MBOU "Sidorskaya"
ការអភិវឌ្ឍន៍ផែនការគ្រោង បើកមេរៀន
ពិជគណិតថ្នាក់ទី១១ លើប្រធានបទ៖
រៀបចំនិងអនុវត្ត
គ្រូបង្រៀនគណិតវិទ្យា
Iskhakova E.F.
គ្រោងនៃមេរៀនបើកចំហជាពិជគណិតថ្នាក់ទី១១។
ប្រធានបទ : "សញ្ញាប័ត្រជាមួយ សូចនាករសមហេតុផល».
ប្រភេទមេរៀន ៖ រៀនសម្ភារៈថ្មី។
គោលបំណងនៃមេរៀន:
ណែនាំសិស្សអំពីគោលគំនិតនៃសញ្ញាប័ត្រដែលមាននិទស្សន្តសមហេតុផល និងលក្ខណៈសម្បត្តិជាមូលដ្ឋានរបស់វា ដោយផ្អែកលើសម្ភារៈដែលបានសិក្សាពីមុន (សញ្ញាបត្រដែលមាននិទស្សន្តចំនួនគត់)។
អភិវឌ្ឍជំនាញគណនា និងសមត្ថភាពក្នុងការបំប្លែង និងប្រៀបធៀបលេខជាមួយនិទស្សន្តនិទស្សន្ត។
ដើម្បីអភិវឌ្ឍអក្ខរកម្មគណិតវិទ្យា និងចំណាប់អារម្មណ៍គណិតវិទ្យាដល់សិស្ស។
បរិក្ខារ ៖ កាតកិច្ចការ ការបង្ហាញសិស្សតាមសញ្ញាប័ត្រដែលមានសូចនាករចំនួនគត់ ការបង្ហាញគ្រូតាមសញ្ញាប័ត្រដែលមានសូចនាករសមហេតុផល កុំព្យូទ័រយួរដៃ ម៉ាស៊ីនបញ្ចាំងពហុមេឌៀ អេក្រង់។
ក្នុងអំឡុងពេលថ្នាក់រៀន៖
ពេលវេលារៀបចំ។
ពិនិត្យមើលភាពស្ទាត់ជំនាញនៃប្រធានបទដែលគ្របដណ្តប់ដោយប្រើកាតភារកិច្ចនីមួយៗ។
កិច្ចការទី 1 ។
=2;
ខ) =x + 5;
ដោះស្រាយប្រព័ន្ធ សមីការមិនសមហេតុផល: - 3 = -10,
4 - 5 =6.
កិច្ចការទី 2 ។
ដោះស្រាយសមីការមិនសមហេតុផល៖ 
= - 3;
ខ) = x − 2;
ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការមិនសមហេតុផល៖ ២ + = 8,
3 - 2 = - 2.
ទំនាក់ទំនងប្រធានបទ និងគោលបំណងនៃមេរៀន។
ប្រធានបទនៃមេរៀនរបស់យើងថ្ងៃនេះគឺ " អំណាចជាមួយនិទស្សន្តសមហេតុផល».
ការពន្យល់អំពីសម្ភារៈថ្មីដោយប្រើឧទាហរណ៍នៃសម្ភារៈដែលបានសិក្សាពីមុន។
អ្នកបានស្គាល់រួចហើយអំពីគោលគំនិតនៃសញ្ញាប័ត្រដែលមាននិទស្សន្តចំនួនគត់។ តើអ្នកណានឹងជួយខ្ញុំចងចាំពួកគេ?
ពាក្យដដែលៗដោយប្រើបទបង្ហាញ " សញ្ញាប័ត្រជាមួយនិទស្សន្តចំនួនគត់».
សម្រាប់លេខណាមួយ a, b និងចំនួនគត់ m និង n សមភាពមានសុពលភាព៖
a m * a n = a m + n ;
a m: a n =a m-n(a ≠ 0);
(a m) n = a mn ;
(a b) n = a n * b n ;
(a/b) n = a n /b n (b ≠ 0);
a 1 = a ; a 0 = 1(a ≠ 0)
ថ្ងៃនេះយើងនឹងធ្វើការសង្ខេបគោលគំនិតនៃអំណាចនៃចំនួនមួយ ហើយផ្តល់អត្ថន័យដល់កន្សោមដែលមាននិទស្សន្តប្រភាគ។ សូមណែនាំ និយមន័យដឺក្រេដែលមាននិទស្សន្តសមហេតុផល (បទបង្ហាញ "សញ្ញាបត្រដែលមាននិទស្សន្តសមហេតុផល")៖
អំណាចនៃ ក > 0 ជាមួយនិទស្សន្តសមហេតុផល r = , កន្លែងណា ម គឺជាចំនួនគត់ និង ន - ធម្មជាតិ ( ន > 1) ហៅថាលេខ ម .
ដូច្នេះតាមនិយមន័យយើងទទួលបាន = ម .
ចូរយើងព្យាយាមអនុវត្តនិយមន័យនេះនៅពេលបញ្ចប់កិច្ចការ។
ឧទាហរណ៍លេខ 1
ខ្ញុំបង្ហាញកន្សោមជាឫសនៃលេខ៖
ក) ខ) IN) .
ឥឡូវនេះ ចូរយើងព្យាយាមអនុវត្តនិយមន័យនេះបញ្ច្រាស
II បង្ហាញកន្សោមជាអំណាចដែលមាននិទស្សន្តសមហេតុផល៖
ក) 2 ខ) IN) 5 .
អំណាចនៃ 0 ត្រូវបានកំណត់សម្រាប់តែនិទស្សន្តវិជ្ជមានប៉ុណ្ណោះ។
0 r= 0 សម្រាប់ណាមួយ។ r> 0.
ការប្រើប្រាស់ និយមន័យនេះ។, ផ្ទះអ្នកនឹងបញ្ចប់ #428 និង #429។
ឥឡូវនេះ ចូរយើងបង្ហាញថា ជាមួយនឹងនិយមន័យនៃសញ្ញាប័ត្រដែលមាននិទស្សន្តសមហេតុផលដែលបានបង្កើតខាងលើ លក្ខណៈសម្បត្តិជាមូលដ្ឋាននៃដឺក្រេត្រូវបានរក្សាទុក ដែលជាការពិតសម្រាប់និទស្សន្តណាមួយ។
សម្រាប់ណាមួយ។ លេខសមហេតុផល r និង s និងវិជ្ជមានណាមួយ a និង b សមភាពគឺពិត៖
1 0 . ក r ក ស = ក r+s ;
ឧទាហរណ៍: *
២០. a r: a s = a r-s ;
ឧទាហរណ៍៖ :
3 0 . (a r) s = a rs ;
ឧទាហរណ៍៖ ( -2/3
4 0 . ( ab) r = ក r ខ r ; 5 0 . ( = .
ឧទាហរណ៍៖ (២៥ 4) 1/2 ; ( ) 1/2
ឧទាហរណ៍នៃការប្រើប្រាស់លក្ខណៈសម្បត្តិជាច្រើនក្នុងពេលតែមួយ៖ * : .
នាទីអប់រំកាយ។
យើងដាក់ប៊ិចនៅលើតុ តម្រង់ខ្នងឱ្យត្រង់ ហើយឥឡូវនេះយើងឈានទៅមុខ យើងចង់ប៉ះក្តារ។ ឥឡូវនេះយើងបានលើកវាឡើង ហើយផ្អៀងស្តាំ ឆ្វេង ទៅមុខ ថយក្រោយ។ អ្នកបានបង្ហាញដៃរបស់អ្នកមកខ្ញុំ ឥឡូវនេះបង្ហាញខ្ញុំពីរបៀបដែលម្រាមដៃរបស់អ្នកអាចរាំ។
ធ្វើការលើសម្ភារៈ
ចូរយើងកត់សំគាល់លក្ខណៈសម្បត្តិពីរបន្ថែមទៀតនៃអំណាចដែលមាននិទស្សន្តសមហេតុផល៖
60 ។ អនុញ្ញាតឱ្យ r គឺជាចំនួនសមហេតុផល និង 0< a < b . Тогда
ក r < b rនៅ r> 0,
ក r < b rនៅ r< 0.
