គាល់កំហុសនៅក្នុងដំណោះស្រាយបន្ទាប់មក អ្នកអាចសរសេរអំពីរឿងនេះនៅក្នុងទម្រង់មតិកែលម្អ។
កុំ​ភ្លេច ចង្អុលបង្ហាញពីភារកិច្ចអ្នកសម្រេចចិត្តអ្វី ចូលទៅក្នុងវាល.

ហ្គេមរបស់យើង ល្បែងផ្គុំរូប ត្រាប់តាម៖

ទ្រឹស្តីតិចតួច។

សមីការបួនជ្រុង និងឫសរបស់វា។ សមីការការ៉េមិនពេញលេញ

សមីការនីមួយៗ
\\(-x^2+6x+1.4=0, \\quad 8x^2-7x=0, \\quad x^2-\frac(4)(9)=0 \\)
មើល​ទៅ​ដូច​ជា
\\(ax^2+bx+c=0, \\)
ដែល x ជាអថេរ a, b និង c ជាលេខ។
នៅក្នុងសមីការទីមួយ a = -1, b = 6 និង c = 1.4, នៅក្នុងទីពីរ a = 8, b = −7 និង c = 0, នៅក្នុងទីបី a = 1, b = 0 និង c = 4/9 ។ សមីការបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា សមីការ​ការ៉េ.

និយមន័យ។
សមីការ​ការ៉េត្រូវបានគេហៅថាសមីការនៃទម្រង់ ax 2 +bx+c=0 ដែល x ជាអថេរ a, b និង c គឺជាលេខមួយចំនួន និង \(a \neq 0 \\) ។

លេខ a, b និង c គឺជាមេគុណនៃសមីការការ៉េ។ លេខ a ត្រូវបានគេហៅថាមេគុណទីមួយ លេខ b គឺជាមេគុណទីពីរ ហើយលេខ c គឺជាពាក្យសេរី។

នៅក្នុងសមីការនីមួយៗនៃទម្រង់ ax 2 +bx+c=0 ដែល \(a\neq 0\) អំណាចធំបំផុតនៃអថេរ x គឺជាការ៉េ។ ដូច្នេះឈ្មោះ៖ សមីការការ៉េ។

ចំណាំថាសមីការការ៉េត្រូវបានគេហៅថាសមីការនៃដឺក្រេទីពីរផងដែរ ចាប់តាំងពីផ្នែកខាងឆ្វេងរបស់វាគឺជាពហុធានៃដឺក្រេទីពីរ។

សមីការការ៉េដែលមេគុណនៃ x 2 ស្មើនឹង 1 ត្រូវបានហៅ សមីការ​ការ៉េ​ដែល​បាន​ផ្តល់​ឱ្យ​. ឧទាហរណ៍ សមីការ​ការ៉េ​ដែល​បាន​ផ្តល់​ឱ្យ​គឺ​ជា​សមីការ
\\(x^2-11x+30=0, \\quad x^2-6x=0, \\quad x^2-8=0 \\)

ប្រសិនបើនៅក្នុងសមីការការ៉េ ax 2 +bx+c=0 យ៉ាងហោចណាស់មួយនៃមេគុណ b ឬ c គឺស្មើនឹងសូន្យ នោះសមីការបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា សមីការការ៉េមិនពេញលេញ. ដូច្នេះសមីការ -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 គឺជាសមីការការ៉េមិនពេញលេញ។ នៅក្នុងទីមួយនៃពួកគេ b = 0 នៅក្នុងទីពីរ c = 0 នៅក្នុងទីបី b = 0 និង c = 0 ។

មានសមីការការ៉េមិនពេញលេញចំនួនបីប្រភេទ៖
1) ax 2 +c=0 ដែល \\(c \neq 0 \\);
2) ax 2 +bx=0 ដែល \(b \neq 0 \);
3) ពូថៅ 2 = 0 ។

ចូរយើងពិចារណាការដោះស្រាយសមីការនៃប្រភេទនីមួយៗទាំងនេះ។

ដើម្បីដោះស្រាយសមីការការ៉េមិនពេញលេញនៃទម្រង់ ax 2 +c=0 សម្រាប់ \(c \neq 0 \) ផ្លាស់ទីពាក្យទំនេររបស់វាទៅផ្នែកខាងស្តាំ ហើយចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការដោយ a:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Rightarrow x_(1,2) = \pm \sqrt(-\frac(c)(a)) \)

ចាប់តាំងពី \(c \neq 0 \) បន្ទាប់មក \(-\frac(c)(a) \neq 0 \\)

ប្រសិនបើ \(-\frac(c)(a)>0\) នោះសមីការមានឫសពីរ។

ប្រសិនបើ \(-\frac(c)(a) ដើម្បីដោះស្រាយសមីការការ៉េមិនពេញលេញនៃទម្រង់ ax 2 +bx=0 ជាមួយ \(b \neq 0 \) ពង្រីកវា ខាងឆ្វេងដោយកត្តា និងទទួលបានសមីការ
\(x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \\right។ \Rightarrow \left\(\begin (អារេ)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(array) \\right.\)

នេះមានន័យថាសមីការការ៉េមិនពេញលេញនៃទម្រង់ ax 2 +bx=0 សម្រាប់ \(b \neq 0 \) តែងតែមានឫសពីរ។

សមីការការ៉េមិនពេញលេញនៃទម្រង់ ax 2 = 0 គឺស្មើនឹងសមីការ x 2 = 0 ដូច្នេះហើយមានឫសតែមួយ 0 ។

រូបមន្តសម្រាប់ឫសនៃសមីការបួនជ្រុង

ឥឡូវនេះ ចូរយើងពិចារណាពីរបៀបដើម្បីដោះស្រាយសមីការបួនជ្រុង ដែលទាំងមេគុណនៃចំនួនមិនស្គាល់ និងពាក្យឥតគិតថ្លៃគឺមិនសូន្យ។

ចូរយើងដោះស្រាយសមីការ quadratic ក្នុង ទិដ្ឋភាពទូទៅហើយជាលទ្ធផលយើងទទួលបានរូបមន្តសម្រាប់ឫស។ បន្ទាប់មករូបមន្តនេះអាចត្រូវបានប្រើដើម្បីដោះស្រាយសមីការការ៉េណាមួយ។

ដោះស្រាយសមីការការ៉េ ax 2 +bx+c=0

បែងចែកភាគីទាំងសងខាងដោយ a យើងទទួលបានសមីការការ៉េដែលកាត់បន្ថយស្មើគ្នា
\\(x^2+\frac(b)(a)x+\frac(c)(a)=0 \\)

ចូរបំប្លែងសមីការនេះដោយជ្រើសរើសការេនៃ binomial៖
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2-\left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Rightarrow \)

\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2=\left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 - \frac(c)(a) \Rightarrow \) \(\left(x+\frac(b)(2a)\right)^2=\frac(b^2)(4a^2) - \frac( c)(a) \Rrightarrow \left(x+\frac(b)(2a)\right)^2=\frac(b^2-4ac)(4a^2) \Rightarrow\) \(x+\frac(b) )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2)) \Rightarrow x = -\frac(b)(2a) + \frac(\pm \sqrt(b^2) -4ac))(2a) \Rightarrow \) \(x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac))(2a) \)

កន្សោមរ៉ាឌីកាល់ត្រូវបានគេហៅថា ការរើសអើងនៃសមីការការ៉េ ax 2 +bx+c=0 ("អ្នករើសអើង" ជាភាសាឡាតាំង - អ្នករើសអើង)។ វាត្រូវបានកំណត់ដោយអក្សរ D, i.e.
\\(D = b^2-4ac\)

