ជាមួយនេះ។ កម្មវិធីគណិតវិទ្យាអ្នក​អាច ដោះស្រាយសមីការការ៉េ.

កម្មវិធីនេះមិនត្រឹមតែផ្តល់ចម្លើយចំពោះបញ្ហាប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែថែមទាំងបង្ហាញដំណើរការដំណោះស្រាយតាមពីរវិធី៖
- ប្រើអ្នករើសអើង
- ដោយប្រើទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta (ប្រសិនបើអាចធ្វើទៅបាន) ។

ជាងនេះទៅទៀត ចម្លើយត្រូវបានបង្ហាញថាពិតប្រាកដ មិនមែនប្រហាក់ប្រហែល
ឧទាហរណ៍ សម្រាប់សមីការ \(81x^2-16x-1=0\) ចម្លើយត្រូវបានបង្ហាញក្នុងទម្រង់ខាងក្រោម៖

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81), \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) $$ ហើយមិនដូចនេះទេ៖ \(x_1 = 0.247; \quad x_2 = -0.05\)

កម្មវិធីនេះអាចមានប្រយោជន៍សម្រាប់សិស្សវិទ្យាល័យ អនុវិទ្យាល័យក្នុងការរៀបចំសម្រាប់ ការធ្វើតេស្តនិងការប្រឡងនៅពេលធ្វើតេស្តចំណេះដឹងមុនការប្រលងរដ្ឋបង្រួបបង្រួមសម្រាប់ឪពុកម្តាយដើម្បីគ្រប់គ្រងដំណោះស្រាយនៃបញ្ហាជាច្រើននៅក្នុងគណិតវិទ្យានិងពិជគណិត។ ឬប្រហែលជាវាថ្លៃពេកសម្រាប់អ្នកក្នុងការជួលគ្រូ ឬទិញសៀវភៅសិក្សាថ្មី? ឬអ្នកគ្រាន់តែចង់ធ្វើវាឱ្យបានលឿនតាមដែលអាចធ្វើទៅបាន? កិច្ចការ​ផ្ទះនៅក្នុងគណិតវិទ្យា ឬពិជគណិត? ក្នុងករណីនេះ អ្នកក៏អាចប្រើកម្មវិធីរបស់យើងជាមួយនឹងដំណោះស្រាយលម្អិតផងដែរ។

វិធីនេះអ្នកអាចធ្វើការបណ្តុះបណ្តាល និង/ឬការបណ្តុះបណ្តាលផ្ទាល់ខ្លួនរបស់អ្នក។ ប្អូនប្រុសឬបងប្អូនស្រី ខណៈពេលដែលកម្រិតនៃការអប់រំនៅក្នុងវិស័យនៃបញ្ហាដែលកំពុងត្រូវបានដោះស្រាយកើនឡើង។

ប្រសិនបើអ្នកមិនស៊ាំនឹងច្បាប់សម្រាប់ការបញ្ចូលពហុនាមរាងចតុកោណទេ យើងសូមណែនាំឱ្យអ្នកស្គាល់ខ្លួនអ្នកជាមួយពួកវា។

ច្បាប់សម្រាប់ការបញ្ចូលពហុធាចតុកោណ

អក្សរឡាតាំងណាមួយអាចដើរតួជាអថេរ។
ឧទាហរណ៍៖ \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\) ។ល។

លេខអាចត្រូវបានបញ្ចូលជាលេខទាំងមូល ឬប្រភាគ។
លើសពីនេះទៅទៀត លេខប្រភាគអាចត្រូវបានបញ្ចូលមិនត្រឹមតែជាទសភាគប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែក៏ជាប្រភាគធម្មតាផងដែរ។

ច្បាប់សម្រាប់ការបញ្ចូលប្រភាគទសភាគ។
នៅក្នុងប្រភាគទសភាគ ផ្នែកប្រភាគអាចត្រូវបានបំបែកចេញពីផ្នែកទាំងមូលដោយសញ្ញាចុច ឬសញ្ញាក្បៀស។
ឧទាហរណ៍អ្នកអាចចូលបាន។ ទសភាគដូចនេះ៖ 2.5x - 3.5x^2

ច្បាប់សម្រាប់ការបញ្ចូលប្រភាគធម្មតា។
មានតែចំនួនទាំងមូលប៉ុណ្ណោះដែលអាចដើរតួជាភាគបែង ភាគបែង និងចំនួនគត់នៃប្រភាគ។

ភាគបែងមិនអាចអវិជ្ជមានបានទេ។

នៅពេលបញ្ចូលប្រភាគលេខ ភាគយកត្រូវបានបំបែកចេញពីភាគបែងដោយសញ្ញាចែក៖ /
ផ្នែកទាំងមូលបំបែកចេញពីប្រភាគដោយ ampersand: &
បញ្ចូល៖ 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
លទ្ធផល៖ \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5)z + \frac(1)(7)z^2\)

នៅពេលបញ្ចូលកន្សោម អ្នកអាចប្រើវង់ក្រចក. ក្នុងករណីនេះ នៅពេលដោះស្រាយសមីការបួនជ្រុង កន្សោមដែលបានណែនាំត្រូវបានធ្វើឱ្យសាមញ្ញជាលើកដំបូង។
ឧទាហរណ៍៖ 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

=0

សម្រេចចិត្ត

វាត្រូវបានគេរកឃើញថាស្គ្រីបមួយចំនួនដែលចាំបាច់ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហានេះមិនត្រូវបានផ្ទុកទេ ហើយកម្មវិធីប្រហែលជាមិនដំណើរការទេ។
អ្នកប្រហែលជាបានបើក AdBlock ។
ក្នុងករណីនេះ សូមបិទវា ហើយធ្វើឱ្យទំព័រឡើងវិញ។

JavaScript ត្រូវបានបិទនៅក្នុងកម្មវិធីរុករករបស់អ្នក។
ដើម្បីឱ្យដំណោះស្រាយលេចឡើង អ្នកត្រូវបើក ​​JavaScript ។
នេះជាការណែនាំអំពីរបៀបបើក JavaScript នៅក្នុងកម្មវិធីរុករករបស់អ្នក។

ដោយសារតែ មានមនុស្សជាច្រើនមានឆន្ទៈក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហា សំណើរបស់អ្នកត្រូវបានតម្រង់ជួរ។
ក្នុងរយៈពេលពីរបីវិនាទីដំណោះស្រាយនឹងលេចឡើងខាងក្រោម។
សូមរង់ចាំ វិ...

ប្រសិនបើ​អ្នក បានកត់សម្គាល់កំហុសនៅក្នុងដំណោះស្រាយបន្ទាប់មក អ្នកអាចសរសេរអំពីរឿងនេះនៅក្នុងទម្រង់មតិកែលម្អ។
កុំ​ភ្លេច ចង្អុលបង្ហាញពីភារកិច្ចអ្នកសម្រេចចិត្តអ្វី ចូលទៅក្នុងវាល.

ហ្គេមរបស់យើង ល្បែងផ្គុំរូប ត្រាប់តាម៖

ទ្រឹស្តីតិចតួច។

សមីការបួនជ្រុង និងឫសរបស់វា។ សមីការការ៉េមិនពេញលេញ

សមីការនីមួយៗ
\\(-x^2+6x+1.4=0, \\quad 8x^2-7x=0, \\quad x^2-\frac(4)(9)=0 \\)
មើល​ទៅ​ដូច​ជា
\\(ax^2+bx+c=0, \\)
ដែល x ជាអថេរ a, b និង c ជាលេខ។
នៅក្នុងសមីការទីមួយ a = -1, b = 6 និង c = 1.4, នៅក្នុងទីពីរ a = 8, b = −7 និង c = 0, នៅក្នុងទីបី a = 1, b = 0 និង c = 4/9 ។ សមីការបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា សមីការ​ការ៉េ.

និយមន័យ។
សមីការ​ការ៉េត្រូវបានគេហៅថាសមីការនៃទម្រង់ ax 2 +bx+c=0 ដែល x ជាអថេរ a, b និង c គឺជាលេខមួយចំនួន និង \(a \neq 0 \\) ។

លេខ a, b និង c គឺជាមេគុណនៃសមីការការ៉េ។ លេខ a ត្រូវបានគេហៅថាមេគុណទីមួយ លេខ b គឺជាមេគុណទីពីរ ហើយលេខ c គឺជាពាក្យសេរី។

នៅក្នុងសមីការនីមួយៗនៃទម្រង់ ax 2 +bx+c=0 ដែល \(a\neq 0\) អំណាចធំបំផុតនៃអថេរ x គឺជាការ៉េ។ ដូច្នេះឈ្មោះ៖ សមីការការ៉េ។

ចំណាំថាសមីការការ៉េត្រូវបានគេហៅថាសមីការនៃដឺក្រេទីពីរផងដែរ ចាប់តាំងពីផ្នែកខាងឆ្វេងរបស់វាគឺជាពហុធានៃដឺក្រេទីពីរ។

សមីការការ៉េដែលមេគុណនៃ x 2 ស្មើនឹង 1 ត្រូវបានហៅ សមីការ​ការ៉េ​ដែល​បាន​ផ្តល់​ឱ្យ​. ឧទាហរណ៍ សមីការ​ការ៉េ​ដែល​បាន​ផ្តល់​ឱ្យ​គឺ​ជា​សមីការ
\\(x^2-11x+30=0, \\quad x^2-6x=0, \\quad x^2-8=0 \\)

ប្រសិនបើនៅក្នុងសមីការការ៉េ ax 2 +bx+c=0 យ៉ាងហោចណាស់មួយនៃមេគុណ b ឬ c គឺស្មើនឹងសូន្យ នោះសមីការបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា សមីការការ៉េមិនពេញលេញ. ដូច្នេះសមីការ -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 គឺជាសមីការការ៉េមិនពេញលេញ។ នៅក្នុងទីមួយនៃពួកគេ b = 0 នៅក្នុងទីពីរ c = 0 នៅក្នុងទីបី b = 0 និង c = 0 ។

មានសមីការការ៉េមិនពេញលេញចំនួនបីប្រភេទ៖
1) ax 2 +c=0 ដែល \\(c \neq 0 \\);
2) ax 2 +bx=0 ដែល \(b \neq 0 \);
3) ពូថៅ 2 = 0 ។

ចូរយើងពិចារណាការដោះស្រាយសមីការនៃប្រភេទនីមួយៗទាំងនេះ។

ដើម្បីដោះស្រាយសមីការការ៉េមិនពេញលេញនៃទម្រង់ ax 2 +c=0 សម្រាប់ \(c \neq 0 \) ផ្លាស់ទីពាក្យទំនេររបស់វាទៅផ្នែកខាងស្តាំ ហើយចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការដោយ a:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Rightarrow x_(1,2) = \pm \sqrt(-\frac(c)(a)) \)

ចាប់តាំងពី \(c \neq 0 \) បន្ទាប់មក \(-\frac(c)(a) \neq 0 \\)

ប្រសិនបើ \(-\frac(c)(a)>0\) នោះសមីការមានឫសពីរ។

ប្រសិនបើ \(-\frac(c)(a) ដើម្បីដោះស្រាយសមីការការ៉េមិនពេញលេញនៃទម្រង់ ax 2 +bx=0 ជាមួយ \(b \neq 0 \) ពង្រីកវា ខាងឆ្វេងដោយកត្តា និងទទួលបានសមីការ
\(x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \\right។ \Rightarrow \left\(\begin (អារេ)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(array) \\right.\)

នេះមានន័យថាសមីការការ៉េមិនពេញលេញនៃទម្រង់ ax 2 +bx=0 សម្រាប់ \(b \neq 0 \) តែងតែមានឫសពីរ។

សមីការការ៉េមិនពេញលេញនៃទម្រង់ ax 2 = 0 គឺស្មើនឹងសមីការ x 2 = 0 ដូច្នេះហើយមានឫសតែមួយ 0 ។

រូបមន្តសម្រាប់ឫសនៃសមីការបួនជ្រុង

ឥឡូវនេះ ចូរយើងពិចារណាពីរបៀបដើម្បីដោះស្រាយសមីការបួនជ្រុង ដែលទាំងមេគុណនៃចំនួនមិនស្គាល់ និងពាក្យឥតគិតថ្លៃគឺមិនសូន្យ។

ចូរយើងដោះស្រាយសមីការ quadratic ក្នុង ទិដ្ឋភាពទូទៅហើយជាលទ្ធផលយើងទទួលបានរូបមន្តសម្រាប់ឫស។ បន្ទាប់មករូបមន្តនេះអាចត្រូវបានប្រើដើម្បីដោះស្រាយសមីការការ៉េណាមួយ។

ដោះស្រាយសមីការការ៉េ ax 2 +bx+c=0

បែងចែកភាគីទាំងសងខាងដោយ a យើងទទួលបានសមីការការ៉េដែលកាត់បន្ថយស្មើគ្នា
\\(x^2+\frac(b)(a)x+\frac(c)(a)=0 \\)

ចូរបំប្លែងសមីការនេះដោយជ្រើសរើសការេនៃ binomial៖
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2-\left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Rightarrow \)

\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2=\left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 - \frac(c)(a) \Rightarrow \) \(\left(x+\frac(b)(2a)\right)^2=\frac(b^2)(4a^2) - \frac( c)(a) \Rrightarrow \left(x+\frac(b)(2a)\right)^2=\frac(b^2-4ac)(4a^2) \Rightarrow\) \(x+\frac(b) )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2)) \Rightarrow x = -\frac(b)(2a) + \frac(\pm \sqrt(b^2) -4ac))(2a) \Rightarrow \) \(x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac))(2a) \)