7 0 . សម្រាប់លេខសមហេតុផលណាមួយ។rនិង សពីវិសមភាព r> សធ្វើតាមនោះ។
ក r> ក rសម្រាប់ a> 1,
ក r < а rនៅ 0< а < 1.
ឧទាហរណ៍៖ ប្រៀបធៀបលេខ៖
និង ; 2 300 និង ៣ 200 .
សង្ខេបមេរៀន៖
ថ្ងៃនេះនៅក្នុងមេរៀន យើងបានរំលឹកពីលក្ខណៈសម្បត្តិនៃសញ្ញាបត្រដែលមាននិទស្សន្តចំនួនគត់ រៀននិយមន័យ និងលក្ខណៈសម្បត្តិជាមូលដ្ឋាននៃសញ្ញាប័ត្រដែលមាននិទស្សន្តសមហេតុសមផល និងពិនិត្យមើលការអនុវត្តសម្ភារៈទ្រឹស្តីនេះក្នុងការអនុវត្តនៅពេលអនុវត្តលំហាត់។ ខ្ញុំចង់ទាក់ទាញការយកចិត្តទុកដាក់របស់អ្នកចំពោះការពិតដែលថាប្រធានបទ "និទស្សន្តជាមួយនិទស្សន្តសមហេតុផល" គឺចាំបាច់នៅក្នុង កិច្ចការប្រឡងរដ្ឋបង្រួបបង្រួម. ក្នុងការរៀបចំ កិច្ចការផ្ទះ (លេខ 428 និងលេខ 429
មេរៀនវីដេអូ "និទស្សន្តជាមួយនិទស្សន្តសមហេតុផល" មានរូបភាព សម្ភារៈអប់រំដើម្បីបង្រៀនមេរៀនលើប្រធានបទនេះ។ មេរៀនវីដេអូមានព័ត៌មានអំពីគោលគំនិតនៃសញ្ញាប័ត្រដែលមាននិទស្សន្តសមហេតុផល លក្ខណៈសម្បត្តិនៃសញ្ញាប័ត្របែបនេះ ព្រមទាំងឧទាហរណ៍ដែលពិពណ៌នាអំពីការប្រើប្រាស់សម្ភារៈអប់រំដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាជាក់ស្តែង។ គោលបំណងនៃមេរៀនវីដេអូនេះគឺដើម្បីបង្ហាញយ៉ាងច្បាស់ និងច្បាស់លាស់អំពីសម្ភារៈអប់រំ ជួយសម្រួលដល់ការអភិវឌ្ឍន៍ និងការទន្ទេញចាំរបស់សិស្ស និងអភិវឌ្ឍសមត្ថភាពក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាដោយប្រើគំនិតដែលបានសិក្សា។
គុណសម្បត្តិចម្បងនៃមេរៀនវីដេអូគឺសមត្ថភាពក្នុងការអនុវត្តការបំប្លែង និងការគណនាដោយមើលឃើញ សមត្ថភាពក្នុងការប្រើប្រាស់បែបផែនគំនូរជីវចលដើម្បីបង្កើនប្រសិទ្ធភាពសិក្សា។ ការអមដោយសំឡេងជួយអភិវឌ្ឍការនិយាយគណិតវិទ្យាបានត្រឹមត្រូវ ហើយក៏ធ្វើឱ្យវាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីជំនួសការពន្យល់របស់គ្រូ ដោយដោះលែងគាត់ឱ្យធ្វើការងារផ្ទាល់ខ្លួន។
មេរៀនវីដេអូចាប់ផ្តើមដោយការណែនាំអំពីប្រធានបទ។ ការភ្ជាប់ការសិក្សា ប្រធានបទថ្មី។ជាមួយនឹងសម្ភារៈដែលបានសិក្សាពីមុន វាត្រូវបានស្នើឱ្យចងចាំថា n √a ត្រូវបានតំណាងដោយ 1/n សម្រាប់ n ធម្មជាតិ និងវិជ្ជមាន a ។ តំណាង n-root នេះត្រូវបានបង្ហាញនៅលើអេក្រង់។ បន្ទាប់មក យើងស្នើឱ្យពិចារណាពីអ្វីដែលកន្សោម m/n មានន័យថា ដែលក្នុងនោះ a គឺជាចំនួនវិជ្ជមាន ហើយ m/n គឺជាប្រភាគ។ និយមន័យនៃសញ្ញាប័ត្រដែលមាននិទស្សន្តសមហេតុសមផលជា m/n = n √a m ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ បន្លិចក្នុងស៊ុម។ វាត្រូវបានកត់សម្គាល់ថា n អាចជាលេខធម្មជាតិ ហើយ m អាចជាចំនួនគត់។
បន្ទាប់ពីកំណត់សញ្ញាប័ត្រជាមួយនិទស្សន្តសមហេតុផល អត្ថន័យរបស់វាត្រូវបានបង្ហាញតាមរយៈឧទាហរណ៍៖ (5/100) 3/7 = 7 √(5/100) ៣. ឧទាហរណ៍មួយក៏ត្រូវបានបង្ហាញផងដែរដែលអំណាចដែលតំណាងដោយទសភាគត្រូវបានបំប្លែងទៅជា ប្រភាគធម្មតា។ត្រូវបានតំណាងជាឫស៖ (1/7) 1.7 = (1/7) 17/10 = 10 √(1/7) 17 និងឧទាហរណ៍ជាមួយ តម្លៃអវិជ្ជមានដឺក្រេ: 3 -1/8 = 8 √3 -1 ។
ភាពបារម្ភនៃករណីពិសេសនៅពេលដែលមូលដ្ឋាននៃដឺក្រេគឺសូន្យត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញដោយឡែកពីគ្នា។ វាត្រូវបានកត់សម្គាល់ថាសញ្ញាបត្រនេះសមហេតុផលតែជាមួយនិទស្សន្តប្រភាគវិជ្ជមានប៉ុណ្ណោះ។ ក្នុងករណីនេះតម្លៃរបស់វាគឺសូន្យ៖ 0 m/n = 0 ។
លក្ខណៈពិសេសមួយទៀតនៃសញ្ញាប័ត្រដែលមាននិទស្សន្តសមហេតុសមផលត្រូវបានកត់សម្គាល់ - ថាសញ្ញាបត្រដែលមាននិទស្សន្តប្រភាគមិនអាចត្រូវបានគេពិចារណាជាមួយនឹងនិទស្សន្តប្រភាគបានទេ។ ឧទាហរណ៍នៃសញ្ញាប័ត្រមិនត្រឹមត្រូវត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ៖ (-9) -3/7, (-3) -1/3, 0 -1/5 ។
បន្ទាប់នៅក្នុងមេរៀនវីដេអូ យើងពិភាក្សាអំពីលក្ខណៈសម្បត្តិនៃសញ្ញាបត្រដែលមាននិទស្សន្តសមហេតុផល។ វាត្រូវបានកត់សម្គាល់ថាលក្ខណៈសម្បត្តិនៃសញ្ញាបត្រដែលមាននិទស្សន្តចំនួនគត់ក៏នឹងមានសុពលភាពសម្រាប់សញ្ញាបត្រដែលមាននិទស្សន្តសមហេតុផលផងដែរ។ វាត្រូវបានស្នើឱ្យរំលឹកឡើងវិញនូវបញ្ជីអចលនទ្រព្យដែលមានសុពលភាពផងដែរក្នុងករណីនេះ៖
- នៅពេលគុណនឹងអំណាច នៅលើមូលដ្ឋានដូចគ្នា។សូចនាកររបស់ពួកគេបន្ថែម៖ a p a q = a p + q ។