ឥឡូវនេះ ដោយប្រើសញ្ញាសម្គាល់រើសអើង យើងសរសេររូបមន្តឡើងវិញសម្រាប់ឫសគល់នៃសមីការការ៉េ៖
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D))(2a) \), ដែល \(D=b^2-4ac \)

វាច្បាស់ណាស់ថា:
1) ប្រសិនបើ D>0 នោះសមីការ quadratic មានឫសពីរ។
2) ប្រសិនបើ D=0 នោះសមីការការ៉េមានឫសមួយ \(x=-\frac(b)(2a)\) ។
3) ប្រសិនបើ D ដូច្នេះ អាស្រ័យលើតម្លៃនៃអ្នករើសអើង សមីការការ៉េអាចមានឫសពីរ (សម្រាប់ D> 0) ឫសមួយ (សម្រាប់ D = 0) ឬគ្មានឫស (សម្រាប់ D នៅពេលដោះស្រាយសមីការការ៉េដោយប្រើវា រូបមន្ត​គួរ​ធ្វើ​តាម​វិធី​ដូច​ខាង​ក្រោម៖
1) គណនាអ្នករើសអើង ហើយប្រៀបធៀបវាជាមួយសូន្យ។
2) ប្រសិនបើការរើសអើងវិជ្ជមាន ឬស្មើសូន្យ ចូរប្រើរូបមន្តឫស ប្រសិនបើការរើសអើងគឺអវិជ្ជមាន ចូរសរសេរចុះថាគ្មានឫស។

ទ្រឹស្តីបទរបស់វីតា

អ័ក្សសមីការការ៉េដែលបានផ្តល់ឱ្យ 2 -7x+10=0 មានឫស 2 និង 5។ ផលបូកនៃឫសគឺ 7 ហើយផលិតផលគឺ 10។ យើងឃើញថាផលបូកនៃឫសគឺស្មើនឹងមេគុណទីពីរដែលយកជាមួយផលបូក សញ្ញា ហើយផលនៃឫសគឺស្មើនឹងពាក្យឥតគិតថ្លៃ។ សមីការ​ការ៉េ​ដែល​កាត់​បន្ថយ​ណា​មួយ​ដែល​មាន​ឫស​មាន​លក្ខណៈ​សម្បត្តិ​នេះ។

ផលបូកនៃឫសនៃសមីការ quadratic ខាងលើគឺស្មើនឹងមេគុណទីពីរដែលយកដោយសញ្ញាផ្ទុយ ហើយផលគុណនៃឫសគឺស្មើនឹងពាក្យសេរី។

ទាំងនោះ។ ទ្រឹស្ដីរបស់ Vieta ចែងថា ឫស x 1 និង x 2 នៃសមីការការ៉េកាត់បន្ថយ x 2 +px+q=0 មានទ្រព្យសម្បត្តិ៖
\(\left\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(array) \right។\)

ការបន្តប្រធានបទ "សមីការដោះស្រាយ" សម្ភារៈនៅក្នុងអត្ថបទនេះនឹងណែនាំអ្នកអំពីសមីការបួនជ្រុង។

សូមក្រឡេកមើលអ្វីៗគ្រប់យ៉ាងដោយលម្អិត៖ ខ្លឹមសារ និងសញ្ញាណនៃសមីការបួនជ្រុង កំណត់ពាក្យដែលភ្ជាប់មកជាមួយ វិភាគគ្រោងការណ៍សម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការមិនពេញលេញ និងពេញលេញ ស្គាល់រូបមន្តនៃឫស និងការរើសអើង បង្កើតទំនាក់ទំនងរវាងឫស និងមេគុណ។ ហើយជាការពិតណាស់ យើងនឹងផ្តល់នូវដំណោះស្រាយដែលមើលឃើញដល់ឧទាហរណ៍ជាក់ស្តែង។

Yandex.RTB R-A-339285-1

សមីការបួនជ្រុង, ប្រភេទរបស់វា។

និយមន័យ ១

សមីការ​ការ៉េគឺជាសមីការដែលសរសេរជា a x 2 + b x + c = 0, កន្លែងណា x- អថេរ a, b និង គ- លេខមួយចំនួនខណៈពេលដែល កមិនមែនសូន្យទេ។

ជាញឹកញាប់ សមីការបួនជ្រុងត្រូវបានគេហៅថាសមីការនៃដឺក្រេទីពីរផងដែរ ចាប់តាំងពីនៅក្នុងខ្លឹមសារ សមីការការ៉េគឺជាសមីការពិជគណិតនៃដឺក្រេទីពីរ។

ចូរយើងផ្តល់ឧទាហរណ៍មួយដើម្បីបង្ហាញពីនិយមន័យដែលបានផ្តល់ឱ្យ៖ 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0 ។ល។ ទាំងនេះគឺជាសមីការការ៉េ។

និយមន័យ ២

លេខ a, b និង គគឺជាមេគុណនៃសមីការការ៉េ a x 2 + b x + c = 0ខណៈពេលដែលមេគុណ កត្រូវបានគេហៅថាមេគុណទីមួយ ឬជាន់ខ្ពស់ ឬមេគុណនៅ x 2, ខ - មេគុណទីពីរ ឬមេគុណនៅ x, ក គហៅថាសមាជិកឥតគិតថ្លៃ។

ឧទាហរណ៍នៅក្នុងសមីការ quadratic 6 x 2 − 2 x − 11 = 0មេគុណនាំមុខគឺ 6 មេគុណទីពីរគឺ − 2 ហើយពាក្យសេរីគឺស្មើនឹង − 11 . ចូរយើងយកចិត្តទុកដាក់លើការពិតដែលថានៅពេលដែលមេគុណ ខនិង/ឬ c គឺអវិជ្ជមាន បន្ទាប់មកប្រើ ទម្រង់​ខ្លីកំណត់ត្រាដូចជា 6 x 2 − 2 x − 11 = 0ប៉ុន្តែមិនមែនទេ។ 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

ចូរយើងបញ្ជាក់អំពីទិដ្ឋភាពនេះផងដែរ៖ ប្រសិនបើមេគុណ កនិង/ឬ ខស្មើ 1 ឬ − 1 បន្ទាប់មក ពួកគេអាចនឹងមិនចូលរួមយ៉ាងច្បាស់លាស់ក្នុងការសរសេរសមីការការ៉េ ដែលត្រូវបានពន្យល់ដោយលក្ខណៈពិសេសនៃការសរសេរមេគុណលេខដែលបានចង្អុលបង្ហាញ។ ឧទាហរណ៍នៅក្នុងសមីការ quadratic y 2 − y + 7 = 0មេគុណនាំមុខគឺ 1 ហើយមេគុណទីពីរគឺ − 1 .

សមីការ quadratic កាត់បន្ថយ និងមិនបានកាត់បន្ថយ

ដោយផ្អែកលើតម្លៃនៃមេគុណទីមួយ សមីការ quadratic ត្រូវបានបែងចែកទៅជាកាត់បន្ថយ និងមិនកាត់បន្ថយ។

និយមន័យ ៣

កាត់បន្ថយសមីការការ៉េគឺជាសមីការការ៉េដែលមេគុណនាំមុខគឺ 1 ។ សម្រាប់តម្លៃផ្សេងទៀតនៃមេគុណឈានមុខគេ សមីការបួនជ្រុងមិនកាត់បន្ថយទេ។

ចូរយើងផ្តល់ឧទាហរណ៍៖ សមីការការ៉េ x 2 − 4 · x + 3 = 0, x 2 − x − 4 5 = 0 ត្រូវបានកាត់បន្ថយ ដែលក្នុងនោះមេគុណនាំមុខគឺ 1 ។

9 x 2 − x − 2 = 0- សមីការ​ការ៉េ​មិន​បាន​កាត់​បន្ថយ ដែល​មេគុណ​ទីមួយ​ខុស​ពី 1 .