កន្សោមរ៉ាឌីកាល់ត្រូវបានគេហៅថា ការរើសអើងនៃសមីការការ៉េ ax 2 +bx+c=0 ("អ្នករើសអើង" ជាភាសាឡាតាំង - អ្នករើសអើង)។ វាត្រូវបានកំណត់ដោយអក្សរ D, i.e.
\\(D = b^2-4ac\)

ឥឡូវនេះ ដោយប្រើសញ្ញាសម្គាល់រើសអើង យើងសរសេររូបមន្តឡើងវិញសម្រាប់ឫសគល់នៃសមីការការ៉េ៖
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D))(2a) \), ដែល \(D=b^2-4ac \)

វាច្បាស់ណាស់ថា:
1) ប្រសិនបើ D>0 នោះសមីការ quadratic មានឫសពីរ។
2) ប្រសិនបើ D=0 នោះសមីការការ៉េមានឫសមួយ \(x=-\frac(b)(2a)\) ។
3) ប្រសិនបើ D ដូច្នេះ អាស្រ័យលើតម្លៃនៃអ្នករើសអើង សមីការការ៉េអាចមានឫសពីរ (សម្រាប់ D> 0) ឫសមួយ (សម្រាប់ D = 0) ឬគ្មានឫស (សម្រាប់ D នៅពេលដោះស្រាយសមីការការ៉េដោយប្រើវា រូបមន្ត​គួរ​ធ្វើ​តាម​វិធី​ដូច​ខាង​ក្រោម៖
1) គណនាអ្នករើសអើង ហើយប្រៀបធៀបវាជាមួយសូន្យ។
2) ប្រសិនបើការរើសអើងវិជ្ជមាន ឬស្មើសូន្យ ចូរប្រើរូបមន្តឫស ប្រសិនបើការរើសអើងគឺអវិជ្ជមាន ចូរសរសេរចុះថាគ្មានឫស។

ទ្រឹស្តីបទរបស់វីតា

អ័ក្សសមីការការ៉េដែលបានផ្តល់ឱ្យ 2 -7x+10=0 មានឫស 2 និង 5។ ផលបូកនៃឫសគឺ 7 ហើយផលិតផលគឺ 10។ យើងឃើញថាផលបូកនៃឫសគឺស្មើនឹងមេគុណទីពីរដែលយកជាមួយផលបូក សញ្ញា ហើយផលនៃឫសគឺស្មើនឹងពាក្យឥតគិតថ្លៃ។ សមីការ​ការ៉េ​ដែល​កាត់​បន្ថយ​ណា​មួយ​ដែល​មាន​ឫស​មាន​លក្ខណៈ​សម្បត្តិ​នេះ។

ផលបូកនៃឫសនៃសមីការ quadratic ខាងលើគឺស្មើនឹងមេគុណទីពីរដែលយកដោយសញ្ញាផ្ទុយ ហើយផលគុណនៃឫសគឺស្មើនឹងពាក្យសេរី។

ទាំងនោះ។ ទ្រឹស្ដីរបស់ Vieta ចែងថា ឫស x 1 និង x 2 នៃសមីការការ៉េកាត់បន្ថយ x 2 +px+q=0 មានទ្រព្យសម្បត្តិ៖
\(\left\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(array) \right។\)

ការបន្តប្រធានបទ "សមីការដោះស្រាយ" សម្ភារៈនៅក្នុងអត្ថបទនេះនឹងណែនាំអ្នកអំពីសមីការបួនជ្រុង។

សូមក្រឡេកមើលអ្វីៗគ្រប់យ៉ាងដោយលម្អិត៖ ខ្លឹមសារ និងសញ្ញាណនៃសមីការបួនជ្រុង កំណត់ពាក្យដែលភ្ជាប់មកជាមួយ វិភាគគ្រោងការណ៍សម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការមិនពេញលេញ និងពេញលេញ ស្គាល់រូបមន្តនៃឫស និងការរើសអើង បង្កើតទំនាក់ទំនងរវាងឫស និងមេគុណ។ ហើយជាការពិតណាស់ យើងនឹងផ្តល់នូវដំណោះស្រាយដែលមើលឃើញដល់ឧទាហរណ៍ជាក់ស្តែង។

Yandex.RTB R-A-339285-1

សមីការបួនជ្រុង, ប្រភេទរបស់វា។

និយមន័យ ១

សមីការ​ការ៉េគឺជាសមីការដែលសរសេរជា a x 2 + b x + c = 0, កន្លែងណា x- អថេរ a, b និង គ- លេខមួយចំនួនខណៈពេលដែល កមិនមែនសូន្យទេ។

ជាញឹកញាប់ សមីការបួនជ្រុងត្រូវបានគេហៅថាសមីការនៃដឺក្រេទីពីរផងដែរ ចាប់តាំងពីនៅក្នុងខ្លឹមសារ សមីការការ៉េគឺជាសមីការពិជគណិតនៃដឺក្រេទីពីរ។

ចូរយើងផ្តល់ឧទាហរណ៍មួយដើម្បីបង្ហាញពីនិយមន័យដែលបានផ្តល់ឱ្យ៖ 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0 ។ល។ ទាំងនេះគឺជាសមីការការ៉េ។

និយមន័យ ២

លេខ a, b និង គគឺជាមេគុណនៃសមីការការ៉េ a x 2 + b x + c = 0ខណៈពេលដែលមេគុណ កត្រូវបានគេហៅថាមេគុណទីមួយ ឬជាន់ខ្ពស់ ឬមេគុណនៅ x 2, ខ - មេគុណទីពីរ ឬមេគុណនៅ x, ក គហៅថាសមាជិកឥតគិតថ្លៃ។

ឧទាហរណ៍នៅក្នុងសមីការ quadratic 6 x 2 − 2 x − 11 = 0មេគុណនាំមុខគឺ 6 មេគុណទីពីរគឺ − 2 ហើយពាក្យសេរីគឺស្មើនឹង − 11 . ចូរយើងយកចិត្តទុកដាក់លើការពិតដែលថានៅពេលដែលមេគុណ ខនិង/ឬ c គឺអវិជ្ជមាន បន្ទាប់មកប្រើ ទម្រង់​ខ្លីកំណត់ត្រាដូចជា 6 x 2 − 2 x − 11 = 0ប៉ុន្តែមិនមែនទេ។ 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

ចូរយើងបញ្ជាក់អំពីទិដ្ឋភាពនេះផងដែរ៖ ប្រសិនបើមេគុណ កនិង/ឬ ខស្មើ 1 ឬ − 1 បន្ទាប់មក ពួកគេអាចនឹងមិនចូលរួមយ៉ាងច្បាស់លាស់ក្នុងការសរសេរសមីការការ៉េ ដែលត្រូវបានពន្យល់ដោយលក្ខណៈពិសេសនៃការសរសេរមេគុណលេខដែលបានចង្អុលបង្ហាញ។ ឧទាហរណ៍នៅក្នុងសមីការ quadratic y 2 − y + 7 = 0មេគុណនាំមុខគឺ 1 ហើយមេគុណទីពីរគឺ − 1 .

សមីការ quadratic កាត់បន្ថយ និងមិនបានកាត់បន្ថយ

ដោយផ្អែកលើតម្លៃនៃមេគុណទីមួយ សមីការ quadratic ត្រូវបានបែងចែកទៅជាកាត់បន្ថយ និងមិនកាត់បន្ថយ។

និយមន័យ ៣

កាត់បន្ថយសមីការការ៉េគឺជាសមីការការ៉េដែលមេគុណនាំមុខគឺ 1 ។ សម្រាប់តម្លៃផ្សេងទៀតនៃមេគុណឈានមុខគេ សមីការបួនជ្រុងមិនកាត់បន្ថយទេ។

ចូរយើងផ្តល់ឧទាហរណ៍៖ សមីការការ៉េ x 2 − 4 · x + 3 = 0, x 2 − x − 4 5 = 0 ត្រូវបានកាត់បន្ថយ ដែលក្នុងនោះមេគុណនាំមុខគឺ 1 ។

9 x 2 − x − 2 = 0- សមីការ​ការ៉េ​មិន​បាន​កាត់​បន្ថយ ដែល​មេគុណ​ទីមួយ​ខុស​ពី 1 .

សមីការការ៉េដែលមិនបានកាត់បន្ថយណាមួយអាចត្រូវបានបំប្លែងទៅជាសមីការកាត់បន្ថយដោយបែងចែកភាគីទាំងពីរដោយមេគុណទីមួយ (បំប្លែងសមមូល)។ សមីការដែលបានបំលែងនឹងមានឫសដូចគ្នាទៅនឹងសមីការដែលមិនកាត់បន្ថយដែលបានផ្តល់ឱ្យ ឬក៏នឹងមិនមានឫសគល់អ្វីទាំងអស់។

ការពិចារណា ឧទាហរណ៍ជាក់ស្តែងនឹងអនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្ហាញយ៉ាងច្បាស់ពីការផ្លាស់ប្តូរពីសមីការបួនជ្រុងដែលមិនបានកាត់បន្ថយទៅជាកាត់បន្ថយមួយ។

ឧទាហរណ៍ ១

ផ្តល់សមីការ 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 . វាចាំបាច់ក្នុងការបំប្លែងសមីការដើមទៅជាទម្រង់កាត់បន្ថយ។

ដំណោះស្រាយ

យោងតាមគ្រោងការណ៍ខាងលើយើងបែងចែកភាគីទាំងពីរនៃសមីការដើមដោយមេគុណនាំមុខ 6 ។ បន្ទាប់មកយើងទទួលបាន៖ (6 x 2 + 18 x − 7) : 3 = 0:3ហើយនេះគឺដូចគ្នាទៅនឹង៖ (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 − 7: 3 = 0និងបន្ថែមទៀត៖ (6:6) x 2 + (18:6) x − 7:6 = 0 ។ពី​ទីនេះ: x 2 + 3 x − 1 1 6 = 0 ។ ដូច្នេះ សមីការ​មួយ​ដែល​ស្មើ​នឹង​មួយ​ដែល​បាន​ផ្ដល់​ត្រូវ​បាន​ទទួល។

ចម្លើយ៖ x 2 + 3 x − 1 1 6 = 0 ។

សមីការ​ក្រឡា​ចត្រង្គ​ពេញលេញ និង​មិន​ពេញលេញ

ចូរយើងងាកទៅរកនិយមន័យនៃសមីការការ៉េ។ នៅក្នុងនោះយើងបានបញ្ជាក់ a ≠ 0. លក្ខខណ្ឌស្រដៀងគ្នាគឺចាំបាច់សម្រាប់សមីការ a x 2 + b x + c = 0ជាការ៉េយ៉ាងជាក់លាក់ តាំងពី a = 0វាប្រែជាសំខាន់ សមីការលីនេអ៊ែរ b x + c = 0.

ក្នុងករណីនៅពេលដែលមេគុណ ខនិង គគឺស្មើនឹងសូន្យ (ដែលអាចធ្វើទៅបានទាំងបុគ្គល និងរួមគ្នា) សមីការការ៉េត្រូវបានគេហៅថាមិនពេញលេញ។

និយមន័យ ៤

សមីការការ៉េមិនពេញលេញ- សមីការ​ការ៉េ​បែប​នេះ។ a x 2 + b x + c = 0,ដែលយ៉ាងហោចណាស់មេគុណមួយ។ ខនិង គ(ឬទាំងពីរ) គឺសូន្យ។

បញ្ចប់សមីការការ៉េ- សមីការការ៉េដែលមេគុណលេខទាំងអស់មិនស្មើនឹងសូន្យ។

ចូរពិភាក្សាអំពីមូលហេតុដែលប្រភេទនៃសមីការការ៉េត្រូវបានផ្តល់ឈ្មោះទាំងនេះយ៉ាងពិតប្រាកដ។

នៅពេល b = 0 សមីការការ៉េយកទម្រង់ a x 2 + 0 x + c = 0ដែលដូចគ្នានឹង a x 2 + c = 0. នៅ c = 0សមីការ​ការ៉េ​ត្រូវ​បាន​សរសេរ​ជា a x 2 + b x + 0 = 0ដែលស្មើនឹង a x 2 + b x = 0. នៅ b = 0និង c = 0សមីការនឹងយកទម្រង់ a x 2 = 0. សមីការ​ដែល​យើង​ទទួល​បាន​ខុស​ពី​សមីការ​ការ៉េ​ពេញលេញ​ដែល​ផ្នែក​ខាងឆ្វេង​របស់​វា​មិន​មាន​ពាក្យ​ដែល​មាន​អថេរ x ឬ​ពាក្យ​ទំនេរ ឬ​ទាំងពីរ។ តាមពិតការពិតនេះបានផ្តល់ឈ្មោះទៅសមីការប្រភេទនេះ - មិនពេញលេញ។

ឧទាហរណ៍ x 2 + 3 x + 4 = 0 និង − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 គឺជាសមីការការ៉េពេញលេញ។ x 2 = 0, − 5 x 2 = 0; 11 x 2 + 2 = 0, − x 2 − 6 x = 0 – សមីការការ៉េមិនពេញលេញ។

ការដោះស្រាយសមីការការ៉េមិនពេញលេញ

និយមន័យដែលបានផ្តល់ឱ្យខាងលើធ្វើឱ្យវាអាចបន្លិច ប្រភេទខាងក្រោមសមីការការ៉េមិនពេញលេញ៖

• a x 2 = 0, សមីការនេះត្រូវគ្នាទៅនឹងមេគុណ b = 0និង c = 0 ;
• a · x 2 + c = 0 នៅ b = 0 ;
• a · x 2 + b · x = 0 នៅ c = 0 ។

ចូរយើងពិចារណាតាមលំដាប់នៃដំណោះស្រាយនៃប្រភេទនីមួយៗនៃសមីការការ៉េមិនពេញលេញ។

ដំណោះស្រាយនៃសមីការ a x 2 = 0

ដូចដែលបានរៀបរាប់ខាងលើសមីការនេះត្រូវគ្នាទៅនឹងមេគុណ ខនិង គស្មើសូន្យ។ សមីការ a x 2 = 0អាចបំប្លែងទៅជាសមីការសមមូល x 2 = 0ដែលយើងទទួលបានដោយបែងចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការដើមដោយចំនួន ក, មិនស្មើនឹងសូន្យ។ ការពិតជាក់ស្តែងគឺថាឫសគល់នៃសមីការ x 2 = 0នេះគឺសូន្យដោយសារតែ 0 2 = 0 . សមីការនេះមិនមានឫសគល់ផ្សេងទៀតទេ ដែលអាចត្រូវបានពន្យល់ដោយលក្ខណៈសម្បត្តិនៃដឺក្រេ៖ សម្រាប់លេខណាមួយ។ ទំ,មិនស្មើសូន្យ វិសមភាពគឺពិត ទំ 2 > 0ពីដែលវាធ្វើតាមថានៅពេលណា p ≠ 0សមភាព p 2 = 0នឹងមិនដែលសម្រេចបានឡើយ។

និយមន័យ ៥

ដូច្នេះសម្រាប់សមីការការ៉េមិនពេញលេញ a x 2 = 0 មានឫសតែមួយ x = 0.