- ការបែងចែកដឺក្រេដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នាត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាដឺក្រេជាមួយនឹងមូលដ្ឋានដែលបានផ្តល់ឱ្យនិងភាពខុសគ្នានៃនិទស្សន្ត: a p:a q = a p-q ។
- ប្រសិនបើយើងបង្កើនកម្រិតទៅថាមពលជាក់លាក់មួយ នោះយើងបញ្ចប់ដោយសញ្ញាប័ត្រជាមួយនឹងមូលដ្ឋានដែលបានផ្តល់ឱ្យ និងផលគុណនៃនិទស្សន្ត៖ (a p) q = a pq ។
លក្ខណៈសម្បត្តិទាំងអស់នេះមានសុពលភាពសម្រាប់អំណាចដែលមាននិទស្សន្តសមហេតុផល p, q និងមូលដ្ឋានវិជ្ជមាន a> 0 ។ ផងដែរ ការបំប្លែងដឺក្រេនៅពេលបើកវង់ក្រចកនៅតែជាការពិត៖
- (ab) p = a p b p - ការបង្កើនថាមពលមួយចំនួនជាមួយនឹងនិទស្សន្តសមហេតុសមផលផលនៃចំនួនពីរត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាផលគុណលេខ ដែលនីមួយៗត្រូវបានលើកឡើងទៅជាថាមពលដែលបានផ្តល់ឱ្យ។
- (a/b) p = a p / b p - ការបង្កើនប្រភាគទៅជាថាមពលដែលមាននិទស្សន្តនិទស្សន្តត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាប្រភាគដែលភាគបែង និងភាគបែងត្រូវបានលើកឡើងទៅជាថាមពលដែលបានផ្តល់ឱ្យ។
ការបង្រៀនវីដេអូពិភាក្សាអំពីឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយដែលប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិដែលបានពិចារណានៃអំណាចជាមួយនឹងនិទស្សន្តសមហេតុផល។ ឧទាហរណ៍ទីមួយសុំឱ្យអ្នកស្វែងរកតម្លៃនៃកន្សោមដែលមានអថេរ x ក្នុងអនុភាពប្រភាគ៖ (x 1/6 -8) 2 -16x 1/6 (x -1/6 -1) ។ ទោះបីជាមានភាពស្មុគស្មាញនៃការបញ្ចេញមតិក៏ដោយ ការប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃអំណាច វាអាចត្រូវបានដោះស្រាយយ៉ាងសាមញ្ញ។ ការដោះស្រាយបញ្ហាចាប់ផ្តើមដោយការធ្វើឱ្យសាមញ្ញនៃការបញ្ចេញមតិដែលប្រើក្បួននៃការបង្កើនអំណាចជាមួយនឹងនិទស្សន្តមួយទៅអំណាចមួយ ក៏ដូចជាការគុណអំណាចជាមួយនឹងមូលដ្ឋានដូចគ្នា។ បន្ទាប់ពីជំនួសតម្លៃដែលបានផ្តល់ឱ្យ x=8 ទៅក្នុងកន្សោមសាមញ្ញ x 1/3 +48 វាងាយស្រួលក្នុងការទទួលបានតម្លៃ - 50 ។
ក្នុងឧទាហរណ៍ទីពីរ អ្នកត្រូវកាត់បន្ថយប្រភាគដែលភាគយក និងភាគបែងមានអំណាចជាមួយនិទស្សន្តសមហេតុផល។ ដោយប្រើលក្ខណសម្បត្តិនៃដឺក្រេ យើងស្រង់ចេញពីភាពខុសគ្នានៃកត្តា x 1/3 ដែលបន្ទាប់មកត្រូវបានកាត់បន្ថយក្នុងភាគយក និងភាគបែង ហើយដោយប្រើរូបមន្តសម្រាប់ភាពខុសគ្នានៃការ៉េ ភាគយកត្រូវបានបំបែកជាកត្តាដែលផ្តល់នូវការកាត់បន្ថយបន្ថែមទៀតនៃភាពដូចគ្នា កត្តានៅក្នុងភាគបែង និងភាគបែង។ លទ្ធផលនៃការផ្លាស់ប្តូរបែបនេះគឺប្រភាគខ្លី x 1/4 +3 ។
មេរៀនវីដេអូ "និទស្សន្តជាមួយនិទស្សន្តសមហេតុផល" អាចត្រូវបានប្រើជំនួសឱ្យគ្រូពន្យល់ប្រធានបទមេរៀនថ្មី។ ផងដែរ។ សៀវភៅណែនាំនេះ។មានគ្រប់គ្រាន់ ព័ត៌មានពេញលេញសម្រាប់ ស្វ័យសិក្សាសិស្ស។ សម្ភារៈក៏អាចមានប្រយោជន៍សម្រាប់ការរៀនពីចម្ងាយផងដែរ។
អំណាចជាមួយនិទស្សន្តសមហេតុផល
Khasyanova T.G.,
គ្រូបង្រៀនគណិតវិទ្យា
សម្ភារៈដែលបានបង្ហាញនឹងមានប្រយោជន៍សម្រាប់គ្រូបង្រៀនគណិតវិទ្យានៅពេលសិក្សាប្រធានបទ "និទស្សន្តជាមួយនិទស្សន្តនិទស្សន្ត"។
គោលបំណងនៃសម្ភារៈដែលបានបង្ហាញ៖ ដើម្បីបង្ហាញពីបទពិសោធន៍របស់ខ្ញុំក្នុងការដឹកនាំមេរៀនលើប្រធានបទ "និទស្សន្តជាមួយនិទស្សន្តសមហេតុផល" កម្មវិធីការងារវិន័យ "គណិតវិទ្យា" ។
វិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដឹកនាំមេរៀនត្រូវគ្នាទៅនឹងប្រភេទរបស់វា - មេរៀនក្នុងការសិក្សា និងការបង្រួបបង្រួមចំណេះដឹងថ្មីៗដំបូង។ ចំណេះដឹង និងជំនាញជាមូលដ្ឋានត្រូវបានធ្វើបច្ចុប្បន្នភាពដោយផ្អែកលើបទពិសោធន៍ដែលទទួលបានពីមុន។ ការទន្ទេញចាំបឋម ការបង្រួបបង្រួម និងការអនុវត្តព័ត៌មានថ្មី។ ការបង្រួបបង្រួម និងការអនុវត្តសម្ភារៈថ្មីបានធ្វើឡើងក្នុងទម្រង់នៃការដោះស្រាយបញ្ហា ដែលខ្ញុំបានសាកល្បងនូវភាពស្មុគស្មាញផ្សេងៗគ្នា ដោយផ្តល់ឱ្យ លទ្ធផលវិជ្ជមានគ្រប់គ្រងប្រធានបទ។