សមីការការ៉េដែលមិនបានកាត់បន្ថយណាមួយអាចត្រូវបានបំប្លែងទៅជាសមីការកាត់បន្ថយដោយបែងចែកភាគីទាំងពីរដោយមេគុណទីមួយ (បំប្លែងសមមូល)។ សមីការដែលបានបំលែងនឹងមានឫសដូចគ្នាទៅនឹងសមីការដែលមិនកាត់បន្ថយដែលបានផ្តល់ឱ្យ ឬក៏នឹងមិនមានឫសគល់អ្វីទាំងអស់។

ការពិចារណា ឧទាហរណ៍ជាក់ស្តែងនឹងអនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្ហាញយ៉ាងច្បាស់ពីការផ្លាស់ប្តូរពីសមីការបួនជ្រុងដែលមិនបានកាត់បន្ថយទៅជាកាត់បន្ថយមួយ។

ឧទាហរណ៍ ១

ផ្តល់សមីការ 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 . វាចាំបាច់ក្នុងការបំប្លែងសមីការដើមទៅជាទម្រង់កាត់បន្ថយ។

ដំណោះស្រាយ

យោងតាមគ្រោងការណ៍ខាងលើយើងបែងចែកភាគីទាំងពីរនៃសមីការដើមដោយមេគុណនាំមុខ 6 ។ បន្ទាប់មកយើងទទួលបាន៖ (6 x 2 + 18 x − 7) : 3 = 0:3ហើយនេះគឺដូចគ្នាទៅនឹង៖ (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 − 7: 3 = 0និងបន្ថែមទៀត៖ (6:6) x 2 + (18:6) x − 7:6 = 0 ។ពី​ទីនេះ: x 2 + 3 x − 1 1 6 = 0 ។ ដូច្នេះ សមីការ​មួយ​ដែល​ស្មើ​នឹង​មួយ​ដែល​បាន​ផ្ដល់​ត្រូវ​បាន​ទទួល។

ចម្លើយ៖ x 2 + 3 x − 1 1 6 = 0 ។

សមីការ​ក្រឡា​ចត្រង្គ​ពេញលេញ និង​មិន​ពេញលេញ

ចូរយើងងាកទៅរកនិយមន័យនៃសមីការការ៉េ។ នៅក្នុងនោះយើងបានបញ្ជាក់ a ≠ 0. លក្ខខណ្ឌស្រដៀងគ្នាគឺចាំបាច់សម្រាប់សមីការ a x 2 + b x + c = 0ជាការ៉េយ៉ាងជាក់លាក់ តាំងពី a = 0វាប្រែជាសំខាន់ សមីការលីនេអ៊ែរ b x + c = 0.

ក្នុងករណីនៅពេលដែលមេគុណ ខនិង គគឺស្មើនឹងសូន្យ (ដែលអាចធ្វើទៅបានទាំងបុគ្គល និងរួមគ្នា) សមីការការ៉េត្រូវបានគេហៅថាមិនពេញលេញ។

និយមន័យ ៤

សមីការការ៉េមិនពេញលេញ- សមីការ​ការ៉េ​បែប​នេះ។ a x 2 + b x + c = 0,ដែលយ៉ាងហោចណាស់មេគុណមួយ។ ខនិង គ(ឬទាំងពីរ) គឺសូន្យ។

បញ្ចប់សមីការការ៉េ- សមីការការ៉េដែលមេគុណលេខទាំងអស់មិនស្មើនឹងសូន្យ។

ចូរពិភាក្សាអំពីមូលហេតុដែលប្រភេទនៃសមីការការ៉េត្រូវបានផ្តល់ឈ្មោះទាំងនេះយ៉ាងពិតប្រាកដ។

នៅពេល b = 0 សមីការការ៉េយកទម្រង់ a x 2 + 0 x + c = 0ដែលដូចគ្នានឹង a x 2 + c = 0. នៅ c = 0សមីការ​ការ៉េ​ត្រូវ​បាន​សរសេរ​ជា a x 2 + b x + 0 = 0ដែលស្មើនឹង a x 2 + b x = 0. នៅ b = 0និង c = 0សមីការនឹងយកទម្រង់ a x 2 = 0. សមីការ​ដែល​យើង​ទទួល​បាន​ខុស​ពី​សមីការ​ការ៉េ​ពេញលេញ​ដែល​ផ្នែក​ខាងឆ្វេង​របស់​វា​មិន​មាន​ពាក្យ​ដែល​មាន​អថេរ x ឬ​ពាក្យ​ទំនេរ ឬ​ទាំងពីរ។ តាមពិតការពិតនេះបានផ្តល់ឈ្មោះទៅសមីការប្រភេទនេះ - មិនពេញលេញ។

ឧទាហរណ៍ x 2 + 3 x + 4 = 0 និង − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 គឺជាសមីការការ៉េពេញលេញ។ x 2 = 0, − 5 x 2 = 0; 11 x 2 + 2 = 0, − x 2 − 6 x = 0 – សមីការការ៉េមិនពេញលេញ។

ការដោះស្រាយសមីការការ៉េមិនពេញលេញ

និយមន័យដែលបានផ្តល់ឱ្យខាងលើធ្វើឱ្យវាអាចបន្លិច ប្រភេទខាងក្រោមសមីការការ៉េមិនពេញលេញ៖

• a x 2 = 0, សមីការនេះត្រូវគ្នាទៅនឹងមេគុណ b = 0និង c = 0 ;
• a · x 2 + c = 0 នៅ b = 0 ;
• a · x 2 + b · x = 0 នៅ c = 0 ។

ចូរយើងពិចារណាតាមលំដាប់នៃដំណោះស្រាយនៃប្រភេទនីមួយៗនៃសមីការការ៉េមិនពេញលេញ។

ដំណោះស្រាយនៃសមីការ a x 2 = 0

ដូចដែលបានរៀបរាប់ខាងលើសមីការនេះត្រូវគ្នាទៅនឹងមេគុណ ខនិង គស្មើសូន្យ។ សមីការ a x 2 = 0អាចបំប្លែងទៅជាសមីការសមមូល x 2 = 0ដែលយើងទទួលបានដោយបែងចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការដើមដោយចំនួន ក, មិនស្មើនឹងសូន្យ។ ការពិតជាក់ស្តែងគឺថាឫសគល់នៃសមីការ x 2 = 0នេះគឺសូន្យដោយសារតែ 0 2 = 0 . សមីការនេះមិនមានឫសគល់ផ្សេងទៀតទេ ដែលអាចត្រូវបានពន្យល់ដោយលក្ខណៈសម្បត្តិនៃដឺក្រេ៖ សម្រាប់លេខណាមួយ។ ទំ,មិនស្មើសូន្យ វិសមភាពគឺពិត ទំ 2 > 0ពីដែលវាធ្វើតាមថានៅពេលណា p ≠ 0សមភាព p 2 = 0នឹងមិនដែលសម្រេចបានឡើយ។

និយមន័យ ៥

ដូច្នេះសម្រាប់សមីការការ៉េមិនពេញលេញ a x 2 = 0 មានឫសតែមួយ x = 0.