ឧទាហរណ៍ ២

ជាឧទាហរណ៍ ចូរយើងដោះស្រាយសមីការការ៉េមិនពេញលេញ − 3 x 2 = 0. វាស្មើនឹងសមីការ x 2 = 0ឫសតែមួយគត់របស់វាគឺ x = 0បន្ទាប់មកសមីការដើមមានឫសតែមួយ - សូន្យ។

ដោយសង្ខេប ដំណោះស្រាយត្រូវបានសរសេរដូចខាងក្រោម៖

− 3 x 2 = 0, x 2 = 0, x = 0 ។

ការដោះស្រាយសមីការ a x 2 + c = 0

បន្ទាប់នៅក្នុងបន្ទាត់គឺជាដំណោះស្រាយនៃសមីការការ៉េមិនពេញលេញ ដែល b = 0, c ≠ 0 នោះគឺជាសមីការនៃទម្រង់ a x 2 + c = 0. ចូរបំប្លែងសមីការនេះដោយរំកិលពាក្យមួយពីផ្នែកម្ខាងនៃសមីការទៅម្ខាងទៀត ប្តូរសញ្ញាទៅសញ្ញាទល់មុខ ហើយបែងចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការដោយលេខដែលមិនស្មើនឹងសូន្យ៖

• ផ្ទេរ គទៅខាងស្តាំដៃ ដែលផ្តល់សមីការ a x 2 = − គ;
• ចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការដោយ កយើងបញ្ចប់ដោយ x = - c a ។

ការបំប្លែងរបស់យើងគឺសមមូល អាស្រ័យហេតុនេះសមីការលទ្ធផលក៏សមមូលទៅនឹងសមីការដើមដែរ ហើយការពិតនេះធ្វើឱ្យវាអាចធ្វើការសន្និដ្ឋានអំពីឫសគល់នៃសមីការ។ ពីអ្វីដែលមានតម្លៃ កនិង គតម្លៃនៃកន្សោម - c a អាស្រ័យ: វាអាចមានសញ្ញាដក (ឧទាហរណ៍ប្រសិនបើ a = 1និង គ = ២បន្ទាប់មក - c a = - 2 1 = − 2) ឬសញ្ញាបូក (ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើ a = − ២និង គ = ៦, បន្ទាប់មក - c a = - 6 - 2 = 3); វាមិនមែនសូន្យទេពីព្រោះ គ ≠ ០. អនុញ្ញាតឱ្យយើងរស់នៅក្នុងលម្អិតបន្ថែមទៀតអំពីស្ថានភាពនៅពេលដែល - គ< 0 и - c a > 0 .

ក្នុងករណីនៅពេលដែល - គ< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа ទំសមភាព p 2 = - c a មិនអាចជាការពិតទេ។

អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺខុសគ្នានៅពេលដែល - c a > 0: ចងចាំឫសការ៉េហើយវានឹងច្បាស់ថាឫសនៃសមីការ x 2 = - c a នឹងជាលេខ - c a ចាប់តាំងពី - c a 2 = - c a ។ វាមិនពិបាកយល់ទេថា លេខ − c a ក៏ជាឫសគល់នៃសមីការ x 2 = − c a: ពិតហើយ − − c a 2 = − c a ។

សមីការនឹងមិនមានឫសផ្សេងទៀតទេ។ យើង​អាច​ធ្វើ​ការ​បង្ហាញ​នេះ​ដោយ​ប្រើ​វិធី​ផ្ទុយ។ ដើម្បីចាប់ផ្តើមជាមួយ អនុញ្ញាតឱ្យយើងកំណត់ចំណាំសម្រាប់ឫសដែលបានរកឃើញខាងលើ x ១និង − x ១. ចូរយើងសន្មតថាសមីការ x 2 = − c a ក៏មានឫសដែរ។ x ២ដែលខុសពីឫស x ១និង − x ១. យើងដឹងថាដោយការជំនួសសមីការ xឫសរបស់វា យើងបំប្លែងសមីការទៅជាសមភាពលេខដ៏យុត្តិធម៌។

សម្រាប់ x ១និង − x ១យើងសរសេរ៖ x 1 2 = - c a និងសម្រាប់ x ២− x 2 2 = − គ . ដោយផ្អែកលើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃសមភាពជាលេខ យើងដកពាក្យសមភាពត្រឹមត្រូវមួយដោយពាក្យមួយទៀត ដែលនឹងផ្តល់ឱ្យយើងនូវ៖ x 1 2 − x 2 2 = 0. យើងប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃប្រតិបត្តិការជាមួយលេខដើម្បីសរសេរឡើងវិញនូវសមភាពចុងក្រោយជា (x 1 − x 2) · (x 1 + x 2) = 0. វាត្រូវបានគេដឹងថាផលគុណនៃលេខពីរគឺសូន្យប្រសិនបើ ហើយលុះត្រាតែយ៉ាងហោចណាស់លេខមួយគឺសូន្យ។ ពីខាងលើវាធ្វើតាមនោះ។ x 1 − x 2 = 0និង/ឬ x 1 + x 2 = 0ដែលដូចគ្នា។ x 2 = x 1និង/ឬ x 2 = − x 1. ភាពផ្ទុយគ្នាជាក់ស្តែងមួយបានកើតឡើង ពីព្រោះដំបូងគេបានយល់ស្របថាឫសគល់នៃសមីការ x ២ខុសគ្នាពី x ១និង − x ១. ដូច្នេះ យើង​បាន​បង្ហាញ​ថា​សមីការ​គ្មាន​ឫស​អ្វី​ក្រៅ​ពី x = − c a និង x = − − c a ។

ចូរយើងសង្ខេបអំណះអំណាងទាំងអស់ខាងលើ។

និយមន័យ ៦

សមីការការ៉េមិនពេញលេញ a x 2 + c = 0គឺស្មើនឹងសមីការ x 2 = − c a ដែល៖

• នឹងមិនមានឫសនៅ - គ< 0 ;
• នឹងមានឫសពីរ x = - c a និង x = - - c a សម្រាប់ - c a > 0 ។

ចូរយើងផ្តល់ឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយសមីការ a x 2 + c = 0.

ឧទាហរណ៍ ៣

ផ្តល់សមីការការ៉េ 9 x 2 + 7 = 0 ។វាចាំបាច់ក្នុងការស្វែងរកដំណោះស្រាយ។

ដំណោះស្រាយ

ចូរផ្លាស់ទីពាក្យសេរីទៅផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការ នោះសមីការនឹងយកទម្រង់ 9 x 2 = − 7 ។
ចូរយើងបែងចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការលទ្ធផលដោយ 9 យើងមកដល់ x 2 = − 7 9 ។ នៅជ្រុងខាងស្តាំយើងឃើញលេខដែលមានសញ្ញាដកដែលមានន័យថា: y សម្រាប់ សមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យគ្មានឫស។ បន្ទាប់មកសមីការការ៉េមិនពេញលេញដើម 9 x 2 + 7 = 0នឹងមិនមានឫសទេ។

ចម្លើយ៖សមីការ 9 x 2 + 7 = 0មិនមានឫសទេ។

ឧទាហរណ៍ 4

សមីការត្រូវតែដោះស្រាយ − x 2 + 36 = 0.

ដំណោះស្រាយ

ចូរផ្លាស់ទី 36 ទៅខាងស្តាំ៖ − x 2 = − 36.
ចូរបែងចែកផ្នែកទាំងពីរដោយ − 1 , យើង​ទទួល​បាន x 2 = 36. នៅខាងស្តាំ - លេខវិជ្ជមានពីទីនេះយើងអាចសន្និដ្ឋានបាន។ x = 36 ឬ x = − ៣៦ .
ចូរស្រង់ឫស ហើយសរសេរលទ្ធផលចុងក្រោយ៖ សមីការការ៉េមិនពេញលេញ − x 2 + 36 = 0មានឫសពីរ x=6ឬ x = − ៦.

ចម្លើយ៖ x=6ឬ x = − ៦.

ដំណោះស្រាយនៃសមីការ a x 2 + b x = 0

ចូរយើងវិភាគប្រភេទទីបីនៃសមីការ quadratic មិនពេញលេញ ពេលណា c = 0. ដើម្បីស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះសមីការការ៉េមិនពេញលេញ a x 2 + b x = 0យើងនឹងប្រើវិធីសាស្ត្រកត្តា។ ចូរធ្វើកត្តាពហុនាមដែលស្ថិតនៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការ ដោយយកវាចេញពីតង្កៀប មេគុណទូទៅ x. ជំហាននេះនឹងធ្វើឱ្យវាអាចបំប្លែងសមីការការ៉េមិនពេញលេញដើមទៅជាសមមូលរបស់វា x (a x + b) = 0. ហើយសមីការនេះ, នៅក្នុងវេន, គឺស្មើនឹងសំណុំនៃសមីការមួយ។ x = 0និង a x + b = 0. សមីការ a x + b = 0លីនេអ៊ែរ និងឫសរបស់វា៖ x = − b ក.

និយមន័យ ៧

ដូច្នេះសមីការការ៉េមិនពេញលេញ a x 2 + b x = 0នឹងមានឫសពីរ x = 0និង x = − b ក.

ចូរយើងពង្រឹងសម្ភារៈជាមួយនឹងឧទាហរណ៍មួយ។

ឧទាហរណ៍ 5

ចាំបាច់ត្រូវរកដំណោះស្រាយចំពោះសមីការ 2 3 · x 2 − 2 2 7 · x = 0 ។

ដំណោះស្រាយ

យើងនឹងយកវាចេញ xនៅខាងក្រៅតង្កៀបយើងទទួលបានសមីការ x · 2 3 · x − 2 2 7 = 0 ។ សមីការនេះគឺស្មើនឹងសមីការ x = 0និង 2 3 x − 2 2 7 = 0 ។ ឥឡូវអ្នកគួរដោះស្រាយសមីការលីនេអ៊ែរលទ្ធផល៖ 2 3 · x = 2 2 7, x = 2 2 7 2 3 ។

សូមសរសេរដោយសង្ខេបនូវដំណោះស្រាយចំពោះសមីការដូចខាងក្រោម៖

2 3 x 2 − 2 2 7 x = 0 x 2 3 x − 2 2 7 = 0

x = 0 ឬ 2 3 x − 2 2 7 = 0

x = 0 ឬ x = 3 3 ៧

ចម្លើយ៖ x = 0, x = 3 3 ៧.