នៅដើមមេរៀន ខ្ញុំបានកំណត់គោលដៅដូចខាងក្រោមសម្រាប់សិស្ស៖ ការអប់រំ ការអភិវឌ្ឍន៍ ការអប់រំ។ ក្នុងអំឡុងពេលមេរៀនដែលខ្ញុំបានប្រើ វិធីផ្សេងៗសកម្មភាព៖ ផ្នែកខាងមុខ, បុគ្គល, គូ, ឯករាជ្យ, តេស្ត។ ភារកិច្ចត្រូវបានបែងចែក និងធ្វើឱ្យវាអាចកំណត់អត្តសញ្ញាណ នៅដំណាក់កាលនីមួយៗនៃមេរៀន កម្រិតនៃការទទួលបានចំណេះដឹង។ បរិមាណ និងភាពស្មុគស្មាញនៃកិច្ចការត្រូវគ្នា។ លក្ខណៈអាយុសិស្ស។ ពីបទពិសោធន៍របស់ខ្ញុំ - កិច្ចការផ្ទះស្រដៀងទៅនឹងបញ្ហាដែលបានដោះស្រាយនៅក្នុងថ្នាក់រៀន អនុញ្ញាតឱ្យអ្នកអាចបង្រួបបង្រួមចំណេះដឹង និងជំនាញដែលទទួលបានដោយភាពជឿជាក់។ នៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន ការឆ្លុះបញ្ចាំងត្រូវបានអនុវត្ត ហើយការងាររបស់សិស្សម្នាក់ៗត្រូវបានវាយតម្លៃ។
គោលដៅត្រូវបានសម្រេច។ សិស្សបានសិក្សាពីគោលគំនិត និងលក្ខណៈសម្បត្តិនៃសញ្ញាប័ត្រដែលមាននិទស្សន្តសមហេតុផល ហើយរៀនប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិទាំងនេះនៅពេលដោះស្រាយបញ្ហាជាក់ស្តែង។ នៅខាងក្រោយ ការងារឯករាជ្យថ្នាក់នឹងត្រូវបានប្រកាសនៅមេរៀនបន្ទាប់។
ខ្ញុំជឿថាវិធីសាស្រ្តដែលខ្ញុំប្រើសម្រាប់បង្រៀនគណិតវិទ្យាអាចប្រើដោយគ្រូគណិតវិទ្យា។
ប្រធានបទមេរៀន៖ ថាមពលជាមួយនិទស្សន្តនិទស្សន្ត
គោលបំណងនៃមេរៀន៖
កំណត់កម្រិតនៃភាពស្ទាត់ជំនាញរបស់សិស្សអំពីភាពស្មុគស្មាញនៃចំណេះដឹង និងជំនាញ ហើយផ្អែកលើមូលដ្ឋានរបស់វា ការអនុវត្តដំណោះស្រាយមួយចំនួនដើម្បីកែលម្អដំណើរការអប់រំ។
គោលបំណងនៃមេរៀន៖
ការអប់រំ៖ដើម្បីបង្កើតចំណេះដឹងថ្មីក្នុងចំណោមសិស្សអំពីគោលគំនិត ច្បាប់ ច្បាប់សម្រាប់កំណត់សញ្ញាបត្រដែលមានសូចនាករសមហេតុផល សមត្ថភាពក្នុងការអនុវត្តចំណេះដឹងដោយឯករាជ្យក្នុងលក្ខខណ្ឌស្តង់ដារ ក្នុងលក្ខខណ្ឌដែលបានកែប្រែ និងមិនមានស្តង់ដារ។
អភិវឌ្ឍន៍៖គិតឡូជីខលនិងដឹងពីសមត្ថភាពច្នៃប្រឌិត;
ការចិញ្ចឹម៖អភិវឌ្ឍចំណាប់អារម្មណ៍លើគណិតវិទ្យា បំពេញវាក្យសព្ទជាមួយនឹងពាក្យថ្មី ទទួលបាន ព័ត៍មានបន្ថែមអំពីពិភពលោកជុំវិញយើង។ បណ្តុះការអត់ធ្មត់ ការតស៊ូ និងសមត្ថភាពក្នុងការជម្នះការលំបាក។
ពេលវេលារៀបចំ
ការធ្វើបច្ចុប្បន្នភាពចំណេះដឹងយោង
នៅពេលគុណអំណាចជាមួយមូលដ្ឋានដូចគ្នា និទស្សន្តត្រូវបានបន្ថែម ប៉ុន្តែមូលដ្ឋាននៅតែដដែល៖
ឧទាហរណ៍, 
2. នៅពេលចែកដឺក្រេជាមួយគោលដូចគ្នា និទស្សន្តនៃដឺក្រេត្រូវបានដក ប៉ុន្តែមូលដ្ឋាននៅតែដដែល៖
ឧទាហរណ៍, 
3. នៅពេលបង្កើនដឺក្រេទៅជាថាមពល និទស្សន្តត្រូវបានគុណ ប៉ុន្តែមូលដ្ឋាននៅតែដដែល៖
ឧទាហរណ៍,
4. កម្រិតនៃផលិតផលគឺស្មើនឹងផលិតផលនៃដឺក្រេនៃកត្តា:
ឧទាហរណ៍, 
5. កម្រិតនៃកូតាគឺស្មើនឹងកូតានៃដឺក្រេនៃភាគលាភ និងផ្នែកចែក៖
ឧទាហរណ៍, 
លំហាត់ជាមួយដំណោះស្រាយ
ស្វែងរកអត្ថន័យនៃការបញ្ចេញមតិ៖ 
ដំណោះស្រាយ៖
ក្នុងករណីនេះ គ្មានលក្ខណៈសម្បត្តិណាមួយនៃសញ្ញាបត្រដែលមាននិទស្សន្តធម្មជាតិអាចត្រូវបានអនុវត្តយ៉ាងច្បាស់លាស់នោះទេ ចាប់តាំងពីសញ្ញាបត្រទាំងអស់មាន ហេតុផលផ្សេងគ្នា. ចូរយើងសរសេរអំណាចមួយចំនួនក្នុងទម្រង់ផ្សេង៖
(កម្រិតនៃផលិតផលគឺស្មើនឹងផលិតផលនៃដឺក្រេនៃកត្តា);
(នៅពេលគុណអំណាចជាមួយមូលដ្ឋានដូចគ្នា និទស្សន្តត្រូវបានបន្ថែម ប៉ុន្តែមូលដ្ឋាននៅតែដដែល។ នៅពេលបង្កើនកម្រិតដល់ថាមពល និទស្សន្តត្រូវបានគុណ ប៉ុន្តែមូលដ្ឋាននៅតែដដែល)។
បន្ទាប់មកយើងទទួលបាន៖
IN ក្នុងឧទាហរណ៍នេះ។លក្ខណៈសម្បត្តិទាំងបួនដំបូងនៃដឺក្រេជាមួយនិទស្សន្តធម្មជាតិត្រូវបានប្រើប្រាស់។
ឫសការ៉េនព្វន្ធ
គឺជាចំនួនមិនអវិជ្ជមានដែលការ៉េស្មើក,
. នៅ 
- កន្សោម មិនត្រូវបានកំណត់, ដោយសារតែ មិនមានរឿងបែបនេះទេ។ ចំនួនពិតការ៉េដែលស្មើនឹងចំនួនអវិជ្ជមានក.
ការសរសេរតាមរូបមន្តគណិតវិទ្យា(៨-១០ នាទី)
ជម្រើស
II. ជម្រើស
1. រកតម្លៃនៃកន្សោម
ក) 
ខ) 
1. រកតម្លៃនៃកន្សោម
ក) 
ខ) 
2. គណនា
ក) 
ខ) 
IN) 
2. គណនា
ក) 
ខ) 
វី) 
ការធ្វើតេស្តដោយខ្លួន(នៅលើបន្ទះក្តារ):
ម៉ាទ្រីសឆ្លើយតប៖
№ ជម្រើស / ភារកិច្ច
បញ្ហា 1
បញ្ហា ២
ជម្រើសទី 1
ក) ២
ខ) ២
ក) 0.5
ខ) 
វី) 
ជម្រើសទី 2
ក) ១.៥
ខ)
ក) 
ខ) 
នៅ 4
II. ការបង្កើតចំណេះដឹងថ្មីៗ
ចូរយើងពិចារណាថាតើកន្សោមមានអត្ថន័យអ្វី កន្លែងណា 
- លេខវិជ្ជមាន – លេខប្រភាគនិង m-ចំនួនគត់, n-natural (n›1)
និយមន័យ៖ អំណាចនៃ a›0 ជាមួយនឹងនិទស្សន្តសមហេតុផលr = , ម- ទាំងមូល, ន- ធម្មជាតិ ( ន› 1) លេខត្រូវបានហៅ.