ឧទាហរណ៍ ២

ជាឧទាហរណ៍ ចូរយើងដោះស្រាយសមីការការ៉េមិនពេញលេញ − 3 x 2 = 0. វាស្មើនឹងសមីការ x 2 = 0ឫសតែមួយគត់របស់វាគឺ x = 0បន្ទាប់មកសមីការដើមមានឫសតែមួយ - សូន្យ។

ដោយសង្ខេប ដំណោះស្រាយត្រូវបានសរសេរដូចខាងក្រោម៖

− 3 x 2 = 0, x 2 = 0, x = 0 ។

ការដោះស្រាយសមីការ a x 2 + c = 0

បន្ទាប់នៅក្នុងបន្ទាត់គឺជាដំណោះស្រាយនៃសមីការការ៉េមិនពេញលេញ ដែល b = 0, c ≠ 0 នោះគឺជាសមីការនៃទម្រង់ a x 2 + c = 0. ចូរបំប្លែងសមីការនេះដោយរំកិលពាក្យមួយពីផ្នែកម្ខាងនៃសមីការទៅម្ខាងទៀត ប្តូរសញ្ញាទៅសញ្ញាទល់មុខ ហើយបែងចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការដោយលេខដែលមិនស្មើនឹងសូន្យ៖

• ផ្ទេរ គទៅខាងស្តាំដៃ ដែលផ្តល់សមីការ a x 2 = − គ;
• ចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការដោយ កយើងបញ្ចប់ដោយ x = - c a ។

ការបំប្លែងរបស់យើងគឺសមមូល អាស្រ័យហេតុនេះសមីការលទ្ធផលក៏សមមូលទៅនឹងសមីការដើមដែរ ហើយការពិតនេះធ្វើឱ្យវាអាចធ្វើការសន្និដ្ឋានអំពីឫសគល់នៃសមីការ។ ពីអ្វីដែលមានតម្លៃ កនិង គតម្លៃនៃកន្សោម - c a អាស្រ័យ: វាអាចមានសញ្ញាដក (ឧទាហរណ៍ប្រសិនបើ a = 1និង គ = ២បន្ទាប់មក - c a = - 2 1 = − 2) ឬសញ្ញាបូក (ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើ a = − ២និង គ = ៦, បន្ទាប់មក - c a = - 6 - 2 = 3); វាមិនមែនសូន្យទេពីព្រោះ គ ≠ ០. អនុញ្ញាតឱ្យយើងរស់នៅក្នុងលម្អិតបន្ថែមទៀតអំពីស្ថានភាពនៅពេលដែល - គ< 0 и - c a > 0 .

ក្នុងករណីនៅពេលដែល - គ< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа ទំសមភាព p 2 = - c a មិនអាចជាការពិតទេ។

អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺខុសគ្នានៅពេលដែល - c a > 0: ចងចាំឫសការ៉េហើយវានឹងច្បាស់ថាឫសនៃសមីការ x 2 = - c a នឹងជាលេខ - c a ចាប់តាំងពី - c a 2 = - c a ។ វាមិនពិបាកយល់ទេថា លេខ − c a ក៏ជាឫសគល់នៃសមីការ x 2 = − c a: ពិតហើយ − − c a 2 = − c a ។

សមីការនឹងមិនមានឫសផ្សេងទៀតទេ។ យើង​អាច​ធ្វើ​ការ​បង្ហាញ​នេះ​ដោយ​ប្រើ​វិធី​ផ្ទុយ។ ដើម្បីចាប់ផ្តើមជាមួយ អនុញ្ញាតឱ្យយើងកំណត់ចំណាំសម្រាប់ឫសដែលបានរកឃើញខាងលើ x ១និង − x ១. ចូរយើងសន្មតថាសមីការ x 2 = − c a ក៏មានឫសដែរ។ x ២ដែលខុសពីឫស x ១និង − x ១. យើងដឹងថាដោយការជំនួសសមីការ xឫសរបស់វា យើងបំប្លែងសមីការទៅជាសមភាពលេខដ៏យុត្តិធម៌។

សម្រាប់ x ១និង − x ១យើងសរសេរ៖ x 1 2 = - c a និងសម្រាប់ x ២− x 2 2 = − គ . ដោយផ្អែកលើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃសមភាពជាលេខ យើងដកពាក្យសមភាពត្រឹមត្រូវមួយដោយពាក្យមួយទៀត ដែលនឹងផ្តល់ឱ្យយើងនូវ៖ x 1 2 − x 2 2 = 0. យើងប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃប្រតិបត្តិការជាមួយលេខដើម្បីសរសេរឡើងវិញនូវសមភាពចុងក្រោយជា (x 1 − x 2) · (x 1 + x 2) = 0. វាត្រូវបានគេដឹងថាផលគុណនៃលេខពីរគឺសូន្យប្រសិនបើ ហើយលុះត្រាតែយ៉ាងហោចណាស់លេខមួយគឺសូន្យ។ ពីខាងលើវាធ្វើតាមនោះ។ x 1 − x 2 = 0និង/ឬ x 1 + x 2 = 0ដែលដូចគ្នា។ x 2 = x 1និង/ឬ x 2 = − x 1. ភាពផ្ទុយគ្នាជាក់ស្តែងមួយបានកើតឡើង ពីព្រោះដំបូងគេបានយល់ស្របថាឫសគល់នៃសមីការ x ២ខុសគ្នាពី x ១និង − x ១. ដូច្នេះ យើង​បាន​បង្ហាញ​ថា​សមីការ​គ្មាន​ឫស​អ្វី​ក្រៅ​ពី x = − c a និង x = − − c a ។

ចូរយើងសង្ខេបអំណះអំណាងទាំងអស់ខាងលើ។

និយមន័យ ៦

សមីការការ៉េមិនពេញលេញ a x 2 + c = 0គឺស្មើនឹងសមីការ x 2 = − c a ដែល៖

• នឹងមិនមានឫសនៅ - គ< 0 ;
• នឹងមានឫសពីរ x = - c a និង x = - - c a សម្រាប់ - c a > 0 ។

ចូរយើងផ្តល់ឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយសមីការ a x 2 + c = 0.

ឧទាហរណ៍ ៣

ផ្តល់សមីការការ៉េ 9 x 2 + 7 = 0 ។វាចាំបាច់ក្នុងការស្វែងរកដំណោះស្រាយ។

ដំណោះស្រាយ

ចូរផ្លាស់ទីពាក្យសេរីទៅផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការ នោះសមីការនឹងយកទម្រង់ 9 x 2 = − 7 ។
ចូរយើងបែងចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការលទ្ធផលដោយ 9 យើងមកដល់ x 2 = − 7 9 ។ នៅជ្រុងខាងស្តាំយើងឃើញលេខដែលមានសញ្ញាដក ដែលមានន័យថា៖ សមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យមិនមានឫសគល់ទេ។ បន្ទាប់មកសមីការការ៉េមិនពេញលេញដើម 9 x 2 + 7 = 0នឹងមិនមានឫសទេ។

ចម្លើយ៖សមីការ 9 x 2 + 7 = 0មិនមានឫសទេ។

ឧទាហរណ៍ 4

សមីការត្រូវតែដោះស្រាយ − x 2 + 36 = 0.

ដំណោះស្រាយ

ចូរផ្លាស់ទី 36 ទៅខាងស្តាំ៖ − x 2 = − 36.
ចូរបែងចែកផ្នែកទាំងពីរដោយ − 1 , យើង​ទទួល​បាន x 2 = 36. នៅខាងស្តាំ - លេខវិជ្ជមានពីទីនេះយើងអាចសន្និដ្ឋានបាន។ x = 36 ឬ x = − ៣៦ .
ចូរស្រង់ឫស ហើយសរសេរលទ្ធផលចុងក្រោយ៖ សមីការការ៉េមិនពេញលេញ − x 2 + 36 = 0មានឫសពីរ x=6ឬ x = − ៦.

ចម្លើយ៖ x=6ឬ x = − ៦.