ការរើសអើង, រូបមន្តសម្រាប់ឫសនៃសមីការការ៉េ

ដើម្បីស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះសមីការ quadratic មានរូបមន្តឫស៖

និយមន័យ ៨

x = - b ± D 2 · a, កន្លែងណា D = b 2 − 4 a គ- អ្វី​ដែល​គេ​ហៅ​ថា​រើស​អើង​នៃ​សមីការ​ការ៉េ។

ការសរសេរ x = − b ± D 2 · a សំខាន់មានន័យថា x 1 = − b + D 2 · a, x 2 = - b − D 2 · a ។

វានឹងមានប្រយោជន៍ក្នុងការស្វែងយល់ពីរបៀបដែលរូបមន្តនេះត្រូវបានចេញ និងរបៀបអនុវត្តវា។

ដេរីវេនៃរូបមន្តសម្រាប់ឫសនៃសមីការការ៉េ

អនុញ្ញាតឱ្យយើងប្រឈមមុខនឹងភារកិច្ចនៃការដោះស្រាយសមីការការ៉េ a x 2 + b x + c = 0. ចូរយើងអនុវត្តការបំប្លែងសមមូលមួយចំនួន៖

• ចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការដោយលេខមួយ។ កខុសពីសូន្យ យើងទទួលបានសមីការការ៉េខាងក្រោម៖ x 2 + b a · x + c a = 0 ;
• សូមគូសបញ្ជាក់ ការ៉េល្អឥតខ្ចោះនៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការលទ្ធផល៖
  x 2 + b a · x + c a = x 2 + 2 · b 2 · a · x + b 2 · a 2 − b 2 · a 2 + c a = = x + b 2 · a 2 − b 2 · a 2 + គ
  បន្ទាប់ពីនេះសមីការនឹងយកទម្រង់: x + b 2 · a 2 − b 2 · a 2 + c a = 0;
• ឥឡូវនេះវាអាចទៅរួចក្នុងការផ្ទេរពាក្យពីរចុងក្រោយទៅផ្នែកខាងស្តាំដោយផ្លាស់ប្តូរសញ្ញាទៅផ្ទុយបន្ទាប់ពីនោះយើងទទួលបាន: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
• ជាចុងក្រោយ យើងបំប្លែងកន្សោមដែលសរសេរនៅខាងស្តាំនៃសមភាពចុងក្រោយ៖
  b 2 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 − 4 · a · c 4 · a 2 = b 2 − 4 · a · c 4 · a 2 ។

ដូចនេះ យើងមកដល់សមីការ x + b 2 · a 2 = b 2 − 4 · a · c 4 · a 2 , ស្មើនឹងសមីការដើម a x 2 + b x + c = 0.

យើងបានពិនិត្យមើលដំណោះស្រាយនៃសមីការបែបនេះនៅក្នុងកថាខណ្ឌមុន (ដោះស្រាយសមីការការ៉េមិនពេញលេញ)។ បទពិសោធន៍ដែលទទួលបានរួចហើយ ធ្វើឱ្យវាអាចធ្វើការសន្និដ្ឋានអំពីឫសគល់នៃសមីការ x + b 2 · a 2 = b 2 − 4 · a · c 4 · a 2:

• ជាមួយ b 2 − 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• នៅពេល b 2 − 4 · a · c 4 · a 2 = 0 សមីការគឺ x + b 2 · a 2 = 0 បន្ទាប់មក x + b 2 · a = 0 ។

ពីទីនេះឫសតែមួយគត់ x = - b 2 · a គឺជាក់ស្តែង;

• សម្រាប់ b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 > 0 ខាងក្រោមនេះនឹងជាការពិត៖ x + b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 ឬ x = b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 ដែលដូចគ្នានឹង x + − b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 ឬ x = - b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , i.e. សមីការមានឫសពីរ។

គេអាចសន្និដ្ឋានបានថាវត្តមាន ឬអវត្តមាននៃឫសនៃសមីការ x + b 2 · a 2 = b 2 − 4 · a · c 4 · a 2 (ហើយដូច្នេះសមីការដើម) អាស្រ័យលើសញ្ញានៃកន្សោម b ។ 2 - 4 · a · c 4 · a 2 សរសេរនៅខាងស្តាំ។ ហើយសញ្ញានៃការបញ្ចេញមតិនេះត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយសញ្ញានៃភាគយក, (ភាគបែង ៤ ក ២នឹងតែងតែវិជ្ជមាន) នោះគឺជាសញ្ញានៃការបញ្ចេញមតិ b 2 − 4 ក. ការបញ្ចេញមតិនេះ។ b 2 − 4 កឈ្មោះត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ - ការរើសអើងនៃសមីការ quadratic និងអក្សរ D ត្រូវបានកំណត់ថាជាការកំណត់របស់វា។ នៅទីនេះអ្នកអាចសរសេរខ្លឹមសារនៃការរើសអើង - ដោយផ្អែកលើតម្លៃ និងសញ្ញារបស់វា ពួកគេអាចសន្និដ្ឋានបានថាតើសមីការបួនជ្រុងនឹងមានឫសពិតប្រាកដ ហើយប្រសិនបើដូច្នេះ តើចំនួនឫស - មួយឬពីរ។

ចូរយើងត្រលប់ទៅសមីការ x + b 2 · a 2 = b 2 − 4 · a · c 4 · a 2 ។ ចូរយើងសរសេរវាឡើងវិញដោយប្រើសញ្ញាសម្គាល់ៈ x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 ។

ចូរយើងបង្កើតការសន្និដ្ឋានរបស់យើងម្តងទៀត៖

និយមន័យ ៩

• នៅ ឃ< 0 សមីការមិនមានឫសគល់ពិតប្រាកដ។
• នៅ ឃ=0សមីការមានឫសតែមួយ x = - b 2 · a ;
• នៅ ឃ > 0សមីការមានឫសពីរ៖ x = − b 2 · a + D 4 · a 2 ឬ x = − b 2 · a − D 4 · a 2 ។ ដោយផ្អែកលើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃរ៉ាឌីកាល់ឫសទាំងនេះអាចត្រូវបានសរសេរជាទម្រង់: x = - b 2 · a + D 2 · a ឬ - b 2 · a - D 2 · a ។ ហើយនៅពេលដែលយើងបើកម៉ូឌុល ហើយនាំប្រភាគទៅជាភាគបែងធម្មតា យើងទទួលបាន៖ x = − b + D 2 · a, x = - b - D 2 · a ។

ដូច្នេះ លទ្ធផល​នៃ​ការ​វែកញែក​របស់​យើង​គឺ​ជា​ការ​ចេញ​មក​នៃ​រូបមន្ត​សម្រាប់​ឫសគល់​នៃ​សមីការ​ការ៉េ៖

x = − b + D 2 a, x = - b − D 2 a, រើសអើង ឃគណនាដោយរូបមន្ត D = b 2 − 4 a គ.

រូបមន្តទាំងនេះធ្វើឱ្យវាអាចកំណត់ឫសពិតប្រាកដទាំងពីរនៅពេលដែលការរើសអើងគឺធំជាងសូន្យ។ នៅពេលដែលការរើសអើងគឺសូន្យ ការអនុវត្តរូបមន្តទាំងពីរនឹងផ្តល់ឫសដូចគ្នាជាដំណោះស្រាយតែមួយគត់ចំពោះសមីការការ៉េ។ ក្នុងករណីដែលការរើសអើងគឺអវិជ្ជមាន ប្រសិនបើយើងព្យាយាមប្រើរូបមន្តសម្រាប់ឫសនៃសមីការបួនជ្រុង យើងនឹងប្រឈមមុខនឹងតម្រូវការក្នុងការស្រង់ចេញ។ ឫស​ការេពីចំនួនអវិជ្ជមាន ដែលនឹងនាំយើងលើសពីចំនួនពិត។ ជាមួយនឹងការរើសអើងអវិជ្ជមាន សមីការបួនជ្រុងនឹងមិនមានឫសពិតទេ ប៉ុន្តែឫសផ្សំស្មុគស្មាញមួយគូគឺអាចធ្វើទៅបាន ដែលកំណត់ដោយរូបមន្តឫសដូចគ្នាដែលយើងទទួលបាន។

ក្បួនដោះស្រាយសមីការការ៉េដោយប្រើរូបមន្តឫស

វាគឺអាចធ្វើទៅបានដើម្បីដោះស្រាយសមីការ quadratic ដោយប្រើប្រាស់រូបមន្ត root ភ្លាមៗ ប៉ុន្តែជាទូទៅ វាត្រូវបានធ្វើនៅពេលដែលអ្នកត្រូវការស្វែងរក ឫសស្មុគស្មាញ.

ក្នុង​ករណី​ភាគច្រើន វា​ជា​ធម្មតា​មាន​ន័យ​ថា​ការ​ស្វែងរក​មិន​ស្មុគស្មាញ​ទេ ប៉ុន្តែ​សម្រាប់​ឫសគល់​ពិត​នៃ​សមីការ​ការ៉េ។ បន្ទាប់មក វាល្អប្រសើរបំផុត មុននឹងប្រើរូបមន្តសម្រាប់ឫសគល់នៃសមីការការ៉េ ដើម្បីកំណត់អ្នករើសអើងជាមុនសិន ហើយត្រូវប្រាកដថាវាមិនអវិជ្ជមាន (បើមិនដូច្នេះទេ យើងនឹងសន្និដ្ឋានថាសមីការមិនមានឫសគល់ពិតប្រាកដ) ហើយបន្ទាប់មកបន្តគណនា តម្លៃនៃឫស។

ហេតុផលខាងលើធ្វើឱ្យវាអាចបង្កើតក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការការ៉េ។

និយមន័យ ១០

ដើម្បីដោះស្រាយសមីការការ៉េ a x 2 + b x + c = 0ចាំបាច់៖

• យោងតាមរូបមន្ត D = b 2 − 4 a គស្វែងរកតម្លៃខុសគ្នា;
• នៅ D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• សម្រាប់ D = 0 រកឫសតែមួយគត់នៃសមីការដោយប្រើរូបមន្ត x = − b 2 · a ;
• សម្រាប់ D > 0 កំណត់ឫសពិតពីរនៃសមីការការ៉េដោយប្រើរូបមន្ត x = - b ± D 2 · a ។

ចំណាំថានៅពេលដែលការរើសអើងគឺសូន្យ អ្នកអាចប្រើរូបមន្ត x = − b ± D 2 · a វានឹងផ្តល់លទ្ធផលដូចគ្នានឹងរូបមន្ត x = − b 2 · a ។

សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍។

ឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយសមីការការ៉េ

ចូរយើងផ្តល់ដំណោះស្រាយចំពោះឧទាហរណ៍សម្រាប់តម្លៃផ្សេងគ្នានៃអ្នករើសអើង។

ឧទាហរណ៍ ៦

យើងត្រូវស្វែងរកឫសគល់នៃសមីការ x 2 + 2 x − 6 = 0.

ដំណោះស្រាយ

ចូរសរសេរមេគុណលេខនៃសមីការការ៉េ៖ a = 1, b = 2 និង គ = − ៦. បន្ទាប់យើងបន្តទៅតាមក្បួនដោះស្រាយ i.e. ចូរចាប់ផ្តើមគណនាការរើសអើង ដែលយើងនឹងជំនួសមេគុណ a, b និង គចូលទៅក្នុងរូបមន្តរើសអើង៖ D = b 2 − 4 · a · c = 2 2 − 4 · 1 · (− 6) = 4 + 24 = 28 ។

ដូច្នេះយើងទទួលបាន D> 0 ដែលមានន័យថាសមីការដើមនឹងមានឫសពិតពីរ។
ដើម្បីស្វែងរកពួកវា យើងប្រើរូបមន្តឫស x = - b ± D 2 · a ហើយជំនួសតម្លៃដែលត្រូវគ្នា យើងទទួលបាន: x = − 2 ± 28 2 · 1 ។ ចូរយើងសម្រួលការបញ្ចេញមតិលទ្ធផលដោយយកកត្តាចេញពីសញ្ញាឫសហើយបន្ទាប់មកកាត់បន្ថយប្រភាគ៖

x = − 2 ± 2 7 ២

x = − 2 + 2 7 2 ឬ x = − 2 − 2 7 2

x = − 1 + 7 ឬ x = − 1 − 7

ចម្លើយ៖ x = − 1 + 7 , x = − 1 − 7 ។

ឧទាហរណ៍ ៧

ត្រូវការដោះស្រាយសមីការការ៉េ − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

ដំណោះស្រាយ

ចូរកំណត់អ្នករើសអើង៖ ឃ = 28 2 − 4 · (− 4) · (− 49) = 784 − 784 = 0. ជាមួយនឹងតម្លៃនៃការរើសអើងនេះ សមីការដើមនឹងមានឫសតែមួយ កំណត់ដោយរូបមន្ត x = − b 2 · a ។

x = − 28 2 (− 4) x = 3.5

ចម្លើយ៖ x = 3.5.

ឧទាហរណ៍ ៨

សមីការត្រូវតែដោះស្រាយ 5 y 2 + 6 y + 2 = 0

ដំណោះស្រាយ

មេគុណលេខនៃសមីការនេះនឹងមានៈ a = 5, b = 6 និង c = 2 ។ យើងប្រើតម្លៃទាំងនេះដើម្បីស្វែងរកការរើសអើង៖ D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 ។ ការរើសអើងដែលបានគណនាគឺអវិជ្ជមាន ដូច្នេះសមីការការ៉េដើមមិនមានឫសគល់ពិតប្រាកដទេ។

ក្នុងករណីដែលភារកិច្ចគឺដើម្បីចង្អុលបង្ហាញឫសស្មុគ្រស្មាញ យើងអនុវត្តរូបមន្តឫស ដោយអនុវត្តសកម្មភាពជាមួយចំនួនកុំផ្លិច៖

x = − 6 ± − 4 2 5 ,

x = − 6 + 2 i 10 ឬ x = − 6 − 2 i 10,

x = − 3 5 + 1 5 · i ឬ x = − 3 5 − 1 5 · i.