ដូច្នេះ៖ 
ឧទាហរណ៍: 
កំណត់ចំណាំ៖
1. សម្រាប់ចំនួនវិជ្ជមាន a និងលេខ r ណាមួយ។ 
ជាវិជ្ជមាន។
2. ពេលណា អំណាចសមហេតុផលនៃចំនួនមួយ។កមិនត្រូវបានកំណត់។
កន្សោមដូចជា 
មិនសមហេតុផល។
3. ប្រសិនបើ 
ចំនួនវិជ្ជមានប្រភាគគឺ 
.
ប្រសិនបើ ប្រភាគ លេខអវិជ្ជមានបន្ទាប់មក 
-មិនសមហេតុផលទេ។
ឧទាហរណ៍: 
- មិនសមហេតុផល។
ចូរយើងពិចារណាអំពីលក្ខណៈសម្បត្តិនៃសញ្ញាបត្រដែលមាននិទស្សន្តសមហេតុផល។
អនុញ្ញាតឱ្យ a >0, b>0; r, s - លេខសមហេតុផលណាមួយ។ បន្ទាប់មកសញ្ញាបត្រដែលមាននិទស្សន្តសមហេតុផលណាមួយមានលក្ខណៈសម្បត្តិដូចខាងក្រោមៈ
1.
2.
3.
4.
5.
III. ការច្របាច់បញ្ចូលគ្នា។ ការបង្កើតជំនាញ និងសមត្ថភាពថ្មីៗ។
កាតភារកិច្ចធ្វើការជាក្រុមតូចៗក្នុងទម្រង់នៃការធ្វើតេស្ត។
នៅក្នុងអត្ថបទនេះយើងនឹងស្វែងយល់ថាតើវាជាអ្វី ដឺក្រេនៃ. នៅទីនេះ យើងនឹងផ្តល់និយមន័យនៃអំណាចនៃចំនួនមួយ ខណៈពេលដែលយើងនឹងពិចារណាលម្អិតអំពីនិទស្សន្តដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់ ដោយចាប់ផ្តើមដោយនិទស្សន្តធម្មជាតិ និងបញ្ចប់ដោយនិទស្សន្តមិនសមហេតុផល។ នៅក្នុងសម្ភារៈអ្នកនឹងឃើញឧទាហរណ៍ជាច្រើននៃដឺក្រេដែលគ្របដណ្តប់ subtleties ទាំងអស់ដែលកើតឡើង។
ការរុករកទំព័រ។
ថាមពលជាមួយនិទស្សន្តធម្មជាតិ ការ៉េនៃចំនួនមួយ គូបនៃចំនួនមួយ។
ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយ។ ក្រឡេកមើលខាងមុខ ឧបមាថានិយមន័យនៃអំណាចនៃលេខ a ដែលមាននិទស្សន្តធម្មជាតិ n ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យសម្រាប់ a ដែលយើងនឹងហៅ មូលដ្ឋានសញ្ញាបត្រ, និង n ដែលយើងនឹងហៅ និទស្សន្ត. យើងក៏កត់សម្គាល់ផងដែរថាសញ្ញាបត្រដែលមាននិទស្សន្តធម្មជាតិត្រូវបានកំណត់ដោយផលិតផល ដូច្នេះដើម្បីយល់ពីសម្ភារៈខាងក្រោម អ្នកត្រូវមានការយល់ដឹងអំពីការគុណលេខ។
និយមន័យ។
អំណាចនៃចំនួនដែលមាននិទស្សន្តធម្មជាតិ nគឺជាកន្សោមនៃទម្រង់ a n តម្លៃដែលស្មើនឹងផលគុណនៃកត្តា n ដែលនីមួយៗស្មើនឹង a នោះគឺ .
ជាពិសេសអំណាចនៃលេខ a ដែលមាននិទស្សន្ត 1 គឺជាលេខ a ខ្លួនវា នោះគឺ a 1 = a ។
វាមានតម្លៃនិយាយភ្លាមៗអំពីច្បាប់សម្រាប់ការអានសញ្ញាបត្រ។ វិធីសកលដើម្បីអានសញ្ញាណ a n គឺ៖ "a ដល់អំណាចនៃ n" ។ ក្នុងករណីខ្លះជម្រើសខាងក្រោមក៏អាចទទួលយកបានដែរ៖ "a ដល់ nth power" និង "nth power of a" ។ ឧទាហរណ៍ ចូរយើងយកអំណាច 8 12 នេះគឺជា "ប្រាំបីដល់អំណាចនៃដប់ពីរ" ឬ "ប្រាំបីដល់អំណាចដប់ពីរ" ឬ "អំណាចដប់ពីរនៃប្រាំបី" ។
អំណាចទីពីរនៃលេខមួយ ក៏ដូចជាអំណាចទីបីនៃលេខមួយ មានឈ្មោះរៀងៗខ្លួន។ អំណាចទីពីរនៃលេខត្រូវបានគេហៅថា ការ៉េលេខឧទាហរណ៍ 7 2 ត្រូវបានអានថា "ប្រាំពីរការ៉េ" ឬ "ការេនៃលេខប្រាំពីរ" ។ អំណាចទីបីនៃលេខត្រូវបានគេហៅថា លេខគូបឧទាហរណ៍ 5 3 អាចត្រូវបានអានថា "ប្រាំគូប" ឬអ្នកអាចនិយាយថា "គូបនៃលេខ 5" ។
ដល់ពេលនាំយកហើយ។ ឧទាហរណ៍នៃដឺក្រេជាមួយនិទស្សន្តធម្មជាតិ. ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងសញ្ញាប័ត្រ 5 7 នៅទីនេះ 5 គឺជាមូលដ្ឋាននៃដឺក្រេ ហើយ 7 គឺជានិទស្សន្ត។ ចូរផ្តល់ឧទាហរណ៍មួយទៀត៖ ៤.៣២ គឺជាមូលដ្ឋាន និង លេខធម្មជាតិ៩ – និទស្សន្ត (៤.៣២) ៩ .
សូមចំណាំថានៅក្នុងឧទាហរណ៍ចុងក្រោយ មូលដ្ឋាននៃអំណាច 4.32 ត្រូវបានសរសេរក្នុងវង់ក្រចក៖ ដើម្បីជៀសវាងភាពមិនស្របគ្នា យើងនឹងដាក់ក្នុងវង់ក្រចកនូវមូលដ្ឋានទាំងអស់នៃថាមពលដែលខុសពីលេខធម្មជាតិ។ ជាឧទាហរណ៍ យើងផ្តល់សញ្ញាប័ត្រខាងក្រោមជាមួយនឹងនិទស្សន្តធម្មជាតិ 
មូលដ្ឋានរបស់ពួកគេមិនមែនជាលេខធម្មជាតិទេ ដូច្នេះពួកគេត្រូវបានសរសេរក្នុងវង់ក្រចក។ ជាការប្រសើរណាស់ សម្រាប់ភាពច្បាស់លាស់ពេញលេញ នៅចំណុចនេះ យើងនឹងបង្ហាញពីភាពខុសគ្នាដែលមាននៅក្នុងកំណត់ត្រានៃទម្រង់ (−2) 3 និង −2 3 ។ កន្សោម (−2) 3 គឺជាអំណាចនៃ −2 ដែលមាននិទស្សន្តធម្មជាតិនៃ 3 ហើយកន្សោម −2 3 (វាអាចត្រូវបានសរសេរជា −(2 3)) ត្រូវនឹងលេខ តម្លៃនៃថាមពល 2 3 .