ដំណោះស្រាយនៃសមីការ a x 2 + b x = 0

ចូរយើងវិភាគប្រភេទទីបីនៃសមីការ quadratic មិនពេញលេញ ពេលណា c = 0. ដើម្បីស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះសមីការការ៉េមិនពេញលេញ a x 2 + b x = 0យើងនឹងប្រើវិធីសាស្ត្រកត្តា។ ចូរធ្វើកត្តាពហុនាមដែលស្ថិតនៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការ ដោយយកវាចេញពីតង្កៀប មេគុណទូទៅ x. ជំហាននេះនឹងធ្វើឱ្យវាអាចបំប្លែងសមីការការ៉េមិនពេញលេញដើមទៅជាសមមូលរបស់វា x (a x + b) = 0. ហើយសមីការនេះ, នៅក្នុងវេន, គឺស្មើនឹងសំណុំនៃសមីការមួយ។ x = 0និង a x + b = 0. សមីការ a x + b = 0លីនេអ៊ែរ និងឫសរបស់វា៖ x = − b ក.

និយមន័យ ៧

ដូច្នេះសមីការការ៉េមិនពេញលេញ a x 2 + b x = 0នឹងមានឫសពីរ x = 0និង x = − b ក.

ចូរយើងពង្រឹងសម្ភារៈជាមួយនឹងឧទាហរណ៍មួយ។

ឧទាហរណ៍ 5

ចាំបាច់ត្រូវរកដំណោះស្រាយចំពោះសមីការ 2 3 · x 2 − 2 2 7 · x = 0 ។

ដំណោះស្រាយ

យើងនឹងយកវាចេញ xនៅខាងក្រៅតង្កៀបយើងទទួលបានសមីការ x · 2 3 · x − 2 2 7 = 0 ។ សមីការនេះគឺស្មើនឹងសមីការ x = 0និង 2 3 x − 2 2 7 = 0 ។ ឥឡូវអ្នកគួរដោះស្រាយសមីការលីនេអ៊ែរលទ្ធផល៖ 2 3 · x = 2 2 7, x = 2 2 7 2 3 ។

សូមសរសេរដោយសង្ខេបនូវដំណោះស្រាយចំពោះសមីការដូចខាងក្រោម៖

2 3 x 2 − 2 2 7 x = 0 x 2 3 x − 2 2 7 = 0

x = 0 ឬ 2 3 x − 2 2 7 = 0

x = 0 ឬ x = 3 3 ៧

ចម្លើយ៖ x = 0, x = 3 3 ៧.

ការរើសអើង, រូបមន្តសម្រាប់ឫសនៃសមីការការ៉េ

ដើម្បីស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះសមីការ quadratic មានរូបមន្តឫស៖

និយមន័យ ៨

x = - b ± D 2 · a, កន្លែងណា D = b 2 − 4 a គ- អ្វី​ដែល​គេ​ហៅ​ថា​រើស​អើង​នៃ​សមីការ​ការ៉េ។

ការសរសេរ x = − b ± D 2 · a សំខាន់មានន័យថា x 1 = − b + D 2 · a, x 2 = - b − D 2 · a ។

វានឹងមានប្រយោជន៍ក្នុងការស្វែងយល់ពីរបៀបដែលរូបមន្តនេះត្រូវបានចេញ និងរបៀបអនុវត្តវា។

ដេរីវេនៃរូបមន្តសម្រាប់ឫសនៃសមីការការ៉េ

អនុញ្ញាតឱ្យយើងប្រឈមមុខនឹងភារកិច្ចនៃការដោះស្រាយសមីការការ៉េ a x 2 + b x + c = 0. ចូរយើងអនុវត្តការបំប្លែងសមមូលមួយចំនួន៖

• ចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការដោយលេខមួយ។ កខុសពីសូន្យ យើងទទួលបានសមីការការ៉េខាងក្រោម៖ x 2 + b a · x + c a = 0 ;
• សូមគូសបញ្ជាក់ ការ៉េល្អឥតខ្ចោះនៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការលទ្ធផល៖
  x 2 + b a · x + c a = x 2 + 2 · b 2 · a · x + b 2 · a 2 − b 2 · a 2 + c a = = x + b 2 · a 2 − b 2 · a 2 + គ
  បន្ទាប់ពីនេះសមីការនឹងយកទម្រង់: x + b 2 · a 2 − b 2 · a 2 + c a = 0;
• ឥឡូវនេះវាអាចទៅរួចក្នុងការផ្ទេរពាក្យពីរចុងក្រោយទៅផ្នែកខាងស្តាំដោយផ្លាស់ប្តូរសញ្ញាទៅផ្ទុយបន្ទាប់ពីនោះយើងទទួលបាន: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
• ជាចុងក្រោយ យើងបំប្លែងកន្សោមដែលសរសេរនៅខាងស្តាំនៃសមភាពចុងក្រោយ៖
  b 2 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 − 4 · a · c 4 · a 2 = b 2 − 4 · a · c 4 · a 2 ។

ដូចនេះ យើងមកដល់សមីការ x + b 2 · a 2 = b 2 − 4 · a · c 4 · a 2 , ស្មើនឹងសមីការដើម a x 2 + b x + c = 0.

យើងបានពិនិត្យមើលដំណោះស្រាយនៃសមីការបែបនេះនៅក្នុងកថាខណ្ឌមុន (ដោះស្រាយសមីការការ៉េមិនពេញលេញ)។ បទពិសោធន៍ដែលទទួលបានរួចហើយ ធ្វើឱ្យវាអាចធ្វើការសន្និដ្ឋានអំពីឫសគល់នៃសមីការ x + b 2 · a 2 = b 2 − 4 · a · c 4 · a 2:

• ជាមួយ b 2 − 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• នៅពេល b 2 − 4 · a · c 4 · a 2 = 0 សមីការគឺ x + b 2 · a 2 = 0 បន្ទាប់មក x + b 2 · a = 0 ។

ពីទីនេះឫសតែមួយគត់ x = - b 2 · a គឺជាក់ស្តែង;

• សម្រាប់ b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 > 0 ខាងក្រោមនេះនឹងជាការពិត៖ x + b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 ឬ x = b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 ដែលដូចគ្នានឹង x + − b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 ឬ x = - b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , i.e. សមីការមានឫសពីរ។

គេអាចសន្និដ្ឋានបានថាវត្តមាន ឬអវត្តមាននៃឫសនៃសមីការ x + b 2 · a 2 = b 2 − 4 · a · c 4 · a 2 (ហើយដូច្នេះសមីការដើម) អាស្រ័យលើសញ្ញានៃកន្សោម b ។ 2 - 4 · a · c 4 · a 2 សរសេរនៅខាងស្តាំ។ ហើយសញ្ញានៃការបញ្ចេញមតិនេះត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយសញ្ញានៃភាគយក, (ភាគបែង ៤ ក ២នឹងតែងតែវិជ្ជមាន) នោះគឺជាសញ្ញានៃការបញ្ចេញមតិ b 2 − 4 ក. ការបញ្ចេញមតិនេះ។ b 2 − 4 កឈ្មោះត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ - ការរើសអើងនៃសមីការ quadratic និងអក្សរ D ត្រូវបានកំណត់ថាជាការកំណត់របស់វា។ នៅទីនេះអ្នកអាចសរសេរខ្លឹមសារនៃការរើសអើង - ដោយផ្អែកលើតម្លៃ និងសញ្ញារបស់វា ពួកគេអាចសន្និដ្ឋានបានថាតើសមីការបួនជ្រុងនឹងមានឫសពិតប្រាកដ ហើយប្រសិនបើដូច្នេះ តើចំនួនឫស - មួយឬពីរ។

ចូរយើងត្រលប់ទៅសមីការ x + b 2 · a 2 = b 2 − 4 · a · c 4 · a 2 ។ ចូរយើងសរសេរវាឡើងវិញដោយប្រើសញ្ញាសម្គាល់ៈ x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 ។

ចូរយើងបង្កើតការសន្និដ្ឋានរបស់យើងម្តងទៀត៖

និយមន័យ ៩

• នៅ ឃ< 0 សមីការមិនមានឫសគល់ពិតប្រាកដ។
• នៅ ឃ=0សមីការមានឫសតែមួយ x = - b 2 · a ;
• នៅ ឃ > 0សមីការមានឫសពីរ៖ x = − b 2 · a + D 4 · a 2 ឬ x = − b 2 · a − D 4 · a 2 ។ ដោយផ្អែកលើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃរ៉ាឌីកាល់ឫសទាំងនេះអាចត្រូវបានសរសេរជាទម្រង់: x = - b 2 · a + D 2 · a ឬ - b 2 · a - D 2 · a ។ ហើយនៅពេលដែលយើងបើកម៉ូឌុល ហើយនាំប្រភាគទៅជាភាគបែងធម្មតា យើងទទួលបាន៖ x = − b + D 2 · a, x = - b - D 2 · a ។

ដូច្នេះ លទ្ធផល​នៃ​ការ​វែកញែក​របស់​យើង​គឺ​ជា​ការ​ចេញ​មក​នៃ​រូបមន្ត​សម្រាប់​ឫសគល់​នៃ​សមីការ​ការ៉េ៖

x = − b + D 2 a, x = - b − D 2 a, រើសអើង ឃគណនាដោយរូបមន្ត D = b 2 − 4 a គ.