ចម្លើយ៖មិនមានឫសពិតប្រាកដ; ឫសស្មុគ្រស្មាញមានដូចខាងក្រោម៖ - 3 5 + 1 5 · i, - 3 5 - 1 5 · i ។

IN កម្មវិធីសិក្សារបស់សាលាមិនមានតម្រូវការស្តង់ដារដើម្បីរកមើលឫសស្មុគ្រស្មាញទេ ដូច្នេះប្រសិនបើក្នុងអំឡុងពេលដំណោះស្រាយ អ្នករើសអើងត្រូវបានកំណត់ថាជាអវិជ្ជមាន ចម្លើយត្រូវបានសរសេរភ្លាមៗថាមិនមានឫសគល់ពិតប្រាកដនោះទេ។

រូបមន្តឫសសម្រាប់មេគុណទីពីរ

រូបមន្តឫស x = - b ± D 2 · a (D = b 2 − 4 · a · c) ធ្វើឱ្យវាអាចទទួលបានរូបមន្តមួយទៀតបង្រួមជាងមុន ដែលអនុញ្ញាតឱ្យមនុស្សម្នាក់ស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះសមីការការ៉េដែលមានមេគុណគូសម្រាប់ x ( ឬជាមួយមេគុណនៃទម្រង់ 2 · n ឧទាហរណ៍ 2 3 ឬ 14 ln 5 = 2 7 ln 5) ។ ចូរយើងបង្ហាញពីរបៀបដែលរូបមន្តនេះចេញមក។

អនុញ្ញាតឱ្យយើងប្រឈមមុខនឹងភារកិច្ចក្នុងការស្វែងរកដំណោះស្រាយនៃសមីការការ៉េ a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 ។ យើងបន្តទៅតាមក្បួនដោះស្រាយ៖ យើងកំណត់ការរើសអើង D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c) ហើយបន្ទាប់មកប្រើរូបមន្តឫស៖

x = − 2 n ± D 2 a, x = − 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x = − 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · c a .

អនុញ្ញាតឱ្យកន្សោម n 2 − a · c ត្រូវបានតំណាងថាជា D 1 (ជួនកាលវាតំណាងឱ្យ D ") បន្ទាប់មករូបមន្តសម្រាប់ឫសនៃសមីការការ៉េដែលកំពុងពិចារណាជាមួយមេគុណទីពីរ 2 · n នឹងយកទម្រង់៖

x = − n ± D 1 a, ដែល D 1 = n 2 − a · c ។

វាងាយមើលថា D = 4 · D 1, ឬ D 1 = D 4 ។ និយាយម្យ៉ាងទៀត D 1 គឺមួយភាគបួននៃអ្នករើសអើង។ ជាក់ស្តែង សញ្ញា D 1 គឺដូចគ្នានឹងសញ្ញា D ដែលមានន័យថា សញ្ញា D 1 ក៏អាចដើរតួជាសូចនាករនៃវត្តមាន ឬអវត្តមាននៃឫសគល់នៃសមីការការ៉េ។

និយមន័យ ១១

ដូច្នេះ ដើម្បីស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះសមីការការ៉េដែលមានមេគុណទីពីរនៃ 2 n វាគឺចាំបាច់៖

• រក D 1 = n 2 − a · c ;
• នៅ D 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• នៅពេល D 1 = 0 កំណត់ឫសតែមួយគត់នៃសមីការដោយប្រើរូបមន្ត x = - n a;
• សម្រាប់ D 1 > 0 កំណត់ឫសពិតពីរដោយប្រើរូបមន្ត x = - n ± D 1 a ។

ឧទាហរណ៍ ៩

វាចាំបាច់ក្នុងការដោះស្រាយសមីការការ៉េ 5 x 2 − 6 x − 32 = 0 ។

ដំណោះស្រាយ

យើងអាចតំណាងឱ្យមេគុណទីពីរនៃសមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យជា 2 · (− 3) ។ បន្ទាប់មកយើងសរសេរសមីការការ៉េដែលបានផ្តល់ឱ្យឡើងវិញជា 5 x 2 + 2 (− 3) x − 32 = 0 ដែល a = 5, n = − 3 និង c = − 32 ។

ចូរគណនាផ្នែកទីបួននៃអ្នករើសអើង៖ D 1 = n 2 − a · c = (− 3) 2 − 5 · (− 32) = 9 + 160 = 169 ។ តម្លៃលទ្ធផលគឺវិជ្ជមាន ដែលមានន័យថាសមីការមានឫសពិតពីរ។ ចូរយើងកំណត់ពួកវាដោយប្រើរូបមន្តឫសដែលត្រូវគ្នា៖

x = - n ± D 1 a, x = - 3 ± 169 5, x = 3 ± 13 5,

x = 3 + 13 5 ឬ x = 3 − 13 5

x = 3 1 5 ឬ x = − 2

វាអាចអនុវត្តការគណនាដោយប្រើរូបមន្តធម្មតាសម្រាប់ឫសនៃសមីការការ៉េ ប៉ុន្តែក្នុងករណីនេះដំណោះស្រាយនឹងកាន់តែស្មុគស្មាញ។

ចម្លើយ៖ x = 3 1 5 ឬ x = − 2 ។

ធ្វើឱ្យទម្រង់នៃសមីការការ៉េសាមញ្ញ

ជួនកាលវាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីបង្កើនប្រសិទ្ធភាពទម្រង់នៃសមីការដើមដែលនឹងធ្វើឱ្យដំណើរការនៃការគណនាឫសកាន់តែងាយស្រួល។

ឧទាហរណ៍ សមីការការ៉េ 12 x 2 − 4 x − 7 = 0 ច្បាស់ជាងាយស្រួលដោះស្រាយជាង 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0 ។

កាន់តែញឹកញាប់ ភាពសាមញ្ញនៃទម្រង់សមីការបួនជ្រុងត្រូវបានអនុវត្តដោយការគុណ ឬបែងចែកភាគីទាំងពីរដោយចំនួនជាក់លាក់មួយ។ ឧទាហរណ៍ខាងលើ យើងបានបង្ហាញពីការតំណាងសាមញ្ញនៃសមីការ 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0 ដែលទទួលបានដោយបែងចែកភាគីទាំងពីរដោយ 100 ។

ការបំប្លែងបែបនេះគឺអាចធ្វើទៅបាននៅពេលដែលមេគុណនៃសមីការការ៉េមិនមានគ្នាទៅវិញទៅមក លេខបឋម. បន្ទាប់មកជាធម្មតាយើងបែងចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការដោយការបែងចែកទូទៅធំបំផុតនៃតម្លៃដាច់ខាតនៃមេគុណរបស់វា។

ជាឧទាហរណ៍ យើងប្រើសមីការការ៉េ 12 x 2 − 42 x + 48 = 0 ។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងកំណត់ GCD នៃតម្លៃដាច់ខាតនៃមេគុណរបស់វា: GCD (12, 42, 48) = GCD(GCD (12, 42), 48) = GCD (6, 48) = 6 ។ ចូរយើងបែងចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការការ៉េដើមដោយ 6 ហើយទទួលបានសមីការការ៉េសមមូល 2 x 2 − 7 x + 8 = 0 ។

ដោយការគុណទាំងសងខាងនៃសមីការការ៉េ ជាធម្មតាអ្នកកម្ចាត់មេគុណប្រភាគ។ ក្នុងករណីនេះ ពួកវាគុណនឹងផលគុណធម្មតាតិចបំផុតនៃភាគបែងនៃមេគុណរបស់វា។ ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើផ្នែកនីមួយៗនៃសមីការការ៉េ 1 6 x 2 + 2 3 x − 3 = 0 ត្រូវបានគុណនឹង LCM (6, 3, 1) = 6 នោះវានឹងត្រូវបានសរសេរជាច្រើនទៀត ក្នុងទម្រង់សាមញ្ញ x 2 + 4 x − 18 = 0 ។

ជាចុងក្រោយ យើងកត់សំគាល់ថាយើងស្ទើរតែតែងតែកម្ចាត់ដកនៅមេគុណទីមួយនៃសមីការការ៉េ ដោយការផ្លាស់ប្តូរសញ្ញានៃពាក្យនីមួយៗនៃសមីការ ដែលត្រូវបានសម្រេចដោយគុណ (ឬចែក) ភាគីទាំងពីរដោយ −1 ។ ឧទាហរណ៍ ពីសមីការការ៉េ − 2 x 2 − 3 x + 7 = 0 អ្នកអាចទៅកាន់កំណែសាមញ្ញរបស់វា 2 x 2 + 3 x − 7 = 0 ។

ទំនាក់ទំនងរវាងឫស និងមេគុណ

រូបមន្តសម្រាប់ឫសនៃសមីការការ៉េដែលស្គាល់យើងរួចហើយ x = - b ± D 2 · a បង្ហាញពីឫសនៃសមីការតាមរយៈមេគុណលេខរបស់វា។ ដោយផ្អែកលើរូបមន្តនេះ យើងមានឱកាសដើម្បីបញ្ជាក់ភាពអាស្រ័យផ្សេងទៀតរវាងឫស និងមេគុណ។

រូបមន្តដ៏ល្បីល្បាញ និងអាចអនុវត្តបានគឺទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta៖

x 1 + x 2 = − b a និង x 2 = c a ។

ជាពិសេសសម្រាប់សមីការបួនជ្រុងដែលបានផ្តល់ឱ្យ ផលបូកនៃឫសគឺជាមេគុណទីពីរដែលមានសញ្ញាផ្ទុយ ហើយផលគុណនៃឫសគឺស្មើនឹងរយៈពេលទំនេរ។ ឧទាហរណ៍ ដោយមើលទម្រង់នៃសមីការការ៉េ 3 x 2 − 7 x + 22 = 0 វាអាចកំណត់ភ្លាមៗថាផលបូកនៃឫសរបស់វាគឺ 7 3 ហើយផលនៃឫសគឺ 22 3 ។

អ្នកក៏អាចរកឃើញទំនាក់ទំនងមួយចំនួនផ្សេងទៀតរវាងឫស និងមេគុណនៃសមីការការ៉េ។ ឧទាហរណ៍ ផលបូកនៃការ៉េនៃឫសនៃសមីការ quadratic អាចត្រូវបានបញ្ជាក់នៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃមេគុណ៖

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 − 2 x 1 x 2 = − b a 2 − 2 c a = b 2 a 2 − 2 c a = b 2 − 2 a c a 2 .

ប្រសិនបើអ្នកសម្គាល់ឃើញកំហុសនៅក្នុងអត្ថបទ សូមរំលេចវា ហើយចុច Ctrl+Enter

អនុវិទ្យាល័យជនបទ Kopyevskaya

10 វិធីដើម្បីដោះស្រាយសមីការបួនជ្រុង

ក្បាល៖ Patrikeeva Galina Anatolyevna,

គ្រូបង្រៀនគណិតវិទ្យា

ភូមិ Kopevo ឆ្នាំ ២០០៧

1. ប្រវត្តិនៃការអភិវឌ្ឍន៍សមីការការ៉េ

1.1 សមីការ​ការ៉េនៅបាប៊ីឡូនបុរាណ

1.2 របៀបដែល Diophantus បង្កើត និងដោះស្រាយសមីការការ៉េ

1.3 សមីការបួនជ្រុងនៅក្នុងប្រទេសឥណ្ឌា

1.4 សមីការបួនជ្រុងដោយ al-Khorezmi

1.5 សមីការបួនជ្រុងនៅអឺរ៉ុប XIII - XVII សតវត្ស

1.6 អំពីទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta

2. វិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការការ៉េ

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន

អក្សរសាស្ត្រ

1. ប្រវត្តិនៃការអភិវឌ្ឍន៍សមីការការ៉េ

1.1 សមីការបួនជ្រុងនៅបាប៊ីឡូនបុរាណ

តំរូវការដើម្បីដោះស្រាយសមីការមិនត្រឹមតែសញ្ញាបត្រទី 1 ប៉ុណ្ណោះទេ ថែមទាំងកម្រិតទីពីរនៅសម័យបុរាណគឺបណ្តាលមកពីតម្រូវការក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាទាក់ទងនឹងការស្វែងរកតំបន់។ ដីឡូតិ៍និងជាមួយនឹងការធ្វើផែនដីនៃធម្មជាតិយោធា ក៏ដូចជាជាមួយនឹងការអភិវឌ្ឍនៃតារាសាស្ត្រ និងគណិតវិទ្យាខ្លួនឯង។ សមីការ quadratic អាចត្រូវបានដោះស្រាយប្រហែល 2000 មុនគ។ អ៊ី ជនជាតិបាប៊ីឡូន។

ដោយប្រើសញ្ញាសម្គាល់ពិជគណិតទំនើប យើងអាចនិយាយបានថានៅក្នុងអត្ថបទ cuneiform របស់ពួកគេមាន បន្ថែមពីលើការមិនពេញលេញ ដូចជា សមីការបួនជ្រុងពេញលេញ៖

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

ច្បាប់សម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការទាំងនេះដែលមានចែងនៅក្នុងអត្ថបទរបស់បាប៊ីឡូន សំខាន់ស្របគ្នាជាមួយនឹងសម័យទំនើប ប៉ុន្តែគេមិនដឹងថាតើជនជាតិបាប៊ីឡូនមកដល់ក្បួននេះដោយរបៀបណានោះទេ។ អត្ថបទ Cuneiform ស្ទើរតែទាំងអស់ដែលបានរកឃើញរហូតមកដល់ពេលនេះផ្តល់តែបញ្ហាជាមួយនឹងដំណោះស្រាយដែលបានដាក់ចេញក្នុងទម្រង់នៃរូបមន្តប៉ុណ្ណោះ ដោយមិនមានការចង្អុលបង្ហាញអំពីរបៀបដែលពួកគេត្រូវបានរកឃើញនោះទេ។

ទោះបីជា កម្រិតខ្ពស់ការអភិវឌ្ឍន៍ពិជគណិតនៅបាប៊ីឡូន អត្ថបទ cuneiform ខ្វះគោលគំនិតនៃចំនួនអវិជ្ជមាន និង វិធីសាស្រ្តទូទៅការដោះស្រាយសមីការការ៉េ។

1.2 របៀបដែល Diophantus បង្កើត និងដោះស្រាយសមីការការ៉េ។

Diophantus' Arithmetic មិនមានការបង្ហាញជាប្រព័ន្ធនៃពិជគណិតទេ ប៉ុន្តែវាផ្ទុកនូវបញ្ហាជាប្រព័ន្ធ អមដោយការពន្យល់ និងដោះស្រាយដោយការបង្កើតសមីការនៃដឺក្រេផ្សេងៗ។

នៅពេលសរសេរសមីការ Diophantus ជ្រើសរើសយ៉ាងប៉ិនប្រសប់ដើម្បីសម្រួលដំណោះស្រាយ។

ជាឧទាហរណ៍នៅទីនេះ គឺជាកិច្ចការមួយរបស់គាត់។

បញ្ហា ១១."ស្វែងរកលេខពីរដោយដឹងថាផលបូករបស់ពួកគេគឺ 20 ហើយផលិតផលរបស់ពួកគេគឺ 96"

ហេតុផល Diophantus ដូចខាងក្រោម: ពីលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហាវាដូចខាងក្រោមថាចំនួនដែលត្រូវការគឺមិនស្មើគ្នាចាប់តាំងពីប្រសិនបើពួកគេស្មើគ្នានោះផលិតផលរបស់ពួកគេនឹងមិនស្មើនឹង 96 ទេប៉ុន្តែដល់ 100 ។ ដូច្នេះមួយក្នុងចំណោមពួកគេនឹងមានច្រើនជាង។ ពាក់កណ្តាលនៃផលបូករបស់ពួកគេ ឧ. 10 + x, ផ្សេងទៀតគឺតិចជាង, i.e. ១០ ស. ភាពខុសគ្នារវាងពួកគេ។ 2x .