ចំណាំថាមានសញ្ញាណសម្រាប់អំណាចនៃចំនួន a ដែលមាននិទស្សន្ត n នៃទម្រង់ a^n ។ លើសពីនេះទៅទៀត ប្រសិនបើ n គឺជាចំនួនធម្មជាតិដែលមានគុណតម្លៃច្រើន នោះនិទស្សន្តត្រូវបានយកជាតង្កៀប។ ឧទាហរណ៍ 4^9 គឺជាសញ្ញាណមួយផ្សេងទៀតសម្រាប់អំណាចនៃ 4 9 ។ ហើយនេះគឺជាឧទាហរណ៍មួយចំនួនទៀតនៃការសរសេរដឺក្រេដោយប្រើនិមិត្តសញ្ញា "^": 14^(21), (−2,1)^(155) ។ នៅក្នុងអ្វីដែលបន្ទាប់ យើងនឹងប្រើសញ្ញាប័ត្រជាចម្បងនៃទម្រង់ a n ។
បញ្ហាមួយក្នុងចំនោមបញ្ហាដែលបញ្ច្រាស់ទៅនឹងការបង្កើនអំណាចជាមួយនិទស្សន្តធម្មជាតិគឺបញ្ហានៃការស្វែងរកមូលដ្ឋាននៃអំណាចដោយ តម្លៃដែលគេស្គាល់សញ្ញាប័ត្រនិងសូចនាករដែលគេស្គាល់។ ភារកិច្ចនេះនាំឱ្យ។
វាត្រូវបានគេដឹងថា សំណុំនៃលេខសនិទានភាពមានចំនួនគត់ និងប្រភាគ ហើយចំនួនប្រភាគនីមួយៗអាចត្រូវបានតំណាងថាជាវិជ្ជមាន ឬអវិជ្ជមាន។ ប្រភាគទូទៅ. យើងបានកំណត់សញ្ញាប័ត្រជាមួយនិទស្សន្តចំនួនគត់នៅក្នុងកថាខណ្ឌមុន ដូច្នេះដើម្បីបញ្ចប់និយមន័យនៃសញ្ញាប័ត្រដែលមាននិទស្សន្តនិទស្សន្ត យើងត្រូវផ្តល់អត្ថន័យដល់កម្រិតនៃលេខ a ជាមួយនឹងនិទស្សន្តប្រភាគ m/n ដែល m គឺជាចំនួនគត់ ហើយ n គឺជាលេខធម្មជាតិ។ តោះធ្វើវា។
តោះពិចារណាដឺក្រេជាមួយនិទស្សន្តប្រភាគនៃទម្រង់។ ដើម្បីឱ្យទ្រព្យសម្បត្តិពីអំណាចនៅតែមានសុពលភាព សមភាពត្រូវតែរក្សា 
. ប្រសិនបើយើងយកទៅក្នុងគណនីសមភាពលទ្ធផល និងរបៀបដែលយើងកំណត់ នោះវាសមហេតុផលក្នុងការទទួលយកវាដែលផ្តល់ឱ្យ m, n និងកន្សោមមានន័យ។
វាងាយស្រួលក្នុងការពិនិត្យមើលថាសម្រាប់លក្ខណៈសម្បត្តិទាំងអស់នៃដឺក្រេដែលមាននិទស្សន្តចំនួនគត់គឺត្រឹមត្រូវ (នេះត្រូវបានធ្វើនៅក្នុងផ្នែកលក្ខណៈសម្បត្តិនៃសញ្ញាបត្រដែលមាននិទស្សន្តសមហេតុផល)។
ហេតុផលខាងលើអនុញ្ញាតឱ្យយើងធ្វើដូចខាងក្រោម ការសន្និដ្ឋាន៖ ប្រសិនបើបានផ្តល់ឱ្យ m, n និងកន្សោមមានអត្ថន័យ នោះអំណាចនៃប្រភាគដែលមាននិទស្សន្តប្រភាគ m/n ត្រូវបានគេហៅថាឫស n នៃ a ទៅអំណាចនៃ m ។
សេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះនាំយើងឱ្យជិតទៅនឹងនិយមន័យនៃសញ្ញាប័ត្រដែលមាននិទស្សន្តប្រភាគ។ អ្វីដែលនៅសល់គឺការពិពណ៌នាអំពីអ្វីដែល m, n និងកន្សោមសមហេតុផល។ អាស្រ័យលើការរឹតបន្តឹងដែលដាក់នៅលើ m, n និង a មានវិធីសាស្រ្តសំខាន់ពីរ។
មធ្យោបាយងាយស្រួលបំផុតគឺដាក់កំហិតលើ a ដោយយក a≥0 សម្រាប់វិជ្ជមាន m និង a> 0 សម្រាប់អវិជ្ជមាន m (ចាប់តាំងពីសម្រាប់ m≤0 ដឺក្រេ 0 នៃ m មិនត្រូវបានកំណត់) ។ បន្ទាប់មកយើងទទួលបាននិយមន័យដូចខាងក្រោមនៃសញ្ញាបត្រដែលមាននិទស្សន្តប្រភាគ។
និយមន័យ។
សញ្ញាបត្រ លេខវិជ្ជមាន a ជាមួយនិទស្សន្តប្រភាគ m/nដែល m ជាចំនួនគត់ ហើយ n ជាចំនួនធម្មជាតិ ត្រូវបានគេហៅថា ឫស n នៃចំនួន a ដល់អំណាច m ពោលគឺ .
អំណាចប្រភាគនៃសូន្យត្រូវបានកំណត់ផងដែរជាមួយនឹងការព្រមានតែមួយគត់ដែលសូចនាករត្រូវតែវិជ្ជមាន។
និយមន័យ។
អំណាចនៃសូន្យជាមួយនឹងនិទស្សន្តវិជ្ជមានប្រភាគ m/nដែល m ជាចំនួនគត់វិជ្ជមាន ហើយ n ជាលេខធម្មជាតិ ត្រូវបានកំណត់ជា 
.