រូបមន្តទាំងនេះធ្វើឱ្យវាអាចកំណត់ឫសពិតប្រាកដទាំងពីរនៅពេលដែលការរើសអើងគឺធំជាងសូន្យ។ នៅពេលដែលការរើសអើងគឺសូន្យ ការអនុវត្តរូបមន្តទាំងពីរនឹងផ្តល់ឫសដូចគ្នាជាដំណោះស្រាយតែមួយគត់ចំពោះសមីការការ៉េ។ ក្នុងករណីដែលការរើសអើងគឺអវិជ្ជមាន ប្រសិនបើយើងព្យាយាមប្រើរូបមន្តសម្រាប់ឫសនៃសមីការបួនជ្រុង យើងនឹងប្រឈមមុខនឹងតម្រូវការក្នុងការស្រង់ចេញ។ ឫស​ការេពីចំនួនអវិជ្ជមាន ដែលនឹងនាំយើងលើសពីចំនួនពិត។ ជាមួយនឹងការរើសអើងអវិជ្ជមាន សមីការបួនជ្រុងនឹងមិនមានឫសពិតទេ ប៉ុន្តែឫសផ្សំស្មុគស្មាញមួយគូគឺអាចធ្វើទៅបាន ដែលកំណត់ដោយរូបមន្តឫសដូចគ្នាដែលយើងទទួលបាន។

ក្បួនដោះស្រាយសមីការការ៉េដោយប្រើរូបមន្តឫស

វាគឺអាចធ្វើទៅបានដើម្បីដោះស្រាយសមីការ quadratic ដោយប្រើប្រាស់រូបមន្ត root ភ្លាមៗ ប៉ុន្តែជាទូទៅ វាត្រូវបានធ្វើនៅពេលដែលអ្នកត្រូវការស្វែងរក ឫសស្មុគស្មាញ.

ក្នុង​ករណី​ភាគច្រើន វា​ជា​ធម្មតា​មាន​ន័យ​ថា​ការ​ស្វែងរក​មិន​ស្មុគស្មាញ​ទេ ប៉ុន្តែ​សម្រាប់​ឫសគល់​ពិត​នៃ​សមីការ​ការ៉េ។ បន្ទាប់មក វាល្អប្រសើរបំផុត មុននឹងប្រើរូបមន្តសម្រាប់ឫសគល់នៃសមីការការ៉េ ដើម្បីកំណត់អ្នករើសអើងជាមុនសិន ហើយត្រូវប្រាកដថាវាមិនអវិជ្ជមាន (បើមិនដូច្នេះទេ យើងនឹងសន្និដ្ឋានថាសមីការមិនមានឫសគល់ពិតប្រាកដ) ហើយបន្ទាប់មកបន្តគណនា តម្លៃនៃឫស។

ហេតុផលខាងលើធ្វើឱ្យវាអាចបង្កើតក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការការ៉េ។

និយមន័យ ១០

ដើម្បីដោះស្រាយសមីការការ៉េ a x 2 + b x + c = 0ចាំបាច់៖

• យោងតាមរូបមន្ត D = b 2 − 4 a គស្វែងរកតម្លៃខុសគ្នា;
• នៅ D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• សម្រាប់ D = 0 រកឫសតែមួយគត់នៃសមីការដោយប្រើរូបមន្ត x = − b 2 · a ;
• សម្រាប់ D > 0 កំណត់ឫសពិតពីរនៃសមីការការ៉េដោយប្រើរូបមន្ត x = - b ± D 2 · a ។

ចំណាំថានៅពេលដែលការរើសអើងគឺសូន្យ អ្នកអាចប្រើរូបមន្ត x = − b ± D 2 · a វានឹងផ្តល់លទ្ធផលដូចគ្នានឹងរូបមន្ត x = − b 2 · a ។

សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍។

ឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយសមីការការ៉េ

ចូរយើងផ្តល់ដំណោះស្រាយចំពោះឧទាហរណ៍សម្រាប់ អត្ថន័យផ្សេងគ្នារើសអើង។

ឧទាហរណ៍ ៦

យើងត្រូវស្វែងរកឫសគល់នៃសមីការ x 2 + 2 x − 6 = 0.

ដំណោះស្រាយ

ចូរសរសេរមេគុណលេខនៃសមីការការ៉េ៖ a = 1, b = 2 និង គ = − ៦. បន្ទាប់យើងបន្តទៅតាមក្បួនដោះស្រាយ i.e. ចូរចាប់ផ្តើមគណនាការរើសអើង ដែលយើងនឹងជំនួសមេគុណ a, b និង គចូលទៅក្នុងរូបមន្តរើសអើង៖ D = b 2 − 4 · a · c = 2 2 − 4 · 1 · (− 6) = 4 + 24 = 28 ។

ដូច្នេះយើងទទួលបាន D> 0 ដែលមានន័យថាសមីការដើមនឹងមានឫសពិតពីរ។
ដើម្បីស្វែងរកពួកវា យើងប្រើរូបមន្តឫស x = - b ± D 2 · a ហើយជំនួសតម្លៃដែលត្រូវគ្នា យើងទទួលបាន: x = − 2 ± 28 2 · 1 ។ ចូរយើងសម្រួលការបញ្ចេញមតិលទ្ធផលដោយយកកត្តាចេញពីសញ្ញាឫសហើយបន្ទាប់មកកាត់បន្ថយប្រភាគ៖

x = − 2 ± 2 7 ២

x = − 2 + 2 7 2 ឬ x = − 2 − 2 7 2

x = − 1 + 7 ឬ x = − 1 − 7

ចម្លើយ៖ x = − 1 + 7 , x = − 1 − 7 ។

ឧទាហរណ៍ ៧

ត្រូវការដោះស្រាយសមីការការ៉េ − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

ដំណោះស្រាយ

ចូរកំណត់អ្នករើសអើង៖ ឃ = 28 2 − 4 · (− 4) · (− 49) = 784 − 784 = 0. ជាមួយនឹងតម្លៃនៃការរើសអើងនេះ សមីការដើមនឹងមានឫសតែមួយ កំណត់ដោយរូបមន្ត x = − b 2 · a ។

x = − 28 2 (− 4) x = 3.5

ចម្លើយ៖ x = 3.5.