ដូច្នេះសមីការ៖

(10 + x)(10 − x) = 96

100 − x 2 = 96

x 2 − 4 = 0 (1)

ពី​ទីនេះ x = ២. មួយនៃចំនួនដែលត្រូវការគឺស្មើនឹង 12 , ផ្សេងទៀត 8 . ដំណោះស្រាយ x = −2សម្រាប់ Diophantus មិនមានទេ ព្រោះគណិតវិទ្យាក្រិកដឹងតែលេខវិជ្ជមានប៉ុណ្ណោះ។

ប្រសិនបើយើងដោះស្រាយបញ្ហានេះដោយជ្រើសរើសលេខណាមួយដែលត្រូវការជាលេខដែលមិនស្គាល់ នោះយើងនឹងមករកដំណោះស្រាយចំពោះសមីការ។

y(20 - y) = 96,

y 2 − 20y + 96 = 0. (2)

វាច្បាស់ណាស់ថាដោយជ្រើសរើសភាពខុសគ្នាពាក់កណ្តាលនៃលេខដែលត្រូវការដូចជាមិនស្គាល់ Diophantus សម្រួលដំណោះស្រាយ។ គាត់គ្រប់គ្រងដើម្បីកាត់បន្ថយបញ្ហាដើម្បីដោះស្រាយសមីការ quadratic មិនពេញលេញ (1) ។

1.3 សមីការបួនជ្រុងនៅប្រទេសឥណ្ឌា

បញ្ហាលើសមីការបួនជ្រុងត្រូវបានរកឃើញរួចហើយនៅក្នុងសន្ធិសញ្ញាតារាសាស្ត្រ "Aryabhattiam" ដែលចងក្រងក្នុងឆ្នាំ 499 ដោយគណិតវិទូឥណ្ឌា និងតារាវិទូ Aryabhatta ។ អ្នកវិទ្យាសាស្ត្រឥណ្ឌាម្នាក់ទៀតឈ្មោះ Brahmagupta (សតវត្សទី 7) បានគូសបញ្ជាក់ ច្បាប់ទូទៅដំណោះស្រាយនៃសមីការ quadratic ត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់ Canonical តែមួយ៖

អា 2 + ខ x = c, a > 0. (1)

នៅក្នុងសមីការ (1) មេគុណ លើកលែងតែ កក៏អាចជាអវិជ្ជមានផងដែរ។ ក្បួនរបស់ Brahmagupta គឺសំខាន់ដូចគ្នានឹងយើងដែរ។

IN ឥណ្ឌាបុរាណការប្រកួតប្រជែងជាសាធារណៈក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាលំបាកគឺជារឿងធម្មតា។ សៀវភៅ​បុរាណ​ឥណ្ឌា​មួយ​ក្បាល​និយាយ​ដូច​តទៅ​នេះ​អំពី​ការ​ប្រកួត​ប្រជែង​បែប​នេះ​ថា​៖ «​ពេល​ព្រះអាទិត្យ​លិច​ផ្កាយ​ដោយ​ភាព​ភ្លឺស្វាង​ដូច្នេះ បុរសដែលបានរៀនលើក​សិរី​រុងរឿង​របស់​អង្គ​ប្រជុំ​ដ៏​ពេញ​និយម​មួយ​ផ្សេង​ទៀត​ដោយ​ការ​ស្នើ​និង​ដោះ​ស្រាយ​បញ្ហា​ពិជគណិត»។ ជារឿយៗបញ្ហាត្រូវបានបង្ហាញជាទម្រង់កំណាព្យ។

នេះ​ជា​បញ្ហា​មួយ​របស់​គណិតវិទូ​ឥណ្ឌា​ដ៏​ល្បី​ល្បាញ​ប្រចាំ​សតវត្សរ៍​ទី ១២។ បាស្កា។

បញ្ហា ១៣.

«ហ្វូង​ស្វា​ដ៏​ព្រឺព្រួច និង​ដប់ពីរ​ក្បាល​នៅ​តាម​ដើម​ទំពាំងបាយជូរ...

អាជ្ញាធរ​បាន​ហូប​ចុក​សប្បាយ។ ពួកគេចាប់ផ្តើមលោតព្យួរ ...

មានពួកវានៅក្នុងការ៉េ ភាគប្រាំបី តើមានស្វាប៉ុន្មានក្បាល?

ខ្ញុំ​កំពុង​តែ​សប្បាយ​ក្នុង​ការ​ឈូស​ឆាយ។ ប្រាប់ខ្ញុំនៅក្នុងកញ្ចប់នេះ?

ដំណោះស្រាយរបស់ Bhaskara បង្ហាញថាគាត់បានដឹងថាឫសគល់នៃសមីការការ៉េមានតម្លៃពីរ (រូបភាពទី 3) ។

សមីការដែលត្រូវនឹងបញ្ហាទី១៣គឺ៖

( x /8) 2 + 12 = x

Bhaskara សរសេរក្រោមរូបភាព៖

x 2 − 64x = −768

ហើយ ដើម្បីបញ្ចប់ផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការនេះទៅជាការ៉េ បន្ថែមលើភាគីទាំងពីរ 32 2 បន្ទាប់មកទទួលបាន៖

x 2 − 64x + 32 2 = −768 + 1024,

(x − 32) 2 = 256,

x − 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48 ។

1.4 សមីការ quadratic ក្នុង al - Khorezmi

នៅក្នុងពិជគណិតនៃ al-Khorezmi ការចាត់ថ្នាក់នៃសមីការលីនេអ៊ែរ និងចតុកោណត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ អ្នកនិពន្ធរាប់សមីការ 6 ប្រភេទដោយបង្ហាញវាដូចខាងក្រោម:

1) "ការេស្មើនឹងឫស" i.e. ax 2 + c = ខ X.

2) "ការេស្មើនឹងលេខ", i.e. ax 2 = គ.

3) "ឫសគឺស្មើនឹងចំនួន" i.e. ah = s ។

4) "ការេនិងលេខស្មើនឹងឫស" i.e. ax 2 + c = ខ X.

5) "ការេនិងឫសគឺស្មើនឹងលេខ", i.e. អា 2 + bx = ស.

6) "ឫស និងលេខស្មើនឹងការេ" i.e. bx + គ = ពូថៅ ២.

សម្រាប់ al-Khorezmi ដែលជៀសវាងការប្រើប្រាស់ លេខអវិជ្ជមានល័ក្ខខ័ណ្ឌនៃសមីការទាំងនេះនីមួយៗគឺបន្ថែម មិនអាចដកបានទេ។ ក្នុងករណីនេះ សមីការដែលមិនមានដំណោះស្រាយជាវិជ្ជមាន ច្បាស់ជាមិនត្រូវបានយកមកពិចារណាទេ។ អ្នកនិពន្ធកំណត់វិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការទាំងនេះដោយប្រើបច្ចេកទេសនៃ al-jabr និង al-muqabala ។ ជាការពិតណាស់ការសម្រេចចិត្តរបស់គាត់មិនស្របគ្នាទាំងស្រុងជាមួយយើងទេ។ មិន​មែន​និយាយ​ថា​វា​ជា​វោហារសាស្ត្រ​សុទ្ធ​សាធ​ទេ គួរ​កត់​សម្គាល់​ជា​ឧទាហរណ៍​ថា ពេល​ដោះស្រាយ​សមីការ​ការ៉េ​មិន​ពេញលេញ​នៃ​ប្រភេទ​ទីមួយ

al-Khorezmi ដូចជាគណិតវិទូទាំងអស់មុនសតវត្សទី 17 មិនគិតពីដំណោះស្រាយសូន្យទេ ប្រហែលជាដោយសារតែនៅក្នុងបញ្ហាជាក់ស្តែងជាក់លាក់វាមិនមានបញ្ហាទេ។ នៅពេលដោះស្រាយសមីការការ៉េពេញលេញ al-Khorezmi កំណត់ច្បាប់សម្រាប់ដោះស្រាយពួកវាដោយប្រើឧទាហរណ៍លេខជាក់លាក់ ហើយបន្ទាប់មកភស្តុតាងធរណីមាត្រ។

បញ្ហា ១៤."ការេនិងលេខ 21 គឺស្មើនឹង 10 ឫស។ ស្វែងរកឫស" (បង្កប់ន័យឫសនៃសមីការ x 2 + 21 = 10x) ។

ដំណោះស្រាយរបស់អ្នកនិពន្ធធ្វើដូចនេះ៖ ចែកចំនួនឫសជាពាក់កណ្តាល អ្នកទទួលបាន ៥ គុណ ៥ ដោយខ្លួនវា ដក ២១ ពីផលិតផល អ្វីដែលនៅសល់គឺ ៤. យកឫសពី ៤ អ្នកទទួលបាន ២ ដក ២ ពី ៥ អ្នកទទួលបាន 3 នេះនឹងជាឫសដែលចង់បាន។ ឬបន្ថែម 2 ទៅ 5 ដែលផ្តល់ឱ្យ 7 នេះក៏ជាឫសផងដែរ។

សមីការនៃ al-Khorezmi គឺជាសៀវភៅដំបូងដែលបានចុះមករកយើង ដែលកំណត់ជាប្រព័ន្ធនូវចំណាត់ថ្នាក់នៃសមីការការ៉េ និងផ្តល់រូបមន្តសម្រាប់ដំណោះស្រាយរបស់ពួកគេ។

1.5 សមីការបួនជ្រុងនៅអឺរ៉ុប XIII - XVII bb

រូបមន្តសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការ quadratic តាមបណ្តោយបន្ទាត់នៃ al-Khwarizmi នៅអឺរ៉ុបត្រូវបានកំណត់ជាលើកដំបូងនៅក្នុងសៀវភៅ Abacus ដែលសរសេរនៅឆ្នាំ 1202 ដោយគណិតវិទូអ៊ីតាលី Leonardo Fibonacci ។ ការងារ​ដ៏​អស្ចារ្យ​នេះ​ដែល​ឆ្លុះ​បញ្ចាំង​ពី​ឥទ្ធិពល​នៃ​គណិតវិទ្យា​ទាំង​ប្រទេស​ឥស្លាម​និង​ ក្រិកបុរាណត្រូវបានសម្គាល់ដោយភាពពេញលេញ និងភាពច្បាស់លាស់នៃការបង្ហាញ។ អ្នកនិពន្ធបានបង្កើតថ្មីមួយចំនួនដោយឯករាជ្យ ឧទាហរណ៍ពិជគណិតដោះស្រាយបញ្ហា និងជាដំបូងគេនៅអឺរ៉ុបដែលណែនាំលេខអវិជ្ជមាន។ សៀវភៅរបស់គាត់បានរួមចំណែកដល់ការរីករាលដាលនៃចំណេះដឹងពិជគណិតមិនត្រឹមតែនៅក្នុងប្រទេសអ៊ីតាលីប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែក៏មាននៅក្នុងប្រទេសអាល្លឺម៉ង់ បារាំង និងបណ្តាប្រទេសអឺរ៉ុបផ្សេងទៀតផងដែរ។ បញ្ហាជាច្រើនពីសៀវភៅ Abacus ត្រូវបានគេប្រើនៅក្នុងសៀវភៅសិក្សាអឺរ៉ុបស្ទើរតែទាំងអស់នៃសតវត្សទី 16 - 17 ។ និងមួយផ្នែក XVIII ។

ច្បាប់ទូទៅសម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការបួនជ្រុងត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់ Canonical តែមួយ៖

x 2 + bx = គ,

សម្រាប់បន្សំដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់នៃសញ្ញាមេគុណ ខ , ជាមួយត្រូវបានបង្កើតឡើងនៅក្នុងទ្វីបអឺរ៉ុបតែនៅក្នុងឆ្នាំ 1544 ដោយ M. Stiefel ។

ប្រភពដើមនៃរូបមន្តសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការ quadratic ក្នុងទម្រង់ទូទៅគឺអាចរកបានពី Vieth ប៉ុន្តែ Vieth ទទួលស្គាល់តែឫសវិជ្ជមានប៉ុណ្ណោះ។ គណិតវិទូជនជាតិអ៊ីតាលី Tartaglia, Cardano, Bombelli គឺជាអ្នកដំបូងគេក្នុងសតវត្សទី 16 ។ ពួកគេយកទៅក្នុងគណនីបន្ថែមលើវិជ្ជមាននិង ឫសអវិជ្ជមាន. មានតែនៅក្នុងសតវត្សទី 17 ប៉ុណ្ណោះ។ សូមអរគុណចំពោះការងាររបស់ Girard, Descartes, Newton និងអ្នកវិទ្យាសាស្ត្រដទៃទៀត វិធីសាស្រ្តនៃការដោះស្រាយសមីការការ៉េត្រូវប្រើទម្រង់ទំនើប។

1.6 អំពីទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta

ទ្រឹស្តីបទបង្ហាញពីទំនាក់ទំនងរវាងមេគុណនៃសមីការការ៉េ និងឫសរបស់វា ដែលដាក់ឈ្មោះតាម Vieta ត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយគាត់ជាលើកដំបូងក្នុងឆ្នាំ 1591 ដូចតទៅ៖ “ប្រសិនបើ ខ + ឃ, គុណ​នឹង ក - ក 2 , ស្មើ BD, នោះ។ កស្មើ INនិងស្មើ ឃ ».