នៅពេលដែលសញ្ញាប័ត្រមិនត្រូវបានកំណត់ នោះមានន័យថា កម្រិតនៃលេខសូន្យជាមួយនឹងនិទស្សន្តអវិជ្ជមានប្រភាគមិនសមហេតុផលទេ។
វាគួរតែត្រូវបានកត់សម្គាល់ថាជាមួយនឹងនិយមន័យនៃដឺក្រេជាមួយនឹងនិទស្សន្តប្រភាគ មានការព្រមានមួយ: សម្រាប់អវិជ្ជមានមួយចំនួន a និង m និង n មួយចំនួន កន្សោមគឺសមហេតុផល ហើយយើងបានបោះបង់ករណីទាំងនេះដោយការណែនាំលក្ខខណ្ឌ a≥0 ។ ឧទាហរណ៍ ធាតុមានអត្ថន័យ 
ឬ ហើយនិយមន័យដែលបានផ្តល់ឱ្យខាងលើបង្ខំយើងឱ្យនិយាយថាអំណាចជាមួយនឹងនិទស្សន្តប្រភាគនៃទម្រង់ 
មិនសមហេតុផលទេព្រោះមូលដ្ឋានមិនគួរអវិជ្ជមាន។
វិធីសាស្រ្តមួយផ្សេងទៀតដើម្បីកំណត់ដឺក្រេជាមួយនិទស្សន្តប្រភាគ m/n គឺត្រូវពិចារណាដោយឡែកពីគ្នានូវនិទស្សន្តលេខគូ និងសេសនៃឫស។ វិធីសាស្រ្តនេះទាមទារលក្ខខណ្ឌបន្ថែម៖ អំណាចនៃលេខ a ដែលជានិទស្សន្តត្រូវបានចាត់ទុកថាជាអំណាចនៃលេខ a ដែលជានិទស្សន្តនៃប្រភាគដែលមិនអាចកាត់ថ្លៃបាន (យើងនឹងពន្យល់ពីសារៈសំខាន់នៃលក្ខខណ្ឌខាងក្រោម។ ) នោះគឺប្រសិនបើ m/n គឺជាប្រភាគដែលមិនអាចកាត់ថ្លៃបាន នោះសម្រាប់លេខធម្មជាតិណាមួយ k ដឺក្រេត្រូវបានជំនួសដោយ .
សម្រាប់សូម្បីតែ n និង m វិជ្ជមាន កន្សោមមានន័យសម្រាប់ a ដែលមិនអវិជ្ជមានណាមួយ (សូម្បីតែឫសនៃ លេខអវិជ្ជមានមិនសមហេតុផល) សម្រាប់អវិជ្ជមាន m លេខ a នៅតែខុសពីសូន្យ (បើមិនដូច្នេះទេ វានឹងមានការបែងចែកដោយសូន្យ)។ ហើយសម្រាប់សេស n និង m វិជ្ជមាន លេខ a អាចជាលេខណាមួយ (ឫសនៃសញ្ញាប័ត្រសេសត្រូវបានកំណត់សម្រាប់ចំនួនពិតណាមួយ) ហើយសម្រាប់ m អវិជ្ជមាន លេខ a ត្រូវតែខុសពីសូន្យ (ដូច្នេះមិនមានការបែងចែកដោយ សូន្យ) ។
ការវែកញែកខាងលើនាំយើងទៅរកនិយមន័យនៃសញ្ញាបត្រដែលមាននិទស្សន្តប្រភាគ។
និយមន័យ។
អនុញ្ញាតឱ្យ m/n ជាប្រភាគដែលមិនអាចកាត់ថ្លៃបាន m ជាចំនួនគត់ និង n ជាចំនួនធម្មជាតិ។ សម្រាប់ប្រភាគដែលអាចកាត់បន្ថយបាន សញ្ញាបត្រត្រូវបានជំនួសដោយ . អំណាចនៃលេខដែលមាននិទស្សន្តប្រភាគដែលមិនអាចកាត់ថ្លៃបាន m/n គឺសម្រាប់
ចូរយើងពន្យល់ពីមូលហេតុដែលសញ្ញាបត្រដែលមាននិទស្សន្តប្រភាគកាត់បន្ថយត្រូវបានជំនួសដោយសញ្ញាប័ត្រជាមួយនិទស្សន្តមិនអាចកាត់បន្ថយបាន។ ប្រសិនបើយើងកំណត់កម្រិតត្រឹមជា , ហើយមិនបានធ្វើការកក់ទុកអំពីភាពមិនអាចកាត់ថ្លៃបាននៃប្រភាគ m/n នោះ យើងនឹងប្រឈមមុខនឹងស្ថានភាពស្រដៀងគ្នាដូចតទៅនេះ៖ ចាប់តាំងពី 6/10 = 3/5 នោះសមភាពត្រូវតែរក្សា។ 
, ប៉ុន្តែ 
, ក.
ពីចំនួនគត់និទស្សន្តនៃចំនួន a ការផ្លាស់ប្តូរទៅជានិទស្សន្តនិទស្សន្តបង្ហាញខ្លួនឯង។ ខាងក្រោមនេះ យើងនឹងកំណត់សញ្ញាប័ត្រជាមួយនិទស្សន្តសមហេតុផល ហើយយើងនឹងធ្វើវាតាមរបៀបដែលលក្ខណៈសម្បត្តិទាំងអស់នៃសញ្ញាបត្រដែលមាននិទស្សន្តចំនួនគត់ត្រូវបានរក្សាទុក។ នេះគឺចាំបាច់ព្រោះចំនួនគត់គឺជាផ្នែកមួយនៃចំនួនសនិទាន។
វាត្រូវបានគេដឹងថា សំណុំនៃលេខសនិទានភាពមានចំនួនគត់ និងប្រភាគ ហើយប្រភាគនីមួយៗអាចត្រូវបានតំណាងថាជាប្រភាគធម្មតាវិជ្ជមាន ឬអវិជ្ជមាន។ យើងបានកំណត់សញ្ញាប័ត្រជាមួយនិទស្សន្តចំនួនគត់នៅក្នុងកថាខណ្ឌមុន ដូច្នេះ ដើម្បីបំពេញនិយមន័យនៃសញ្ញាប័ត្រដែលមាននិទស្សន្ត យើងត្រូវផ្តល់អត្ថន័យដល់កម្រិតនៃចំនួន កជាមួយនឹងសូចនាករប្រភាគ m/n, កន្លែងណា មគឺជាចំនួនគត់ និង ន- ធម្មជាតិ។ តោះធ្វើវា។
តោះពិចារណាដឺក្រេជាមួយនិទស្សន្តប្រភាគនៃទម្រង់។ ដើម្បីឱ្យទ្រព្យសម្បត្តិពីអំណាចនៅតែមានសុពលភាព សមភាពត្រូវតែរក្សា 
. ប្រសិនបើយើងគិតគូរពីសមភាពលទ្ធផល និងរបៀបដែលយើងកំណត់ឫសទី n នៃសញ្ញាបត្រ នោះវាជាឡូជីខលក្នុងការទទួលយក ប្រសិនបើបានផ្តល់ឱ្យ។ ម, ននិង កការបញ្ចេញមតិធ្វើឱ្យយល់។
វាងាយស្រួលក្នុងការពិនិត្យមើលថាសម្រាប់លក្ខណៈសម្បត្តិទាំងអស់នៃដឺក្រេដែលមាននិទស្សន្តចំនួនគត់គឺត្រឹមត្រូវ (នេះត្រូវបានធ្វើនៅក្នុងផ្នែកលក្ខណៈសម្បត្តិនៃសញ្ញាបត្រដែលមាននិទស្សន្តសមហេតុផល)។
ហេតុផលខាងលើអនុញ្ញាតឱ្យយើងធ្វើដូចខាងក្រោម ការសន្និដ្ឋាន៖ ប្រសិនបើទិន្នន័យត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ ម, ននិង កកន្សោមធ្វើឱ្យយល់ បន្ទាប់មកអំណាចនៃលេខ កជាមួយនឹងសូចនាករប្រភាគ m/nហៅថាឫស នកម្រិតនៃ កដល់កម្រិតមួយ។ ម.
សេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះនាំយើងឱ្យជិតទៅនឹងនិយមន័យនៃសញ្ញាប័ត្រដែលមាននិទស្សន្តប្រភាគ។ អ្វីដែលនៅសល់គឺដើម្បីពិពណ៌នាអំពីអ្វី ម, ននិង កការបញ្ចេញមតិធ្វើឱ្យយល់។ អាស្រ័យលើការរឹតបន្តឹងដែលបានដាក់ ម, ននិង កមានវិធីសាស្រ្តសំខាន់ពីរ។
1. មធ្យោបាយងាយស្រួលបំផុតគឺការដាក់កម្រិតលើ កដោយបានទទួលយក a≥0សម្រាប់វិជ្ជមាន មនិង a>0សម្រាប់អវិជ្ជមាន ម(ចាប់តាំងពីពេលដែល m≤0សញ្ញាបត្រ 0 មមិនត្រូវបានកំណត់) ។ បន្ទាប់មកយើងទទួលបាននិយមន័យដូចខាងក្រោមនៃសញ្ញាបត្រដែលមាននិទស្សន្តប្រភាគ។
និយមន័យ។
អំណាចនៃចំនួនវិជ្ជមាន កជាមួយនឹងសូចនាករប្រភាគ m/n , កន្លែងណា ម- ទាំងមូល, និង ន- លេខធម្មជាតិហៅថាឫស ន- ទីនៃលេខ កដល់កម្រិតមួយ។ មនោះគឺ .
អំណាចប្រភាគនៃសូន្យត្រូវបានកំណត់ផងដែរជាមួយនឹងការព្រមានតែមួយគត់ដែលសូចនាករត្រូវតែវិជ្ជមាន។
និយមន័យ។
អំណាចនៃសូន្យជាមួយនឹងនិទស្សន្តវិជ្ជមានប្រភាគ m/n
, កន្លែងណា មគឺជាចំនួនគត់វិជ្ជមាន និង ន- លេខធម្មជាតិ កំណត់ជា 
.
នៅពេលដែលសញ្ញាប័ត្រមិនត្រូវបានកំណត់ នោះមានន័យថា កម្រិតនៃលេខសូន្យជាមួយនឹងនិទស្សន្តអវិជ្ជមានប្រភាគមិនសមហេតុផលទេ។
គួរកត់សម្គាល់ថាជាមួយនឹងនិយមន័យនៃសញ្ញាប័ត្រដែលមាននិទស្សន្តប្រភាគ មានការព្រមានមួយ៖ សម្រាប់អវិជ្ជមានមួយចំនួន។ កនិងមួយចំនួន មនិង នកន្សោមមានន័យ ប៉ុន្តែយើងបានបោះបង់ករណីទាំងនេះដោយការណែនាំលក្ខខណ្ឌ a≥0. ឧទាហរណ៍ ធាតុមានអត្ថន័យ 
ឬ ហើយនិយមន័យដែលបានផ្តល់ឱ្យខាងលើបង្ខំយើងឱ្យនិយាយថាអំណាចជាមួយនឹងនិទស្សន្តប្រភាគនៃទម្រង់ 
មិនសមហេតុផលទេព្រោះមូលដ្ឋានមិនគួរអវិជ្ជមាន។
2. វិធីសាស្រ្តមួយផ្សេងទៀតដើម្បីកំណត់ដឺក្រេជាមួយនិទស្សន្តប្រភាគ m/nមានដោយឡែកពីគ្នាដោយពិចារណាលេខគូ និងសេសនៃឫស។ វិធីសាស្រ្តនេះតម្រូវឱ្យមានលក្ខខណ្ឌបន្ថែម: អំណាចនៃលេខ កនិទស្សន្តដែលជាប្រភាគធម្មតាដែលអាចកាត់បន្ថយបាន ត្រូវបានចាត់ទុកថាជាអំណាចនៃចំនួន កសូចនាករដែលជាប្រភាគដែលមិនអាចកាត់ថ្លៃបានដែលត្រូវគ្នា (សារៈសំខាន់នៃលក្ខខណ្ឌនេះនឹងត្រូវបានពន្យល់ខាងក្រោម)។ នោះគឺប្រសិនបើ m/nគឺជាប្រភាគដែលមិនអាចកាត់ថ្លៃបាន បន្ទាប់មកសម្រាប់លេខធម្មជាតិណាមួយ។ kសញ្ញាបត្រត្រូវបានជំនួសដោយ .
សម្រាប់សូម្បីតែ ននិងវិជ្ជមាន មកន្សោមមានន័យសម្រាប់អ្វីដែលមិនអវិជ្ជមាន ក(ឫសគូនៃលេខអវិជ្ជមានគ្មានន័យទេ) សម្រាប់អវិជ្ជមាន មចំនួន កនៅតែខុសពីសូន្យ (បើមិនដូច្នេះទេ វានឹងមានការបែងចែកដោយសូន្យ)។ ហើយសម្រាប់សេស ននិងវិជ្ជមាន មចំនួន កអាចជាណាមួយ (ឫសសេសត្រូវបានកំណត់សម្រាប់ចំនួនពិតណាមួយ) និងសម្រាប់អវិជ្ជមាន មចំនួន កត្រូវតែមិនមែនជាសូន្យ (ដូច្នេះមិនមានការបែងចែកដោយសូន្យទេ) ។
ការវែកញែកខាងលើនាំយើងទៅរកនិយមន័យនៃសញ្ញាបត្រដែលមាននិទស្សន្តប្រភាគ។
និយមន័យ។
អនុញ្ញាតឱ្យ m/n- ប្រភាគដែលមិនអាចកាត់ថ្លៃបាន ម- ទាំងមូល, និង ន- លេខធម្មជាតិ។ សម្រាប់ប្រភាគដែលអាចកាត់បន្ថយបាន សញ្ញាបត្រត្រូវបានជំនួសដោយ . សញ្ញាបត្រ កជាមួយនឹងនិទស្សន្តប្រភាគដែលមិនអាចកាត់ថ្លៃបាន។ m/n- វាគឺសម្រាប់
o ចំនួនពិតណាមួយ។ ក, វិជ្ជមានទាំងមូល មនិងធម្មជាតិចម្លែក ន, ឧទាហរណ៍, 
;
o ចំនួនពិតដែលមិនមែនជាសូន្យ ក, ចំនួនគត់អវិជ្ជមាន មនិងសេស ន, ឧទាហរណ៍, 
;
o លេខដែលមិនអវិជ្ជមាន ក, វិជ្ជមានទាំងមូល មនិងសូម្បីតែ ន, ឧទាហរណ៍, ;
o វិជ្ជមានណាមួយ។ ក, ចំនួនគត់អវិជ្ជមាន មនិងសូម្បីតែ ន, ឧទាហរណ៍, 
;
o ក្នុងករណីផ្សេងទៀត សញ្ញាបត្រដែលមានសូចនាករប្រភាគមិនត្រូវបានកំណត់ទេ ដូចជាឧទាហរណ៍ ដឺក្រេមិនត្រូវបានកំណត់ 
.a យើងមិនភ្ជាប់អត្ថន័យណាមួយទៅនឹងធាតុទេ យើងកំណត់អំណាចនៃលេខសូន្យសម្រាប់និទស្សន្តប្រភាគវិជ្ជមាន m/nម៉េច សម្រាប់និទស្សន្តប្រភាគអវិជ្ជមាន អំណាចនៃលេខសូន្យមិនត្រូវបានកំណត់ទេ។
សរុបសេចក្តីនៃកថាខណ្ឌនេះ ចូរយើងយកចិត្តទុកដាក់លើការពិតដែលថា និទស្សន្តប្រភាគអាចត្រូវបានសរសេរជាទម្រង់ ទសភាគឬលេខចម្រុះ ឧទាហរណ៍ 
. ដើម្បីគណនាតម្លៃនៃកន្សោមប្រភេទនេះ អ្នកត្រូវសរសេរនិទស្សន្តក្នុងទម្រង់ជាប្រភាគធម្មតា ហើយបន្ទាប់មកប្រើនិយមន័យនៃនិទស្សន្តជាមួយនិទស្សន្តប្រភាគ។ សម្រាប់ឧទាហរណ៍ខាងលើយើងមាន 
និង 
កំពុងផ្ទុក...