ឧទាហរណ៍ ៨

សមីការត្រូវតែដោះស្រាយ 5 y 2 + 6 y + 2 = 0

ដំណោះស្រាយ

មេគុណលេខនៃសមីការនេះនឹងមានៈ a = 5, b = 6 និង c = 2 ។ យើងប្រើតម្លៃទាំងនេះដើម្បីស្វែងរកការរើសអើង៖ D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 ។ ការរើសអើងដែលបានគណនាគឺអវិជ្ជមាន ដូច្នេះសមីការការ៉េដើមមិនមានឫសគល់ពិតប្រាកដទេ។

ក្នុងករណីដែលភារកិច្ចគឺដើម្បីចង្អុលបង្ហាញឫសស្មុគ្រស្មាញ យើងអនុវត្តរូបមន្តឫស ដោយអនុវត្តសកម្មភាពជាមួយចំនួនកុំផ្លិច៖

x = − 6 ± − 4 2 5 ,

x = − 6 + 2 i 10 ឬ x = − 6 − 2 i 10,

x = − 3 5 + 1 5 · i ឬ x = − 3 5 − 1 5 · i.

ចម្លើយ៖មិនមានឫសពិតប្រាកដ; ឫសស្មុគ្រស្មាញមានដូចខាងក្រោម៖ - 3 5 + 1 5 · i, - 3 5 - 1 5 · i ។

IN កម្មវិធីសិក្សារបស់សាលាមិនមានតម្រូវការស្តង់ដារដើម្បីរកមើលឫសស្មុគ្រស្មាញទេ ដូច្នេះប្រសិនបើក្នុងអំឡុងពេលដំណោះស្រាយ អ្នករើសអើងត្រូវបានកំណត់ថាជាអវិជ្ជមាន ចម្លើយត្រូវបានសរសេរភ្លាមៗថាមិនមានឫសគល់ពិតប្រាកដនោះទេ។

រូបមន្តឫសសម្រាប់មេគុណទីពីរ

រូបមន្តឫស x = - b ± D 2 · a (D = b 2 − 4 · a · c) ធ្វើឱ្យវាអាចទទួលបានរូបមន្តមួយទៀតបង្រួមជាងមុន ដែលអនុញ្ញាតឱ្យមនុស្សម្នាក់ស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះសមីការការ៉េដែលមានមេគុណគូសម្រាប់ x ( ឬជាមួយមេគុណនៃទម្រង់ 2 · n ឧទាហរណ៍ 2 3 ឬ 14 ln 5 = 2 7 ln 5) ។ ចូរយើងបង្ហាញពីរបៀបដែលរូបមន្តនេះចេញមក។

អនុញ្ញាតឱ្យយើងប្រឈមមុខនឹងភារកិច្ចក្នុងការស្វែងរកដំណោះស្រាយនៃសមីការការ៉េ a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 ។ យើងបន្តទៅតាមក្បួនដោះស្រាយ៖ យើងកំណត់ការរើសអើង D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c) ហើយបន្ទាប់មកប្រើរូបមន្តឫស៖

x = − 2 n ± D 2 a, x = − 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x = − 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · c a .

អនុញ្ញាតឱ្យកន្សោម n 2 − a · c ត្រូវបានតំណាងថាជា D 1 (ជួនកាលវាតំណាងឱ្យ D ") បន្ទាប់មករូបមន្តសម្រាប់ឫសនៃសមីការការ៉េដែលកំពុងពិចារណាជាមួយមេគុណទីពីរ 2 · n នឹងយកទម្រង់៖

x = − n ± D 1 a, ដែល D 1 = n 2 − a · c ។

វាងាយមើលថា D = 4 · D 1, ឬ D 1 = D 4 ។ និយាយម្យ៉ាងទៀត D 1 គឺមួយភាគបួននៃអ្នករើសអើង។ ជាក់ស្តែង សញ្ញា D 1 គឺដូចគ្នានឹងសញ្ញា D ដែលមានន័យថា សញ្ញា D 1 ក៏អាចដើរតួជាសូចនាករនៃវត្តមាន ឬអវត្តមាននៃឫសគល់នៃសមីការការ៉េ។

និយមន័យ ១១

ដូច្នេះ ដើម្បីស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះសមីការការ៉េដែលមានមេគុណទីពីរនៃ 2 n វាគឺចាំបាច់៖

• រក D 1 = n 2 − a · c ;
• នៅ D 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• នៅពេល D 1 = 0 កំណត់ឫសតែមួយគត់នៃសមីការដោយប្រើរូបមន្ត x = - n a;
• សម្រាប់ D 1 > 0 កំណត់ឫសពិតពីរដោយប្រើរូបមន្ត x = - n ± D 1 a ។

ឧទាហរណ៍ ៩

វាចាំបាច់ក្នុងការដោះស្រាយសមីការការ៉េ 5 x 2 − 6 x − 32 = 0 ។

ដំណោះស្រាយ

យើងអាចតំណាងឱ្យមេគុណទីពីរនៃសមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យជា 2 · (− 3) ។ បន្ទាប់មកយើងសរសេរសមីការការ៉េដែលបានផ្តល់ឱ្យឡើងវិញជា 5 x 2 + 2 (− 3) x − 32 = 0 ដែល a = 5, n = − 3 និង c = − 32 ។

ចូរគណនាផ្នែកទីបួននៃអ្នករើសអើង៖ D 1 = n 2 − a · c = (− 3) 2 − 5 · (− 32) = 9 + 160 = 169 ។ តម្លៃលទ្ធផលគឺវិជ្ជមាន ដែលមានន័យថាសមីការមានឫសពិតពីរ។ ចូរយើងកំណត់ពួកវាដោយប្រើរូបមន្តឫសដែលត្រូវគ្នា៖

x = - n ± D 1 a, x = - 3 ± 169 5, x = 3 ± 13 5,

x = 3 + 13 5 ឬ x = 3 − 13 5

x = 3 1 5 ឬ x = − 2

វាអាចអនុវត្តការគណនាដោយប្រើរូបមន្តធម្មតាសម្រាប់ឫសនៃសមីការការ៉េ ប៉ុន្តែក្នុងករណីនេះដំណោះស្រាយនឹងកាន់តែស្មុគស្មាញ។

ចម្លើយ៖ x = 3 1 5 ឬ x = − 2 ។

ធ្វើឱ្យទម្រង់នៃសមីការការ៉េសាមញ្ញ

ជួនកាលវាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីបង្កើនប្រសិទ្ធភាពទម្រង់នៃសមីការដើមដែលនឹងធ្វើឱ្យដំណើរការនៃការគណនាឫសកាន់តែងាយស្រួល។

ឧទាហរណ៍ សមីការការ៉េ 12 x 2 − 4 x − 7 = 0 ច្បាស់ជាងាយស្រួលដោះស្រាយជាង 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0 ។

កាន់តែញឹកញាប់ ភាពសាមញ្ញនៃទម្រង់សមីការបួនជ្រុងត្រូវបានអនុវត្តដោយការគុណ ឬបែងចែកភាគីទាំងពីរដោយចំនួនជាក់លាក់មួយ។ ឧទាហរណ៍ខាងលើ យើងបានបង្ហាញពីការតំណាងសាមញ្ញនៃសមីការ 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0 ដែលទទួលបានដោយបែងចែកភាគីទាំងពីរដោយ 100 ។

ការបំប្លែងបែបនេះគឺអាចធ្វើទៅបាននៅពេលដែលមេគុណនៃសមីការការ៉េមិនមានគ្នាទៅវិញទៅមក លេខបឋម. បន្ទាប់មកជាធម្មតាយើងបែងចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការដោយការបែងចែកទូទៅធំបំផុតនៃតម្លៃដាច់ខាតនៃមេគុណរបស់វា។

ជាឧទាហរណ៍ យើងប្រើសមីការការ៉េ 12 x 2 − 42 x + 48 = 0 ។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងកំណត់ GCD នៃតម្លៃដាច់ខាតនៃមេគុណរបស់វា: GCD (12, 42, 48) = GCD(GCD (12, 42), 48) = GCD (6, 48) = 6 ។ ចូរយើងបែងចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការការ៉េដើមដោយ 6 ហើយទទួលបានសមីការការ៉េសមមូល 2 x 2 − 7 x + 8 = 0 ។