ដើម្បីយល់ពី Vieta យើងគួរចងចាំវា។ កដូចជាអក្សរស្រៈណាមួយ មានន័យថាមិនស្គាល់ (របស់យើង។ X) ស្រៈ IN ឃ- មេគុណសម្រាប់មិនស្គាល់។ នៅក្នុងភាសានៃពិជគណិតសម័យទំនើប រូបមន្ត Vieta ខាងលើមានន័យថា: ប្រសិនបើមាន

(ក + ខ ) x − x 2 = ab ,

x 2 − (a + ខ ) x + ក ខ = 0,

x 1 = a, x 2 = ខ .

បង្ហាញពីទំនាក់ទំនងរវាងឫស និងមេគុណនៃសមីការ រូបមន្តទូទៅសរសេរដោយប្រើនិមិត្តសញ្ញា វៀតបានបង្កើតឯកសណ្ឋានក្នុងវិធីដោះស្រាយសមីការ។ ទោះជាយ៉ាងនេះក្តី និមិត្ដរូបរបស់វៀតគឺនៅឆ្ងាយនៅឡើយ រូបរាងទំនើប. គាត់មិនទទួលស្គាល់លេខអវិជ្ជមានទេ ដូច្នេះហើយនៅពេលដោះស្រាយសមីការ គាត់បានពិចារណាតែករណីដែលឫសទាំងអស់វិជ្ជមានប៉ុណ្ណោះ។

2. វិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការការ៉េ

សមីការ quadratic គឺជាមូលដ្ឋានគ្រឹះដែលអគារដ៏អស្ចារ្យនៃពិជគណិតសម្រាក។ សមីការបួនជ្រុងត្រូវបានរកឃើញ កម្មវិធីធំទូលាយនៅពេលដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្រ អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល លោការីត សមីការមិនសមហេតុផល និងវិសាលភាព និងវិសមភាព។ យើងទាំងអស់គ្នាដឹងពីរបៀបដោះស្រាយសមីការ quadratic ពីសាលា (ថ្នាក់ទី 8) រហូតដល់បញ្ចប់ការសិក្សា។

សមីការនៃទម្រង់

កន្សោម ឃ= ខ 2 - ៤ អេហៅ រើសអើងសមីការ​ការ៉េ។ ប្រសិនបើឃ = 0 បន្ទាប់មកសមីការមានឫសពិតមួយ; ប្រសិនបើ D> 0 បន្ទាប់មកសមីការមានឫសពិតពីរ។
ក្រែងលោ​រ ឃ = 0 ជួនកាលគេនិយាយថាសមីការបួនជ្រុងមានឫសដូចគ្នាពីរ។
ការប្រើប្រាស់សញ្ញាណ ឃ= ខ 2 - ៤ អេយើងអាចសរសេររូបមន្ត (2) ឡើងវិញក្នុងទម្រង់

ប្រសិនបើ ខ= 2 គបន្ទាប់មករូបមន្ត (២) យកទម្រង់៖

កន្លែងណា k= ខ / 2 .
រូបមន្តចុងក្រោយគឺងាយស្រួលជាពិសេសនៅក្នុងករណីដែលជាកន្លែងដែល ខ / 2 - ចំនួនគត់, i.e. មេគុណ ខ- ចំនួន​គូ។
ឧទាហរណ៍ 1៖ដោះស្រាយសមីការ 2 x 2 - 5 x + 2 = 0 . នៅទីនេះ a = 2, b = −5, c = 2. យើង​មាន ឃ= ខ 2 - 4 អេក = (-5) 2- 4*2*2 = 9 . ដោយសារតែ ឃ > 0 បន្ទាប់មកសមីការមានឫសពីរ។ តោះស្វែងរកពួកវាដោយប្រើរូបមន្ត (2)

ដូច្នេះ x 1 =(5 + 3) / 4 = 2, x 2 =(5 - 3) / 4 = 1 / 2 ,
នោះគឺ x 1 = 2 និង x 2 = 1 / 2 - ឫសនៃសមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យ។
ឧទាហរណ៍ 2៖ដោះស្រាយសមីការ 2 x 2 - 3 x + 5 = 0 . នៅទីនេះ a = 2, b = −3, c = 5. ស្វែងរកអ្នករើសអើង ឃ= ខ 2 - 4 អេក = (-3) 2- 4*2*5 = -31 . ដោយសារតែ ឃ 0 បន្ទាប់មកសមីការមិនមានឫសគល់ពិតប្រាកដទេ។

សមីការការ៉េមិនពេញលេញ។ ប្រសិនបើនៅក្នុងសមីការការ៉េ ពូថៅ 2 +bx+ គ =0 មេគុណទីពីរ ខឬសមាជិកឥតគិតថ្លៃ គស្មើនឹងសូន្យ បន្ទាប់មកសមីការបួនជ្រុងត្រូវបានគេហៅថា មិនពេញលេញ. សមីការមិនពេញលេញដាច់ឆ្ងាយពីគេ ព្រោះដើម្បីស្វែងរកឫសគល់របស់វា អ្នកមិនចាំបាច់ប្រើរូបមន្តសម្រាប់ឫសនៃសមីការការ៉េទេ - វាកាន់តែងាយស្រួលក្នុងការដោះស្រាយសមីការដោយបែងចែកផ្នែកខាងឆ្វេងរបស់វា។
ឧទាហរណ៍ 1៖ដោះស្រាយសមីការ 2 x 2 - 5 x = 0 .
យើង​មាន x(2 x - 5) = 0 . ដូច្នេះ x = 0 , ឬ 2 x - 5 = 0 នោះគឺ x = 2.5 . ដូច្នេះសមីការមានឫសពីរ៖ 0 និង 2.5
ឧទាហរណ៍ 2៖ដោះស្រាយសមីការ 3 x 2 - 27 = 0 .
យើង​មាន 3 x 2 = 27 . ដូច្នេះឫសគល់នៃសមីការនេះគឺ 3 និង -3 .

ទ្រឹស្តីបទរបស់វីតា។ ប្រសិនបើសមីការ quadratic កាត់បន្ថយ x 2 +px+ q =0 មានឫសពិតប្រាកដ បន្ទាប់មកផលបូករបស់ពួកគេគឺស្មើនឹង - ទំហើយផលិតផលគឺស្មើគ្នា qនោះគឺ

x 1 + x 2 = -p,
x 1 x 2 = q

(ផលបូកនៃឫសនៃសមីការ quadratic ខាងលើគឺស្មើនឹងមេគុណទីពីរដែលយកដោយសញ្ញាផ្ទុយ ហើយផលគុណនៃឫសគឺស្មើនឹងពាក្យសេរី)។

ដោយបានទទួលគំនិតទូទៅនៃសមភាព ហើយបានស្គាល់ពីប្រភេទមួយរបស់ពួកគេ - សមភាពជាលេខ អ្នកអាចចាប់ផ្តើមនិយាយអំពីសមភាពប្រភេទផ្សេងទៀតដែលមានសារៈសំខាន់ខ្លាំងណាស់តាមទស្សនៈជាក់ស្តែង - សមីការ។ នៅក្នុងអត្ថបទនេះយើងនឹងពិនិត្យមើល តើអ្វីជាសមីការនិងអ្វីដែលហៅថាឫសគល់នៃសមីការ។ នៅទីនេះយើងនឹងផ្តល់និយមន័យដែលត្រូវគ្នា ក៏ដូចជាផ្តល់នូវឧទាហរណ៍ផ្សេងៗនៃសមីការ និងឫសគល់របស់វា។

ការរុករកទំព័រ។

តើសមីការគឺជាអ្វី?

ការណែនាំគោលដៅចំពោះសមីការជាធម្មតាចាប់ផ្តើមនៅក្នុងមេរៀនគណិតវិទ្យានៅថ្នាក់ទី 2 ។ នៅពេលនេះ ខាងក្រោមនេះត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ និយមន័យសមីការ:

និយមន័យ។

សមីការគឺជាសមភាពដែលមានលេខមិនស្គាល់ ដែលត្រូវស្វែងរក។

លេខដែលមិនស្គាល់នៅក្នុងសមីការជាធម្មតាត្រូវបានតាងដោយប្រើលេខតូច។ អក្សរឡាតាំងឧទាហរណ៍ p, t, u ជាដើម ប៉ុន្តែអក្សរដែលប្រើជាទូទៅបំផុតគឺ x, y និង z ។

ដូច្នេះសមីការត្រូវបានកំណត់ពីចំណុចនៃទិដ្ឋភាពនៃទម្រង់នៃការសរសេរ។ ម្យ៉ាងវិញទៀត សមភាពគឺជាសមីការមួយនៅពេលដែលវាគោរពតាមច្បាប់សរសេរដែលបានបញ្ជាក់ - វាមានអក្សរដែលតម្លៃត្រូវស្វែងរក។

ចូរយើងផ្តល់ឧទាហរណ៍នៃសមីការដំបូង និងសាមញ្ញបំផុត។ ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយសមីការនៃទម្រង់ x=8, y=3 ។ល។ សមីការដែលមានសញ្ញានព្វន្ធ រួមជាមួយនឹងលេខ និងអក្សរមើលទៅស្មុគស្មាញបន្តិច ឧទាហរណ៍ x+2=3, z−2=5, 3 t=9, 8:x=2។

ភាពខុសគ្នានៃសមីការរីកចម្រើនបន្ទាប់ពីស្គាល់ - សមីការដែលមានតង្កៀបចាប់ផ្តើមលេចឡើង ឧទាហរណ៍ 2·(x−1)=18 និង x+3·(x+2·(x−2))=3។ អក្សរដែលមិនស្គាល់នៅក្នុងសមីការអាចលេចឡើងច្រើនដង ឧទាហរណ៍ x+3+3·x−2−x=9 អក្សរក៏អាចស្ថិតនៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការ នៅផ្នែកខាងស្តាំរបស់វា ឬនៅលើផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការ។ ឧទាហរណ៍ សមីការ x·(3+1)−4=8, 7−3=z+1 ឬ 3·x−4=2·(x+12)។

បន្ថែមទៀតបន្ទាប់ពីសិក្សា លេខធម្មជាតិការស្គាល់ចំនួនគត់ សនិទានភាព ចំនួនពិតកើតឡើង វត្ថុគណិតវិទ្យាថ្មីត្រូវបានសិក្សា៖ អំណាច ឫស លោការីត ។ល។ ខណៈពេលដែលសមីការប្រភេទថ្មីកាន់តែច្រើនឡើងដែលមានវត្ថុទាំងនេះលេចឡើង។ ឧទាហរណ៍នៃពួកគេអាចមើលឃើញនៅក្នុងអត្ថបទ ប្រភេទមូលដ្ឋាននៃសមីការសិក្សានៅសាលា។

នៅថ្នាក់ទី 7 រួមជាមួយនឹងអក្សរដែលមានន័យថាលេខជាក់លាក់មួយចំនួនពួកគេចាប់ផ្តើមពិចារណាអក្សរដែលអាចយក អត្ថន័យផ្សេងគ្នាពួកវាត្រូវបានគេហៅថាអថេរ (សូមមើលអត្ថបទ) ។ ទន្ទឹមនឹងនេះពាក្យ "អថេរ" ត្រូវបានណែនាំទៅក្នុងនិយមន័យនៃសមីការហើយវាក្លាយជាដូចនេះ៖

និយមន័យ។

សមីការហៅថាសមភាពដែលមានអថេរដែលតម្លៃត្រូវស្វែងរក។

ឧទាហរណ៍ សមីការ x+3=6·x+7 គឺជាសមីការដែលមានអថេរ x ហើយ 3·z−1+z=0 គឺជាសមីការដែលមានអថេរ z ។

ក្នុងអំឡុងពេលមេរៀនពិជគណិតក្នុងថ្នាក់ទី 7 ដូចគ្នា យើងជួបប្រទះសមីការដែលមិនមានមួយ ប៉ុន្តែអថេរមិនស្គាល់ពីរផ្សេងគ្នា។ ពួកវាត្រូវបានគេហៅថាសមីការក្នុងអថេរពីរ។ នៅពេលអនាគត វត្តមានរបស់អថេរបី ឬច្រើននៅក្នុងសមីការត្រូវបានអនុញ្ញាត។

និយមន័យ។

សមីការជាមួយមួយ ពីរ បី ។ល។ អថេរ- ទាំងនេះគឺជាសមីការដែលមាននៅក្នុងការសរសេររបស់ពួកគេ មួយ, ពីរ, បី, ... អថេរដែលមិនស្គាល់ រៀងគ្នា។

ឧទាហរណ៍ សមីការ 3.2 x+0.5=1 គឺជាសមីការដែលមានអថេរ x មួយ ហើយសមីការនៃទម្រង់ x−y=3 គឺជាសមីការដែលមានអថេរពីរ x និង y។ ហើយឧទាហរណ៍មួយទៀត៖ x 2 +(y−1) 2 +(z+0.5) 2 = 27 ។ វាច្បាស់ណាស់ថាសមីការបែបនេះគឺជាសមីការដែលមានអថេរមិនស្គាល់ចំនួនបី x, y និង z ។

តើអ្វីជាឫសគល់នៃសមីការ?

និយមន័យនៃសមីការគឺទាក់ទងដោយផ្ទាល់ទៅនឹងនិយមន័យនៃឫសគល់នៃសមីការនេះ។ ចូរយើងអនុវត្តការវែកញែកមួយចំនួនដែលនឹងជួយយើងឱ្យយល់ពីអ្វីដែលជាឫសគល់នៃសមីការ។

ឧបមាថាយើងមានសមីការដែលមានអក្សរមួយ (អថេរ) ។ ប្រសិនបើជំនួសឱ្យអក្សរដែលរួមបញ្ចូលនៅក្នុងធាតុនៃសមីការនេះ ចំនួនជាក់លាក់មួយត្រូវបានជំនួស នោះសមីការប្រែទៅជាសមភាពលេខ។ លើស​ពី​នេះ​ទៀត សមភាព​លទ្ធផល​អាច​ពិត​ឬ​មិន​ពិត។ ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើអ្នកជំនួសលេខ 2 ជំនួសឱ្យអក្សរ a ក្នុងសមីការ a+1=5 អ្នកនឹងទទួលបានសមភាពលេខមិនត្រឹមត្រូវ 2+1=5។ ប្រសិនបើយើងជំនួសលេខ 4 ជំនួសឱ្យ a ក្នុងសមីការនេះ យើងទទួលបានសមភាពត្រឹមត្រូវ 4+1=5។

នៅក្នុងការអនុវត្ត នៅក្នុងករណីភាគច្រើនលើសលប់ ចំណាប់អារម្មណ៍គឺស្ថិតនៅក្នុងតម្លៃទាំងនោះនៃអថេរដែលការជំនួសទៅក្នុងសមីការផ្តល់នូវសមភាពត្រឹមត្រូវ តម្លៃទាំងនេះត្រូវបានគេហៅថាឫស ឬដំណោះស្រាយនៃសមីការនេះ។

និយមន័យ។

ឫសគល់នៃសមីការ- នេះគឺជាតម្លៃនៃអក្សរ (អថេរ) នៅពេលជំនួសដែលសមីការប្រែទៅជាសមភាពលេខត្រឹមត្រូវ។

ចំណាំថាឫសនៃសមីការនៅក្នុងអថេរមួយត្រូវបានគេហៅថាដំណោះស្រាយនៃសមីការផងដែរ។ ម្យ៉ាងវិញទៀត ដំណោះស្រាយចំពោះសមីការ និងឫសគល់នៃសមីការ គឺជារឿងដូចគ្នា។

ចូរយើងពន្យល់និយមន័យនេះជាមួយនឹងឧទាហរណ៍មួយ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងត្រឡប់ទៅសមីការដែលបានសរសេរខាងលើ a+1=5 ។ យោងតាមនិយមន័យនៃឫសនៃសមីការ លេខ 4 គឺជាឫសគល់នៃសមីការនេះ ចាប់តាំងពីពេលដែលជំនួសលេខនេះជំនួសឱ្យអក្សរ a យើងទទួលបានសមភាពត្រឹមត្រូវ 4+1=5 ហើយលេខ 2 មិនមែនជារបស់វាទេ។ root ចាប់តាំងពីវាទាក់ទងទៅនឹងសមភាពមិនត្រឹមត្រូវនៃទម្រង់ 2+1=5 ។

ត្រង់ចំណុចនេះ សំណួរធម្មជាតិមួយចំនួនកើតឡើង៖ "តើសមីការណាមួយមានឫសគល់ ហើយសមីការមួយមានឫសប៉ុន្មាន?" យើងនឹងឆ្លើយពួកគេ។

មានសមីការទាំងពីរដែលមានឫស និងសមីការដែលមិនមានឫស។ ឧទាហរណ៍ សមីការ x+1=5 មានឫស 4 ប៉ុន្តែសមីការ 0 x=5 មិនមានឫសទេ ព្រោះមិនថាលេខណាដែលយើងជំនួសក្នុងសមីការនេះជំនួសឱ្យអថេរ x យើងនឹងទទួលបានសមភាពមិនត្រឹមត្រូវ 0=5 .

ចំពោះចំនួនឫសនៃសមីការមួយ មានសមីការទាំងពីរដែលមានចំនួនឫសកំណត់ជាក់លាក់ (មួយ ពីរ បី។ល។) និងសមីការដែលមានចំនួនឫសគ្មានកំណត់។ ឧទាហរណ៍ សមីការ x−2=4 មានឫសតែមួយ 6 ឫសនៃសមីការ x 2 =9 មានពីរលេខ −3 និង 3 សមីការ x·(x−1)·(x−2)=0 មានឫសបី 0, 1 និង 2 ហើយដំណោះស្រាយចំពោះសមីការ x=x គឺជាលេខណាមួយ ពោលគឺវាមានចំនួនឫសគ្មានកំណត់។

ពាក្យពីរបីគួរនិយាយអំពីសញ្ញាណដែលទទួលយកសម្រាប់ឫសគល់នៃសមីការ។ ប្រសិនបើសមីការគ្មានឫសទេ នោះជាធម្មតាគេសរសេរថា "សមីការមិនមានឫសគល់" ឬប្រើសញ្ញាកំណត់ទទេ ∅ ។ ប្រសិនបើសមីការមានឫស នោះពួកវាត្រូវបានសរសេរបំបែកដោយក្បៀស ឬសរសេរជា ធាតុនៃសំណុំនៅក្នុងតង្កៀបអង្កាញ់។ ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើឫសនៃសមីការគឺជាលេខ −1, 2 និង 4 បន្ទាប់មកសរសេរ −1, 2, 4 ឬ (−1, 2, 4)។ វាក៏អនុញ្ញាតផងដែរក្នុងការសរសេរឫសនៃសមីការក្នុងទម្រង់សមភាពសាមញ្ញ។ ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើសមីការរួមបញ្ចូលអក្សរ x ហើយឫសនៃសមីការនេះគឺជាលេខ 3 និង 5 នោះអ្នកអាចសរសេរ x=3, x=5, ហើយអក្សររង x 1 =3, x 2 =5 ត្រូវបានបន្ថែមជាញឹកញាប់។ ទៅអថេរ ដូចជាបង្ហាញលេខឫសនៃសមីការ។ បណ្តុំនៃសមីការគ្មានដែនកំណត់ជាធម្មតាត្រូវបានសរសេរជាទម្រង់ ប្រសិនបើអាច សញ្ញាណសម្រាប់សំណុំនៃចំនួនធម្មជាតិ N, ចំនួនគត់ Z និងចំនួនពិត R ក៏ត្រូវបានប្រើផងដែរ។ ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើឫសនៃសមីការដែលមានអថេរ x ជាចំនួនគត់នោះ សរសេរ ហើយប្រសិនបើឫសនៃសមីការដែលមានអថេរ y គឺជាចំនួនពិតណាមួយពី 1 ដល់ 9 រួមបញ្ចូល បន្ទាប់មកសរសេរ។

សម្រាប់សមីការដែលមានពីរ បី និង ចំនួនធំអថេរ ជាក្បួន ពាក្យ "ឫសនៃសមីការ" មិនត្រូវបានប្រើទេ នៅក្នុងករណីទាំងនេះ ពួកគេនិយាយថា "ដំណោះស្រាយនៃសមីការ" ។ ដូចម្តេចដែលហៅថា សមីការដោះស្រាយជាមួយអថេរជាច្រើន? ចូរយើងផ្តល់និយមន័យដែលត្រូវគ្នា។

និយមន័យ។

ការដោះស្រាយសមីការជាមួយ ពីរ បី ។ល។ អថេរហៅថា គូ បី ។ល។ តម្លៃនៃអថេរ ប្រែក្លាយសមីការនេះទៅជាសមភាពលេខត្រឹមត្រូវ។

ចូរយើងបង្ហាញឧទាហរណ៍ពន្យល់។ ពិចារណាសមីការដែលមានអថេរពីរ x+y=7។ ចូរជំនួសលេខ 1 ជំនួស x និងលេខ 2 ជំនួសឱ្យ y ហើយយើងមានសមភាព 1 + 2 = 7 ។ ជាក់ស្តែង វាមិនត្រឹមត្រូវទេ ដូច្នេះគូនៃតម្លៃ x=1, y=2 មិនមែនជាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការសរសេរនោះទេ។ ប្រសិនបើយើងយកតម្លៃគូ x=4, y=3 បន្ទាប់មកបន្ទាប់ពីជំនួសទៅក្នុងសមីការ យើងនឹងទៅដល់សមភាពត្រឹមត្រូវ 4+3=7 ដូច្នេះតម្លៃអថេរគូនេះតាមនិយមន័យគឺជាដំណោះស្រាយ។ ទៅសមីការ x + y = 7 ។

សមីការដែលមានអថេរជាច្រើន ដូចជាសមីការដែលមានអថេរតែមួយ ប្រហែលជាគ្មានឫស អាចមានឫសចំនួនកំណត់ ឬអាចមានចំនួនឫសគ្មានកំណត់។

គូ, triplets, quadruples ។ល។ តម្លៃ​នៃ​អថេរ​ត្រូវ​បាន​សរសេរ​យ៉ាង​ខ្លី ដោយ​រាយ​បញ្ជី​តម្លៃ​របស់​វា​ដែល​បំបែក​ដោយ​ក្បៀស​ក្នុង​វង់ក្រចក។ ក្នុងករណីនេះ លេខដែលសរសេរក្នុងតង្កៀបត្រូវគ្នាទៅនឹងអថេរក្នុង លំដាប់អក្ខរក្រម. ចូរ​បញ្ជាក់​ចំណុច​នេះ​ដោយ​ត្រឡប់​ទៅ​សមីការ​មុន x+y=7។ ដំណោះស្រាយចំពោះសមីការនេះ x=4, y=3 អាចសរសេរដោយសង្ខេបជា (4, 3)។

ការយកចិត្តទុកដាក់បំផុតនៅក្នុង វគ្គសិក្សាសាលាគណិតវិទ្យា ពិជគណិត និងការចាប់ផ្តើមនៃការវិភាគត្រូវបានឧទ្ទិសដល់ការស្វែងរកឫសគល់នៃសមីការក្នុងអថេរមួយ។ យើងនឹងពិភាក្សាអំពីច្បាប់នៃដំណើរការនេះយ៉ាងលម្អិតនៅក្នុងអត្ថបទ។ ការដោះស្រាយសមីការ.

គន្ថនិទ្ទេស។

• គណិតវិទ្យា. 2 ថ្នាក់ សៀវភៅសិក្សា សម្រាប់ការអប់រំទូទៅ ស្ថាប័នជាមួយ adj ។ ក្នុងមួយអេឡិចត្រុង ក្រុមហ៊ុនដឹកជញ្ជូន។ ម៉ោង 2 រសៀល វគ្គ 1 / [M. I. Moro, M. A. Bantova, G. V. Beltyukova ។ល។] - លើកទី 3 ។ - M. : Education, 2012. - 96 p.: ill. - (សាលារុស្ស៊ី) ។ - ISBN 978-5-09-028297-0 ។
• ពិជគណិត៖សៀវភៅសិក្សា សម្រាប់ថ្នាក់ទី 7 ការអប់រំទូទៅ ស្ថាប័ន / [យូ។ N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; កែសម្រួល​ដោយ S.A. Telyakovsky ។ - ទី 17 ed ។ - M. : ការអប់រំ, 2008. - 240 ទំ។ ៖ ឈឺ។ - ISBN 978-5-09-019315-3 ។
• ពិជគណិត៖ថ្នាក់ទី ៩៖ ការអប់រំ។ សម្រាប់ការអប់រំទូទៅ ស្ថាប័ន / [យូ។ N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; កែសម្រួល​ដោយ S.A. Telyakovsky ។ - ទី 16 ed ។ - M. : ការអប់រំ, 2009. - 271 ទំ។ ៖ ឈឺ។ - ISBN 978-5-09-021134-5 ។