ដោយការគុណទាំងសងខាងនៃសមីការការ៉េ ជាធម្មតាអ្នកកម្ចាត់មេគុណប្រភាគ។ ក្នុងករណីនេះ ពួកវាគុណនឹងផលគុណធម្មតាតិចបំផុតនៃភាគបែងនៃមេគុណរបស់វា។ ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើផ្នែកនីមួយៗនៃសមីការការ៉េ 1 6 x 2 + 2 3 x − 3 = 0 ត្រូវបានគុណនឹង LCM (6, 3, 1) = 6 នោះវានឹងត្រូវបានសរសេរជាច្រើនទៀត ក្នុងទម្រង់សាមញ្ញ x 2 + 4 x − 18 = 0 ។

ជាចុងក្រោយ យើងកត់សំគាល់ថាយើងស្ទើរតែតែងតែកម្ចាត់ដកនៅមេគុណទីមួយនៃសមីការការ៉េ ដោយការផ្លាស់ប្តូរសញ្ញានៃពាក្យនីមួយៗនៃសមីការ ដែលត្រូវបានសម្រេចដោយគុណ (ឬចែក) ភាគីទាំងពីរដោយ −1 ។ ឧទាហរណ៍ ពីសមីការការ៉េ − 2 x 2 − 3 x + 7 = 0 អ្នកអាចទៅកាន់កំណែសាមញ្ញរបស់វា 2 x 2 + 3 x − 7 = 0 ។

ទំនាក់ទំនងរវាងឫស និងមេគុណ

រូបមន្តសម្រាប់ឫសនៃសមីការការ៉េដែលស្គាល់យើងរួចហើយ x = - b ± D 2 · a បង្ហាញពីឫសនៃសមីការតាមរយៈមេគុណលេខរបស់វា។ ដោយផ្អែកលើរូបមន្តនេះ យើងមានឱកាសដើម្បីបញ្ជាក់ភាពអាស្រ័យផ្សេងទៀតរវាងឫស និងមេគុណ។

រូបមន្តដ៏ល្បីល្បាញ និងអាចអនុវត្តបានគឺទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta៖

x 1 + x 2 = − b a និង x 2 = c a ។

ជាពិសេសសម្រាប់សមីការបួនជ្រុងដែលបានផ្តល់ឱ្យ ផលបូកនៃឫសគឺជាមេគុណទីពីរដែលមានសញ្ញាផ្ទុយ ហើយផលគុណនៃឫសគឺស្មើនឹងរយៈពេលទំនេរ។ ឧទាហរណ៍ ដោយមើលទម្រង់នៃសមីការការ៉េ 3 x 2 − 7 x + 22 = 0 វាអាចកំណត់ភ្លាមៗថាផលបូកនៃឫសរបស់វាគឺ 7 3 ហើយផលនៃឫសគឺ 22 3 ។

អ្នកក៏អាចរកឃើញទំនាក់ទំនងមួយចំនួនផ្សេងទៀតរវាងឫស និងមេគុណនៃសមីការការ៉េ។ ឧទាហរណ៍ ផលបូកនៃការ៉េនៃឫសនៃសមីការ quadratic អាចត្រូវបានបញ្ជាក់នៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃមេគុណ៖

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 − 2 x 1 x 2 = − b a 2 − 2 c a = b 2 a 2 − 2 c a = b 2 − 2 a c a 2 .

ប្រសិនបើអ្នកសម្គាល់ឃើញកំហុសនៅក្នុងអត្ថបទ សូមរំលេចវា ហើយចុច Ctrl+Enter

សមីការ​ការ៉េគឺជាសមីការនៃទម្រង់ ពូថៅ 2 +bx +គ = 0, កន្លែងណា x- ប្រែប្រួល, ក,ខនិង គ- លេខមួយចំនួន និង ក ≠ 0.

ឧទាហរណ៍នៃសមីការការ៉េ៖

3x 2 + 2x – 5 = 0.

នៅទីនេះ ក = 3, ខ = 2, គ = –5.

លេខ ក,ខនិង គ– ហាងឆេងសមីការ​ការ៉េ។

ចំនួន កហៅ មេគុណទីមួយ, ចំនួន ខ – មេគុណទីពីរ, និងលេខ គ – សមាជិកឥតគិតថ្លៃ.

កាត់បន្ថយសមីការការ៉េ។

សមីការការ៉េដែលមេគុណទីមួយគឺ 1 ត្រូវបានគេហៅថា សមីការ​ការ៉េ​ដែល​បាន​ផ្តល់​ឱ្យ​.

ឧទាហរណ៍នៃសមីការការ៉េដែលបានផ្តល់ឱ្យ៖

x 2 + 10x – 11 = 0

x 2 – x – 12 = 0

x 2 – 6X + 5 = 0

នេះគឺជាមេគុណនៅ x 2 គឺស្មើនឹង 1 (គ្រាន់តែ 1 ត្រូវបានលុបចោលក្នុងសមីការទាំងបី)។

សមីការការ៉េមិនពេញលេញ។

ប្រសិនបើនៅក្នុងសមីការការ៉េ ពូថៅ 2 +bx +គ = 0 យ៉ាងហោចណាស់មួយនៃមេគុណ ខឬ គគឺស្មើនឹងសូន្យ បន្ទាប់មកសមីការបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា សមីការការ៉េមិនពេញលេញ.

ឧទាហរណ៍នៃសមីការការ៉េមិនពេញលេញ៖

2x 2 + 18 = 0

មានមេគុណនៅទីនេះ កដែលស្មើនឹង -2 គឺជាមេគុណ គស្មើ 18 និងមេគុណ ខទេ - វាស្មើនឹងសូន្យ។

x 2 – 5x = 0

នៅទីនេះ ក = 1, ខ = -5, គ= 0 (ដូច្នេះមេគុណ គបាត់ពីសមីការ) ។

វិធីដោះស្រាយសមីការការ៉េ។

ដើម្បីដោះស្រាយសមីការការ៉េ អ្នកត្រូវអនុវត្តតែពីរជំហានប៉ុណ្ណោះ៖

1) ស្វែងរកអ្នករើសអើង D ដោយប្រើរូបមន្ត៖

ឃ=ខ 2 – 4 ac.

បើអ្នករើសអើង លេខអវិជ្ជមានបន្ទាប់មកសមីការការ៉េមិនមានដំណោះស្រាយទេ ហើយការគណនាឈប់។ ប្រសិនបើ D ≥ 0 បន្ទាប់មក

2) ស្វែងរកឫសនៃសមីការ quadratic ដោយប្រើរូបមន្ត៖

– ខ ± √ ឃ
X 1,2 = -----.
2ក

ឧទាហរណ៍៖ ដោះស្រាយសមីការការ៉េ ៣ X 2 – 5X – 2 = 0.

ដំណោះស្រាយ៖

ជាដំបូង ចូរយើងកំណត់មេគុណនៃសមីការរបស់យើង៖

ក = 3, ខ = –5, គ = –2.

យើងគណនាការរើសអើង៖

ឃ= ខ 2 – 4ac= (–5) 2–4 3 (–2) = 25 + 24 = 49 ។

D > 0 ដែលមានន័យថាសមីការធ្វើឱ្យយល់បាន ដែលមានន័យថាយើងអាចបន្តបាន។

ស្វែងរកឫសគល់នៃសមីការការ៉េ៖

–ខ+√D ៥+៧ ១២
X 1 = ----- = ---- = -- = 2
2ក 6 6

–ខ– √D ៥–៧ ២ ១
X 2 = ----- = ---- = – -- = – --.
2ក 6 6 3

1
ចម្លើយ៖ X 1 = 2, X 2 = – --.